2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

Transkript

1 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se matice mohou chápat jako vektory definici maticového násobení včetně povolených typů činitelů a typu výsledné matice základní vlastnosti maticového násobení Klíčová slova této kapitoly: sčítání matic, násobení matic číslem, maticové násobení (součin matic) Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 0,5 hodiny (teorie + řešení příkladů)

2 Součet matic Definice Matice C je součtem matic A, B právě tehdy, jsou-li všechny tři matice téhož typu a platí-li, že každý prvek matice C je součtem stejnolehlých prvků matic A, B Matematický zápis: C= A+ B ik, : cik = aik + bik Věta Pro libovolné matice A, B, C stejného typu a nulovou matici 0 téhož typu platí: a) A+ 0= A (nulový prvek) A+ B+ C = A+ B + C= A+ B+ C (asociativnost) b) ( ) ( ) c) A+ B= B+ A (komutativnost) d) ( ) T T T A+ B = A + B Násobení matice číslem Definice Součinem matice A = ( ) a čísla α je matice = ( ) a ik jejíž prvky platí bik = α aik Matematický zápis: B stejného typu jako matice A, pro b ik B= αa ik, : bik = α aik Věta Pro libovolné matice A, B stejného typu a libovolná čísla α, β platí: a) 1 A= A (jednotkový prvek) α + β A= αa+ βa (distributivnost) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) α A+ B = αa+ αb (distributivnost) α β A = αβ A= αβ A (asociativnost) e) ( ) T T α = α A A Poznámka Z definic sčítání matic a násobení matic číslem plyne, že množina všech matic daného typu s výše uvedenými operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem tvoří vektorový prostor Platnost většiny axiomů vektorového prostoru byla ověřena v předchozích dvou větách Na matice tedy můžeme, pokud je to výhodné, pohlížet jako na vektory a definovat i další vektorové operace, např normu, skalární součin apod Maticové násobení Definice Součinem matice A = ( a ik ) typu ( mp, ) a matice B = ( b ik ) typu (, ) C = ( ) typu ( mn, ), pro jejíž prvky platí: c ik pn nazýváme matici

3 c p = a b ik ij jk j= 1 Zapisujeme C= AB nebo i s tečkou C= A B Poznámka a) Součin matic je definován pouze tehdy, je-li počet sloupců první (levé) matice roven počtu řádků druhé (pravé) matice b) Prvek c ik součinu C= AB je vlastně skalárním součinem i -tého řádku matice A a k - tého sloupce matice B c) Máme-li součin AB, říkáme, že matice A násobí matici B zleva nebo také, že matice B násobí matici A zprava Toto rozlišení je nutné, neboť neplatí komutativní zákon, tzn obecně AB BA Věta Pro libovolné matice A, B, C takových typů, aby pro ně níže uvedené operace byly definovány, platí: a) AE = EA = A (jednotkovým prvkem je jednotková matice E ) A+ B C= AC+ BC, A ( B + C)= AB + AC (distributivnost) b) ( ) c) A ( BC ) = ( AB) C = ABC (asociativnost) d) ( ) T T T AB = B A Důkaz Důkazy všech čtyř tvrzení se dají provést snadno rutinním rozepsáním maticových součinů podle definice, což přenecháváme čtenáři Poznámka Při aplikacích pozor zejména na vlastnost d) týkající se transpozice součinu matic, která není intuitivně zřejmá

4 Shrnutí kapitoly: Základními operacemi s maticemi jsou maticový součet a násobení matice číslem Součet matic stejného typu provádíme tak, že sčítáme jednotlivé stejnolehlé prvky Při součinu matice a čísla jednoduše násobíme tímto číslem všechny prvky matice V obou případech je výsledná matice téhož typu jako matice výchozí Z definic uvedených operací plynou jejich vlastnosti Ukazuje se, že množina matic stejného typu spolu s uvedenými operacemi vyhovuje axiomům vektorového prostoru V tomto smyslu můžeme na matice pohlížet jako na vektory Velmi důležitou a trochu komplikovanější operací je maticové násobení Jeho přesnou definici je třeba znát Maticové násobení je povoleno pouze pro takovou dvojici matic, kdy počet sloupců první matice je roven počtu řádků druhé matice U výsledné matice je počet řádků dán počtem řádků první matice a počet sloupců počtem sloupců druhé matice Maticový součin je asociativní a distributivní (vzhledem ke sčítání matic), není však komutativní, a to ani v případě, kdy je přehození pořadí matic typově dovoleno (např u čtvercových matic) Maticový součin zapisujeme analogicky jako součin dvou čísel: C= AB nebo C= A B Otázky: Jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti? Jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti? Dají se matice chápat jako vektory? Za jakých podmínek a proč? Podejte přesnou definici maticového násobení Formulujte jasně, jakého typu musí být jednotliví činitelé, jakého typu je výsledek a jak vypadá formule pro výpočet jednotlivých prvků výsledné matice Uvažte, zda platí následující tvrzení: při výpočtu prvku, který je v i -tém řádku a k -tém sloupci výsledné součinové matice, hrají roli pouze prvky v i -tém řádku první matice a v k -tém sloupci druhé matice Které základní zákony platí a které naopak neplatí pro maticový součin? Jak vypadá vzorec pro transpozici součinu matic?

5 Příklad 1 Vypočtěte součin matic a) b) c) d) e) f) Řešení příkladů: 8 5 1a) b) c) 1 0 1d) f) e) Další zdroje: 1 POLÁK, J Přehled středoškolské matematiky 6 vyd Praha: Prometheus, POLÁK, J Středoškolská matematika ZÁVĚR: v úlohách I 1 vyd Praha: Prometheus, POLÁK, J Středoškolská [Tady matematika klepněte v úlohách II 1 a vyd pište] Praha: Prometheus, REKTORYS, K a spol Přehled užité matematiky 6 přepr vyd Praha: Prometheus, 1995