A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz"

Transkript

1 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině - vzájemná poloha přímek, odchylka, vzdálenost přímek Analytická geometrie - za zakladatele považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce geometrie, která řeší geometrické úlohy početně Soustava souřadnic v rovině Číselná osa O x : Kartézská soustava souřadnic O xy : bod O přímky x, y A[a 1 ; a ] počátek kartézské soustavy souřadnic souřadnicové osy souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xy. Soustava souřadnic v prostoru O xyz A[a 1 ; a ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz Příklad: 1. Zobrazte body v soustavě O x : A = [-1,5], B = [4], C = [0,5], D = [ ]

2 Analytická geometrie /15. Vyznačte na číselné ose obrazy čísel 1 a Najděte obrazy dvojic O xy [ 1 / ; 1], [ 4 / 3 ; -1], [; 0], [-; -3] 3. Vzdálenost bodů v rovině a prostoru Příklad: Určete vzdálenost bodů A[1; 3] a B[5; 6] AB = Vzdálenost bodů A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] : AB = ( b a 1 a1) + ( b ) AB = ( b a 1 a1) + ( b a ) + ( b3 3) Příklad: Určete vzdálenost bodů A[-1; 0; -] a B[1; 3; 4] AB =

3 Analytická geometrie 3/15 4. Střed úsečky Bod S AB je středem úsečky AB, právě tehdy, když platí AS = BS. A + B S = V rovině: V prostoru: a1 + b1 a + b S = ; a + b1 a + b a3 + S = ; ; 1 b3 Příklad: Najděte střed úsečky, která prochází body A[1; ; ] a B[3; 6; ]. Příklad: 1. V soustavě O xy jsou dány body A = [-1; 1], B = [1; -5], C = [1; 0]. Určete jejich vzdálenost od počátku O soustavy O xy.. Vypočtěte vzdálenost bodů A, B a střed S úsečky AB, je-li dáno: a) A = [-; 3], B = [-; 7] b) A = [0; ], B = [8; 0] c) A = [3; 0], B = [-1; -3] 3. Je dán jeden krajní bod a střed S úsečky. Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky: a) AB, A [-3; 6], S[-1; 4] b) PQ, Q[3; 0,8], S[-1;0,5] 4. Dokažte, že trojúhelník s vrcholy a) A = [4; -1], B = [3; 4], C = [1; ] b) K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý 5. Určete délky stran a těžnic a rozhodněte, jakého druhu je trojúhelník ABC, je-li dáno: a) A = [-3; 1], B = [; -1], C = [1; 3] b) A = [10; 14], B = [3; -10], C = [-6; ] c) A = [3; 8], B = [-1; ], C = [8; -4] 6. Na ose x najděte bod X, který má stejnou vzdálenost od počátku jako od bodu A = [-3; 6] Výsledky: 1., 13, 1. a) 4, [-, 5] b) 68, [4; 1] c)5, [1, - 3 ] 3. a)b[1;] b)p[-5;0,] 4. a)ano c přepona b) ano - k přepona a) a = 17, b = 0, c = 9, t a =, tb = 3,t c = 5, obecný 5 5 b) a = 15, b = 0, c = 5, t a = 73, t b = 5 13, t c =, pravoúhlý 6. c) a = 3 13, b = 13, c = 13, t a = 15, , t b =, tc = 130, pravoúhlý

4 Analytická geometrie 4/15 5. Vektory Vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. u = AB v = CD u = v = w = z w = EF z = GH Nulový vektor - je množina všech orientovaných úseček nulové délky, značíme o. Souřadnice vektoru: u = AB, kde A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] V rovině: u = (u 1 ;u ) = (b 1 a 1 ;b a ) u = AB = B A V prostoru: u = (u 1 ;u ;u 3 ) = (b 1 a 1 ;b a ;b 3 a 3 ) Příklad: V prostoru jsou dány body A[1; ; ] a B[3; ; 5]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je určen orientovanou úsečkou AB. Zakreslování vektorů: Operace s vektory: a) Sčítání vektorů: v rovině u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ) v prostoru u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ; u 3 + v 3 ) Příklad: Vypočítejte součet vektorů u a v, jestliže u = (1; 4) a v = AB, je-li A[-1; ], B[; -1]. Příklad: Vypočítejte součet a rozdíl vektorů u = (3; 1; 5) a v = (; -; 1).

5 Analytická geometrie 5/15 b) Násobení vektorů reálným číslem: Pro každé reálné číslo k platí: v rovině k. u = (k.u 1 ; k.u ) v prostoru k. u = (k.u 1 ; k.u ; k.u 3 ) Příklad: Zakresli vektory u = (1; ), v =. u, w = -1. u Příklad: Vypočítejte souřadnice vektoru u = v + w, kde v = (; 1; -3) a w = (; 3;1). c) Velikost vektoru u : v rovině u = ( u1, u ) u = u1 + u v prostoru u = ( u, u, u u = u + u + u 1 3) nulový vektor o = 0 jednotkový vektor u = 1 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (3; 4). 1 3 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (-4; 7). Výsledek zaokrouhlete na desetinná místa. d) Skalární součin vektorů u a v: v rovině u. v = u 1 v 1 + u v v prostoru u. v = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u.v = 0 vektory jsou navzájem kolmé Příklad: Vypočítejte skalární součin vektorů u = (1; -) a v = (; -3).

6 Analytická geometrie 6/15 Příklad: Pro u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5) vypočítejte u. v. Příklad: Určete, zda vektory u a v jsou na sebe kolmé: a) u = (3; -) a v = (; -3) b) u = (3; -) a v = (; 3) c) u = (3; -) a v = (4; 6) Pravidlo: Příklad: Určete vektor v kolmý k vektoru u = (1; -). e) Odchylka vektorů Pro dva nenulové vektory u, v v rovině nebo v prostoru a jejich odchylku φ platí: u. v cos ϕ =, ϕ 0,180 u. v Příklad: Určete odchylku vektorů u = (3; -) a v = (; -3). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (; -4) a v = (; 1). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5).

7 Analytická geometrie 7/15 Příklady: 1. Rozhodněte, zda platí rovnost AB = CD, je-li dáno: A = [3; ], B = [0; 1], C = [; 0], D = [-1; 1]. Vypočtěte souřadnice vektoru u = AB, je-li dáno: a) A = [0; ], B = [-1; 0] b) A = [0; 3; 0], B = [0; -; 0] 3. V O xy určete souřadnice vektorů a) AB, b) AC, c) BA, d) CA, e) BC, f) CB, jestliže A = [-1; 3], B = [4; ], C = [-5; 7]. 4. Určete velikosti vektorů AB, BA, AC, BC, je-li A = [-; 3], B = [-1; 4], C = [5; -]. 5. Určete souřadnice bodu B tak, aby platilo u = AB, je-li dáno A = [-1; 1], u = (-1;-). 6. Jsou-li dány souřadnice bodů A, B, C, najděte souřadnice bodu D tak. Aby platilo: AB = CD : A = [6; 3], B = [8; 0], C = [5; ] 7. Je vektor u, jehož umístěním je orientovaná úsečka AB jednotkový vektor? a) A = [5; 1], B = [4; 1] b) C = [3; sin 60 ], B = [3,5; tg 60 ] 8. Určete t R tak, aby vektory u, v byly navzájem kolmé a) u = (-; 1), v = (1; t) b) u = (-; 1; ), v = (1; 4; t) 9. Jsou dány body A = [1; ], B = [4; 3], C = [5; 5]. Určete souřadnici d bodu D = [3; d ] tak, aby vektor CD byl kolmý na vektor AB. 10. Dokažte, že trojúhelník KLM, kde K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý. 11. Pomocí vektorů vypočtěte obsah trojúhelníku ABC a velikosti vnitřních úhlů, je-li dáno: A = [; 5], B = [-4; ], C = [9; -3]. 1. Vypočtěte úhel vektorů u, v, je-li a) u = (-1; ), v = (1; 3) b) u = (-; 1), v = (-1; -3) c) u = (1; -), v = (; 1) d) u = (; -3), v = (-3; -) 13. Jsou dány body A = [1; 1], B = [; -1], C = [3; ]. Dokažte, že body ABC tvoří trojúhelník a vypočtěte velikosti jeho vnitřních úhlů. Výsledky: 1. ne. a) (-1; -) b) (0, -5, 0) 3. a) (5; -1), b) (-4; 4), c) (-5; 1), d) (4; -4), e) (-9; 5), f) (9; -5) 4. AB =, BA =, AC = 74, BC = 6 5.[-; -1] 6. [7; -1] 7. ano, ano 8. t =, t = [3; 11] u vrcholu K 11. S = 34,5 j, α = , β = 47 36, γ = 7 47 π π π π π π π 1.,,, 13. α =, β =, γ =

8 Analytická geometrie 8/15 6. Přímka A) PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY p přímka v rovině je určena dvěma různými body A a B vektor u = B - A nazýváme směrový vektor AB určuje směr X = A + t u ; t R - parametrické vyjádření přímky určené bodem A a směrovým vektorem u - proměnná t se nazývá parametr p: A[a 1 ; a ], u = (u 1 ; u ): např.: x = a 1 + t.u 1 y = a + t.u ; t R [x; y] jsou souřadnice všech bodů ležících na přímce p Příklad: Určete parametrické vyjádření přímky zadané body A[; 1] a B[3; 3]. Příklad: Zjistěte, zda bod P[-3; 5] leží na přímce AB, kde A[1; 1] a B[5; -3]. Příklad: Určete, jaký geometrický útvar určuje parametrické vyjádření X = A + t u, jestliže a) t <0; 1> b) t <0; ) Příklad: 1. Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u : a) A = [-; -3], u = (0; 4) b) A = [0; 3], u c) A = [0; 0], u = (1; 0) = (-7; 0) d) A = [1; 1; 0], u = (; -1; 3). Napište parametrické rovnice přímky, která prochází body: a) A = [7; ], B = [3; 5] c) E = [; -4; 5], F = [0; -10; 7] b) C = [-3; 5], D = [5; 5] d) G = [3; -1; 4], H = [1; -; 4] 3. Zjistěte, zda body A = [-3; 7], B = [0; 3], C = [-14; -1] leží na přímce, určené rovnicemi

9 Analytická geometrie 9/15 x = 1 t, y = 3t, t R. 4. Rozhodněte, který z bodů A = [13; -5; 18], B = [0; -14; -1] leží na přímce x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t, t R. 5. Napište rovnici přímky, která je určena body A = [1; 4], B = [3; 3]. Určete souřadnici c 1 bodu C = [c 1 ; ] tak, aby bod C ležel na přímce AB. Výsledky: 1. a) x = -, y = t b) x = -7t, y = 3 c) x = t, y = 0 d) x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t. a) x = 7 4t, y = + 3t b) x = t, y = 5 c) x = t, y = -4 6t, z = 5 + t d) x = 3 t, y = -1-t, z = 4 3. B p, A, C p 4. A p, B p 5. x = 1 + t, y = 4 t, C = [5; ] B) OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY Rovnice ax + by + c = 0, a, b, c R, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky. Příklady obecných rovnic: Příklad: Najděte 3 body ležící na přímce vyjádřené obecnou rovnicí: x - y + 3 = 0. Příklad: Danou parametrickou rovnici přímky převeďte na obecnou rovnici: x = t, y = 3 + t Vektor kolmý ke směrovému vektoru přímky v rovině se nazývá normálový vektor této přímky. V obecné rovnici ax + by + c = 0 přímky p odpovídají koeficienty a, b souřadnicím jejího normálového vektoru n = (n 1 ; n ) a = n 1, b = n Příklad: Určete obecnou rovnici přímky p, která je určena body A[3; 1] a B[1; ].

10 Analytická geometrie 10/15 Příklad: Najděte obecnou rovnici přímky q: x = 3 - t, y = + t; t R. 1. způsob:. způsob: Příklad: Určete parametrickou rovnici přímky q: x - 3y - 4 = 0. C) SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY Rovnice y = kx + q; k, q R se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. k...směrnice přímky u k = tg φ = u 1 příklad směrnicového tvaru: Příklad: Najděte pro přímku AB, kde A[0; 3], B[6; 0] parametrické vyjádření, obecnou rovnici a směrnicový tvar její rovnice.

11 Analytická geometrie 11/15 Příklady: 1. Dané parametrické rovnice přímky převeďte na tvar obecný a směrnicový: a) x = 3t, y = 1 t b) x = 4 3t, y = t. Zobrazte přímky o rovnicích: a) 4x 3y + 10 = 0 b) 6x + 3x 1 = 0 c) 3x y + = 0 d) y + = 0 e) x 1 = 0 f) x = t, y = 0 g) x = 0, y = t h) x y + 1 = 0 3 i) x = 1 + t, y = t 3. Napište směrnici a směrnicový tvar rovnice přímky určené body A = [-3; -7], B = [; -3] 4. Dokažte, že body R = [3; 4], S = [-1; ], T = [1; 3], U = [-5; 0] leží na jedné přímce. Napište rovnici této přímky. 5. Čemu se musí rovnat číslo n, aby body M = [3; -4], N = [1; n ], P = [-1; ] ležely na jedné přímce? 6. Napište obecnou rovnici přímky v E, která prochází středem úsečky AB a je kolmá na přímku AB, je-li dáno: A = [3; 1], B = [-1; 5] 7. Napište v E rovnici přímky, procházející středem úsečky AB: a) rovnoběžné s přímkou p b) kolmé na přímku p, je-li dáno: A = [3; 6], B = [1; ], p: x y + 10 = 0 8. Určete obecnou rovnici přímky v E, která je dána body A = [6; ], B = [-3; 4]. Dále určete souřadnice průsečíků této přímky se souřadnicovými osami. Tyto dva body tvoří s počátkem soustavy O xy trojúhelník. Vypočtěte jeho obsah. 9. Určete obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A = [1; 3] a průsečíkem přímek, daných rovnicemi 3x + 4y 1 = 0 a x + y 4 = Úsečka AB má krajní body A = [1; 3], B = [-4; 1]. Určete rovnici přímky, která prochází středem úsečky AB a průsečíkem přímek p, q daných rovnicemi p: x y + 4 = 0, q: 3x + 5y 7 = Trojúhelník má vrcholy A = [4; -], B = [; ], C = [-3; -1]. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží strany, těžnice a výšky tohoto trojúhelníka. Výsledky: 1. a) x + 3y 3 = 0, y = - 3 x + 1 b) x + 3y 4 = 0, y = x k = 5 4, y + 7 = 5 4 (x+3), y = 5 4 x x = 3 4t, y = 4 t, x y + 5 = 0 5. n = x y + = 0 7. a) x y + 6 = 0 b) x + y 8 = 0 8. x + 9y 30 = 0 10 X = [15; 0], Y = [0; ], S = x + y 11 = p q = P = [-1; ] p : y =- 11. BC: 3x 5y + 4 = 0 AB: x + y 6 = 0 AC: x + 7y + 10 = 0 t a : 5x + 9y = 0 t b : 7x 3y 8 = 0 t c : x 6y 3 = 0 v a : 5x + 3y 14 = 0 v b : 7x y 1 = 0 v c : x y + 1 = 0

12 Analytická geometrie 1/15 7. vzájemná poloha přímek Dvě přímky p, q v rovině mohou mít tři vzájemné polohy p q = p q = p p q = {P} rovnoběžné různé totožné různoběžné žádný společný bod společná je celá přímka jeden společný bod, bod P Příklad: Jsou dány body P[3; 5], Q[; 1] a vektory u = (1; ), v = (3; 6). Rozhodněte, zda jsou přímky p(p, u ) a q(q, v ) rovnoběžné. Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[; -1], u = (1; ), Q[0; -], v = (1; 1). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[-1; 0], u = (1; ), Q[3; 5], v = (3; 6). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.

13 Analytická geometrie 13/15 Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[1; ], u = (1; -), Q[-1; 6], v = (-; 4). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p a q, je-li p: x - y - 1 = 0, q: 3x + 3y - 6 = 0. Jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p: x - y + 5 = 0 a q: x = 3 - t, y = + t; t R. Pokud existuje, najděte jejich průsečík. 8. Odchylka přímek Odchylka přímek p(p, u ), q(q, v ) je číslo φ <0, π/>, pro které platí: u. v cos ϕ = u. v Příklad: Jsou dány přímky p a q. Přímka p je určena body A = [; 0] a B = [1; 6] a přímka q rovnicí x - y + 1 = 0. Určete jejich odchylku. Příklad: Vypočítejte odchylku přímek p: 4x - 7y - 7 = 0 a q: 3x + 9y - 1 = 0. Výsledek zaokrouhlete na stupně.

14 Analytická geometrie 14/15 9. Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost d bodu M[m 1 ; m ] od přímky p: ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce: v = Mp am1 + bm + c = a + b Příklad: Vypočítejte vzdálenost d bodu A[-1; 5] od přímky p: 3x + 4y - = Vzdálenost přímek Vzdálenost je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. Příklad: Určete vzdálenost d přímky p: 3x - 4y + 1 = 0 od přímky q: 3x - 4y + 4 = 0. Příklady: 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek p, q, j sou-li dány jejich rovnice: a) p: x-5y+6=0, q: 8x+15y+10=0 b) p: x+y-5=0, q: 3x-y+4=0 c) p: x-4y+9=0, q: x-y+9=0 d) p: x+7=0, q: 4x-9=0 e) p: y-3=0, q: 3y-5=0 f) p: x+y-7=0, q: 9x+6y-14=0 g) x+5y+9=0, q: x-3y+1=0 h) p: x-3y=6, q: 4x-6y-5=0. Dokažte, že trojúhelník, jehož strany leží v přímkách a: x-3y+1=0, b: x+y+7=0, c: x-4y-1=0, je pravoúhlý. 3. Napište rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek p: x+y-5=0, q: 3x-y+1=0 kolmo k přímce a: x+3y+7=0.

15 Analytická geometrie 15/15 4. Která přímka prochází průsečíkem přímek a: x-6y-1=0, b: x+3y=4 rovnoběžně s osou y? 5. Vypočtěte velikost výšky v a v trojúhelníku ABC, je-li A=[1;5], B[5;-5], C[3;4]. 6. V rovnici přímky ax+3y-1=0 určete a tak, aby přímka měla směrový úhel ϕ = Jsou dány tři přímky o rovnicích x+y-3=0, 3x-y-=0 a 6x+5y-c=0. Určete absolutní člen c tak, aby všechny tři přímky měly jeden společný bod. 8. Určete vrcholy a vnitřní úhly trojúhelníka, jehož strany leží v přímkách a,b,c o rovnicích: a: x+7y+11=0, b: x-3y-1=0, c: 3x+y-7=0. 9. Určete velikost výšek rovnoběžníka, jehož strany leží v přímkách o rovnicích 3x-y+5=0, 6x-y-1=0, x+y-3=0, 5x+10y+3= Jaká je rovnice přímky, která prochází daným bodem A a s danou přímkou p svírá daný úhel α? a) A=[-3;1], p: y=x 0,5, α=45 b) A=[3;-], p:.x-y+1=0, α=30 c) A=[1;3], p: 4x-7=0, α=45 d) A=[0;-9], p: 3x-7=0, α= Určete koeficient b R v rovnici přímky p 1 : 9x+by+7=0 tak, aby přímka p 1 byla rovnoběžná s přímkou p : 8x-5y-11=0. 1. Určete rovnici přímky p, která prochází průsečíkem P přímek p 1 : x-y-3=0, p : 3x+y-5=0, přičemž přímka p je a) rovnoběžná s přímkou BC, b) kolmá k přímce BC, kde B=[4; -5], C=[;3]. 13. Určete obsah trojúhelníka, omezeného přímkami p: x-y-3=0, q: x-y-1=0 a osou x. Výsledky: a) různoběžky P=[-, ], α = b) různoběžky P=[, ], π α = 4 c) různé rovnoběžky v= d) různé rovnoběžky v=5,75 e) různé rovnoběžky v=5, f) různoběžky P=[, ] 3 6 g) různoběžky P=[ 17 π 13, α = h) různé rovnoběžky v =. b je kolmé na c 3. p q=p=[1,] 3. p q=p=[1,] k:3x-y+1= P=[, ], 5x-9= v a =1,74 6. a=3 7. c = a b=[ , ]=C, vc =, γ=6 34, a c=[3;-]=b, v b = b c=[, ]=A, v a = 8 5 5, α=90 9. v 1 =1,74; v =1,61, β = a) q 1 : y= x + ; q : y=-3x-8 b) q 1 : x-3=0, q : x 3 y 3 3 = 0 3 c) q 1 : x-y+=0; q : x+y-4=0 d) q 1 : 3 x 3y 7 = 0 ; q : 3 x + 3y + 7 = b=- 1. a) q 1 : 4x+y-3=0 b) q : x-4y+9=0 13. S=9y 8

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky 8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více