Časopis pro pěstování matematiky
|
|
- Karolína Černá
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Časopis pro pěstování matematiky Jiří Veselý O jedné smíšené okrajové úloze teorie analytických funkcí Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 91 (1966), No. 3, Persistent URL: Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1966 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library
2 Časopis pro pěstováni matematiky, rot.9i (1966), Praha O JEDNÉ SMÍŠENÉ OKRAJOVÉ ÚLOZE TEORIE ANALYTICKÝCH FUNKCÍ JIŘÍ VESELÝ, Praha (Došlo dne 12. srpna 1965) Při studiu okrajových úloh teorie analytických funkcí se zpravidla předpokládá dostatečná hladkost" křivek, tvořících hranici uvažované oblasti. Často se k řešení těchto úloh užívá Fredholmovy metody, pro kterou se zpravidla tento předpoklad zavádí. V tomto článku vyjádříme řešení jisté smíšené okrajové úlohy pomocí integrálů typu m Lč Z kde K je rektifikovatelná Jordánova křivka a F spojitá reálná funkce na této křivce. Pro libovolnou spojitou funkci F nemůže však ani předpoklad hladkosti křivky K zaručit existenpi spojitého rozšíření funkce vyjádřené integrálem (1) z vnitřku křivky K na K. V souvislosti s tím se studují oblasti ohraničené křivkami, splňujícími další omezení, na příklad tzv. Ljapunovovy podmínky. V článcích [5] a [8] jsou studovány okrajové úlohy teorie harmonických funkcí; výsledků zde dosažených lze použít pro zobecnění řešení úlohy řešené též v [1] a [2]. V práci [1] naznačuje autor možnost převedení složitějších úloh na tuto úlohu, v práci [2] je popsána aplikace této úlohy v hydrodynamice. V tomto článku jsou formulovány nutné a postačující podmínky pro spojité rozšíření reálné a imaginární části studované funkce z uvažované oblasti na části hranice, kladené na křivky tuto hranici vytvářející. Je zde vyšetřen Fredholmův poloměr operátoru použitého k řešení této úlohy a udána podmínka, zaručující existenci řešení úlohy pro dostatečně širokou třídu hraničních podmínek. Pro formulaci úlohy zavedeme následující označení. Nechť E t značí množinu Všech reálných čísel, E 2 množinu všech komplexních čísel, Kj <= E 2 pro 0 «j <í q jest systém Jordánových křivek s vnitřky D j9 přičemž pro 0 <S j < k ^ q platí (2) DjnD K = Q, 4 Í> 0 :DU-V Jmí S20
3 Křivka K 0 jest orientována kladně, křivky K p j = 1,..., q záporně. Položíme (3) D = D 0 - U Dj p-l 4 a zvolíme pevně přirozené p, 1 ^ p š 4- Nechť L' = (J K,-, L" = (J K,-, L = L' u L". 1=0 j=p Je-li M kompaktní, M c 2 > označíme symbolem C(M) Banachův prostor všech spojitých reálných funkcí na M s normou F = sup \F(t)\, Dále nechť Q značí tem množinu všech funkcí z C(L), které jsou konstantní na každé komponentě L, <2 0 množinu všech funkcí z g, které nabývají na křivce K 0 pouze nulové hodnoty. Zřejmě je g 0 cgc C(L). Smíšenou Dirichletovu úlohu, kterou se budeme zabývat, lze formulovat ve tvaru: Úloha 1. K dané funkci G e C(L) najděte jednoznačnou analytickou funkci # v oblasti D tak, aby existovaly konečné limity lim Re <ř>(z) = $(Q z-*r zed pro e L', lim Im Ф(z) = Ф(C) pro C є L" г-->c zєd a platil vztah $ - G e g. Řešení této úlohy budeme hledat ve speciálním tvaru stejně jako v [1] či [2]. Proto též učiníme další předpoklad, že totiž K 0,K u...,k q jsou rektifikovatelné křivky. Budeme studovat funkce #(z) = WF(z) pro FeC(L), zee 2 - Ltypu (4 ) w.if isu+ir i.*. ^JL'C-Z rcjx,* í-z Pro řešení úlohy 1 ve tvaru (4) je nutno najít k funkci G e C(L) hustotu" F, tj. vyšetřiti následující úlohu: Úloha 2. K dané funkci G 6 C(L) určete funkci F e C(L) tak, aby funkce WF = <P určená vztahem (4) byla řešením úlohy 1. Z hlediska určení chování funkce WF v okolí L a zaručení existence potřebných limit je vhodné vyšetřit následující úlohu: Úloha 3. Nechť WF je definována vztahem (4). Najděte nutné a postačující podmípky k tomu, aby pro každou funkci F e C(L) existovaly vlastní limity (5) lim Re WF(z) = ^IF(C) pro ( e L' ] z-c zed lim Im f F(z) = AF(C) pro e L*. z-c zє > 321
4 Poznámka 1. Z existence vlastních limit (5) pro všechna L plyne spojitost funkce AF na L, tj. ylf e C(L). Začneme řešením úlohy 3. Zvolíme následující označení. Nechť je K rektifikovatelná Jordánova Křivka v E l9 vytvořená komplexní spojitou periodickou funkcí ý reálné proměnné t s periodou 2fc, fc > 0, s následujícími vlastnostmi: (6) ^«0, 2fc» =- K 9 \j/(t + 2fc) = \l/(t) pro t e E t, 0 < \t t - t 2 \ < 2fc => \lf(t t ) * ^(ř 2 ) pro * l5 í 2 e F x. Z rektifikovatelnosti křivky JC vyplývá při běžném způsobu definice variace funkce na intervalu var [^; I] < + oo pro každý omezený interval I c E t. Přiřadíme každé funkci F C(K) předpisem f(t) = F(\l/(t)) spojitou reálnou periodickou funkci / na E t s periodou 2fc. Vezmeme-li za normu na množině všech takových funkcí maximum funkce na E t a označíme-li takto vzniklý prostor C 2k9 je uvedeným předpisem vyjádřený vzájemně jednoznačný vztah mezi funkcemi /, F izometrickým izomorfismem (7) C(K)~C 2k. Každé funkci F e C(K) přiřadíme funkci W K F 9 definovanou pro ze E 2 K předpisem (8) wi-í^t-rf 1^'). JKC - z Jo W) ~ z přičemž vzhledem k (7) budeme používat vždy vhodnějšího z obou vyjádření. V posledním integrálu lze integrovat přes libovolný interval I <= E x délky 2fc. Pro z $ K lze psáti (9) ip(t)-z~\il,(t)-z\.expi$ z (t) 9 kde B z (z) označuje spojitou větev arg [^(t) z] na E t. Dále označíme pro F e C(K) y zee 2 - K (10) Re W K F(z) - f d C - z\ - f ^ L d#(0 - * - M^z f F), J* c- z l JO no~ z l Im!P K F(z) - Fty(O) d t S z (t) = ÍV K (z, F). Jo r Nechť.4, B jsou dvě množiny v E l9 pak dist (A 9 B) = inf {^ z 2 ; z t e ^4, z 2 e B}; je-li A «{zj, píšeme kratčeji dist (Ai, B) =-= dist (z l9 B). Položme B(M) - --{F ; F C(M), F SI}. Lemma 1. Je4i A c E 29 dist (<4,K) > 0, pak všechny funkce M K (z 9 F), W K (z 9 F) pro F B(K)jsou stejně spojité a stejnoměrně omezené na A. 322
5 Důkaz tohoto tvrzení vyplývá z lemmatu 2.1 v [8]. Nechť dále Int K značí omezenou komponentu E 2 K, tj. vnitřek křivky K, Ext K, neomezenou komponentu E 2 K. Pro z K zavádíme označení ind (z, K) pro index bodu z vzhledem ke křivce K, tj. ind (z, K) = A u arg O(u) - z; <ř, ř + 2fc>]. Označíme ještě symbolem a hodnotu ind (z, K) na Int K, tj. 2K (11) ind(z,k) = a Je-li zee 29 aexo, 2^>, Ke(0, + oo>, označíme fi K (z 9 a) počet (0 ^ 1*R{ Z > a ) = g + oo) bodů množiny K n {z + rexp ja; 0 < r < JR}. Funkce ju (z, a) je lebesgueovsky měřitelná funkce vůči proměnné a (viz [6]) a lze položiti (12) «(-)-- í% (z,a)da. Pro K = + oo budeme psáti pouze tr*(z). Označíme-li D K libovolnou z komponent E 2 - K, platí: Lemma 2. Nutnou a postačující podmínkou pro stejnoměrnou spojitost funkcí W K (z 9 F) na D K pro všechny funkce F e C(K)je vztah (13) sup ir*(c) < +oo. Důkaz tohoto tvrzení vyplývá z věty 2.10 v [5]. Stejnoměrná spojitost funkcí W K (z 9 F) (F e C(K)) na D K je ekvivalentní s existencí vlastních limit (14) limjv K (z,f) pro ek. *-; Pro výpočet limity (14) zavedeme funkci # c (í), ek, tee t. Nechť ek; zvolíme libovolně ÍQGII/' 1^) = {í 0 ; t 0 e E í9 \l/(t 0 ) = }. V (ř 0, t 0 + 2fc) existuje vzhledem k (6) spojitá větev S c (ř) argumentu arg [\j/(t) - ]. Z (13) plyne (viz [8]) var ttyt); (t fc)] < + oo a existují tudíž vlastní limity lim 9 ; (t) = S r (ř 0 +), lim 3 c (í) = S s ((t 0 + 2fc) -). t~+to+ ř-*(ř 0 + 2*)~ Položíme 3 c (ř 0 ) = 3 4 (í 0 +) a takto definovanou funkci S c (í) rozšíříme z <f 0, ř 0 + 2fc) na E t předpisem (15) 3? (í + 2fc) = S r (ř) + on, 323
6 kde a je určeno vztahem (11). I pro pevně zvolené e K není funkce 3 c (í) určena jednoznačně, nýbrž jen až na jistou aditivní konstantu. Funkce S z (ř) pro z $ K byla spojitá v E l9 funkce 3 r (0 pro (,ekv E t obecně spojitá nemusí být. Položíme (16) ^(C,F)=f 2 V(^(í))d t 9 c (í). Hodnota W K (C, F) je určena jednoznačně, nezávisle na výběru S r (ř). Potom platí (viz věta 1.2 v [8]): Lemma 3. Nechť platí (13). Pak pro libovolnou funkci F e C(K) a libovolné e K platí (17) Um W K {z 9 F) = W K (C 9 F) ± on F(Q, z-c zed K kde + " resp. -" platí při D K = Int K resp. D K = Ext K. Provedené úvahy lze snadno zobecniti na oblasti, jejichž hranice je složena z konečně mnoha rektifikovatelných Jordánových křivek, speciálně tedy pro systém L. Nechť il/ Kj9 M Kj9 W Kj jsou definovány analogicky jako odpovídající funkce ve vztazích (8) a (10). Pro libovolnou F e C(L) definujme (18) M L,(z 9 F)JŽM Kj (z 9 F) 9 W L,(Z 9 F)~Y,W KJ (Z 9 F) 9 zee 2 ~L 9 i=o j=0 M L.{z, F) = Ім M Kj (z,f), Kj F), W L,(z, (z,f) = X Z W Kj (z, F), zвe 2 -Ľ. j=p Lemma 4. Nechť A c. E l9 dist (A 9 L') > 0. Potom všechny funkce M L,(z 9 F), W v (z 9 F) pro F B(L) jsou stejně spojité a stejnoměrně omezené na A. Pro dist (A 9 L") > 0 platí analogické tvrzení o M L (z 9 F), W L,(z 9 F), (F e B(L)). Důkaz vyplývá z lemmatu 1. Položme (19) tf(-) -'Z-**-). t4"(z)-é*(í), 4(z) =» '(*) +»*"(*) Lemma 5. BuďP libovolná množina, P <= 2 L', L <z P. K tomu, aby pro libovolnou funkci F e C(L) funkce W L,(z 9 F) byla stejnoměrně spojitou funkcí proměnné z na P je nutné a stačí 9 aby platilo (20) sup v 1 '({) < + co. Cel/ Podobné tvrzení platí i pro W L,,(z 9 F) 9 přičemž podmínka má tvar j=p (20') supt; L "(0< H-oo. CsL" ^24
7 Důkaz vyplývá též z věty 2.10 v [5]. Poznámka 2. Vzhledem k definici (19) a vzhledem k vlastnostem funkcí v L 9 v L \ v L " je současná platnost podmínek (20) a (20') ekvivalentní podmínce (21) sup v L (() < + oo. Plyne to přímo z definice (19) a odhadů v L '(í) 9 v L "(C) pomocí v L (Q. Na příklad pro v L '(C) platí sup v L (C) < sup v L (C) S sup v L (C). Poznámka 3. Podobně jako v (17) platí pro libovolné F e C(L) 9 C e L' (22) lim W L {z 9 F) = *V L,(C, F) + n F(Q. zed Podle (17) jest pro pevně zvolené j 9 0 j p Podle lemmatu 4 platí lim W Kj (z 9 F) = PV4C, F) + 7r F(C). Z D lim W Kj (z 9 F) = W K.(C 9 F) pro z~*z> zed l 9 Fe C(L) a libovolné C e -Kj l * j a odtud (22) vyplývá snadno sečtením přes všechna j 9 0 i j fg P 1 a porovnáním s definičními vztahy (18). Označíme-li W L. F(C) = Um W L.(z 9 F) - TI F(C), C e L', zed zjistíme snadno porovnáním, že PV L, F(C) = W L {C 9 F) pro každé C e L'. Za předpokladu (20) jest takto definovaný operátor W U9 zobrazující C(L) (resp. C(l!)) do C(L') spojitým operátorem na C(L). (Viz též poznámka 3.3 v [8].) Podobné závěry platí i o funkci W L <{C 9 F) a příslušném operátoru W L >. Věta 1. Nechť platí označení z úlohy 3. Pak nutnou a postačující podmínkou k tomu, aby pro každou funkci F e C(L) existovaly vlastní limity AF z (5), je podminka (21). Důkaz. Ze vztahů (3) a (18) pro zed, FeC(L) vyplývají po separaci reálné a imaginární části vztahy (23) Re WF(z) - ~ [W L {z 9 F) + M v {z 9 F)], n Ira «PF(z) = - \W v {z, F) - M L {z, F)]. 325
8 Zvolíme-li libovolně otevřenou množinu P c D, L' c P, je podle lemmatu 5 funkce W v (z 9 F) stejnoměrně spojitá na P právě když platí (20). Zvolíme okolí U(l!) systému křivek L' tak, aby dist (U(L) 9 L") > 0. Z lemmatu 4 vyplývá stejnoměrná spojitost M v {z, F) na U(íS). Funkce Re WF(z) je tedy stejnoměrně spojitá pro z P n U(L) právě když platí (20). Stejnou úvahu můžeme provést i pro Im WF(z) a podmínku (20'). Z poznámky 2 vyplývá, že (21) platí, právě když jsou Re WF, Im WF stejnoměrně spojité funkce v příslušných okolích L', L", tj. když existují vlastní limity AF(C)z(5). Operátor W v zobrazuje viz poznámku 3 za předpokladu (21) prostor C(L) do prostoru C(L). Provedeme bez změny označení následující rozšíření definice operátoru W v : (24) W v F(C) = W V (C 9 F) pro C e L', W v F(C) = 0 pro C e L". Podobně zavedeme ještě v souhlase s formulí (18) (24) W L. F(C) = W L <C, F) pro C e L", W v F(C) = 0 pro C e L', M v F(C) = M L,( F) pro C e L", M v F(C) = 0 pro C e L', M v F(C) == M L»( F) pro C e L\ M L F(C) = 0 pro C e L". Takto zavedené operátory W v, W L» 9 M V9 M v zobrazují při platnosti (21) prostor C(L) do prostoru C(L). Vyšetřované limity /1F(C) z (5) lze nyní vyjádřit ve tvaru AF(Q = - [W v + M v -] F(C) 4- F(C) pro f e L', 7T * AF(0 = i [W^.. - M L -] F(C) + F(C) pro L", 7T resp. po úpravě s přihlédnutím k definičním vztahům (24) (25) zlf(c) = - Í(W V + WJJ) 4- (M L. - M L,) + TTI] F(C), C 6 L, 71 kde I značí identický operátor na C(L). A je tedy omezeným lineárním operátorem na C(L) 9 právě když platí (21). Omezenost operátorů M V9 M v vyplývá z lemmatu 4, omezenost operátorů typu W V9 resp. W L» viz podrobněji v [5]. Nadále budeme předpokládat stále platnost (21). Pro řešení úlohy 2 je vhodné vyšetřit Fredholmův poloměr operátoru I A = T na C(L) 9 resp. veličinu (26) '' G)F = inf r--t, T kde T probíhá všechny kompaktní operátory na prostoru C(L); tato veličina je pře- 326
9 vrácenou hodnotou Fredholmova poloměru operátoru F. Stejný význam má symbol co při použití ve spojení s ostatními zavedenými operátory. Zavedeme další označení. Nechť K je opět rektifikovatelná Jordánova křivka, vytvořená funkcí \J/ s vlastnostmi (6). Pro libovolné ek zvolíme ř 0 ^"^(C)- Za předpokladu (13) existují vlastní limity Stejně jako v [8] nechť ct K (t) značí radiální míru neorientovaného úhlu vektorů * (0> T K(0- Podle [ g latí vztah ] P (28) «K (0 = 9? (ř 0 ) - S 4 (í 0 -) mezi zavedenou měrou <%(C) a funkcí 9^(t) zavedenou výše (viz text před vztahem (15)). V [8] je určena veličina cow K pro operátor W K F(Q= lim *Ғ (z,f)-~тtf(c) Platí zєint (29) <ow K = lim sup (v K R(C) + a^)) =- lim sup i>*(q. R-»0 + ek R^0+ CeK Poznámka 4. Ze vztahu (29) vyplývá, že WP^ může být kompaktní pouze tehdy, je-li <x K (C) = 0 pro všechna CeK. To nastane tehdy, když křivka K neobsahuje žádné úhlové body, tj. body C, pro něž jest ot K (Q > 0. Dále jest v [8] zaveden operátor W L na prostoru C(L) určený vztahy (30) W L (z, F) = W Kj (z, F), zee 2 -L 9 j=o W L F(C) = lim W L (z, F)~n F(C), C e L, F e C(L), zed který za předpokladu (21) jest omezeným lineárním operátorem z prostoru C(L) do C(L). Jemu odpovídající hodnota cow L je vypočtena a vyjádřena ve tvaru (31) cow L == lim sup ^(C). R-0+ CeL Přistupme k výpočtu veličiny cof. Nejprve dokážeme pomocné tvrzení: Lemma 6. Operátory definované na prostoru C(L) předpisem jsou na prostoru C(L) kompaktní. Ty = (W L, + W L - W L ), T 2 - (M L - M L ) 327
10 Důkaz. Použijeme vztahů (24) a (30) a zjistíme pro F e C(L) rozepsáním (32) T t F(C) - -W&F) pro íel\ T t F(0 - -W^C,*) pro CeL", T 2 F(C) fi. M L F(C) pro L\ T 2 F(0 = -M L, F( ) pro C 6 L". Xzhledem k dist (L', L") > 0 jsou operátory T ls T 2 podle lemmatu 4 a věty Arzelovy kompaktní. Věta 2. Převrácená hodnota Fredholmova poloměru operátoru F je rovna výrazu (33) cof = i lim sup t (C). Důk#z. Probíhá-li T všechny kompaktní operátory na prostoru C(L) 9 platí následující vztahy шг - - inf (ÏҒ Ł. + W L.) + (M L. - M L ) - T\\ = л т - - inf \\(W L. + W L.) -T 1 + (M L. - M L ) -T 2 - T\\ = 7t T inf f»i T «-o)fv L. 7t T n Odtud již plyne za pomoci (31) formule (33). Nyní lze přistoupit k řešení úloh 1 a 2. Vzhledem ke vztahu A = I - F je nutné k řešení úlohy 2 určit k funkci G C(L) funkci F 6 C(L) tak, aby platilo: AiF - G = = (I F) F G e Q (symboly Q a Q 0 byly definovány na počátku článku před formulací úlohy 1). Ukazuje se vhodným nalézti funkci F e C(L) tak, aby platilo (34) (í-r)f^g6q 0. Zavedeme pro libovolnou funkci G e C(L) toto označení: Symbol DG označuje možinu všech funkcí F 6 C(L) 9 pro které platí vztah (34). Stejně jako v [8] nebo v [1] zavedeme nyní lineární operátor T 0 na prostoru C(L) 9 splňující vztahy (35) T 0 C(L) c So, (36) T 0 g 0 = Q 0 Jeden z možných tvarů takového operátoru viz např. v 3.7 článku [8]. Platí následující lemma, jehož důkaz vyplyne jednoduše z později uvedeného lemmatu 9: Lemma? Nechť $ íf # 2 jsou řešení úlohy 1, mající tvar (4); nec/iť v souhlase e s označením ve znění úlohy platí é t # 2 6o- Potom $ t = #
11 Z tohoto lemmatu a z následujícího pro každé G e C(L) platného vztahu (37) {F; FeC(L), (I - F + T 0 )F = G} c DG plyne, že pro existenci řešení úlohy 1 stačí dokázat existenci řešení rovnice pro libo- (38) (I - F + T 0 ) F = G volnou funkci G e C(L). Vztah (37) vyplývá z formule (35) a z definice DG (viz vztah (34) a text za ním následující). K důkazu existence řešení rovnice (38) použijeme Riesz-Schauderovy teorie. Budeme předpokládat, že cot < 1, tj. (39) lim sup t? ( ) < n Pak platí Fredholmova alternativa pro (38) a k existenci a unicitě řešení (38) pro libovolnou funkci G e C(L) stačí ověřit implikaci: (40) (F 0 C(L),(7 - F + T 0 )F 0 = 0) => F 0 = 0. Operátor T 0 je rovněž kompaktní na prostoru C(L) 9 neboť Q 0 má konečnou dimenzi* K důkazu platnosti vztahu (40) budeme potřebovat několik pomocných tvrzení, která dokážeme dříve. Poznámka 5. Budeme říkat, že Jordánova křivka K odděluje množiny M t c E 2, M 2 c E l9 jestliže tyto množiny leží v různých komponentách E 2 K. Lemma 8. Nechť K je Jordánova křivka v E l9 D K některá z komponent množiny E 2 K. Pak ke každé uzavřené množině M c D K existuje po částech regulární Jordánova křivka K' 9 K' c D K9 která odděluje množiny M a K. Poznámka 6. Význam pojmu po částech regulární křivky je zde chápán ve stejném smyslu, jak je vyložen v 16 kap. I v [3]. Důkaz lemmatu 8 stručně naznačíme. K daně množině M c D K lze metodou, popsanou v Úvodu [3], 10 najít vždy uzavřenou souvislou množinu M' tak, že platí M c M' c D K. Předpokládejme nejprve, že D K = Int K. Podle vět 10.2 a 103 tamtéž existuje konečný počet Jordánových polygonálních křivek Jžf l5 3? 29..., if w m takových, že platí M' c \J Int Jž?j. Ze souvislosti množiny M' plyne, ZJČ M' c Int JSf n pro jisté n 6 {1, 2,..., m}. Tato křivka jest již hledanou po částech regulární křivkou s požadovanými vlastnostmi a proto položíme jsf w *» K\ Pro případ D K = Ext K můžeme použít transformace pomocí kruhové inverze se středem z 0 e Int K a dostatečně malým poloměrem příslušné kružnice. Touto transformací převedeme řešenou situaci na předchozí případ a nalezenou polygonální křivku jsf w převedeme novou aplikací této transformace na hledanou po částech regulární křivku K'. Tohoto tvrzení užijeme pro důkaz následujícího lemmatu: 329
12 Lemma 9. Nechť # jest jednoznačná analytická funkce v oblasti D taková, že pro é z úlohy 1 platí vztah leq. Potom funkce # je konstantní v oblasti D. Důkaz tohoto tvrzení provedeme nepřímo. Nechť tedy # je nekonstantní jednoznačná analytická funkce v D, splňující uvedené požadavky. Zobrazení funkcí # provádí oblast D v oblast $(D). Označíme hodnoty funkce <i> na komponentách Kj hranice Lpostupně a p j -= 0,1,..., q. Dále označíme jf y, j = 0,1,..., q množiny bodů přímek a Jťj = {z; z e 2 > R e z = a s ], j = 0,1,..., p - 1, Jfy = {z; z e 2 > Im z = o,-}, j = P,..., q -P = Ů *j Pro libovolnou množinu A[ c 2 definujeme množinu U e (Á) předpisem qt s (A) =* {z;ze E 29 dist (z, A[) < e}. Pro hranici H(#(D)) množiny #(D) platí podle podmínky $6g (41) H($(D)) c P Definujeme funkci í(z) vztahem /(z) = Re #(z) - a y pro z % r (K 3 ) n D, j = 0, 1,..., p - 1, /(z) = Im #(z) - aj pro z % r (Kj) r\ D, j = P,..., q, při čemž volíme r > 0 dostatečně malé tak, aby ^í r (K 3 ) o ^r(k t ) = 0 pro j # ;. Nyní lze k libovolnému e > 0 nalézti d > 0 tak, že platí z ^(L)nD=> /(z) <. Položíme M = D %t s (L) a užitím lemmatu 8 sestrojíme systém Jordánových po částech regulárních křivek K p j = 0,1,..., q, oddělujících množiny M a K, pro všechna j. Je-li D* = Int K p položíme analogicky (3) D fi = Dl - U UJ Zřejmě platí M c D E a D. Oblast #(D e ) je omezená pro libovolné a > 0. Zvolíme-li e dostatečně malé, lze v každé neomezené komponentě množiny E 2 P nalézti bod z» i = 1,2,,.., fc (k přirozené, k š*2(q + 1)) tak, že platí Zt$$(D') 9 dist (z ř, P) > e, i = 1, 2,..., fc. Položíme Di = D - D'; pro libovolný bod z 6 $(D t ) platí dist (z, P) < e, z čehož 330
13 plyne z t i $(D t ) 9 i = 1,..., k. Jelikož D = D E u > l5 platí též z ř i #(D), * = 1, 2,..., fe. Komponenty množiny E 2 P jsou otevřené konvexní množiny. Z předpokladu, že v některé z těchto komponent E 2 P leží dvojice bodů z ltj z 2 taková, že platí z^0(d) 9 z 2 e$(d) 9 vyplývá existence bodu z* na úsečce z í9 z 2, z* e E 2 P, z* H(#(D)); to jest však ve sporu se vztahem (41). Proto žádná z neomezených komponent E 2 P neobsahuje body z #(D) a #(D) jest omezená. Obsahuje-li některá z omezených komponent E 2 P bod z #(D), je celá částí #(D). Případ #(D) cz P nemůže nastat, a proto alespoň jedna taková komponenta existuje. Vybereme nyní z přímek Jf j9 j = = 0, 1,..., q takovou, aby platilo označme ji Jf i0 <P(D) n Jf io 4= 0 a současně oblast <P(D) ležela celá v jedné z polorovin, vyťatých přímkou Jť jo. Pak křivka K jo c D se zobrazí tak, že platí dist(#(k;. 0 ), x, o ) = 4 ř? >o Sestrojíme nyní přímku jf ý 0 rovnoběžnou s jf^ a protínající #(D) tak, aby platilo dist (Jť Jo9 3ťj 0 ) = 2r\. K číslu /; > 0 sestrojíme analogickým postupem oblast D n 9 ohraničenou systémem křivek K" j9 oddělujících množiny K,- alj pro j = 0, 1,..., q. Vyšetříme obraz oblasti D 2 cz D, omezené křivkami Kj Q a K" jo. Obraz $(D 2 ) oblasti D 2 je opět oblast. Na přímce 3ť' jo leží tedy bod z 4>(D 2 ) a te( ~y 1 bod z* 6 H(4>(D 2 )). Poněvadž ale #(Kj 0 ) n Jf } 0 = 0, <P(KJ 0 ) n Jfý 0 = 0, musí být z* obrazem vnitřního bodu oblasti D l9 což je opět ve sporu s tím, že # je nekonstantní holomorfní funkce v D. Lemma 10. Nechť platí vztah (39). Pak platí (42) (FeC(L) 9 (i - F)Fe Q)=> Fe Q. Důkaz. Z předešlého lemmatu vyplývá, že funkce *FF je konstantní v oblasti D. Stačí tedy dokázat implikaci (WF = konst.) => F e Q. Předpis (4) pro WF určuje WF jakožto analytickou funkci v E 2 L pro libovolnou funkci F e C(L). Zvolme pevně j,0^j^p-la utvořme funkci *F/(z), definovanou pro z e F 2 L: (43) <P J {z)=vf(z)-± KJ F(z) 711 (viz předešlé definiční vztahy (4) a (8)). Označme A j9 Bj komponenty množiny 2 - Kj tak, že pro oblasti A j9 Bj platí D c A j9 DnB ; -= 0. Pro funkci Wj(z) 9 z e E 2 L platí podle lemmatu 4 (44) lim Wj(z) = lim W/z). Ч zєлj,->ç zєbj 331
14 Dále za uvedených předpokladů (viz vztah (61) v [8], věta 2.3) platí (45) lim M KJ (z, F) = lim M Kj {z, F). z-+ z-+i ** zeaj zebj Vynásobením (45) faktorem n' 1 a sečtením takto získaného vztahu s imaginární Částí vztahu (44) obdržíme (46) Um Im W F(z) = lim Im W F(z) = konst. zeaj zebj Odtud však z vlastností harmonických funkcí vyplývá, že funkce Im WF je konstantní funkcí v B j9 tudíž i funkce Re WF je konstantní v Bj a funkce (47) F(C)» i( lim Re W F(z) - lim Re W F(z)) *->C z-s je konstantní na křivce Kj. Analogicky při pevném j, p ^ j 2Š q položíme a podobným postupem dospějeme k vyjádření funkce F na křivce Kj vztahem F(() = K lim Im W F(z) - lim Im W F(z)), z-s z -4i z něhož vyplývá, že funkce F je konstantní na křivce Kj. Je tedy funkce F e C(L) konstantní na každé komponentě L a tedy platí F Q. Lemma 11. Nechť platí (39). Pak platí vztahy: z-h zebj (48) (F C(L) 9 (I - r)fe Q 0 ) => Fe &>, (49) (F e 0 )=->(í-f)f = 0. Důkaz. Nechť Fe g, F( ) = a 0 (F) pro libovolné CeK 0. plyne pro libovolné 6 L (50) (/-F)F = 27ta 0 (F). Z Cauchyovy věty Je-li F g 0 > jest a 0 (F) == 0 a platí (49). Je-li dále (I - f)fe g 0 > je též F e g a podle (50) platí FeQ Lemma 12. Nechť platí vztah (39). Pro funkci 0 e C(L) platí Q 0 = DO. Důkaz. Z definice DG a vztahu (48) a (49) vyplývá FeDO o(l - r)feq 0 *>FsQ 09 FěQ 0 =>(í-r)f = 0-=>FeD0.
15 Následující věta 3 nám umožňuje řešit vyšetřované úlohy 1 a 2. Věta 3- Nechť platí vztah (39). Potom pro libovolnou funkci G e C(L) platí DG4= 0. Je-li F e DG, G e C(L), platí DG = F+ Q 0 = {F + H;HeQ 0 }. Důkaz. Je-li F 0 C(L), (i - F + T 0 ) F 0 = 0, pak (I - F) F 0 = -T 0 F 0 Q 0 podle vztahu (35). Podle vztahu (48) vyplývá odtud F 0 e Q 0, z čehož podle vztahu (49) plyne (I - F) F 0 = 0 = -T 0 F 0. Odtud pak podle (36), (35) vyplývá F 0 = 0, neboť Q 0 má konečnou dimenzi. Vztah (40) je tedy ověřen a proto DG4= 0 pro libovolnou G e C(L). Druhá část tvrzení věty 3 je důsledkem lemmatu 12. Uvedené věty umožňují řešení vyšetřované smíšené Dirichletovy úlohy pro třídu hraničních podmínek, vyjádřených funkcemi z prostoru C(L). Poznámka 7. S malými úpravami bylo by možno řešit podobně úlohu 1 i v případě K 0 = 0. Pak je podmínka, vyjadřující chování hledané funkce # v okolí K 0 nahrazena podmínkou, charakterizující chování funkce <b v nevlastním bodě JB 2 tvaru lim Re #(z) = a 0. z -+ + oo Literatura [1] Mycxeлuшвuлu H. И: Oб ocңoвңoй cмeшaңңoй кpaeвoй зaдaчe тeopии лoгapифмичecкoгo пoтeнциaлa для мнoгocвязңыx oблacтeй. Сooбщeния Aкaдeмии нayк Гpyгзиңcкoй ССP, T. II, Jfc 4 (1941), [2] Jacob C: Sur 1e probleme de Dirichlet dans un domaine plan multiplement connexe et ses apphcations a ľhydrodynamique. Journ. de Math., 9 e sér., T. I8 (1939), str [3] Saks S., Zygmund A.: Analytic Ғunctions. Warszawa Wroclaw [4] Л. B. Kaнmopoвuч - Г. П. Aкuлoв: Фyнкциoнaльный aнaлиз и нopмиpoвaнныx пpocгpaнcтвax. ГИФMЛ, Mocквa 1959 [5] Kráł J.: On the logаrithmic potentiаl of the double dístribution. Сzech. mаth. Ј., T. I4 (89), (1964), str [6] Kráł J: Some inequаlities conceming the cylic аnd rаdiаl vаriаtions of а plаne pаth-curve. Сzech. mаth. Ј., T. I4 (89), (1964), str [7] KrálJ.: Non-tаngentiаl limits of the logаrithmic potentiаl. Сzech. mаt. Ј., T. I4 (89), (1964), str [8] Kráł J.: The Fredholm rаdìus of аn operаtoг in potentiаl theory Сzech. mаth. Ј. T. I5 (90), (1964), str , Adresa autora: Pгаhа 1, Mаlostrаnské nám. 25 (Mаtemаticko-fyzikámí fаkultа КU). 333
16 Резюме ОБ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЙИРЖИ ВЕСЕЛЫ (ЛП Vе8е1у), Прага В статье решается следующая задача: Пусть ^ связная часть плоскости Е 19 ограниченная замкнутыми простыми контурами К р ] = 0, ^9 непересекающими друг друга, из которых К& охватывает все остальные. Обозначим II = \) Кр Ш = У К р О < р ^ ^9 ^ = у=о У=р -= И и II'. Следует найти однозначную аналитическую функцию Ф ъ ^ такую,, что Нт Ке Ф(г) = 0(0 + й(0, С е I/, *-; 260 Нт 1т Ф(г) = 0(0 + й(0, С е 1Г, «- с 2 1> где С заданная непрерывная действительная функция на I и А - любая действительная функция «а ^, постоянная на произвольном контуре К^9 ] = = 0,1,...,$. Обыкновенно решается эта задача для достаточно гладких контуров К )г ) = 0,1,..., ^. Здесь произведено решение этой задачи при отсутствии этого предположения. Чтобы найти решение этой задачи в виде суммы интегралов типа Коши,, решаются следующие вопросы: пусть (а) Ч>Р(г) = - Г - ^ ёс + - Г Z (а) требуется: найти к действительной непрерывной функции О на ^ аналитическую однозначную функцию Фв I) так, чтобы существовали конечные пределы Нт Ке Ф(г)» ф(0, С 6 V и Нт 1т Ф(г) = Ф(0, С Г , и чтобы разность функций Ф ш С являлась непрерывной функцией на ^ и постоянной на любом контуре К р ^ =-. 0,1 э..., ^. (б) найти к действительной непрерывной функции б на I непрерывную действительную функцию 2% чтобы функция Ч*Р 9 определенная в ^ при помощи (ос), являлась решением (а). Ш
17 (в) пусть Ч*Р определена при помощи (а); найти необходимые и достаточные условия для существования конечных пределов 1шКе?.Р(2), СеГ и ШпЬп VГ(г) 9 СеЬ" 2ЕО 26-5 для произвольной непрерывной функции Р на ^. Для решения (б) введен соответствующий линейный оператор Г и вычислен его радиус Фредгольма. Summary ON THE MIXED BOUNDARY PROBLEM OF THE THEORY OF ANALYTIC FUNCTIONS JiRf VESELY, Praha In this paper the following problem is solved: Let D be a region in the plane E 2 bounded by closed simple non-intersecting p-i curves K j9 j = 0,1,..., q and let K j9 j = 1,..., q lie inside K 0. Set L' = U K j9 q i = o L" = (J K j9 0<p^q 9 L=LvL?. Find an analytic single-valued function # in D j=p which fulfils these conditions lim Re Ф(z) = G(C) + Һ(Q, CєĽ, zєd limim#(z) = G(C) + ft(c), CeL\ Z- zed where G is a given, real-valued continuous function on L and h is a realvalued function constant on every curve K j9 j = 0,1,..., q. It is usually assumed the curves K j9 j = 0,1,..., q are sufficienthy smooth. Here this problem is studied without this assumption. To find the solution of this problem as a sum of Cauchy integrals, the following problems are solved. Let nijl't~z rcjl»c-z (a) Find an analytic single-valued function # in D to a given real-valued continuous function G on Lsuch that the finite limits lim Re <f>(z) = #(C), C e L' and lim Im <P(z) = #(C), C e L" 2-* Z->І* zєö zeð 335
18 exist and that the difference of the functions 0 and G is constant on K j9 j = 0,1,..., q. (b) Find a real-valued continuous function F to a given real-valued continuous function G on Lsuch that the function WF defined by (a) is a solution of (a). (c) Let the function WF be defined by (a). Find nessesary and sufficient conditions for the existence of finite limits lim Re WF(z) 9 e L' and lim Im WF(z) 9 C e L"»->C zed for every continuous F on L. For the solution of (b) a convenient operator F is introduced and its Fredholm radius is expressed. z-c zed 336
Základy teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
O dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
Časopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
O rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
O dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
O dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ladislav Klír Příspěvek ke geometrii trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 44 (1915), No. 1, 89--93 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122380
Aplikace matematiky. Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation
Aplikace matematiky Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation Aplikace matematiky, Vol. 25 (1980), No. 6, 457--460 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103885 Terms
Základy teorie matic
Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms
Konvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Hübner Stanovení pláště rotačního kužele obsaženého mezi dvěma sečnými rovinami Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 33 (1904), No. 3, 321--331
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Langr O čtyřúhelníku, jemuž lze vepsati i opsati kružnici Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 28 (1899), No. 3, 244--250 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122234
Kongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
O dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
Funkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
Komplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:
Nerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
Symetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
Úvod do neeukleidovské geometrie
Úvod do neeukleidovské geometrie Obsah In: Václav Hlavatý (author): Úvod do neeukleidovské geometrie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1926. pp. 209 [212]. Persistent URL:
Determinanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
Riemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Polynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Matyáš Lerch K didaktice veličin komplexních. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 5, 265--269 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108855
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Gabriel Blažek O differenciálních rovnicích ploch obalujících Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 2 (1873), No. 3, 167--172 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109126
Úvod do filosofie matematiky
Úvod do filosofie matematiky Axiom nekonečna In: Otakar Zich (author): Úvod do filosofie matematiky. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947. pp. 114 117. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403163
Aritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 1. Doplnění naznačených výkonů In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 5 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/4329
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Kounovský O projektivnosti involutorní Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 3-4, 433--439 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109245
Co víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
O nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
Aplikace matematiky. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/102630
Aplikace matematiky František Šubart Odvození nejvýhodnějších dělících tlaků k-stupňové komprese, při ssacích teplotách lišících se v jednotlivých stupních Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375
Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
Základy teorie matic
Základy teorie matic 16. Hodnost a nulita matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 106--115. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401345 Terms of use:
Matematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Václav Havel Poznámka o jednoznačnosti direktních rozkladů prvků v modulárních svazech konečné délky Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 5 (1955), No. 2, 90--93 Persistent
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Milan Pišl Logaritmická spirála Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 5 (1960), No. 4, 416--423 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137020 Terms of use:
Kongruence. 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence
Kongruence 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 43 54. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403656
Kongruence. 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly
Kongruence 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 55 66. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403657
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 4. Speciální rozklady In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 35--40. Persistent
O mnohoúhelnících a mnohostěnech
O mnohoúhelnících a mnohostěnech I. Úhly a mnohoúhelníky v rovině In: Bohuslav Hostinský (author): O mnohoúhelnících a mnohostěnech. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947.
Co víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 26. Deformace a věty izomorfismu grup In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 192--197.
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
Úlohy o maximech a minimech funkcí
Úlohy o maximech a minimech funkcí 1. kapitola. Základní pojmy a nejjednodušší úlohy In: Jaromír Hroník (author): Úlohy o maximech a minimech funkcí. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 5 15. Persistent
Základy teorie matic
Základy teorie matic 10. Ortogonální matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 59--72. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401338 Terms of use: Akademie
Booleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
Přímky a křivky. Úvod. Úvodní úlohy. Terms of use:
Přímky a křivky Úvod. Úvodní úlohy In: N. B. Vasiljev (author); V. L. Gutenmacher (author); Leo Boček (translator); Alena Šarounová (illustrator): Přímky a křivky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp.
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Aplikace matematiky. Hana Kamasová; Antonín Šimek Metoda inverze matice rozdělené na bloky. Terms of use:
Aplikace matematiky Hana Kamasová; Antonín Šimek Metoda inverze matice rozdělené na bloky Aplikace matematiky, Vol. 14 (1969), No. 2, 105--114 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103213 Terms of use: Institute
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Plochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.
Matice lineárních zobrazení
Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Láska Grafické řešení rovnic Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 40 (1911), No. 5, 553--561 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122273 Terms
Topologické prostory. S dodatky: J. Novák, Konstrukce některých význačných topologických prostorů; M. Katětov, Plně normální prostory
Topologické prostory. S dodatky: J. Novák, Konstrukce některých význačných topologických prostorů; M. Katětov, Plně normální prostory 5. Axiomy oddělování In: Eduard Čech (author); Josef Novák (author);
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Václav Petržílka Demonstrační pokus měření rychlosti zvuku v plynech Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 61 (1932), No. 6, 254--258 Persistent URL:
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Úlohy Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 1, 140--144 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121666 Terms of use: Union of Czech Mathematicians
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 11. Násobení v množinách In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 89--93. Persistent
Aplikace matematiky. Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní
Aplikace matematiky Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní (2m + 1) diagonální maticí Aplikace matematiky, Vol. 17 (1972), No. 4, 321--324 Persistent
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Vladimír Knichal Čísla Gaussova. [I.] Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933), No. 4-5, R73--R76 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123910 Terms
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica Richard Pastorek ph-metrické stanovení disociačních konstant komplexů v kyselé oblasti systému Cr 3+ ---
Matematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Václav Veselý; Václav Petržílka Ladička s nulovým teplotním koeficientem frekvence Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 3 (1953), No. 1-2, 49--52 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/126834
Zlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
Cyklografie. Užití cyklické projekce a Laguerrových transformací
Cyklografie Užití cyklické projekce a Laguerrových transformací In: Ladislav Seifert (author): Cyklografie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků v Praze, 1949. pp. 95 101. Persistent
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 3. Neurčité rovnice 1. stupně o 3 neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 15 20. Persistent URL: http:dml.czdmlcz402868
Úlohy o maximech a minimech funkcí
Úlohy o maximech a minimech funkcí 3. kapitola. Extrémy goniometrických funkcí In: Jaromír Hroník (author): Úlohy o maximech a minimech funkcí. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 46 58. Persistent
Přednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vilém Jung Několik analytických studií o plochách mimosměrek (zborcených). [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 18 (1889), No. 6, 316--320 Persistent
Polynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře Výsledky cvičení a návody k jejich řešení In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 94 [102]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403718
Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Ú v o d e m Lekce 2: To je m o je. A ta m to ta k é < t? C D l / l l... 34
O b s a h Ú v o d e m... 13 Lekce 1: C o je to? Č í je to?... 16 0 f r? '< C D 1 / 7... 16 ^ Ž f r f a Ž f r 0 f r ^ < C D 1 /8... 16 Slovní druhy v ja p o n š tin ě... 20 Podstatná jména... 20 Stavba
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 2. Rozklady v množině In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 22--27. Persistent
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kadeřávek Zcela elementární důkaz Pelzova rozšíření Daudelinovy věty Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 44--48 Persistent
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Emil Calda; Oldřich Odvárko Speciální třídy na SVVŠ v Praze pro žáky nadané v matematice a fyzice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13 (1968), No. 5,
Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918
Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích
Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část
Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část VIII. Dodatek In: Jiří Klapka (author): Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků,
Analytická geometrie a nerovnosti
Analytická geometrie a nerovnosti 1. kapitola. Předběžné poznámky. Polorovina In: Karel Havlíček (author): Analytická geometrie a nerovnosti. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 4 14. Persistent URL:
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Cornelius Plch Společný spůsob dokazování různých pouček a vzorců. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 10 (1881), No. 5, 252--260 Persistent
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Astronomická zpráva na květen a červen 1909 Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 38 (1909), No. 4, 525--528 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121459
Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 2. Lineární rovnice o dvou neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 10 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402867
Časopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Fiala A note on the integrals involving product of Hermite's polynomials Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 91 (1966), No. 2, 217--220 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108104
Nerovnosti a odhady. In: Alois Kufner (author): Nerovnosti a odhady. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Nerovnosti a odhady Úvod In: Alois Kufner (author): Nerovnosti a odhady. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1976. pp. 3 10. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403880 Terms of use: Alois Kufner, 1975 Institute
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Matematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Matematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Zdeněk Jiskra Jednoduché integrační zařízení pro rentgenové komůrky Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 8 (1958), No. 4, 236--240 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/126695
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 25--31 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124004