A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz"

Transkript

1 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině - vzájemná poloha přímek, odchylka, vzdálenost přímek Analytická geometrie - za zakladatele považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce geometrie, která řeší geometrické úlohy početně Soustava souřadnic v rovině Číselná osa O x : Kartézská soustava souřadnic O xy : bod O přímky x, y A[a 1 ; a ] počátek kartézské soustavy souřadnic souřadnicové osy souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xy. Soustava souřadnic v prostoru O xyz A[a 1 ; a ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz Příklad: 1. Zobrazte body v soustavě O x : A = [-1,5], B = [4], C = [0,5], D = [ ]

2 Analytická geometrie /15. Vyznačte na číselné ose obrazy čísel 1 a Najděte obrazy dvojic O xy [ 1 / ; 1], [ 4 / 3 ; -1], [; 0], [-; -3] 3. Vzdálenost bodů v rovině a prostoru Příklad: Určete vzdálenost bodů A[1; 3] a B[5; 6] AB = Vzdálenost bodů A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] : AB = ( b a 1 a1) + ( b ) AB = ( b a 1 a1) + ( b a ) + ( b3 3) Příklad: Určete vzdálenost bodů A[-1; 0; -] a B[1; 3; 4] AB =

3 Analytická geometrie 3/15 4. Střed úsečky Bod S AB je středem úsečky AB, právě tehdy, když platí AS = BS. A + B S = V rovině: V prostoru: a1 + b1 a + b S = ; a + b1 a + b a3 + S = ; ; 1 b3 Příklad: Najděte střed úsečky, která prochází body A[1; ; ] a B[3; 6; ]. Příklad: 1. V soustavě O xy jsou dány body A = [-1; 1], B = [1; -5], C = [1; 0]. Určete jejich vzdálenost od počátku O soustavy O xy.. Vypočtěte vzdálenost bodů A, B a střed S úsečky AB, je-li dáno: a) A = [-; 3], B = [-; 7] b) A = [0; ], B = [8; 0] c) A = [3; 0], B = [-1; -3] 3. Je dán jeden krajní bod a střed S úsečky. Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky: a) AB, A [-3; 6], S[-1; 4] b) PQ, Q[3; 0,8], S[-1;0,5] 4. Dokažte, že trojúhelník s vrcholy a) A = [4; -1], B = [3; 4], C = [1; ] b) K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý 5. Určete délky stran a těžnic a rozhodněte, jakého druhu je trojúhelník ABC, je-li dáno: a) A = [-3; 1], B = [; -1], C = [1; 3] b) A = [10; 14], B = [3; -10], C = [-6; ] c) A = [3; 8], B = [-1; ], C = [8; -4] 6. Na ose x najděte bod X, který má stejnou vzdálenost od počátku jako od bodu A = [-3; 6] Výsledky: 1., 13, 1. a) 4, [-, 5] b) 68, [4; 1] c)5, [1, - 3 ] 3. a)b[1;] b)p[-5;0,] 4. a)ano c přepona b) ano - k přepona a) a = 17, b = 0, c = 9, t a =, tb = 3,t c = 5, obecný 5 5 b) a = 15, b = 0, c = 5, t a = 73, t b = 5 13, t c =, pravoúhlý 6. c) a = 3 13, b = 13, c = 13, t a = 15, , t b =, tc = 130, pravoúhlý

4 Analytická geometrie 4/15 5. Vektory Vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. u = AB v = CD u = v = w = z w = EF z = GH Nulový vektor - je množina všech orientovaných úseček nulové délky, značíme o. Souřadnice vektoru: u = AB, kde A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] V rovině: u = (u 1 ;u ) = (b 1 a 1 ;b a ) u = AB = B A V prostoru: u = (u 1 ;u ;u 3 ) = (b 1 a 1 ;b a ;b 3 a 3 ) Příklad: V prostoru jsou dány body A[1; ; ] a B[3; ; 5]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je určen orientovanou úsečkou AB. Zakreslování vektorů: Operace s vektory: a) Sčítání vektorů: v rovině u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ) v prostoru u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ; u 3 + v 3 ) Příklad: Vypočítejte součet vektorů u a v, jestliže u = (1; 4) a v = AB, je-li A[-1; ], B[; -1]. Příklad: Vypočítejte součet a rozdíl vektorů u = (3; 1; 5) a v = (; -; 1).

5 Analytická geometrie 5/15 b) Násobení vektorů reálným číslem: Pro každé reálné číslo k platí: v rovině k. u = (k.u 1 ; k.u ) v prostoru k. u = (k.u 1 ; k.u ; k.u 3 ) Příklad: Zakresli vektory u = (1; ), v =. u, w = -1. u Příklad: Vypočítejte souřadnice vektoru u = v + w, kde v = (; 1; -3) a w = (; 3;1). c) Velikost vektoru u : v rovině u = ( u1, u ) u = u1 + u v prostoru u = ( u, u, u u = u + u + u 1 3) nulový vektor o = 0 jednotkový vektor u = 1 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (3; 4). 1 3 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (-4; 7). Výsledek zaokrouhlete na desetinná místa. d) Skalární součin vektorů u a v: v rovině u. v = u 1 v 1 + u v v prostoru u. v = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u.v = 0 vektory jsou navzájem kolmé Příklad: Vypočítejte skalární součin vektorů u = (1; -) a v = (; -3).

6 Analytická geometrie 6/15 Příklad: Pro u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5) vypočítejte u. v. Příklad: Určete, zda vektory u a v jsou na sebe kolmé: a) u = (3; -) a v = (; -3) b) u = (3; -) a v = (; 3) c) u = (3; -) a v = (4; 6) Pravidlo: Příklad: Určete vektor v kolmý k vektoru u = (1; -). e) Odchylka vektorů Pro dva nenulové vektory u, v v rovině nebo v prostoru a jejich odchylku φ platí: u. v cos ϕ =, ϕ 0,180 u. v Příklad: Určete odchylku vektorů u = (3; -) a v = (; -3). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (; -4) a v = (; 1). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5).

7 Analytická geometrie 7/15 Příklady: 1. Rozhodněte, zda platí rovnost AB = CD, je-li dáno: A = [3; ], B = [0; 1], C = [; 0], D = [-1; 1]. Vypočtěte souřadnice vektoru u = AB, je-li dáno: a) A = [0; ], B = [-1; 0] b) A = [0; 3; 0], B = [0; -; 0] 3. V O xy určete souřadnice vektorů a) AB, b) AC, c) BA, d) CA, e) BC, f) CB, jestliže A = [-1; 3], B = [4; ], C = [-5; 7]. 4. Určete velikosti vektorů AB, BA, AC, BC, je-li A = [-; 3], B = [-1; 4], C = [5; -]. 5. Určete souřadnice bodu B tak, aby platilo u = AB, je-li dáno A = [-1; 1], u = (-1;-). 6. Jsou-li dány souřadnice bodů A, B, C, najděte souřadnice bodu D tak. Aby platilo: AB = CD : A = [6; 3], B = [8; 0], C = [5; ] 7. Je vektor u, jehož umístěním je orientovaná úsečka AB jednotkový vektor? a) A = [5; 1], B = [4; 1] b) C = [3; sin 60 ], B = [3,5; tg 60 ] 8. Určete t R tak, aby vektory u, v byly navzájem kolmé a) u = (-; 1), v = (1; t) b) u = (-; 1; ), v = (1; 4; t) 9. Jsou dány body A = [1; ], B = [4; 3], C = [5; 5]. Určete souřadnici d bodu D = [3; d ] tak, aby vektor CD byl kolmý na vektor AB. 10. Dokažte, že trojúhelník KLM, kde K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý. 11. Pomocí vektorů vypočtěte obsah trojúhelníku ABC a velikosti vnitřních úhlů, je-li dáno: A = [; 5], B = [-4; ], C = [9; -3]. 1. Vypočtěte úhel vektorů u, v, je-li a) u = (-1; ), v = (1; 3) b) u = (-; 1), v = (-1; -3) c) u = (1; -), v = (; 1) d) u = (; -3), v = (-3; -) 13. Jsou dány body A = [1; 1], B = [; -1], C = [3; ]. Dokažte, že body ABC tvoří trojúhelník a vypočtěte velikosti jeho vnitřních úhlů. Výsledky: 1. ne. a) (-1; -) b) (0, -5, 0) 3. a) (5; -1), b) (-4; 4), c) (-5; 1), d) (4; -4), e) (-9; 5), f) (9; -5) 4. AB =, BA =, AC = 74, BC = 6 5.[-; -1] 6. [7; -1] 7. ano, ano 8. t =, t = [3; 11] u vrcholu K 11. S = 34,5 j, α = , β = 47 36, γ = 7 47 π π π π π π π 1.,,, 13. α =, β =, γ =

8 Analytická geometrie 8/15 6. Přímka A) PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY p přímka v rovině je určena dvěma různými body A a B vektor u = B - A nazýváme směrový vektor AB určuje směr X = A + t u ; t R - parametrické vyjádření přímky určené bodem A a směrovým vektorem u - proměnná t se nazývá parametr p: A[a 1 ; a ], u = (u 1 ; u ): např.: x = a 1 + t.u 1 y = a + t.u ; t R [x; y] jsou souřadnice všech bodů ležících na přímce p Příklad: Určete parametrické vyjádření přímky zadané body A[; 1] a B[3; 3]. Příklad: Zjistěte, zda bod P[-3; 5] leží na přímce AB, kde A[1; 1] a B[5; -3]. Příklad: Určete, jaký geometrický útvar určuje parametrické vyjádření X = A + t u, jestliže a) t <0; 1> b) t <0; ) Příklad: 1. Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u : a) A = [-; -3], u = (0; 4) b) A = [0; 3], u c) A = [0; 0], u = (1; 0) = (-7; 0) d) A = [1; 1; 0], u = (; -1; 3). Napište parametrické rovnice přímky, která prochází body: a) A = [7; ], B = [3; 5] c) E = [; -4; 5], F = [0; -10; 7] b) C = [-3; 5], D = [5; 5] d) G = [3; -1; 4], H = [1; -; 4] 3. Zjistěte, zda body A = [-3; 7], B = [0; 3], C = [-14; -1] leží na přímce, určené rovnicemi

9 Analytická geometrie 9/15 x = 1 t, y = 3t, t R. 4. Rozhodněte, který z bodů A = [13; -5; 18], B = [0; -14; -1] leží na přímce x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t, t R. 5. Napište rovnici přímky, která je určena body A = [1; 4], B = [3; 3]. Určete souřadnici c 1 bodu C = [c 1 ; ] tak, aby bod C ležel na přímce AB. Výsledky: 1. a) x = -, y = t b) x = -7t, y = 3 c) x = t, y = 0 d) x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t. a) x = 7 4t, y = + 3t b) x = t, y = 5 c) x = t, y = -4 6t, z = 5 + t d) x = 3 t, y = -1-t, z = 4 3. B p, A, C p 4. A p, B p 5. x = 1 + t, y = 4 t, C = [5; ] B) OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY Rovnice ax + by + c = 0, a, b, c R, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky. Příklady obecných rovnic: Příklad: Najděte 3 body ležící na přímce vyjádřené obecnou rovnicí: x - y + 3 = 0. Příklad: Danou parametrickou rovnici přímky převeďte na obecnou rovnici: x = t, y = 3 + t Vektor kolmý ke směrovému vektoru přímky v rovině se nazývá normálový vektor této přímky. V obecné rovnici ax + by + c = 0 přímky p odpovídají koeficienty a, b souřadnicím jejího normálového vektoru n = (n 1 ; n ) a = n 1, b = n Příklad: Určete obecnou rovnici přímky p, která je určena body A[3; 1] a B[1; ].

10 Analytická geometrie 10/15 Příklad: Najděte obecnou rovnici přímky q: x = 3 - t, y = + t; t R. 1. způsob:. způsob: Příklad: Určete parametrickou rovnici přímky q: x - 3y - 4 = 0. C) SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY Rovnice y = kx + q; k, q R se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. k...směrnice přímky u k = tg φ = u 1 příklad směrnicového tvaru: Příklad: Najděte pro přímku AB, kde A[0; 3], B[6; 0] parametrické vyjádření, obecnou rovnici a směrnicový tvar její rovnice.

11 Analytická geometrie 11/15 Příklady: 1. Dané parametrické rovnice přímky převeďte na tvar obecný a směrnicový: a) x = 3t, y = 1 t b) x = 4 3t, y = t. Zobrazte přímky o rovnicích: a) 4x 3y + 10 = 0 b) 6x + 3x 1 = 0 c) 3x y + = 0 d) y + = 0 e) x 1 = 0 f) x = t, y = 0 g) x = 0, y = t h) x y + 1 = 0 3 i) x = 1 + t, y = t 3. Napište směrnici a směrnicový tvar rovnice přímky určené body A = [-3; -7], B = [; -3] 4. Dokažte, že body R = [3; 4], S = [-1; ], T = [1; 3], U = [-5; 0] leží na jedné přímce. Napište rovnici této přímky. 5. Čemu se musí rovnat číslo n, aby body M = [3; -4], N = [1; n ], P = [-1; ] ležely na jedné přímce? 6. Napište obecnou rovnici přímky v E, která prochází středem úsečky AB a je kolmá na přímku AB, je-li dáno: A = [3; 1], B = [-1; 5] 7. Napište v E rovnici přímky, procházející středem úsečky AB: a) rovnoběžné s přímkou p b) kolmé na přímku p, je-li dáno: A = [3; 6], B = [1; ], p: x y + 10 = 0 8. Určete obecnou rovnici přímky v E, která je dána body A = [6; ], B = [-3; 4]. Dále určete souřadnice průsečíků této přímky se souřadnicovými osami. Tyto dva body tvoří s počátkem soustavy O xy trojúhelník. Vypočtěte jeho obsah. 9. Určete obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A = [1; 3] a průsečíkem přímek, daných rovnicemi 3x + 4y 1 = 0 a x + y 4 = Úsečka AB má krajní body A = [1; 3], B = [-4; 1]. Určete rovnici přímky, která prochází středem úsečky AB a průsečíkem přímek p, q daných rovnicemi p: x y + 4 = 0, q: 3x + 5y 7 = Trojúhelník má vrcholy A = [4; -], B = [; ], C = [-3; -1]. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží strany, těžnice a výšky tohoto trojúhelníka. Výsledky: 1. a) x + 3y 3 = 0, y = - 3 x + 1 b) x + 3y 4 = 0, y = x k = 5 4, y + 7 = 5 4 (x+3), y = 5 4 x x = 3 4t, y = 4 t, x y + 5 = 0 5. n = x y + = 0 7. a) x y + 6 = 0 b) x + y 8 = 0 8. x + 9y 30 = 0 10 X = [15; 0], Y = [0; ], S = x + y 11 = p q = P = [-1; ] p : y =- 11. BC: 3x 5y + 4 = 0 AB: x + y 6 = 0 AC: x + 7y + 10 = 0 t a : 5x + 9y = 0 t b : 7x 3y 8 = 0 t c : x 6y 3 = 0 v a : 5x + 3y 14 = 0 v b : 7x y 1 = 0 v c : x y + 1 = 0

12 Analytická geometrie 1/15 7. vzájemná poloha přímek Dvě přímky p, q v rovině mohou mít tři vzájemné polohy p q = p q = p p q = {P} rovnoběžné různé totožné různoběžné žádný společný bod společná je celá přímka jeden společný bod, bod P Příklad: Jsou dány body P[3; 5], Q[; 1] a vektory u = (1; ), v = (3; 6). Rozhodněte, zda jsou přímky p(p, u ) a q(q, v ) rovnoběžné. Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[; -1], u = (1; ), Q[0; -], v = (1; 1). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[-1; 0], u = (1; ), Q[3; 5], v = (3; 6). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.

13 Analytická geometrie 13/15 Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[1; ], u = (1; -), Q[-1; 6], v = (-; 4). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p a q, je-li p: x - y - 1 = 0, q: 3x + 3y - 6 = 0. Jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p: x - y + 5 = 0 a q: x = 3 - t, y = + t; t R. Pokud existuje, najděte jejich průsečík. 8. Odchylka přímek Odchylka přímek p(p, u ), q(q, v ) je číslo φ <0, π/>, pro které platí: u. v cos ϕ = u. v Příklad: Jsou dány přímky p a q. Přímka p je určena body A = [; 0] a B = [1; 6] a přímka q rovnicí x - y + 1 = 0. Určete jejich odchylku. Příklad: Vypočítejte odchylku přímek p: 4x - 7y - 7 = 0 a q: 3x + 9y - 1 = 0. Výsledek zaokrouhlete na stupně.

14 Analytická geometrie 14/15 9. Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost d bodu M[m 1 ; m ] od přímky p: ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce: v = Mp am1 + bm + c = a + b Příklad: Vypočítejte vzdálenost d bodu A[-1; 5] od přímky p: 3x + 4y - = Vzdálenost přímek Vzdálenost je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. Příklad: Určete vzdálenost d přímky p: 3x - 4y + 1 = 0 od přímky q: 3x - 4y + 4 = 0. Příklady: 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek p, q, j sou-li dány jejich rovnice: a) p: x-5y+6=0, q: 8x+15y+10=0 b) p: x+y-5=0, q: 3x-y+4=0 c) p: x-4y+9=0, q: x-y+9=0 d) p: x+7=0, q: 4x-9=0 e) p: y-3=0, q: 3y-5=0 f) p: x+y-7=0, q: 9x+6y-14=0 g) x+5y+9=0, q: x-3y+1=0 h) p: x-3y=6, q: 4x-6y-5=0. Dokažte, že trojúhelník, jehož strany leží v přímkách a: x-3y+1=0, b: x+y+7=0, c: x-4y-1=0, je pravoúhlý. 3. Napište rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek p: x+y-5=0, q: 3x-y+1=0 kolmo k přímce a: x+3y+7=0.

15 Analytická geometrie 15/15 4. Která přímka prochází průsečíkem přímek a: x-6y-1=0, b: x+3y=4 rovnoběžně s osou y? 5. Vypočtěte velikost výšky v a v trojúhelníku ABC, je-li A=[1;5], B[5;-5], C[3;4]. 6. V rovnici přímky ax+3y-1=0 určete a tak, aby přímka měla směrový úhel ϕ = Jsou dány tři přímky o rovnicích x+y-3=0, 3x-y-=0 a 6x+5y-c=0. Určete absolutní člen c tak, aby všechny tři přímky měly jeden společný bod. 8. Určete vrcholy a vnitřní úhly trojúhelníka, jehož strany leží v přímkách a,b,c o rovnicích: a: x+7y+11=0, b: x-3y-1=0, c: 3x+y-7=0. 9. Určete velikost výšek rovnoběžníka, jehož strany leží v přímkách o rovnicích 3x-y+5=0, 6x-y-1=0, x+y-3=0, 5x+10y+3= Jaká je rovnice přímky, která prochází daným bodem A a s danou přímkou p svírá daný úhel α? a) A=[-3;1], p: y=x 0,5, α=45 b) A=[3;-], p:.x-y+1=0, α=30 c) A=[1;3], p: 4x-7=0, α=45 d) A=[0;-9], p: 3x-7=0, α= Určete koeficient b R v rovnici přímky p 1 : 9x+by+7=0 tak, aby přímka p 1 byla rovnoběžná s přímkou p : 8x-5y-11=0. 1. Určete rovnici přímky p, která prochází průsečíkem P přímek p 1 : x-y-3=0, p : 3x+y-5=0, přičemž přímka p je a) rovnoběžná s přímkou BC, b) kolmá k přímce BC, kde B=[4; -5], C=[;3]. 13. Určete obsah trojúhelníka, omezeného přímkami p: x-y-3=0, q: x-y-1=0 a osou x. Výsledky: a) různoběžky P=[-, ], α = b) různoběžky P=[, ], π α = 4 c) různé rovnoběžky v= d) různé rovnoběžky v=5,75 e) různé rovnoběžky v=5, f) různoběžky P=[, ] 3 6 g) různoběžky P=[ 17 π 13, α = h) různé rovnoběžky v =. b je kolmé na c 3. p q=p=[1,] 3. p q=p=[1,] k:3x-y+1= P=[, ], 5x-9= v a =1,74 6. a=3 7. c = a b=[ , ]=C, vc =, γ=6 34, a c=[3;-]=b, v b = b c=[, ]=A, v a = 8 5 5, α=90 9. v 1 =1,74; v =1,61, β = a) q 1 : y= x + ; q : y=-3x-8 b) q 1 : x-3=0, q : x 3 y 3 3 = 0 3 c) q 1 : x-y+=0; q : x+y-4=0 d) q 1 : 3 x 3y 7 = 0 ; q : 3 x + 3y + 7 = b=- 1. a) q 1 : 4x+y-3=0 b) q : x-4y+9=0 13. S=9y 8

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Analytická geometrie v prostoru

Analytická geometrie v prostoru Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 1 Kontrukční úlohy Výsledkem tzv.

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

9 Operace s vektory. Osnova. 9.1 Operace s vektory

9 Operace s vektory. Osnova. 9.1 Operace s vektory Cíl 9 Operace s vektory Osnova 9. Operace s vektory...355 9.. Elementární operace s vektory...355 9.. Polohové a metrické úlohy...356 Analytická geometrie je mocným nástrojem, který pomáhá řešit obrovské

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ arametrický ois křivek 1 Jedánakřivka k(t)=[t t+ ; t 3 3t], t R. Nakresletečástkřivk kro t 3 ;3.Naišterovnicetečenkřivkvbodech k( 1), k(1) a k(). Dosazením několika hodnot

Více

TEMATICKÝ,časový PLÁN vyučovací předmět : matematika ročník: 5. Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková. Zařazená průřezová témata OSV OSV

TEMATICKÝ,časový PLÁN vyučovací předmět : matematika ročník: 5. Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková. Zařazená průřezová témata OSV OSV Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková Září Opakuje početní výkony a uplatňuje komutativní, asociativní a distributivní zákon v praxi. G.:narýsuje přímku, polopřímku, kolmici, rovnoběžky, různoběžky.

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více