9.1 Definice a rovnice kuželoseček

Transkript

1 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t, b sin t), t < 0, 2π). Hyperbola parametricky: X(t) = ( a cos t, b tgt), t < 0, 2π), t π 2, 3π 2. 1

2 Kanonický tvar rovnice kuželosečky a 20 (x s x) 2 + a 02 (y s y) 2 + a 10 (x p x) + a 01 (y p y) = a 00, (1) kde a 00 = 1 nebo a 00 = 0 a s x, s y, p x, p y jsou koeficienty, které udávají posunutí kuželosečky. Převod rovnice kuželosečky (bez smíšeného členu) na kanonický tvar se provede pomocí tzv. doplnění kvadratických členů na úplný čtverec. Pro kanonický tvar rovnice kuželosečky navíc platí: 1. Alespoň jeden z koeficientů a 20, a 02 je nenulový. 2. Je-li a 20 0, pak a 10 = Je-li a 02 0, pak a 01 = Je-li a 10 0, pak a 00 = Je-li a 01 0, pak a 00 = Je-li a 00 = 0 a počet záporných koeficientů u kvadratických členů je větší než počet kladných koeficientů u kvadratických členů, vynásobíme rovnici číslem 1. 2

3 9.2 Klasifikace kuželoseček Úpravou rovnice kuželosečky na kanonický tvar minimalizujeme počet nenulových koeficientů v rovnici kuželosečky. Signaturou kuželosečky v kanonickém tvaru (1) rozumíme uspořádanou čtveřici čísel (k, z, l, j), kde k, resp. z, udává počet kvadratických členů s kladným, resp. záporným, koeficientem, l nabývá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, zda po úpravě má rovnice kuželosečky nenulový koeficient u lineárního členu, j nabývá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, které z těchto čísel obsahuje pravá strana upravené rovnice kuželosečky. Poznamenejme, že pro l = 1 je vždy j = 0 a pro j = 0 je k z. 3

4 Č. Název Signatura Rovnice Elipsa kružnice pro a = b (2,0,0,1) a 2 + y2 b 2 = 1 Hyperbola záměna proměnných (1,1,0,1) a 2 y2 b 2 = 1 Parabola záměna proměnných (1,0,1,0) ± 2py = Různoběžné přímky záměna proměnných (1,1,0,0) a 2 y2 b 2 = 0 Rovnoběžné přímky záměna proměnných (1,0,0,1) a 2 = 1 4

5 6. Totožné přímky záměna proměnných (1,0,0,0) = Bod záměna proměnných (2,0,0,0) a 2 + y2 b 2 = 0 Prázdná množina záměna proměnných (0,2,0,1) x2 a 2 y2 b 2 = 1 Prázdná množina záměna proměnných (0,1,0,1) x2 a 2 = 1 5

6 9.3 Definice a rovnice kvadrik Kvadrikou neboli plochou druhého stupně rozumíme plochu, kterou lze popsat rovnicí (indexy i, j, k u koeficientů a ijk jsou odvozeny z exponentů u x, y a z v daném členu) a 200 +a 020 y 2 +a 002 z 2 +2(a 110 xy+a 101 xz+a 011 yz)+2(a 100 x+a 010 y+a 001 z)+a 000 = 0, (2) kde alespoň jeden z koeficientů u členů druhého stupně (takových členů je šest) je nenulový. V maticovém tvaru lze psát (x, y, z, 1) a 200, a 110, a 101, a 100 a 110, a 020, a 011, a 010 a 101, a 011, a 002, a 001 a 100, a 010, a 001, a 000 x y z 1 = 0. (3) 6

7 Pro regulární kvadriky platí, že matice koeficientů je regulární. Regulárními kvadrikami jsou: kulová plocha, elipsoid, eliptický paraboloid, hyperbolický paraboloid, jednodílný hyperboloid dvoudílný hyperboloid. Ze singulárních kvadrik uved me (kruhovou) kuželovou plochu, eliptickou válcovou plochu, parabolickou válcovou plochu, hyperbolickou válcovou plochu. 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 9.4 Klasifikace kvadrik Určení kanonického tvaru kvadriky pro případ nulových koeficientů u smíšených kvadratických členů v rovnici kvadriky provádíme analogickým postupem, jako v případě kuželoseček. Definice signatury kanonického tvaru rovnice kvadriky a kuželosečky je stejná. Kanonický tvar rovnice kvadriky neobsahuje více než jeden lineární člen (rovněž tato úprava se dosáhne pomocí transformace systému souřadnic). 15

16 Č. Název Signatura Rovnice 1. Elipsoid kulová plocha... a = b = c rotační elipsoid pro dvě čísla stejná (3,0,0,1) a 2+y2 b 2 +z2 c 2 = 1 2. Hyperboloid jednodílný rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy) (2,1,0,1) a 2+y2 b 2 z2 c 2 = 1 3. Hyperboloid dvoudílný rotační pro... a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy) (1,2,0,1) x2 1 a 2 y2 b 2 +z2 c 2 = 16

17 4. Kuželová plocha rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy) (2,1,0,0) a 2+y2 b 2 z2 c 2 = 0 5. Eliptický paraboloid p > 0, rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy), znaménko určuje poloprostor z 0 nebo z 0, v němž plocha leží (2,0,1,0) a 2 + y2 b 2 ± z p = 0 6. Hyperbolický paraboloid p > 0, cyklická záměna proměnných pro další osy, znaménko určuje orientaci parabol v rovinách xz a yz (1,1,1,0) a 2 y2 b 2 ± z p = 0 17

18 Č. Název Signatura Rovnice 7. Eliptický válec rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy) (2,0,0,1) a 2 + y2 b 2 = 1 8. Hyperbolický válec cyklická záměna pro další osy (1,1,0,1) a 2 y2 b 2 = 1 9. Parabolický válec p > 0, cyklická záměna pro další osy, znaménko určuje poloprostor y 0 nebo y 0, v němž plocha leží (1,0,1,0) a 2 ± y p = 0 18

19 10. Různoběžné roviny cyklická záměna proměnných (1,1,0,0) a 2 y2 b 2 = Rovnoběžné roviny cyklická záměna proměnných (1,0,0,1) a 2 = Totožné roviny záměna proměnných (1,0,0,0) = Bod počátek (3,0,0,0) a 2+y2 b 2 +z2 c 2 = 0 19

20 14. Přímka osa z cyklická záměna proměnných (2,0,0,0) a 2 + y2 b 2 = Prázdná množina případně záměna proměnných (0,3,0,1) (0,2,0,1) (0,1,0,1) x2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 x2 a 2 y2 b 2 = 1 x2 a 2 = 1 20

21 9.5 Příklady Příklad 34. Stanovíme typ kvadriky dané rovnicí 4 8x + y 2 4y + z = 0 Příklad 35. prvky. Určete typ kvadriky 4y 2 + z 2 + x + 16y 3 = 0. Zjistěte její určující Příklad 36. Určete typ kvadriky 2 3y 2 8x + 12y + 10 = 0. 21

22 9.6 Kvadriky v obecné poloze Věta 19. Kuželosečka je určena pěti různými obecnými body. Důkaz: V obecné rovnici kuželosečky se vyskytuje 6 volitelných koeficientů. Vynásobení koeficientů nenulovou konstantou nemění hledanou množinu bodů (kuželosečku). Tedy jeden (nenulový) koeficient lze volit. Věta 20. Kvadrika je určena devíti různými obecnými body. Důkaz: V obecné rovnici kuželosečky se vyskytuje 10 volitelných koeficientů. Vynásobení koeficientů nenulovou konstantou nemění hledanou množinu bodů (kuželosečku). Tedy jeden (nenulový) koeficient lze volit. Věta 21. Věta 22. Signatura kvadriky (kuželosečky) je afinním invariantem. Typ kvadriky (kuželosečky) je afinním invariantem. Věta 23. Každou implicitní rovnici kvadriky (kuželosečky) lze pomocí afinní transformace převést na kanonický tvar. 22

23 Princip: určíme afinní transformaci souřadnicové soustavy, která eliminuje z rovnice kvadriky smíšené členy. Postup: Kvadriku (kuželosečku) popíšeme maticově tak, aby matice kuželosečky byla symetrická Z matice kvadriky uvažujeme afinní část A, která vznikne vynecháním posledního řádku a posledního sloupce matice. Pro matici A určíme její vlastní čísla λ 1, λ 2, λ 3 (pro kuželosečku jde o dvě čísla). Pokud chceme zjistit i polohu kvadriky, určíme odpovídající vlastní vektory a znormujeme je (budou tvořit ortonormální repér, v němž kvadriku vyjadřujeme). Lze navíc sestavit přímo transformační matici vlastní vektory jsou jejími řádky. Kvadrika má v nové souřadnicové soustavě vyjádření λ 1 + λ 2 ỹ 2 + λ 3 z 2 = ã 000. Pravá strana ã 000 nabývá hodnoty 0 nebo 1 a přenese se z původní rovnice kuželosečky. 23

24 Příklad 37. Určíme typ a základní charakteristiky kvadriky + 2xy 2xz = 1. Řešení: Maticově můžeme psát (x, y, z, 1) 1, 1, 1, 0 1, 0, 0, 0 1, 0, 0, 0 0, 0, 0, 1 x y z 1 = 0. Matice kvadriky je singulární, tedy půjde o singulární kvadriku. Určíme vlastní čísla A = 1, 1, 1 1, 0, 0 1, 0, 0. 24

25 Sestavíme determinant det(λi A) = λ 1, 1, 1 1, λ, 0 1, 0, λ a obdržíme rovnici tj. λ 2 (λ 1) λ λ = 0, λ(λ 2 + λ 2) = 0. Vlastní čísla matice A jsou λ 1 = 0, λ 2 = 1, λ 3 = 2. Kanonický tvar rovnice dané kvadriky po transformaci souřadnic je ỹ 2 +2 z 2 = ã Jde o hyperbolickou válcovou plochu. Příklad 38. Matice kvadriky má vlastní čísla λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2. O jakou kvadriku jde? 25