MODELOVÁNÍ HRUBÉHO DOMACÍHO PRODUKTU POMOCÍ FRONTÁLNÍCH NEURONOVÝCH SÍTÍ

Transkript

1 UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ ÚSTAV SYSTÉMOVÉHO INŢENÝRSTVÍ A INFORMATIKY MODELOVÁNÍ HRUBÉHO DOMACÍHO PRODUKTU POMOCÍ FRONTÁLNÍCH NEURONOVÝCH SÍTÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE AUTOR: VEDOUCÍ PRÁCE: KONZULTANT: Marek SLAVÍK prof. Ing. Vladimír OLEJ, CSc. Ing. Ivan ŠEDA 2007

2 UNIVERSITY OF PARDUBICE FACULTY OF ECONOMICS AND ADMINISTRATION INSTITUTE OF SYSTEM ENGINEERING AND INFORMATICS MODELLING OF GROSS DOMESTIC PRODUCT BY FRONTAL NEURAL NETWORKS THESIS AUTHOR: SUPERVISOR: ADVISER: Marek SLAVÍK prof. Ing. Vladimír OLEJ, CSc. Ing. Ivan ŠEDA 2007

3 Vyhrazeno pro zadávací list (strana 1)

4 Vyhrazeno pro zadávací list (strana 2)

5 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval samostatně. Veškeré literární prameny a informace, které jsem v práci vyuţil, jsou uvedeny v seznamu pouţité literatury. Byl jsem seznámen s tím, ţe se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorský zákon, zejména se skutečností, ţe Univerzita Pardubice má právo na uzavření licenční smlouvy o uţití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona, a s tím, ţe pokud dojde k uţití této práce mnou nebo bude poskytnuta licence o uţití jinému subjektu, je Univerzita Pardubice oprávněna ode mne poţadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, které na vytvoření díla vynaloţila, a to podle okolností aţ do jejich skutečné výše. Souhlasím s prezenčním zpřístupněním své práce v Univerzitní knihovně Univerzity Pardubice. V Pardubicích dne 20. května 2007 Marek Slavík

6 PODĚKOVÁNÍ Touto cestou bych chtěl poděkovat vedoucímu diplomové práce, panu prof. Ing. Vladimírovi Olejovi, CSc. za odbornou pomoc, připomínky k obsahové i formální stránce diplomové práce, vedení při vypracovávání a podporu. Rád bych dále poděkoval rodičům za jejich celoţivotní podporu, pochopení a trpělivost a také za to, ţe mi umoţnili studovat.

7 Shrnutí Diplomová práce je zaměřena na návrh modelů frontálních neuronových sítí pro predikci hrubého domácího produktu. Pro učení neuronové sítě je pouţit index vedoucích ekonomických indikátorů a jeho difúzní index, jimţ odpovídá procentuální změna hrubého domácího produktu. Následně je v diplomové práci řešen způsob modelování trendových sloţek těchto indexů pomocí klouzavých průměrů a exponenciálních vyrovnání. Je zde definována frontální neuronová síť a zmíněny další neuronové sítě vhodné pro predikci. V další části práce jsou analyzovány navrţené modely frontálních neuronových sítí. Summary This diploma work deals with a suggestion for simulating frontal neural network model for prediction of gross domestic product. For training frontal neural network is applied index of leading economics indicators and diffusion index of leading economics indicators, for which belongs percentage change of gross domestic product. In next part of this diploma work is solved method of modelling trend elements of this indexes by moving averages and exponential adjustements. There is defined frontal neural network and another neural networks that is available for prediction. In last part of this diploma are analyzed models of frontal neural networks.

8 Obsah Obsah Úvod Základní pojmy Hrubý domácí produkt Metody vyjádření HDP Růst HDP Hospodářský cyklus Fáze hospodářského cyklu Typy hospodářských cyklů Ekonomické indikátory Index vedoucích ekonomických indikátorů Index koincidence a index zaostávajících indikátorů Shrnutí kapitoly Modely na predikci vývoje HDP Metody predikce vývoje HDP Zjišťování míry přesnosti modelů pro predikce vývoje HDP Modely pro predikci vývoje HDP Shrnutí kapitoly Časové řady a jejich předzpracování Dekompozice časové řady Metoda klouzavých průměrů Exponenciální vyrovnávání Shrnutí kapitoly Neuronové sítě Neuronové sítě a umělá inteligence Definice neuronové sítě Shrnutí kapitoly Neuronové sítě vhodné pro predikci Frontální neuronová síť Dopředná neuronová síť Perceptronová neuronová síť Učící algoritmus Back-Propagation Shrnutí kapitoly Návrh modelu frontální neuronové sítě na predikci HDP Návrh frontální neuronové sítě

9 6.2 Výsledky učení neuronové sítě Protokol o průběhu učení neuronové sítě Nastavení vah na synapsích a prahy neuronů Shrnutí kapitoly Analýza výsledků Vstupní data Modely s hloubkou paměti filtru b = Modely s hloubkou paměti filtru b = Modely s hloubkou paměti filtru b = Modely s hloubkou paměti filtru b = Modely s hloubkou paměti filtru b = Modely s hloubkou paměti filtru b = Přehled výsledků modelování Shrnutí kapitoly Závěr Seznam pouţité literatury Seznam obrázků Seznam tabulek Seznam příloh Seznam pouţitých zkratek Příloha 1: Uţivatelská příručka k architektuře Time-Delay Příloha 2: Protokoly o způsobu naučení vybraných modelů neuronových sítí, jejich nastavení vah synapsí a prahů neuronů

10 Úvod Hrubý domácí produkt je jedním z komplexních ukazatelů produkční kvality ekonomiky. Jeho moţný i skutečný vývoj patří k důleţitým faktorům při určování hospodářské politiky státu, při rozhodování o finančních investicích podniků a domácností, při sestavování výrobních programů podniků a dalších důleţitých rozhodnutích ekonomických subjektů. Cílem diplomové práce je analýza vstupních parametrů, předzpracování daných časových řad a charakteristika frontálních neuronových sítí z hlediska predikce. Dále je cílem práce návrh modelů predikce hrubého domácího produktu pomocí frontální neuronové sítě a následná verifikace a analýza navrţených modelů v prostředí Stuttgarského simulátoru neuronových sítí. Diplomová práce je členěna celkem do sedmi hlavních kapitol. V první kapitole jsou uvedeny základní pojmy z oblasti hrubého domácího produktu a ekonomických ukazatelů. Ve druhé kapitole jsou popsány modely predikce hrubého domácího produktu od jednodušších aţ po komplexní modely, které vypracovávají významné organizace a instituce. Třetí kapitola je věnována časovým řadám, jejich členěním a dekompozicím. Jsou zde uvedeny způsoby modelování trendových sloţek časových řad. Ve čtvrté kapitole jsou definovány základní pojmy z teorie neuronových sítí. Pátá kapitola popisuje neuronové sítě, které jsou vhodné pro predikci. Frontální neuronová síť je navrţena v šesté kapitole. V závěrečné kapitole jsou analyzovány navrţené modely frontálních neuronových sítí

11 1 Základní pojmy V kapitole jsou definovány základní ekonomické pojmy a je rozdělena do tří částí. V první části je definován hrubý domácí produkt a spolu s ním i jeho druhy, rozdíly mezi nimi, způsoby výpočtu a definice jeho růstu. Následující část se zabývá cyklickými pravidly ve vývoji ekonomiky, délkou jednotlivých cyklů, jejich rozdělením a definováním jednotlivých fází. Poslední část první kapitoly se zabývá ekonomickými ukazateli, jednotlivými typy a moţným vyuţitím pro predikci hrubého domácího produktu. 1.1 Hrubý domácí produkt Hrubý domácí produkt (HDP) je základním národohospodářským agregátem, který představuje veškerý peněţní tok za zboţí a sluţby vyrobené v dané zemi za určité období. Je ukazatelem, podle kterého se posuzuje výkonnost ekonomiky a vypovídá taktéţ o ekonomické situaci a ţivotní úrovni v dané zemi. Celkový HDP vyjadřuje ekonomickou sílu dané země. Reálný a nominální HDP Ekonomické proměnné [1] představující hodnoty nebo ceny, je moţno vyjádřit nominálně (běţná hodnota) nebo reálně (s úpravou zohledňující inflaci). Pomocí nominálního HDP je zjištěna hodnota výkonnosti ekonomiky v cenách za období, ve kterém byla daná hodnota vytvořena a odpovídá běţným cenám. Reálným HDP je zjištěna hodnota výkonnosti ekonomiky za dané období v cenách zvolených v základním roce, tj. stálé ceny. Nominální růst HDP odráţí jak růst cen tak i produkce, reálný růst HDP odráţí pouze růst produkce. Pomocí tohoto rozdělení je moţno sledovat reálné změny objemu produkce, které nejsou ovlivněny cenovými změnami. Převod je prováděn pomocí tzn. deflátoru HDP - vydělením nominálního HDP reálným se získá jeden z nejsouhrnnějších cenových indexů - implicitní deflátor HDP Metody vyjádření HDP K výpočtu HDP se pouţívají [2] následující metody: výrobní metoda, výdajová metoda,

12 důchodová metoda. Výrobní metoda Výrobní metoda vyjádření HDP je zaloţena na výpočtu produkce a mezispotřeby odvětví v národní ekonomice. Hrubá přidaná hodnota odvětví je definována jako rozdíl mezi produkcí a mezispotřebou. V kupních cenách je potom HDP vypočítán jako součet hrubé přidané hodnoty všech odvětví, k němuţ jsou připočítány daně z produktů a od něhoţ jsou odečítány dotace na produkty. Produkce výrobků a sluţeb P představuje hodnotu zboţí a sluţeb, které jsou výsledkem produkčních činností výrobních jednotek v daném časovém období na určitém území. Mezispotřeba M představuje hodnotu zboţí a sluţeb spotřebovaných v příslušném období místními producenty v procesu výroby jiného zboţí a sluţeb. Daně z produktů d. Dotace D na produkty. Vztah při pouţití výrobní metody je moţno zapsat tímto způsobem HDP P M d D. (1.1) Výdajová metoda Tato metoda vyjádření HDP je zaloţena na měření sloţek poptávky. Výdaje na konečnou spotřebu a hrubá tvorba kapitálu tvoří domácí poptávku a její součet s vývozy zboţí a sluţeb konečnou poptávku. Výdaje na konečnou spotřebu C představují výdaje sektoru domácností, vlády a neziskových institucí slouţících domácnostem na konečnou spotřebu. Soukromé hrubé domácí investice I. Mezi investice se v podnikatelském sektoru počítají nákupy na obnovení a rozšíření zásob kapitálu, na zvýšení zásob surovin a hotových výrobků na skladě. V soukromém sektoru jsou to pak výdaje spojené s výstavbou rodinných domků

13 Výdaje státu na nákup výrobků a sluţeb G. Do státních výdajů se nezapočítávají státní transferové platby. Čistý vývoz Nx je rozdíl mezi vývozem a dovozem. Musí se odečíst platby za výrobky a sluţby dovezené ze zahraničí, jelikoţ tyto produkty nebyly vytvořeny v domácí ekonomice a naproti tomu se musí přičíst platby za vyvezené výrobky a sluţby, které se sice v ekonomice vyrobily, ale nespotřebovaly. způsobem Vztah pro měření HDP je moţno při pouţití výdajové metody zapsat tímto HDP C I G Nx. (1.2) Důchodová metoda Důchodová metoda vyjadřuje HDP z odhadů sloţek přidané hodnoty odvětví, tj. sčítá důchody, které vznikají při výrobě, a zachycuje jejich rozdělení mezi výrobní faktory a vládu. Důchody se člení na: Náhrady zaměstnancům zahrnují mzdy, platy a sociální příspěvky zaměstnavatelů w před zdaněním. Důchody samozaměstnavatelů p, kde jsou zahrnuty všechny formy plateb za výrobní faktory, jeţ pouţívají osoby samostatně výdělečně činné, zisky firem v individuálním vlastnictví a zisky právnických osob. Renty majitelů půdy r. Čisté úroky z kapitálu i. Odpisy a amortizace a. Nepřímé daně T. způsobem Vztah pro měření HDP je moţno zapsat při pouţití důchodové metody tímto HDP w p r i a T. (1.3)

14 Růst HDP [%] Růst HDP Růst HDP je definován [2] jako změna HDP mezi dvěma obdobími. Můţe být kladný, nulový nebo záporný. Velikost růstu HDP nejvíce ovlivňují reálné a cenové změny. Základním předpokladem zvyšování ţivotní úrovně obyvatel je dlouhodobě stabilní růst reálného HDP. Z obr. 1.1 je zřetelný procentuální čtvrtletní růst HDP v USA t [roky] Obr. 1.1 Reálný růst HDP v USA 1.2 Hospodářský cyklus Trţní ekonomika [1] se nevyvíjí hladce, ale podléhá ekonomickým výkyvům a dochází přitom k strukturálním a cyklickým výkyvům. Ke strukturálním výkyvům dochází vlivem neustále se měnících preferencí spotřebitelů a změnami vzácnosti ekonomických zdrojů, nově získanými technologickými a výrobním poznatky. Cyklické výkyvy jsou naopak charakterizovány všeobecným poklesem a poté zase všeobecným růstem výroby a zaměstnanosti téměř ve všech odvětvích Fáze hospodářského cyklu Cyklické výkyvy [1] v ekonomice se nazývají hospodářské cykly a je pro ně typické střídání fáze expanze a kontrakce. Expanze znamená, ţe se růst reálného HDP zrychluje a HDP roste nad potenciální produkt. Na obr. 1.2 se nachází mezi dnem a vrcholem cyklu. Kontrakce naopak znamená, ţe se růst zpomaluje a dochází k poklesu

15 HDP reálného HDP pod potenciální produkt. V grafu se recese nachází mezi vrcholem a dnem. Nastává tehdy, pokud reálný HDP během dvou po sobě jdoucích čtvrtletích klesá. Hluboký a dlouhotrvající hospodářský pokles se nazývá deprese. vrchol hospodářský cyklus dno dno expanze kontrakce Typy hospodářských cyklů Obr. 1.2 Hospodářký cyklus t Je moţno konstatovat, ţe skutečný produkt kolísá [3] kolem potencionálního produktu s jistou pravidelností a fáze cyklu se střídají. Toto opakování se nazývá periodičnost cyklu a z hlediska délky je moţno cykly rozdělit do tří typů: Kitchinovy cykly jsou krátkodobé cykly trvající obyčejně 36 aţ 40 měsíců a za příčiny jsou povaţovány výkyvy v zásobách a rozpracované výrobě. Juglarovy cykly jsou střednědobé cykly trvající 10 aţ 11 let a jsou spojovány s investicemi do fixního kapitálu tj. strojů a zařízení. Kondratěvovy (téţ Kuznetsovy) cykly jsou dlouhodobé cykly s trváním 50 aţ 60 let jsou spojené se změnami a rozvojem ve výrobních technologiích a inovacích, dále pak s monetárními jevy a s politickými událostmi. 1.3 Ekonomické indikátory Ekonomické ukazatele [2] lze obecně rozdělit do tří skupin podle načasování bodů zvratu v jejich časový řadách ve vztahu k referenční řadě, která charakterizuje skutečný výskyt bodu zvratu. Nejsledovanější jsou předstihové ukazatele (mj. index vedoucích ekonomických indikátorů), které umoţňují předvídání a prognózování bodů zvratu

16 V časový řadách těchto ukazatelů se projevuje bod zvratu s určitým časovým předstihem před jeho výskytem v referenční řadě. Vedle předstihových ukazatelů jsou z hlediska načasování (ve vztahu ke skutečnému bodu zvratu) rozlišovány ještě souběţné a zaostávající ukazatele. Analytické systémy, určené pro signalizaci bodů zvratu v hospodářském cyklu, spojují vybrané ukazatele rozdělené podle načasování do skupin ve formě souhrnných (kompozitních) ukazatelů (indexů). V USA se vypočítávají a měsíčně publikují kompozitní indexy, jenţ jsou konstruované ze tří skupin ukazatelů rozlišených podle načasování bodu zvratu v jejich časový řadách: index vedoucích ekonomických indikátorů, index koincidence, index zaostávajících indikátorů Index vedoucích ekonomických indikátorů Index vedoucích ekonomických indikátorů (IVEI) je zařazen do skupiny agregátních ukazatelů a je nadefinován [4] jako váţený aritmetický průměr 10 ekonomických proměnných, o kterých je známé, ţe vedou ekonomický cyklus a ţe jsou předstihové. Z toho plyne, ţe se jejich změny v trendu objevují před změnami v trendu agregátní ekonomické aktivity a to ve stejném směru. Těmito ekonomickými proměnnými jsou: průměrný týdenní počet odpracovaných hodin ve zpracovatelském průmyslu, průměrný týdenní počet nových nároků na čerpání pojištění v nezaměstnanosti, hodnota nových objednávek zpracovatelů na spotřební produkty a materiály, rychlost dodavatelů (podíl zpracovatelů hlásících zpomalení dodávek), nové objednávky zpracovatelů na civilní kapitálové statky, počet stavebních povolení na nové soukromé bytové jednotky, ceny akcií podle indexu Standard s & Poors 500 Common Stocks, peněţní zásoba, rozpětí úrokových sazeb (rozdíl mezi krátkodobými a dlouhodobými úrokovými sazbami), index spotřebitelských očekávání

17 Odchylka DIVEI od krit. hodnoty 0.5 Měsíční změna IVEI [%] K IVEI je také definován difúzní index vedoucích ekonomických indikátorů (DIVEI), který zjišťuje jaké procento z ekonomických proměnných obsaţených v IVEI klesá a jaké roste. Ukazuje tedy, jaká část ekonomických proměnných naznačuje změnu trendu ekonomického růstu. Vývoj uvedených indexů ekonomiky USA v letech 1965 aţ 1995 je znázorněn na obr. 1.3 a obr t [roky] Obr. 1.3 Index vedoucích ekonomických indikátorů ( ) t [roky] Obr. 1.4 Difúzní index vedoucích ekonomických indikátorů ( )

18 Oba výše zmíněné indexy je moţno pouţít na predikce vývoje HDP. Při pouţití těchto dvou indexů vzniká spolehlivý prediktor kontrakce. Předpokládá se, ţe kontrakce nastane, kdyţ průměrná míra růstu IVEI klesne pod 2% a zároveň hodnota DIVEI klesne pod kritickou hodnotu 0.5. Problematická je predikční schopnost těchto indexů v letech 1981, 1982 a 1990, kdy došlo k jasnému signálu recese aţ na začátku samotné recese, a v roce 1966, kdy došlo k falešnému signálu recese. Do současné doby se tyto indexy nepouţívaly pro predikci vývoje HDP Index koincidence a index zaostávajících indikátorů Index koincidence (Coincident Index) je souběţný indikátor. Skládá se ze čtyř ekonomických proměnných. Jsou jimi: počet pracovníků v nezemědělských sektorech ve fyzických osobách, čistý osobní důchod (bez transferových plateb), index průmyslové produkce (pokrývá fyzický výstup všech fází produkce), trţby ve zpracovatelském průmyslu a obchodě. Index zaostávajících indikátorů (Lagging Index) se skládá ze sedmi ekonomických proměnných. Jsou to: průměrná délka trvání nezaměstnanosti, podíl zásob ve zpracovatelském průmyslu a obchodě na trţbách, změna nákladů práce na jednotku výstupu ve zpracovatelském průmyslu, průměrná primární bankovní sazba, objem půjček poskytnutých bankami a nefinančními institucemi, podíl spotřebitelských úvěrů na osobním důchodu, změna indexu spotřebitelských cen sluţeb. 1.4 Shrnutí kapitoly V kapitole je uvedeno zavedení základních ekonomických pojmů. Byl definován pojem HDP a popsán rozdíl mezi reálným a nominálním HDP. Dále se v kapitole uvádí tři metody jeho výpočtu výrobní, výdajová a důchodová. Následně byl popsán cyklický vývoj ekonomiky, ekonomický cyklus, jeho jednotlivé fáze a rozdělení cyklů podle délky

19 trvání. Závěrečná část kapitoly byla věnována ekonomickým ukazatelům s ohledem na jejich souvislost s vývojem a predikcí HDP USA. Detailně byli popsáni předstihoví ukazatelé IVEI a DIVEI

20 2 Modely na predikci vývoje HDP V kapitole jsou v první části definovány metody tvorby modelu predikce vývoje časových řad. V druhé části kapitoly je popsáno určení míry přesnosti modelů predikce vývoje HDP. V poslední části jsou obsaţeny funkční modely predikce vývoje HDP USA. 2.1 Metody predikce vývoje HDP Pomocí dnešní ekonometrie se můţe modelovat a testovat velké mnoţství modelů reálných vztahů. Nejčastěji se v oblasti predikce ekonomických proměnných pouţívají modely zaloţené na těchto metodách [5]. Metoda extrapolace Metoda extrapolace vychází z předpokladu, ţe vývoj v budoucnosti bude analogický s vývojem v minulosti. Do této skupiny patří především statistické metody, jako jsou metody zpracování časových řad, regresní a korelační analýza, analýza a prognóza časových řad. Ekonometrické modely Ekonometrické modely jsou zaloţené na soustavě rovnic, které vyjadřují základní vztahy v modelovaném systému. Kaţdý model je však určitým zjednodušením skutečnosti a jeho naplnění potřebnými informacemi a parametry, odráţejícími vzájemné vztahy mezi jednotlivými veličinami, je vţdy obtíţné. Metoda scénářů Spočívá v simulaci moţných budoucích situací, kterým by se měl přizpůsobit vývoj modelovaného systému. Scénář by měl uspořádat posloupnost událostí v čase a zachovat jejich logickou vzájemnou návaznost. Reflexivní a intuitivní metody Opírají se o subjektivní názory jednotlivců nebo skupin a vycházejí ze zkušeností a poznatků pracovníků dané oblasti. Mívají charakter hypotéz, které se v další predikční činnosti ověřují

21 Expertní metody Jsou to metody zaloţené na vyuţití znalostí a zkušeností odborníků v dané oblasti a jejich schopnosti předvídat moţný budoucí vývoj, jeho souvislosti a důsledky. 2.2 Zjišťování míry přesnosti modelů pro predikce vývoje HDP Existující ekonometrické modely predikce vývoje HDP pouţívají různé formulace vztahů a různé metody odhadů parametrů specifických modelů. Tato skutečnost způsobuje různou míru jejich přesnosti. Za nejpřesnější se všeobecně povaţují modely vytvořené národními (Centrální banka, Statistické úřady) nebo nadnárodními společnostmi. Přesnost predikce [4] pro všechny typy modelů lze měřit pomocí: střední chyby (Average Error, AVE) AVE n N 1 Y n N Y np, (2.1) střední absolutní chyby (Mean Absolute Error, MAE) MAE N n 1 Y n N Y np, (2.2) střední kvadratické odchylky (Root Mean Squared Error, RMSE) RMSE n N 1 Y n N Y np 2, (2.3) kde: - Y n je skutečná hodnota růstu, - Y np je predikovaná hodnota růstu, - N je počet predikovaných období. 2.3 Modely pro predikci vývoje HDP V běţné ekonomické praxi se vyskytují modely pro predikci makroekonomických veličin, které vytvářejí významné národní či globální instituce. Prvním ze zmiňovaných je model predikce OECD [4], druhým dále model Federální rezervní banky San Francisco [4]

22 MAE RMSE Model OECD Příklady ukazatelů přesnosti predikce modelu OECD pro vývoj HDP americké ekonomiky v letech 1980 aţ 1995 udává Tabulka 2.1. Průměrné chyby jsou definované vztahy (2.1), (2.2), (2.3). Tyto statistiky slouţí jako objektivní reference přesnosti nejkvalitnějších existujících modelů predikce HDP a to především z následujících důvodů: predikce OECD tvoří konzistentní časovou řadu, umoţňující objektivní komparaci přesnosti modelu v čase. Alternativní oficiální statistiky nejsou konzistentní z důvodu změn formy modelu, momentu predikce, apod., komparativní studie uvádějí, ţe predikované hodnoty modelu OECD jsou co do velikosti i směru porovnatelné s predikcemi podobných institucí. Tabulka 2.1 Ukazatelé chyby predikce roční míry růstu reálného HDP USA, průměry let , model OECD Moment predikce/chyba predikce 6 měsíců před predikovaným obdobím AVE MAE RMSE Model Federální rezervní banky San Francisco 12 měsíců před predikovaným obdobím Výsledný predikovaný vývoj HDP je v modelu Federální rezervní banky San Francisco určován jako řetězec váţených ukazatelů, které mají vliv na budoucí vývoj HDP. Přesnost tohoto modelu predikce čtvrtletního růstu HDP USA uvádí obr Absolutní chyba predikce čtvrtletního růstu HDP USA Střední kvadratická odchylka predikce čtvrtletního růstu HDP USA První Druhý Třetí První Druhý Třetí t [měsíce] t [měsíce] Obr. 2.1 Absolutní chyba a střední kvadratická odchylka predikce analyzovaného čtvrtletního růstu HDP USA, průměry let , model Federální rezervní banky San Francisco

23 Jsou to výše zaměstnanosti, průmyslová výroba, skutečné maloobchodní prodeje a skutečné HDP za tři předchozí období. Lze konstatovat, ţe tento model dosahuje v porovnání s modelem OECD niţší přesnosti. Chyba predikce analyzovaného čtvrtletního růstu, bývá vyšší neţ chyba predikce ročního růstu, protoţe predikovaných hodnot je 4krát více. Dalším moţným zdrojem výše nepřesnosti je niţší komplexnost struktury modelu. Nadefinování ukazatelů chyb je uvedené v kapitole Shrnutí kapitoly V kapitole byly uvedeny základní metody pro tvorbu modelů predikce HDP, popsána byla metoda extrapolace, ekonometrické modely, metoda scénářů a další vyuţívané metody. Dále byly zmíněny způsoby určování míry přesnosti modelů predikce vývoje HDP s detailním popisem jednotlivých typů chyb. V závěru kapitoly byly uvedeny modely pro predikci HDP v USA, konkrétně model OECD a model Federální rezervní banky San Francisco

24 3 Časové řady a jejich předzpracování V kapitole jsou definovány základní pojmy z časových řad, jejich vlastnosti a způsoby dělení. Dále je uveden způsob dekompozice časových řad a jsou zde definovány jejich jednotlivé sloţky. Ve třetí části se přistupuje k vyrovnání trendové sloţky časové řady. Jsou zde podrobně uvedeny metody, kterými lze tohoto vyrovnání dosáhnout, způsob jejich pouţití a jejich zhodnocení. Dělení časových řad Při členění časových řad [10] ekonomických ukazatelů nejde pouze o definiční vymezení druhů časových řad, ale především o vyjádření rozdílností v obsahu sledovaných ukazatelů, jeţ je mnohdy provázeno i specifickými statistickými vlastnostmi. V důsledku toho je pak nutnost volit diferencovaně i prostředky analýzy slouţící k porozumění mechanismu, kterým je vývoj sledovaného jevu utvářen. Základní druhy časových řad ekonomických ukazatelů se rozlišují podle: Rozhodného časového hlediska na časové rady intervalové (tj. časové řady intervalových ukazatelů) a na časové řady okamţikové (tj. časové řady okamţikových ukazatelů). Periodicity, s jakou jsou údaje v řadách sledovány, na časové řady roční (někdy téţ dlouhodobé) a na časové řady krátkodobé, kde jsou údaje zaznamenávány ve čtvrtletních, měsíčních, týdenních aj. periodách. Druhu sledovaných ukazatelů na časové řady primárních (prvotních) ukazatelů a na časové řady sekundárních (odvozených) charakteristik. Způsobu vyjádření údajů na časové řady naturálních ukazatelů (hodnoty ukazatele jsou vyjadřovány v naturálních jednotkách) a na časové řady peněţních ukazatelů. 3.1 Dekompozice časové řady Cílem dekompozice časové řady je snaha ji rozloţit na několik základních sloţek. Tento rozklad se provádí za účelem snazší identifikace chování jednotlivých sloţek. Časovou řadu tedy tvoří trendová sloţka T t, sezónní sloţka S t,

25 cyklická sloţka C t, náhodná sloţka ε t. Vlastní rozklad má tvar y T S C Y, t = 1, 2,..., n, (3.1) t t t t t t t kde se Y často značí jako teoretická sloţka ve tvaru t opomíjena. Trendová sloţka T S C a náhodná sloţka t je Trendová sloţka (T t ) odpovídá hlavním tendencím [10] dlouhodobého vývoje statistického ukazatele, který časová řada popisuje. Je moţné si představit, ţe trendová sloţka vzniká v důsledku působení sil, které systematicky působí ve stejném směru. Trend můţe být rostoucí, klesající nebo konstantní. Sezónní sloţka Sezónní sloţka je pravidelně se opakující odchylka od trendové sloţky, vyskytující se u časových řad s periodicitou kratší neţ jeden rok. Sezónní změny jsou hlavně způsobeny takovými faktory, jako je střídání ročních dob a lidské zvyky zakotvené institucionálně v ekonomické aktivitě. Nejčastěji lze pozorovat sezónnost u čtvrtletních a měsíčních časových řad. Cyklická sloţka Cyklická sloţka představuje kolísání okolo trendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje s délkou vlny delší neţ jeden rok. Statistika chápe cyklus jako dlouhodobé kolísání s neznámou periodou, která můţe mít i jiné příčiny neţ klasický ekonomický cyklus. V této souvislosti se mluví např. o cyklech demografických, inovačních, apod. Někdy nebývá cyklická sloţka povaţována za samostatnou sloţku časové řady, ale je zahrnována pod sloţku trendovou jako její část (tzv. střednědobý trend), vyjadřující střednědobou tendenci vývoje, která má často oscilační charakter s neznámou, zpravidla proměnlivou periodou. Náhodná sloţka Náhodná sloţka je taková veličina, kterou nelze popsat ţádnou funkcí času. Je to sloţka, která zbývá po vyloučení trendu, sezónní a cyklické sloţky. Je tvořena náhodnými t t t

26 pohyby (fluktuacemi) v průběhu časové řady, které nemají rozpoznatelný systematický charakter. Proto se jiţ také nepočítá mezi předchozí tzv. teoretické sloţky časové řady. Náhodná sloţka rovněţ pokrývá chyby v měření údajů časové řady a některé chyby (např. zaokrouhlování), kterých se lze dopustit při vlastní analýze řady. Aby byly odůvodněny některé statistické postupy, které se s časovou řadou při klasické dekompozici provádějí, předpokládá se obvykle, ţe náhodná sloţka je bílý šum, a někdy dokonce, ţe se jedná o bílý šum s normálním rozdělením Metoda klouzavých průměrů Podstata vyrovnání [6] pomocí klouzavých průměrů spočívá v tom, ţe posloupnost empirických pozorování se nahradí řadou průměrů vypočítaných z těchto pozorování. Kaţdý z těchto průměrů reprezentuje určitou skupinu pozorování. Název klouzavý průměr vznikl z toho, ţe se při postupném výpočtu průměrů postupuje (klouţe) vţdy o jedno pozorování dopředu, přičemţ se poslední pozorování ze skupiny, z níţ je průměr počítán, vypouští. Cílem vyrovnání časové řady je potlačení šumových sloţek. Velmi důleţité je stanovení počtu pozorování, ze kterých se jednotlivé klouzavé průměry počítají. Tento počet se nazývá klouzavá část období interpolace a značí se p 2m 1, p < n, (3.2) kde n je počet pozorování analyzované řady. Volba hodnoty p (délky klouzavého průměru) je zásadní a často dost problematická. S rostoucí délkou klouzavého průměru roste stupeň vyhlazení časové řady, ale na druhé straně hrozí nebezpečí, ţe se potlačí jako šum nebo zdeformují některé důleţité systematické sloţky původního záznamu. Jednoduché klouzavé průměry Jednoduché klouzavé průměry jsou vlastně klasické aritmetické průměry z původních hodnot časové řady většinou liché délky 2m+1. Obecně lze jednoduchý klouzavý průměr zapsat následujícím způsobem 1 y y y... y... y t, n t m t m 1 t t m 1 2m 1 y t m. (3.3)

27 Pro jednoduchý klouzavý průměr například délky 7 má uvedený vztah tento tvar 1 y y y y y y y y t,7 t 3 t 2 t 1 t t 1 t 2 t 3, (3.4) 7 kde: - y, je hodnota průměru v čase t za časové okno n, t n - n je délka okna, - y je získaná hodnota v bodě t. t Váţené klouzavé průměry Váţené klouzavé průměry [7] zobecňují jednoduché klouzavé průměry tím, ţe průměrovaným hodnotám y t-m, y t-m+1,, y t,, y t+m nedávají stejné váhy 1/(2m+1), ale váhy vhodným způsobem symetricky klesají od středu k oběma okrajům. Váţené klouzavé průměry vyrovnávají hodnotu časové řady v bodě t váţeným průměrem. Váţený klouzavý průměr se vypočítá například pro n = 7 podle vztahu 1 y 2 y 3 y 6 y 7 y 6 y 3 y 2 y t, 7 t 3 t 2 t 1 t t 1 t 2 t 3. (3.5) 21 Konstrukce jednotlivých vah je často zaloţena na prokládání pozorování vhodnými křivkami pomocí metody nejmenších čtverců a jako vhodné křivky se nejčastěji volí polynomické křivky. Pro váhy platí, ţe jsou symetrické kolem prostřední hodnoty a součet vah je roven jedné. Trojúhelníkové klouzavé průměry Trojúhelníkový klouzavý průměr [7] je dvakrát za sebou provedený jednoduchý klouzavý průměr. Největší váhu mají tedy data leţící uprostřed periody délky n. Směrem do minulosti i do přítomnosti váha dat lineárně klesá. Například, trojúhelníkový klouzavý průměr pro n = 5 se vypočítá podle vztahu 1 y y 2 y 3 y 2 y y t, 5 t 2 t 1 t t 1 t 2. (3.6) 9 V tabulce 3.1 je uvedený přehled vah pro různé délky klouzavých průměrů a různé řády polynomů

28 Tabulka 3.1 Přehled vah pro různé délky klouzavých průměrů a různé řády polynomů délka\řád 2. a a 5. 3 (0,1,0) (0,1,0) 5 1 (-3,12,17,...) (0,0,1,...) (-2,3,6,7,...) (5,-30,75,131,...) (-21,14,39,54,59,...) (15,-55,30,135,179,...) (-36,9,44,69,84,89,...) (18,-45,-10,60,120,143,...) Centrované klouzavé průměry V ekonomické praxi [7] je často přirozené průměrovat přes sudý počet pozorování. Centrované klouzavé průměry jsou váţené průměry se speciálně zvolenými váhami tak, aby eliminovaly z časové řady sezónní sloţku. Oproti předcházejícím klouzavým průměrům, které pouţívají liché p, centrované klouzavé průměry pouţívají sudé p tj. p 2 m. Centrovaný klouzavý průměr lze vypočíst buď jako průměr ze dvou sousedních klouzavých průměrů, nebo centrované klouzavé průměry pro 2m členů jako váţené klouzavé průměry pro 2m+1 členů, kdy první a poslední člen se počítá s vahou 1, ostatní s vahou 2 a se součtem vah 4m, tedy y t y t m 2 y... 2 y... 2 y t m 1 t t m 1 4m y t m. (3.7) Exponenciální vyrovnávání Exponenciální vyrovnávání [8] je dalším adaptivním přístupem k trendové sloţce. V případě klouzavých průměru je snaha vyrovnávat v časové řadě polynomickými křivkami krátké úseky, jejichţ vhodná délka je často problematická a určená subjektivně. Metoda exponenciálního vyrovnávání [9] je zaloţena na všech předchozích pozorováních, přičemţ jejich váha (w) směrem do minulosti klesá podle exponenciální funkce t n t ( 1, (3.8) w )

29 kde n je počet pozorování a α je vyrovnávací konstanta v intervalu (0;1). K velmi ceněným vlastnostem těchto metod patří jejich rekurentnost. Při dodání nového pozorování lze jeho vyrovnanou hodnotu zkonstruovat snadnou korekcí předchozí vyrovnané hodnoty. Jednoduché exponenciální vyrovnávání Při jednoduchém exponenciálním vyrovnávání se předpokládá, ţe trend se v krátkém období vyvíjí zhruba konstantně. U časových řad, které jsou ve tvaru y t t Tr t 0 E t, lze v případě konstantního trendu nahradit trendovou sloţku (Tr) konstantou Tr. Je třeba nalézt odhad parametru 0, který se v tomto případě rovná vyrovnané hodnotě y. Vyrovnaná časová řada se vypočítá podle následujícího rekurentního vztahu y. (3.9) t 1 y y t t 1 Pokud se α blíţí k hodnotě 1, tak roste vliv minulých pozorování. Výše uvedený vztah lze přepsat i do následujícího tvaru [9] y y y y, (3.10) t 1 t 1 t t 1 který vysvětluje vytváření nové vyrovnané hodnoty z předchozí vyrovnané hodnoty, opravenou o chybu danou rozdílem mezi skutečnou a předcházející vyrovnanou hodnotou. Dvojité exponenciální vyrovnávání Dvojité exponenciální vyrovnávání se pouţívá v případě, kdy lze předpokládat, ţe v krátkém období bude mít trendová sloţka lineární formu, tj. 0 a 1 se odhadují na základě minimalizace vztahu Tr t 0 1 t. Parametry t S y. (3.11) t

30 Robustní klouzavé průměry Zvláštní skupinu představují tzv. robustní klouzavé průměry [7], které slouţí k potlačení odlehlých pozorování. Jejich přítomnost v časové řadě můţe značně zkreslit výsledky klasických metod, tj. i výsledky předchozích klouzavých průměrů. Nejznámějším zástupcem této skupiny průměrů je klouzavý medián, který se vypočítá podle vztahu y t = med(y t-m, y t-m+1,, y t,, y t+m ). (3.12) Med (medián) vrací prostřední hodnotu z hodnot, které jsou uspořádány do neklesající posloupnosti. 3.2 Shrnutí kapitoly V úvodu kapitoly byla definována časová řada a způsob dělení časových řad ekonomických ukazatelů. Dále byla vysvětlena dekompozice časové řady na jednotlivé její sloţky. V závěrečné části kapitoly byly uvedeny adaptivní přístupy k modelování trendové sloţky časové řady. Byly zde podrobně ukázány metody klouzavých průměrů, exponenciálních vyrovnání a klouzavého mediánu

31 4 Neuronové sítě V kapitole jsou uvedeny základní pojmy z teorie neuronových sítí a popsán jejich historický vývoj Dále jsou uvedeny různé typy vstupů, typy aktivačních funkcí neuronů, struktura neuronové sítě a popsán proces učení. 4.1 Neuronové sítě a umělá inteligence Neuronová síť [11] je systém sestávající se z výpočetních jednotek neuronů, které jsou mezi sebou vzájemně propojeny synapsemi ohodnocenými váhami. Schopností adaptovat tyto váhy učit se na základě trénovacích vzorů umoţňují realizovat kvalitativně novou funkci implicitně obsaţenou v trénovacích datech. Důleţitou vlastností neuronových sítí je kromě schopnosti učit se, tedy nacházet závislosti v trénovacích datech a ty reprezentovat pomocí vah, také schopnost zevšeobecňování (generalizace) získaných poznatků, tedy schopnost správně reagovat i na neznámé vstupy, na které nebyla neuronová síť naučena. Jinak je toto moţno popsat tímto způsobem. Nechť je dána nějaká všeobecná formulace predikčního problému pomocí zobrazení funkce definované nad dvěma mnoţinami A a B. Potom tento přístup bude uţitečný pro interpretaci neuronových sítí jako prediktoru tak i klasifikátoru. Nechť F(x) je funkce definovaná nad mnoţinou A, která přiřadí kaţdému prvku uvedeno na obr. 4.1, x A funkční hodnotu z mnoţiny B, x ˆ F ( x) B, jak je A F B x xˆ A G(w) B A test x A train B train xˆ B test Obr. 4.1 Schematické znázornění zobrazení F : A B

32 F : A B. (4.1) Dále platí G(x,w) je funkce, jejíţ argumenty jsou z konečné podmnoţiny A train = {x 1,x 2,,x r } A (nazývané trénovací mnoţina) a w je parametr (nebo parametry) zobrazení G, potom x G ( x, w) B B a train G ( w) : A train B train. (4.2) Potom je moţné říci, ţe zobrazení G(w) je restrikce zobrazení F(x) nad mnoţinou A train A. Komplement A vzhledem k mnoţině A je označený A (a nazývá se train test testovací mnoţina), A test = A/A train = {a+a a A train }. Nechť pro kaţdé x A i train je známa poţadovaná funkční hodnota x. Zúţením zobrazení i A se F : A B na podmnoţinu train získá nové modelové zobrazení G(w). Funkční tvar tohoto zobrazení je určený parametrem (parametry) w. Poţadované funkční hodnoty ve tvaru x jsou interpretované jako obrazy funkce F i x F x ) (i = 1, 2,,r). (4.3) i ( i Cílem úvah je najít takový parametr (nebo parametry) w funkce G(x,w), aby funkční hodnoty argumentů z trénovací mnoţiny A train byly co nejbliţším obrazem funkce F(x) (tj. poţadovaným hodnotám). Nechť je definována účelová funkce r 1 2 E ( w) G x, w x i i. (4.4) 2 i 1 Tato funkce vyjadřuje sumu čtverců odchylek funkce G(x,w) od poţadovaných hodnot x braných z trénovací mnoţiny. Poţadavek, aby vypočtené hodnoty G(x,w) byly co nejbliţší poţadovaným hodnotám xˆ je realizován pomocí poţadavku minimálnosti účelové funkce E(w) vzhledem k parametru w. Funkce G(x,w) je adaptovaná, kdyţ její parametr w je vybraný tak, aby se rovnal své optimální hodnotě (tj. ve kterém má účelová funkce globální minimum). 4.2 Definice neuronové sítě Paradigma neuronové sítě bude formulováno pomocí grafovo-teoretického přístupu, který vychází z analogie s lidským mozkem a koncept neuronové sítě bude pouţitý na konstrukci modelové funkce G(x,w). Formálně je neuronová síť určená jako orientovaný

33 graf G = (V,E). Výrazy V = {v 1,v 2,,v N } a E = {e 1,e 2,,e M } označují neprázdnou vrcholovou mnoţinu, resp. hranovou mnoţinu grafu G obsahujícího N vrcholů (neuronů) a M hran (spojů). Kaţdý spoj e E se interpretuje jako uspořádaná dvojice dvou neuronů z mnoţiny V, e = (v,v ). Spoj e začíná v neuronu v a končí v neuronu v. Mnoţina V je rozloţená na disjunktní podmnoţiny následujícím způsobem V V V V, (4.5) I H O kde V I obsahuje N I vstupních neuronů, které sousedí jen s vycházejícími hranami V H, obsahuje N H skrytých neuronů, které sousedí současně s vycházejícími jako s vcházejícími hranami a V O obsahuje N O výstupních neuronů, které sousedí jen s vcházejícími hranami. V následujících úvahách se bude vţdy předpokládat, ţe mnoţiny V I a V O jsou neprázdné, tj. neuronová síť obsahuje vţdy alespoň jeden vstupní a jeden výstupní neuron. Vstupy neuronové sítě Přestoţe neuronové sítě jsou schopny rozpoznat sloţité strukturální obrazce, dá se říci, ţe vstupy neuronů jsou číselné a nejčastěji se lze setkat s následujícími typy vstupů: kvalitativní vstupy nabývají hodnot z diskrétních číselných mnoţin např. 1, 1, fuzzy kvalitativní vstupy jako fuzzy hodnoty jazykových proměnných zavedené na universech systémových proměnných, kvantitativní vstupy obvyklé číselné reprezentace systémových proměnných. Model neuronu Neuron je vybaven konečným počtem vstupů x i, aktivační funkcí a jedním výstupem y i (ten je mnoţitelný do potřebného počtu kopií). Obecně neuron lze popsat podle tohoto vztahu i j 1 i w x, (4.6) ij j i kde: - w jsou váhy synapsí, i - x i jsou vstupy neuronu,

34 - f je neuronová aktivační funkce, - je práh neuronu. Tento vztah lze jednoduše zobrazit pomocí nelineárního modelu neuronu, který je patrný z obr Vztah (4.6) bývá často označován jako vnitřní potenciál neuronu. Váhy w i jednotlivých neuronů představují jeho lokální paměť a spojením všech neuronů se získá celková paměť neuronové sítě. Učení a jeho optimalizace se provádí změnou těchto vah, tvarováním aktivační funkce, změnou počtu neuronů a strukturálním uspořádáním sítě. vstupy neuronu x 1 w 1 nelineární aktivační funkce výstup neuronu x 2 x n... w 2 w n y váhy Θ práh neuronu Obr. 4.2 Nelineární model neuronu Aktivační funkce Aktivační funkce transformuje hodnotu potenciálu neuronu na číslo z určitého intervalu. Nejčastěji je obor výstupních hodnot omezen intervalem <0,1>, nebo <-1,1>. Tato přechodová (aktivační) funkce t(ξ) je z pravé strany je monotónně rostoucí a vyhovuje následujícím asymptotickým podmínkám: t(ξ) A, pro ξ - a t(ξ) B, pro ξ, kde - <A<B<. V teorii neuronových sítí se často vyuţívá následující sigmoidální funkce t B 1 Ae e, (4.7) s první derivací určenou ve tvaru

35 A t A B B t t. (4.8) Tato přechodová funkce zobrazuje celou mnoţinu reálných čísel R na otevřený interval (A,B), formálně t: R (A,B). Nejčastěji se přechodová funkce vyuţívá pro hodnoty parametrů A = 0, B = 1 nebo A = -1, B = 1. Aktivity neuronů tvoří vektor x = (x 1,x 2,,x N ). Tento vektor je formálně rozloţitelný na tři podvektory obsahující vstupní, skryté a výstupní aktivity x x x x. (4.9) I H O Neuronovou síť s fixovanými váhami a prahovanými koeficienty moţno formálně chápat jako funkci N N I O : R A B. (4.10) G, Tato funkce G přiřadí vstupní aktivitě x I (deskriptor) výstupní vektor x O s hodnotami svých sloţek z otevřeného intervalu (A,B) ve tvaru G x I x O. (4.11) Na obr. 4.3 je znázorněn průběh aktivační funkce, kde t je potenciál neuronu, S(t) je transformovaná hodnota. Křivka 1 na obr. 4.3 odpovídá standardní sigmoidální funkci (A = 0, B = 1), křivka 2 znázorňuje funkci hyperbolický tangens (A = -1, B = 1). S(t) t Obr. 4.3 Průběh aktivační funkce

36 Skryté aktivity nejsou explicitně uvedené, hrají jen úlohu mezivýsledků. Vstupní aktivity jsou určené deskriptorem, proto jsou pokládány za fixované. Aktivity skrytých neuronů z druhé vrstvy L 2 je moţno spočítat jen s pouţitím vstupních aktivit z vrstvy L 1. Ve všeobecnosti pro výpočet aktivit vrstvy L i (kde i>1) je nutné poznat jen aktivity z niţších vrstev L 1,L 2,,L i-1. Tímto rekurentním způsobem se postupně spočítají aktivity všech neuronů. Jako poslední se počítají aktivity výstupních neuronů. Díky tomu se pro neuronové sítě reprezentované acyklickým grafem zaţil název neuronové sítě s dopředným šířením. Tento jednoduchý postup výpočtu aktivit neuronů je aplikovatelný jen na neuronové sítě reprezentované acyklickým orientovaným grafem. V případě, ţe graf obsahuje orientované cykly, tento postup není pouţitelný. Rovnice jsou v tomto případě spřáhnuté a nelineární. Proto jejich řešení (tj. skryté a výstupní aktivity) lze dosáhnout jen pouţitím iteračního postupu, a to tak, ţe se startuje z počátečních aktivit, pomocí těchto se spočítají nové aktivity a tyto se v následujícím iteračním kroku pouţijí jako vstup pro výpočet nových aktivit. Tento iterační postup se opakuje tak dlouho, aţ rozdíl mezi starými a novými aktivitami je menší neţ předepsaná přesnost. Vrstvy neuronové sítě Neurony jsou umístěny v několika lineárně uspořádaných vrstvách tak, ţe kaţdý neuron v předchozí vrstvě je propojen s kaţdým neuronem v následující vrstvě, tzv. úplné propojení neuronů, viz obr Obr. 4.4 Příklad acyklické struktury

37 Na obr. 4.5 je znázorněna moţnost rozkladu vrcholů (neuronů) acyklického orientovaného grafu na vrstvy L 1,,L 4. V L... L L L t, (4.12) kde L 1 = V I je vstupní vrstva (obsahuje pouze vstupní neurony), L 2,L 3,,L t-1 jsou skryté vrstvy a L t je výstupní vrstva. Vrstva L i (pro 1 i t ) je určená následujícím jednoduchým způsobem L i v V ; d ( v) i 1, (4.13) kde vzdálenost d(v) se rovná délce maximální cesty, která spojuje daný neuron se vstupním neuronem. Potom musí platit d(v) = 0, v V I. Neuronová síť určená acyklickým grafem je obvykle zvolená tak, ţe neurony ze dvou sousedících vrstev jsou pospojované všemi moţnými spoji. Bohuţel, takovýto rozklad mnoţiny neuronů na vrstvy je moţný jen pro neuronové sítě reprezentované acyklickými grafy, pro cyklické grafy vzdálenost d(v) můţe nabývat libovolnou kladnou celočíselnou hodnotu. 7 8 L 4 6 L L L 1 Obr. 4.5 Neuronová síť definovaná jako orientovaný souvislý graf V první tzv. vstupní vrstvě (Input Layer) jsou vstupní neurony, které identicky přenášejí jednotlivé sloţky vstupního vektoru. Poslední vrstva se nazývá výstupní vrstva (Output Layer) a vytváří finální výstup. Mezilehlým vrstvám se říká skryté vrstvy (Hidden Layer). Vstupní a výstupní vrstva jsou přesně určeny počtem a typem vstupních a výstupních proměnných modelovaného systému. Počet skrytých vrstev a počet neuronů ve skrytých vrstvách však také není zcela libovolný. Velké počty neuronů ve skrytých

38 vrstvách sice urychlují dobu učení, ale znesnadňují postup testování sítě (síť si mnoho pamatuje, ale málo zobecňuje). Je tedy nutné rozhodnout o počtu skrytých vrstev a neuronech ve skrytých vrstvách neuronové sítě. Na určení konkrétního optimálního počtu neuronů ve skryté vrstvě jsou potřebné experimenty. V případě, ţe je neuronová síť vyuţívána jako prediktor, doporučuje se ve skryté vrstvě minimálně o jeden neuron méně neţ ve vstupní. Vrstvy neuronové sítě jsou uvedeny na obr Učení neuronové sítě V procesu učení neuronové sítě [4] dochází k úpravám hodnot vah synapsí mezi neurony. Cílem je dosáhnout takový stav neuronové sítě, ve kterém bude schopna klasifikovat všechny vstupní vzorky nebo je správným způsobem zpracovat. Vzhledem ke sloţitosti struktury neuronových sítí neexistuje v současnosti ţádná známá metoda, která by byla schopná jednoznačně určit hodnoty vah synapsí definované úlohy. Často pouţívanými jsou gradientní metody, např. metoda největšího spádu. Úpravou gradientního algoritmu pro hledání lokálního minima funkce vznikl učící algoritmus zpětného šíření chyby Back-Propagation. Y 1 Y 2 Y n... Výstupní vrstva... Skrytá vrstva... Vstupní vrstva X 1 X 2 X m Obr. 4.6 Vrstvy neuronové sítě Back-Propagation je nejpouţívanější metoda pro učení neuronových sítí. Algoritmus je zaloţený na minimalizaci součtu čtverců chyb s vyuţitím poznatku o

39 průběhu nelineární aktivační funkce v neuronech. Poţadavkem je, aby aktivační funkce byla spojitá, diferencovatelná a monotónně neklesající. Nejčastěji pouţívanou aktivační funkcí je proto sigmoidální funkce a hyperbolický tangens. Učení pomocí algoritmu zpětného šíření chyby vyţaduje přítomnost učitele. 4.3 Shrnutí kapitoly V první části kapitoly byly vysvětleny základní pojmy z oblasti neuronových sítí, kde byl zmíněn model umělého neuronu, moţné typy jeho vstupů a aktivačních funkcí. Na závěr byla popsána struktura neuronových sítí a princip jejich učení pomocí algoritmu Back-Propagation

40 5 Neuronové sítě vhodné pro predikci V kapitole je definováno několik typů neuronových sítí, které jsou vhodné pro predikci časových řad. Jsou zde uvedeny vztahy pro výpočet výstupů těchto neuronových sítí a grafické znázornění. Taktéţ je definován učící algoritmus zpětného šíření chyby pro tyto neuronové sítě. 5.1 Frontální neuronová síť Frontální neuronová síť je speciální dopřednou neuronovou sítí, která se často označuje termínem Time-Delay Neural Net (TDNN). Tato neuronová síť vyuţívá běţné časové prodlevy ke zpracování. Ve frontálních neuronových sítích je celá krátkodobá paměť situovaná na začátku neuronové sítě, jako určitá předvrstva, která zpracovává časový kontext. Tuto neuronovou síť je moţné učit klasickým algoritmem zpětného šíření chyby Back-Propagation. Výstup Delay neuronové sítě [4] se stejnou hloubkou paměti všech filtrů, lineárním filtrem a lineárním výstupním neuronem moţno vyjádřit následujícím způsobem Y K k d J jk b ijk X ijk, (5.1) k 1 j 1 i 1 kde: - Y výstup neuronové sítě, - α vektor vah synapsí mezi neurony ve skryté vrstvě a výstupním neuronem, - β vektor vah synapsí mezi filtry a neurony ve skryté vrstvě, - χ vektor vah synapsí uvnitř filtru, - k index neuronu ve skryté vrstvě, - d aktivační funkce, - j index filtru, - i index vstupu filtru, - b hloubka krátkodobé paměti filtru, - X vstupní vektor neuronové sítě. Frontální neuronová síť je uvedena na obr

41 Y α jk... d, β jk F F F F F F F F F X 11 X 21 X j1 X 12 X 22 X j2 X 1k X 2k X jk Obr. 5.1 Příklad frontální neuronové sítě Na obr. 5.2 je zobrazen filtr frontální neuronové sítě, kde x(t) je hodnota vstupu filtru v čase t, b je hloubka paměti filtru, χ jsou váhy synapsí v rámci filtru, z -1 je operátor jednotkového časového zpoţdění a xf(t) je výstup filtru pro hodnotu vstupu v čase t. x(t) x(t-1) x(t-2) x(t-b+1) z -1 z -1 z -1 χ(1) χ(2) χ(b-1) xf(t) x(n-b) z -1 χ(b) Obr. 5.2 Filtr frontální neuronové sítě 5.2 Dopředná neuronová síť Neuronové sítě s dopředným šířením signálu (Feed-Forward Neural Networks), jsou acyklickým typem sítí (nikdy nevzniká zpětnovazební smyčka). Neurony jsou v nich organizovány do vrstev podle následujícího principu: neurony, z kterých synapse jen vystupují, tvoří vstupní vrstvu neuronové sítě. Na vstupní vrstvě neprobíhají ţádné výpočty. Potenciál vstupních neuronů je zadaný uţivatelem a neprochází skrz aktivační funkci. Neurony propojené synapsemi, které do nich vstupují a zároveň synapsemi, které z

42 nich vystupují, tvoří skrytou vrstvu, případně skryté vrstvy neuronové sítě. Na skrytých vrstvách se vypočítávají mezivýsledky řešení problému, jenţ nejsou explicitně uvedené, protoţe jejich interpretace nemá praktický smysl. Neurony, do kterých synapse jen vstupují, tvoří výstupní vrstvu sítě. Na těchto neuronech probíhá výpočet konečného výstupu neuronové sítě. Obecně platí, ţe neurony ve výstupní vrstvě mezi sebou nejsou propojeny synapsemi. Pro případ predikce toto není nutné uvaţovat, neboť ve výstupní vrstvě neuronové sítě se nachází právě jeden neuron. Výstup dopředné neuronové sítě lze vyjádřit takto [4] Y K k d J jk X jk, (5.2) k 1 j 1 kde: - Y je výstup neuronové sítě, - vektor vah synapsí mezi neurony ve skryté vrstvě a výstupním neuronem, - vektor vah synapsí mezi vstupními neurony a neurony ve skryté vrstvě, - k index neuronu ve skryté vrstvě, - d aktivační funkce, - j index vstupního neuronu, -X vstupní vektor neuronové sítě. Struktura dopředné neuronové sítě je znázorněná na obr Y α jk... d, β jk X 11 X 21 X j1 X 12 X 22 X j2 X 1k X 2k X jk Obr. 5.3 Dopředná neuronová síť

43 Dopředné neuronové sítě, při jejichţ učení je vyuţita metoda zpětného šíření chyby, patří mezi neuronové sítě vyuţívané jako klasifikátory a prediktory (rozdíl je v počtu výstupních neuronů). 5.3 Perceptronová neuronová síť Perceptronová neuronová síť [11] patří mezi nejznámější a nejpouţívanější neuronové sítě. Její základní prvek, neuron zvaný perceptron, byl popsán F. Rosenblattem v roce 1957 spolu s algoritmem jeho učení, ale teprve v roce 1986 byl popsán algoritmus učení vícevrstvé perceptronové sítě. Díky tomuto algoritmu bylo moţné vyřešit pomocí sítě tří neuronů problém logické funkce XOR, který nelze vyřešit pomocí jednoho neuronu. Je to síť učící se s učitelem, tj. trénovací vzory musí kromě vstupních hodnot obsahovat i hodnoty příslušných odpovídajících výstupů. Architektura je zobrazena na obr Obr. 5.4 Moţné uspořádání perceptrónové neuronové sítě 5.4 Učící algoritmus Back-Propagation Algoritmus zpětného šíření chyby Back-Propagation obsahuje tři etapy: dopředné šíření vstupního signálu učícího vzoru, zpětné šíření chyby, aktualizace váhových hodnot na synapsích

44 Během dopředného šíření signálu obdrţí kaţdý neuron ve vstupní vrstvě vstupní signál a zprostředkuje jeho přenos ke všem neuronům skryté vrstvy. Kaţdý neuron ve skryté vrstvě vypočítá svou hodnotu a pošle tento signál všem neuronům ve výstupní vrstvě. Kaţdý neuron ve výstupní vrstvě vypočítá svou hodnotu, která odpovídá jeho skutečnému výstupu po předloţení vstupního vzoru. Po dobu adaptace neuronové sítě jsou srovnávány vypočítané hodnoty se vstupními hodnotami pro kaţdý neuron ve výstupní vrstvě a pro kaţdý učící vzor. Na základě tohoto srovnání je definována chyba neuronové sítě, pro kterou je vypočítán faktor, který je částí chyby, která se zpětně šíří z neuronu k ve výstupní vrstvě ke všem neuronům předcházející vrstvy, jenţ mají s tímto neuronem definovanou synapsi. Podobně lze definovat i faktor j, který je částí chyby šířené zpětně z neuronu ve skryté vrstvě ke všem neuronům vstupní vrstvy, jeţ mají s tímto neuronem definovanou synapsi. Úprava hodnot vah na synapsích mezi neurony skryté a výstupní vrstvy závisí na faktoru a hodnotách neuronů ve skryté vrstvě. Obdobně úprava hodnot k vah na synapsích mezi neurony vstupní a skryté vrstvy závisí na faktoru j a hodnotách neuronů ve vstupní vrstvě. Aktivační funkce pro neuronové sítě s učícím algoritmem Back- Propagation musí mít následující vlastnosti: musí být spojitá, diferencovatelná, monotónně neklesající. Nejčastěji pouţívanou aktivační funkcí je proto logická (standardní) sigmoidální funkce (4.7). Chyba sítě parciálních chyb sítě E i (w) E w je vzhledem k učící mnoţině definována jako součet vzhledem k jednotlivým učícím vzorům E w n E i w. (5.7) i 1 Parciálních chyba E i w sítě pro i-tý učící vzor je úměrná součtu mocnin odchylek skutečných hodnot výstupu sítě pro vstup i-tého učícího vzoru od poţadovaných hodnot u tohoto vzoru

45 1 2 E w y t, (5.8) i i i 2 i kde: - y je i-tý výstup neuronové sítě, i - t i je i-tý učící vzor. 5.5 Shrnutí kapitoly V první podkapitole je definována frontální neuronová síť, která bude následně pouţita k modelování predikce HDP USA. Dále je definována dopředná neuronová síť, v níţ nikdy nevzniká zpětná vazba, a vyjádřen její výstup. Následující podkapitola je zaměřena na perceptron, coţ je neuronová síť, která se často pouţívá pro predikci. V poslední podkapitole je vysvětlen algoritmus zpětného šíření chyby Back-Propagation, který se ve velké míře pouţívá pro učení všech výše popsaných neuronových sítí

46 6 Návrh modelu frontální neuronové sítě na predikci HDP V kapitole je uveden návrh frontální neuronové sítě s filtrem o délce b = 6 a se strukturou Následně je zde popsán postup přípravy vstupních souborů, rozdělení mnoţiny dat na trénovací a testovací mnoţinu, princip nastavování parametrů a funkcí při učení neuronové sítě. Na závěr kapitoly jsou uvedeny výsledky modelování. 6.1 Návrh frontální neuronové sítě Pokud slouţí neuronová síť jako prediktor, výstupní vrstva obsahuje právě jeden neuron. Filtr frontální neuronové sítě b je roven šesti. Návrh struktury sítě Navrţená frontální neuronová síť má deset neuronů ve vstupní vrstvě, pět neuronů ve skryté vrstvě a jeden neuron ve výstupní vrstvě. Jako vstupy následující devítiměsíční modely trendových sloţek: jednoduchý klouzavý průměr IVEI, váţený klouzavý průměr IVEI, trojúhelníkový klouzavý průměr IVEI, klouzavý medián IVEI, jednoduchý klouzavý průměr DIVEI, váţený klouzavý průměr DIVEI, trojúhelníkový klouzavý průměr DIVEI, klouzavý medián DIVEI, jednoduché exponenciální vyrovnání α = 0.2 pro IVEI i DIVEI. Výstupem neuronové sítě je procentuální růst HDP. Na obr. 6.1 je uvedena navrţená frontální neuronová síť s strukturou

47 Obr. 6.1 Struktura navrţené frontální neuronové sítě Rozdělení vstupů na trénovací a testovací mnoţinu Následně byla vstupní data A rozdělena na trénovací mnoţinu A train a testovací mnoţinu A test v poměru 189:177. Je moţno zapsat A A train Atest. Trénovací mnoţina obsahuje údaje z let a je určena pro trénování neuronové sítě. Testovací mnoţina obsahuje údaje z let a je pouţívaná k určení přednastavení neuronové sítě pro data, které nebyly předkládány v procesu učení. Učení neuronové sítě Při učení frontální neuronové sítě byl pouţit učící algoritmus zpětného šíření chyby Back-Propagation, který se pro učení těchto typů neuronových sítí pouţívá standardně. Pro tento učící algoritmu jsou nastavovány dva parametry: μ je parametr učení, učící koeficient, který definuje rychlost učení. Čím je délka kroku nastavena na vyšší hodnotu, tím je proces učení rychlejší. Pro tento návrh je zvoleno μ =

48 d max je maximální rozdíl mezi učící hodnotou a výstupem výstupního neuronu, který je tolerován, tj. který je moţné zpětně šířit. Typické hodnoty d max jsou 0, 0.1, 0.2. Pro tento návrh je zvoleno d max = 0. Činnosti s jednotlivými neurony je třeba zpracovávat ve specifickém pořadí, které je závislé na struktuře neuronové sítě. Pro kaţdou síť je nutné vybrat funkci update za účelem poţadovaného chování neuronové sítě. Pro frontální neuronové sítě se standardně pouţívá funkce Time-Delay Order, při níţ jsou výpočty pro jednotlivé neurony prováděny v pořadí závislém na struktuře neuronové sítě. Touto funkcí se v procesu učení definuje, jakým způsobem má projít přes všechny neurony. Před učením byla neuronová síť inicializována pomocí inicializační funkce Randomize Wieghts. Pomocí této funkce jsou váhy synapsí náhodně nastaveny na hodnoty z intervalu od -1.0 do 1.0. Přenosová funkce je prostředek pro rychlou změnu poţadovaného výstupu sítě, aniţ by musel být změněn soubor vzorů. Tato funkce upravuje výstupní část vzorů, vstupní část zůstává nedotčená. Vstupní hodnoty kaţdého vzoru procházejí touto funkcí před tím, neţ jsou předloţeny síti k učení. V návrzích byla vyuţita funkce Binary, která je uvedena na obr 6.2. V podstatě lze říci, ţe je to binární klasifikátor. trénovací hodnoty trénovací hodnoty původní hodnoty Obr. 6.2 Přenosová funkce Binary Rozděluje hodnoty výstupních vzorů na hodnoty 0 a 1. Práh je zde implicitně nastaven na hodnotu 0.5, coţ znamená, ţe hodnoty vyšší neţ 0.5 budou učeny jako 1, všechny ostatní, včetně záporných, jako 0. Tato funkce nemá ţádné volitelné parametry

49 6.2 Výsledky učení neuronové sítě Neuronová síť se učí s daným počtem cyklů. V kaţdém cyklu jsou všechny trénovací vzory zpracovány neuronovou sítí pouze jednou. Učení probíhalo v tisíci cyklech, v kaţdém druhém cyklu bylo provedeno testování. Při učení sítě je sledována střední kvadratická chyba MSE trénovací mnoţiny v kaţdém učícím cyklu a je při procesu učení sítě minimalizována. Průběh chyby MSE pro navrţenou frontální neuronovou síť se strukturou je zobrazen na obr MSE testovací trénovací Počet cyklů Obr. 6.3 Zobrazení chyby MSE pro trénovací a testovací mnoţinu Na obr. 6.4 je zobrazena frontální neuronová síť, která prošla procesem učení. Obr. 6.4 Frontální neuronová síť po procesu učení

50 Tato neuronová síť má jiţ nastaveny váhy jednotlivých synapsí a prahy neuronů. Takto vytvořenou neuronovou síť lze pouţít pro predikci vývoje HDP Protokol o průběhu učení neuronové sítě Learning func: TimeDelayBackprop Remap. func: Binary Init. func: Randomize_Weights Update func: TimeDelay_Order Learning func: TimeDelayBackprop Learning all patterns: epochs : 1000 parameter: #o-units : 1 #patterns: 192 (total: 192) epoch: SSE MSE SSE/o-units Train 1000: Test 1000: Train 900: Test 900: Train 800: Test 800: Train 700: Test 700: Train 600: Test 600: Train 500: Test 500: Train 400: Test 400: Train 300: Test 300: Train 200: Test 200: Train 100: Test 100: Train 1: Test 1: s t a t i s t i c s Number of Patterns : 192 Number of parameters (Links+bias): 17 Sse : Tss : Rsq : Mse : Rmse : Adjrsq : J_p : gcv : pc : S_p : gmsep : shibata :

51 aic : sbc : Nastavení vah na synapsích a prahy neuronů SNNS network definition file V1.4-3D generated at Mon May 14 14:37: network name : learn_10_5_1 source files : no. of units : 16 no. of connections : 11 no. of unit types : 0 no. of site types : 0 learning function : TimeDelayBackprop update function : TimeDelay_Order unit default section : act bias st subnet layer act func out func h 0 1 Act_Logistic Out_Identity unit definition section : no. typename unitname act bias st position act func out func sites i 2, 2,17632 Act_TD_Logistic i 2, 3,17632 Act_TD_Logistic i 2, 4,17632 Act_TD_Logistic i 2, 5,17632 Act_TD_Logistic i 2, 6,17632 Act_TD_Logistic i 2, 7,17632 Act_TD_Logistic i 2, 8,17632 Act_TD_Logistic i 2, 9,17632 Act_TD_Logistic i 2,10,17632 Act_TD_Logistic i 2,11,17632 Act_TD_Logistic h 5, 2,17632 Act_TD_Logistic h 5, 3,17632 Act_TD_Logistic h 5, 4,17632 Act_TD_Logistic h 5, 5,17632 Act_TD_Logistic h 5, 6,17632 Act_TD_Logistic o 8, 2,17632 Act_TD_Logistic connection definition section : target site source:weight : , 2: , 3: , 4: , 5: , 6: : , 12: , 13: , 14: , 15:

52 time delay section : no. LLN LUN Toff Soff Ctype Shrnutí kapitoly Cílem kapitoly byl návrh frontální neuronové sítě se strukturou a její analýza. Tento model frontální neuronové sítě byl vybrán, protoţe se jeví jako optimální pro predikci. Má dostatečně velký filtr b a počet neuronů jak ve vstupní tak i ve skryté vrstvě je dostatečný na to, aby byly odhaleny skryté závislosti ve vstupních datech. V první části je uveden postup návrhu frontální neuronové sítě, popis vstupů a výstupu neuronové sítě, vysvětleno parametrů a funkcí pro učení neuronové sítě. Ve druhé části kapitoly jsou zobrazeny výsledky učení neuronové sítě interpretované grafem zobrazujícím chybu MSE v průběhu učení, protokolem o průběhu učení a zejména zobrazení nastavení vah na synapsích a prahy jednotlivých neuronů

53 7 Analýza výsledků V kapitole jsou popsány modely frontálních neuronových sítí pro predikci HDP lišící se především velikostí filtru b, který definuje velikost klouzavého okna frontální neuronové sítě. Dále se modely liší počtem neuronů ve vstupní a skryté vrstvě. U všech modelů byly pouţity následující funkce a parametry učení: Jako učící funkce byla zvolena Time-Delay Back-Propagation s parametry μ = 0.01 a d max = 0. Jako update funkce byla vybrána funkce Time-Delay Order. Před učením se neuronová síť inicializovala pomocí funkce Randomize Weights, kdy byly váhy synapsí náhodně nastaveny na hodnoty z intervalu od -1.0 do 1.0. Přenosovou funkcí byla zvolena Binary. 7.1 Vstupní data Prvním krokem při návrhu modelu bylo nutno připravit vstupní data, a to v závislosti na počtu vstupních neuronů neuronové sítě. Pro návrh byly vybrány struktury s 6, 8, 10, 12, 14 vstupními neurony. Jako vstupy do modelů vybrány následující devítiměsíční modely trendových sloţek: jednoduchý klouzavý průměr (JKP) pro IVEI a DIVEI, váţený klouzavý průměr (VKP) pro IVEI a DIVEI, trojúhelníkový klouzavý průměr (TKP) pro IVEI a DIVEI, klouzavý medián (KM) pro IVEI a DIVEI, šestiměsíční centrovaný klouzavý průměr (CKP) pro IVEI i DIVEI jednoduché exponenciální vyrovnání (EV) pro α = 0.1 a α = 0.2 pro IVEI a DIVEI. Rozdělení vstupních dat podle počtu neuronů ve vstupní vrstvě je zobrazeno v tabulce 7.1. Tabulka 7.1 Vstupní data do modelů Vstupy do neuronové sítě/počet vstupních neuronů JKP pro IVEI a DIVEI x x x x x VKP pro IVEI a DIVEI x x x x x TKP pro IVEI a DIVEI x x x x

54 CKP pro IVEI a DIVEI x x KM pro IVEI a DIVEI x x x x x EV pro α = 0.1 x EV pro α = 0.2 x x x 7.2 Modely s hloubkou paměti filtru b = 4 Pro model s velikostí filtru b=4 bylo vybráno 5 struktur neuronových sítí lišících se počtem neuronů ve vstupní a skryté vrstvě. Výsledky modelování jsou uvedeny v tabulce 7.2. Tabulka 7.2 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b=4 Model MSE RMSE Naučenost sítě cyklů cyklů cyklů cyklů cyklů Z výsledků je moţno odvodit, ţe čím větší je počet neuronů ve skryté vrstvě, tím je chyba MSE větší. S větším počtem neuronů ve skryté vrstvě se také sniţuje kvalita modelu, jelikoţ chyba RMSE a k naučení neuronové sítě je třeba větší mnoţství trénovacích cyklů. Jak je moţno odvodit z tabulky, model s architekturou se naučil nejlépe (s nejmenší chybou) nicméně není primárně vhodný na predikci, jelikoţ má ve skryté vrstvě pouze čtyři neurony a z toho plyne, ţe není schopen zachytit závislosti ve vstupních datech. 7.3 Modely s hloubkou paměti filtru b = 5 Další zkoumané modely měli nastavenu hloubku paměti filtru b rovnu pěti. Byly vybrány 4 architektury neuronových sítí, kdy byl měněn počet neuronů ve vstupní a skryté vrstvě. Oproti předchozím modelům s hloubkou filtru 4 došlo ke zkvalitnění modelů, kdyţ došlo k poklesu jak chyby MSE tak RMSE. Klesl také počet cyklů potřebný k naučení neuronové sítě. Výsledky jsou zobrazeny v tabulce 7.3. Tabulka 7.3 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b=5 Model MSE RMSE Naučenost sítě cyklů cyklů cyklů cyklů

55 Při porovnání modelů s hloubkou filtru 4 a 5 s strukturou neuronové sítě a lze dojít k závěru, ţe model s hloubkou filtru 5 dosahuje lepší vlastností ve všech zkoumaných vlastnostech. Niţší je chyba MSE i RMSE a k naučení bylo třeba menší mnoţství učících cyklů. Z porovnání modelů vyplývá, ţe kvalita modelů se liší jen nepatrně. 7.4 Modely s hloubkou paměti filtru b = 6 Následně byly analyzovány modely s hloubkou paměti filtru b rovnu šesti a byly vytvořeny čtyři modelové struktury neuronových sítí. Výsledky modelování jsou zobrazeny v tabulce 7.4. Tabulka 7.4 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b=6 Model MSE RMSE Naučenost sítě cyklů cyklů cyklů cyklů U všech testovaných modelů opět došlo ke sníţení chyb MSE a RMSE a také poklesl počet cyklů nutný k naučení neuronové sítě. 7.5 Modely s hloubkou paměti filtru b = 7 Dalšími modely jsou ty, jenţ mají hloubky paměti filtru b nastavenu na sedm. Z tabulky 7.5 vyplývá, ţe se se zvětšováním filtru b kvalita analyzovaných modelů stále zvyšuje. Chyby MSE a RMSE jsou v porovnání s předešlými modely se stejným počtem vstupních neuronů niţší a rychlost naučení sítě také poklesla. Tabulka 7.5 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b=7 Model MSE RMSE Naučenost sítě cyklů cyklů cyklů 7.6 Modely s hloubkou paměti filtru b = 8 Předposledními analyzovanými modely jsou ty, u nichţ je hloubka paměti filtru b rovna osmi. Výsledky jsou zobrazeny v tabulce 7.6. Opět se zmenšila jak chyba učení a poklesl počet cyklů nutných k naučení neuronové sítě

56 Tabulka 7.6 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b=8 Model MSE RMSE Naučenost sítě cyklů cyklů cyklů Z porovnání těchto modelů s předešlými vyplývá, ţe kvalita naučení modelů se zvyšuje úměrně se zvětšujícím se filtrem b frontální neuronové sítě. 7.7 Modely s hloubkou paměti filtru b = 9 Posledními modely jsou ty, jenţ mají hloubky paměti filtru b nastavenu na devět. Z tabulky 7.7 plyne, ţe kvalita analyzovaných modelů se opět zvýšila a to ve všech parametrech. Tabulka 7.7 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b=9 Model MSE RMSE Naučenost sítě cyklů cyklů Chyby MSE a RMSE jsou v porovnání s předešlými modely se stejným počtem vstupních neuronů nejniţší a rychlost naučení sítě také ještě poklesla na nejniţší hodnotu. 7.8 Přehled výsledků modelování V tabulce 7.8 jsou přehledně zobrazeny výsledky učení při různých počtech vstupních neuronů a různé velikosti filtru b. Tabulka 7.8 Chyba MSE v závislosti na počtu vstupních neuronů a velikosti filtru Počet neuronů ve vstupní b = 4 b = 5 b = 6 b = 7 b = 8 b = 9 vrstvě Z dosaţených výsledků modelování byl zvolen jako nejlepší model s filtrem b=6, který se jeví jako nejlepší pro predikci. Velikost hloubky filtru zajišťuje dostatečný rozsah klouzavého okna na zachycení skrytých závislostí v datech a co nejpřesnější naučení neuronové sítě. Tato struktura neuronové sítě má také dostatečný počet neuronů ve

57 skryté vrstvě, které jsou nezbytné pro odhalení skrytých závislostí v datech. Chyba učení MSE = je také přijatelná. 7.8 Shrnutí kapitoly Cílem kapitoly byla analýza navrhnutých modelů. Celkem bylo navrţeno 21 modelů frontálních neuronových sítí, které se navzájem lišily velikostí filtru, počty neuronů ve vstupních a skrytých vrstvách. Nejvhodnějším modelem pro predikci HDP byl zvolen model s architekturou , který má dostatečně velký filtr b a počet neuronů jak ve vstupní tak i ve skryté vrstvě je dostatečný na to, aby byly odhaleny skryté závislosti ve vstupních datech. Tento model je podrobně popsán v kapitole 6. Při zvětšování velikosti filtru chyba MSE i RMSE klesá a taktéţ se sniţuje počet cyklů nutných k natrénování neuronové sítě. Dále je moţno konstatovat, ţe větší počet neuronů jak ve vstupní tak i skryté vrstvě zvyšuje chybu MSE, RMSE i počet cyklů, které jsou potřebné k naučení sítě

58 8 Závěr Cílem diplomové práce byl návrh frontální neuronové sítě na predikci HDP. K dispozici byli předstihoví ukazatelé, kteří jsou vhodní pro modelování vývoje HDP. Jednalo se o IVEI a DIVEI. Oba indexy byly pomocí adaptivních přístupů k vyrovnání trendové sloţky modelovány a poslouţily jako vstupní data do neuronových sítí, které byly konstruovány a analyzovány v prostředí SNNS. U vytvořených modelů frontálních neuronových sítí byla měněna hloubka paměti filtru a pro kaţdý z nich vytvořeno několik modelů neuronových sítí. V nich se měnil počet neuronů ve vstupní a skryté vrstvě. Zjišťována byla změna MSE, RMSE a počet cyklů potřebných k naučení neuronové sítě při zachování všech funkcí a jejich parametrů. Z dosaţených výsledků je moţné říci, ţe frontální neuronové sítě jsou vhodným prostředkem na vytváření predikčních modelů. Nejlepším analyzovaným modelem pro predikci HDP je model s filtrem šest, který obsahoval deset neuronů ve vstupní vrstvě a pět neuronů ve skryté vrstvě

59 Seznam pouţité literatury [1] HOLMAN, R. Ekonomie. 1. vydání. Praha: C. H. Beck, ISBN s. [2] KADEŘÁBKOVÁ, A. Základy makroekonomické analýzy. 1. vydání. Praha: Linde, ISBN X. 175 s. [3] RUSMICHOVÁ, L., SOUKUP, J. Makroekonomie základní kurs. Dotisk 5. vydání. Slaný: MELANDRIUM, ISBN s. [4] OLEJ, V. Modelovanie ekonomických procesov na báze výpočtovej inteligencie. Vědecká monografie. Hradec Králové: Miloš Vognar M&V, ISBN s. [5] SPĚVÁČEK, V. Makroekonomická analýza a prognózování. Praha: Vysoká škola ekonomická, Fakulta národohospodářská, ISBN s. [6] ZAPLETAL, J. Úvod do analýzy ekonomických časových řad. 1. vydání. Brno: PC-DIR Real, ISBN s. [7] CIPRA, T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 1. vydání. Praha: HZ Praha, ISBN s. [8] CIPRA, T. Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii. 1. vydání. Praha: SNTL/Alfa, ISBN s. [9] HANČLOVÁ, J., TUHÝ, L. Úvod do analýzy časových řad [online] [cit ]. Dostupné na < pdf>. [10] HINDLS R., HRONOVÁ, S., SEGER, J. Statistika pro ekonomy. 4. vydání. Praha: Professional Publishing, ISBN s. [11] MAŘÍK, V., ŠTĚPÁNKOVÁ, O., LAŢANSKÝ, J. a kol. Umělá inteligence (4). 1. vydání. Praha: Academia, Akademie věd České republiky, ISBN s. [12] KVASNIČKA, V. a kol. Úvod do teórie neurónových sietí. Bratislava: IRIS, ISBN s. [13] HAYKIN, S. Neural Networks A Comprehensive Foundation. 2nd edition. New Jersey: Prentice Hall ISBN s. [14] OLEJ, V. Prediction of Gross Domestic Product Development on the Basis of Frontal Neural Networks, Genetic and Eugenic Algorithms. 2 nd Euro-International Symposium on Computational Intelligence, E-ISCI 2002, Intelligent Technologies-Theory and Applications, New Trend in Intelligent Technologies, Netherlands, 2002, pp , IOS Press Ohmsha, ISSN , ISBN IOS Press, ISBN Ohmsha. [15] OLEJ, V. Prediction of Gross Domestic Product Development by Frontal Neural Networks with Learning Process on the Basis Genetic and Eugenic Algorithms. Neural Network World, International Journal on Non-Standard Computing and Artificial Intelligence, editor: M. Novák, Czech Republic, Vol.12, No.3, 2002, pp , ISSN

60 [16] OLEJ, V. Design of the Models of Neural Networks and the Takagi-Sugeno Fuzzy Inference System for Prediction of the Gross Domestic Product Development., WSEAS Transactions on Systems, WSEAS Press, Issue 4, Vol.4, April 2005, pp , ISSN [17] OLEJ, V. Design of the Models of Neural Networks and the Takagi-Sugeno Fuzzy Inference System for Prediction of the Gross Domestic Product Development. Proc. of the 6th International Conference on Neural Networks, Lisbon, Portugal, June 16-18, 2005, pp , ISBN [18] OLEJ, V. Modelovanie ekonomických procesov na báze vypočtovej inteligencie. [Vedecka monografia], Miloš Vognar-M&V, Hradec Králové, Česká republika, 2003, 160s., ISBN

61 Seznam obrázků Obr. 1.1 Reálný růst HDP v USA Obr. 1.2 Hospodářký cyklus Obr. 1.3 Index vedoucích ekonomických indikátorů ( ) Obr. 1.4 Difúzní index vedoucích ekonomických indikátorů ( ) Obr. 2.1 Absolutní chyba a střední kvadratická odchylka predikce analyzovaného čtvrtletního růstu HDP USA, průměry let , model Federální rezervní banky San Francisco Obr. 4.1 Schematické znázornění zobrazení F : A B Obr. 4.2 Nelineární model neuronu Obr. 4.3 Průběh aktivační funkce Obr. 4.4 Příklad acyklické struktury Obr. 4.5 Neuronová síť definovaná jako orientovaný souvislý graf Obr. 4.6 Vrstvy neuronové sítě Obr. 5.1 Příklad frontální neuronové sítě Obr. 5.2 Filtr frontální neuronové sítě Obr. 5.3 Dopředná neuronová síť Obr. 5.4 Moţné uspořádání perceptrónové neuronové sítě Obr. 6.1 Struktura navrţené frontální neuronové sítě Obr. 6.2 Přenosová funkce Binary Obr. 6.3 Zobrazení chyby MSE pro trénovací a testovací mnoţinu Obr. 6.4 Frontální neuronová síť po procesu učení

62 Seznam tabulek Tabulka 2.1 Ukazatelé chyby predikce roční míry růstu reálného HDP USA, průměry let , model OECD Tabulka 3.1 Přehled vah pro různé délky klouzavých průměrů a různé řády polynomů Tabulka 7.1 Vstupní data do modelů Tabulka 7.2 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b= Tabulka 7.3 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b= Tabulka 7.4 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b= Tabulka 7.5 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b= Tabulka 7.6 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b= Tabulka 7.7 Výsledky chyb pro model s hloubkou filtru b= Tabulka 7.8 Chyba MSE v závislosti na počtu vstupních neuronů a velikosti filtru Seznam příloh Příloha 1: Uţivatelská příručka k architektuře Time-Delay Příloha 2: Protokoly o způsobu naučení vybraných modelů neuronových sítí, jejich nastavení vah synapsí a prahů neuronů

63 Seznam pouţitých zkratek HDP IVEI DIVEI AVE MAE MSE RMSE OECD FRBSF SNNS JKP VKP TKP CKP KM EV1 EV2 TDNN hrubý domácí produkt index vedoucích ekonomických indikátorů difúzní index vedoucích ekonomických indikátorů střední chyba střední absolutní chyba střední kvadratická chyba střední kvadratická odchylka Organization for Economic Cooperation and Development Federální rezervní banka San Francisco Stuttgart Neural Network Simulator jednoduchý klouzavý průměr váţený klouzavý průměr trojúhelníkový klouzavý průměr centrovaný klouzavý průměr klouzavý medián jednoduché exponenciální vyrovnání dvojité exponenciální vyrovnání Time-Delay Neural Net

64 Příloha 1: Uţivatelská příručka k architektuře Time-Delay Stuttgartský neuronový simulátor (SNNS) je programový produkt pro simulaci neuronových sítí. Tento systém je významný svou rozsáhlostí, univerzálností, mnoţstvím implementovaných architektur a učících algoritmů. SNNS Manager Po startu SNNS simulátoru se na obrazovce objeví základní panel SNNS Manager. Tento panel je znázorněn na obr. 1. Skládá se ze tří řádků ikon. První řádek obsahuje funkce pro návrh NS, ve druhém řádku jsou uvedeny funkce pro úpravu parametrů jiných neţ dopředných NS (např. Kohonenovy mapy) a ve třetím řádku jsou pomocné funkce. Obr. 1 Manager panel SNNS Ze SNNS Managera jsou aktivována ostatní okna, která jsou uţívána pro návrh NS. Kvůli této jeho vlastnosti se doporučuje, aby byl tento panel zobrazen po celou dobu práce se SNNS simulátorem. Otevírání a ukládání souborů Pro práci se SNNS simulátorem je vyuţíváno pět druhů souborů. Nejdůleţitějšími jsou: NET - soubory s příponou.net obsahují informace o struktuře NS a učících algoritmech, PAT - v souborech s příponou.pat jsou zapsána trénovací a kontrolní (validační) data, RES - výsledky navrţených NS jsou ukládány do souborů s příponou.res. Soubory pro práci se SNNS simulátorem jsou načteny pomocí nabídky FILE na panelu SNNS Manager. Pomocí této funkce jsou vybrány soubory definující strukturu NS (.net )

65 a soubory s trénovacími a kontrolními daty. Okno, které se zobrazí po aktivování nabídky FILE je na obr. 2. Obr. 2 Okno práce se soubory Ve vrchním textovém poli je zobrazen aktuální adresář. V levé části okna jsou zobrazeny soubory vybraného typu, se kterými SNNS simulátor pracuje a v hranatých závorkách jsou zobrazeny adresáře. Typ souboru je vybrán v pravé části okna aktivováním typu souboru (např. PAT). Po aktivování souboru, který poslouţí k práci se SNNS simulátorem, se jeho název objeví vpravo nahoře v poli, kde se zobrazují jména souborů. Vybraný soubor je načten pomocí tlačítka LOAD a práce s oknem je ukončena aktivováním DONE v levém dolním rohu okna. Návrh neuronové sítě Po aktivaci funkce BIGNET z panelu SNNS Manager a vybráním nabídky TIME- DELAY je zadávána struktura NS. V horní části okna na obr. 3 je definována struktura NS. Do volných míst jsou zadávány, parametry NS a jak mají být zobrazeny na obrazovce. Ve spodní části okna se propojují jednotlivé vrstvy NS. Nejprve je definována vstupní vrstva vyplněním volných míst vpravo nahoře v části Edit Plane (struktura vrstvy). Vstupní vrstva je definována skupinou parametrů NS uspořádaných způsobem značeným na obr

66 Vloţení struktury zápis struktury vrstvy Potvrzení struktury vrstvy Změna pozice a typu vrstvy Reálné vytvoření zadané NS Obr. 3 Okno pro návrh time-delay neuronové sítě Má-li mít např. vstupní vrstva 66 neuronů, do kolonky No. of feature units: je zapsána 6, do kolonky Total delay length: 11 a do kolonky Z-coordinates of the plane: 0. Struktura vrstvy je potvrzena tlačítkem ENTER. Šířka Receptivní pole Délka zpoţdění Celková délka zpoţdění Receptivní pole po 3 krocích Počet hlavních jednotek Vstupní vrstva Skrytá vrstva Výstupní vrstva Obr. 4 Názvosloví TDDN v SNNS Stejně jako vstupní vrstva jsou editovány také skrytá vrstva (No. of feature units:3, Total delay length: 4, Z-coordinates of the plane: 0) a výstupní vrstva (No. of feature units: 1, Total delay length: 1, Z-coordinates of the plane: 0). Typ vrstvy se mění pomocí tlačítka TYPE, struktura vrstvy je uloţena aktivováním tlačítka ENTER. Tlačítkem POS je nastaveno uspořádání NS v grafickém vyjádření. Neuronová síť můţe být uspořádána doprava (right), doleva (left) nebo dolů (below)

67 Po definování struktury jednotlivých vrstev se ve spodní části Link editoru musí ještě jednotlivé vrstvy NS propojit. V prázdných pozicích pro Plane v Edit Linku se do Source zadává číslo výchozí vrstvy (pro vstupní=1, skrytá=2, výstupní=3) a do Target číslo skryté vrstvy. Do kolonky 1st feat. unit: se zadává souřadnice [1,1], do kolonky width se zadává šířka NS, z obrázku počet Feature Unit a do Delay Length se zadává délka zpoţdění znázorněná na obr 4. Pro příklad NS při propojovaní vstupní a skryté vrstvy se vloţí do Source 1, do Target 2, do dvojice políček 1st feat. unit: 1 a 1, width 6 a 3, Delay Length je 8 a následně se potvrdí ENTER. Poté je nutné opakovat stejný postup ještě pro skrytou a výstupní vrstvu. Do políčka Source 2, do Target 3, do dvojice políček 1st feat. unit: 1 a 1, width 3 a 1, Delay Length se zadá 4 a potvrdí se ENTER. Pro konečné vytvoření sítě je nutné stisknout tlačítko CREATE TD_NET. Tím je vytvořeno propojení pro všechny vrstvy. Struktura NS je zobrazena pomocí nabídky DISPLAY z panelu SNNS Manager. Ukázka tohoto okna je na obr. 5. Obr.5 Struktura neuronové sítě Neurony jsou propojeny stiskem tlačítka SETUP v okně DISPLAY, kde je nabídka links aktivována tlačítkem ON. Práce s oknem je ukončena pomocí DONE. Je-li

68 vytvořen návrh struktury NS a načteny soubory obsahující trénovací a kontrolní data, je moţné přejít k učení NS. Učení neuronové sítě Učení NS je uskutečněno pomocí nabídky CONTROL, která je aktivována z panelu SNNS Manager. Okno pro učení NS se skládá ze dvou částí. V horní části jsou definovány parametry pro učení NS, ve spodní části jsou čtyři řádky s volnými místy pro vyplnění parametrů učení a intervalu, v kterém budou váhy náhodně rozloţeny při inicializaci NS. Přednastavené hodnoty parametrů učení jsou (0.2 0) a přednastavená hodnota váhy je v intervalu ( ). Ukázka okna pro učení NS je na obr. 6. Obr. 6 Okno pro trénování a testování neuronové sítě Většina NS je před učením inicializována. Inicializace je aktivována pomocí tlačítka INIT v horním řádku. Interval, ve kterém budou náhodně rozloţeny hodnoty při inicializaci, je moţné změnit ve spodní části okna ve volných místech vedle názvu INIT. Pro učení frontální NS je většinou pouţíván algoritmus TimeDelayBackprop. Algoritmus učení je moţné vybrat aktivováním horního tlačítka SEL FUNC. Druhé tlačítko SEL. FUNC. slouţí k výběru aktualizační funkce (Update Function), pomocí které jsou neurony NS pouţívány postupně. Pořadí neuronů závisí na vybrané aktualizační funkci. Aktualizační funkcí pro Time-Delay neuronové sítě je TimeDelay_Order. Pomocí třetího tlačítka SEL. FUNC. je vybrána inicializační funkce, která slouţí k nastavení počátečních hodnot (vah). Z inicializačních funkcí je nejčastěji pouţívána funkce Randomize_Weights. Čtvrtým tlačítkem SEL. FUNC. je vybrána funkce, pomocí které je změněn poţadovaný výstup bez zásahu do trénovacího a kontrolního souboru (tzn. do souborů obsahujících vzory). Je moţné pouţít funkci Threshold, popřípadě i jiné

69 Učení NS je uskutečněno pro řadu cyklů, mnoţství cyklů se nastaví v horní části vedle názvu CYCLES. Všechny vstupní vzory (spojení vstup výstup) jsou pouţity v kaţdém cyklu. Někdy je dávána přednost náhodnému pouţití vzorů, tento náhodný výběr je proveden aktivováním tlačítka SHUFFLE. Před spuštěním učícího procesu je moţné aktivovat panel GRAPH, v kterém je zobrazena chyba procesu učení. V panelu GRAPH musíme ještě změnit v kolonce Display: SSE na MSE. Proces učení je aktivován tlačítkem ALL a ukončen pomocí tlačítka STOP. Tlačítko USE slouţí k výběru trénovacích (horní tlačítko USE) a kontrolních (validačních) dat (dolní tlačítko USE). Pokud je napsána nenulová hodnota vedle názvu VALID, budou pouţita kontrolní data a chyba pouţití těchto dat bude v grafu znázorněna červenou barvou, pokud bude napsána nula, budou kontrolní data vyřazena. Pomocí tlačítka TEST je moţné si postupně prohlédnout jednotlivé vzory (vstupní a výstupní hodnoty). Parametry LEARN slouţí k nastavení učení. Čím vyšší číslo je u prvního parametru tím lépe se NS učí. Druhý parametr udává s jakou chybou se má NS učit. Hodnoty určitého vzoru je moţno si prohlédnout dosazením čísla vzoru do volného místa vedle názvu PATTERN a aktivováním tlačítka GOTO nebo pouţitím šipek pro posun vedle tlačítka GOTO. Hodnoty vzorů se zobrazí na panelu DISPLAY. Hodnotami na výstupu jsou v tomto programovém systému targets (empirické výstupy). Zobrazení chyby učení neuronové sítě Pomocí nabídky GRAPH, která je aktivována z panelu SNNS Manager, je moţné zobrazit průběh chyby při učení NS na trénovacích i kontrolních datech. Ukázka okna s průběhem chyby je na obr. 7. Na x-ové ose je počet cyklů, na y-ové pak velikost chyby. Aktivováním nabídky CLEAR je graf vyčištěn pro další návrh NS. Šipkami je moţné měnit měřítko x-ové a y-ové souřadnice. Pomocí nabídky na pravé straně (kde je na obr. napsáno MSE) se mění způsob zobrazení chyby. Systém nabízí tyto moţnosti: - SSE (celková čtvercová chyba), - MSE (střední čtvercová chyba), - SSE/out (celková čtvercová chyba / počet výstupů). Práce s oknem je ukončena aktivováním nabídky DONE

70 Obr. 7 Průběh chyby při učení neuronové sítě Uloţení výsledků Výsledky navrţeného modelu lze uloţit pomocí nabídky FILE na panelu SNNS Manager a aktivováním tlačítka RES a pravé části okna FILE. Název souboru, do kterého mají být výsledky uloţeny, je zapsán do volného místa v pravé horní části okna FILE. Výběr adresáře pro uloţení souboru je proveden v levé části tohoto okna. Aktivováním tlačítka SAVE se objeví okno, které je znázorněné na obr. 8. Stiskem tlačítka DONE v tomto okně se výsledky uloţí. (Výsledky v jiném formátu se ukládají aktivováním nabídky NET v okně FILE). Obr. 8 Uloţení výsledků