Riemannův určitý integrál
|
|
- Barbora Vaňková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami o rovnicích, (viz obrázek): S Rozdělme interval na stejných dílků. Položme a Funkce b Z obrázku je zřejmé, že pro všechna platí nerovnost kde je součet obsahů menších obdélníků (které jsou schovány v šedé ploše), součet obsahů větších obdélníků (které naopak šedou plochu pokrývají), viz obrázek: S Platí x 0 =a x 1 x 2 x 3... x n =b Nyní se zajímáme o to, zda posloupnosti a konvergují, a pokud ano, zda konvergují ke stejnému číslu. Pokud je tato podmínka splněna, znamená to podle věty o limitě sevřené posloupnosti, že z nerovností plyne rovnost čísla společné hodnotě těchto dvou limit. Vypočítáme nejprve Z této nulovosti vyplývá, že existují li limity posloupností a, jsou si rovny. Stačí tedy vypočítat pouze jednu z nich. Máme Obě limity jsou rovny číslu, čemuž je roven i obsah. To, že primitivní funkce k je rovna a rozdíl, není náhoda. 2. Rozdělení intervalu Definice (Rozdělení intervalu). Rozdělením intervalu nazveme každou konečnou množinu takovou, že.
2 Definice (Norma rozdělení). Nechť, kde, je rozdělení intervalu. Číslo nazýváme normou rozdělení, značíme. 3. Definice integrálu Definice (Riemannův určitý integrál). Nechť. Řekneme, že číslo je Riemannovým určitým integrálem funkce od do (značíme ) právě tehdy, když pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost (Výrazu říkáme integrální součet.) Pokud je uvedená podmínka splněna, říkáme též, že je na intervalu (riemannovsky) integrovatelná (nebo též, že Riemannův integrál existuje). Poznámka (Jednoznačnost integrálu). Existuje li číslo podle předchozí definice, je dáno jednoznačně. To opravňuje použité značení. (Důkaz je jednoduchý, podobný jako u pojmu limita posloupnosti či funkce.) 4. Základní lemma integrálního počtu Lemma (Základní lemma integrálního počtu). Nechť. Funkce je na riemannovsky integrovatelná právě tehdy, když pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že, a pro libovolnou volbu čísel tak, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita Navíc, je li podmínka výše splněna, limita je nezávisle na volbě posloupnosti a bodů rovna číslu. Důkaz. : Nechť je integrovatelná na, tj. existuje jednoznačně určené tak, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Zvolme libovolnou posloupnost tak, že a libovolnou volbu čísel. Podmínka říká, že Chceme ukázat, že existuje. Ukažme, že tato limita existuje a je rovna, tj. ukažme, že Zvolme libovolné. K němu najděme z podmínky. Z podmínky najděme k tomuto číslo. Toto číslo již splňuje podmínku, čímž je implikace dokázána. : Předpokládejme, že limity existují a jsou konečné. Ukažme nejprve, že jsou všechny stejné, tj. nezávisí na volbě posloupnosti a čísel. Zvolme libovolné dvě posloupnosti a a volby,. Sporem: předpokládejme, že by limity integrálních součtů příslušných k posloupnostem a (a přísl. volbám ) byly různé. Sestrojme posloupnost, limita integrálních součtů příslušných k této posloupnosti musí podle předpokladu konvergovat, což je spor, neboť obsahuje dvě podposloupnosti s různými limitami. Označme jejich společnou hodnotu limit. Nyní dokážeme, že je integrovatelná na a hodnota. Předpokládejme, že to není pravda. Pak platí
3 Dosaďme za postupně čísla pro a nalezněme z této podmínky příslušné. Pak posloupnost splňuje podmínku a tedy limita integrálních součtů příslusných k posloupnosti konverguje k, což je spor s. 5. Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci Riemannova integrálu Věta (Bolzanova Cauchyova podmínka pro Riemannův integrál). Nechť Pak je na integrovatelná právě tehdy, když pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Důkaz. : předpokládáme, že je na integrovatelná, tj. pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Chceme ukázat, že platí podmínka. Zvolme libovolné. Klaďme a najděme příslušné z podmínky. Položme. Pak skutečně pro každá dvě rozdělení, taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, platí podle trojúhelníkové nerovnosti : Předpokládejme naopak, že platí podmínka. Použijeme základní lemma integrálního počtu: ukážeme, že pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že a pro libovolnou volbu čísel takovou, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita kde K tomu stačí ukázat dle Bolzanovy Cauchyovy podmínky, že je cauchyovská, tj. že Zvolme. K němu najděme z předpokladu. Podmínka říká, že Najděme k z příslušné. Pak z dostaneme, že pro libovolné je, tedy je cauchyovská posloupnost. 6. Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce Lemma (Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce). Buď integrovatelná na. Pak je na omezená. Důkaz. Z integrovatelnosti plyne existence jednoznačně určeného takového, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že není na omezená. Zvolme v podmínce. Najděme k němu příslušné. Zvolme libovolné rozdělení takové, aby. Pro něj pak bude platit
4 Z neomezenosti plyne, že musí být neomezená alespoň na jednom z intervalů,. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že není omezená na. Z pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti dostaneme nejprve a rozepíšeme li sumu lze odhadnout první sčítanec takto: odkud plyne Nyní stačí volit vhodně tak, aby tato nerovnost nebyla splněna (což je díky neomezenosti možné) spor. 7. Integrovatelnost 7.1. Integrovatelnost spojité funkce Věta (O integrovatelnosti spojité funkce). Buď spojitá na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Využijeme Cantorovy věty, která říká, že je na spojitá stejnoměrně, tedy Ukážeme, že pro platí Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci integrálu, tzn. pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme tedy libovolně a hledejme k němu příslušné. Pro libovolné, utvořme jejich sjednocení, které bude obsahovat dělicí body z obou rozdělení. Je jistě i. Nechť, kde. Volme body, kde libovolně. Nejprve učiníme pomocí trojúhelníkové nerovnosti následující odhad: Odhadněme nejprve první absolutní hodnotu ze součtu, tj. výraz V každém intervalu, atd. leží vždy obecně několik dělicích bodů. Předpokládejme, že například první interval obsahuje body pro nějaké. Pak a=x 0 =z 0 z 1 z 2 z 3 x 1 =z k... b takže lze psát Podobný odhad lze učinit se všemi intervaly,,... a celý proces i s druhou absolutní hodnotou v. Položíme li nyní v
5 a, lze dále odhadnout odkud plyne pro celý výraz odhad Pro druhou absolutní hodnotu v dostaneme stejným způsobem také odhad, což dohromady dá požadovanou nerovnost Integrovatelnost monotónní funkce Věta (O integrovatelnosti monotónní funkce). Buď monotónní na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Důkaz je podobný jako u tvrzení o spojité funkci. 8. Vlastnosti Riemannova určitého integrálu Definice (Definice Riemannova integrálu s opačně uspořádanými mezemi). 1. Buď integrovatelná na. Pak klademe. 2. Buď definovaná v bodě. Pak klademe Linearita Věta (Linearita Riemannova určitého integrálu). Nechť, jsou integrovatelné na,. Pak je integrovatelná na a platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí přičemž limity vpravo existují, jsou konečné a jsou rovny resp. (opět dle zákl. lemmatu integrálního počtu). Proto integrál existuje a platí pro něj vzorec Aditivita v mezích Lemma (Integrabilita na podintervalu). Nechť je integrovatelná na, nechť. Pak je integrovatelná na. Důkaz. Použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku pro existenci Riemannova integrálu. Chceme ukázat, že pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, intervalu taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme libovolná dvě rozdělení, intervalu. Tato rozdělení jdou vždy doplnit stejnými dělicími body z doplňku tak, aby vznikla rozdělení a intervalu, která budou obsahovat body,, budou splývat na a přitom a. σ 1 a c σ 2 d b Provedeme li shodně i volbu bodů resp. na doplňku, rozdíl integrálních součtů zůstane stejný při přechodu od a k,, neboť části sum odpovídajících doplňku se odečtou:
6 Podmínka pak plyne z BCP použité na interval. Lemma (Integrabilita na sjednocení dvou sousedních intervalů). Nechť je integrabilní na a. Pak je integrabilní na. Důkaz. K důkazu využijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost intervalu, kde, takovou, že. Body volme libovolně. Definujme rozdělení intervalu a rozdělení intervalu takto: Volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě posledního (který leží v intervalu s hraničním bodem ), ten volme libovolně. Podobně volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě prvního bodu. Označme Téměř všechny sčítance v se navzájem odečtou, až na tři: ze sum zůstanou ty členy, které odpovídají částečným intervalům obsahujícím bod, tj. Protože je omezená na a, existuje tak, že pro všechna. Z vyjádření plyne odhad a tedy Spolu s dostaneme, že Pravá strana je přitom podle zákl. lemmatu integrálního počtu rovna Limita integrálních součtů tedy existuje a je konečná a rovna, odkud podle základního lemmatu integrálního počtu Věta (Aditivita Riemannova určitého integrálu v mezích). Buď,. Nechť platí alespoň jedna z následujících podmínek: Pak platí je integrovatelná na a, je integrovatelná na. Důkaz. Pokud platí první podmínka, vše plyne z lemmatu výše. Pokud platí druhá podmínka, je podle lemmatu o integrabilitě na podintervalu integrabilní i na a. Vzorec dokážeme pomocí základního lemmatu integrálního počtu. Zvolme posloupnost rozdělení takovou, že a, kde. Definujme rozdělení intervalů a vztahy
7 Nechť,. Body příslušné k volme libovolně. Pak platí odkud limitním přechodem plyne. Věta (Zobecnění aditivity určitého integrálu). Buďte, nechť v následující rovnosti existují alespoň dva integrály. Pak existuje i ten třetí a platí Důkaz. Je li mezemi Nerovnosti, plyne tvrzení z předchozí věty. Další případy jsou snadným důsledkem definice určitého integrálu s opačně uspořádanými Věta (Nerovnosti mezi integrály). Nechť jsou integrovatelné na a. Pak platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí pro všechna a odkud takže i odkud konečně limitním přechodem dostaneme Trojúhelníková nerovnost Věta (Trojúhelníková nerovnost pro Riemannův určitý integrál). Nechť je integrovatelná v. Pak je integrovatelná v a platí Důkaz. Nejprve ukážeme, že je integrovatelná na. K důkazu použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku. Zvolme. Hledejme tak, aby pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platilo Z BCP použité na funkci je zřejmé, že existuje takové, že pro každé rozdělení a libovolné volby a, kde, a, je Zvolme, libovolně tak, že a. Postupujeme podobně jako v důkazu věty o integrabilitě spojité funkce: nechť je sjednocení těchto dvou rozdělení. Potom
8 kde a volíme z tak, aby a Stejný postup provedeme i pro další sčítance. Nakonec tak celkem dostaneme Vztah ( ) dokážeme snadno ze zřejmých nerovností s použitím věty o nerovnostech Výjimky Věta (Integrovatelnost funkce rovnající se integrovatelné funkci až na konečný počet výjimek). Buď integrovatelná v. Nechť platí v celém intervalu až na konečný počet výjimek. Pak je integrovatelná a Důkaz. Označme. Pak je nenulová pouze v konečně mnoha bodech intervalu. Označme. Zvolme libovolně. Pak pro každé rozdělení, kde, intervalu, pro které, a pro libovolně zvolená, kde, platí proto přímo podle definice určitého integrálu je integrovatelná na a je. Tedy je na integrovatelný i součet a platí Integrál jako funkce meze Věta (O spojitosti a diferencovatelnosti určitého integrálu jako funkce meze). Nechť je integrovatelná na,. Pak funkce je spojitá na. Navíc, je li bod bodem spojitosti, je v tomto bodě diferencovatelná a ; analogické tvrzení platí pro body zprava a zleva. Důkaz. je definovaná na celém, jak plyne z tvrzení o integrabilitě na podintervalu. Zvolme bod libovolně. Ukážeme, že je spojitá v bodě, tj. že Z integrovatelnosti funkce vyplývá, že je na omezená, tj. existuje tak, že pro všechna je. Zvolme libovolně. Pak s využitím trojúhelníkové nerovnosti lze tedy volit. Buď nyní, nechť je v bodě spojitá, tj. Chceme ukázat, že, což je podle definice derivace ekvivalentní s podmínkou Zvolme libovolně, volme dále libovolně a. Pak pro, je
9 Věta (O existenci primitivní funkce). Buď spojitá na. Pak k ní na existuje primitivní funkce. Důkaz. Zvolme libovolně, položme pro. Pak podle předchozí věty je diferencovatelná na a platí pro všechna. je tedy hledanou primitivní funkcí k. 9. Výpočet Riemannova integrálu Věta (Newtonova formule). Nechť je integrovatelná na, spojitá na, nechť platí pro všechna až na konečný počet výjimek. Pak platí Důkaz. Nechť nejprve vztah platí všude na bez výjimek. Nechť je libovolná posloupnost rozdělení intervalu taková, že. Nechť, kde,,, je kde čísla jsme obdrželi z Lagrangeovy věty o přírůstku funkce. Limitním přechodem v poslední nerovnosti dostaneme tvrzení věty: Nechť nyní vztah platí pro každé až na výjimky, kde. Označme,, pak podle předchozího odstavce je š Sečtením těchto nerovností dostaneme podle věty o aditivitě integrálu v mezích tvrzení věty: Poznámka. Rozdíl v tvrzení předchozí věty často značíme symbolem. Věta (Per partes pro určitý integrál). Nechť existují integrály a. Pak platí: Důkaz. Z existence integrálů plyne diferencovatelnost funkcí a tedy i spojitost na ; z diferencovatelnosti plyne možnost použít větu o derivaci součinu, tj. pro všechna. Odtud a z existence integrálů a plyne i existence integrálu a jeho hodnota Protože je primitivní k na a spojitá na, lze použít Newtonův vzorec a vypočítat což spolu s předchozím vztahem dává tvrzení věty. Věta (Substituce v určitém integrálu). Nechť je spojitá na, nechť existuje integrál. Pak existuje a je mu roven. Důkaz. Předpokládejme, že. Z existence integrálu plyne spojitost a diferencovatelnost na, takže je uzavřený interval,
10 označme ho. Ze spojitosti na plyne existence integrálu. Označme (a uvažujme ). Pak je spojitá na a vztah platí na. je proto spojitá na a vztah platí pro (díky (jednostranné) diferencovatelnosti v krajních bodech vztah funguje i uvnitř intervalu v bodech, kde by případně nabývala hodnot ). Dvakrát použitým Newtonovovým vzorcem dostaneme rovnosti 10. Věty o střední hodnotě Věta (První věta o střední hodnotě). Nechť jsou integrovatelné v a je v nezáporná. Pak existuje tak, že platí Důkaz. Z integrovatelnosti a na plyne, že také součin je integrovatelný v. To lze ukázat pomocí BCP podobně jako v tvrzení o trojúhelníkové nerovnosti pro integrály. Pro všechna je kde je vhodná konstanta splňující a pro všechna (její existence plyne z omezenosti integrovatelných funkcí ). Vlastní tvrzení věty dokážeme takto: zřejmou nerovnost platnou pro všechna vynásobíme (nezáporné číslo, nerovnosti se nezmění) a zintegrujeme od do. Tak dostaneme Je li, pak z uvedené nerovnosti plyne a lze volit libovolně. Je li, pak nerovnost vydělíme: Položíme li nyní rovno zlomku uprostřed, tvrzení je dokázáno. Příklad. Pomocí první věty o střední hodnotě odhadněme Riemannův integrál. Řešení. Označme,. Je Proto podle první věty o střední hodnotě je kde. Výsledek lze také zapsat v symetrickém tvaru Věta (Druhá věta o střední hodnotě). Nechť je integrovatelná na, monotónní na. Pak existuje tak, že Důkaz. Integrovatelnost plyne z její monotonie, integrovatelnost součinu viz důkaz první věty o střední hodnotě. Pokud je konstantní, lze volit libovolně a věta plyne z aditivity určitého integrálu v mezích. Předpokládejme proto, že není konstantní. Předpokládejme dále například, že je na klesající (pro rostoucí funkci by se postupovalo obdobně). Protože z tvrzení platného pro dvojici funkcí plyne platnost tvrzení pro dvojici, kde je libovolná konstanta, můžeme navíc předpokládat, že a (to lze vždy zajistit přičtením vhodné konstanty k funkci ). Máme tedy ukázat, že existuje takové, že
11 Protože funkce je spojitá na, nabývá na něm všech hodnot mezi a. Stačí tedy ukázat, že Zvolme libovolné rozdělení intervalu. Nechť, kde. Vynásobíme zřejmou nerovnost nezáporným číslem : Sečteme li tyto nerovnosti pro, dostaneme kde jsme označili Přitom jde upravit na tvar Studujme, jak se poslední výraz liší od hodnoty. Protože je integrovatelná, je na omezená, tedy existuje tak, že pro všechna. Je Uvažujme nyní posloupnost rozdělení intervalu, kde. Z předchozí nerovnosti plyne, že Limitním přechodem v nerovnosti získáme požadovanou nerovnost ( ). Příklad (Integrál ). Buď. Odhadněme pomocí druhé věty o střední hodnotě integrál. Řešení. Označme,. Předefinujme v bodě tak, že. Pak z druhé věty o střední hodnotě existuje tak, že takže Získali jsme tedy odhad, který vůbec nezávisí na horní mezi integrálu. Pro srovnání, z první věty o střední hodnotě bychom získali horší odhad
12 který pro roste nade všechny meze.
Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Více1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus
1 Matematická analýza 1...1. Úvodní opakování...1.1. Mocnina a logaritmus...1.1.1. Goniometrické funkce...1.1.2. Zobrazení a jeho základní vlastnosti...1.2. O množině $\mathbb{r}$...1.3. O množině komplexních
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
Více10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
VíceČíselné posloupnosti. H (å) a. a å
Pokud napíšeme značku H a (ε), je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
Více