Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo

Transkript

1 Booleovy algebry Irina Perfilieva 25. března 2010

2 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách

3 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách

4 Komplementární svazy Definice komplementárního svazu Svaz L = L,,, 0 se nazývá komplementární, jestliže ke každému prvku x L existuje právě jeden prvek x L tak, že platí x = x, (x y) = x y, x x = 0.

5 Příklad komplementárního svazu Komplementární svaz 0 = 1, 1 = 0, a = b, b = a. 1 a b 0

6 Příklad nekomplementárního svazu 1 Nekomplementární svaz 0 = 1, 1 = 0, Ostatní prvky nemají komplementy. d a c e b 0

7 Vlastnosti prvků v komplementárním svazu Operace může být vyjádřena pomocí výrazů s operací a naopak: Položíme 1 = 0, pak x y = (x y ) x y = (x y ). x = x = (0 x ) = 0 x = 1 x, odkud x 1, tj. 1 je největší prvek svazu. x x = x x = (x x) = 0 = 1.

8 Vlastnosti prvků v komplementárním svazu Operace může být vyjádřena pomocí výrazů s operací a naopak: Položíme 1 = 0, pak x y = (x y ) x y = (x y ). x = x = (0 x ) = 0 x = 1 x, odkud x 1, tj. 1 je největší prvek svazu. x x = x x = (x x) = 0 = 1.

9 Vlastnosti prvků v komplementárním svazu Operace může být vyjádřena pomocí výrazů s operací a naopak: Položíme 1 = 0, pak x y = (x y ) x y = (x y ). x = x = (0 x ) = 0 x = 1 x, odkud x 1, tj. 1 je největší prvek svazu. x x = x x = (x x) = 0 = 1.

10 Komplementy v distributivním svazu Věta V distributivním svazu má každý prvek nanejvýš jeden komplement. Důkaz provedeme sporem Necht y a z jsou různé komplementy x, tj. x y = x z = 1, x y = x z = 0. Pak 1 1 {}}{{}}{{}}{ y = y ( y x) = y ( z x) = (y z) ( y x) = (y z) (z}{{ x} ) = z (x y) = z, 0 0 odkud y = z. Je to spor!

11 Komplementy v distributivním svazu Věta V distributivním svazu má každý prvek nanejvýš jeden komplement. Důkaz provedeme sporem Necht y a z jsou různé komplementy x, tj. x y = x z = 1, x y = x z = 0. Pak 1 1 {}}{{}}{{}}{ y = y ( y x) = y ( z x) = (y z) ( y x) = (y z) (z}{{ x} ) = z (x y) = z, 0 0 odkud y = z. Je to spor!

12 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách

13 Definice Booleove algebry Definice Komplementární distributivní svaz L,,,, 0, 1 se nazývá Booleova algebra.

14 Definice Booleove algebry Definice Komplementární distributivní svaz L,,,, 0, 1 se nazývá Booleova algebra. 4 1 ZÁKLADNÍ POJMY - USPOŘÁ Příklad 1 {a, b, c} Necht B(A) je množina všech podmnožin množiny A. Pro libovolné X A definujeme X = A \ X. Pak B(A),,,,, A je Booleova algebra. {a, b} {a} {a, c} {b} {b, c} {c} Na obrázku je B(A) znázorněno pro A = {a, b, c}.

15 Definice Booleove algebry Definice Komplementární distributivní svaz L,,,, 0, 1 se nazývá Booleova algebra. Příklad 2 Dvouprvková množina {0, 1} s operacemi disjunkce, konjunkce a negace je Booleova algebra 2 = {0, 1},,,, 0, 1.

16 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

17 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

18 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

19 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

20 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

21 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

22 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

23 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

24 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

25 Seznam identit Booleovy algebry a b = b a, a b = b a komutativita a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) a (a b) = a, a a = a, asociativita distributivita a (a b) = a absorpce a a = a idempotentnost a 0 = a, a 0 = 0 zákony 0 a 1 = 1, a 1 = a zákony 1 a a = 1, a a = 0 (a b) = a b, (a b) = a b De Morganovy zákony a = a dvojitá negace

26 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách

27 Věta o izomorfismu Každý izomorfismus vzhledem k uspořádání mezi Booleovými algebrami je izomorfismus Booleových algeber.

28 Zobecněné De Morganovy zákony Necht (a i ) je libovolná množina prvků Booleovy algebry B. Jestliže v každé rovnosti ( i I a i ) = i I a i, ( i I a i ) = i I a i jedna strana existuje, pak i ta druhá existuje a obě jsou si rovny.

29 Zobecněný distributivní zákon Každá Booleova algebra splňuje následující zobecněný distributivní zákon: (a i b) = ( a i ) b, i i pokud obě strany existují.

30 Věta o reprezentaci I Úplně distributivní Booleova algebra Booleova algebra je úplně distributivní, jestliže pro každou množinu prvků (a ij ) i I,j J platí a ij = a iα(i), I J α J I za podmínky, že levá nebo pravá strana rovnosti existuje. I Věta o reprezentaci Booleova algebra, která je úplná a úplně distributivní, je izomorfní s B(A) pro nějakou neprázdnou množinu A.

31 Věta o reprezentaci I Úplně distributivní Booleova algebra Booleova algebra je úplně distributivní, jestliže pro každou množinu prvků (a ij ) i I,j J platí a ij = a iα(i), I J α J I za podmínky, že levá nebo pravá strana rovnosti existuje. I Věta o reprezentaci Booleova algebra, která je úplná a úplně distributivní, je izomorfní s B(A) pro nějakou neprázdnou množinu A.

32 Věta o reprezentaci II Každá konečná Booleova algebra je izomorfní s B(A) pro nějakou konečnou množinu A.

33 Normální formy Atomy Booleovy algebry Prvek a B, kde B je Booleova algebra, se nazývá atom, jestliže a > 0 a neexistuje b a takové, že b > 0 a b a. Necht B je Booleova algebra a A je množina jejích atomů. Pak každý prvek x B může být jednoznačně reprezentován dvěma formami x = a a A, a x a x = a. a A, a x

34 Normální formy Atomy Booleovy algebry Prvek a B, kde B je Booleova algebra, se nazývá atom, jestliže a > 0 a neexistuje b a takové, že b > 0 a b a. Necht B je Booleova algebra a A je množina jejích atomů. Pak každý prvek x B může být jednoznačně reprezentován dvěma formami x = a a A, a x a x = a. a A, a x

35 Normální formy. Ilustrace 1 b x a c 0 x = b c x = a