Matematika pro informatiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika pro informatiky"

Transkript

1 (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11

2 Extrémy funkce více proměnných V této přednášce se dozvíte základní informace o optimalizaci pro funkce více proměnných. Vzhledem k časovým možnostem bude výklad hodně stručný. Postupně probereme základní metody pro nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce (obecně více proměnných) na množině. Více informací bude o speciálních případech extrémů lineárních, resp. konvexních, funkcí na množinách zadaných pomocí lineárních, resp. konvexních, omezení. Těmto úlohám se říká úlohy lineárního, resp. konvexního programování. Slovo programování vzniklo dříve než programy pro počítače. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 2 / 1

3 Extrémy funkce více proměnných V této přednášce se dozvíte základní informace o optimalizaci pro funkce více proměnných. Vzhledem k časovým možnostem bude výklad hodně stručný. Postupně probereme základní metody pro nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce (obecně více proměnných) na množině. Více informací bude o speciálních případech extrémů lineárních, resp. konvexních, funkcí na množinách zadaných pomocí lineárních, resp. konvexních, omezení. Těmto úlohám se říká úlohy lineárního, resp. konvexního programování. Slovo programování vzniklo dříve než programy pro počítače. Definice Funkce f nabývá v bodě a M maxima (resp. minima) na množině M R n, jestliže pro všechna x M je f (x) f (a) (resp. f (x) f (a)). Funkce f nabývá v bodě a M lokálního maxima nebo minima, jestliže existuje okoĺı U bodu a, U M takové, že f nabývá v bodě a maxima nebo minima na U. Bod lokálního maxima nebo minima se nazývá lokálním extrémem. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 2 / 1

4 Základní postačující podmínku pro existenci největší a nejmenší hodnoty udává následující věta. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 3 / 1

5 Základní postačující podmínku pro existenci největší a nejmenší hodnoty udává následující věta. Věta Nechť funkce f je spojitá na kompaktní podmnožině M R n. Pak f nabývá v M své největší i nejmenší hodnoty. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 3 / 1

6 Základní postačující podmínku pro existenci největší a nejmenší hodnoty udává následující věta. Věta Nechť funkce f je spojitá na kompaktní podmnožině M R n. Pak f nabývá v M své největší i nejmenší hodnoty. Připomeňme, že podmnožina M R n je kompaktní, jestliže je omezená a uzavřená - nebo ekvivalentně: Z každé posloupnosti (x n ) lze vybrat podposloupnost, která má limitu a ta leží v M. Taková množina M je sjednocení dvou podmnožin: vnitřku (Int M) a hranice (H(M)). Pokud funkce f nabývá své největší (nejmenší) hodnoty na M v bodě a, kde a Int M, pak a je lokální extrém. Pokud a H(M), pak mluvíme o vázaném extrému. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 3 / 1

7 Základní postačující podmínku pro existenci největší a nejmenší hodnoty udává následující věta. Věta Nechť funkce f je spojitá na kompaktní podmnožině M R n. Pak f nabývá v M své největší i nejmenší hodnoty. Připomeňme, že podmnožina M R n je kompaktní, jestliže je omezená a uzavřená - nebo ekvivalentně: Z každé posloupnosti (x n ) lze vybrat podposloupnost, která má limitu a ta leží v M. Taková množina M je sjednocení dvou podmnožin: vnitřku (Int M) a hranice (H(M)). Pokud funkce f nabývá své největší (nejmenší) hodnoty na M v bodě a, kde a Int M, pak a je lokální extrém. Pokud a H(M), pak mluvíme o vázaném extrému. Snadnou a geometricky názornou podmínku pro lokální extrém dostaneme pomocí pojmu derivace funkce (obecně více proměnných). (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 3 / 1

8 Definice Nechť f : R n R. Derivací funkce f v bodě a ve směru h 0 nazýváme f (a + th) f (a) lim = f (a; h). t 0 t Speciálním případem, kdy směr h je roven jednotkovému vektoru ve směru i-té osy, je parciální derivace f x i (a). Diferenciálem funkce f v bodě a nazýváme lineární zobrazení L : R n R takové, že f (a + h) f (a) L(h) lim = 0, h 0 h kde x je absolutní hodnota čísla x a h je norma prvku h (jeho vzdálenost od počátku souřadnic). (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 4 / 1

9 Definice Nechť f : R n R. Derivací funkce f v bodě a ve směru h 0 nazýváme f (a + th) f (a) lim = f (a; h). t 0 t Speciálním případem, kdy směr h je roven jednotkovému vektoru ve směru i-té osy, je parciální derivace f x i (a). Diferenciálem funkce f v bodě a nazýváme lineární zobrazení L : R n R takové, že f (a + h) f (a) L(h) lim = 0, h 0 h kde x je absolutní hodnota čísla x a h je norma prvku h (jeho vzdálenost od počátku souřadnic). Poznamenejme, že pokud existuje diferenciál funkce f v bodě a, budeme jej značit f (a), pak existují derivace ve všech směrech a je n f f (a)(h) = (a)h i, x i i=0 (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 4 / 1

10 Věta Nechť funkce f má lokální extrém v bodě a R n. Pak pro každé h R n, h 0, je buď f (a; h) = 0 nebo f (a; h) neexistuje. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 5 / 1

11 Věta Nechť funkce f má lokální extrém v bodě a R n. Pak pro každé h R n, h 0, je buď f (a; h) = 0 nebo f (a; h) neexistuje. Situace s vázanými extrémy je komplikovanější. Omezíme se na případ, kdy hranice H(M) je dána m podmínkami f j (x) = 0, j = 1,..., m a navíc jsou v každém bodě x H(M) spojité parciální derivace f j x i (x) a matice f j x i (x) má hodnost rovnou m. Takovou hranici budeme nazývat regulární hranicí. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 5 / 1

12 Věta Nechť funkce f má vázaný extrém v bodě a H(M), kde H(M) = {x R n ; f j (x) = 0, j = 1,..., m} je regulární hranice. Jestliže funkce f, f 1,..., f m mají v bodě a spojité parciální derivace, pak existují čísla λ 1,...λ m (tzv. Lagrangeovy multiplikátory) tak, že platí f x i (a) + m j=1 λ j f j x i (a) = 0, i = 1,..., m. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 6 / 1

13 Úloha lineárního programování V úloze lineárního programování jde o nalezení největší nebo nejmenší hodnoty lineární funkce f 0 (ta se vzhledem k ekonomickým aplikacím nazývá účelová nebo cílová funkce) na množině M, která je zadána soustavou m lineárních nerovnic f j (x) α j, j = 1,..., m. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 7 / 1

14 Úloha lineárního programování V úloze lineárního programování jde o nalezení největší nebo nejmenší hodnoty lineární funkce f 0 (ta se vzhledem k ekonomickým aplikacím nazývá účelová nebo cílová funkce) na množině M, která je zadána soustavou m lineárních nerovnic f j (x) α j, j = 1,..., m. Je zapotřebí zodpovědět následující otázky : Kdy má úloha řešení Jak lze charakterizovat body maxima (minima) funkce f 0 Jak lze přibližně najít body maxima (minima) a příslušné hodnoty. Základní metodou, která bývá součástí nejrůznějších softwarů, je tzv. simplexová metoda. Za zmínku stojí, že studium její počítačové náročnosti (vzhledem k proměnným n, m) provedené v 70-tých a 80-tých letech minulého století, patří k startujícím bodům teoretické informatiky (důkaz, že simplexová metoda je polynomiální). (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 7 / 1

15 Úloha konvexního programování V této úloze je množina M R n konvexní (často zadaná m nerovnicemi f j (x) α j, kde funkce f 1,..., f m jsou konvexní) a funkce f 0, jejíž maximum nebo minimum na M hledáme, je také konvexní. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 8 / 1

16 Úloha konvexního programování V této úloze je množina M R n konvexní (často zadaná m nerovnicemi f j (x) α j, kde funkce f 1,..., f m jsou konvexní) a funkce f 0, jejíž maximum nebo minimum na M hledáme, je také konvexní. Otázky jsou stejné jako u lineárního programování. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 8 / 1

17 Úloha konvexního programování V této úloze je množina M R n konvexní (často zadaná m nerovnicemi f j (x) α j, kde funkce f 1,..., f m jsou konvexní) a funkce f 0, jejíž maximum nebo minimum na M hledáme, je také konvexní. Otázky jsou stejné jako u lineárního programování. Oproti nutným podmínkám uvedených na začátku přednášky je zde netriviální komplikace způsobená tím, že konvexní funkce nemusí mít derivaci. Jednoduchým příkladem je absolutní hodnota. na R nebo obecněji norma na R n. Dříve než přistoupíme k relevantním informacím o úloze lineárního nebo konvexního programování, budeme potřebovat fakta o lineárních a konvexních funkcích. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 8 / 1

18 Konvexní množiny Definice Podmnožina M R n se nazývá konvexní, jestliže s každými dvěma body obsahuje i úsečku, která tyto body spojuje. Formálněji : x, y M t [0, 1] : tx + (1 t)y M. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 9 / 1

19 Konvexní množiny Definice Podmnožina M R n se nazývá konvexní, jestliže s každými dvěma body obsahuje i úsečku, která tyto body spojuje. Formálněji : x, y M t [0, 1] : tx + (1 t)y M. Příkladem konvexní množiny je kruh { x = (x1,..., x n ) R n ; x x 2 n r 2} nebo M = {x R n ; < x, a i > α i, i = 1,..., m}, kde <.,. > je skalární součin v R n a a 1,..., a m R n, α 1,..., α m R. V tomto případě je množina M rovna průniku m poloprostorů {x R n ; < x, a i > α i }, i = 1,..., m a poloprostor je konvexní množina a průnik libovolného systému konvexních množin je konvexní množina. V této souvislosti připomeňme, že pro každou lineární funkci g na R n existuje právě jedno a R n tak, že g(x) =< x, a > pro x R n. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 9 / 1

20 Definice Nechť x 1,..., x k R n, t 1,..., t k jsou nezáporná čísla taková, že k i=1 t i = 1. Pak k i=1 t ix i se nazývá konvexní kombinací prvků x 1,..., x k. Konvexním obalem bodů x 1,..., x k nazýváme množinu všech konvexních kombinací těchto bodů. Jestliže M R n je konvexní množina, pak extremálním bodem M se nazývá bod, který není konvexní kombinací dvou různých bodů z M. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 10 / 1

21 Definice Nechť x 1,..., x k R n, t 1,..., t k jsou nezáporná čísla taková, že k i=1 t i = 1. Pak k i=1 t ix i se nazývá konvexní kombinací prvků x 1,..., x k. Konvexním obalem bodů x 1,..., x k nazýváme množinu všech konvexních kombinací těchto bodů. Jestliže M R n je konvexní množina, pak extremálním bodem M se nazývá bod, který není konvexní kombinací dvou různých bodů z M. Příklad. Jestliže M = { (x 1,..., x n ) R n ; x x 2 n r 2} je kruh o poloměru r, pak extremálními body M jsou body kružnice { (x1,..., x n ) R n ; x x 2 n = r 2}. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 10 / 1

22 Definice Nechť x 1,..., x k R n, t 1,..., t k jsou nezáporná čísla taková, že k i=1 t i = 1. Pak k i=1 t ix i se nazývá konvexní kombinací prvků x 1,..., x k. Konvexním obalem bodů x 1,..., x k nazýváme množinu všech konvexních kombinací těchto bodů. Jestliže M R n je konvexní množina, pak extremálním bodem M se nazývá bod, který není konvexní kombinací dvou různých bodů z M. Příklad. Jestliže M = { (x 1,..., x n ) R n ; x x 2 n r 2} je kruh o poloměru r, pak extremálními body M jsou body kružnice { (x1,..., x n ) R n ; x x 2 n = r 2}. Věta Jestliže a 1,..., a m R n, α 1,..., α m R a M = {x R n ; < x, a i > α i, i = 1,..., m}, pak x M je extremální bod M, právě když množina {a i ; < x, a i >= α i } obsahuje n lineárně nezávislých vektorů. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 10 / 1

23 Kĺıčový význam extremálních bodů pro studium konvexních množin ukazuje následující věta, kterou je možné dokázat indukcí podle dimenze prostoru. Věta Nechť M je konvexní, omezená a uzavřená podmnožina R n. Pak M je konvexním obalem množiny extremálních bodů M. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 11 / 1

24 Pro úlohu lineárního programování je důležitá struktura množiny zadané systémem lineárních nerovnic. Věta Nechť M = {x R n ; < x, a i > α i, i = 1,..., m}, kde a 1,..., a m R n a α 1,..., α m R. Jestliže M, pak (i) Existuje polyedr M (tj. konvexní { obal konečného počtu bodů x 1,..., x k ) a polyedrický kužel K (tj. K = x = } l j=1 t jy j ; t 1,..., t l 0, kde y 1,..., y l jsou dané vektory v R n ) tak, že M = M + K. (ii) Lineární funkce f 0 (f 0 (x) =< x, a 0 >) je na množině M buď zdola neomezená nebo nabývá na M své nejmenší hodnoty a to v některém z extremálních bodů M. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 12 / 1

25 Pro úlohu lineárního programování je důležitá struktura množiny zadané systémem lineárních nerovnic. Věta Nechť M = {x R n ; < x, a i > α i, i = 1,..., m}, kde a 1,..., a m R n a α 1,..., α m R. Jestliže M, pak (i) Existuje polyedr M (tj. konvexní { obal konečného počtu bodů x 1,..., x k ) a polyedrický kužel K (tj. K = x = } l j=1 t jy j ; t 1,..., t l 0, kde y 1,..., y l jsou dané vektory v R n ) tak, že M = M + K. (ii) Lineární funkce f 0 (f 0 (x) =< x, a 0 >) je na množině M buď zdola neomezená nebo nabývá na M své nejmenší hodnoty a to v některém z extremálních bodů M. Druhé tvrzení je důsledkem rozkladu z bodu (i) a snadno dokazatelné skutečnosti, že lineární funkce na polyedru (ten je kompaktní množinou) nabývá svě největší a nejmenší hodnoty v extremálním bodě polyedru. První tvrzení má důkaz relativně technicky náročný. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 12 / 1

26 Lagrangeovy multiplikátory mají pro úlohu lineárního programování následující tvar, který lze snadno nahlédnout z předcházející věty a obecné věty o Lagrangeových multiplikátorech uvedené na začátku přednášky. Věta Nechť množina M a lineární funkce f 0 mají tvar jako v předcházející větě a funkce f 0 je zdola omezená na M. Pak bod x M je bodem minima funkce f 0 na M, právě když existují čísla λ 1,..., λ m tak, že jsou splněny podmínky : (i) a 0 + m i=1 λ ia i = 0 (ii) λ i [< x, a i > α i ] = 0 pro i = 1,..., m. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 13 / 1

27 Konvexní funkce Nejprve budeme definovat konvexní funkci. Jejím definičním oborem bude vždy konvexní množina. Definice Funkce f se nazývá konvexní na konvexní množině M R n, jestliže je splněna podmínka f (λ 1 x λ k x k ) λ 1 f (x 1 ) λ k f (x k ) pro všechna λ 1,..., λ k 0, k i=1 λ i = 1 a x 1,..., x k M. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 14 / 1

28 Konvexní funkce Nejprve budeme definovat konvexní funkci. Jejím definičním oborem bude vždy konvexní množina. Definice Funkce f se nazývá konvexní na konvexní množině M R n, jestliže je splněna podmínka f (λ 1 x λ k x k ) λ 1 f (x 1 ) λ k f (x k ) pro všechna λ 1,..., λ k 0, k i=1 λ i = 1 a x 1,..., x k M. Konvexní funkce je spojitá ve vnitřních bodech množiny M, v hraničních bodech spojitá být nemusí (jednoduchý příklad je už na intervalu). Derivovatelná být také nemusí, ale místo derivace se definuje tzv. subdiferenciál. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 14 / 1

29 Definice Nechť funkce f je konvexní na konvexní množině M R n. Jejím subdiferenciálem v bodě a M nazýváme množinu f (a) = {y M; x M = f (x) f (a) < x a, y >}. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 15 / 1

30 Definice Nechť funkce f je konvexní na konvexní množině M R n. Jejím subdiferenciálem v bodě a M nazýváme množinu f (a) = {y M; x M = f (x) f (a) < x a, y >}. Věta Konvexní funkce f nabývá minima na konvexní množině M v bodě a M, právě když 0 f (a). Důkaz plyne okamžitě z definice subdiferenciálu. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 15 / 1

31 V konvexním programování je množina, na které je zapotřebí minimalizovat konvexní funkci, často zadaná soustavou nerovnic typu f i (x) 0, i = 1,..., m, kde f 1,..., f m jsou konvexní funkce. Množiny {x R n ; f i (x) 0} jsou konvexní a množina M jako průnik konvexních množin je konvexní (nebo prázdná). Sestrojme jako dříve Lagrangeovu funkci L(x, λ) = f 0 (x) + m λ i f i (x). i=1 (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 16 / 1

32 Věta Nechť funkce f 0, f 1,..., f m jsou konvexní na množině M = {x R n ; f i (x) 0, i = 1,..., m} a nechť existuje bod x M, ve kterém je f i ( x) < 0 pro všechna i = 1,..., m. Nechť dále funkce f 0 je zdola omezená na množině M. Pak existuje λ = ( λ 1,..., λ m ) 0 (tzv. Kuhnův-Tuckerův vektor) tak, že inf f 0(x) = inf L(x, λ). x M x M Bod a M je bodem minima funkce f 0 na množině M, právě když existuje λ 0 takový, že (i) Pro všechna x M je L(a, λ) L(x, λ); (ii) Pro všechna i = 1,..., m je λ i f i (a) = 0. (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 17 / 1

33 Úloha konvexního programování je tak v jistém smyslu převedena na nalezení Kuhnova-Tuckerova vektoru. Ten lze hledat pomocí subdiferenciálu funkce V (α 1,..., α n ) = inf {f 0 (x); f i (x) α i, i = 1,..., m} jak ukazuje následující věta. Věta Za předpokladů předcházející věty je λ Kuhnův-Tuckerův vektor, právě když λ V (0). Jestliže existuje Kuhnův-Tuckerův vektor λ, pak pro ϕ(λ) = inf x M L(x, λ) je inf f 0(x) = sup ϕ(λ) = ϕ( λ). x M λ 0 (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 18 / 1

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

12. Funkce více proměnných

12. Funkce více proměnných 12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

Globální extrémy (na kompaktní množině)

Globální extrémy (na kompaktní množině) Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student

Více

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

3. přednáška 15. října 2007

3. přednáška 15. října 2007 3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace

Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21 Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY)

Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl (volně dle M.T. Heathe) 10. přednáška 11MAMY úterý 22. března 2016 verze: 2016-04-01 16:10 Obsah Optimalizační problém 1 Definice 1

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008 10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

M5170: Matematické programování

M5170: Matematické programování M5170: Matematické programování Petr Zemánek (Masarykova Univerzita, Brno) Kapitola 4: Základy matematického programování (verze: 3. prosince 2018) Vymezení základních pojmů Nyní se již dostáváme k úlohám

Více

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více