Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Transkript

1 Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Existuje li limita, kde je posloupnost částečných součtů řady, nazýváme ji součtem této řady a značíme. Je li navíc, říkáme, že řada konverguje; je li či, říkáme, že řada podstatně diverguje. Neexistuje li limita, říkáme, že řada osciluje. Řady podstatně divergentní a oscilující nazýváme souhrnně divergentní. Buďte, dvě číselné posloupnosti. Říkáme, že řady a mají stejný charakter, pokud obě dvě současně podstatně divergují, obě dvě současně oscilují, nebo obě dvě současně konvergují. Příklad (Geometrická řada). Geometrická řada konverguje právě tehdy, když. Řešení. Podle vzorce pro součet prvních členů geometrické posloupnosti je částečný součet roven Konečná limita výrazu vpravo pro existuje právě tehdy, když. Příklad (Harmonická řada ). Řada je podstatně divergentní. Řešení. Tento výsledek jsme již ukázali v kapitole o posloupnostech. Příklad (Řada ). Řada osciluje. Řešení. Posloupnost částečných součtů má tvar, její limita proto neexistuje. Věta (Linearita řad). Buď (resp. ), nechť jsou dány číselné posloupnosti,. Pak a za předpokladu, že pravé strany mají smysl. Důkaz. Věta plyne z věty o aritmetice limit posloupností. Věta (O součtu komplexní řady). Nechť je komplexní posloupnost. Řada konverguje právě tehdy, když konvergují reálné řady a, a pro její součet v takovém případě platí. Důkaz. Věta plyne z věty o limitě komplexní posloupnosti. Věta (O modifikaci konečného počtu členů řady). Přidáním, vynecháním či změnou konečného počtu členů číselné posloupnosti se nezmění charakter řady. Důkaz. Z věty o aritmetice limit je jasné, že dvě posloupnosti a, kde je libovolná konstanta, buď obě dvě mají vlastní limitu, nebo obě dvě nevlastní limitu, nebo limita obou neexistuje. 1. Sčítání řad Příklad (Součet řady ).

2 Dokažme, že Řešení. Z Moivrovy věty je odkud pro liché substitucí a porovnáním imaginárních částí dostaneme identitu Do této identity dosadíme za postupně čísla, ; na levé straně vyjde vždy. Protože je funkce na intervalu prostá, čísla jsou pro uvedená navzájem různá, takže polynom tého stupně má právě tato čísla (a žádná jiná) za své kořeny. Jejich záporně vzatý součet je podle Vietova vzorce roven koeficientu u ní mocniny, proto platí odkud přičtením dostaneme a protože na (což lze snadno ukázat např. zderivováním), na tomto intervalu platí i resp. i Odtud dostaneme Úpravou dostaneme nerovnost ze které již plyne limitním přechodem podle věty o limitě sevřené posloupnosti zadané tvrzení. 2. Uzávorkování řad Definice (Uzávorkování řady). Nechť je číselná posloupnost, nechť je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme,, atd. Pak říkáme, že řada vznikla uzávorkováním řady (pomocí ). Věta (O uzávorkování řady). Je li řada konvergentní nebo podstatně divergentní, každá řada z ní vzniklá uzávorkováním má stejný charakter a stejný součet. Důkaz. Věta plyne z věty o limitě vybrané posloupnosti. Věta (O uzávorkování řady s omezeným počtem sčítanců v závorce). Nechť je číselná posloupnost, nechť řada vznikla uzávorkováním řady pomocí. Nechť a nechť existuje tak, že pro všechna platí. Pak řady a mají stejný charakter a v případě konvergence i stejný součet. Důkaz. Označme jako posloupnost částečných součtů řady, jako posloupnost částečných součtů řady. Je pro všechna

3 . Tvrzení věty plyne z faktu, že je pokryta vybranými posloupnostmi,,,...,. 3. Konvergence řad Věta (Nutná podmínka konvergence řady). Nechť řada konverguje. Pak. Důkaz. Nechť je posloupnost částečných součtů řady. Pak pro všechna. Podle předpokladu existuje číslo resp. tak, že. Z věty o limitě rozdílu dostaneme. Věta (Bolzano Cauchyova podmínka pro konvergenci řady). Řada konverguje platí Důkaz. Nechť je posloupnost částečných součtů řady. Podle Bolzanovy Cauchyovy podmínky pro konvergenci číselné posloupnosti konverguje právě tehdy, když což je zřejmě ekvivalentní podmínce ( ). Věta (O absolutní konvergenci řady). Konverguje li řada, pak konverguje i řada a pro jejich součty platí nerovnost Důkaz. Věta plyne z Bolzanovy Cauchyovy podmínky a z trojúhelníkové nerovnosti Definice (Absolutní konvergence řady). Konverguje li řada, říkáme, že řada konverguje absolutně. Konverguje li řada a diverguje li řada, říkáme, že řada konverguje neabsolutně Řady s kladnými členy Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (nelimitní tvar)). Nechť pro všechna je. Pak platí: 1. Konverguje li řada, konverguje také řada. 2. Diverguje li řada, diverguje také řada. Důkaz. 1. Pro všechna je odkud limitním přechodem dostaneme přitom limitní přechod je možné provést (limity na obou stranách nerovnosti existují), neboť posloupnosti částečných součtů příslušné oběma řadám jsou rostoucí. Podle předpokladu je limita vpravo konečná, tedy i limita vlevo musí být konečná. 2. Tvrzení je ekvivalentní tvrzení v bodu 1, neboť pro libovolné dva výroky je.

4 Poznámka. Je zřejmé, že podmínku v předpokladu lze zaměnit slabší podmínkou a tvrzení zůstane v platnosti. Podobně je tomu i u dalších kritérií. Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (limitní tvar)). Nechť pro všechna platí a. Nechť existuje limita. Pak platí: 1. Je li a konverguje, pak i konverguje. 2. Je li a diverguje, pak i diverguje. Důkaz. 1. Konvergenci řady dokážeme pomocí BCP. Zvolme libovolné. Pak z konvergence plyne, že existuje tak, že pro všechna a je Z definice limity existuje tak, že pro všechna je Pro libovolná a je pak i Odtud plyne konvergence řady. 2. Protože, je a je od jistého členu nenulová. Z věty o limitě podílu. Tvrzení plyne z bodu 1, zaměníme li roli posloupnosti a. Věta (Odmocninové (Cauchyovo) kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak platí: 1. a) Existuje li číslo tak, že, pak konverguje. b) Platí li pro nekonečně mnoho indexů vztah, řada diverguje. 2. a) Platí li, řada konverguje. b) Platí li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Pro všechna je. Přitom řada konverguje, tvrzení proto plyne ze srovnávacího kritéria. b) Pro nekonečně mnoho indexů platí. Nemůže být proto splněna nutná podmínka konvergence, řada tedy diverguje. 2. a) Z definice limity plyne, že existuje tak, že od jistého členu je. Tvrzení proto plyne z bodu 1. a). b) Podobně jako v 1. b) nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada diverguje. Lemma (Srovnání podílů po sobě následujících členů). Nechť, jsou posloupnosti kladných čísel a pro všechna platí. Pak: 1. Konverguje li řada, konverguje také řada. 2. Diverguje li řada, diverguje také řada. Důkaz. Pro libovolné z předpokladu postupně dostaneme: takže stačí použít nelimitní tvar srovnávacího kritéria. Věta (Podílové (d'alembertovo) kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak:

5 1. a) Existuje li číslo tak, že pro všechna je, řada konverguje. b) Pokud pro všechna platí, řada diverguje. 2. a) Je li, řada konverguje. b) Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Z předpokladu plyne, že pro všechna je, tvrzení proto dostaneme srovnáním s konvergentní geometrickou řadou. b) Z předpokladu plyne, že pro všechna. Posloupnost je tedy rostoucí, takže nemůže být splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, řada proto diverguje. 2. a) Z definice limity dostaneme, že, proto tvrzení plyne z bodu 1. a) s přihlédnutím k poznámce o předpokladech. b) Podobně jako v bodu a) z definice limity dostaneme, že od jistého členu je splněna podmínka a dále stejně jako v 1. b). Věta (Integrální kritérium). Nechť je nezáporná klesající funkce v. Pak platí: konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál. Důkaz. Pro všechna a je zřejmě Díky monotonii je integrovatelná, integrací dostaneme nerovnosti neboli Sečtením uvedených nerovností pro dostaneme Nyní provedeme limitní přechod : limity sum na levé a pravé straně existují, neboť posloupnosti částečných součtů jsou rostoucí, limita integrálu uprostřed podle Heineovy věty existuje, neboť je nezáporná a tedy integrál jakožto funkce horní meze je rostoucí. Dostaneme Pokud je součet řady vpravo konečný, musí být konečná i hodnota zobecněného integrálu uprostřed, pokud je konečný integrál uprostřed, musí být konečný součet řady vlevo tím jsou současně dokázány obě implikace. Příklad (Řada ). Vyšetřeme konvergenci řady, kde. Řešení. Podle integrálního kritéria řada konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál, což je pro. Příklad (Řada ). Řada diverguje. Řešení. Podle integrálního kritéria stačí ukázat divergenci integrálu. Provedeme substituci Podle věty o substituci pro zobecněný Riemannův integrál tento integrál diverguje právě tehdy, když diverguje integrál integrál je divergentní, je tím divergence původní řady dokázána. Protože poslední

6 Věta (Raabeovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak platí: 1. a) Existuje li číslo tak, že pro všechna je, pak konverguje. b) Je li pro všechna splněna podmínka, pak řada diverguje. 2. a) Pokud, řada konverguje. b) Pokud, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Zvolme libovolně. Označme. Podle příkladu řada konverguje. Pro konvergenci řady stačí ukázat, že od jistého členu platí podmínka, což je ekvivalentní podmínce Výraz na levé straně je podle předpokladu, dokážeme li proto, že limita výrazu na pravé straně je menší než, důkaz bude hotov. Máme Na poslední limitu použijeme l'hôpitalovo pravidlo a dostaneme Protože, věta je tím dokázána. b) Podmínka z předpokladu je ekvivalentní podmínce kde. Řada přitom diverguje (harmonická řada), proto podle srovnávacího kritéria s podíly konverguje i řada. 2. a, b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b). Věta (Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Nechť existují konstanty,, a omezená číselná posloupnost tak, že pro všechna platí Pak: 1. Je li, řada konverguje. Důkaz. Protože 2. Je li, řada diverguje. případy a plynou z limitní verze podílového kritéria. Je li, je případy resp. plynou z limitní verze Raabeova kritéria. Zbývá tedy dokázat divergenci řady pro případ. Označme. Řada diverguje. Stačí podle srovnávacího kritéria dokázat, že od jistého členu je Poslední nerovnost je ekvivalentní nerovnosti která jde ještě upravit na tvar

7 Tato nerovnost je od jistého členu jistě splněna, neboť (díky omezenosti ) 3.2. Řady se střídavými znaménky Definice (Řada se střídavými znaménky). Buď reálná posloupnost, nechť platí. Pak říkáme, že je řada se střídavými znaménky. Poznámka. Efektivně to znamená, že řada se střídavými znaménky má tvar buď, nebo, kde. Věta (Leibnizovo kritérium pro řady se střídavými znaménky). Nechť je klesající posloupnost kladných čísel. Pak řada konverguje právě tehdy, když. Důkaz. : jedná se o nutnou podmínku konvergence řady. : označme částečný součet uvažované řady. Pak pro všechna je Z monotonie posloupnosti vyplývá, že Proto je rostoucí a klesající posloupnost. Jejich limity tedy existují. Protože díky předpokladu musí být Zároveň společná limita musí být díky rozdílnému druhu monotonie obou posloupností reálná. Z pokrývací věty dostaneme pak existenci konečné limity posloupnosti, tedy konvergenci příslušné řady. Věta (Modifikované Raabeovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak: 1. a) Existuje li tak, že pro všechna je, pak řada konverguje. b) Je li pro všechna výraz, řada diverguje. 2. a) Je li, řada konverguje. b) Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) K důkazu konvergence řady použijeme Leibnizovo kritérium. Z předpoladu vyplývá, že pro všechna je proto a je tedy klesající posloupnost. Musí mít proto limitu. Vynásobíme li nerovnosti ( ) pro, kde, dostaneme

8 Kdyby, musela by být kladná, neboť je nezáporná posloupnost. V takovém případě by přitom ale podle věty o limitě podílu což je spor. Je tedy a podle Leibnizova kritéria konverguje. b) Z předpokladu plyne pro všechna, je tedy rostoucí posloupnost, proto nemůže mít za limitu nulu, řada diverguje. 2. a), b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b). Věta (Modifikované Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna platí, nechť existují konstanty,, a omezená posloupnost tak, že pro všechna platí Pak: 1. Je li, řada konverguje absolutně. 2. Je li, řada konverguje neabsolutně. 3. Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. Případy plynou z Raabeova kritéria. 2. Konvergence řady plyne z modifikovaného Raabeova kritéria. Divergence řady plyne z Gaussova kritéria. 3. Pokud, je a tedy je od jistého členu rostoucí. Tím pádem nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada proto diverguje. Pokud je, je a tedy od jistého členu je, což opět znamená, že je od jistého členu rostoucí, nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada diverguje. Pokud je, je Označme. Je Z toho plyne, že je na ostře klesající a na ostře rostoucí. Přitom, proto pro všechna. Protože je omezená, jistě existuje tak, že pro všechna je. Pro proto Sečteme li nerovnosti ( ) pro, kde, dostaneme Limita pravé strany pro je konečná, označme ji. Dostaneme odkud plyne, že nemůže být splněna nutná podmínka konvergence Řady s obecnými členy

9 Věta (Dirichletovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada má omezenou posloupnost částečných součtů. Nechť je monotónní posloupnost a. Pak konverguje. Důkaz. Předpokládejme například, že je klesající nezáporná posloupnost. K důkazu užijeme BCP. Zvolme a hledejme tak, aby pro všechna, platilo Sumu v nerovnosti upravíme: označme. Podle předpokladu existuje tak, že pro všechna. Máme odkud Existence tedy plyne z předpokladu. Věta (Abelovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada konverguje. Nechť je monotónní omezená posloupnost. Pak řada konverguje. Důkaz. Z monotonie plyne existence limity posloupnosti, označme ji. Protože je omezená, je. Řadu pak lze zapsat jako součet dvou konvergentních řad přičemž první řada konverguje podle Dirichletova kritéria a druhá z předpokladu věty. Příklad (Řada ). Podle Dirichletova kritéria řada konverguje, neboť je monotónní posloupnost s nulovou limitou a řada má omezenou posloupnost částečných součtů. 4. Přerovnání řad Definice (Přerovnání řady). Buď číselná posloupnost, bijekce. Říkáme, že řada vznikla z řady přerovnáním. Věta (O absolutně konvergentní přerovnané řadě). Nechť absolutně konverguje. Pak každá řada vzniklá z řady přerovnáním je také absolutně konvergentní a má stejný součet. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že. Pak tedy posloupnost částečných součtů přerovnané řady je shora omezená, takže konverguje a z limitního přechodu plyne, že Zaměníme li roli původní a přerovnané řady, dostaneme opačnou nerovnost. Celkově tedy Předpokládejme nyní, že. Označme

10 Platí tedy Řady a jsou řady s nezápornými členy, které (absolutně) konvergují, neboť jsou to součty resp. rozdíly (podělené dvěma) dvou konvergentních řad. Dají se tedy (dle důkazu výše) přerovnat bez změny součtu. Dostaneme tak což znamená, že řadu lze přerovnat bez změny součtu. Přitom je absolutně konvergentní, neboť Dokažme tvrzení konečně pro obecnou komplexní posloupnost. Rozložíme kde. Posloupnosti a jsou díky nerovnostem absolutně konvergentní, tudíž je lze přerovnat (podle předchozího) bez změny součtu, takže platí Přerovnaná posloupnost je absolutně konvergentní, neboť Věta (O přerovnání neabsolutně konvergentní reálné řady). Buď neabsolutně konvergentní reálná řada. Nechť. Pak existuje přerovnání řady takové, že jeho součet je. Existuje také přerovnání řady, které osciluje. Důkaz. Označme Protože konverguje neabsolutně, je nutně, tedy řady i jsou podstatně divergentní, mají součet. Popíšeme hledané přerovnání slovně. Buď nejprve. Nalezneme nejprve první takové tak, aby To jinými slovy znamená, že vybíráme nejprve kladné členy z posloupnosti tak, že tak dlouho, až jejich součet přesáhne. Poté nalezneme první takové To jinými slovy znamená, že vybíráme záporné členy z posloupnosti tak dlouho, dokud jejich součet (spolu s prvními nezápornými členy) není menší než. Poté nalezneme opět první takové, že a Takto postupujeme stále dál, až nagenerujeme posloupnosti a. Zkonstruované přerovnání přitom musí konvergovat k, neboť Pokud, nalezneme nejprve tak, aby součet prvních nezáporných členů posloupnosti přesáhl číslo. Poté přičteme jeden záporný člen. Následně přičítáme kladné tak dlouho, až součet přesáhne číslo. Pak opět přičteme jeden člen záporný, atd. Takto zkonstruované přerovnání

11 má zřejmě součet. Přerovnání divergující k sestrojíme podobně. Konečně přerovnání, které osciluje, se sestrojí následujícím způsobem: nejprve sčítáme nezáporné členy tak dlouho, až jejich součet přesáhne číslo. Poté přičítáme nekladné členy tak dlouho, až je součet menší než. Poté opět přičítáme nezáporné členy, až součet přesáhne, atd. Takto zkonstruované přerovnání zřejmě osciluje. 5. Součin řad Definition (Součin řad). Nechť, jsou číselné posloupnosti, nechť je bijekce. Označme,, pro všechna. Říkáme, že řada je součinem řad a. Věta (O součinu absolutně konvergentních řad). Nechť a jsou absolutně konvergentní řady. Pak jejich součin je absolutně konvergentní a má součet. Důkaz. Označme. Pak řada je proto absolutně konvergentní. Lze ji bez změny součtu libovolně přerovnat a uzávorkovat. Platí proto kde takže Definice (Součinová řada). Nechť, jsou číselné posloupnosti, nechť. Pak říkáme, že je součinová řada řad a. Věta (O součinu absolutně konvergentní a konvergentní řady). Nechť konverguje absolutně a konverguje. Pak součinová řada těchto dvou řad konverguje k číslu. Důkaz. Nechť je ona součinová řada a její částečný součet. Označme,,,. Pak pro všechna platí odkud Z předpokladů věty plyne, že Zároveň jistě existuje tak, že Zvolme a najděme příslušná, z podmínek výše. Je li, je pak

12 odkud plyne z čehož dostaneme což je tvrzení věty. Příklad. Ukažme, že pokud řady, konvergují, součinová řada nemusí konvergovat. Řešení. Položme Pak součinová řada je, kde a protože dostaneme odhad takže nemůže být. Součinová řada proto diverguje.