Základy matematické analýzy
|
|
- Oldřich Svoboda
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 14. prosince 2014 ZS 2014/2015 Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
2 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
3 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
4 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim x a f (x) = f (a). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
5 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim f (x) = f (a). x a f je spojitá v bodě a zprava, pokud lim f (x) = f (a). x a+ Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
6 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim f (x) = f (a). x a f je spojitá v bodě a zprava, pokud lim f (x) = f (a). x a+ f je spojitá v bodě a zleva, pokud lim x a f (x) = f (a). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
7 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim f (x) = f (a). x a f je spojitá v bodě a zprava, pokud lim f (x) = f (a). x a+ f je spojitá v bodě a zleva, pokud lim x a f (x) = f (a). Poznámka (ε δ formulace spojitosti): Je-li funkce definovaná na okolí bodu a D f, pak a i f (a) R a dostáváme alternativní definici: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x R splňující x a < δ platí f (x) f (a) < ε. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
8 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
9 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Věta: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když je spojitá v bodě a zleva i zprava. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
10 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Věta: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když je spojitá v bodě a zleva i zprava. Věta: Součet a součin dvou funkcí f a g spojitých v bodě a je funkce spojitá v bodě a. Pokud navíc g(a) 0, pak podíl f g je funkce spojitá v bodě a. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
11 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Věta: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když je spojitá v bodě a zleva i zprava. Věta: Součet a součin dvou funkcí f a g spojitých v bodě a je funkce spojitá v bodě a. Pokud navíc g(a) 0, pak podíl f g je funkce spojitá v bodě a. Věta: Buďte g funkce spojitá v bodě a a f funkce spojitá v bodě g(a). Potom složená funkce f g je spojitá v bodě a. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
12 Spojitost polynomů Příklad. V předchozí přednášce jsme ukázali, že pro libovolné reálné a a libovolný polynom P(x) platí lim P(x) = P(a). x a Každý polynom je proto spojitou funkcí v každém bodě a R. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
13 Příklad. Zkoumejte spojitost funkce f (x) = x x. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
14 Příklad. Zkoumejte spojitost funkce f (x) = x x. Přirozeným definičním oborem funkce f je D f = R. Funkce f je spojitá v každém bodě a R Z. V bodech a Z je spojitá zprava, ale ne zleva. lim f (x) = f (a) a lim f (x) = f (a) + 1. x a+ x a y x Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
15 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
16 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
17 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). spojitá na intervalu a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě a je spojitá zprava. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
18 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). spojitá na intervalu a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě a je spojitá zprava. spojitá na intervalu (a, b, právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě b je spojitá zleva. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
19 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). spojitá na intervalu a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě a je spojitá zprava. spojitá na intervalu (a, b, právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě b je spojitá zleva. spojitá na intervalu a, b, právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b), v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
20 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
21 Formulace problému Řadu problémů lze formulovat jako hledání řešení rovnice f (x) = 0. V této části ukážeme jednoduchou postačující podmínku pro existenci řešení takovéto rovnice a algoritmus hledající aspoň jedno z možných řešení. Příklad. Vypočíst numerickou hodnotu 2 znamená řešit rovnici f (x) = x 2 2 = 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
22 Věta (Metoda půlení intervalu): Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b a nechť f (a) f (b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) takový, že f (c) = 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
23 Věta (Metoda půlení intervalu): Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b a nechť f (a) f (b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) takový, že f (c) = 0. Položme a 1 := a a b 1 := b. Protože znaménka f (a 1 ) a f (b 1 ) jsou různá, nastane právě jedna ze tří možností 1 f ( a 1+b 1 ) 2 = 0, 2 znaménka f (a 1 ) a f ( ) a 1+b 1 2 jsou různá, 3 znaménka f ( ) a 1+b 1 2 a f (b1 ) jsou různá. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
24 Věta (Metoda půlení intervalu): Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b a nechť f (a) f (b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) takový, že f (c) = 0. Položme a 1 := a a b 1 := b. Protože znaménka f (a 1 ) a f (b 1 ) jsou různá, nastane právě jedna ze tří možností 1 f ( a 1+b 1 ) 2 = 0, 2 znaménka f (a 1 ) a f ( ) a 1+b 1 2 jsou různá, 3 znaménka f ( ) a 1+b 1 2 a f (b1 ) jsou různá. Dále postupujeme podle toho, která z těchto možností nastala: 1 Hledaným bodem c je a1+b1 2 a věta je dokázána. 2 Položme a 2 := a 1 a b 2 := a1+b Položme a 2 := a1+b1 2 a b 2 = b 1. Pokud nenastala první možnost, proveďme stejnou úvahu s a 2 a b 2 místo a 1 a b 1. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
25 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
26 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. V opačném případě jsme zkonstruovali posloupnosti (a n ), (b n ) splňující a n, b n a, b, a a n a n+1 < b n+1 b n b, b n a n = b a 2 n 1, pro každé n N. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
27 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. V opačném případě jsme zkonstruovali posloupnosti (a n ), (b n ) splňující a n, b n a, b, a a n a n+1 < b n+1 b n b, b n a n = b a 2 n 1, pro každé n N. Obě posloupnosti jsou monotónní a omezené, tudíž existují jejich konečné limity, a n α a b n β při n. Navíc β α = lim (b b a n a n ) = lim = 0. n n 2n 1 Obě posloupnosti tedy mají stejnou limitu, označme ji c := α = β a, b. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
28 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. V opačném případě jsme zkonstruovali posloupnosti (a n ), (b n ) splňující a n, b n a, b, a a n a n+1 < b n+1 b n b, b n a n = b a 2 n 1, pro každé n N. Obě posloupnosti jsou monotónní a omezené, tudíž existují jejich konečné limity, a n α a b n β při n. Navíc β α = lim (b b a n a n ) = lim = 0. n n 2n 1 Obě posloupnosti tedy mají stejnou limitu, označme ji c := α = β a, b. Ze spojitosti funkce f v bodě c a Heineho věty nyní plyne lim f (a n) = lim f (b n) = f (c). n n Ale protože všechny f (a n ) mají různé znaménko od f (b n ) mohou poslední rovnosti nastat pouze v případě že f (c) = 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
29 Ilustrace metody půlení intervalu y x Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
30 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) a 1 b 1 x f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
31 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) a 1 a 2 b 1 x b 2 f (a 2 ) f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
32 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) f (b 3 ) a 1 a 3 a 2 b 3 b 1 x b 2 f (a 2 ) f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
33 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) f (b 3 ) f (a 4 ) a 1 a 3 a 2 a 4 b 3 b 4 b 1 b 2 x f (a 2 ) f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
34 Poznámka (Komentář k důkazu): Důkaz předcházející věty se nazývá konstruktivní. Tvrzení věty, existenci čísla c, jsme dokázali jeho konstrukcí. Algoritmus použitý v důkazu se nazývá metoda půlení intervalu a lze ho prakticky použít k hledání řešení rovnice f (x) = 0. Algoritmus kontroluje i přesnost výpočtu, v každém kroku iterace platí nerovnosti a n c b n, n = 1, 2, 3... Víme proto kdy výpočetní smyčku ukončit. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
35 Poznámka (Komentář k důkazu): Důkaz předcházející věty se nazývá konstruktivní. Tvrzení věty, existenci čísla c, jsme dokázali jeho konstrukcí. Algoritmus použitý v důkazu se nazývá metoda půlení intervalu a lze ho prakticky použít k hledání řešení rovnice f (x) = 0. Algoritmus kontroluje i přesnost výpočtu, v každém kroku iterace platí nerovnosti a n c b n, n = 1, 2, 3... Víme proto kdy výpočetní smyčku ukončit. Důsledek: Buď f spojitá funkce na intervalu J a nechť platí f (x) 0 pro všechna x J. Potom pro všechna x J platí buď f (x) > 0 nebo f (x) < 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
36 Poznámka: Předpoklad spojitosti v předešlé větě je podstatný. Jako příklad uvažme funkci { 1, x 0, 1 f (x) = 2, 1, x ( 1 2, 1 na intervalu a, b = 0, 1. Sice f (0) f (1) = 1 < 0, ale neexistuje bod x (0, 1) splňující f (x) = 0. y x Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
37 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
38 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Důkaz. f (J) je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce f je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že f není konstantní. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
39 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Důkaz. f (J) je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce f je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že f není konstantní. Ukažme, že f (J) je interval. K tomu je třeba ukázat, že pro libovolné dva prvky α, β f (J), α β, leží všechna γ mezi α a β také v f (J). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
40 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Důkaz. f (J) je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce f je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že f není konstantní. Ukažme, že f (J) je interval. K tomu je třeba ukázat, že pro libovolné dva prvky α, β f (J), α β, leží všechna γ mezi α a β také v f (J). Jistě existují a, b J, f (a) = α, f (b) = β a BÚNO a < b. Položme g(x) := f (x) γ. Funkce g je spojitá na a, b, g(a) = α γ a g(b) = β γ jsou nenulová s rozdílným znaménkem. Podle věty existuje c (a, b) takové, že g(c) = 0, tj. f (c) = γ. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
41 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
42 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
43 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
44 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Podle součtového vzorce pro funkci sin platí sin x = sin ( (x a) + a ) = sin(x a) cos(a) + cos(x a) sin(a) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
45 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Podle součtového vzorce pro funkci sin platí sin x = sin ( (x a) + a ) = sin(x a) cos(a) + cos(x a) sin(a) Tudíž podle věty o limitě složené funkce a součinu/součtu limit platí lim sin x = 0 cos(a) + 1 sin a = sin a. x a Což ukazuje spojitost funkce sin. Spojitost funkce cos se ukáže analogicky. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
46 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Podle součtového vzorce pro funkci sin platí sin x = sin ( (x a) + a ) = sin(x a) cos(a) + cos(x a) sin(a) Tudíž podle věty o limitě složené funkce a součinu/součtu limit platí lim sin x = 0 cos(a) + 1 sin a = sin a. x a Což ukazuje spojitost funkce sin. Spojitost funkce cos se ukáže analogicky. Důsledek: Z tohoto příkladu a z věty o spojitosti podílu dvou funkcí ihned plyne, že funkce tg a cotg jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
47 Příklad. Funkce e x je spojitá v každém bodě a R Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
48 Příklad. Funkce e x je spojitá v každém bodě a R Použijeme Heineho větu. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
49 Příklad. Funkce e x je spojitá v každém bodě a R Použijeme Heineho větu. V jedné z předchozích přednášek jsme odvodili, že pro každou posloupnost (x n ) splňující x n a R platí lim n exn = e a. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
50 Příklad. Funkce ln je spojitá v každém bodě a R +. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
51 Příklad. Funkce ln je spojitá v každém bodě a R +. Opět použijeme Heineho větu. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
52 Příklad. Funkce ln je spojitá v každém bodě a R +. Opět použijeme Heineho větu. V jedné z předchozích přednášek jsme odvodili, že pro každou posloupnost (x n ) s kladnými členy splňující x n a R + platí lim ln x n = ln a. n Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
Více2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27
(1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 Proč studovat matematiku Zdroje: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/2018-10-02-prvni-prednaska-z-analyzy.pdf https://www.youtube.com/watch?v=6ec3ndnr86s
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceKomplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePřednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
Více1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;
3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Více(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
Více5. Limita a spojitost
5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceKomplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceV této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.
Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceSpojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.
funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Více