5.1.6 Vzájemná poloha dvou přímek

Transkript

1 5.1.6 Vzájemná oloha dvou římek Předoklady: 5105 Planimetrie: dvě možností ro vzájemnou olohu římek různoběžky rávě jeden solečný bod (různý směr) rovnoběžky žádný solečný bod (stejný směr) Př. 1: Najdi všechny možné vzájemné olohy římek v rostoru a modeluj je omocí tužek. Možnosti vzájemné olohy dvou římek v rostoru: různoběžky rávě jeden solečný bod (různý směr, určují rovinu) rovnoběžky žádný solečný bod (stejný směr, určují rovinu) mimoběžky žádný solečný bod (různý směr, neurčují rovinu, tato možnost nemůže nastav v rovině) určit vzájemnou olohu římek, které si můžeme rohlédnout z více stran není těžké, horší je to okud máme k disozici ouze rovnoběžný růmět Pedagogická oznámka: U všech následujících říkladů by se studenti měli snažit určit olohu římek nejdříve ouze z obrázku, ak nakreslením obrázku ři ohledu z jiné strany a terve jako definitivní otvrzení nebo oslední záchranu by měli oužívat krychličky. Př. 2: Je dána standardní krychle. Urči vzájemnou olohu římek: a), b) S, c), SS d), SS e), a), zdá se, že římky a jsou různoběžné, ale jejich růsečík na růmětně je ouze zdánlivý: římka leží v řední stěně římka leží v zadní stěně nikdy se nemohou rotnout římky a jsou mimoběžné, což snadno uvidíme na ohledu z boku 1

2 b) S, S zdá se, že římky a S jsou různoběžné, ale jejich růsečík na růmětně je ouze zdánlivý: římka leží v dolní odstavě římka S se s dolní odstavou rotíná ouze v bodě nikdy se nemohou rotnout římky a S jsou mimoběžné, což snadno uvidíme na ohledu z boku S c), SS S zdá se, že římky a S jsou různoběžné, jejich růsečík existuje i ve skutečnosti: římka leží v dolní odstavě římka SS leží v dolní odstavě musí se rotnout římky a SS jsou různoběžné, což snadno uvidíme na ohledu z boku S 2

3 S S d), SS S S zdá se, že římky a SS jsou rovnoběžné: římka je kolmá na řední stěnu římka SS je kolmá na řední stěnu mají stejný směr římky a SS jsou rovnoběžné, což snadno uvidíme na ohledu z boku S S e), zdá se, že římky a jsou různoběžné. Jak se řesvědčíme, že růsečík oravdu existuje? římka je kolmá k řední stěně římka je kolmá k řední stěně římky a jsou rovnoběžné body,,, leží v jedné rovině římky a leží v jedné rovně jsou rovnoběžné, což otvrzuje i ohled z boku 3

4 Pedagogická oznámka: U ředchozího říkladu studenti ři samotném rozeznávání samozřejmě ostuují značně rozdílnými rychlostmi. Ty rychlejší můžete brzdit tím, že o nich budete chtít nejed rozhodnout vzájemnou olohu, ale i odrobně zdůvodnit výsledek zůsobem oužívaným v učebnici. U slabších studentů bude stačit, když budou schoni vzájemné olohy rozlišit. Stejně jako v rovině i v rostoru latí: aným bodem lze vést k dané římce jedinou rovnoběžku. Př. 3: olň větu: Jsou dány tři římky,, r. Je-li a r, ak latí. Jsou dány tři římky,, r. Je-li a r, ak latí r. V matematice říkáme, že rovnoběžnost římek je tranzitivní (řenáší se). Př. 4: S využitím tranzitivnosti dokaž, že ve standardní krychli latí SS SS o obrázku si můžeme řikreslit římku. S S S S S S S S Je vidět: 4

5 S S S Přímka je rovnoběžná s římkou SS (sojuje středy rotilehlých stran a dělí obdélník na dvě oloviny). římky SS a SS jsou rovnoběžné. S Přímka je rovnoběžná s římkou SS (sojuje středy sousedních stran ve čtverci a je tedy rovnoběžná s jeho úhloříčkou). Poznámka: Příklad je ukázkou důležitého řístuu ve stereometrii. Příklad rozdělíme na části, které řešíme v jednotlivých rovinách. Práce v rovinách nám jednak umožňuje oužívat obrázky nezkreslené romítáním a jednak je daleko snazší ro utváření ředstav. odatek: Předchozí říklad ředstavuje také řešení říkladu 9 z minulé hodiny. Když víme, že římky SS a SS jsou rovnoběžné, víme, že tyto římky určují rovinu a body S, S, S, S v této rovině leží. 5

6 Př. 5: Urči vzájemnou olohu římek, na obrázcích: a) b) a) římka leží v levé boční stěně její růsečík s římkou je skutečný bod římka leží v zadní stěně její růsečík s římkou je skutečný bod obě římky se s římkou rotínají ve stejném bodě, který je jejich růsečíkem římky, jsou různoběžné b) římka leží v levé boční stěně její růsečík s římkou je skutečný bod římka leží v ravé boční stěně nemá růsečík s římkou obě římky leží ve dvou různých navzájem rovnoběžných rovinách nemohou mít růsečík římky, jsou mimoběžné 6

7 Př. 6: Urči vzájemnou olohu římek, na obrázcích (růměty, které se zdají být rovnoběžné, jsou rovnoběžné): b) a) b) a) římka leží v zadní stěně, je svislá římka rochází zadní stěnou (bod na hraně ) i řední stěnou (bod na hraně ) v zadní stěně není svislá římky, mají různý směr, nerotínají se římky, jsou mimoběžné k římce můžeme najít v rovině odstavy římku, která je s ní rovnoběžná a je rovnoběžná s římkou římky, jsou rovnoběžné Př. 7: Petáková: strana 90/cvičení 1 a) b) c) d) strana 90/cvičení 5 a) Shrnutí: Ve stereometrii není všechno tak, jak se na rvní ohled z obrázku zdá. 7