Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Transkript

1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta

2 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice, různé charakteristiky Matice a lineární zobrazení, resp. změny souřadných soustav 12.1 Matice a jejich hodnost Definice Obdélníkové schéma sestavené z reálných čísel a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn nazýváme (reálnou) maticí typu m n. Prvek a ij se nazývá ij-tý koeficient matice A. Množinu všech reálných matic typu m n značíme R m n. Je-li m = n, říkáme, že matice je čtvercová řádu n. Podobně definujeme množinu komplexních matic typu m n a značíme ji C m n, lze takto definovat množinu matic nad libovolným tělesem. Definice (Jednotková matice) Čtvercová matice řádu n tvaru se nazývá jednotková matice. I = Definice (Nulová matice) Čtvercovou matici A typu m n, pro kterou a i,j {1,..., n} nazveme nulová matice a označíme 0. = 0 i {1,..., m}, j Definice (Prostory související s maticí) Buď A matice typu m n nad tělesem K. Potom jsou s ní spojené tyto vektorové prostory: sloupcový prostor, též sloupcový modul podprostor K m generovaný sloupci A řádkový prostor, též řádkový modul podprostor K n generovaný řádky A 2

3 jádro matice (Ker A) podprostor K n generovaný všemi řešeními soustavy Ax = 0 Je zřejmé, že elementární maticové úpravy nemění ani řádkový prostor, ani jádro. Definice (Hodnost matice) Hodnost matice A je maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A (jako vektorů), značíme ji rank(a). Hodnost matice je rovna dimenzi sloupcového prostoru (to je ekvivalentní definice). (O hodnosti matice) Pro libovolnou matici A typu m n je dimenze jejího sloupcového prostoru rovna dimenzi řádkového prostoru. Tedy hodnost matice je rovna i dimenzi řádkového prostoru a platí rank(a) min{m, n} Pro horní trojúhelníkové matice je tato skutečnost zřejmá, dokazuje se, že Gaussova eliminace (tj. elementární maticové úpravy násobení vhodnou regulární maticí zleva) nemění hodnost sloupcového prostoru (při operacích s řádky). (O dimenzích maticových prostorů) Pro matici A s n sloupci platí: dim(ker A) + rank(a) = n Poznámka Po provedení Gaussovy eliminace na matici A ( A R ) je hodnost matice A rovna počtu nenulových řádků matice A R. Definice (Regulární matice) Čtvercová matice A se nazývá regulární, jestliže soustava má jediné řešení x = 0 (tzv. triviální). Ax = 0 V opačném případě se nazývá singulární (tj. platí Ax = 0 pro nějaký vektor x 0) Operace s maticemi a jejich vlastnosti Součet a násobení skalárem 3

4 Definice (Sčítání) Nechť A, B jsou matice typu m n. Potom jejich součtem A+B nazýváme matici typu m n s koeficienty (A + B) ij = A ij + B ij pro i = 1,..., m; j = 1,..., n. Jsou-li A, B různých typů, potom součet A + B není definován. Definice (Násobení skalárem) Nechť A, B jsou matice typu m n a α skalár. Potom α A je matice typu m n s koeficienty (α A) ij = α A ij pro i = 1,..., m; j = 1,..., n. Nikdy nepíšeme A α. Lemma (Vlastnosti součtu matic a násobení matic skalárem) Nechť A, B, C jsou matice typu m n a α, β skaláry. Potom platí: 1. A + B = B + A (komutativita) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (asociativita) 3. A + 0 = A (existence nulového prvku) 4. A + ( 1)A = 0 (existence opačného prvku) 5. α(βa) = (αβ)a 6. 1 A = A 7. α(a + B) = αa + αb (distributivita) 8. (α + β)a = αa + βa (distributivita) Tedy prostor matic typu m n odpovídá vektorovému prostoru. Násobení Definice (Maticové násobení) Je-li A matice typu m p a B matice typu p n, potom A B je matice typu m n definaná předpisem (A B) ij = p A ik B kj k=1 pro i = 1,..., m; j = 1,..., n. Lemma (Vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, α skalár. Potom 1. Jestliže součin (AB)C je definován, potom i součin A(BC) je definován a platí (AB)C = A(BC). 2. Jestliže A(B + C) je definován, potom i AB + AC je definován a platí A(B + C) = AB + AC. 4

5 3. Jestliže (A + B)C je definován, potom i AC + BC je definován a platí (A + B)C = AC + BC. 4. Je-li AB definován, je α(ab) = (αa)b = A(αB) 5. Je-li A typu m n, potom I m A = AI n = A. Násobení matic není komutativní - tj. obecně neplatí AB = BA. (O hodnosti součinu matic) Pro matici A typu m p a matici B typu p n platí: rank(ab) min{rank(a), rank(b)} Řádkový prostor AB je určitě podprostorem řádkového prostoru matice B a sloupcový prostor AB podprostorem sloupcového prostoru matice A. Transpozice Definice Pro matici A R m n definujeme transponovanou matici A T R n m předpisem (A T ) ji = A ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n) Lemma (Vlastnosti transpozice) 1. (A T ) T = A 2. jsou-li A, B stejného typu, je (A + B) T = A T + B T 3. (αa) T = αa T, pro každé α R 4. je-li AB definován, je i B T A T definován a platí (AB) T = B T A T. Definice (Symetrická matice) Matice A se nazývá symetrická jestliže A T = A. Pro každou matici A R m n je A T A symetrická. Pro každou matici A R m n platí rank(a T ) = rank(a). 5

6 12.3 Inversní matice Ke každé regulární matici A R n n existuje právě jedna matice A 1 vlastností AA 1 = A 1 A = I R n n s Naopak, existuje-li k A R n n matice A 1 s touto vlastností, potom je A regulární. Definice Matici A 1 s touto vlastností nazýváme inversní maticí k matici A. Poznámka Inverzní matici mají tedy právě regulární matice. Důsledek Je-li A regulární, je i A 1 regulární. (Inversní matice je oboustranně inversní) Jestliže pro A, X R n n platí XA = I, potom A je regulární a X = A 1. Analogicky, jestliže AX = I, potom A je regulární a X = A 1. Je-li A R n n regulární, potom pro každé b R n je jediné řešení soustavy Ax = b dáno vzorcem x = A 1 b. (Výpočet inversní matice) Pro čtvercovou matici A řádu n nechť je matice (A I) (tj. zřetězení sloupců matice A a jednotkové matice I řádu n) převedena Gauss-Jordanovou eliminací na tvar (I X). Potom platí: X = A 1 Jestliže Gauss-Jordanova eliminace není proveditelná až do konce, potom A je singulární a nemá inversní matici. Víme, že Gauss-Jordanova eliminace je vlastně opakované násobení regulárními maticemi zleva. Součin všech těchto matic označme Q. Označme H,j j-tý sloupec nějaké (obecné) matice. Potom pro j {1,..., n} platí: (I X),j = I,j = Q(A I),j = (QA),j, tedy QA = I, dále platí (I X),n+j = X,j = (QI),n+j = Q,j, takže Q = X a tedy AX = I. (Vlastnosti inversní matice) Nechť A, B R n n jsou regulární matice. Potom platí: 1. (A 1 ) 1 = A 2. (A T ) 1 = (A 1 ) T 3. (αa) 1 = 1 α A 1 pro α 0 4. (AB) 1 = B 1 A 1 6

7 12.4 Regulární matice, různé charakteristiky (Násobení regulární maticí a hodnost) Pro čtvercovou regulární matici R řádu m a matici A typu m n platí: rank(ra) = rank(a) Nerovnost plyne přímo z věty o hodnosti součinu matic použité pro RA, opačná nerovnost z téže věty, použité na matici R 1 (RA) = A. (Násobení regulárních matic) Jsou-li A 1, A 2,..., A q R n n regulární, q 1, potom A 1 A 2... A q je regulární. Plyne přímo z předchozí věty. Poznámka (Podmínky regularity) Čtvercová A R n n je regulární matice, právě když: Její řádky jsou lineárně nezávislé Její sloupce jsou lineárně nezávislé Její hodnost je právě n A T je regulární A 1 je regulární Další charakteristiky regulárních matic: Matice A je regulární právě když je determinant nenulový. Právě když po provedení Gaussovy-Jordanovy eliminace dostaneme jednotkovou matici. Právě když lze napsat jako součin matic E k E 2 E 1 I n, kde I n je jednotková matice a E 1 E k jsou elementární matice (odpovídají elementárním řádkovým úpravám, které matici A převádí na redukovaný, řádkově odstupňovaný tvar) Matice a lineární zobrazení, resp. změny souřadných soustav Definice Nechť V, W jsou vektorové prostory nad stejným tělesem (R nebo C). Zobrazení f : V W nazýváme lineárním zobrazením jestliže 1. f(x + y) = f(x) + f(y) pro každé x, y V 2. f(α x) = α f(x) pro každé x V a každý skalár α. 7

8 Definice (Souřadnicový vektor) Nechť B = (x 1,..., x n ) je báze V. Každý vektor x V lze potom vyjádřit právě jedním způsobem jako lineární kombinaci vektorů báze B. Potom aritmetický vektor [x] B = nazýváme souřadnicovým vektorem vektoru x v bázi B (a n = dimv a souřadnicový vektor závisí na výběru báze). Definice (Matice lineárního zobrazení) Nechť B = {x 1,..., x n } je báze vektorového prostoru V, B = {y 1,..., y m } je báze vekt. prostrou W a nechť f : V W je lineární zobrazení. Potom pro každé j = 1,..., n lze f(x j ) zapsat právě jedním způsobem ve tvaru f(x j ) = α 1. α n m α ij y j. i=1 Matice A = (α ij ) R m n se nazývá maticí lineárního zobrazení f vzhledem k bázím B, B a značí se [f] BB. Pozorování [f] BB. je matice sestavená ze sloupců ([f(x 1 )] B,..., [f(x n )] B ), které jsou souřadnicovými vektory vektorů f(x 1 ),..., f(x n ) v bázi B. Nechť B je báze V, B je báze W, a nechť f : V W je lineární zobrazení. Potom pro každé x V platí [f(x)] B = [f] BB.[x] B, kde napravo stojí maticový součin. (Složené zobrazení a maticový součin) Nechť f : U V, g : V W jsou lineární zobrazení a nechť B, B, B jsou báze U, V, W. Potom platí [g f] BB = [g] B B [f] BB kde napravo stojí maticový součin. (Matice inversního zobrazení) Je-li f : V W isomorfismus, potom inversní zobrazení f 1 : W V je rovněž isomorfismus a vzhledem k libovolným bázím B, B prostorů V, W platí: [f 1 ] B B = [f] 1 BB 8

9 (Změna souřadnic vektoru při změně báze) Nechť jsou dány dvě báze B, B vektorového prostoru V. Potom pro každé x V platí: [x] B = [id V ] BB.[x] B Matice [id V ] BB se nazývá maticí přechodu od báze B k bázi B. Poznámka Předchozí vzorec vyžaduje znalost hodnot vektorů staré báze B v nové bází B. Typická situace ale je, že máme jen starou bázi B a pomocí ní vyjádříme novou bázi B. V tom případě můžeme použít vzorec [x] B = [id V ] 1 B B [x] B 9