Tenzorový popis fyzikálních vlastností

Transkript

1 Tenzorový popis fyzikálních vlastností Typ veličin skalární - hmotnost, objem, energie, teplo,... vektorové - intenzita elektrického a magnetického pole, gradient teploty a koncentrace, difúzní tok,... tenzorové - mechanické a elektrické napětí, deformace, difúzní koeficient,... Tenzor vyjadřuje závislost fyzikální vlastnosti na krystalografickém směru. 1

2 Příklady Pyroelektrický jev P = p T max = 3 komponenty Elektrická vodivost j = σe max = 9 komponent Difúzní tok J = D c max = 9 komponent Mechanická deformace ε = S σ 2

3 Nezávislé složky tenzorů vlastností B = T A ijk... ijk... lmn... lmn... řád p řád p + q řád q Skupina Fyzikální veličiny Nezávislé složky 1 skalár skalár 1 2 skalár vektor 3 3 skalár symetrický tenzor 6 4 skalár nesymetrický tenzor 9 vektor vektor 5 vektor symetrický tenzor 18 6 vektor nesymetrický tenzor 27 7 symetrický tenzor symetrický tenzor 36 8 symetrický tenzor nesymetrický tenzor 54 9 nesymetrický tenzor nesymetrický tenzor 81 3

4 Redukce nezávislých složek díky symetrii Bodová grupa mm mmm m /m /mmm m-3m Elektrická vodivost v kubických krystalech je skalár Další redukce díky zákonu zachování energie (a ik = a ki ) 4

5 Fyzikální vlastnost v určitém směru Vlastnost T Hodnota vlastnosti T ve směru q [ T ] q = i k Pro symetrický tenzor c T i ik p i = k [ T ] = c k T p q ik q k q c cos(, ) k = q xk p i p = Tikqck = k = ci pi = [ T ] = T + T c c q c1 + T22c2 + T33c3 + 2T12c1c 2 + 2T23c2c3 2 i Směrové kosiny i 13 k k 1 qt c T i 3 ik ik c c k k Kvadrika i k x T i ik x k =1 [ T ] c2c3 c = 1 r 1 2 Plocha druhého stupně pro kladné T ii elipsoid 5

6 Youngův modul 6

7 Neumannův princip Symetrie fyzikální vlastnosti nemůže být nižší, než je symetrie daná bodovou grupou krystalu. Grupa G T operací symetrie fyzikální vlastnosti T krystalu musí obsahovat všechny operace symetrie bodové grupy K tohoto krystalu. Grupa K je tedy podgrupou grupy G T, K G T. Speciální aplikace: Index lomu kubických krystalů je popsán degenerovaným elipsoidem (koulí). Totéž platí pro (anizotropní) teplotní kmity atomů. Naopak: Nejvyšší možnou symetrii krystalu lze určit ze symetrie jeho (fyzikálních) vlastností 7

8 Voigtův princip Pro splnění Neumannova principu je postačující invariantnost složek tenzoru T (tenzoru fyzikálních vlastností) při operacích symetrie grupy K (krystalové symetrie). Tenzor fyzikální vlastnosti se nesmí měnit při žádné operaci grupy symetrie K krystalu. Aplikace: Vztahy mezi jednotlivými komponentami tenzoru T lze určit působením operací symetrie na T. Př. dvojčetná osa podél x 2, c' 1 = c1, c' 2 = c2, c' 3 T 12 = T23 = 0 = c 3 4 nezávislé složky 8

9 Curieův princip Krystal změní svoji bodovou symetrii pod vlivem vnějšího působení tak, že zachová pouze ty prvky symetrie, které jsou společné s prvky symetrie tohoto působení. ~ K = K G K... bodová grupa symetrie krystalu G... grupa prvků symetrie vnějšího působení 9

10 Při skalárním působení nemůže dojít ke změně symetrie (např. teplotní roztažnost). Kubický krystal m-3 Homogenní jednoosé mechanické napětí ve směru [001] /m (2/m, 2/m, 2/m ) Ortorombická mmm Elektrické pole ve směru [001] mmm Ortorombická mm2 Ztráta středu symetrie 10

11 Strukturní fázové přechody BaTiO 3 nad 405 K kubický, m-3m, paraelektrický 278 K < T < 405 K Polarizace <001> Grupa 4mm, tetragonální ferolektrická fáze 183 K < T < 278 K Polarizace <110> Grupa mm2, ortorombická ferolektrická fáze T < 183 K Polarizace <111> Grupa -3m, trigonální ferolektrická fáze 11

12 Symetrie 32 bodových grup

13

14

15

16 Příklady Bodové symetrie

17 I... anorganické 72 % a, m, o O... Organické 94 % a, m, o I... anorganické 82 % centrosymetrické O... Organické 75 % centrosymetrické Populace bodových grup ve vyskytujích se strukturách

18 Látky, které mohou být Piezoelekrické 22 % Pyroelektrické 12 % Dvojlom 95 % Opticky dvojosé 87 % Opticky jednosé 8 % Opticky izotropní 5 % Opticky aktivní (enantiomorfní) 15 % 18

19 Symetrie polykrystalických materiálů Curieovy grupy Minimální symetrie 19

20 Symetrie kapalin 20

21 Heckmannův diagram 21

22 22

23 23

24 Pyroelektřina změna polarizace při změně teploty Tenzor 1. řádu Pyroelektricita nemůže být v centrosymetických materiálech (10 grup) Střed symetrie Neumannův (Voigtův) princip 24

25 Grupa 32 (např. křemen) Neumann Trojčetné otočení Dvojčetné otočení 25

26 Grupa 3m (např. turmalín) Neumann Trojčetné otočení Zrcadlení 26

27 Grupa m (feroelektrické keramiky) Pro všechna θ Zrcadlení 27

28 Pyroelektrické třídy 10 tříd Polární osy Vektory do ekvivalentních bodů Nulový efekt 28

29 Změna rozměrů buňky Přeuspořádání polarizačních nábojů 29

30 Dielektrické konstanty Mechanismy polarizace [C/m 2 ] [F/m] [V/m] molekuly ionty elektrony 30

31 Transformace souřadnic v tenzorovém značení Tenzor 2. řádu Transformace souřadnic v maticovém značení Směrové kosiny 31

32 Zachování energie Změna energie při aplikaci pole Uložená energie nezávisí na pořadí aplikace složek pole 32

33 Uložená energie na jednotkový objem musí být kladná K ii > 0 Nediagonální prvky jsou menší než diagonální 33

34 Příklad minimální symetrie v kubických krystalech grupa 32 Dvojčetná osa trojčetná osa Neumannův princip 34

35 Zjednodušené odvození Dvojčetná osa podél Z 1 Trojčetná osa podél [111] 35

36 36

37 Ve sférických souřadnicích Tetragonální -42m Silně anizotropní a teplotně závislá permitivita 37

38 Polykrystalická dielektrika Středování směrových kosinů přes všechny úhly TiO 2

39 Napětí a deformace Směr síly Normála k ploše Tenzor není tenzorem vlastnosti!!! Statická rovnováha absence rotace symetrický tenzor Tahové složky podél V hlavních osách tenzoru Smykové složky podél 39

40 Transformace tenzoru napětí 40

41 41

42 Tenzor deformace tah torze Symetrický tenzor Příklad 42

43 Změna objemu jednotkové krychle 43

44 Teplotní roztažnost strain Symetrický tenzor 2. řádu ZnO Pro krystaly s nízkou symetrií Koeficienty teplotní roztažnosti jsou často silně teplotně závislé Stejný typ tenzoru jako dielektrická konstanta Koeficienty mohou být kladné i záporné 44

45 Trigonální, hexagonální, tetragonální kalcit (10-6 K) 45

46 Piezolektřina Piezo tlak, mechanická síla polarizace napětí Tenzor 3. řádu Symetrický 18 koeficientů 46

47 Inverzni piezoelektrický jev Příklad Bodová grupa 2 Dvojčetná osa Z 2 V maticové formě Neumannův princip 47

48 8 různých nenulových koeficientů feroelektrikum Pro keramiku m v pc/n 48

49 Příklady 11 krystalových tříd nepiezoelektrických (9 centrosymetrických) 49

50 (pcn) Řez piezoelektrickým povrchem 50

51 ZnS Bez napětí Smykové napětí X 4 kolem Z 1 Tendence vyrovnání 4 vazebných délek, dvouvalentní Zn atomy se posunou podél Z 1 d 14 Elektrické pole m Tahové napětí /mm Curieův zákon Společné prvky: m kolmo k Z 1, Z 2 a 2 podél Z 3 Ortorombická grupa mm2 další malé bříza Dřevo grupa 222 Malé koeficienty

52 PZT Bez napětí m3m Pod napětím 3m 4mm 14 možných orientací polární osy 8 <111> 6 <100> 52

53 Křemen Grupa 32 Různé řezy krystalu 53

54 Elasticita 2 směry pro specifikaci napětí (síla, normála k rovině) 2 směry pro specifikaci deformace (posunutí, orientace osy měření) tenzor 4. řádu 81 složek Symetrické tenzory 36 složek 54

55 Uložená mechanická energie Pro kubické krystaly 21 potřebných složek Pro hexagonální krystaly

56 Příklad 4/m CaWO 4 m Z 3 Žádná nová omezení 56

57 Příklady 57

58 v N/m 2 Anizotropie A < 1 nejtvrdší podél <100> A > 1 nejtvrdší podél <111> 58

59 Na Stiffness (tuhost) NaCl grafit c 11 >> c 33

60 Stlačitelnost Změna objemu na jednotkový objem x 11 + x 22 + x 33 Krystaly s dlouhými vazbami jsou stlačitelnější 60

61 Teplotní závislost elastických konstant diamant hliník Antracen 2/m Silná anizotropie slabé vazby mezi molekulami 61

62 Magnetické vlastnosti I Magnetizace = χh B= µ H Magnetická susceptibilita Magnetická permeabilita

63

64

65 Dvojčetná osa (rovnoběžně a kolmo) Rovina zrcadlení (rovnoběžně a kolmo) Inverze Časová inverze 65

66 Antiparalelní spiny Časová inverze 90 dodatečných magnetických bodových grup 66

67 Magnetické bodové grupy 2/m 2, 2, m, m, -1 nemagnetické Krystalografická grupa (obsahuje obyčejné a časově převrácené prvky symetrie) Čtyři magnetické grupy 67

68 68

69 α-fe m3m1 4/m m Co 6/mm1 6/mm m 3m1 α-fe 2 O 3 Cr 2 O 3 69

70 Maxwellovy rovnice ve dvou formách

71 Pyromagnetismus Spontánní magnetizace I s = Q T Pyromagnetický koeficient Příklad: Co 6/mm m Generátory: Q 1 = -Q 1 = 0, Q 2 = -Q 2 = 0, Q 3 = Q 3 71

72 Pyromagnetické grupy Gd momenty (4f elektrony) Fe momenty (3d elektrony) 72

73 Magnetická susceptibilita, permeabilita Analogie s elektrickou permitivitou a dielektrickou konstantou Příklad: Anizotropie magnetické susceptibility MnO 73

74 Magnetoelektrický jev [Wb/m 2 ] [Wb/V m] [V/m] 74

75 Magnetoelektrický jev je nulový pro všechny grupy obsahující časovou i obyčejnou inverzi Příklad: Cr 2 O 3 Neumann

76 58 magnetoelektrických grup

77 77

78 Piezomagnetismus Tenzor 3. řádu 78

79

80 Nelineární jevy Dielektrické vlastnosti v paraelektrickém stavu Elastické vlastnosti napětí deformace vulkanizovaná guma 80

81 V maticové formě U polymerů kladné Počet nezávislých koeficientů 81

82 Elektrostrikce Tenzor 4. řádu, narozdíl od piezoelektrického jevu přítomen ve všech grupách Pro kubické krystaly Mikrooblasti s fluktuacemi polarizace 82

83 Částečné uspořádávání oktaedrických kationtů Mg a Nb ionty mění polohy, ale jen na vzdálenosti několika buněk V těchto uspořádaných ostrůvcích vznikají fluktuace dipólů, které generují vysoké polarizace a elektrostikční pohyby. CaF 2 elektrostrikce elasticita 83

84 Magnetostrikce Často silnější než piezomagnetismus 84