Měření závislosti statistických dat

Transkript

1 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě své sedmnáctileté dcery. James Truslow Adams

2 Co se dozvíte o Asociace, kovariance a korelace, míry závislosti. o Modelování statistické závislosti. o Regresní přímka, metoda nejmenších čtverců. o Vybrané nelineární závislosti. o Měření kvality modelu. 2

3 Asociace míra závislosti mezi četnostmi výskytu hodnot dvou kvalitativních znaků X a Y v kontingenční tabulce hypotetické (očekávané) sdružené četnosti e ij pro nezávislé hodnoty x i a y j platí: e ij = n ij expected míra (ne)závislosti kvalitativních znaků G r počet řádků (obměn znaku X) s počet sloupců (obměn znaku Y) 3

4 Míry asociace [: chí kvadrát :] G jako Pearsonova χ 2 míra asociace znaků X a Y G = 0 G = n.h znaky X a Y jsou nezávislé znaky X a Y jsou maximálně závislé h = min (r - 1 ; s - 1) Cramerův kontingenční koeficient V V = 0 V = 1 znaky jsou nezávislé znaky jsou maximálně závislé 4

5 Příklad Je politická orientace závislá na vzdělání? n ij orientace levice střed pravice Σ e ij orientace levice střed pravice Σ vzdělání ZŠ SŠ VŠ vzdělání ZŠ 2,16 6,72 3,12 12 SŠ 4,32 13,44 6,24 24 VŠ 2,52 7,84 3,64 14 Σ Σ G ( 5 2,16) ( 5 6, 72) ( 3 3, 64) = = 7,11 2,16 6, 72 3, 64 Cramerův koeficient: 7,11 V = G n h = 50 2 = 0,27 slabá závislost 5

6 Kovariance kovariance s xy vyjadřuje vzájemný vztah proměnných X a Y pro populaci bude ve jmenovateli n vyjadřuje intenzitu lineární závislosti mezi X a Y s xy > 0 přímá (pozitivní) závislost X Y s xy < 0 nepřímá (negativní) závislost X Y s xy = 0 lineárně nezávislé veličiny 6

7 Korelace korelační koeficient r xy relativní vyjádření vztahu mezi X a Y 1 r xy + 1 vyjadřuje intenzitu lineární závislosti mezi X a Y r xy > 0 r xy < 0 r xy = 0 r xy = ±1 převažuje rostoucí závislost mezi x a y převažuje klesající závislost mezi x a y znaky x a y jsou lineárně nezávislé znaky x a y jsou lineárně závislé 7

8 Příklad korelační tabulka Lze dosažené známky z mikro (Mi) a Makro (Ma) ekonomie považovat za nezávislé veličiny? Mi \ Ma Σ Σ X známka z Mi Y známka z Ma střední hodnoty a rozptyly: x = = 1, y = = 1,68 50 s x ,82 = = 0, ,68 = = 0, s y 8

9 Příklad kovariance s xy ,82 1,68 = = 49 0,268 korelační koeficient 0,268 r xy = = 0,681 0,671 0,396 Mezi oběma předměty je slabá pozitivní závislost. 9

10 Regresní funkce korelace a regrese korelace vzájemný (lineární) vztah proměnných regrese matematické vyjádření vztahu mezi proměnnými regresní model: X 1... X k? Y Y = f(x 1, X 2,, X k ) + e deterministická složka lze vypočítat náhodná složka 10

11 Přečtěte si Matematické pojmy poskytují hlubší pohled na ekonomické koncepce a dodávají jim přesnost a jasnost. Mnoho ekonomických jevů může být bráno jako matematické proměnné, např. příjmy, výnosy, náklady, ceny, zásoby, atd. V ekonomii se snažíme určit vztahy mezi těmito proměnnými. Takovým speciálním případem vyjádření vztahů mezi proměnnými je regresní funkce. Doc. RNDr. Ing. Petr Fiala, CSc., MBA. Úvod do kvantitativní ekonomie 11

12 Jednoduchá lineární regrese Lineární regrese lineární regresní model y x rovnice regresní přímky [ x ; y ] i i [ ; ] x y ) i i body náležící souboru znaků X, Y body ležící na regresní přímce 12

13 Metoda nejmenších čtverců y i y ) i e i reziduum x i metoda nejmenších čtverců minimalizuje rozptyl hodnot kolem regresní přímky ) SSE = e = y y i ( ) 2 2 i i i i min! SSE Sum of Squared Errors 13

14 Koeficienty lineární regrese rovnice regresní přímky: regresní koeficient b 1 směrnice regresní přímky mezní přírůstek závisle proměnné Y X = 1 Y = b 1 koeficient b 0 průsečík regresní přímky s osou y přímka prochází těžištěm [ x ; y ] 14

15 Kvalita regresního modelu determinační koeficient R 2 rozptyl teoretických hodnot rozptyl empirických hodnot 0 R 2 1 jakou část variability závislé proměnné Y lze vysvětlit vlivem nezávislé proměnné X pro lineární modely je determinační koeficient druhou mocninou koeficientu korelace 15

16 Sdružené regresní přímky odhad proměnné Y pro X = x i odhad proměnné X pro Y = y i Regresní nůžky

17 Příklad závislost známek ze zkoušek mikro (X) a makro (Y): 0, 268 y = f(x) b 1 = = 0,39 b 0 = 1, 68 0,39 1,82 = 0,96 0,681 x y 1,35 1,74 2,13 0,268 x = g(y) a 1 = = 0, 40 a 0 = 1,82 0, 40 1, 68 = 1,15 0,671 y x 1,55 1,95 2,35 makro je lehčí než mikro 17

18 y Nelineární regresní modely parabolická (kvadratická) regrese Y Kvadratická regrese y = -0,0825x 2 + 4,423x + 19,415 R 2 = 0,919 hyperbolická regrese X Hyperbolická závislost Y - počet kontaktů / týden X - vzdálenost v m exponenciální regrese Exponenciální regrese y = 2,0758.1,072 x R 2 = 0, x 18

19 Parabolická regrese regresní funkce: řešíme soustavu rovnic: KDY? proměnná Y se mění rychleji než lineárně proměnná Y mění průběh 19

20 Hyperbolická regrese regresní funkce: rovnice lineární v parametrech (substitucí lze převést na lineární) KDY? modelování nepřímé úměrnosti proměnná Y konvexně klesá 20

21 Exponenciální regrese regresní funkce: rovnice linearizovatelná transformací (logaritmováním lze převést na lineární) KDY? proměnná Y roste rychleji než kvadraticky 21

22 Příklad nelineární regrese Tabulka uvádí závislost mezi vzdáleností pracovníků na pracovišti v metrech a četností jejich pracovních styků za týden: vzdálenost počet styků graf napovídá: použijeme hyperbolickou regresi

23 Příklad výpočtem dostaneme: kvalita modelu determinační koeficient: vypočteme rozptyly: 2 s y = 61 2 s Y = 54 R 2 2 sy = = 0,886 = 88, 6% 2 s y kvalita modelu je poměrně vysoká 23

24 Proč matematické modely? matematický model je abstraktní reprezentace ekonomických vztahů v reálném světě matematika zavádí přesnost do definic a vztahů matematika je jazyk, který usnadňuje sdělování ekonomických koncepcí matematické modely můžeme zkoumat nezávisle na realitě HMOTNOST = ,83 VÝŠKA -6,78 POHLAVÍ + 0,27 VĚK 24

25 Co Vás čeká příště Analýza časových řad o Časové řady a jejich rozklad. o Elementární analýza časové řady. o Analýza trendu, typy trendů časových řad. o Analýza sezónnosti, sezónní odchylky a indexy. o Prognózování budoucího vývoje. 25