Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Transkript

1 LINEÁRNÍ ALGEBRA

2 Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava souřadnic, u které jsou souřadné osy vzájemně kolmé a protínají se v jednom bodě - počátku soustavy souřadnic. R, R Vektor Některé veličiny nelze popsat jedním číslem (jako skalár) Zjednodušené chápání vektor je uspořádaná n-tice Reálných čísel, které zapisujeme (a, a,, a n ) (x Vektor má svojí velikost a směr, x,, x n ) Ekonomika skládající se ze výrobků V ekonomice existují ceny (P, P, P ) y A =,5,,6- Vektor graficky Orientovaná úsečka s počátečním bodem v počátku (,,) a koncovým bodem v bodě (5,,6) P P P z 6 5 x

3 Definice: Vektory a = a,, a n, b = b,, b n z V n vektorového prostoru Jsou si rovny, jestliže jsou si rovny odpovídající souřadnice těchto vektorů Definice: Součet vektorů a = a,, a n, b = b,, b n Definujeme vztahem a = (5,) b = (,6) a + b = (6,8) Odčítání stejný princip y 8 a 6 b a 5 a + b = (a + b,, a n + b n ) b 6 x y 4 Definice Reálný násobek vektoru a = Definujeme vztahem y a z 6 a 5 c. a = c. a,, c. a n. a = (,4) A =,5,,6- x a,, a n Komutativní 5 zákon Asociativní zákon Distributivní zákon stejné jako u matic

4 Lineární kombinace Definice: Nechť jsou dány vektory x = (x x k )k N. Existují-li čísla c, c k taková, že platí rovnost x = c. x + c. x + c k. x k Pak říkáme, že vektor x je lineární kombinací (LK) vektorů x x k. Čísla c, c k nazýváme koeficienty lineární kombinace. Česky: Jestli jsme schopni z nějakých vektorů vytvořit Jiný vektor, který uplácán (vytvořen z lineární kombinace) Z těch nějakých vektorů c + c = 4 c + c = c + c 6 = x =,, x =,,6 c = 4 c = c Pochopení LK důležité pro další část x = 4,, + c 6 = 4

5 Lineární kombinace x = c. x + c. x + c k. x k Triviální lineární kombinace Netriviální lineární kombinace c =c = = c k = když alespoň jedno c Množinu všech lineárních kombinací nazveme lineárním obalem Vektorový prostor (lineární prostor) Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace sčítání vektorů, násobení skalárem + některá omezením (asociativita atd.) Tím dospějeme ke struktuře zvané vektorový prostor Množina vektorů kdy pro každý vektor z této množiny jsou splněny konkrétní aritmetické operace + určitá omezení Se nazývá vektorový prostor

6 Lineární závislost a lineární nezávislost Lineární kombinace Triviální lineární kombinace c =c = = c k = Netriviální lineární kombinace když alespoň jedno c Definice: Vektory x,, x r se nazývají lineárně závislé Jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace Která je rovna nulovému vektoru Tedy jestli existují reálná čísla c,, c r z nichž alespoň jedno je různé od nuly A platí c. x + + c r. x r = x =,, c + c 6 = c + c = c + c = c + c 6 = x =,,6 c + c = 4 c + c = α + c 6 = x = 4,, c + c 6 = 4 c = c = c = 4 c =

7 Vektory jsou lineárně nezávislé (LN) když POUZE jejich triviální lineární kombinace dává nulový vektor c. x + + c r. x r = c =c = = c k = c c 6 = x = c. x + c. x + c k. x k Definice: Vektory x,, x r se nazývají lineárně závislé Jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace Která je rovna nulovému vektoru x = 5,7, x =,6, Věta : Pokud jsou vektory lineárně závislé Potom se dá jakýkoliv z těchto vektorů vyjádřit jako lineární kombinace těch ostatních Vektory jsou svázány Lineární nezávislost Vektory nejsou svázány 6 =. x =,, x =,,6 c + c 6 = Hodnost matice nám pomůže určit LZ/LN c = c =

8 Skalární součin Skalární součin vektorů x = x,, x n, y = y,, y n Je reálné číslo, které je definováno vztahem xy = x y +x y + +x n y n Pokud výsledkem skalárního součinu je NULA Vektory jsou na sebe kolmé Norma vektoru (x T. x) / = Vyjadřuje délku vektoru, neboli vzdálenost bodu určeného souřadnicemi x,,x n od počátku x Úhel svírající vektory cosα = n i= x x i. y i y x T. x. x T. y y T. y

9 Matice Definice: Maticí rozumíme uspořádaný soubor reálných či komplexních čísel O m řádcích a n sloupcích r=,,m A = (a rs ) s=,,n a řádek,sloupec Matice má rozměr m x n A = a a a a a n a n a m a m a mn A = 4 Definice: Jestliže m=n, říkáme, že matice je čtvercová. Pokud m n, říkáme, že matice je obdélníková. (hlavní) Diagonálou matice rozumíme vektor diag A = (a, a, ) n znaků m- domácností Matice 4 x Dom. Dom. Dom. Dom. 4 B = C Y

10 Definice: Jednotkovou maticí I rozumíme takovou matici která má na diagonále jedničky a na ostatních pozicích má nuly I = A. I = I. A = A Definice: Nulovou maticí O rozumíme matici ve tvaru O = A + O = A A + ( A) = A = a a a a a n a n a m a m a mn A = 4 O =

11 Co může představovat maticový zápis ) Může se jednat o soubor vektorů ) Symbolický zápis soustavy lineárních rovnic 9 Matice proměnných A x + y = x y = (A b) Vektor pravých stran b 8 8

12 Lineární operace s maticemi Součet, násobení matice číslem α R, násobení matic A + B = a a a a + A + B = + + ( ) b b b b = = Násobení matice číslem α R α. A = α. a α. a α. a α. a a + b a + b a + b a + b A + B = B + A Komutativní zákon α =. A = A = 4 B = 6 Pokud α, β jsou reálná čísla a A,B matice stejného typu (třeba x) pak platí α A + B = αa + αb α + β. A = αa + βa α. β. A = α. β. A = 8 8 ( + )A = 5 5 (. A) = A + O = A A + ( A) = A + A = 4 A + O = 4 +. B = O =. A = 6 9. A + B = 8 8 A + A = A = 6 8 4

13 Násobení matic Máme matici A (rozměry m x p) a matici B (rozměry p x n) Součinem získáme matici C (rozměry m x n) Neplatí komutativnost!!!ab BA!!! A. B = = 4. 6 B. A = = ( ).. + ( ) = 5 5 = 8 A. B = A = = B = =

14 a) Násobení s jednotkovou maticí IA=AI=A b) Asociativnost A(BC)=(AB)C c) α. AB = A αb (A+B).C=AC+BC A.(B+C)=AB+AC

15 !!!Upozornění!!! Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové označujeme jako horní trojúhelníkovou matici Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

16 Gaussova eliminační metoda Cílem převést matici na jiný tvar Věta: Každou matici lze převést elementárními úpravami na horní trojúhelníkový tvar tj. matici, která pod diagonálou obsahuje samé nuly Mezi elementární úpravy patří: Změna libovolných dvou řádků Vynásobení řádku nenulovým číslem Připočtení jednoho řádku k druhému Vynecháme řádek, který je LK ostatních Matici pak označujeme A Potřebuji řádek vydělit α = Vynásobím jej /α A = 7 8. ( ) ,

17 Převedení na dolní trojúhelníkový tvar nám pomůže při řešení např. soustav x + y = x y = x + y = y = Poptávka vs. Nabídka P D = 5Q P S = 5 + Q P D 5Q = P S Q = y = x = Pro matice x Průnik rovin i IS BP LM Y

18 Hodnost matice Definice: Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A Se nazývá hodnost matice A - h(a) x y z 4 4 Číslo pro které platí 6 9 d A = n h(a) Nazýváme defektem matice A řádků h A = n počet neznámých proměnných d A = = Využití u LN/LZ 6 9 h A h A = m vektory jsou lineárně nezávislé < m vektory jsou lineárně závislé Jak určit hodnost? řádků h A = d A = = Věta : Pokud jsou vektory lineárně závislé Dá se jakýkoliv z těchto vektorů vyjádřit jako lineární kombinace těch ostatních

19 h(a) min *m, n+ Věta: Jestliže v matici A zaměníme pořadí sloupců Pak takto vzniklá matice má s maticí A stejnou hodnost Hodnost s pravou stranou x + x 4x = 7 x x = 4 7 Hodnost matice je číslo, které určuje maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Platí, že maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice. Definice hodnosti je tedy platná také pro maximální počet lineárně nezávislých sloupců.

20 Regulární a singulární matice Čtvercové matice dělíme na: Regulární Singulární Definice: Čtvercovou matici A nazveme regulární právě tehdy, když h(a)=n V opačném případě mluvíme o singulární matici h(a)<n Jakákoli regulární matice má d(a)= d A = n h(a) Jakákoli singulární matice má d(a)>

21 Inverzní matice Věta: Nechť je A regulární matice o rozměru n x n (čtvercová) pak existuje matice označíme ji A O rozměru n x n, pro kterou platí AA = A A = I Tuto matici nazveme inverzní maticí k A A = 5 A I ~ (I A ) /5 /5 /5 /5 /5 /5 5 5 A = 5 5 5

22 Transponovaná matice Definice: Nechť A, která vznikne z A tak, Že zaměníme řádky za sloupce Přičemž zachováme jejich pořadí Se nazývá matice transponovaná k matici A Z matice m x n získáme matici n x m A = A T (A ) = A h A = h(a ) A = 4 B = 4 5 A = 4 B = 4 5

23 Báze a dimenze Definice: Nechť jsou dány vektory x,, x n V n. Řekněme, že tyto vektory tvoří bázi ve V n právě tehdy, když Jsou lineárně nezávislé a každý vektor z V n lze vytvořit jako jejich lineární kombinaci Dimenzí vektorového prostoru nazýváme počet vektorů, které tvoří bázi x = x = x = a + + a + + a = = Lineárně nezávislé Z každého vektoru lze vytvořit LK ostatních Dimenze =

24 Hlavní, vedlejší sloupec, zarážky Jak zjistit, které sloupcové vektory jsou lineární kombinací ostatních? Sloupce, které nejsou LK ostatních nazveme jako hlavní sloupce ( ) Ostatní sloupce označíme jako vedlejší (x) U velkých matic x možný problém Odrážky a zarážky ) Upravíme zadanou matici na horní trojúhelníkový tvar ) Po levé straně a uděláme svislou čáru ) Pokračujeme vodorovně, dokud nenarazíme na další nenulové číslo Sloupec, který neobsahuje po své levé straně ani jednu zarážku je vedlejší s. Tedy je LK některého z ostatních sloupců lineární závislost Vhodné pro určování báze, dimenze, hodnosti 4 7 A = x 4 4 B = 4

25 Soustavy lineárních rovnic Definice: Nechť jsou dána čísla a rs, b r, kde r =,,, m a s =,,, n. Pak soustavou m lineárních rovnic o n neznámých rozumíme a x + a x + +a n x n = b a x + a x + +a n x n = b a m x + a m x + +a mn x n = b m Ax = b Rozšířená matice soustavy A = a a a a a n a n x = a m a m a mn x x x n b = b b b m Matice soustavy Neznámý vektor Vektor pravých stran b = homogenní soustava Ax = b nehomogenní soustava Ax = b

26 Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy 4,5 x + x + 4x = 7,5x x x = 7 ~ 4 7 5,5 x + x + 4x = 7 x x x =,5 h= hodnost matice soustavy h r = hodnost rozšířené matice soustavy h = h r = Při řešení soustavy může nastat jeden ze tří případů ) Soustava lineárních rovnic nemá řešení ) Soustava lineárních rovnic má právě jedno řešení ) Soustava lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení 4 Věta: Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení. Dále h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení b) Jestliže h<n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení kdy za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla 7 h = h r = Maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice

27 4 x + x 4x = 7 7 x t = x x = x = 5 + t x = + t x = t h = h r = Frobeniova věta n = Volíme jednu neznámou libovolné reálné číslo t Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy x +. + t 4t = 7 x = 5,, + t. (,,) x x x = 5 + t. Obecné řešení soustavy t = speciální partikulární řešení Které se nazývá základní řešení soustavy Věta: Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení. Dále h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení b) Jestliže h<n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení kdy za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla Pro hodnost matice platí, že maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice x = Partikulární řešení soustavy Zvolíme konkrétní t Získáme jedno konkrétní řešení x = 5 + = 7 x = + = t = x = (7,,)

28 Řešení soustavy My již známe Gaussovu eliminaci Další možnost je použití determinantů Cramerovo pravidlo Jordanova eliminační metoda Pomocí inverzní matice Ax = b x = A. b h = h Soustavu lineárních rovnic převedeme na r = n = ekvivalentní soustavu lineárních rovnic zjednodušené 5x = x = 5 Soustavu považujeme za ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení stejné výsledky Věta: Jestliže v rozšířené matici soustavy uděláme jakékoli elementární řádkové úpravy, dostaneme matici které odpovídá ekvivalentní soustava lineárních rovnic x +. 5 = x = Česky: Elementární úpravy známe z Gaussovy eliminace Tedy věta ospravedlňuje použití Gaussovy a Jordanovy eliminační metody x = ( 4 5, 5 )

29 Homogenní soustava lineárních rovnic A = a a a a a n a n x = a m a m a mn Ax = b x x x n b = b b b m b = homogenní soustava 4 Ax = x = t x = t x = t a a a a Věta: Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení. Označíme-li h hodnost matice soustavy, n počet neznámých, potom platí: a) Jestliže h=n, pak má hom. soustava jediné řešení x=(,,) b) Jestliže h<n, pak má hom. soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla. Ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy!!!vždy splněna!!! x t = x +. t 4t = x = t. (,,) x x = t. x

30 Využití v ekonomii D = 5 P + P + P A = a a a a a n a n a m a m a mn S = 4 + P + P D = S x = x x x n b = b b b m D = 6 + P P + P D = S Ax = b S = + P D = + P + P 4P S = + P + P D = S A = x = P P P b = 9 7 5P + P P = 9 P + 5P P = P = P P + 7P = 7

31 Determinant matice Determinant je reálné číslo, které je jednoznačně přiřazeno Každé ČTVERCOVÉ MATICI. Značíme det A Determinant druhého řádu Determinant třetího řádu a Sarrusovo pravidlo Nezapomínat co může představovat matice A Determinant (číslo) specifikuje určité vlastnosti matice a a a a = a a a a 4 5 =.5.4 =- a a a a a a a a a a a a a a a = ( ) = 5 = a a a + a a a + a a a (a a a + a a a +a a a )

32 Laplaceova věta Využití u čtvercových matic 4x4 a více Rozvoj podle m-tého řádku / n-tého sloupce Sloupec = ( ) +.. +( )+.. +( )+.. = 6 Řádek Subdeterminant (minor) = ( ) +.. +( )+.. +( )+.. = 6

33 Užitečné věty Věta: Jsou-li A a A navzájem transponované čtvercové matice pak det A= det A Věta: Pro řádkové úpravy determinantu platí: a) Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c, potom se číslem c násobí celý determinant = = = 4 4 = b) Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko 4 c) Přičteme-li k některé řadě (sloupci) matice A libovolný násobek jiného řádku (sloupce) Determinant se nezmění Věta: Je-li čtvercová matice A trojúhelníková, Pak její determinant je roven součinu prvků na diagonále = = 5 = = 4 8 = 8 8 = 6 =

34 Věta: Čtvercová matice A je regulární tehdy a jen tehdy, když Její determinant je různý od nuly Matice A je singulární tehdy a jen tehdy, když je determinant roven nule Spočítám determinant a určím typ matice Regulární Můžeme určit A - Řádky a sloupce jsou LN Hodnost je =m (n) Singulární NEmůžeme určit A - Řádky a sloupce jsou LZ Hodnost je <m b= (homogenní) Když det A soustava má triviální řešení - Když det A= soustava má nekonečně mnoho řešení b (nehomogenní) Když det A soustava má řešení Když det A= potom: a) h(a)=h r (A) nekonečně mnoho řešení b) h(a) h r (A) nemá řešení (FB)

35 Cramerovo pravidlo Pomáhá při řešení soustav lineárních rovnic (jiný přístup než Gaussovo eliminace) Věta: (Cramerovo pravidlo) Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x,, x n Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení Které se dá zapsat ve tvaru x j = det A j A A j matice, která vznikne z matice soustavy A Po náhradě j-tého sloupce, sloupcem pravých stran soustavy a x + a x = b a x + a x = b a a a a b b a a a a První sloupec nahradím b Druhý sloupec nahradím b x = x = b a b a a a = a a a b a a b a = a a