Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Ludmila Kadlecová Výuka stereometrie na střední škole s využitím internetu Katedra didaktiky matematiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jarmila Robová, CSc. Studijní program: učitelství matematiky - informatiky pro SŠ (MIUSSS)

2 Ráda bych poděkovala RNDr. Jarmile Robové, CSc., která mi pomohla při tvorbě této práce. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne Ludmila Kadlecová 2

3 OBSAH Hodnocení nalezených webových stránek... 7 Webové stránky v českém jazyce... 8 Česká Wikipedie... 8 Stereometrie v pdf... 8 Rovinné řezy hranatých těles a průnik přímky a tělesa... 9 Matematika Online Diplomová práce o využití Cabri geometrie ve středoškolské geometrii Stereometrie - řezy na čtyřstěnu a jehlanu Fórum odchylka dvou rovin Webové stránky ve slovenském jazyce Výučba planimetrie a stereometrie pomocou dynamických geometrických systémov (Cabri Geometry II, Cabri 3D v2) na strednej škole Studentský projekt gymnázia Pavla Horova Webové stránky v anglickém jazyce Anglická Wikipedie Mathsnet Mathworld Bymath Mathforum Shrnutí Webové stránky Pojmy a značení Úvod k metrickým úlohám Odchylky Odchylky dvou přímek Odchylka přímky a roviny Odchylky dvou rovin Vzdálenosti Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost dvou přímek Vzdálenost přímky a roviny Vzdálenost dvou rovin

4 Metrické konstrukční úlohy Závěr Nakládání s prací Seznam použité literatury

5 Název práce: Výuka stereometrie na střední škole s využitím internetu Autor: Ludmila Kadlecová Katedra (ústav): Učitelství matematiky - informatiky pro SŠ (MIUSSS) Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jarmila Robová, CSc. vedoucího Jarmila.Robova@mff.cuni.cz Abstrakt: Tato diplomová práce se zabývá metrickými úlohami a vznikla rozšířením bakalářské práce, která se zabývá polohovými úlohami. Práce vznikla jako webová aplikace zaměřená na učivo stereometrie. Aplikace je interaktivní s řadou apletů vytvořených v programu Cabri 3D. Práce je rozdělena na výkladovou část a část s příklady. Každá výkladová kapitola obsahuje několik jednoduchých příkladů na procvičení probrané látky. Nejrozsáhlejší kapitolou je kapitola 10 Metrické konstrukční úlohy, které obsahují příklady na metrické úlohy. Tyto příklady nejsou triviální a jsou řešeny několika způsoby pro správné pochopení řešení. Klícová slova: webová aplikace, stereometrie, Cabri, metrické úlohy Title: Using of Internet in mathematics teaching of stereometry at secondary school Author: Ludmila Kadlecová Department: Department of Didactics of Mathematics Supervisor: RNDr. Jarmila Robová, CSc. Supervisor's address: Jarmila.Robova@mff.cuni.cz Abstract: This thesis deals with the metric functions and the extension was the thesis, which deals with the position. Work was created as a web application focused on curriculum stereometry. Application is with a series of interactive applets created in Cabri 3D. The thesis is divided into interpretative part and with examples. Each chapter contains interpretative few simple examples of the practice of subject matter. The largest chapter is chapter 10 Metric design tasks, which include examples of metric problems. These examples are not trivial and are dealt with in several ways for understanding the solution. Keywords: web application, stereometry, Cabri, metric 5

6 Úvod Tato diplomová práce vznikla na Matematicko fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Práce má formu webové aplikace, která je přiložena na CD a bude vystavena na stránkách KDM. Měla by sloužit jako učební pomůcka studentům a učitelům středních škol při výuce stereometrie. Součástí diplomové práce je také několikastránkový výčet webových stránek zabývajících se obdobnou tématikou. Ke každé z těchto stránek je krátké zhodnocení a na konci této kapitoly je shrnující tabulka. Vzhledem k proměnlivosti webových stránek mohlo dojít k jejich zrušení nebo úpravě, hodnocení proto nemusí být aktuální. Stránky vyžadují, aby počítač měl nainstalován pluggin Cabri 3D, který je volně stažitelný na oficiálních stránkách programu Cabri. Všechny aplety jsou díky tomuto programu interaktivní, některé prostorové situace se samy otáčejí pro názornější pochopení např. vzájemných poloh přímek, rovin atd. U jiných náročnějších konstrukcí uživatel může sám hýbat objekty na obrázku, měnit polohy jednotlivých bodů, přímek, rovin tak, jako by pracoval přímo v programu Cabri 3D. Program Cabri 3D je určený pro rýsování prostorových útvarů. Program umožňuje na konstrukci nahlížet z různých úhlů pohledu, nastavit automatické otáčení konstrukce, přidávat na stránku různé průměty a pohledy. Roviny v Cabri 3D jsou znázorněny pouze jako výřezy rovin pomocí rovnoběžníků, což u některých konstrukcí může být zavádějící. Například při pohybu bodem se zdá, že bod již v rovině neleží, ale bod neleží pouze ve znázorněné části roviny. Pro pohyb objektem stačí chytit tento objekt myší a tahem měnit jeho polohu. Pro pohyb kolmo k půdorysně stačí podržet klávesu Shift a táhnout myší. Některé objekty (např. u metrických úloh) jsou závislé na jiných, např. přímka je dána dvěma body. Pak není možné hýbat přímo přímkou, její poloha se dá měnit pouze pohybem bodů, které tuto přímku určují. Tato diplomová práce vznikla rozšířením bakalářské práce s názvem Webová aplikace pro výuku stereometrie, která se zabývala především polohovými vlastnostmi v prostoru. V rámci rozšiřování byly některé kapitoly upraveny a byly přidány příklady (např. řezy nekonvexních těles). Vzhledem k rozsahu vytvořených webových stránek je součástí tištěné verze pouze část zabývající se metrickými úlohami. Navíc nejsou tištěny všechny příklady ani obrázky. V textu jsou u důležitých pojmů odkazy na kapitoly, ve kterých jsou tyto pojmy vysvětleny, tyto odkazy jsou na webu interaktivní. 6

7 Hodnocení nalezených webových stránek V první části své diplomové práce jsem zmapovala situaci na internetu týkající se stránek zabývajících se stereometrií. Zaměřila jsem se na stránky v českém a anglickém jazyce. Využila jsem k tomu nejčastěji používané vyhledávače jako a Ke každé stránce je uvedena její stručná charakteristika a hodnocení. Hodnocení je prováděno na základě několika kriterií. Hlavní kritéria jsou matematická korektnost, dále přehlednost a technické zpracování a výukový přínos stránek. Dále u stránek hodnotím, zda obsahují dynamické prvky, zda jsou pro studenty dostatečně přehledné a stručné, zda obsahují řešené i neřešené příklady. Kritérium obsah hodnotí, jak kvalitně stránky pokrývají učivo gymnázií. Na konci této kapitoly je hodnocení shrnuto v tabulce. Ve sloupcích jsou jednotlivá hodnotící kritéria, v řádcích hodnocené stránky. Použila jsem jednoduchý tříbodový systém: 1 vyhovuje 2 menší nedostatky 3 nevyhovuje 7

8 Webové stránky v českém jazyce Česká Wikipedie Wikipedie při zadání základních klíčových slov z oblasti stereometrie obsahuje krátké definice a popisy. Při zadání pojmu Stereometrie najdeme pouze definici a odkazy na základní geometrické útvary, které se dělí na rovinné a prostorové. Do rovinných útvarů jsou zahrnuté různé křivky a kuželosečky. Do prostorových například Jordanova křivka. Dále zde najdeme informace o tělesech a vzorce pro obsahy a objemy, informace o souměrnostech a základních vztazích v mnohostěnu (např. v kapitole o krychli je informace o stěnových a tělesových úhlopříčkách). Dále můžeme najít články o základních polohách přímek, rovin i přímky a roviny, které jsou však zaměřeny spíše z pohledu analytické geometrie než syntetické. Pro žáky středních škol je Wikipedie vhodná v případě, kdy potřebují najít nějaký konkrétní vztah, nemůže však sloužit jako samostatný studijní materiál. Tyto stránky neobsahují dynamické prvky, pouze hypertextové odkazy. Většina obrázků je pouze černobílá, avšak Wikipedie si neklade za cíl být samostatným studijním materiálem, ale pouze se snaží osvětlit a definovat základní pojmy. Jelikož na tyto stránky může přispívat každý, tak se může stát, že se zde objeví chyby. Proto by studenti neměli tento zdroj informací brát doslova a měli by využít i jiné stránky. Stereometrie v pdf Tento web obsahuje třináctistránkový materiál ve formátu pdf. Jedná se o skripta pojednávající o vzájemných polohách přímek, metrických vztazích v prostoru a tělesech. V kapitole o tělesech je několik řešených příkladů na vzdálenosti a odchylky včetně příliš stručného popisu řešení. Součástí materiálu je i třináct neřešených příkladů spolu 8

9 s výsledky. Celý text je velice stručný, což je vhodné pro studenty, kteří mají s geometrií v prostoru již zkušenosti. Rozhodně tento text není vhodný pro začátečníky. Obrázky jsou černobílé a neobsahují žádné dynamické prvky. Po matematické stránce nemám žádné výtky. Učební text neobsahuje žádné chyby, řešení příkladů jsou stručná a správná. Rovinné řezy hranatých těles a průnik přímky a tělesa Velice rozsáhlá stránka mapující téměř celou geometrii jak středoškolskou, tak vysokoškolskou. Stránka obsahuje dynamické obrázky, pro jejich zobrazení je však nutné mít na počítači lokálně nainstalován VRML prohlížeč. Tento rozšiřující modul je možné jednoduše stáhnout a nainstalovat z odkazu na úvodní stránce. Díky tomuto rozšíření je možné prohlížet kvalitní interaktivní obrázky a krokovat si různé konstrukce. Kapitola Stereometrie je zaměřená na rovinné řezy a průnik přímky s tělesem. V úvodu jsou velice stručně popsány použité pojmy. Chybí zde teoretický úvod, jako vzájemné polohy a uvedení tří základních vět, podle nichž se řezy provádějí. Stránky obsahují šest řešených příkladů na řezy tělesa rovinnou. Řešení příkladů je možné krokovat a interaktivně hýbat s obrázkem. Ovládání je instinktivní, umožňuje konstrukci natáčet z různých stran a měnit velikosti stran zobrazených mnohoúhelníků. Nedá se bohužel měnit poloha bodů ani přímek, čímž je dynamičnost trochu omezena. Nechybí zde ani popis řešení, který je ale vidět hned se zadáním, čímž neumožňuje zkusit nejdříve vlastní řešení. Dále zde chybí neřešené příklady na procvičení. Vzhledem k rozsahu celé práce je však stručnost této jedné kapitoly pochopitelná. Celou práci je navíc možné stáhnout ve formátu pdf lokálně na počítač, či k tisku. 9

10 Matematika Online Velice stručně mapuje středoškolskou matematiku. V sekci Stereometrie jsou pouze zformulovány věty o vzájemných polohách přímek, kolmosti a odchylkách. Naprosto chybí jakékoli vysvětlující obrázky. V kapitole o tělesech jsou pouze napsány vzorečky na obsahy a objemy základních těles a příklady na ně. Řešení příkladů je možné zobrazit, ale příklady jsou velice triviální. Ostatní kapitoly jsou na tom podobně, velice stručné a příklady jsou příliš jednoduché. Jediným dynamickým prvkem na stránkách je možnost zobrazovat si řešení příkladů po kliknutí na tlačítko. Na stránkách se nevyskytují žádné obrázky a pokud nějaké jsou, pak nejsou dynamické a ani nijak názorné. Na stránkách týkajících se stereometrie nejsou žádné matematické chyby, vzhledem ke stručnosti a nedostatku informací však matematická správnost nemůže tento nedostatek vynahradit. Tyto stránky pro studenty středních škol nejsou vhodné, nemohou sloužit jako studijní materiál. 10

11 Diplomová práce o využití Cabri geometrie ve středoškolské geometrii Diplomová práce o využití Cabri geometrie ve výuce na středních školách, která se věnuje prostorové geometrii s využitím Cabri II. Práci je nutné stáhnout lokálně k sobě na počítač. V úvodním souboru je popsána jednoduchá instalace demo verze Cabri II, která je nutná pro správné fungování apletů. Bohužel popsané soubory *.exe, pomocí nichž by mělo být možné program Cabri II nainstalovat a které by podle návodu měly být součástí staženého balíčku, nejsou k dispozici. Uživatel si proto musí sáhnout demo verzi z webu Cabri. Součástí diplomové práce je výukový text formou skript a spousta animací a maker, která si uživatel otevírá přímo v Cabri a může s nimi proto pracovat. Tato práce se věnuje spíše využití Cabri, není tolik orientovaná na žáka a procvičování látky, proto zde nejsou žádné úlohy na procvičování. Přiložené aplety se však mohou využít jako učební pomůcka. Pokud se uživateli nepodaří nainstalovat si Cabri, pak je tento materiál k ničemu, avšak s Cabri je velice užitečný. Obsahuje dynamické obrázky, které se v programu Cabri dají prohlížet a pracovat s nimi. Matematicky jsou tyto stránky v pořádku, nenarazila jsem na žádné nepřesnosti. 11

12 Stereometrie - řezy na čtyřstěnu a jehlanu Stránka zabývající se polohovou geometrií v prostoru. Obsahuje úvodní kapitolu s uvedenými 4 větami, které se používají v řezech těles. Tato kapitola je matematicky správně, avšak je příliš stručná. Navíc Věta 4 se netýká řezů ale pouze shrnuje, jaké vzájemné polohy rovin v prostoru mohou nastat. To nepovažuji za vhodné zavádět jako větu. Na stránce je dále 9 netriviálních příkladů, které hodnotím kladně, avšak řešení je uživateli ihned zobrazeno a obrázek je finální a není interaktivní. Také na řezech jsou použity pouze dvě barvy, a to modrá pro čáry a červená pro body. Celý řez je pak nepřehledný a ve změti čar se dá špatně vyznat. Cabri nabízí velikou škálu barev a umožňuje vytvářet přehlednější obrázky. Stránka nabízí zobrazit si výsledek interaktivně, ale je nutné mít nainstalovanou Javu. Po jednoduché, i když dlouhé instalaci (stahování prvků Javy z internetu), jsou zobrazeny interaktivní obrázky vytvořené v Cabri II. Na stránce se mi nejvíce líbí řešené příklady, které mohou být přínosem pro studenty. Příklady nejsou z těch jednoduchých a studenti si na nich mohou vyzkoušet složitější řezy. 12

13 Fórum odchylka dvou rovin Článek umístěn na Matematickém fóru, zabývající se počítáním odchylek dvou rovin. Celé fórum je věnováno matematice. Chybí zde podrobnější teorie, ale pomocí názorných obrázků je tato partie metrických úloh v prostoru jasná a pochopitelná. Vše je vysvětleno na krychli a jehlanu, vhodné by bylo, kdyby byla použita i jiná tělesa. K jednotlivým příkladům je připojen náznak řešení, ale není moc podrobný. Obrázky, na kterých je látka probíraná, nejsou dynamické. Není možnost si je ani zvětšit. Navíc všechny obrázky jsou černobílé a nejsou tedy moc přehledné a názorné. Na konci kapitoly jsou příklady na procvičování, u nichž si můžeme po kliknutí na odkaz zobrazit výsledek, avšak u těchto příkladů chybí popis řešení, zobrazit si můžeme pouze výsledek, což může studentovi znesnadnit pochopení. 13

14 Webové stránky ve slovenském jazyce Výučba planimetrie a stereometrie pomocou dynamických geometrických systémov (Cabri Geometry II, Cabri 3D v2) na strednej škole Tato práce má za úkol motivovat učitele na středních školách nejvíce k tomu, aby využívali možností, které nám Cabri nabízí ve výuce. Práce není postavená jako učební text pro studenty. Součástí práce jsou motivační úlohy, které ukazují, jak se dá Cabri využít při počítání a vytváření konstrukcí. Text obsahuje screenshoty z Cabri. Bylo by možná vhodnější vložit do stránky přímo Cabri aplety, aby si učitelé (případně i studenti) mohli zkusit, jak Cabri umožňuje interaktivní ovládání konstrukcí, což je jedna z největších předností tohoto programu. Tím je text poněkud omezen. Na statickém obrázku si učitel, který Cabri nezná, nemůže udělat správnou představu o možnostech tohoto programu. Celkově však hodnotím tuto stránku velice kladně. Použité příklady jsou názorné a mohly by se použít i ve výuce. Navíc rozpracovaná řešení jsou názorná a srozumitelně popsaná. Pokud někdo před přečtením této práce váhal, jestli Cabri používat, tak tyto stránky ho jistě přesvědčí o výhodách programu Cabri. Součástí této práce je i výzkum prováděný na studentech, kteří Cabri použili, a můžeme vidět, že více než osmdesát procent studentů hodnotí tento program kladně. Tato studie je podle mého názoru užitečná a mohla by inspirovat učitele matematiky v prosazování používání ITC ve výuce matematiky. Studentský projekt gymnázia Pavla Horova Stránky provedené jako školní projekt na Gymnáziu Pavla Horova v Michalovicích se zabývá řezy těles, odchylkami přímek a rovin a souměrnostmi v prostoru. V každé kapitole 14

15 je krátký úvod a pak následuje několik příkladů. Ke každému příkladu se dá zobrazit interaktivní řešení. Na každém řešení se dá některými prvky pohybovat. V případě řezů je například možno hýbat z jedním bodů určujících rovinu řezu a kontrolovat, jak se celá konstrukce mění. Řešení se nedají krokovat, avšak u každého je popis postupu vytváření konstrukce. Příkladů na stránkách není mnoho, ale jsou pěkně názorné a kromě krychle a jehlanu je zde i řez mnohostěnem, jehož podstava je pravidelný šestiúhelník. Celé stránky jsou velice pěkně provedené. V kapitolách trochu chybí nějaký teoretický úvod, avšak příklady jsou rozumně zvolené a líbí se mi interaktivnost. Jediné omezení je, že konstrukce nelze natáčet ani krokovat. I přesto je tato stránka z těch kvalitnějších materiálů. Webové stránky v anglickém jazyce Anglická Wikipedie Na anglické Wikipedii se pod heslem Stereometry nachází pouze základní definice klíčového slova Stereometry a vysvětlení základních pojmů. Stránka však obsahuje odkazy na další kapitoly, které se prostorovou geometrií zabývají. Můžeme se dozvědět základní informace o tělesech, rovinách, projektivní geometrii atd. Tyto kapitoly považuji za vhodné, zejména pokud potřebujeme nějakou konkrétní informaci. Nejsou vhodné pro studium. Na Wikipedii nenajdeme žádné příklady, ani nic podobného. Jsou vhodné pro rychlé získávání základních informací. Tyto stránky jsou zaměřeny zejména na analytickou geometrii. Například v kapitole o rovinách jsou podrobně popsány analytická vyjádření rovin v prostoru. Avšak o vzájemných polohách rovin v prostoru je zde jen krátká zmínka s jedním obrázkem. 15

16 Stejně jako česká Wikipedie ani ta anglická neobsahuje jiné dynamické prvky než hypertextové odkazy. Avšak Wikipedie nemá sloužit jako studijní materiál, ale spíše jako pomůcka, kde můžeme nalézt definice a základní vztahy. Mathsnet Stránka mapuje středoškolskou matematiku. V kapitole o prostorové geometrii se zabývá především tělesy a jejich popisem. Na stránkách mají být interaktivní prvky, pro jejichž zobrazení je potřeba mít nainstalovaný java plugin. Tento modul je možné stáhnout přes odkaz na stránce, avšak není freeware a bez něj není možné obrázky zobrazovat ani staticky. Díky tomu je stránka pouhým textem bez jakýchkoli obrázků. Na stránkách se nevyskytují ani žádné příklady nebo podrobnější teorie. Celé stránky jsou navíc velice nepřehledné. Stránka je rozdělena na rámy, které spolu nesouvisí a je těžké se na stránkách orientovat. Celkově nejsou tyto stránky vhodné pro studenty. 16

17 Mathworld Stránka je koncipována podobně jako Wikipedie, avšak pouze o matematice. Mapuje několik oblastí matematiky jako je algebra, analýza, geometrie, teorie čísel a další. V kapitole Geometrie si můžeme opět volit podle klíčových slov, jaká oblast geometrie nás zajímá atd., dokud se nedostaneme ke konkrétnímu pojmu. Tyto stránky jsou vhodné, pokud nás zajímá jeden konkrétní pojem a chceme se něco dozvědět. Např. pokud si prohlédneme pojem rovina, najdeme zde komplexní informace o rovinách. Stránka není vhodná pro středoškolské studenty, je vhodnější pro vysokoškoláky. Stránka neobsahuje interaktivní obrázky ani žádné jiné interaktivní prvky. Navíc pokud nás něco zajímá, může být obtížné hledaný pojem nalézt, jelikož jsou stránky lehce nepřehledné. 17

18 Bymath Tato stránka mapuje několik oblastí matematiky od algebry, přes trigonometrii a geometrii až k aritmetice a analytické geometrii. Oddíl geometrie je dále rozdělen na planimetrii a stereometrii a každý oddíl má několik kapitol. Stereometrie se věnuje několika oblastem, a to odchylkám a projekcím do roviny, tělesům, rovinám a symetriím. Pro českého středoškolského studenta je tato látka nedostačující a nemohla bych jí doporučit. Jednotlivé kapitoly nemají žádnou návaznost a skáče se od tématu k tématu. A i jednotlivé kapitoly nejsou dostatečně obsáhlé. Stránka neobsahuje žádné příklady a obrázky jsou pouze černobílé a nejsou dynamické. Celá stránka je pouze statická. Podle mého názoru by stránka nemohla sloužit jako učební text. Mathforum Stránky v angličtině zabývající se geometrií v rovině i v prostoru. Obsahují kapitoly od trojúhelníků, vlastností kružnic a pravidelných n-úhelníků, elipsy a jiných kuželoseček až po pravidelná tělesa, roviny, elipsoidy. Každá z kapitol obsahuje krátký úvod o tématu s obrázkem a pak výčet vzorečků, jež se ke kapitole vztahují. Celé stránky jsou velice stručné a jsou podobné principu matematických tabulek. Díky tomu nemohou studentům sloužit jako učební text. Obrázky jsou pěkné a barevné, avšak nejsou interaktivní a stránky neobsahují ani jiné interaktivní prvky kromě odkazů. Pro vyhledání základních vztahů by však stránky postačovaly a jsou velice přehledné. Stránky neobsahují žádné příklady ani žádný další vysvětlující text o použití nebo odvození daných vzorců. 18

19 Shrnutí Přes standardní vyhledávače jako a jsem se pokusila zmapovat situaci týkající se českých a anglických (jedné slovenské) stránek zabývajících se stereometrií. Co se týče stránek v češtině, tak je situace uspokojivá, i když chybí nějaký komplexní materiál zabývající se touto problematikou. Nejlépe bych hodnotila práci Rovinné řezy hranatých těles a průnik přímky a tělesa Tento výukový materiál splňuje téměř všechny požadavky. Nechybí zde ani dynamické prvky. Jediným nedostatkem je nedostačující obsah. Kapitola o stereometrii není příliš podrobně zpracovaná. Pokud by student potřeboval zjistit pouze nějaké konkrétní pojmy, pak je možné použít také Wikipedii. Dále bych ještě zmínila přínos stránek Stereometrie - řezy na čtyřstěnu a jehlanu kde velice kladně hodnotím především příklady a použití dynamických prvků. Co se týče stránek v anglickém jazyce, je situace velice špatná. V rámci matematických výukových stránek se kapitola stereometrie téměř nevyskytuje a pokud ano, pak se objevuje pár nepřehledných zmínek. Žádné stránky se stereometrií, potažmo geometrií v prostoru, hlouběji nezabývají. Je zde možné pouze v rámci anglické Wikipedie, případně v rámci stránky Mathworld, najít definice základních pojmů a vztahů. Za zmínku stojí jistě i stránka slovenského studenta gymnázia který na svých stránkách zmapoval několik kapitol o geometrii v prostoru a na užitečných příkladech použil i dynamické prvky podobné mým stránkám. 19

20 Bymath Mathforum Mathworld Mathsnet Studentský projekt gymnázia Pavla Horova Výučba planimetrie a Stereometrie Forum odchylka dvou rovin Jméno stránky Matematická správnost Didaktické zpracování Technické zpracování Stereometrie řezy na čtyřstěnu a jehlanu Diplomová práce o využití Cabri geometrie ve výuce stereometrie Matematika Online Rovinné řezy hranatých těles a průnik přímky a tělesa Stereometrie v pdf Česká Wikipedie Dynamičnost Obsah

21 V rámci tabulky jsou jednotlivé stránky hodnoceny tříbodovým systémem. Ve sloupcích jsou jednotlivá hodnotící kritéria, v řádcích hodnocené stránky. Použila jsem jednoduchý tříbodový systém. 1 vyhovuje 2 menší nedostatky 3 nevyhovuje 21

22 Webové stránky Pojmy a značení A, B, C... body A, B, C... a, b, c... přímky a, b, c... α, β, γ,... roviny α, β, γ,... (popř. úhly α, β, γ,...) Polohové vlastnosti p q p = q rovnoběžnost přímek p a q, přímky p a q jsou navzájem rovnoběžné, stručně budeme říkat rovnoběžné totožnost přímek p a q, speciální případ rovnoběžnosti p q různoběžnost přímek p a q p q mimoběžnost přímek p a q α β α = β rovnoběžnost rovin α a β totožnost rovin α a β, speciální případ rovnoběžnosti α β různoběžnost rovin α a β A p bod A leží na přímce p A p bod A neleží na přímce p A α bod A leží v rovině α A α bod A neleží v rovině α p α přímka p leží v rovině α p α přímka p neleží v rovině α tři nekolineární body tři navzájem různé body neležící v jedné přímce 22

23 Metrické vlastnosti φ = pq φ je odchylka přímek p a q p q přímka p je kolmá k přímce q φ = pα φ je odchylka přímky p a roviny α p α přímka p je kolmá k rovině α φ = αβ α β AB Ap Aα pq pα αβ ABC φ je odchylka rovin α a β rovina α je kolmá k rovině β vzdálenost bodů A a B vzdálenost bodu A od přímky p vzdálenost bodu A od roviny α vzdálenost přímek p a q vzdálenost přímky p od roviny α vzdálenost rovin α a β trojúhelník ABC ABC A B C trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem A B C S AB S ABCD střed úsečky AB střed čtverce ABCD 23

24 Úvod k metrickým úlohám Metrickými vztahy mezi útvary v prostoru jsou např. odchylky a vzdálenosti těchto útvarů. Při zjišťování metrických vztahů přímek a rovin využíváme shodností úseček a úhlů. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny a odchylku přímek a rovin definujeme pomocí planimetrických pojmů odchylka dvou přímek a délka úsečky v rovině. Nejprve si připomeneme základný vztahy, kterých budeme dále využívat. Odchylka dvou přímek v rovině Odchylkou dvou přímek v rovině rozumíme velikost nulového, ostrého nebo pravého úhlu, který spolu přímky svírají. V případě, že přímky jsou rovnoběžné, je jejich odchylka rovna 0. Vzdálenost dvou bodů v rovině Vzdáleností dvou bodů A, B rozumíme délku úsečky AB, kterou označíme AB. Vzdálenost dvou bodů A, B je nulová, AB = 0, právě tehdy, když platí A=B. Počítání vzdáleností následujících objektů v prostoru vždy převádíme na vzdálenost dvou bodů. Vzdálenost bodu od přímky v planimetrii Vzdáleností bodu A od přímky p v rovině rozumíme nejmenší ze všech vzdáleností bodu A od jednotlivých bodů přímky p. Bodem A vedeme kolmici k přímce p, dostaneme průsečík bod A, vzdálenost bodu A od přímky p je stejná jako vzdálenost bodů AA. Jestliže bod A leží na přímce p, pak je vzdálenost bodu od přímky rovna nule. Při počítání vzdáleností a odchylek objektů v prostoru budeme využívat shodnosti trojúhelníků a sinové a kosinové věty. Shodnosti trojúhelníků v rovině Trojúhelníky stejně jako jiné útvary jsou shodné právě tehdy, lze-li jeden na druhý přemístit tak, že se kryjí. V případě trojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny strany a všechny úhly. Zapis ABC A'B'C ' znamená, že ABC a A'B'C ' jsou shodné. 24

25 Při zjišťování shodnosti trojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stran a zároveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna některá z postačujících podmínek shodnosti trojúhelníků. Ty jsou formulovány v tzv. větách o shodnosti trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují: ve všech třech stranách (věta sss) ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném (věta sus) ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu) 25

26 v jedné straně a dvou úhlech k ní přilehlých (věta usu) Sinová věta V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o obecných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí: Neboli: Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní. Věta se používá zejména v následujících dvou případech: Máme dány velikosti dvou úhlů trojúhelníka a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu, který nesvírají, a chceme zjistit velikosti zbývajících úhlů. Kosinová věta V trigonometrii je kosinová věta důležité tvrzení o obecných trojúhelnících. Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:. Větu nejčastěji využijeme v případě, kdy máme dány dvě strany trojúhelníku i úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany. Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta. Pokud je úhel γ pravý, pak cosγ = 0 a tudíž c 2 = a 2 + b 2. 26

27 Pythagorova věta Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami). Formálně Pythagorovu větu v pravoúhlém ABC s přeponou c a odvěsnami a, b vyjadřuje tato rovnice: Věta umožňuje dopočítat délku třetí strany pravoúhlého trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran. Euklidovy věty Euklidova věta o výšce Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C a se stranami a, b, c právě tehdy, když kde c a, c b jsou délky úseků přepony rozdělené patou P c výšky v c na stranu c. Euklidova věta o odvěsně Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C a se stranami a, b, c právě tehdy, když 27

28 28

29 Odchylky V této kapitole se budeme zabývat odchylkami přímek a rovin. Kapitola 8.1 Odchylky dvou přímek Kapitola 8.2 Odchylky dvou přímek Kapitola 8.3 Odchylky dvou rovin Na konci každé z následujících kapitol jsou jednoduché příklady pro zopakování probrané látky aplikované na krychli, jehlanu a pětibokém hranolu. V Kapitole 10 jsou pak složitější příklady vyžadující konstrukční řešení. Při počítání příkladů budeme využívat následujících znalostí: Čtverec Ve čtverci s délkou stran a je odchylka dvou sousedních stran stejně jako odchylka jeho úhlopříček rovna 90. Odchylka úhlopříčky od strany čtverce je 45. Rovnostranný trojúhelník V rovnostranném trojúhelníku je odchylka dvou stran rovna 60 (součet úhlů trojúhelníka je 180 ). Odchylka výšky trojúhelníka a strany, na kterou jí vedeme, je rovna 90, což vyplývá již z definice výšky. A nakonec odchylka výšky a přilehlé strany je rovna

30 Pravidelný čtyřboký jehlan V pravidelném čtyřbokém jehlanu, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky, platí, že odchylka výšky jehlanu a úhlopříčky podstavy je 90, odchylka boční hrany a podstavy, stejně jako odchylka výšky a boční hrany je 45. Pravidelný pětiúhelník V pravidelném pětiúhelníku platí, že odchylka dvou sousedních stran je rovna 108. Na obrázku jsou vyznačeny další odchylky přímek v pětiúhelníku, které budeme využívat při počítání příkladů. 30

31 31

32 Odchylky dvou přímek Odchylka dvou přímek závisí na jejich vzájemné poloze. Z Kapitoly 5.1 již víme, že dvě přímky v prostoru mohou být buď totožné, rovnoběžné různé, různoběžné nebo mimoběžné. Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost každého z ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají. Odchylka dvou rovnoběžných různých i totožných přímek je 0. Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. Mimoběžky se neprotínají. Abychom změřili jejich odchylku, musíme je dostat k sobě a přitom zachovat směr (ten zachovávají rovnoběžky). Pomocí rovnoběžek převedeme mimoběžky na různoběžky a pak postupujeme jako u různoběžek. Obvykle přisuneme jednu přímku k druhé a tím získáme zkoumané různoběžky. Je-li φ odchylka dvou přímek p, q, píšeme φ = pq, φ <0,90 >. Kolmost dvou přímek Dvě přímky jsou k sobě kolmé, je-li jejich odchylka 90. Vzhledem k uvedené definici odchylky mimoběžných přímek víme, že v prostoru mohou být kolmé i dvě mimoběžky. Dvě úsečky jsou kolmé právě tehdy, když leží na kolmých přímkách. Kolmost přímek p, q značíme p q. V našich příkladech budeme většinou počítat odchylku přímek, které se nacházejí v krychli nebo jehlanu. My už víme z Kapitoly 5.1, že v prostoru mohou nastat čtyři případy vzájemné polohy přímek: totožnost, rovnoběžnost, různoběžnost a mimoběžnost. Je jasné, že v případě totožných a rovnoběžných přímek je jejich odchylka 0. V případě různoběžných a mimoběžných přímek řešení není tak jednoduché. Obvykle musíme najít nějaký trojúhelník, jehož strany svírají hledaný úhel. Zde využíváme vět z Kapitoly 7. Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku přímek AB a EG. Přímky AB a EG jsou mimoběžné. Podle definice odchylky pro mimoběžné přímky musíme převést případ odchylky mimoběžek na odchylku různoběžek. Můžeme například bodem E vést rovnoběžku k přímce AB. Odchylka přímek AB a EG je stejná jako odchylka přímek EG a EF. Tato odchylka je Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku přímek AH a CF. Přímky AH a CF jsou mimoběžné. Leží v protějších bočních stěnách krychle. K přímce AH můžeme najít ve stěně BCFG rovnoběžnou přímku BG. Přímky CF a BG jsou k sobě kolmé, 32

33 neboť na nich leží úhlopříčky čtverce. Odchylka daných mimoběžek je tedy Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku přímek AH a BE. Přímky AH a BE jsou mimoběžné. Například bodem B můžeme vést rovnoběžku k přímce AH. Odchylka daných mimoběžek je stejná jako odchylka přímek BE a BG. Trojúhelník BGE je rovnostranný, odchylka je tedy Máme dánu krychli ABCDEFGH. Porovnejte odchylky dvojic přímek AF, CH a BE, DG. Odchylky obou dvojic přímek na krychli jsou stejné, a to 90. Na obrázku je jedna dvojice zobrazena modrou barvou a druhá červenou. Vidíme, že přímky ve dvojici jsou mimoběžné. Odchylka přímek AF a CH je stejná jako odchylka přímek AF a BE, totéž můžeme uplatnit pro druhou dvojici. 5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Bod S je středem podstavy. Určete odchylku přímek BC a SV. Přímky jsou mimoběžné. Přímku BC můžeme posunout do středu podstavy S a díky tomu zjistíme, že odchylka daných přímek je Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Bod S je středem podstavy. Určete odchylku přímek AB a CV. Přímky jsou mimoběžné, odchylka přímek AB a CV je stejná jako odchylka přímek CV a CD. Tato odchylka je rovna vnitřnímu úhlu rovnostranného trojúhelníka, tedy Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Bod S je středem podstavy. Určete odchylku přímek AD a CV. Přímky jsou mimoběžné. Jejich odchylka je rovna odchylce přímek CV a BC a ta je rovna velikosti jednoho z vnitřních úhlů rovnostranného trojúhelníka, a je tedy Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylky přímek AB a DI. Přímky AB a DI jsou mimoběžné. K přímce DI vedeme rovnoběžku bodem B, přímku BG. Odchylku tím převedeme na přímku různoběžek. Odchylka je Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylky přímek AB a HJ. Přímky AB a HJ leží v jedné rovině. Podle Kapitoly 4 víme, že dvě rovnoběžné přímky nám určují jednoznačně rovinu. Odchylka rovnoběžných přímek je Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Určete odchylky přímek AD a CG. Zadané přímky jsou mimoběžné, k přímce AD můžeme vést rovnoběžku bodem B, přímku 33

34 BC. Přímky BC a CG leží v jedné rovině a jsou různoběžné, jejich odchylka je 45, a to je i odchylka zadaných přímek. 34

35 Odchylka přímky a roviny Z Kapitoly 5.2 již víme, že v prostoru mohou nastat tři různé vzájemné polohy přímky a roviny. Buď přímka leží v rovině, nebo je s rovinou rovnoběžná a nebo jsou různoběžné. Odchylka přímky a roviny je rovna nejmenší z odchylek přímky a libovolné přímky roviny. Pokud není přímka kolmá k rovině, je odchylka přímky p a roviny α rovna odchylce přímky p a průsečnice q dané roviny s rovinou β, která obsahuje přímku p a je kolmá k rovině α. Když počítáme odchylku přímky a roviny, musíme přímkou proložit rovinu kolmou na zadanou rovinu. Odchylka zadané přímky a průsečnice rovin je potom hledaná odchylka (viz obr). Tímto postupem převedeme problém odchylky přímky a roviny na již známý problém odchylky dvou přímek (Kapitola 8.2). Je li φ odchylka přímky p a roviny α, značíme φ = pα, φ <0,90 >. Kolmost přímky a roviny Je-li přímka kolmá k rovině, pak je kolmá ke každé přímce této roviny. Kritérium kolmosti Přímka je kolmá k rovině, je-li kolmá k dvěma různoběžkám této roviny. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu. Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmou přímku. 35

36 Všechny roviny kolmé k téže přímce jsou navzájem rovnoběžné. Všechny přímky kolmé k téže rovině jsou navzájem rovnoběžné. Je li přímka p kolmá k rovině α, píšeme p α, je odchylka φ = 90. Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku přímky EF a roviny ABC. Přímka EF je s rovinou ABC rovnoběžná podle kritéria rovnoběžnosti přímek a rovin, viz Kapitola 5.2. Její odchylka od dané roviny je tedy 0 dle definice odchylky přímky a roviny. 2. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku přímky FB a roviny ABC. Přímka FB je s rovinou ABC různoběžná, společným bodem je bod B. Přímky AB a BC jsou různoběžné, leží v rovině ABC a jsou kolmé k přímce FB. Podle kritéria o kolmosti přímek a rovin vyplývá, že přímka FB je kolmá k rovině ABC. Jejich odchylka je Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímky AH od roviny BEF. Přímka AH je s rovinou BEF různoběžná, společným bodem je bod A. Přímkou AH proložíme rovinu kolmou k zadané rovině, rovinu ADH, což je boční stěna krychle. Z trojúhelníka AHE určíme odchylku. Trojúhelník AHE je pravoúhlý a rovnoramenný, tudíž je odchylka Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímky AC a roviny BDH. Přímka AC je kolmá k rovině BDH, jelikož je kolmá k jejím dvěma různoběžným přímkám, např. BD a S ABCD S EFGH. Odchylka přímky AC od roviny BDH je Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Bod S je středem podstavy. Určete odchylku přímky BV a roviny dolní podstavy. Přímka BV je s rovinou dolní podstavy různoběžná. Přímkou vedeme rovinu kolmou k rovině dolní podstavy, rovinu BVD. Odchylku přímky a roviny převedeme na odchylku dvou přímek, a to přímky BV a přímky BD. Trojúhelník BVD je pravoúhlý (s pravým úhlem při vrcholu V) a rovnoramenný. Odchylka je proto Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Určete odchylku přímky AD a roviny BCV. Přímkou AD vedeme rovinu kolmou k rovině BCV. Touto rovinou je rovina boční stěny ADV, viz příklad 5. Z obrázku je jasné, že odchylka přímky AD od průsečnice rovin je 0, jelikož jsou přímky rovnoběžné. 36

37 7. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Určete odchylku přímky BV a roviny PQV, kde bod P je střed hrany AD a bod Q je střed hrany BC. Zadaná přímka a rovina jsou různoběžné. Přímkou vedeme rovinu kolmou k zadané rovině (Kapitola 8.3, tou je rovina boční stěny BCV. Průsečnicí těchto rovin je QV. Hledanou odchylku tak najdeme jako odchylku přímek BV a QV, což je polovina velikosti úhlu BVC (úhel BVC má velikost 60, je vnitřním úhlem rovnostranného trojúhelníka), tedy Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylku přímky BD a roviny AFG. Zadaná přímka a rovina jsou různoběžné. Přímkou BD vedeme rovinu kolmou k zadané rovině. Touto rovinou je rovina dolní podstavy hranolu. Průsečnicí rovin je přímka AB. Hledaná odchylka je rovna odchylce přímek BD a AB. Z Kapitoly 8 určíme, že hledaná odchylka je rovna 2/3 velikosti vnitřního úhlu pětiúhelníka, tedy Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylku přímky DH a roviny BEG. 10. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Určete odchylku přímky BF a roviny horní podstavy hranolu. Přímka BF je s rovinou FGH různoběžná. Rovina procházející přímkou BF kolmá k rovině horní podstavy je rovina ABG. Hledaná odchylka je rovna odchylce přímek BF a FG. Z trojúhelníka BGF určíme ochylku přímek BF a GF a ta je rovná hledané odchylce

38 Odchylky dvou rovin Z Kapitoly 5.3 víme, že v prostoru mohou dvě roviny být buď totožné, rovnoběžné nebo různoběžné. Odchylka dvou rovin je rovna odchylce průsečnic p, q těchto rovin s třetí rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Odchylku dvou různoběžných rovin můžeme zjištit tak, že zvolíme bod A na jejich průsečnici p a vedeme jím ke každé z rovin kolmici k průsečnici p. Odchylka těchto kolmic je hledaná odchylka rovin. 38

39 Jsou li roviny rovnoběžné, pak je jejich odchylka 0. Je-li φ odchylka rovin α a β, zapisujeme φ = αβ, φ <0,90 >. Jsou li roviny α a β na sebe kolmé, α β, je αβ = 90. Jsou li roviny α a α a také β a β rovnoběžné, pak α β = αβ. Kolmost dvou rovin Dvě roviny jsou k sobě kolmé, jestliže je jejich odchylka rovna 90. Dvě roviny jsou k sobě kolmé, obsahuje-li jedna z nich přímku, která je kolmá k druhé rovině. Uvedeme dva způsoby, jak určit odchylku dvou různoběžných rovin α a β. 1. způsob 1. Sestrojíme průsečnici p rovin α a β. 2. Sestrojíme rovinu γ kolmou na p. Z kritéria kolmosti dvou rovin je jasné, že je tato rovina kolmá na roviny α a β. 3. Sestrojíme průsečnici a rovin α a γ a průsečnici b rovin β a γ. 4. Odchylka φ přímek a, b je odchylkou rovin α a β. 2. způsob 1. Libovolným bodem M vedeme kolmici n k rovině α. 2. Stejným bodem M vedeme kolmici m k rovině β. 3. Odchylka φ přímek n, m je odchylkou rovin α a β. 39

40 Pro libovolné přímky p, q a libovolné roviny α, β platí: Je li p α a q α, je p q. Je li p α a q p, je q α. Je li α p a β p, je α β. Je li p α a α β, je p β. Dále platí Jestliže α β, pak pα = pβ Jestliže p q, pak pα = qα. Jestliže α β a současně p q, pak je pα = pβ = qα = qβ. Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin BCD a FGH. Rovina BCD je rovinou dolní podstavy, rovina FGH rovinou horní podstavy krychle. Roviny jsou rovnoběžné, jejich odchylka je proto Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ABF a EGH. Rovinz jsou různoběžné. Na průsečnici daných rovin, přímce EF, zvolíme bod, např. vrchol E. Tímto bodem, podle druhého způsobu, vedeme ke každé rovině přímku kolmou k průsečnici. K rovině ABF vedeme přímku AE, k rovině EGH přímku EH. Odchylka zadaných rovin se rovná odchylce přímek AE a EH, tyto přímky jsou k sobě kolmé. Odchylka zadaných rovin je Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACG a BDH. Roviny jsou různoběžné. Průsečnicí rovin ACG a BDH je přímka S ABCD S EFGH. K této přímce povedeme k oběma rovinám kolmice. K rovině ACG přímku AC a k rovině BDH přímku BD. Odchylka zadaných rovin je rovna odchylce přímek AC a BD, a ta je Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACG a BCF. Roviny ACG a BCF jsou různoběžné, jejich průsečnicí je přímka CG. Na přímce CG si zvolíme bod G a vedeme jím kolmice k zadaným rovinám. Odchylka těchto přímek je 45. Odchylka roviny ACG a BCF je Máme dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Určete odchylku rovin ACV a roviny podstavy jehlanu. Na řešení příkladu použijeme 2. způsob řešení. Zvolíme si libovolný bod, jímž vedeme 40

41 kolmice k oběma rovinám, například střed podstavy. K rovině ACV vedeme kolmici BD, k rovině ABC kolmici VS ABCD. Odchylka zadaných rovin se rovná odchylce získaných přímek, ta je Máme dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Určete odchylku rovin ACV a BDV. Příklad vyřešíme pomocí 1. způsobu. Sestrojíme průsečnici rovin, přímku VS ABCD. Sestrojíme rovinu komou na tuto přímku, v našem příkladě rovinu podstavy jehlanu. Sestrojíme průsečnice zadaných rovin s rovinou podstavy, tedy přímky AC a BD. Odchylka zadaných rovin se rovná odchylce těchto přímek. Ta je Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylku rovin CDI a BEG. K oběma rovinám povedeme daným bodem, např. vrcholem F, kolmice. Z obrázku vidíme, že kolmice jsou totožné. Odchylka přímek je rovna 0, stejně jako odchylka zadaných rovin. Roviny jsou rovnoběžné ( Kapitola 5.3). 8. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete odchylku rovin AEJ a DIJ. Zadané roviny jsou různoběžné s průsečnicí EJ. Podle prvního způsobu vedeme k přímce EJ libovolným bodem rovinu kolmou, takovou rovinou je například rovina horní podstavy FGH. Průsečnicemi roviny FGH se zadanými rovinami AEJ a DIJ jsou přímky FJ a IJ. Tyto přímky svírají úhel o velikosti vnitřního úhlu pětiúhelníku, ten víme, že je 108. Odchylka zadaných roviny je proto rovna = 72 (φ <0,90 >). 41

42 Vzdálenosti V této kapitole se budeme zabývat vzdálenostmi bodů, přímek a rovin. Kapitola je rozdělena do následujících kapitol: Kapitola 9.1 Vzdálenost bodu od přímky Kapitola 9.2 Vzdálenost bodu od roviny Kapitola 9.3 Vzdálenost dvou přímek Kapitola 9.4 Vzdálenost přímky a roviny Kapitola 9.5 Vzdálenost dvou rovin Na konci každé z následujících kapitol jsou jednoduché příklady pro zopakování probrané látky aplikované na krychli, jehlanu a pětibokém hranolu. V Kapitole 10 jsou pak složitější příklady vyžadující konstrukční řešení. Při počítání příkladů na vzdálenosti budeme využívat následujících znalostí: Čtverec Délka úhlopříčky čtverce o straně a je rovna druhé odmocnině délky jeho strany, což plyne z Pythagorovy věty (Kapitola 7). Rovnostranný trojúhelník Výška rovnostranného trojúhelníka o straně a je z Pythagorovy věty (Kapitola 7) rovna: 42

43 Pravidelný čtyřboký jehlan V pravidelném čtyřbokém jehlanu, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky platí, že tělesová výška je rovna: Výška je spočítána pomocí Pythagorovy věty (Kapitola 7) v AS ABCD V. Pravidelný pětiúhelník V pravidelném pětiúhelníku platí následující vztahy: 43

44 Vzdálenost d můžeme spočítat pomocí sinové věty (Kapitola 7) v GHI. Vzdálenost e pomocí Pythagorovy věty v GS IJ J a nakonec délku f pomocí Pythagorovy věty v FS GJ J. 44

45 Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu od přímky v prostoru můžeme určit jako vzdálenost bodu od přímky v rovině, neboť bod a přímka určují rovinu, tento bod nesmí ležet na přímce, jinak by určovaly nekonečně mnoho rovin). Vzdálenost bodu A od přímky p je nejmenší ze všech vzdáleností bodu A od jednotlivých bodů přímky p. Vzdálenost bodu A od přímky p značíme Ap. Je li A p, je Ap = 0. Vzdálenost bodu od přímky převádíme na vzdálenost dvou bodů a určujeme délku úsečky dané těmito body. Z definice vzdálenosti bodu od přímky vyplývá, že vzdálenost bodu A od přímky p je délka úsečky AP, kterou získáme tak, že daným bodem A vedeme kolmici k k přímce p v rovině Ap, bod P (pata kolmice) je průsečík přímek p a k. Platí, že Ap = AP. Stejně jako v předchozích kapitolách následuje několik příkladů na procvičení vzdáleností bodů a přímek. Vzhledem k tomu, že všechny příklady využívají převodu vzdálenosti bodu od přímky na případ určování vzdáleností dvou bodů, nejsou zde zahrnuty příklady na vzdálenost dvou bodů. 45

46 Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost bodu C od přímky AE. Bod C neleží na přímce AE, proto jimi můžeme proložit rovinu ACE. Vrcholem C vedeme kolmici ležící v rovině ACE k přímce AE, tou je úhlopříčka dolní podstavy, úsečka AC. Vzdálenost bodu od přímky můžeme převést na vzdálenost dvou bodů a to vrcholu C a vrcholu A. Z trojúhelníka ABC určíme pomocí Pythagorovy věty, že vzdálenost je rovna Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost bodu B od přímky AC. Bodem B vedeme v rovině ABC kolmici BD k přímce AC. Vzdálenost bodu B od přímky AC je stejná jako vzdálenost bodu B od bodu S AC, a ta je rovna polovině úhlopříčky čtverce což je. 3. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost bodu C od přímky FH. Bod C a přímka FH nám jednoznačně určují rovinu CFH. Vedeme-li bodem C kolmici v této rovině k přímce FH, dostaneme pravoúhlý trojúhelník CS ABCD S EFGH. Z něho můžeme určit pomocí Pythagorovy věty hledanou vzdálenost bodů C a S EFGH, která je Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost bodu F od přímky BC. Bodem F a přímkou AB proložíme rovinu BCF. Vedeme-li bodem F kolmici ležící v této rovině k přímce BC, dostaneme přímku BF. Z obrázku vidíme, že hledaná vzdálenost je vzdálenost bodů B a F a je rovna délce hrany a tedy a. 5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost bodu D od přímky AB. Snažíme se převést (stejně jako v předchozích příkladech) vzdálenost bodu od přímky na vzdálenost dvou bodů. Vedeme bodem D kolmici k přímce AB v rovině ABD. Průsečík je vrchol A. Hledaná vzdálenost je rovna vzdálenosti bodů A a D a je rovna a. 6. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost vrcholu V od přímky AB. 46

47 Bodem V vedeme kolmici v rovině ABV k přímce AB. Průsečíkem je bod S AB. Hledaná vzdálenost bodu a přímky je stejná jako vzdálenost bodů S AB,V. Z trojúhelníka BVS AB a pomocí Pythagorovy věty (Kapitola 7) určíme hledanou vzdálenost VS AB, která je rovna. 7. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost vrcholu B od přímky DV. Bodem B vedeme v rovině BDV kolmici k přímce DV. Touto přímkou je přímka BV, neboť trojúhelník DBV je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu V, což plyne z toho, že stěny jehlanu jsou rovnostranné trojúhelníky. Vzdálenost bodu B od přímky DV je stejná jako vzdálenost bodu B a bodu V a ta je rovna a. 8. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost bodu A od přímky FJ. Vzdálenost bodu A od přímky FJ je stejná jako vzdálenost bodů F a A a ta je rovna délce hrany, tedy a. 9. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost bodu D od přímky BG. Bod D a přímka BG určují rovinu, v této rovině vedeme kolmici bodem D k přímce BG. Kolmicí je přímka DB. Vzdálenost tak převedeme na určení délky úsečky DB. Z Kapitoly 9 víme, že tato délka je rovna. 47

48 Vzdálenost bodu od roviny Pravoúhlý průmět bodu A do roviny α je pata kolmice A spuštěná z bodu A na rovinu α. Vzdálenost bodu A od roviny α je nejkratší vzdáleností bodu A a libovolného bodu roviny α. Z uvedeného plyne, že vzdálenost bodu A od roviny α je vzdálenost bodu A a jeho pravoúhlého průmětu A do roviny α. Tuto vzdálenost značíme Aα. Je li A Aα = 0. α, pak je Pomocí vzdálenosti bodu od roviny lze vyslovit další kritéria rovnoběžnosti přímky a roviny a rovnoběžnosti dvou rovin. Přímka p je rovnoběžná s rovinou α, jestliže lze na přímce p najít dva různé body ležící v témže poloprostoru ohraničeném rovinou α, které mají od roviny α stejnou vzdálenost. 48

49 Dvě roviny α a β jsou rovnoběžné, jestliže lze v rovině α najít tři různé body, které neleží v téže přímce, ale leží v témže poloprostoru s hraniční rovinou β, a které mají od roviny β stejnou vzdálenost. 49

50 Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Délku hrany krychle označíme a. Vypočtěte vzdálenost bodu B od roviny CDH. Bodem B vedeme kolmici ležící v rovině dolní podstavy k rovině CDH (Kapitola 8.2, kritérium kolmosti přímky a roviny) a určíme pravoúhlý průmět bodu do roviny. Hledaným bodem je vrchol C. Vzdálenost bodu od roviny jsme tím převedli na vzdálenost dvou bodů, a ta je rovna délce hrany krychle, tedy a. 2. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Délku hrany krychle označíme a. Určete vzdálenost bodu F od roviny EGH. Rovina EGH je rovinou horní podstavy krychle. Bod F leží v této rovině, proto je vzdálenost rovna Máme dánu krychli ABCDEFGH. Délku hrany krychle označíme a. Určete vzdálenost bodu C od roviny BDH. Určíme pravoúhlý průmět vrcholu C do zadané roviny, tím je střed dolní podstavy. Vzdálenost bodu od roviny je tedy rovna délce úsečky CS ABCD, a ta je rovna polovině délky úhlopříčky čtverce o hraně a. Tedy platí, že vzdálenost bodů S a C ABCD je rovna. 4. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost bodu B od roviny ACV. Vrcholem B vedeme kolmici k dané rovině a nalezneme pravoúhlý průmět bodu do roviny, tím je bod S ABCD. Vzdálenost bodu B od roviny ACV je rovna vzdálenosti bodů B a S ABCD a ta je rovna polovině délky úhlopříčky čtverce, tedy. 5. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost bodu P od roviny FGH, kde bod P je střed hrany BG. Bodem P vedeme k rovině FGH kolmici BG. Průsečíkem přímky BG a roviny FGH je vrchol G. Vzdálenost bodu P a roviny FGH je rovna délce úsečky PG a ta je rovna. 6. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost bodu F od roviny CDH. Převedeme vzdálenost bodu od roviny na případ vzdálenosti dvou bodů. Pravoúhlý průmět bodu F do roviny CDH je střed úsečky HI. Vzdálenost bodů F a S HI je rovna (z Kapitoly 9) 50

51 , kde d je rovno. 7. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Vypočítejte vzdálenost bodu C od roviny BDG. Vzdálenost bodu C od roviny BDG určíme jako vzdálenost tohoto bodu od jeho pravoúhlého průmětu. Pravoúhlým průmětem bodu C do zadané roviny je bod S BD. Vzdálenost bodů je rovna, jak již víme z kapitoly Kapitoly 9,, kde d je rovno. 51

52 Vzdálenost dvou přímek Vzdálenosti dvou přímek rozlišíme do tří případů podle jejich vzájemné polohy. Z Kapitoly 5.1 víme, že dvě přímky v prostoru mohou být totožné,rovnoběžné, různoběžné nebo mimoběžné. Vzdálenost dvou přímek je rovna nejmenší ze vzdáleností všech bodů jedné přímky od přímky druhé. Každá přímka protínající dvě mimoběžky se nazývá příčka mimoběžek. Příčku kolmou k oběma mimoběžkám označujeme jako osu mimoběžek. Vzdálenost dvou totožných nebo různoběžných přímek je rovna nule (z definice vzdálenosti dvou přímek vyplývá, že existují společné body, proto je vzdálenost rovna 0). Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé. Vzdálenost dvou mimoběžných přímek p, q je délka úsečky PQ, kde body P, Q jsou po řadě průsečíky mimoběžek p, q s takovou příčkou mimoběžek, která je k oběma z nich kolmá (neboli osou mimoběžek). Vzdálenost přímek p, q značíme pq. Dvěma mimoběžkami lze proložit jedinou dvojici rovnoběžných rovin. Vzdálenost mimoběžných přímek lze potom určit jako vzdálenost těchto dvou rovnoběžných rovin (Kapitola 9.5), popř. vzdálenosti jedné mimoběžky od roviny s touto mimoběžkou rovnoběžné a proložené druhou mimoběžkou. 52

53 Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost přímky FG a přímky procházející bodem D rovnoběžné s přímkou FA. Přímka určená bodem D a rovnoběžná s přímkou FA je přímka GD. Přímky FG a GD jsou různoběžné s průsečíkem G, jejich vzdálenost je tedy rovna Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost přímek EF a GH. Zadané přímky jsou rovnoběžné různé. Můžeme převést vzdálenost dvou přímek na vzdálenost bodu od přímky, kterou již umíme spočítat, např. bodu F od přímky GH. Vzdálenost přímek je rovná délce úsečky FG, a ta je rovna délce hrany a. 3. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost přímek BF a GH. Zadané přímky jsou mimoběžné. Musíme nalézt jejich osu, tedy přímku, která obě přímky protíná a je k oběma kolmá. Touto přímkou je přímka daná body FG. Průsečíky osy s mimoběžkami jsou právě vrcholy F a G. Vzdálenost přímek je tedy rovna délce úsečky FG, a tedy je rovna a. 4. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost přímek BD a EG. Přímky jsou mimoběžné. Nalezneme proto jejich osu, určíme průsečíky osy s oběma přímkami a nalezneme jejich vzdálenost. Tím nalezneme vzdálenost přímek. Osa zadaných 53

54 mimoběžek je přímka daná body S BD S EG, kdy body S BD a S EG jsou průsečíky zadných přímkek s osou. Vzdálenost těchto průsečíků je hledanou vzdáleností, a je rovna a. 5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost přímek AV a BV. Přímky jsou různoběžné se společným bodem V, proto je jejich vzdálenost rovna Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost přímek BG a FJ. Zadané přímky jsou mimoběžné, jejich osou je přímka FG. Body F a G jsou po řadě průsečíky osy s přímkami BG a FJ. Délka úsečky FG je rovna a a to je i hledaná vzdálenost přímek. 7. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož boční stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Vypočtěte vzdálenost přímky FJ a přímky, která je s přímkou FJ rovnoběžná a prochází bodem H. Již ze zadání je jasné, že přímky jsou rovnoběžné různé, jejich vzdálenost je proto nenulová. Chceme li určit vzdálenost dvou rovnoběžných přímek, stačí určit vzdálenost bodu jedné přímky od přímky druhé. Naším zvoleným bodem je bod H. Bodem H vedeme kolmici v rovině horní podstavy (rovině určené těmito přímkami), půsečíkem kolmice a přímky FJ je bod S FJ. Vzdálenost přímek je rovna délce úsečky S FJ H a ta je, jak již víme z Kapitoly 9, rovna, kde d je rovno. 54

55 Vzdálenost přímky a roviny Vzdálenosti přímek a roviny rozlišujeme do tří případů podle jejich vzájemné polohy. Z Kapitoly 5.2 víme, že buď přímka leží v rovině nebo jsou rovnoběžné různé nebo různoběžné. Vzdálenost přímky od roviny je rovna nejmenší ze vzdáleností bodů přímky od roviny. Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od roviny. Vzdálenost přímky p od roviny α značíme pα. Je li přímka s rovinou různoběžná nebo pokud přímka leží v rovině, pak je jejich vzdálenost rovna nule. Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost přímky CG od roviny EFH. Přímka CG je s rovinou EFH různoběžná, vzdálenost je proto rovna Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost přímky BF a roviny CDH. Přímka a rovina jsou rovnoběžné (Kapitola 5.2). Vzdálenost je rovna vzdálenosti libovolného 55

56 bodu přímky, např. bodu F od dané roviny. Sestrojíme pravoúhlý průmět bodu F do roviny, tj. bod G, a určíme vzdálenost jako délku úsečky FG. Vzdálenost je tedy rovna a. 3. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost přímky BF a roviny ACG. Přímka BF a rovina ACG jsou rovnoběžné. Jejich vzdálenost je proto rovna vzdálenosti bodu B od roviny ACG. Pravoúhlým průmětem bodu B do roviny ACG je bod S FH. Délka úsečky BS FH je rovna polovině délky úhlopříčky čtverce o hraně a. Vzdálenost přímky BF a roviny ACG je rovna. 4. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost přímky AB a roviny BCV. Přímka AB je s danou rovinou různoběžná, vzdálenost je proto rovna Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost přímky AC a roviny procházející vrcholem V a rovnoběžné s rovinou BCD. Přímka a rovina jsou rovnoběžné, jejich vzdálenost je stejná jako vzdálenost bodu S AC a dané roviny. Určíme pravoúhlý průmět bodu S AC do zadané roviny a vzdálenost převedeme na vzdálenost dvou bodů. Pravoúhlým průmětem je vrchol V. Hledaná vzdálenost je rovna výšce jehlanu. Ta je rovna. 6. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost přímky AB a roviny, která je s touto přímkou rovnoběžná a prochází bodem J. Zadanou rovinou je rovina horní podstavy, která je s danou přímkou rovnoběžná (viz zadání příkladu). Hledanou vzdálenost určíme jako vzdálenost bodu B od roviny horní podstavy. Pravoúhlým průmětem bodu B do roviny je bod G, délka úsečky BG je rovna a. Proto je vzdálenost přímky AB od roviny horní podstavy rovna a. 7. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost přímky CH a roviny AEJ. Přímka CH a rovina AEJ jsou rovnoběžné různé. Vzdálenost přímky CH a roviny AEJ určíme jako vzdálenost libovolného bodu přímky, např. H, od roviny AEJ. Z Kapitoly 9.2 víme, jak tuto vzdálenost určit. Bodem H vedeme kolmici k dané rovině a určíme průsečík, tím je bod S FJ. Délka úsečky HS FJ je rovna, kde d je rovno. 8. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost přímky AF a roviny BGJ. 56

57 Přímka a rovina jsou rovnoběžné, jejich vzdálenost je rovna vzdálenosti bodu F od roviny BGJ. Pravoúhlým průmětem bodu F do roviny BGJ je bod S GJ. Vzdálenost přímky AF a roviny BGJ je rovna délce úsečky FS GJ a to známe z kapitoly Kapitoly 9,, kde d je rovno. 57

58 Vzdálenost dvou rovin Vydálenosti dvou rovina rozlišujeme podle jejich vzájemné polohy do tří případů. Z Kapitoly 5.3 víme, že dvě roviny jsou buď totožné, rovnoběžné různé nebo různoběžné. Vzdálenost dvou rovin je rovna nejmenší ze vzdáleností bodů jedné roviny od roviny druhé. Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Vzdálenost rovin α, β značíme α β. Pokud jsou dvě roviny totožné, nebo se protínají (jsou různoběžné), pak je jejich vzdálenost rovna nule. Úlohy 1. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost roviny ABE a roviny CDH. Zadané roviny jsou rovnoběžné a jsou rovinami protilehlých stěn krychle. Jejich vzdálenost určíme jako vzdálenost libovolného bodu roviny CDH, např. bodu G od roviny ABE. Z Kapitoly 9.2 již víme, že tato vzdálenost je rovna délce úsečky FG, a ta je rovna a. 2. Máme dánu krychli ABCDEFGH s délkou hrany a. Určete vzdálenost roviny BFH a roviny CDH. 58

59 Již ze zadání je jasné, že zadané roviny jsou různoběžné (obě jsou určené pomocí bodu H), jejich průsečnice je přímka DH. Z definice vyplývá, že jejich vzdálenost je rovna nule. 3. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost roviny přední stěny a roviny BDV. Tyto roviny jsou různoběžné s průsečnicí BV, jejich odchylka je proto rovna nule. 4. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délku strany trojúhelníka označíme a. Určete vzdálenost roviny podstavy a roviny procházející vrcholem V rovnoběžné s přímkou BD. Přímka BD je přímkou roviny podstavy jehlanu, zadané roviny jsou rovnoběžné. Jejich vzdálenost určíme jako vzdálenost bodu V od roviny dolní podstavy a ta je podle Kapitoly 9 rovna. 5. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost roviny FIJ a roviny BCD. Zadané roviny jsou rovnoběžné a jsou rovinami horní a dolní podstavy hranolu. Vzhledem k tomu, že boční stěny hranolu jsou čtverce víme, že vzdálenost rovin je rovna a. 6. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEFGHIJ, jehož stěny jsou čtverce. Délku hrany označíme a. Určete vzdálenost roviny ABG a roviny procházející bodem D rovnoběžné s přímkou JH. Zadané roviny jsou rovnoběžné, pro určení vzdálenosti nám dle definice stačí zjistit vzdálenost bodu I od roviny ABG. Tato vzdálenost je rovna délce úsečky IS FG a ta je rovna, kde d je rovno. 59

60 Metrické konstrukční úlohy Následující příklady jsou shrnutím probrané látky na odchylky a vzdálenosti v prostoru. Všechny příklady jsou řešeny jak konstrukčně, tak početně. Řešení každé úlohy je rozděleno na tři části. První část je řešení v prostroru vytvořené pomocí programu Cabri 3D, kde může uživatel krokovat konstrukci pomocí jednoduchého menu v horní části okna. Druhou částí je konstrukční řešení v rovině, které je popsáno v posledním kroku řešení v Cabri a je zobrazeno na apletu vytvořeném v programu Geogebra. Konstrukci v Geogebře je možné jednoduše přehrávat pomocí ovladače pod konstrukcí. Uživatel si může přehrát celou konstrukci pomocí tlačítka Play, nebo pomocí šipek konstrukci krokovat. Při automatickém přehrávání konstrukce je možné nastavit si délku jednoho kroku, standardně je nastavena na 2 sekundy. Třetí částí je početní řešení, které je v dolní části okna. Při početním řešení dochází k zaokrouhlovacím chybám, proto se někdy výsledek liší od konstrukčního, tato chyba je ale na úrovni setin milimetru. Při řešení v Cabri 3D je výsledek zaokrouhlen na jedno desetinné místo. Kdybychom chtěli získat v Cabri přesný výsledek, přišli bychom o interaktivnost obrázku. Aplet v Cabri nám dává možnost měnit rozměry zadaného objektu (krychle, jehlan, čtyřstěn...) a sledovat, jak se při změně vstupních parametrů mění konstrukce i výsledek. Ve zbylých dvou typech řešení je výsledek zaokrouhlen na dvě desetinná místa. Nejpřesnější výsledek nám dává konstrukce v programu Geogebra, jelikož všechny rozměry ukládá na 10 desetinných míst a zaokrouhluje vždy až výsledek. Úlohy 1. Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany AB = 4 cm. Určete konstrukčně i početně odchylku přímek BG a BH. 2. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = a = 5 cm, AV = b = 6 cm, bod Q je střed hrany BV. Určete konstrukčně i početně odchylku přímek CV a AQ. 3. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí, že AB = a = 5 cm, BC = b = 4 cm a BF = c = 3 cm. Bod S je středem úsečky EG. Určete konstrukčně i početně odchylku přímek AS a BF. 4. Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany a = 5 cm. Bod M je středem hrany CG. Určete konstrukčně i početně odchylku přímky CE a roviny BDM. 5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí, že AB = a = 7 cm a CV = b = 8 cm. Bod S je středem podstavy. Určete konstrukčně i početně odchylku přímky SV a roviny BCO, kde bod O je střed hrany AV. 6. Bod S je středem podstavy pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV, AB = a = 5 cm, VS = v = 6 cm. Určete konstrukčně i početně odchylku roviny AFV a přímky VS. 7. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = a = 6 cm, BC = b = 3 cm a BF = c = 4 cm. Bod K je středem hrany BF. Určete konstrukčně i početně odchylku rovin ADK a EHK. 60

61 8. Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV s délkou podstavné hrany AB = a = 4,5 cm. Bod S je středem podstavy a výška SV = v = 7 cm. Určete konstrukčně i početně odchylku rovin AFV a CDV. 9. Máme dán kolmý hranol ABCDEFGHIJKL s výškou v = 5 cm, jehož podstavou je pravidelný šestiúhelník s délkou hrany a = 4,5 cm. Určete konstrukčně i početně odchylku rovin ILF a KEQ, kde bod Q je středem hrany HI. 10. Je dán pravidelný kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = a = 6 cm. Výška v = 5,5 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost bodu B od přímky AG. 11. Bod M je středem hrany AB krychle ABCDEFGH. AB = a = 6 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost bodu G od přímky MH. 12. Je dán kolmý čtyřboký jehlan ABCDV, jehož podstava má rozměry AB = a = 4 cm, BC = b = 3 cm. Výšku jehlanu označíme c = 5 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost bodu C od přímky AV. 13. Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany a = 5,5 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost bodu E od roviny dané body AFH. 14. Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD o délce hrany a = 7 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost vrcholu D od jeho protější stěny. 15. Je dán kolmý čtyřboký jehlan ABCDV, jehož podstavou je kosočtverec, AB = a = 7,5 cm, BAC = 70. Délka boční hrany jehlanu je rovna BV = b = 8 cm. Vypočtěte vzdálenost bodu V od roviny podstavy (výšku jehlanu). 16. Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany AB = 5,5 cm. Určete konsktrukčně i početně vzdálenost přímek EG a KL, kde bod K je střed hrany AB a bod L je střed hrany BC. 17. Je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a = 6 cm. Určete konskrukčně i početně vzdálenost přímek AC a FM, kde bod M je střed hrany EH. 18. Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD, jehož délka hrany je rovna a = 6 cm. Body X a Y jsou po řadě středy úseček AD a CD. Dále je bod U bodem hrany AB a bod V bodem hrany BC a platí BU = BV = 1/3a. Určete konstrukčně i početně vzdálenost přímek UV a XY. 19. Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD o hraně délky a = 7 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost přímek AB a CD. 20. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Délka hrany AB = a = 6,5 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost roviny BCV od přímky procházející bodem K rovnoběžné s přímkou AD, kde bod K leží na hraně AV a platí AK = 1/3a. 21. Máme dán kolmý čtyřboký hranol ABCDEFGH jehož podstavou je kosočtverec o délce hrany a = 7,5 cm a velikosti úhlu při vrcholu A je rovna 70. Dále máme dány body K, L, P a Q, které jsou po řadě středy hran EF, FG, EH a GH. Určete konstrukčně i početně vzdálenost přímky KL a roviny dané přímkou PQ rovnoběžné s přímkou BF. 22. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a = 6,5 cm. Na krychli jsou dány body M a X jako středy hran EH a BC. Určete konstrukčně i početně vzdálenost rovin GHX a ABM. 23. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a = 5,6 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost rovin ACH a BEG. 61

62 1. Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany AB = 4 cm. Určete konstrukčně i početně odchylku přímek BG a BH. Řešení v Cabri Narýsujeme krychli o délce hrany 4 cm a vyznačíme zadané přímky BG a BH, jejichž odchylku hledáme. Zadané přímky jsou různoběžné s průsečíkem B. Hledáme trojúhelník, pomocí něhož bychom určili hledanou odchylku. 62

63 Trojúhelník, pomocí kterého určíme odchylku, je BGH. Odchylka přímek BG a BH je rovna velikosti vnitřního úhlu při vrcholu B v BGH. Konstrukční řešení BGH můžeme pomocí věty sss (Kapitola 7) narýsovat a změřit velikost úhlu při vrcholu B, a 63

64 tím určit hledanou odchylku. Víme, že délka úsečky GH = 4 cm, úsečka BG je úhlopříčkou čtverce o hraně a = 4 cm. Úsečka BH je tělesovou úhlopříčkou krychle a můžeme jí sestrojit například jako úhlopříčku obdélníku BDFH. Zjistíme že hledaná odchylka je rovna Na interaktivním obrázku je možné pomocí vrcholu A měnit velikost hrany krychle a díky tomu zjistíme, že hledaná odchylka není závislá na velikosti hrany krychle. Početní řešení Pro početní řešení, obdobně jako v konstrukčním, musíme nalézt trojúhelník, pomocí něhož vypočteme hledanou odchylku přímek BG a BH. Danou odchylku můžeme určit pomocí BGH. Tento trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu G. Hrana GH je hranou krychle a má tedy délku a = 4 cm. Úsečka BG je úhlopříčkou čtverce BCFG o straně a = 4 cm a má tedy délku 2=4 2. Hledanou velikost úhlu můžeme nyní již určit například pomocí tg GBH = GH / BG, hledaná odchylka je rovna

65 4. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí, že AB = a = 7 cm a CV = b = 8 cm. Bod S je středem podstavy. Určete konstrukčně i početně odchylku přímky SV a roviny BCO, kde bod O je střed hrany AV. Řešení v Cabri Na jehlanu si vyznačíme zadanou přímku SV a rovinu BCO, jejichž odchylku hledáme. Přímkou SV vedeme rovinu kolmou k rovině BCO. Touto rovinou je rovina S BC S AD V. Určíme průsečnici obou rovin, tou je přímka S BC S OSDV. Označíme P průsečík přímky SV a roviny BCO. Tento bod také leží na přůsečnici obou rovin. 65

66 Průsečnicí obou rovin je přímka KJ, kde bod K je střed hrany BC. Bod J je průsečík přímky S AD V a přímky OS DV. 66

67 Hledanou odchylku přímky a roviny jsme převedli na odchylku přímek KJ a PV. V trojúhelníku JPV je hledanou odchylkou velikost úhlu při vrcholu P. Konstrukční řešení JPV jsme schopni sestrojit pomocí KVS AD. Ten sestrojíme podle věty sss (Kapitola 7), strana KS AD má délku a = 7 cm, strany KV a S AD jsou stejně dlouhé a můžeme je sestrojit jako výšky bočních stěn. Bod J leží na úsečce S AD V, jeho polohu můžeme určit z ADV jako průsečík výšky tohoto trojúhelníka VS AD a přímky vedoucí bodem O (střed hrany AV) kolmé na výšku. Nyní zbývá určit polohu bodu P. Ten získáme jako průsečík přímek SV a KJ. A můžeme změřit odchylku přímky SV a roviny BCO jako velikost úhlu JPV při vrcholu P. Hledaná odchylka je rovna

68 Početní řešení Pro početní řešení využijeme toho, co jsme již zjistili z konstrukčního. Odchylku přímky SV a roviny BCO určíme jako velikost vnitřního úhlu JPV u vrcholu P. Z pravoúhlého OJV můžeme určit délku srany JV. Platí OV = 4 cm. Dále VOJ = VAD, jelikož jsou VAS AD a VOJ podobné. Z pravoúhlého VAS AD určíme cos VAD = AS AD / AV = 3,5/8. Odtud dále VOJ = VAD = 64,06. Pomocí sinové věty ( OVJ) spočítáme, že Odtud JV = 3,97 cm. =. Tedy =., Dále víme, že KV je výškou BCV, tedy = = 64 12,25=7,19. Nyní můžeme z JKV dopočítat úhel při vrcholu J. Známe délky dvou stran a stačí určit úhel při vrcholu V například z pravoúhlého KVS AC. Platí sin JVK = 2 (a/2/ KV ). Odtud JVK = 58,26. Pomocí kosinové věty můžeme nyní dopočítat délku třetí strany JVK. Tedy = + 2 cos =3,97 +7,19 2 3,97 7,19 cos58,26, =6,12. Nyní vypočteme pomocí sinové věty v JKV, =,,, =0,525. JKV = 31,59. Potom VJK = ,59 58,26 = 90,15. =, odtud sin = 68

69 A nakonec JPV = ,08 58,26 /2 = 60,72. Odchylka přímky VS a roviny BCO je rovna

70 8. Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV s délkou podstavné hrany AB = a = 4,5 cm. Bod S je středem podstavy a výška SV = v = 7 cm. Určete konstrukčně i početně odchylku rovin AFV a CDV. Řešení v Cabri Na jehlanu si vyznačíme zadané roviny FAV a CDV. Z obrázku i zadání je hned jasné, že jejich společným bodem je vrchol V. Pro řešení využijeme 1. způsob z Kapitoly 8.3. Sestrojíme průsečnici obou rovin. Tou je přímka procházející bodem V rovnoběžná s přímkou AF, označíme ji p. 70

71 Bodem V vedeme rovinu kolmou k přímce p. Touto kolmou rovinou je rovina S AF VS CD. Určíme průsečnice daných rovin a roviny kolmé na průsečnici, tj. roviny S AF VS CD. Průsečnice roviny AFV a roviny S AF VS CD je přímka S AF V. Průsečnice roviny CDV a roviny S AF VS CD je přímka S CD V. 71

72 Hledaná odchylka rovin AFV a CDV je rovna odchylce přímek S AF V a S CD V. Konstrukční řešení Pro řešení v rovině narýsujeme šestiúhelník ABCDEF, na kterém si můžeme vyznačit jeho střed, bod S, a dále body S 1 jako střed hrany AF a bod S 2 jako střed hrany CD. Ke spojnici bodů S 1 S 2 vedeme bodem S kolmici a vyznačíme na ní ve vzdálenosti výšky bod V. Můžeme vyznačit S 1 S 2 V a změřit velikost úhlu při vrcholu V a tím hledanou odchylku. Odchylka roviny AFV a CDV je rovna

73 Početní řešení Pro početní řešení využijeme toho, že hledaná odchylka rovin je rovna velikosti vnitřního úhlu S AF VS CD. Nejdříve spočítáme délku bočních hran jehlanu. Tuto velikost označíme b. Platí = + = 4,5 +7,7=8,32. Nyní můžeme spočítat výšku trojúhelníka AFV. = =8. Nakonec ještě určíme délku úsečky. Ta je stejná jako délka úsečky CA a tu vypočteme z ABC pomocí sinové věty. =. Odtud = =, =7,79. Nyní již známe délky všech tří stran v S AF VS CD a můžeme dopočítat pomocí kosinové věty (Kapitola 7) velikost úhlu při vrcholu V a tím hledanou odchylku. cos = =,. =58 16`. Odchylka rovin AFV a CDV je rovna

74 12. Je dán kolmý čtyřboký jehlan ABCDV, jehož podstava má rozměry AB = a = 4 cm, BC = b = 3 cm. Výšku jehlanu označíme c = 5 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost bodu C od přímky AV. Řešení v Cabri Na jehlanu si vyznačíme bod C a přímku AV. Bod na přímce neleží, proto je jejich vzdálenost nenulová. Přímkou AV a bodem C proložíme rovinu, touto rovinou je rovina ACV. 74

75 Bodem C vedeme k přímce AV kolmici v rovině ACV. Průsečík této kolmice a přímky AV označíme P. Vzdálenost bodu C od přímky AV je rovna délce úsečky CP. 75

76 Konstrukční řešení Pro konstrukční řešení nejdříve narýsujeme obdélník ABCD, bod S je průsečíkem úhlopříček obdélníka. Bodem S vedeme kolmici k přímce AC. Na tuto kolmici naneseme od bodu S vzdálenost výšky jehlanu, tedy c = 5 cm. Tím získáme bod V. Nyní můžeme k přímce AV vést kolmici k z bodu C, nalézt průsečík kolmice k a přímky AV, bod P, a změřit hledanou vzdálenost. Vzdálenost bodu C od přímky AV je rovna 4,47 cm. Početní řešení Hledanou vzdálenost bodu C od přímky AV spočteme jako délku odvěsny CP pravoúhlého ACP. Nejdříve spočteme délku přepony AC pomocí pravoúhlého ABC. Z Pythagorovy věty (Kapitola 7) platí = + = 16+9=5. Nyní v ACP dopočítáme velikost vnitřního úhlu při vrcholu A. Využijeme k tomu AS AC V, který má při vrcholu A stejný úhel. Platí tg = =,, odtud = Nyní již můžeme ze sinové věty (Kapitola 7) dopočítat délku úsečky CP. =. Odtud = =5sin63,43 =4,47. Vzdálenost bodu C od přímky AV je rovna 4,47 cm. 76

77 13. Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany a = 5,5 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost bodu E od roviny dané body AFH. Řešení v Cabri Na krychli ABCDEFGH si vyznačíme bod E a rovinu AFH. Bod v rovině neleží, hledaná vzdálenost je proto nenulová. Bodem E vedeme kolmici k k rovině AFH. Kolmice k je přímka daná body EC. 77

78 Vyznačíme si trojúhelník AFH, který je řezem krychle ABCDEFGH rovinou AFH. Průsečík přímky EC a roviny AFH označíme P. Bod P je pravoúhlým průmětem bodu E do roviny AFH. Na kryhli si vyznačíme pomocnou přímku AS. Přímka AS prochází bodem P a leží v rovině AFH. 78

79 Vzdálenost bodu E od roviny AFH je rovna délce úsečky EP. Bod P získáme jako průsečík přímek AS a EC. Konstrukční řešení Při konstrukčním řešení v rovině nejdříve narýsujeme obdélník ACEG, pomocí čtverce ABCD. V obdélníku ACEG můžeme vyznačit úsečku AS EG a úsečku CE. Tyto úsečky se protnou v bodě P. Nyní již můžeme vyznačit úsečku EP a změřit hledanou vzdálenost. Vzdálenost bodu E od roviny AFH je rovna asi 3,18 cm. 79

80 Početní řešení Pro početní řešení využijeme to, co jsme již zjistili v konstrukčním postupu. Vzdálenost bodu E od roviny AFH je rovna délce úsečky EP. Bod P je pravoúhlým průmětem bodu E do roviny AFH. Pro výpočet využijeme pravoúhlý APE. Víme, že AE = a = 5,5 cm. Dále víme, že velikost úhlu při vrcholu E je stejná jako v Platí tg tg 5,5. Odtud AEP = AEC = 54,74., Nyní již můžeme dopočítat velikost posledního vnitřního úhlu AEP. EAP = 180 AEP APE = ,74 90 = 35,26. AEC.. Odtud,, 3,18. Vzdálenost bodu E od roviny AFH je rovna 3,18 cm. 80

81 19. Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD o hraně délky a = 7 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost přímek AB a CD. Řešení v Cabri Na čtyřstěnu si vyznačíme zadané přímky. Přímky AB a CD jsou mimoběžné. Hledáme příčku mimoběžek, která je k oběma přímkám kolmá, tzv. nejkratší příčku mimoběžek (Kapitola 9.3). Přímkou CD proložíme rovinu kolmou k přímce AB. Touto rovinou je rovina CDS AB, jelikož je přímka AB kolmá s přímkami S AB C a DS AB. 81

82 Průsečík přímky AB s rovinou CDS AB je právě střed úsečky AB, označíme ho P. Přímkou AB proložíme rovinu kolmou k přímce CD, tou je rovina ABS CD, jelikož přímka CD je kolmá s přímkami PS CD a AB. Průsečík přímky CD s touto rovinou označíme Q. Přímka PQ je nejkratší příčkou mimoběžek AB a CD, jelikož je k oběma zadaným přímkám kolmá. 82

83 Vzdálenost přímek AB a CD je rovna délce úsečky PQ. Konstrukční řešení V rovině si můžeme vyznačit rovnostranný trojúhelník ABC o délce strany a = 7 cm. Bod P je střed úsečky AB. Nyní můžeme sestrojit pomocí věty sss trojúhelník PCD. Body P a C známe, dále víme, že CD = a = 7 cm, PD = PC. Tento trojúhelník je rovnoramenný. Platí, že PD = PC. Bod Q získáme jako průsečík přímky CD a kolmice vedené bodem P k přímce CD. Nyní již známe oba hledané body (průsečíky přímek AB a CD s kolmou příčkou) a můžeme změřit hledanou vzdálenost. Vzdálenost přímek AB a CD je rovna 4,95 cm. 83

84 Početní řešení Pro početní řešení využijeme toho, že vzdálenost přímek AB a CD je rovna délce úsečky PQ. Bod P je střed úsečky AB a bod Q střed úsečky CD. Vzdálenost bodů P a Q určíme pomocí pravoúhlého PQD. Platí, že QD = 1/2 CD = 1/2a = 3,5 cm. Dále můžeme určit délku strany PD pomocí Pythagorovy věty (Kapitola 7) z pravoúhlého APD. Platí = = 49 12,25 6,06. Nyní již známe v pravoúhlém PQD délky dvou stran a můžeme tedy pomocí Pythagorovy věty dopočítat délku strany třetí. 36,72 12,25 4,95. Vzdálenost mimoběžných přímek AB a CD je rovna 4,95 cm. 84

85 21. Máme dán kolmý čtyřboký hranol ABCDEFGH jehož podstavou je kosočtverec o délce hrany a = 7,5 cm a velikosti úhlu při vrcholu A je rovna 70. Dále máme dány body K, L, P a Q, které jsou po řadě středy hran EF, FG, EH a GH. Určete konstrukčně i početně vzdálenost přímky KL a roviny dané přímkou PQ rovnoběžné s přímkou BF. Řešení v Cabri Na hranolu si vyznačíme zadanou přímku a rovinu. Rovina určená přímkou PQ a rovnoběžná s přímkou BF prochází středem hrany AD. Střed hrany AD označíme R. Vidíme, že přímka KL je s rovinou PQS AD rovnoběžná a v rovině neleží, jejich vzdálenost je proto nenulová. 85

86 Vzdálenost přímky KL od roviny PQR určujeme jako vzdálenost libovolného bodu přímky od roviny. V našem případě si zvolíme na přímce bod M, jako střed úsečky KL. Tímto bodem vedeme k rovině PQR kolmici k. Průsečík kolmice k vedené z bodu M k rovině PQR s rovinou PQR označíme N. Bod N je pravoúhlým průmětem bodu M do roviny PQR. 86

87 Vzdálenost přímky KL a roviny PQR je rovna délce úsečky MN. Konstrukční řešení V rovině si můžeme narýsovat kosočtverec EFGH, který nám tvoří horní podstavu hranolu. Na kosočtverci si vyznačíme zadané body K, L, P a Q jako středy stran kosočtverce. Přímky KL a PQ jsou rovnoběžné. Bod M je střed úsečky KL a bod N střed úsečky PQ. Nyní již můžeme změřit délku úsečky PQ a tím hledanou vzdálenost. Vzdálenost přímek KL a PQ je rovna 4,3 cm. Z konstrukčního řešení je zřejmé, že výsledek nezávisí na výšce hranolu ale pouze na délce podstavné hrany. 87

88 Početní řešení Vzdálenost přímky KL a roviny PQR určíme jako vzdálenost přímky KL a přímky PQ. Víme, že vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. V konstrukčním řešení jsme převedli hledání vzdálenosti přímek KL a PQ na vzdálenost bodů MN. Pro početní řešení využijeme toho, že hledaná vzdálenost je stejně tak rovna vzdálenosti bodů PK. Délku úsečky PK vypočteme pomocí EKP. Platí, že = = =3,75. Dále víme, že velikost vnitřního úhlu při vrcholu E je rovna 70. Známe tedy délky dvou stran v EKP a můžeme pomocí kosinové věty (Kapitola 7) dopočítat délku strany KP. 2 cos 14,06 14, ,06 0,342 4,3. Vzdálenost přímek KL a PQ je rovna 4,3 cm. 88

89 23. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a = 5,6 cm. Určete konstrukčně i početně vzdálenost rovin ACH a BEG. Řešení v Cabri Na krychli vyznačíme zadané roviny ACH a BEG. Roviny jsou rovnoběžné různé, jelikož platí, že přímka BG AH a současně přímka BE CH (Kapitola 5.3). Vzdálenost rovin je proto nenulová. Vyznačíme si na krychli řezy zadanými rovinami. Jsou to trojúhelníky ACH a BEG. Hledáme společnou kolmici obou rovin. 89

90 Společnou kolmicí obou rovin je přímka DF. Označíme P průsečík přímky DF a roviny ACH a Q průsečík přímky DF a roviny BEG. 90

91 Vzdálenost rovin ACH a BEG je rovna délce úsečky PQ. Konstrukční řešení V rovině si můžeme narýsovat čtverec ABCD. Narýsujeme obdélník DBFH, body B a D již známe, délka strany BF = a = 5,6 cm. Dále si vyznačíme čtverec EFGH, známe již jeho úhlopříčku FH a pomocí úhlopříčky je čtverec jednoznačně určen. Vyznačíme si přímku DF. Body P a Q dostaneme jako průsečíky přímky DF s přímkami S BD H a S FH B. Máme li body P a Q můžeme změřit délku úsečky danou těmito body a tím určit hledanou vzdálenost rovin ACH a BEG. Hledaná vzdálenost je rovna 3,23 cm. 91

92 Početní řešení Pro početní řešení využijeme toho, že vzdálenost rovin ACH a BEG je rovna délce úsečky PQ. Platí =. Délku úsečky PF určíme jako délku odvěsny pravoúhlého HPF. V tomto trojúhelníku známe délku strany HF, =2 =2 5,6=7,92. Velikost úhlu při vrcholu F spočítáme pomocí sinové věty z pravoúhlého DFH, ve kterém známe délky všech tří stran. sin = =,. Odtud HFD = 35,26., Nyní již známe v HPF velikosti všech vnitřních úhlů a dále délku jedné strany, můžeme tedy pomocí sinové věty dopočítat hledanou délku strany PF. = =,, =6,47. Z S FH QF můžeme opět pomocí sinové věty dopočítat délku strany QF. Velikost úhlu při vrcholu F je rovna 35,25, délka strany S FH F = 1/2 HF = 3,96 cm. Tedy = =, =3,23. A nakonec můžeme spočítat délku úsečky PQ. Platí, že PQ = PF QF = 6,47-3,23 = 3,24 cm. Vzdálenost rovin ACH a BEG je rovna 3,24 cm. 92