KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura"

Transkript

1 Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/ KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1

2 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení do matematického uvažování, zejména matematického dokazování. Studenti matematiky zpravidla bývají seznamováni s důkazy za pochodu. Je jim přednášena ta která matematická teorie včetně důkazů a očekává se, že student časem vnikne do matematického uvažování, a sám se naučí důkazy číst 1, modifikovat i tvořit. Jiného názoru byli pánové Rowan Garnier a John Taylor, kteří napsali skvělou knihu 100% Mathematical Proof ([3]), jejíž hlavní cíl je seznámení čtenáře s hlavními principy axiomatické metody, která je matematice vlastní, a zejména představení struktury důkazů, jejich typů a tvorby. Kniha je psána velmi přístupným způsobem a pomalu a systematicky uvádí čtenáře do této problematiky. Je ji schopen číst každý maturant. Možná vhodnější knihou je How to prove it : a structured approach od D. Vellemana [7], kde je důraz kladen na naučení studentů tvořit vlastní důkazy. Jsou tam ukázány různé tipy a strategie při dokazování konkrétních i typových tvrzení. Obě tyto knihy naleznete v univerzitní knihovně. Zmiňme ještě do češtiny přeloženou knihu Matematické důkazy od německého autora R. Thieleho ([4]), kde je spíš vědecko-populárním způsobem čtenář seznámen se základními principy matematiky. Může se zde dovědět spoustu zajímavostí, které se na matematické přednášce nedozví, ale které by vědět mohl/měl. Pozornosti by vám nemělo uniknout ani skriptum Úvod do matematiky od M. Závodného [8]. Lze jen konstatovat, že česky psané literatury věnované principům matematického dokazování příliš mnoho není. Zato v angličtině je jich celá řada (stačí napsat v nějakém internetovém vyhledávači klíčová slova proof, mathematical proof, mathematical thinking, mathematical proving, apod.). Hlavním nástrojem používaným při usuzování je matematická logika. Pro naše potřeby bude stačit přečíst část první kapitoly elektronického skripta [1] nebo třeba úvod a první paragrafy první kapitoly knihy [5]. Studentům, které logika zaujala, je možno doporučit třeba poslední kapitolu skripta [2], stejně jako knihy [5] a [6] (vše je v češtině). Veškerá zde zmíněná literatura je dostupná v univerzitní nebo vědecké knihovně. Axiomatická metoda základní pojmy Ve zkratce zmiňme princip axiomatické metody, na které je založena každá moderní matematická teorie. Základem každé matematické teorie je tzv. axiomatický systém. Axiomatický systém je souhrn základních pojmů (tzv. primitiv) a axiomů. Základní pojem neboli primitivum je objekt axiomatického systému, popř. vlastnost objektu, vztah mezi objekty nebo operace nad nimi, který stojí na začátku teorie a je ponechán bez vysvětlení. Axiom je tvrzení o základních pojmech (popř. o pojmech odvozených viz dále), které opět stojí na počátku teorie a jsou považována za pravdivá. Dříve se axiomy chápaly jako něco natolik zřejmého, že to nebylo potřeba dokazovat. Dnes jsou chápány jako předpoklady příslušné teorie. 1 Čtením důkazu se rozumí jeho pochopení. 2

3 Matematická teorie kromě axiomatického systému obsahuje definované/odvozené pojmy a věty. Definovaný/odvozený pojem je pojem odvozený ze základních pojmů, nebo pojmů již dříve definovaných. Pojem je uveden v život v tzv. definici. Věta je pravdivé tvrzení o základních nebo definovaných pojmech, jejíž pravdivost logicky plyne z axiomů či jiných vět. Demonstraci pravdivosti se říká důkaz. Tvrzení o kterém nevíme, zda je v dané teorii pravdivé, říkáme hypotéza. Tento popis je velmi stručný. V následujících seminářích všechny pojmy postupně zpřesníme. Základním prostředkem vyjadřování a dokazování bude výrokový a zejména predikátový počet. Formální způsob vyjadřování byl zvolen proto, abychom se nemuseli zabývat různými logickými paradoxy. Z didaktických důvodů se prvních pár přednášek budeme bavit (jednodušším) výrokovým počtem, zpřesníme pojmy jako tvrzení, logicky plyne nebo důkaz atp. Výrokový počet základní pojmy Následuje suchý popis potřebných pojmů. Pro potřeby tohoto semináře je pár věcí zamlčeno a zjednodušeno. Pro korektnější výklad je vřele doporučena první kapitola skript [1]. Výrok Výrok budeme chápat jako tvrzení/větu, o které má smysl uvažovat, zda je pravdivé či nepravdivé. Přitom výrok není pravdivý ani nepravdivý současně. Pravdivostní hodnota výroku Každému výroku lze přiřadit tzv. pravdivostní hodnotu. A to bud pravda zkráceně 1 pokud je výrok pravdivý, nebo nepravda zkráceně 0 pokud je výrok nepravdivý. Logické spojky Ve výrokové logice nás budou zajímat logické spojky a jejich použití při vytváření nových výroků. Budou nás zajímat pouze ty nejznámější spojky a to unární spojka negace a binární spojky konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence. Negace Jde o tzv. unární spojku, protože nepracuje s více výroky ale pouze s jedním. Negace se značí symbolem a používá se následovně. Je-li A výrok, pak jeho negace se značí A a čte neplatí A. Např. negaci výroku prší můžeme číst jako neplatí, že prší nebo neprší. Pravdivostní hodnoty negace: Je-li výrok A pravdivý, pak A je nepravdivý. 3

4 Je-li výrok A nepravdivý, pak A je pravdivý. Přehledně tato fakta můžeme zobrazit v tzv. pravdivostní tabulce: Konjunkce A A Konjunkce je tzv. binární spojka, protože spojuje dva výroky. Konjunkce se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich konjunkce se značí A B a čte platí A a (současně) platí B. Např. konjunkci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako měl jsem na oběd knedlík a zelí. Pravdivostní hodnoty konjunkce: Výrok A B je pravdivý pouze v případě, že jsou pravdivé oba dva výroky A a B. Pravdivostní tabulka: Disjunkce A B A B Disjunkce se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich disjunkce se značí A B a čte platí A nebo platí B. Např. disjunkci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako měl jsem na oběd knedlík nebo zelí. Pravdivostní hodnoty disjunkce: Výrok A B je nepravdivý pouze v případě, že jsou nepravdivé oba dva výroky A a B. Pravdivostní tabulka: A B A B U této spojky je nutné zdůraznit, že se nepoužívá ve smyslu vylučovacím, jak tomu většinou bývá při používání v běžné řeči. Např. je-li výrok měl jsem na oběd knedlík nebo zelí, znamená to, že jsem mohl mít oboje běžně bychom tento výrok pochopili tak, že jsem na oběd neměl tyto dvě jídla současně. Implikace Implikace se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich implikace se značí A B a čte platí-li A, pak platí i B nebo jestliže A, pak B. Dokonce se někdy říká platí B, jestliže platí A. Např. implikaci výroků měl 4

5 jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako jestliže jsem měl na oběd knedlík, pak jsem měl (na oběd) i zelí. Pravdivostní hodnoty implikace: Výrok A B je nepravdivý pouze v případě, že A je pravdivý a B je nepravdivý. Tuto definici si lze pamatovat pomocí hesla pravda nemůže implikovat nepravdu, ale nepravda může implikovat cokoliv. Pravdivostní tabulka: A B A B Narozdíl od předchozích spojek je implikace pro začátečníka poměrně obtížnou spojkou. Je potřeba si uvědomit, že pravdivost výroku A B nic neříká o pravdivosti výroků A a B ale pouze o vztahu jejich pravdivostních hodnot. Zejména nic neříká o platnosti výroku A! V implikaci A B se výroku A říká předpoklad (premisa) a výroku B závěr. Dále, platí-li implikace A B, pak se říká, že výrok A je postačující podmínkou výroku B a také, že výrok B je nutnou podmínkou výroku A. Ekvivalence Ekvivalence se značí symbolem a používá se následovně. Jsou-li A, B výroky, pak jejich ekvivalence se značí A B a čte platí A právě tehdy, když platí B. Např. ekvivalenci výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí můžeme číst jako Měl na oběd knedlík právě tehdy, když jsem měl zelí. Pravdivostní hodnoty ekvivalence: Výrok A B je pravdivý pouze v případě, že A a B mají stejnou pravdivostní hodnotu. Pravdivostní tabulka: A B A B Stejně jako u implikace, pravdivost výroku A B nic neříká o pravdivosti výroků A a B ale pouze o vztahu jejich pravdivostních hodnot. Zajímavé je, že u ekvivalence nemá tolik lidí problém s pochopením, jako u implikace. Jednoduchý versus složený výrok Výroky typu měl jsem na oběd knedlík budeme chápat jako jednoduché výroky. Výroky poskládané z takových jednoduchých výroků pomocí logických spojek budeme nazývat složenými, např. výrok měl jsem na oběd knedlík a zelí lze chápat jako složený výrok vytvořený pomocí kojunkce z jednoduchých výroků měl jsem na oběd knedlík a měl jsem na oběd zelí. 5

6 Výroková forma Ve výrokové logice nás nebude zajímat smysl ani pravdivost jednoduchých výroků, ale jen tvar (forma) složených výroků. Například z hlediska výrokové logiky pro nás následující výroky mají stejný tvar: Jestliže jsem měl na oběd knedlíky a zelí, pak 2+2 = 4 a Jestliže včera svítilo slunce a pršelo, pak je sníh červený. Evidentně jde o úplně různé výroky mluvící o různých věcech, které mohou mít různou pravdivostní hodnotu. Něco mají ovšem společné a to tvar (formu). Oba se dají zapsat ve tvaru (A B) C, kde v prvním případě jsme označili písmenem A výrok měl jsem na oběd knedlíky, písmenem B výrok měl jsem na oběd zelí, písmenem C výrok = 4, a v druhém případě jsme označili písmenem A výrok včera svítilo slunce, písmenem B výrok včera svítilo slunce a pršelo, písmenem C výrok sníh je červený. Říkáme pak, že ty dva uvedené výroky jsou instancemi výrokové formy (a b) c, kde písmenům a, b, c se říká výrokové proměnné. Dostáváme se tak k pojmu formalizující pojem výrok ve výrokovém počtu. Výroková forma bude řetězec symbolů poskládaných z tzv. symbolů výrokové logiky, což jsou výrokové symboly, např. a, b, p, q,..., symboly výrokových spojek, a to,,,,, pomocné symboly, což jsou kulaté závorky (, ), popř. pro zvýšení přehlednosti lze použít i hranaté. Výroková forma neboli formule výrokového počtu nebo jen formule je bud výrokový symbol (tzv. výroková proměnná), nebo jsou-li α, β výrokové formy, pak jsou výrokovými formami i výrazy α, (α β), (α β), (α β), (α β), přitom vnější závorky formule lze vynechat. Například řetězec symbolů (a b) c je výrokovou formou. A to z toho důvodu, že 1. a, b jsou výrokové symboly, tedy i výrokové formy, 2. pak (a b) je také výrokové forma, 3. c je výrokový symbol, tedy i výroková forma, 4. pak ((a b) c) je výroková forma 5. a odebráním vnějších závorek dostáváme, že i (a b) c je výroková forma. 6

7 Nutno podotknout, že symboly výrokové logiky jsou opravdu jen symboly. Nejde tedy o logické spojky ale o jejich označení. Podrobnosti viz [1]. Popsali jsme tedy, jak vypadá výroková forma tj. popsali jsme její syntaxi. Nyní se podíváme na sémantiku 2 výrokových forem. K tomu je potřeba pojem pravdivostní ohodnocení. Tím budeme intuitivně rozumět přiřazení pravdivostních hodnot 1 a 0 k výrokovým proměnným. Detaily opět najdete v [1]. Při daném pravdivostním ohodnocení lze spočítat pravdivostní hodnotu dané formule a to podle již definovaných pravdivostních tabulek. Tzn. pro výrokové formule a, b definujeme a a a b a b a b a b a b Mějme například formuli (a b) c o třech výrokových proměnných. Jedním z pravdivostních ohodnocení je např., že symbolu a přiřadíme 1, symbolu b přiřadíme 0 a symbolu c přiřadíme 1. Pak podle výše uvedené tabulky má formule (a b) ohodnocení 0 a podle stejné tabulky má formule (a b) c ohodnocení 1. To lze přehledně zapsat do tabulky: a b c a b (a b) c Do formule lze za výrokové proměnné dosazovat jiné formule. Dostáváme tak další formuli. Značení: Výroky budeme značit velkými písmeny (tj. A, B, C,...), výrokové proměnné malými písmeny (a, b,..., p, q,...) a výrokové formy malými písmeny řecké abecedy (α, β,..., ϕ, η,...). Pokud by nám došly symboly, budeme používat dolní indexy (např. A 1, A 2,...). Pravidlo nahrazení Mějme formuli α s výrokovými proměnnými a 1,..., a n a formule β 1,..., β n. Pak nahrazením všech výskytů proměnných a 1,..., a n ve formuli α postupně formulemi β 1,..., β n vznikne opět formule. Instance výrokové formy Dosadíme li do výrokové formy za výrokové proměnné konkrétní výroky, vzniklému (složenému) výroku říkáme instance výrokové formy. Pravdivostní tabulka výrokové formy Tato tabulka podobně jako pravdivostní tabulky logických spojek dává pravdivostní hodnoty jakékoliv formule při všech možných pravdivostních ohodnoceních. Např. pravdivostní tabulka formule (a b) c vypadá takto 2 Zhruba řečeno, syntaxe je o zápisu a sémantika je o významu/smyslu. 7

8 a b c a b (a b) c V posledním sloupci jsou přehledně shrnuty pravdivostní hodnoty formulí při odpovídajícím pravdivostním ohodnocení výrokových proměnných (ve stejném řádku). Ostatní sloupce napravo od rozdělovací čáry jsou pouze pomocné. Tautologie Tautologie je výroková forma, která je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení. Prakticky to lze ověřit snadno. Stačí sestavit pravdivostní tabulku této formule. Formule je pak tautologií právě tehdy, když ve sloupci této formule jsou samé jedničky. Tautologiím se také říká logické zákony. Budou pro nás základním nástrojem při dokazování. Zde je seznam některých důležitých tautologií. 1. (p q) (q p) 2. (p q) (q p) 3. (p (q r)) ((p q) r) 4. (p (q r)) ((p q) r) 5. (p (q r)) ((p q) (p r)) 6. (p (q r)) ((p q) (p r)) 7. (p q) ( p q) 8. (p q) ( p q) 9. p p 10. (p q) ( p q) 11. (p q) ( q p) 12. (p (p q)) q 13. ( q (p q)) p 14. (p q) ((p q) (q p)) Ověření, že jde skutečně o tautologie, je dobrým cvičením na práci s pravdivostními tabulkami formulí. 8

9 Kontradikce Naopak kontradikce je výroková forma, která je nepravdivá při každém pravdivostním ohodnocení. Zřejmě platí, že negace tautologie je kontradikce a naopak. Ještě je nutno dodat, že vznikne-li formule z jiné nahrazením všech výskytů jejích proměnných formulemi, je tautologií (resp. kontradikcí), jestliže původní formule byla tautologií (resp. kontradikcí). Splnitelná formule Splnitelná formule je taková, která je pravdivá při alespoň jednom pravdivostním ohodnocení. Platí, že formule je splnitelná právě tehdy, když není kontradikce. Cvičení Následující cvičení jsou povětšinou převzaty (popř. přeloženy) z doporučené literatury, kde je jich možno najít více. Úloha 1.1 Vypočtěte, kolik existuje unárních a kolik binárních spojek. Úloha 1.2 Necht A, B jsou výroky. Odpovězte na následující otázky (při řešení je možno s výhodou použít pravdivostní tabulky příslušných spojek): 1. Známe-li pravdivostní hodnotu výroku A, co lze říct o pravdivostní hodnotě výroku A? 2. Je-li výrok A B pravdivý a B nepravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? 3. Je-li výrok A B pravdivý a B pravdivý, lze něco říct o pravdivosti výroku A? 4. Je-li výrok A B nepravdivý a B pravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? 5. Je-li výrok A B nepravdivý a B nepravdivý, lze něco říct o pravdivosti výroku A? 6. Je-li výrok A B pravdivý a A pravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku B? 7. Je-li výrok A B nepravdivý a B nepravdivý, co lze říct o pravdivosti výroku A? Odpovědi na otázky je potřeba zažít (ale ne nabiflovat!), abyste je mohli kdykoliv v budoucnu bez přemýšlení použít. (Toto cvičení slouží k osvojení sémantiky základních spojek, zejména implikace.) Úloha 1.3 Uvažujme následující výroky: C: Budu mít více času. K: Naučím se hrát na klavír. P : Zdvojnásobím si plat. 9

10 Zapište pomocí symbolů C, K, P a logických spojek následující výroky: 1. Jestliže budu mít víc času, zdvojnásobím si plat, ale nebudu se učit hrát na klavír. 2. Jestliže budu mít víc času, pak se budu učit hrát na klavír, a když budu mít více času, pak si zdvojnásobím plat. 3. Jestliže se budu učit hrát na klavír, pak nebudu mít více času a ani si nezdvojnásobím plat. 4. Jestliže si zdvojnásobím plat a naučím se hrát na klavír, nebudu mít více času. 5. Jestliže budu mít více času, naučím se hrát na klavír, a jestli se naučím hrát na klavír, zdvojnásobím si plat. (Toto cvičení slouží k tomu, aby student byl schopen okamžitě překládat z běžné řeči do formálního jazyka výrokové logiky.) Úloha 1.4 Uvažujme následující výroky: S: Slunce svítí. V : Vítr fouká. D: Prší. T : Teplota roste. Proved te: 1. Napište česky následující složené výroky: (a) V ( S D), (b) (V D) S, (c) (V D) T, (d) (S V ) (D T ). 2. Za předpokladu, že výroky S, V, D, T jsou všechny pravdivé, zjistěte, která následující složené výroky jsou pravdivé a které ne: (a) (S V ) ( D T ), (b) (S D) (T V ), (c) ((D T ) (V S)). (Část 1. tohoto cvičení slouží k tomu, aby student byl schopen okamžitě překládat z formálního jazyka výrokové logiky do běžné řeči.) Úloha 1.5 Pomocí pravdivostní tabulky ověřte, že formule v části Tautologie jsou opravdu všechny tautologiemi. (Toto cvičení je zaměřeno k procvičení určování pravdivostních hodnot logických spojek a také k zapamatování důležitých tautologií, které budou hrát v dalším významnou roli.) 10

11 Reference [1] Bělohlávek, R., Vychodil, V., Diskrétní matematika pro informatiky I., UP Olomouc, [dostupné online: ] [2] Bělohlávek, R., Vychodil, V., Diskrétní matematika pro informatiky II., UP Olomouc, [dostupné online: ] [3] Garnier, R., Taylor, J., 100% Mathematical Proof, John Wiley & Sons, Chichester, [4] Thiele, R., Matematické důkazy, SNTL, Praha, [5] Sochor, A., Klasická matematická logika, Karolinum, Praha, [6] Švejdar, V., Logika: neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha, [dostupné také online: svejdar/book/logikasve2002.pdf ] [7] Velleman, D.J., How to prove it : a structured approach, Cambridge University Press, New York, [8] Závodný, M., Úvod do matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci, Olomouc,

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3 Predikátový počet Uvažujme následující úsudek.

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky

Více

Formální systém výrokové logiky

Formální systém výrokové logiky Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více

Klasická výroková logika - tabulková metoda

Klasická výroková logika - tabulková metoda 1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot

Více

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7 1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není

Více

Výroková logika. p, q, r...

Výroková logika. p, q, r... Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože

Více

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků

Více

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,

Více

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Cvičení z logiky II.

Cvičení z logiky II. Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Matematika pro informatiky KMA/MATA Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast

Více

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

přednáška 2 Marie Duží

přednáška 2 Marie Duží Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,

Více

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23 Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.    horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot

Více

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této 1.4.4 Implikace Předpoklady: 010403 Implikace Implikace libovolných výroků a,b je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak, píšeme a b a čteme jestliže a, pak b. Výroku a se říká

Více

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami

Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce

Více

Logika Libor Barto. Výroková logika

Logika Libor Barto. Výroková logika Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....

Více

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více

Příklad z učebnice matematiky pro základní školu:

Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

2.2 Sémantika predikátové logiky

2.2 Sémantika predikátové logiky 14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky

Více

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, 1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni

Více

Logika, výroky, množiny

Logika, výroky, množiny Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17 Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní

Více

1 Výrok a jeho negace

1 Výrok a jeho negace 1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

Systém přirozené dedukce výrokové logiky

Systém přirozené dedukce výrokové logiky Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY RADIM BĚLOHLÁVEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Normální formy. (provizorní text)

Normální formy. (provizorní text) Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

Logika. 1. Úvod, Výroková logika

Logika. 1. Úvod, Výroková logika Logika 1. Úvod, Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte

Více

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence

1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence 1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence Předpoklady: 1401, 1402 Pedagogická poznámka: Látka zabere spíše jeden a půl vyučovací hodiny. Buď můžete využít písemku nebo se podělit o čas s následující

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. Obsah 1 Úvod do fuzzy logiky 2 Úvod do aplikací fuzzy logiky 3 Výroková

Více

1 Úvod do matematické logiky

1 Úvod do matematické logiky 1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

7 Jemný úvod do Logiky

7 Jemný úvod do Logiky 7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,

Více

Výroková logika syntaxe a sémantika

Výroková logika syntaxe a sémantika syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být

Více

- existuje..., negace: pro všechny neplatí,... - pro všechna..., negace: existuje, že neplatí,...

- existuje..., negace: pro všechny neplatí,... - pro všechna..., negace: existuje, že neplatí,... .4.0 Formální logika shrnutí Předpoklady: 00409 Shrnutí logiky Důležité znalosti konjunkce, a b, "a", pravda, jen když jsou oba výroky pravdivé (jako průnik) disjunkce, a b, "nebo", lež, jen když jsou

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

1.4.6 Negace složených výroků I

1.4.6 Negace složených výroků I 1.4.6 Negace složených výroků I Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Dlouho jsem se v počátcích své praxe snažil probrat negace za jednu hodinu. Tvorba negací je skvělým procvičováním schopnosti dodržovat

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o...

Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o... Logika 5 Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1 Logika je věda o.... slovech správném myšlení myšlení Otázka číslo: 2 Základy

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Úvod do teoretické informatiky

Úvod do teoretické informatiky Úvod do teoretické informatiky Zdeněk Sawa Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 11. února 2018 Z. Sawa (VŠB-TUO)

Více

Základy informatiky. Výroková logika

Základy informatiky. Výroková logika Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés

Více

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení 1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Kapitola Výroky

Kapitola Výroky 1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny

Více

Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.

Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika

Více

Úvod do výrokové a predikátové logiky

Úvod do výrokové a predikátové logiky Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:

SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady: ARNP 1 2015 Př. 1 SLOŽENÉ VÝROKY Motivační příklad společné zadání pro další příklady: Byly vysloveny následující výroky (vhledem k budoucímu času se jedná o hypotézy) : b: Na přednášku přijde Barbora.

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM

Více