8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

Transkript

1 Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme reálné číslo, které splňuje následující podmínky: 1. λ = AC BC, 2. λ > 0 C neleží mezi body A, B a λ < 0 C leží mezi body A, B. Poznámka Z definice ihned plyne, že λ R \ {0, 1}. Věta Nechť (ABC) = λ. Potom platí: (BAC) = 1 λ, (ACB) = 1 λ, (BCA) = 1 1 λ = λ 1 (CBA) = λ λ 1, (CAB) = 1 1 λ. Definice Je dán bod S a reálné číslo κ R \ {0, 1}. Uvažujme zobrazení H(S, κ) v rovině E 2, které je určeno následujícím předpisem: (i) Obrazem bodu S je bod S = S. (ii) Obrazem bodu X S je bod X takový, že (X XS) = κ. Zobrazení H(S, κ) se nazývá stejnolehlost (homotetie), bod S nazýváme střed stejnolehlosti a reálné číslo κ nazýváme koeficient stejnolehlosti. Poznámka Porovnáním konstrukčních definic obou zobrazení zjistíme, že platí H(S, 1) = S(S), tj. středová souměrnost je zvláštním případem stejnolehlosti. Poznámka Obdobně bychom definovali i stejnolehlost v prostoru E 3 nebo na přímce E 1. Věta Stejnolehlost je prosté zobrazení. Věta Inverzním zobrazením ke stejnolehlosti H(S, κ) je opět stejnolehlost, neboli H 1 (S, κ) = H(S, 1 κ. λ, Věta Ve stejnolehlosti H(S, κ) je obrazem přímky p přímka p s ní rovnoběžná; obrazem úsečky AB úsečka A B, přičemž A B = κ AB ; obrazem polopřímky AB polopřímka A B, přičemž A B AB κ > 0 a A B AB κ < 0; obrazem úhlu AV B úhel A V B shodný s úhlem AV B. Věta Stejnolehlost H(S, κ) má jediný samodružný bod střed stejnolehlosti. Samodružnými přímkami jsou všechny přímky procházející středem stejnolehlosti. Všechny směry jsou samodružné. Stejnolehlost 2 kružnic Věta Obrazem kružnice k(s 0, r) ve stejnolehlosti H(S, κ) je kružnice k (S 0, κ r). Věta Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. Věta Dotýkají-li se dvě kružnice, potom bod dotyku je jedním ze středů stejnolehlosti.

2 Typeset by LATEX2ε 2 Věta Jsou-li dány 2 nesoustředné kružnice k 1, k 2 (S 1 S 2 ) a přímka t, která je tečnou kružnice k 1 a současně prochází jedním ze středů stejnolehlosti, potom je přímka t i tečnou kružnice k 2. Věta Společná tečna 2 nesoustředných kružnic k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ) prochází některým ze středů stejnolehlosti kružnic k 1, k 2 nebo je rovnoběžná s přímkou S 1 S 2. Poznámka Předcházející věty lze využít při konstrukci společné tečny 2 kružnic. Poznámka Při konstrukci společné tečny 2 kružnic lze využít metodu kontrakce a dilatace. Skládání stejnolehlostí Věta (Mongeova věta: Nechť jsou dány stejnolehlosti H 1 (S 1, κ 1 ), H 2 (S 2, κ 2 ). Složením H 1 H 2 vznikne 1. identita I S 1 = S 2 κ 1 κ 2 = 1; 2. translace T S 1 S 2 κ 1 κ 2 = 1; 3. stejnolehlost H(S, κ 1 κ 2 ) κ 1 κ 2 1. Věta Množina všech stejnolehlostí, všech translací a identity tvoří vzhledem k operaci skládání grupu. Definice Grupa G M z předcházející věty se nazývá Mongeova grupa. Poznámka Průnikem Mongeovy grupy G M a grupy všech shodností G S je grupa tvořená středovými souměrnostmi, translacemi a identitou. 8.2 Podobná zobrazení (podobnosti). Skládání podobností Definice Je dáno kladné reálné číslo k. Zobrazení P(k) v množině M se nazývá podobné zobrazení (zkráceně podobnost) v množině M, právě když ( X, Y M) (P(k) : X X Y Y = X Y = k XY ). Číslo k se nazývá poměr podobnosti. Poznámka M = E 1 (eukleidovská přímka) podobná zobrazení na přímce, M = E 2 (eukleidovská rovina) podobná zobrazení v rovině, M = E 3 (eukleidovský prostor) podobná zobrazení v prostoru Poznámka Základním invariantem podobných zobrazení je poměr velikostí úseček. Z definice shodnosti dvou úhlů vyplývá, že tato vlastnost je ekvivalentní se zachováním velikosti úhlu. Definice Podobnost P(1) se nazývá nevlastní podobnost. Podobnost P(k) (k 1) se nazývá vlastní podobnost. Pro k > 1 hovoříme o zvětšení, pro k < 1 o zmenšení. Věta Shodnost S je nevlastní podobnost. Věta Každá vlastní podobnost má nejvýše jeden samodružný bod. Věta Stejnolehlost H s koeficientem κ je podobnost s poměrem podobnosti κ. Věta Každé podobné zobrazení je prosté.

3 Typeset by LATEX2ε 3 Věta Inverzní zobrazení k podobnosti P(k) je podobnost P( 1 k ). Věta Složením dvou podobných zobrazení v množině M vzniká opět podobné zobrazení v množině M. Věta Každou vlastní podobnost v rovině lze rozložit na stejnolehlost a shodnost, a to v libovolném pořadí. Definice Podobnost, která vznikne složením stejnolehlosti a přímé (nepřímé) shodnosti se nazývá přímá (nepřímá) podobnost. Poznámka Opět platí: Sestrojíme-li libovolný trojúhelník ABC a jeho obraz A B C v přímé podobnosti, potom jsou smysly obíhání vrcholů obou trojúhelníků souhlasné. Sestrojíme-li libovolný trojúhelník ABC a jeho obraz A B C v nepřímé podobnosti, potom jsou smysly obíhání vrcholů obou trojúhelníků opačné. Věta Složením dvou přímých podobností vzniká přímá podobnost. Složením dvou nepřímých podobností vzniká přímá podobnost. Složením přímé a nepřímé podobnosti vzniká nepřímá podobnost. Důsledek Skládání přímých podobností je uzavřená operace. Věta Všechny podobnosti v rovině vytvářejí grupu (G P, ). Věta Všechny přímé podobnosti v rovině vytvářejí grupu (G P, ), která je podgrupou grupy všech podobností G P. Věta Grupa všech shodností G S je podgrupou grupy všech podobností G P. Grupa všech přímých shodností G S je podgrupou grupy všech přímých podobností G P. Věta Mongeova grupa G M je podgrupou grupy všech podobností G P Věta (O určenosti podobného zobrazení) Nechť jsou dány dva trojúhelníky ABC a A B C, přičemž platí A B = k AB, B C = k BC a C A = k CA. Potom existuje jediná podobnost, která převádí bod A v bod A, bod B v bod B a bod C v bod C. 8.3 Podobnost trojúhelníků. Eukleidovy věty, Pythagorova věta Definice Útvar U je podobný útvaru U, jestliže existuje podobnost Z, která převádí útvar U na útvar U. Značíme U U. V závislosti na podobnosti Z hovoříme o útvarech přímo podobných a nepřímo podobných. Poznámka Relace podobnosti je reflexivní, symetrická a tranzitivní, tj. jedná se o relaci ekvivalence. Ta vytváří na množině geometrických útvarů třídy navzájem podobných útvarů. Poznámka Zřejmě platí: Každé 2 kružnice jsou podobné. Každé 2 čtverce jsou podobné. Každé 2 rovnostranné trojúhelníky jsou podobné. Každé 2 pravidelné n-úhelníky jsou podobné. Věta Věty o podobnosti trojúhelníků Jsou dány trojúhelníky ABC (velikosti stran a, b, c a velikosti vnitřních úhlů α, β, γ) a A B C (velikosti stran a, b, c a velikosti vnitřních úhlů α, β, γ ).

4 Typeset by LATEX2ε 4 Věta sss o podobnosti trojúhelníků a = k a b = k b c = k c k > 0 = A B C ABC Věta sus o podobnosti trojúhelníků (b = k b c = k c k > 0) α = α = A B C ABC Věta uu o podobnosti trojúhelníků α = α β = β = A B C ABC Věta Ssu o podobnosti trojúhelníků (a = k a b = k b k > 0) a > b α = α = A B C ABC Věta Eukleidovy věty: Nechť je dán pravoúhlý ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Označme C 0 patu výšky spuštěné z vrcholu C a c a, c b velikosti úseků přepony (c a = BC 0, c b = AC 0. Potom platí a 2 = c a c b 2 = c b c; v 2 c = c a c b Eukleidova věta o odvěsně Eukleidova věta o výšce Věta Pythagorova věta: Nechť je dán pravoúhlý ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Potom platí a 2 + b 2 = c Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed Mocnost bodu ke kružnici Věta Nechť je dána kružnice k(s, r) a bod M, který na ní neleží. Nechť p a p jsou dvě libovolné sečny kružnice k, které procházejí bodem M a protínají kružnici v bodech A, B a A, B. Potom platí kde k je konstantní číslo (k > 0). MA MB = MA MB = k, Věta Nechť je dána kružnice k(s, r) a její vnější bod M. Nechť p je libovolná sečna kružnice k, která prochází bodem M a protíná kružnici v bodech A, B, a t je tečna, která se dotýká kružnice k v bodě T. Potom platí MA MB = MT 2 = k, kde k je konstantní číslo (k > 0). Poznámka Jestliže označíme MS = d, potom pro vnější bod M platí MA MB = MA MB =... = MT 2 = d 2 r 2. Definice Nechť je dán bod M a kružnice k(s, r). Označme vzdálenost M S = d. Mocností bodu M ke kružnici k(s, r) (značíme µ M k ) rozumíme číslo µ M k = d 2 r 2. Důsledek M je vnější bod kružnice k (tj. d > r), potom µ M k = d 2 r 2 > 0. M je vnitřní bod kružnice k (tj. d < r), potom µ M k = d 2 r 2 < 0. M je bod na kružnici k (tj. d = r), potom µ M k = d2 r 2 = 0.

5 Typeset by LATEX2ε 5 Chordála dvou nesoustředných kružnic Příklad Vyšetřete množinu všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma zadaným kružnicím k 1, k 2. Závěr: Množinou všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke kružnicím k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) ( S 1 S 2 = s) je přímka c kolmá na přímku S 1 S 2, jejíž patou je bod P, pro který platí S 1 P = s 2 +r 2 1 r2 2 2s. Definice Přímka c, která je množinou všech bodů v rovině majících stejnou mocnost ke kružnicím k 1 a k 2, se nazývá chordála kružnic k 1, k 1. Příklad Sestrojte chordálu 2 nesoustředných kružnic k 1, k 2. a) k 1, k 2 se protínají v bodech A, B. Platí A k 1 µ A k 1 = 0 a A k 2 µ A k 2 = 0. Bod A je jedním bodem chordály. Ze stejného důvodu i B c, tj. c = AB. b) k 1, k 2 se dotýkají v bodě T. Platí T k 1 µ T k 1 = 0 a T k 2 µ T k 2 = 0. Bod T je jedním bodem chordály. Dále víme: c S 1 S 2. c) k 1 k 2 = viz dále Potenční střed tří (po dvou nesoustředných) kružnic Příklad Jsou dány kružnice k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ), k 3 (S 3, r 3 ) (S 1 S 2 S 3 S 1 ). Vyšetřete, zdali existuje bod, který by měl stejnou mocnost ke všem kružnicím. a) S 1, S 2, S 3 kolineární. Potom chordály ch 12, ch 23, ch 31 jsou navzájem rovnoběžné, přičemž buďto všechny splynou, anebo žádné dvě spolu nesplynou. b) S 1, S 2, S 3 nekolineární. Potom se chordály ch 12, ch 23, ch 31 protínají v jednom bodě. Definice Bod P, který má stejnou mocnost ke kružnicím k 1, k 2, k 3 se nazývá potenční střed kružnic. k 1, k 2, k 3. Příklad Sestrojte chordálu 2 nesoustředných kružnic k 1, k 2 bez společného bodu. 1. zvolíme k 3 (S 3, r 3 ), S 3 S 1 S 2 tak, aby k 1 k 3 = {A, B} k 2 k 3 = {C, D} 2. ch 13 = AB ch 23 = CD = {P }, 3. P ch 12 ch 12 S 1 S 2