Riemannův určitý integrál

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Riemannův určitý integrál"

Transkript

1 Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami o rovnicích, (viz obrázek): S Rozdělme interval na stejných dílků. Položme a Funkce b Z obrázku je zřejmé, že pro všechna platí nerovnost kde je součet obsahů menších obdélníků (které jsou schovány v šedé ploše), součet obsahů větších obdélníků (které naopak šedou plochu pokrývají), viz obrázek: S Platí x 0 =a x 1 x 2 x 3... x n =b Nyní se zajímáme o to, zda posloupnosti a konvergují, a pokud ano, zda konvergují ke stejnému číslu. Pokud je tato podmínka splněna, znamená to podle věty o limitě sevřené posloupnosti, že z nerovností plyne rovnost čísla společné hodnotě těchto dvou limit. Vypočítáme nejprve Z této nulovosti vyplývá, že existují li limity posloupností a, jsou si rovny. Stačí tedy vypočítat pouze jednu z nich. Máme Obě limity jsou rovny číslu, čemuž je roven i obsah. To, že primitivní funkce k je rovna a rozdíl, není náhoda. 2. Rozdělení intervalu Definice (Rozdělení intervalu). Rozdělením intervalu nazveme každou konečnou množinu takovou, že.

2 Definice (Norma rozdělení). Nechť, kde, je rozdělení intervalu. Číslo nazýváme normou rozdělení, značíme. 3. Definice integrálu Definice (Riemannův určitý integrál). Nechť. Řekneme, že číslo je Riemannovým určitým integrálem funkce od do (značíme ) právě tehdy, když pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost (Výrazu říkáme integrální součet.) Pokud je uvedená podmínka splněna, říkáme též, že je na intervalu (riemannovsky) integrovatelná (nebo též, že Riemannův integrál existuje). Poznámka (Jednoznačnost integrálu). Existuje li číslo podle předchozí definice, je dáno jednoznačně. To opravňuje použité značení. (Důkaz je jednoduchý, podobný jako u pojmu limita posloupnosti či funkce.) 4. Základní lemma integrálního počtu Lemma (Základní lemma integrálního počtu). Nechť. Funkce je na riemannovsky integrovatelná právě tehdy, když pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že, a pro libovolnou volbu čísel tak, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita Navíc, je li podmínka výše splněna, limita je nezávisle na volbě posloupnosti a bodů rovna číslu. Důkaz. : Nechť je integrovatelná na, tj. existuje jednoznačně určené tak, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Zvolme libovolnou posloupnost tak, že a libovolnou volbu čísel. Podmínka říká, že Chceme ukázat, že existuje. Ukažme, že tato limita existuje a je rovna, tj. ukažme, že Zvolme libovolné. K němu najděme z podmínky. Z podmínky najděme k tomuto číslo. Toto číslo již splňuje podmínku, čímž je implikace dokázána. : Předpokládejme, že limity existují a jsou konečné. Ukažme nejprve, že jsou všechny stejné, tj. nezávisí na volbě posloupnosti a čísel. Zvolme libovolné dvě posloupnosti a a volby,. Sporem: předpokládejme, že by limity integrálních součtů příslušných k posloupnostem a (a přísl. volbám ) byly různé. Sestrojme posloupnost, limita integrálních součtů příslušných k této posloupnosti musí podle předpokladu konvergovat, což je spor, neboť obsahuje dvě podposloupnosti s různými limitami. Označme jejich společnou hodnotu limit. Nyní dokážeme, že je integrovatelná na a hodnota. Předpokládejme, že to není pravda. Pak platí

3 Dosaďme za postupně čísla pro a nalezněme z této podmínky příslušné. Pak posloupnost splňuje podmínku a tedy limita integrálních součtů příslusných k posloupnosti konverguje k, což je spor s. 5. Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci Riemannova integrálu Věta (Bolzanova Cauchyova podmínka pro Riemannův integrál). Nechť Pak je na integrovatelná právě tehdy, když pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Důkaz. : předpokládáme, že je na integrovatelná, tj. pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Chceme ukázat, že platí podmínka. Zvolme libovolné. Klaďme a najděme příslušné z podmínky. Položme. Pak skutečně pro každá dvě rozdělení, taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, platí podle trojúhelníkové nerovnosti : Předpokládejme naopak, že platí podmínka. Použijeme základní lemma integrálního počtu: ukážeme, že pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že a pro libovolnou volbu čísel takovou, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita kde K tomu stačí ukázat dle Bolzanovy Cauchyovy podmínky, že je cauchyovská, tj. že Zvolme. K němu najděme z předpokladu. Podmínka říká, že Najděme k z příslušné. Pak z dostaneme, že pro libovolné je, tedy je cauchyovská posloupnost. 6. Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce Lemma (Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce). Buď integrovatelná na. Pak je na omezená. Důkaz. Z integrovatelnosti plyne existence jednoznačně určeného takového, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že není na omezená. Zvolme v podmínce. Najděme k němu příslušné. Zvolme libovolné rozdělení takové, aby. Pro něj pak bude platit

4 Z neomezenosti plyne, že musí být neomezená alespoň na jednom z intervalů,. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že není omezená na. Z pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti dostaneme nejprve a rozepíšeme li sumu lze odhadnout první sčítanec takto: odkud plyne Nyní stačí volit vhodně tak, aby tato nerovnost nebyla splněna (což je díky neomezenosti možné) spor. 7. Integrovatelnost 7.1. Integrovatelnost spojité funkce Věta (O integrovatelnosti spojité funkce). Buď spojitá na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Využijeme Cantorovy věty, která říká, že je na spojitá stejnoměrně, tedy Ukážeme, že pro platí Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci integrálu, tzn. pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme tedy libovolně a hledejme k němu příslušné. Pro libovolné, utvořme jejich sjednocení, které bude obsahovat dělicí body z obou rozdělení. Je jistě i. Nechť, kde. Volme body, kde libovolně. Nejprve učiníme pomocí trojúhelníkové nerovnosti následující odhad: Odhadněme nejprve první absolutní hodnotu ze součtu, tj. výraz V každém intervalu, atd. leží vždy obecně několik dělicích bodů. Předpokládejme, že například první interval obsahuje body pro nějaké. Pak a=x 0 =z 0 z 1 z 2 z 3 x 1 =z k... b takže lze psát Podobný odhad lze učinit se všemi intervaly,,... a celý proces i s druhou absolutní hodnotou v. Položíme li nyní v

5 a, lze dále odhadnout odkud plyne pro celý výraz odhad Pro druhou absolutní hodnotu v dostaneme stejným způsobem také odhad, což dohromady dá požadovanou nerovnost Integrovatelnost monotónní funkce Věta (O integrovatelnosti monotónní funkce). Buď monotónní na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Důkaz je podobný jako u tvrzení o spojité funkci. 8. Vlastnosti Riemannova určitého integrálu Definice (Definice Riemannova integrálu s opačně uspořádanými mezemi). 1. Buď integrovatelná na. Pak klademe. 2. Buď definovaná v bodě. Pak klademe Linearita Věta (Linearita Riemannova určitého integrálu). Nechť, jsou integrovatelné na,. Pak je integrovatelná na a platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí přičemž limity vpravo existují, jsou konečné a jsou rovny resp. (opět dle zákl. lemmatu integrálního počtu). Proto integrál existuje a platí pro něj vzorec Aditivita v mezích Lemma (Integrabilita na podintervalu). Nechť je integrovatelná na, nechť. Pak je integrovatelná na. Důkaz. Použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku pro existenci Riemannova integrálu. Chceme ukázat, že pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, intervalu taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme libovolná dvě rozdělení, intervalu. Tato rozdělení jdou vždy doplnit stejnými dělicími body z doplňku tak, aby vznikla rozdělení a intervalu, která budou obsahovat body,, budou splývat na a přitom a. σ 1 a c σ 2 d b Provedeme li shodně i volbu bodů resp. na doplňku, rozdíl integrálních součtů zůstane stejný při přechodu od a k,, neboť části sum odpovídajících doplňku se odečtou:

6 Podmínka pak plyne z BCP použité na interval. Lemma (Integrabilita na sjednocení dvou sousedních intervalů). Nechť je integrabilní na a. Pak je integrabilní na. Důkaz. K důkazu využijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost intervalu, kde, takovou, že. Body volme libovolně. Definujme rozdělení intervalu a rozdělení intervalu takto: Volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě posledního (který leží v intervalu s hraničním bodem ), ten volme libovolně. Podobně volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě prvního bodu. Označme Téměř všechny sčítance v se navzájem odečtou, až na tři: ze sum zůstanou ty členy, které odpovídají částečným intervalům obsahujícím bod, tj. Protože je omezená na a, existuje tak, že pro všechna. Z vyjádření plyne odhad a tedy Spolu s dostaneme, že Pravá strana je přitom podle zákl. lemmatu integrálního počtu rovna Limita integrálních součtů tedy existuje a je konečná a rovna, odkud podle základního lemmatu integrálního počtu Věta (Aditivita Riemannova určitého integrálu v mezích). Buď,. Nechť platí alespoň jedna z následujících podmínek: Pak platí je integrovatelná na a, je integrovatelná na. Důkaz. Pokud platí první podmínka, vše plyne z lemmatu výše. Pokud platí druhá podmínka, je podle lemmatu o integrabilitě na podintervalu integrabilní i na a. Vzorec dokážeme pomocí základního lemmatu integrálního počtu. Zvolme posloupnost rozdělení takovou, že a, kde. Definujme rozdělení intervalů a vztahy

7 Nechť,. Body příslušné k volme libovolně. Pak platí odkud limitním přechodem plyne. Věta (Zobecnění aditivity určitého integrálu). Buďte, nechť v následující rovnosti existují alespoň dva integrály. Pak existuje i ten třetí a platí Důkaz. Je li mezemi Nerovnosti, plyne tvrzení z předchozí věty. Další případy jsou snadným důsledkem definice určitého integrálu s opačně uspořádanými Věta (Nerovnosti mezi integrály). Nechť jsou integrovatelné na a. Pak platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí pro všechna a odkud takže i odkud konečně limitním přechodem dostaneme Trojúhelníková nerovnost Věta (Trojúhelníková nerovnost pro Riemannův určitý integrál). Nechť je integrovatelná v. Pak je integrovatelná v a platí Důkaz. Nejprve ukážeme, že je integrovatelná na. K důkazu použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku. Zvolme. Hledejme tak, aby pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platilo Z BCP použité na funkci je zřejmé, že existuje takové, že pro každé rozdělení a libovolné volby a, kde, a, je Zvolme, libovolně tak, že a. Postupujeme podobně jako v důkazu věty o integrabilitě spojité funkce: nechť je sjednocení těchto dvou rozdělení. Potom

8 kde a volíme z tak, aby a Stejný postup provedeme i pro další sčítance. Nakonec tak celkem dostaneme Vztah ( ) dokážeme snadno ze zřejmých nerovností s použitím věty o nerovnostech Výjimky Věta (Integrovatelnost funkce rovnající se integrovatelné funkci až na konečný počet výjimek). Buď integrovatelná v. Nechť platí v celém intervalu až na konečný počet výjimek. Pak je integrovatelná a Důkaz. Označme. Pak je nenulová pouze v konečně mnoha bodech intervalu. Označme. Zvolme libovolně. Pak pro každé rozdělení, kde, intervalu, pro které, a pro libovolně zvolená, kde, platí proto přímo podle definice určitého integrálu je integrovatelná na a je. Tedy je na integrovatelný i součet a platí Integrál jako funkce meze Věta (O spojitosti a diferencovatelnosti určitého integrálu jako funkce meze). Nechť je integrovatelná na,. Pak funkce je spojitá na. Navíc, je li bod bodem spojitosti, je v tomto bodě diferencovatelná a ; analogické tvrzení platí pro body zprava a zleva. Důkaz. je definovaná na celém, jak plyne z tvrzení o integrabilitě na podintervalu. Zvolme bod libovolně. Ukážeme, že je spojitá v bodě, tj. že Z integrovatelnosti funkce vyplývá, že je na omezená, tj. existuje tak, že pro všechna je. Zvolme libovolně. Pak s využitím trojúhelníkové nerovnosti lze tedy volit. Buď nyní, nechť je v bodě spojitá, tj. Chceme ukázat, že, což je podle definice derivace ekvivalentní s podmínkou Zvolme libovolně, volme dále libovolně a. Pak pro, je

9 Věta (O existenci primitivní funkce). Buď spojitá na. Pak k ní na existuje primitivní funkce. Důkaz. Zvolme libovolně, položme pro. Pak podle předchozí věty je diferencovatelná na a platí pro všechna. je tedy hledanou primitivní funkcí k. 9. Výpočet Riemannova integrálu Věta (Newtonova formule). Nechť je integrovatelná na, spojitá na, nechť platí pro všechna až na konečný počet výjimek. Pak platí Důkaz. Nechť nejprve vztah platí všude na bez výjimek. Nechť je libovolná posloupnost rozdělení intervalu taková, že. Nechť, kde,,, je kde čísla jsme obdrželi z Lagrangeovy věty o přírůstku funkce. Limitním přechodem v poslední nerovnosti dostaneme tvrzení věty: Nechť nyní vztah platí pro každé až na výjimky, kde. Označme,, pak podle předchozího odstavce je š Sečtením těchto nerovností dostaneme podle věty o aditivitě integrálu v mezích tvrzení věty: Poznámka. Rozdíl v tvrzení předchozí věty často značíme symbolem. Věta (Per partes pro určitý integrál). Nechť existují integrály a. Pak platí: Důkaz. Z existence integrálů plyne diferencovatelnost funkcí a tedy i spojitost na ; z diferencovatelnosti plyne možnost použít větu o derivaci součinu, tj. pro všechna. Odtud a z existence integrálů a plyne i existence integrálu a jeho hodnota Protože je primitivní k na a spojitá na, lze použít Newtonův vzorec a vypočítat což spolu s předchozím vztahem dává tvrzení věty. Věta (Substituce v určitém integrálu). Nechť je spojitá na, nechť existuje integrál. Pak existuje a je mu roven. Důkaz. Předpokládejme, že. Z existence integrálu plyne spojitost a diferencovatelnost na, takže je uzavřený interval,

10 označme ho. Ze spojitosti na plyne existence integrálu. Označme (a uvažujme ). Pak je spojitá na a vztah platí na. je proto spojitá na a vztah platí pro (díky (jednostranné) diferencovatelnosti v krajních bodech vztah funguje i uvnitř intervalu v bodech, kde by případně nabývala hodnot ). Dvakrát použitým Newtonovovým vzorcem dostaneme rovnosti 10. Věty o střední hodnotě Věta (První věta o střední hodnotě). Nechť jsou integrovatelné v a je v nezáporná. Pak existuje tak, že platí Důkaz. Z integrovatelnosti a na plyne, že také součin je integrovatelný v. To lze ukázat pomocí BCP podobně jako v tvrzení o trojúhelníkové nerovnosti pro integrály. Pro všechna je kde je vhodná konstanta splňující a pro všechna (její existence plyne z omezenosti integrovatelných funkcí ). Vlastní tvrzení věty dokážeme takto: zřejmou nerovnost platnou pro všechna vynásobíme (nezáporné číslo, nerovnosti se nezmění) a zintegrujeme od do. Tak dostaneme Je li, pak z uvedené nerovnosti plyne a lze volit libovolně. Je li, pak nerovnost vydělíme: Položíme li nyní rovno zlomku uprostřed, tvrzení je dokázáno. Příklad. Pomocí první věty o střední hodnotě odhadněme Riemannův integrál. Řešení. Označme,. Je Proto podle první věty o střední hodnotě je kde. Výsledek lze také zapsat v symetrickém tvaru Věta (Druhá věta o střední hodnotě). Nechť je integrovatelná na, monotónní na. Pak existuje tak, že Důkaz. Integrovatelnost plyne z její monotonie, integrovatelnost součinu viz důkaz první věty o střední hodnotě. Pokud je konstantní, lze volit libovolně a věta plyne z aditivity určitého integrálu v mezích. Předpokládejme proto, že není konstantní. Předpokládejme dále například, že je na klesající (pro rostoucí funkci by se postupovalo obdobně). Protože z tvrzení platného pro dvojici funkcí plyne platnost tvrzení pro dvojici, kde je libovolná konstanta, můžeme navíc předpokládat, že a (to lze vždy zajistit přičtením vhodné konstanty k funkci ). Máme tedy ukázat, že existuje takové, že

11 Protože funkce je spojitá na, nabývá na něm všech hodnot mezi a. Stačí tedy ukázat, že Zvolme libovolné rozdělení intervalu. Nechť, kde. Vynásobíme zřejmou nerovnost nezáporným číslem : Sečteme li tyto nerovnosti pro, dostaneme kde jsme označili Přitom jde upravit na tvar Studujme, jak se poslední výraz liší od hodnoty. Protože je integrovatelná, je na omezená, tedy existuje tak, že pro všechna. Je Uvažujme nyní posloupnost rozdělení intervalu, kde. Z předchozí nerovnosti plyne, že Limitním přechodem v nerovnosti získáme požadovanou nerovnost ( ). Příklad (Integrál ). Buď. Odhadněme pomocí druhé věty o střední hodnotě integrál. Řešení. Označme,. Předefinujme v bodě tak, že. Pak z druhé věty o střední hodnotě existuje tak, že takže Získali jsme tedy odhad, který vůbec nezávisí na horní mezi integrálu. Pro srovnání, z první věty o střední hodnotě bychom získali horší odhad

12 který pro roste nade všechny meze.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus

1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus 1 Matematická analýza 1...1. Úvodní opakování...1.1. Mocnina a logaritmus...1.1.1. Goniometrické funkce...1.1.2. Zobrazení a jeho základní vlastnosti...1.2. O množině $\mathbb{r}$...1.3. O množině komplexních

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Kongruence na množině celých čísel

Kongruence na množině celých čísel 121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li

Více

Modely Herbrandovské interpretace

Modely Herbrandovské interpretace Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å Pokud napíšeme značku H a (ε), je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je 74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.

Více

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec 3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce

Více

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

3. přednáška 15. října 2007

3. přednáška 15. října 2007 3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení

Více