7. Základní formulace lineární PP

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. Základní formulace lineární PP"

Transkript

1 p Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje napjatost a deformaci těles na základě předpokladu, že všechny závislosti mezi parametry zatížení, napjatosti a deformace těles jsou lineární. Porušení linearity u kterékoliv z těchto závislostí vede k úlohám označovaným jako úlohy nelineární pružnosti. Posouzení, kdy je pružnost lineární nebo nelineární, má zcela zásadní význam pro řešení úloh PP, a tedy i pro posuzování konstrukcí. Úlohy lineární jsou podstatně jednodušší z hlediska řešení, ale jejich praktická použitelnost je omezená. Nutné podmínky pro lineárnost úlohy: materiál těles je lineárně pružný, malé deformační posuvy těles (v porovnání s jejich rozměry), složky tenzoru přetvoření malé ( 1, obvykle nejvýše řádu 10 3 ), Příklad 623 okrajové podmínky lineární. V pružnosti a pevnosti I se budeme zabývat případy, kdy odchylky od linearity jsou nepodstatné. OBSAH další

2 p Hookův zákon Zavedli jsme pojem pružné deformace tělesa jako deformaci, která je vratná. To znamená, že deformace v daném okamžiku je závislá jen na parametrech zatěžování v tomto okamžiku nezávisí tedy na historii zatěžování. V důsledku toho je i napjatost tělesa určena okamžitými parametry zatěžování. Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε má obecně tvar podle obrázku, je nelineární. Tato nelinearita komplikuje významně řešení úloh PP. U nejběžnějšího strojírenského materiálu oceli je však možné tuto závislost v celém pružném oboru s dostatečnou přesností považovat za lineární. Dostáváme tak výpočtový model pružného materiálu materiál lineárně pružný (hookovský), jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon. Hookův zákon je nejjednodušší formou konstitutivních (fyzikálních) relací. Tyto vztahy obecně popisují závislosti mezi složkami tenzoru napětí T σ a tenzoru přetvoření T ε ve vyšetřovaném bodě tělesa. Jedná-li se o popis deformačně-napěťového chování lineárně pružného materiálu, pak je mezi složkami přetvoření a napětí lineární závislost. V případě jednoosé napjatosti (realizuje se např. při tahové nebo tlakové zkoušce) je jedinou nenulovou složkou tenzoru napětí T σ normálové napětí v podélném směru vzorku (osa x) σ x

3 p07 3 a závislost mezi tímto napětím a přetvořením v podélném směru je dána rovnicí σ x = Eε x, kde E je konstanta úměrnosti nazývaná Youngův modul pružnosti nebo modul pružnosti v tahu (v tlaku má u drtivé většiny materiálů stejnou hodnotu). Protože při tahové nebo tlakové zkoušce dochází i ke změně příčných rozměrů vzorku (stav deformace není jednoosý, nýbrž trojosý), jsou nenulová i ostatní délková přetvoření a lze je určit ze vztahu ε y = ε z = µε x, kde µ je tzv. součinitel příčné kontrakce neboli Poissonovo číslo. Protože u izotropního materiálu (jeho vlastnosti nejsou směrově závislé) nedochází při tahové zkoušce ke zkosům (γ ij = 0 pro všechna i, j), jsou těmito vztahy definovány všechny složky tenzoru přetvoření. K popisu lineárně elastického chování izotropního materiálu tedy postačují uvedené 2 materiálové konstanty, které obě lze určit z jediné zkoušky (tahem). Pro neizotropní materiál jsou elastické vlastnosti směrově závislé a pro popis konstitutivních vztahů nejobecnějšího anizotropního lineárně elastického materiálu je zapotřebí 21 elastických konstant. Výše uvedené jednoduché vztahy však nestačí ani pro popis lineárně elastického chování izotropního materiálu, protože jejich platnost je omezena na případ jednoosé napjatosti. Pro víceosou napjatost jsou délková přetvoření funkcí všech normálových napětí a obráceně. Tyto vztahy popisuje obecný Hookův zákon, z nějž lze odvodit i další zjednodušený tvar Hookova zákona platný pro smykovou napjatost (v rovině): τ = Gγ.

4 p07 4 V něm konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Běžně se u izotropních materiálů neměří, protože z rovnic obecného Hookova zákona vyplývá vztah pro jeho výpočet ve tvaru E G = 2(1 + µ) Obecný Hookův zákon Obecný Hookův zákon popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napětí (přetvoření) na všech složkách tenzoru přetvoření (napětí). U izotropního materiálu lze tuto závislost vyjádřit pomocí dvou elastických konstant E a µ. Lze jej zapsat maticově ve tvaru σ = D ε nebo ε = D 1 σ, kde σ je sloupcová matice tvořená šesti složkami T σ, ε je taktéž sloupcová matice tvořená šesti složkami T ε a D je čtvercová matice elastických modulů (D 1 matice inverzní), z jejichž 36 prvků je díky symetrii pouze 21 nezávislých (pro anizotropní materiál). Počet vzájemně nezávislých složek je dán vnitřní symetrií materiálu. Nejvyšší symetrii (tj. všechny mechanické vlastnosti nezávislé na směru v prostoru) má materiál označovaný jako izotropní. Pro něj lze všechny prvky matice elastických modulů vyjádřit pomocí 2 nezávislých elastických konstant E a µ.

5 p07 5 Pak lze maticovou rovnici rozepsat do šesti algebraických rovnic nazývaných zobecněný Hookův zákon [2]: ε x = 1 E [σ x µ(σ y + σ z )] γ xy = ε y = 1 E [σ y µ(σ x + σ z )] γ yz = ε z = 1 E [σ z µ(σ x + σ y )] γ zx = 2(1 + µ) E τ xy = τ xy G 2(1 + µ) E τ yz = τ yz G 2(1 + µ) E τ zx = τ zx G Explicitním vyjádřením složek napětí lze dostat inverzní tvar Hookova zákona: σ x = E (1 + µ) ε x + σ y = E (1 + µ) ε y + Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε x + λ (ε x + ε y + ε z ) Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε y + λ (ε x + ε y + ε z ) σ z = E (1 + µ) ε z + Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε z + λ (ε x + ε y + ε z ) τ yz = E 2(1 + µ) γ yz = Gγ yz τ xz = E 2(1 + µ) γ xz = Gγ xz τ xy = E 2(1 + µ) γ xy = Gγ xy kde λ bývá nazýváno Lamého konstanta.

6 p Práce síly při deformaci tělesa Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci. Obecně můžeme tuto práci vyjádřit vztahem A F = u F d u A = F du F, u F kde vektor d u A představuje elementární posuv působiště síly a du F je průmět tohoto vektoru do směru síly. Hodnotu integrálu (a tedy práci) lze vypočítat pouze za předpokladu, že známe závislost velikosti síly na poloze. Předpokládejme, že na lineárně pružné těleso působí jediná osamělá síla F v bodě A. Vlivem jejího působení se těleso deformuje, zatěžující vnější síla je v rovnováze s vnitřním působením v tělese a musí se tedy také lineárně měnit se změnou polohy F (u F ) = c u F v celém intervalu okamžitých hodnot u F 0; u FK, roste tedy z hodnoty 0 na konečnou hodnotu F K = c u FK. Během tohoto děje pak tato proměnná síla vykoná práci A F = u FK 0 F du F = u FK 0 cu F du F = cu2 F K 2 = F 2 K 2c = 1 2 F Ku FK.

7 p07 7 Integrál si lze geometricky představit jako plochu pod křivkou v grafu F = F (u F ) a při lineární závislosti síly a posuvu odpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka. Budou-li na uvedené těleso působit i další síly, může se poloha síly F změnit i jejich vlivem. Můžeme také určit práci, kterou síla F vykoná vlivem změn jiných sil (a sama se přitom nemění). Tato práce konstantní síly při posunutí u F jejího působiště podél nositelky z bodu 0 do u FK je A F = u FK 0 F K du F = F K u FK. Grafická interpretace tohoto integrálu je obdélník a výsledek skutečně odpovídá jeho obsahu.

8 p Obecné věty lineární pružnosti V lineární pružnosti platí několik vět zásadní důležitosti, z nichž si uvedeme tyto: Věta o superpozici Příklad: na prut působí 2 osamělé síly F 1 a F 2. Prodloužení prutu je rovno součtu prodloužení způsobených jednotlivými silami ( l = l 1 + l 2 ). Pozor! Věta platí pouze pro lineární část diagramu (lineární pružnost), např. pro šedou litinu superpozice neplatí, protože tahový diagram je od počátku nelineární. Napjatost a deformace tělesa zatíženého silovou soustavou je v lineární pružnosti rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silami této soustavy.

9 p Věta o vzájemnosti prací (Bettiho věta) Uvažujme nosník zatížený soustavou dvou osamělých sil danou množinou sil { F1 { F2. V průběhu zatěžování se nosník deformuje, působiště sil se posouvají. Označme posuv působiště síly F i po její nositelce způsobený silou F j symbolem u ij. Analogický význam mají indexy u práce. Uvažujme 2 historie zatěžování: 1. Nejprve zatížíme silou F 1 a pak připojíme sílu F 2 ({ 0 { F1 { F1 { F2 ). Při zatěžování { 0 { F1 vykoná síla F1 deformační práci A 11 danou vztahem A 11 = 1 2 F 1u 11. Analogicky při zatěžování { F1 { F1 { F2 vykoná síla F2 práci A 22 = 1 2 F 2u 22, a současně, protože síla F 2 vyvolá posuvy všech bodů prutu (s výjimkou nepohyblivě vázaných), vykoná síla F 1 práci A 12 = u 11+u 12 u 11 F 1 du 12 = F 1 u 12 a celková práce je A 1 = A 11 + A 22 + A 12 = 1 2 F 1u F 2u 22 + F 1 u 12.

10 p Uvažujme nyní opačný postup. Nejprve zatížíme silou F 2 a pak připojíme sílu F 1 ({ 0 { F2 { F2 { F1 ). Obdobným způsobem dostaneme práci: A 2 = A 22 + A 11 + A 21 = 1 2 F 2u F 1u 11 + F 2 u 21. Protože při zatěžování tělesa v pružném stavu nezávisí napjatost ani deformace na historii zatěžování, nezávisí na historii zatěžování ani deformační práce (silová soustava je konzervativní, tedy zachovávající energii). Proto musí platit Po dosazení dostaneme A 1 = A F 1u F 2u 22 + F 1 u 12 = 1 2 F 2u F 1u 11 + F 2 u 21 a po úpravě F 1 u 12 = F 2 u 21. Tato rovnost vyjadřuje nejjednodušší podobu Bettiho věty. Slovně ji lze vyjádřit takto: Bettiho věta: Při působení F 1 a F 2 na lineárně pružné těleso platí: Práce síly F 1 na složkách deformace vyvolaných silou F 2 je rovna práci síly F 2 na složkách deformace vyvolaných silou F 1.

11 p07 11 Větu je samozřejmě možné zobecnit i na silové soustavy. Pro nás je však podstatnější její zjednodušení zavedením jednotkových sil. Jsou-li obě síly jednotkové (F 1 = F 2 = 1), lze je v rovnici vykrátit. Příslušné posuvy pak nazýváme příčinkové součinitele a platí pro ně η 12 = η 21. V souladu se zavedeným značením posuvů pak např. součinitel η 12 znamená posuv působiště síly F 1 od jednotkové síly F 2. Tyto příčinkové součinitele jsou již pro dané těleso a jeho zvolené body charakteristickými konstantami. Lze z nich snadno určit posuv působiště síly při zatížení tělesa silovou soustavou. Např. posuv působiště F 1 při zatížení soustavou sil { F1 ; F 2 je dán vztahem u 1 = F 1 η 11 + F 2 η Deformační práce soustavy osamělých sil Na lineárně pružné těleso působí soustava osamělých sil Π = { F 1, F 2. Protože deformační práce nezávisí na zatěžovací historii, zvolíme zatěžování tak, že nejprve necháme působit sílu F 1, pak přidáme sílu F 2, atd. Pak deformační práce: { 0 { F 1 A 1 = 1 2 F 1u 11. { 0 { F 1 { F 1 { F 2 A 2 = A F 2u 22 + F 1 u 12 = Využitím Bettiho věty dostaneme = 1 2 F 1(u 11 + u 12 ) F 2u F 1u 12.

12 p07 12 F 1 u 12 = F 2 u 21 A 2 = 1 2 F 1(u 11 + u 12 ) F 2(u 21 + u 22 ) Protože platí u i = u i1 + u i2, dostáváme pro práci celé soustavy A = F 1 u 1i F 2 u 2i + = 1 2 F i u i, 2 kde u i je celkový posuv působiště síly F i ve směru její nositelky vlivem všech působících sil. Sumu lze samozřejmě zobecnit na libovolný počet sil. Působí-li na lineárně pružné těleso soustava osamělých sil Π = { F 1, F 2, F n a označíme-li posuvy jejich působišť A 1, A 2, A n ve směru nositelek u 1, u 2, u n, pak platí A = 1 2 F 1u F 2u F nu n = 1 n F i u i. 2

13 p07 13 Deformační práce při působení silové dvojice Na lineárně pružné těleso působí silová dvojice určená momentem M, jehož velikost je M = 2rF. Posuvy působišť sil silové dvojice můžeme vyjádřit ve tvaru u = r tg ϕ a pro malý úhel (což je předpoklad lineární pružnosti a pevnosti) ( tg ϕ. = ϕ) platí u = rϕ. Práce silové dvojice je: A = 1 2 F 1u F 2u 2 = 1 2 F rϕ 1 2 F ( rϕ) = 1 2 F 2rϕ = 1 2 Mϕ a) Natočení tělesa ϕ v bodě A je určeno změnami směrových úhlů přímky pevně spojené s tělesem v bodě A. b) Deformační práce osamělé silové dvojice je: A = 1 2 Mϕ, kde úhel ϕ udává natočení v rovině silové dvojice mezi výchozím a deformovaným stavem Věta Castiglianova Castiglianovu větu zde odvodíme zjednodušeně pro prutové těleso. Pro zájemce je k dispozici i navazující obecné odvození Castiglianovy věty. Mějme prut zatížený dvěma silami podle kap Deformační práce A vykonaná při jeho zatěžování (pro prut z elastického materiálu je rovna vratné energii napjatosti W ) je lineární funkcí zátěžných sil, která byla odvozena ve tvaru A = W = 1 2 F 1u F 2u 2.

14 p07 14 Oba posuvy působišť sil u 1 a u 2 jsou rovněž lineárními funkcemi obou zátěžných sil. Tyto posuvy lze vyjádřit pomocí příčinkových součinitelů η ve tvaru u 1 = F 1 η 11 + F 2 η 12 u 2 = F 2 η 22 + F 1 η 21 Význam příčinkových součinitelů byl vysvětlen v kap Bettiho věta. Po dosazení do uvedené rovnice pro výpočet deformační práce dostaneme pro energii napjatosti vztah W = 1 2 ( F 2 1 η 11 + F 1 F 2 η 12 + F 2 2 η 22 + F 1 F 2 η 21 ), který lze již snadno derivovat podle kterékoli síly (příčinkové součinitele η ij jsou pro dané těleso a dané body konstanty). Např. derivací podle F 1 dostaneme: W F 1 = 1 2 (2F 1η 11 + F 2 η 12 + F 2 η 21 ). Přitom vycházíme ze vzájemné nezávislosti sil (tzn. F 1 F = 0 = F 2 2 F. ) 1 Protože pro příčinkové součinitele platí nezávislost na pořadí indexů (η 12 = η 21 jako důsledek Bettiho věty), lze vztah upravit do tvaru W F 1 = 1 2 (2F 1η F 2 η 12 ) = u 1. Zobecněním pro J-tou sílu soustavy osamělých sil dostáváme 1. část Castiglianovy věty: u J = W.

15 p07 15 Působí-li na prut navíc silová dvojice M J, vykoná při zatěžování tělesa práci A = W = 1 2 M Jϕ J, kde ϕ J je úhel natočení přímky spojené s tělesem v působišti momentum J. Pak za podmínek vzájemné nezávislosti vnějších momentů a sil lze dojít stejným postupem k analogickému vztahu pro 2. část Castiglianovy věty: ϕ J = W M J. Slovně lze pak obě části vyjádřit následovně: Posuv působiště síly F J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly. Úhel natočení v místě působení silové dvojice M J v rovině jejího působení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této silové dvojice. Castiglianova věta je nejdůležitější větou lineární pružnosti z hlediska praktického použití, protože umožňuje počítat deformační charakteristiky jakéhokoli lineárně pružného tělesa, pokud umíme matematicky formulovat vztah pro jeho energii napjatosti. Celou soustavu těles musíme do energie napjatosti zahrnout tehdy, jestliže deformace okolních těles (resp. základního tělesa) nejsou zanedbatelné v porovnání s deformacemi vyšetřovaného tělesa. Příklad 422

16 p07 16 Poznámka: Záporné znaménko posuvu (úhlu natočení) znamená, že tento posuv (toto natočení) nastává proti smyslu působení příslušné síly (silové dvojice). Castiglianova věta je proto nezávislá na znaménkových konvencích, protože kladná práce znamená vždy posuv ve smyslu působící síly. Obecné odvození Castiglianovy věty Uvažujme izotropní těleso, na které působí obecná silová soustava Π (jednu sílu z této silové soustavy s působištěm v bodě J označíme F J ). Tato silová soustava vykonala deformační práci A. Je-li těleso v lineárně pružném stavu, nezávisí deformační práce na historii zatěžování: A = n A i, kde A i je práce vykonaná i-tým prvkem silové soustavy. Vykonaná práce se projeví zvýšením energie napjatosti (viz 7.3.3) W = n A i = n 1 2 F iu i. Zderivujeme energii napjatosti (parciálně) podle velikosti síly F J : W = A 1 + A A J + + A n. Každý člen tohoto součtu se dá s ohledem na jeho definici zapsat A i = 1 2 F u i i + 1 F i u i 2

17 p07 17 a protože z definice práce plyne F i = W u i a dále F i je jen 1 nebo 0, tak W = n A i = 1 2 n F i u i u J = 1 2 n W u i u i u J. Suma v posledním výrazu představuje zápis parciální derivace složené funkce, dá se tedy rovnice napsat ve tvaru W = 1 W u J = W = u J. Když budeme místo osamělé síly F uvažovat silovou dvojici M, dostaneme druhou část Castiglianovy věty. Jiným postupem jsme dospěli k téže matematické formulaci Castiglianovy věty, kterou lze rozšířeně vyslovit takto: Castiglianova věta: Působí-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv u J působiště síly F J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly u J = W. Úhel natočení ϕ J přímky spojené s působištěm silové dvojice M J v rovině jejího působení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této dvojice ϕ J = W M J. Příklad 422 předchozí OBSAH následující kapitola

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška 1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3.

2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3. obsah 1 Obsah Zde je uveden přehled jednotlivých kapitol a podkapitol interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. Na tomto CD jsou kapitoly uloženy v samostatných souborech, jejichž název je v rámečku

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

12. Prostý krut Definice

12. Prostý krut Definice p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí

Více

Nelineární problémy a MKP

Nelineární problémy a MKP Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)

Více

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.

Více

13. Prostý ohyb Definice

13. Prostý ohyb Definice p13 1 13. Prostý ohyb 13.1. Definice Prostý ohyb je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se vzájemně natáčejí kolem osy ležící v

Více

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc. MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které

Více

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky. POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Téma 2 Napětí a přetvoření

Téma 2 Napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram

Více

Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření. Metody charakterizace nanomateriálů 1

Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření. Metody charakterizace nanomateriálů 1 Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření Metody charakterizace nanomateriálů 1 Základní rozdělení vlastností ZMV Přednáška č. 1 Nejobvyklejší dělení vlastností materiálů v technické

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Kap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů

Kap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů Kap. Makromechanika kompozitních materiálů Informační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky FS ČVU v Praze. listopadu 7 Základní pojmy a vztahy Notace

Více

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Název šablony Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky

Více

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak.

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak. 00001 Definujte mechanické napětí a uved te jednotky. 00002 Definujte normálové napětí a uved te jednotky. 00003 Definujte tečné (tangenciální, smykové) napětí a uved te jednotky. 00004 Definujte absolutní

Více

Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty

Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty Obsah Dimenzování křivého tenkého prutu zde Deformace v daném místě prutu zde Castiglianova věta zde Dimenzování křivého tenkého prutu Mějme obecný křivý prut z homogeního izotropního materiálu. Obrázek:

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Vladimíra Michalcová LPH 407/1 tel. 59 732 1348 vladimira.michalcova@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/michalcova Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita Doporučená

Více

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění )

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti

Více

Pružnost a plasticita CD03

Pružnost a plasticita CD03 Pružnost a plasticita CD03 Luděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Porušení hornin. J. Pruška MH 7. přednáška 1

Porušení hornin. J. Pruška MH 7. přednáška 1 Porušení hornin Předpoklady pro popis mechanických vlastností hornin napjatost masivu je včase a prostoru proměnná nespojitosti jsou určeny pevnostními charakteristikami prostředí horniny ovlivňuje rychlost

Více

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace

Více

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Petr Konečný LPH 407/3 tel. 59 732 1384 petr.konecny@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/konecny Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita Doporučená literatura

Více

Geometricky válcová momentová skořepina

Geometricky válcová momentová skořepina Geometricky válcová momentová skořepina Dalším typem tenkostěnnéo rotačně souměrnéo tělesa je geometricky válcová momentová skořepina. Typický souřadnicový systém je opět systém s osami z, r, a t. Geometricky

Více

Kritéria porušení laminy

Kritéria porušení laminy Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém

Více

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr Motivace štíhlé pruty namáhané tlakem mohou vybočit ze svého původně přímého tvaru a může dojít ke ztrátě stability a zhroucení konstrukce dříve, než je dosaženo

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Mohrova kružnice pro rovinnou napjatost Kritéria pevnosti (pro rovinnou napjatost) Příklady MOHROVA KRUŽNICE PRO ROVINNOU NAPJATOST Rovinná, neboli dvojosá

Více

Technologie a procesy sušení dřeva

Technologie a procesy sušení dřeva strana 1 Technologie a procesy sušení dřeva 5. Deformačně-napěťové pole ve dřevě během sušení Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Více

MECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ PODMÍNKY PLASTICITY A PORUŠENÍ

MECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ PODMÍNKY PLASTICITY A PORUŠENÍ STUDIJNÍ PODPORY PRO KOMBINOVANOU FORMU STUDIA NAVAZUJÍCÍHO MAGISTERSKÉHO PROGRAMU STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ -GEOTECHNIKA A PODZEMNÍ STAVITELSTVÍ MECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ PODMÍNKY PLASTICITY A PORUŠENÍ

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

Zapojení odporových tenzometrů

Zapojení odporových tenzometrů Zapojení odporových tenzometrů Zadání 1) Seznamte se s konstrukcí a použitím lineárních fóliových tenzometrů. 2) Proveďte měření na fóliových tenzometrech zapojených do můstku. 3) Zjistěte rovnici regresní

Více

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59 Autoři:. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek 1.3 Řešené příklady Příklad 1: U prutu čtvercového průřezu o straně h vyrobeného zedvoumateriálů,kterýjezatížensilou azměnou teploty T (viz obr. 1) vyšetřete a

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled

Více

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek 1: Prut namáhaný kroutícím momentem.

trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek 1: Prut namáhaný kroutícím momentem. Namáhání krutem Uvažujme přímý prut neměnného kruhového průřezu (Obr.2), popřípadě trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek : Prut namáhaný kroutícím momentem.

Více

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku 1. Úlohy a cíle teorie plasticity chopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost. 1.1 Plasticita, pracovní diagram

Více

1. Úvod do pružnosti a pevnosti

1. Úvod do pružnosti a pevnosti 1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků

Více

PRUŽNOST A PEVNOST II

PRUŽNOST A PEVNOST II VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

Pevnost kompozitů obecné zatížení

Pevnost kompozitů obecné zatížení Pevnost kompozitů obecné zatížení Osnova Příčná pevnost v tahu Pevnost v tahu pod nenulovým úhlem proti vláknům Podélná pevnost v tlaku Příčná pevnost v tlaku Pevnost vláknových kompozitů - obecně Základní

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:

Více

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14 Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Mezní stavy únosnosti - zásady výpočtu, předpoklady řešení. Navrhování ohýbaných železobetonových prvků - modelování, chování a způsob porušení. Dimenzování

Více

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Pruty nam ahan e na vzpˇ er Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Pruty nam ahan e na vzpˇ er

Pruty nam ahan e na vzpˇ er Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Pruty nam ahan e na vzpˇ er Obsah Úvod Eulerova teorie namáhání prutů na vzpěr První případ vzpěru zde Druhý případ vzpěru zde Třetí případ vzpěru zde Čtvrtý případ vzpěru zde Shrnutí vzorců potřebných pro výpočet Eulerovy teorie

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu Přednáška 08 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův ákon Příklad emní tlak v klidu Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Cech Technical University in

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více

Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů

Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů Jedenácté cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Kontraktantní/dilatantní

Kontraktantní/dilatantní Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku

Více

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky Základní pojmy Pojem hmota, základní formy existence (atributy) hmoty Čím se liší pojmy hmota a hmotnost Axiomy statiky Mechanický

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Základem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček:

Základem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček: Molekulová fyzika zkoumá vlastnosti látek na základě jejich vnitřní struktury, pohybu a vzájemného působení částic, ze kterých se látky skládají. Termodynamika se zabývá zákony přeměny různých forem energie

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Skládání a rozklad sil Skládání a rozklad sil v rovině

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

6. Statika rovnováha vázaného tělesa

6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6.1 Rovnováha vázaného tělesa Těleso je vystaveno působení vnějších sil akčních, kterými mohou být osamělé síly, spojité zatížení a momenty silových dvojic. Akční síly

Více

Vliv teploty na mechanické vlastnosti sendvičových konstrukcí

Vliv teploty na mechanické vlastnosti sendvičových konstrukcí ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti Vliv teploty na mechanické vlastnosti sendvičových konstrukcí Influence of temperature

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více