10 Funkce více proměnných
|
|
- Jan Rohla
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n budeme rozumět číslo x y = (x j y j ) 2. j=1 Poznámka. (i) x, y R n : x y = 0 x = y, (ii) x, y R n : x y = y x, (iii) x, y, z R n : x y x z + z y. Definice. (i) Necht x R n, r > 0. Množinu B r ( x) U r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y < r} nazýváme otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nebo také otevřeným okolím bodu x. (ii) Necht x R n, r > 0. Množinu B r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y r} nazýváme uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r. Definice. (i) Necht M R n, x R n. Řekneme, že x R n je vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje r > 0 splňující B r (x) M. (ii) Množina M R n se nazývá otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. (iii) Vnitřkem množiny M rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny M. Vnitřek množiny M budeme značit int M. Poznámka. (i) Množina M R n je otevřená M = intm. (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou otevřené množiny. (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny G α R n, α A, jsou otevřené. Pak α A G α je otevřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny G i, i = 1,...,m, jsou otevřené. Pak m i=1 G i je otevřená množina. (Průnik nekonečně mnoha otevřených množin nemusí být otevřená množina: rozmyslete si, že platí: n=1 ( 1 n, 1 n ) = {0}). Definice. (i) Necht M R n a x R n. Řekneme, že x je hraničním bodem množiny M, pokud pro každé r > 0 platí B r ( x) M a zároveň B r ( x) (R n \ M). (ii) Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hraničních bodů M. Značíme ji H(M) nebo M. (iii) Uzávěrem množiny M rozumíme množinu M H(M). Uzávěr množiny M značíme M. (iv) Řekneme, že množina M je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body (tj. H(M) M, neboli M = M). Poznámka. (i) Množina F R n je uzavřená, právě když R n \ F je otevřená.
2 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 17 (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou uzavřené (i otevřené). (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny F α R n, α A, jsou uzavřené. Pak α A F α je uzavřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny F i, i = 1,...,m, jsou uzavřené. Pak m i=1 F i je uzavřená množina. (Sjednocení nekonečně mnoha uzavřených množin nemusí být uzavřená množina: rozmyslete si, že n=1 1 n,1 1 n = (0,1)). Definice. Necht A R n, A, a x R n. Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ( x,a) = inf{ x y ; y A}. Diametrem (průměrem) neprázdné množiny B R n rozumíme diam B = sup{ x y ; x, y B} a klademe diam = 0. Pokud diam B <, pak říkáme, že B je omezená množina Konvergence v R n Definice. Necht { x n } n=1 je posloupnost prvků Rn. Řekneme, že { x n } n=1 konverguje k y Rn, x n y, jestliže platí lim n x n y = 0. Prvek y nazýváme limitou posloupnosti { x n } n=1. Konvergentní posloupností v R n rozumíme každou posloupnost prvků R n, která má limitu v R n. Věta 10.1 (vlastnosti konvergence). Platí: (i) Necht { x n } n=1 je posloupnost prvků z Rn a existují n 0 N, y R n takové, že x n = y pro každé n n 0. Pak lim n + x n = y. (ii) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (iii) Necht A R n. Množina A je uzavřená, právě když limita každé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. (iv) Necht { x nk } k=1 je posloupnost vybraná z posloupnosti { x n} n=1 prvků Rn, tj., {n k } k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže lim n + x n = y, pak také lim k + x nk = y Spojitá zobrazení Definice. Necht f : R n R m je zobrazení, a R n a M R n. Řekneme, že f je spojité v bodě a vzhledem k množině M, jestliže a M a platí ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x M : x a < δ f ( x) f ( a)) < ε; f je spojité v bodě a, jestliže je spojité v a vzhledem k R n. f je spojité na M, jestliže je spojité v každém bodě a M vzhledem k M. Definice. Necht M R n a x R n. Řekneme, že x je hromadným bodem množiny M, jestliže ε R,ε > 0: M (B ε ( x) \ { x}). Množinu všech hromadných bodů množiny M značíme M a nazýváme ji derivací množiny M. Body z M \ M nazýváme izolovanými body množiny M.
3 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 18 Definice. Necht f : R n R m, A R n a necht a R n je hromadným bodem množiny A. Řekneme, že prvek b R m je limitou zobrazení f v bodě a vzhledem k množině A, jestliže platí ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x A, x a: x a < δ = f ( x) b < ε. Je-li A = R n, říkáme, že f má v bodě a limitu b. Označení. Pokud limita f v bodě a vzhledem k A existuje, pak ji značíme lim f ( x) píšeme jen lim f ( x). x a, x R n x a lim f ( x). Místo zápisu x a, x A Věta 10.2 (Heineova věta o limitě). Necht f : R n R m, A D( f ), a A, b R m. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) lim x a, x A f ( x) = b, (ii) pro každou posloupnost { x n } prvků množiny A, x n a, splňující lim x n = a, platí lim f ( x n ) = b. Věta 10.3 (Heineova věta o spojitosti). Necht f : R n R m, A D( f ), a A. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) f je spojitá v bodě a vzhledem k množine A, (ii) pro každou posloupnost { x n } prvků množiny A, splňující lim x n = a, platí lim f ( x n ) = f ( a). Poznámka. Platí standardní věty o aritmetice limit, o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu. Věta 10.4 (spojitost složeného zobrazení v bodě). Necht f : R n R m a g : R m R k jsou vektorové funkce více proměnných. Necht a P R n, f ( a) Q R m, a necht platí: existuje δ R, δ > 0, takové, že f (B δ ( a) P) Q, f je spojité v bodě a vzhledem k P, g je spojité v bodě f ( a) vzhledem k Q. Pak zobrazení g f je spojité v bodě a vzhledem k P Parciální derivace a totální diferenciál Definice. Necht f : R n R je reálná funkce n proměnných, a R n, 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako limitu f f( a + t e i ) f( a) ( a) = lim, t 0 t pokud tato existuje vlastní. Symbolem f označujeme parciální derivaci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci, která bodu x přiřazuje hodnotu f ( x). Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a L : R n R je lineární zobrazení. Řekneme, že L je totální diferenciál funkce f v bodě a, jestliže platí f( a + lim h) f( a) L( h) h 0 = 0. h
4 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 19 Věta 10.5 (vztah totálního diferenciálu a parciální derivace). Necht L je diferenciál funkce f v bodě a R n. Potom existují parciální derivace f ( a),..., f ( a) x 1 a pro každé h = (h 1,...,h n ) R n platí Jiná značení: (L f ( a) df( a).) h = (h1,...,h n ) (dx 1,...,dx n ) = L(h 1,...,h n ) = f ( a)h }{{} f ( a)h n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály f ( a)(h 1,...,h n ) = f x 1 ( a)h f ( a)h n. df( a)(dx 1,...,dx n ) = f ( a)dx }{{} f ( a)dx n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály Věta Má-li funkce f v bodě a R n totální diferenciál, je f v bodě a spojitá. Věta Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f x 1,..., Potom má f v bodě a totální diferenciál. f jsou spojité funkce v bodě a. Pouhá existence parciálních derivací (tj. parciálních diferenciálů) ještě neimplikuje existenci totálního diferenciálu! Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f( a + t v) f( a) D v f( a) = lim. t 0 t Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f ( a) existuje. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor ( f grad f( a) f( a) = ( a),..., f ) ( a) R n. x 1 Věta Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Necht existuje f ( a). Pak platí (i) D v f( a) = f( a) v = f ( a)( v) df( a)( v), (ii) max{d v f( a); v = 1} = f( a). Poznámka. Rozmyslete si k důkazu bodu (ii): v = 1 = D v f( a) f( a) v = f( a), f( a) 0, pak v := f( a) f( a) = D f( a) vf( a) = f( a) f( a) = f( a). Geometrický význam gradientu. Gradient funkce v bodě určuje směr největšího růstu funkce.
5 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 20 Velikost gradientu funkce v bodě je zároveň hodnotou (této největší) derivace ve směru gradientu. Definice. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a L : R n R k je lineární zobrazení. Řekneme, že L je derivací (totálním diferenciálem) zobrazení f v bodě a, jestliže platí f lim ( a + h) f ( a) L( h) h 0 = 0. h Úmluva. Pod termínem "derivace" budeme pro funkce f : R n R k rozumět totéž, co pod termínem "(totální) diferenciál". Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, které má v bodě a R n derivaci L f (a). Potom je f (a) reprezentováno (Jacobiho) maticí f 1 f Df x Dx ( a) D(f 1 ( a)... 1 ( a) f 1,...,f k ) 2 f ( a) := x 1 ( a)... 2 ( a) D(x 1,...,x n )... f k f x 1 ( a)... k ( a) Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f ( a) existuje. Potom f je spojité v a. Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f j, i = 1,...,n, j = 1,...,k, jsou spojité v a. Potom f ( a) existuje. Věta (derivace složeného zobrazení). Necht f je zobrazení z R n do R k, g je zobrazení z R k do R s, a R n a b = f( a) R k. Jestliže existují f ( a) a g ( b), pak existuje ( g f ) ( a) a platí ( g f ) ( a) = g ( b) f ( a). Důsledek (řetízkové pravidlo). Necht funkce f 1,...,f k z R n do R mají v bodě a R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b = (f 1 ( a),...,f k ( a)) totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h( x) = g(f 1 ( x),...,f k ( x)). Potom má h v bodě a totální diferenciál a pro i {1,...,n} platí h ( a) = 10.5 Parciální derivace vyšších řádů k j=1 g y j ( b) f j ( a). Definice. Necht f je funkce z R n do R, i,j {1,...,n}, a R n. Parciální derivaci funkce f podle j-té proměnné v bodě a značíme 2 f x j ( a), pokud i j, případně 2 f ( a), pokud i = j. Analogicky značíme x 2 i parciální derivace vyšších řádů. Definice. Necht G R n je otevřená množina, f : G R a p N. Řekneme, že f je třídy C p, jestliže všechny parciální derivace funkce f až do řádu p včetně jsou spojité na G. Množinu všech funkcí f : G R třídy C p označujeme C p (G) a klademe C (G) = p=1 Cp (G). Definice. Necht G R n je otevřená množina, p N { } a f : G R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže všechny jeho složky f 1,...,f k jsou třídy C p.
6 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 21 Věta Necht p N { }, G R n, H R k jsou otevřené množiny, f : G R k, g: H R s jsou třídy C p a platí f(g) H. Pak zobrazení g f je třídy C p. Věta Necht G R n je otevřená, p N, a funkce f C p (G). Necht a G. Potom hodnota je nezávislá na pořadí indexů i 1, i 2,..., i p. p f 1...p ( a) Poznámka. Tato tzv. záměnnost parciálních derivací obecně neplatí pro funkce, jejichž parciální derivace (až do příslušného řádu včetně) nejsou spojité. Definice. Necht všechny níže uvedené parciální derivace existují. Bud f : R n R n. Divergencí f v bodě a nazvu div f ( a) := j=1 f j x j ( a). Bud f : R 3 R 3. Rotací f v bodě a nazvu rot f e 1 e 2 e 3 ( a) := x y z f 1 f 2 f ( a) = 3 = ( f3 y f 2 z, f 1 z f 3 x, f 2 x f 1 y ) ( a). Definice. Bud f : R n R a necht existují parciální defivace 2 f, j = 1,...,n, v bodě a R n. Hodnotou x 2 j Laplaceova operátoru, aplikovaného na funkci f v bodě a (čteme "Laplace f( a)") nazvu hodnotu f( a) := j=1 2 f x 2 ( a). j Poznámka. Operátory, div a grad lze aplikovat i na vektorové funkce, "po složkách", tj. např. pro f : R n R k je f ( a) k-rozměrný vektor se složkami f j ( a), j = 1,...,k. Při formálním označení = ( x 1,..., ) lze psát tyto formální identity: grad f = f, div f = f, f = ( )f, rot f = f. Cvičení. Ověřte, že pro všechny funkce, mající v daném bodě spojité parciální derivace nejvyššího v identitách použitého řadu, platí tyto identity: div f( x) = f( x), div rot f ( x) = 0, rot rot f ( x) = div f ( x) f ( x).
7 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci). Necht p N { }, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, [ x,ỹ] G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F( x,ỹ) = 0, (iii) F y ( x,ỹ) 0. Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ, že x U! y V s vlastností F( x,y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U), a F ϕ x j ( x,ϕ( x)) ( x) =, kde j {1,...,n}, x U. x F j y ( x,ϕ( x)) Věta (o implicitně zadaných funkcích). Necht n,m N, p N { }, G R n+m je otevřená množina, F : G R m, x R n, y R m, [ x, y] G a platí: (i) F C p (G), (ii) F( x, y) = 0, (iii) F 1 y 1 ( x, y) F... 1 y m ( x, y) F m y 1 ( x, y) F... m y m ( x, y) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu y, že x U! y V s vlastností F( x, y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U) Extrémy funkcí více proměnných Definice. Bud f : R n R a M D(f). Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí y M : f(y) f(x) (resp. y M : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině M. Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) M : f(y) f(x) (resp. y B δ (x) M : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem lokálního maxima (resp. lokálního minima) funkce f na množině M.
8 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 23 Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) \ {x}) M : f(y) < f(x) (resp. y B δ (x) \ {x}) M : f(y) > f(x)). Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině M. Symbol max M f (resp. min M f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině M nabývá (pokud taková hodnota existuje). Definice. Řekneme, že M R n je kompaktní, pokud M je uzavřená a omezená množina v R n. Věta Bud M R n neprázdná kompaktní množina a f : M R spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima (a tedy je m.j. omezená na M). Věta Necht G R n je otevřená, a G, j {1,...,n}. Necht funkce f : G R má v bodě a lokální extrém (vzhledem ke G). Pak bud f x j ( a) neexistuje nebo je rovna nule. Definice. Bod a R n nazýváme stacionárním bodem funkce f, pokud grad f( a) = 0, tj. pokud f x j ( a) = 0 pro všechna j = 1,...,n. Definice. Je-li A M n n symetrická matice, pak funkci Q : R n R, definovanou předpisem Q( h) := (A h) h = nazýváme kvadratickou formou (definovanou maticí A). a ij h i h j i,j=1 Definice. Bud Q : R n R kvadratická forma. Řekneme, že Q je pozitivně (negativně) definitní, pokud Q( h) > 0 (< 0) pro všechna h R n, h 0; pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud Q( h) 0 ( 0) pro všechna h R n ; indefinitní, pokud existují vektory h, k R n takové, že Q( h) > 0 a Q( k) < 0. Definice. Necht f : R n R má spojité druhé parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d 2 f( a) : R n R n R definované předpisem d 2 f( a)( h, h) := nazýváme druhým diferenciálem funkce f v bodě a. i,j=1 2 f x j ( a)h i h j Poznámka. Zobrazení ( h : d ) 2 f( a)( h, h) je kvadratická forma, definovaná tzv. Hessovou maticí druhých derivací, H(f)( a) = 2 n f x. j i,j=1 Věta (postačující podmínky lokálního extrému). Budiž f C 2 (G), a G a necht f( a) = 0 (tj. a je stacionárním bodem f). Potom platí: Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima.
9 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 24 Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima. Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) indefinitní, nenabývá f v bodě a ani lokálního maxima, ani lokálního minima. Poznámka. K určení definitnosti kvadratické formy se často hodí následující pravidlo: Bud A M n n matice kvadratické formy. Označme A 1 M 1 1, A 2 M , A n M n n její hlavní diagonální podmatice; necht dále všechny determinanty deta 1,... deta n jsou nenulové. Označme číslem p počet znaménkových změn v posloupnosti {1,detA 1,...detA n }. Potom platí: Kvadratická forma definovaná maticí A je pozitivně definitní p = 0. Kvadratická forma definovaná maticí A je negativně definitní p = n. Věta (Lagrangeovy multiplikátory). Necht m,n N, m < n, G R n je otevřená množina, f,g 1,...,g m C 1 (G), M = { z G; g 1 ( z) = 0,g 2 ( z) = 0,...,g m ( z) = 0} a bod z M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory g 1 ( z), g 2 ( z),..., g m ( z) jsou lineárně závislé, (II) existují reálná čísla λ 1,λ 2,...,λ m R splňující 10.8 Taylorův polynom f( z) + λ 1 g 1 ( z) + λ 2 g 2 ( z) + + λ m g m ( z) = 0. Definice. Necht k N a necht funkce f : R n R má spojité k-té parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d k f( a) : R } n {{ R n } R definované předpisem k-krát d k f( a)( h,..., h) := }{{} k-krát j 1,...,j k =1 nazýváme k-tým diferenciálem funkce f v bodě a. k f( a) x j1 x jk h j1 h jk, Definice. Necht pro a R n existuje f (k) ( a), k N {0}. Potom Taylorovým polynomem k-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme polynom n proměnných T f, a k ( x) = f( a) + k 1 j! dj f( a)( x a,..., x a ). }{{} j=1 Definice. Řekneme, že množina M R n je konvexní, pokud pro každé dva body x, y M patří do M i celá úsečka, která tyto dva body spojuje. j krát
10 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 25 Věta (Lagrangeův tvar zbytku). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C k+1 (G) (k N {0}), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) = T f, a k ( x) + 1 (k + 1)! dk+1 f( ξ)( x a,..., x a ). }{{} (k+1) krát Věta (důsledek: věta o přírůstku funkce). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C 1 (G), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) f( a) = f ( ξ)( x a). Věta (Peanův tvar zbytku). Necht f je funkce z R n do R, která je třídy C k (k N) na jistém okolí bodu a R n. Potom platí f( x) T f, a k ( x) lim x a x a k = 0.
12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceKapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceBodová a stejnoměrná konvergence
Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x 2 +... = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x 2 +... = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
Více