STATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9
|
|
- Vratislav Macháček
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 STATISTICKÁ VAZBA Obsah 1 Korelační analýza Statistická vazba Motivační příklady Sdružená distribuční funkce a nezávislost náhodných veličin Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Varianční a korelační matice Ověřování nezávislosti Příklad využití korelační analýzy Výběrová varianční matice Literatura 9 Příklady k procvičení 10 1 Korelační analýza 1.1 Statistická vazba V praktických situacích je velmi častá úloha rozhodnout, jaký je vzájemný vztah dvou (nebo i více náhodných veličin), mluvíme o tom, jaká je statistická vazba mezi těmito náhodnými veličinami. Pro popis intenzity statistické vazby mezi náhodnými veličinami a pro její číslené vyjádření se ve statistice používají metody korelační analýzy, pro analytický popis této vazby se používají metody regresní analýzy. 1.2 Motivační příklady Základní úlohu regresní a korelační analýzy lze jednoduše demonstrovat na následujících dvou příkladech. 1. Na obrázku 1 a) je graficky znázorněn růst cen ve městě Taiwan v období Nezávislá proměnná X je příslušný rok sledování, závislá proměnná (regresor) Y je index popisující nárůst ceny. Je vidět, že uvedené body sledují přibližně lineární trend (s jedním odlehlým bodem v roce 1943), který je v obrázku znázorněný přímkou a dále, že variabilita jednotlivých bodů kolem této přímky je značná. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/ PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.
2 2. Na obrázku 1 b) je znázorněna závislost brzdné dráhy automobilu Y (měřená v metrech) na jeho rychlosti X (měřené v km/hod). Data byla získána při testování kvality nově vyrobených pneumatik. Z tohoto obrázku je vidět, že brzdná dráha sleduje nelineární trend a variabilita naměřených hodnot kolem proložené křivky je malá. Zjednodušeně řečeno, z obou obrázků jsou dobře patrné cíle korelační analýzy, tedy popis velikosti statistické vazby mezi X a Y, a cíle regresní analýzy, tedy popis průběhu této stochastické vazby matematickou funkcí. Obrázek 1: a) Index růstu ceny ve městě Taiwan v období , b) Závislost brzdné dráhy automobilu na jeho rychlosti 1.3 Sdružená distribuční funkce a nezávislost náhodných veličin Při popisu statistické vazby mezi náhodnými veličinami X a Y mohou nastat dvě krajní situace. V prvním případě může být vazba mezi proměnnými X a Y deterministická, tedy pevně daná nějakým formálním předpisem. Tak je tomu třeba při studiu fyzikálních zákonitostí, kdy např. ujetou dráhu Y lze přesně vyjádřit jako lineární funkci času X (za daných přesně specifikovaných podmínek). Při experimentálním ověřování této skutečnosti, již mohou být měřené veličiny ovlivněny náhodnou chybou měření a graficky znázorněné naměřené hodnoty času X a ujeté dráhy Y již potom kolísají v úzkých mezích kolem přímky. Narůstající kolísání hodnot proměnné Y v závislosti na hodnotách proměnné X bylo znázorněno na obrázku 1 b), kdy šlo o popis závislosti brzdné dráhy na rychlosti vozidla. Ještě větší kolísání, tedy ještě menší statistickou vazbu mezi veličinami X a Y lze pozorovat na obrázku 1 a), kdy index růstu cen Y poměrně volně lineárně závisí na čase X. V druhém krajním případě mohou být obě sledovaně veličiny X a Y nezávislé. Tak by tomu mohlo třeba být při sledování rychlosti vozidla Y a hmotností jeho řidiče X. Ověřování nezávislosti náhodných veličin je velmi častou praktickou úlohou, proto pojem nezávislosti nejdříve formálně zavedeme. Budeme uvažovat dvě náhodné veličiny X a Y a pomocí nich zavedeme dva náhodné jevy X x a Y y. Když bude pravděpodobnost společného nastoupení obou těchto jevů rovna součinu jejich pravděpodobností pro libovolné reálné hodnoty x a y, budeme říkat, že náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé. Jednodušeji lze nezávislost náhodných veličin zavést pomocí tzv. sdružené distribuční funkce F (x, y), která je rovna pravděpodobnosti společného nastoupení jevů X x a Y y. Tedy F (x, y) = Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/
3 Obrázek 2: Hustota dvourozměrného normálního rozdělení N 2 (µ X, µ Y, σx 2, σ2 Y, ρ) pro různé hodnoty parametrů µ X, µ Y, σx 2, σ2 Y a ρ P (X x Y y). Obecně lze říci, že sdružená distribuční funkce F (x, y) vyčerpávajícím způsobem popisuje pravděpodobnostní chování obou náhodných veličin X a Y. Některé dvojice náhodných veličin mají sdruženou distribuční funkce popsanou přesnou matematickou funkcí podobně, jako tomu bylo u distribučních funkcí jednotlivých náhodných veličin. Příkladem takové distribuční funkce je distribuční funkce dvourozměrného normálního rozdělení. Toto rozdělení závisí na středních hodnotách EX = µ X, EY = µ Y, rozptylech DX = σ 2 X, DY = σ2 Y a na parametru ρ, jeho význam bude vysvětlen v následujícím odstavci. Toto rozdělení je zobecněním dříve zavedeného jednorozměrného normálního rozdělení, budeme jej značit N 2 (µ X, µ Y, σ 2 X, σ2 Y, ρ). Grafem jeho hustoty je známá zvonovitá funkce a je znázorněna na obrázku 2 pro různé hodnoty parametrů µ X, µ Y, σ 2 X, σ2 Y a ρ. Po zavedení sdružené distribuční funkce lze snadno charakterizovat nezávislost náhodných veličin X a Y. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, právě když mezi distribuční funkcí sdruženou a distribučními funkcemi F X (x) náhodné veličiny X a F Y (y) náhodné veličiny Y (tzv. marginálními distribučními funkcemi) platí multiplikativní vztah F (x, y) = F X (x) F Y (y) pro libovolné hodnoty proměnných x a y. Podobně lze nezávislost charakterizovat pomocí sdružené hustoty ve spojitém případě nebo pomocí sdružené pravděpodobnostní funkce v diskrétním případě. V diskrétním případě, kdy obor hodnot náhodné veličiny X je nejvýše spočetná množina M 1 a obor hodnot náhodné veličiny Y je nejvýše spočetná množina M 2 zavádíme sdruženou pravděpodobnostní funkci dvojice X a Y vztahem p(x, y) = P (X = x Y = y) pro (x, y) M 1 M 2. Jsou-li potom 3
4 p 1 (x) = P (X = x) a p 2 (y) = P (Y = y) pravděpodobnostní funkce veličin X a Y, lze jednoduše nezávislost diskrétních náhodných veličin X a Y charakterizovat vztahem p(x, y) = p 1 (x)p 2 (y) pro (x, y) M 1 M 2. Analogicky ve spojitém případě, lze pravděpodobnostní chování náhodné veličiny popsat hustotou. Sdružené distribuční funkci F (x, y) pak ve spojitém případě odpovídá hustota f(x, y), kterou lze stanovit podle vzorce f(x, y) = 2 F (x,y) pro všechna reálná x a y, kde uvedená derivace existuje. x y Je-li f 1 (x) hustota náhodné veličiny X a f 2 (y) hustota náhodné veličiny Y, lze jednoduše nezávislost spojitých náhodných veličin X a Y charakterizovat vztahem f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y) pro libovolné reálné hodnoty x a y. Při popisu skupinové nezávislosti komplexu k náhodných veličin X 1, X 2,..., X k se postupuje podobně, zavede se sdružená distribuční funkce F (x 1, x 2,..., x k ) = P (X 1 x 1 X 2 x 2 X k x k ) náhodných veličin X 1, X 2,..., X k. Pak se náhodné veličiny X 1, X 2,..., X k považují za nezávislé, když platí, že F (x 1, x 2,..., x k ) = F 1 (x 1 ) F 2 (x 2 ) F k (x k ), kde distribuční funkce na pravé straně jsou marginální distribuční funkce náhodných veličin X 1, X 2,..., X k. V této souvislosti se k-tice náhodných veličin (X 1, X 2,..., X k ) nazývá náhodným vektorem a značí se X. Náhodné vektory budeme dále v tomto textu zapisovat do sloupce, tedy budeme psát X 1 X 2 X = (X 1, X 2,..., X k ) =., přičemž (X 1, X 2,..., X k ) značí transpozici vektoru (X 1, X 2,..., X k ). Analogicky lze nezávislost diskrétních (nebo spojitých) náhodných veličin (X 1, X 2,..., X k ) charakterizovat pomocí sdružené pravděpodobnostní funkce (nebo sdružené hustoty). 1.4 Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Nejdříve se budeme věnovat statistické vazbě mezi dvěma náhodnými veličinami X a Y. Popíšeme ji pomocí kovariance a korelačního koeficientu. Kovarianci náhodných veličin X a Y označíme cov(x, Y ) a zavedeme ji pomocí střední hodnoty součinu odchylek obou náhodných veličin od jejich střední hodnoty. Tedy vztahem cov(x, Y ) = E(X EX)(Y EY ) = E(X µ X )(Y µ Y ). Kovariance cov(x, Y ) náhodných veličin nabývá hodnot mezi σ X σ Y a σ X σ Y. Pro náhodnou veličinu X platí, že cov(x, X) = DX. Když jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, je jejich kovariance rovna nule. V případě, že víme, že sdružené rozdělení náhodných veličin X a Y je normální, je cov(x, Y ) rovna nule, právě když jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. Pomocí kovariance potom zavedeme korelační koeficient náhodných veličin X a Y, někdy se nazývá Pearsonův korelační koeficient a značí se ρ nebo detailněji ρ(x, Y ). Je definován vztahem X k ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) σ X σ Y. 4
5 Korelační koeficient je snad nejčastěji užívanou mírou statistické vazby mezi náhodnými veličinami X a Y. Jeho výhodou oproti kovarianci je, že nabývá hodnot mezi 1 a 1. Když nabývá hodnoty 1, je mezi X a Y přímý lineární vztah, když nabývá hodnoty 1, je mezi X a Y nepřímý lineární vztah. V obou těchto případech lze průběh statistické vazby mezi Y a X popsat přímkou a pozorované hodnoty dvojice X a Y leží na této přímce. Tedy v této situaci je mezi Y a X deterministický lineární vztah. V případě, že hodnota korelačního koeficientu je rovna nule, říkáme, že náhodné veličiny X a Y jsou nekorelované. Pro náhodnou veličinu X platí, že korelační koeficient ρ(x, X) = 1. V případě, že sdružené rozdělení náhodných veličin X a Y je normální N 2 (µ X, µ Y, σx 2, σ2 Y, ρ), je parametr ρ roven korelačnímu koeficientu ρ(x, Y ). Dále v tomto případě platí, že korelační koeficient ρ(x, Y ) = 0, právě když jsou obě veličiny X a Y nezávislé. Velikost korelačního koeficientu určuje, jak silná je statistická vazba mezi veličinami X a Y. Čím je absolutní hodnota korelačního koeficientu blíže 1, tím je sledovaná vazba mezi X a Y větší. Druhá mocnina korelačního koeficientu se nazývá koeficientem determinace. Jeho hodnota vyjádřená v procentech, budeme ji značit d, udává v procentech variabilitu proměnné Y, kterou lze vysvětlit variabilitou proměnné X. Tedy d = 100ρ 2. Celkově je možné říci, že kovariance a korelační koeficient jsou kvalitní míry statistické vazby mezi náhodnými veličinami X a Y v situaci, kdy lze tuto vazbu charakterizovat jako lineární. 1.5 Varianční a korelační matice Popis statistické vazby mezi k náhodnými veličinami X 1, X 2,..., X k se často jednoduše provádí pomocí popisu statistické vazby mezi dvojicemi proměnných, tedy zavedou se kovariance a korelační koeficienty mezi veličinami X i a X j pro všechny možné dvojice indexů i a j a ty se pak uspořádají do matice. Matici kovariancí a rozptylů DX 1 cov(x 1, X 2 )... cov(x 1, X k ) cov(x 2, X 1 ) DX 2... cov(x 2, X k ) V ar(x) = cov(x k, X 1 ) cov(x k, X 2 )... DX k pak nazýváme varianční maticí náhodného vektoru X = (X 1, X 2,..., X k ). Matici korelačních koeficientů 1 ρ(x 1, X 2 )... ρ(x 1, X k ) ρ(x 2, X 1 ) 1... ρ(x 2, X k ) Cor(X) = ρ(x k, X 1 ) ρ(x k, X 2 )... 1 pak nazýváme korelační maticí náhodného vektoru X = (X 1, X 2,..., X k ). Varianční matice popisuje pravděpodobnostní chování náhodného vektoru podobně, jako rozptyl popisuje pravděpodobnostní chování náhodné veličiny. Korelační matice (a podobně varianční matice) pak popisuje strukturu statistických vazeb mezi studovanými náhodnými veličinami. Pro popis statistické vazby náhodné veličiny Y na náhodném vektoru X lze zavést koeficient mnohonásobné korelace ρ(y, X). Je to vlastně korelační koeficient mezi náhodnou veličinou Y a 5
6 její nejlepší lineární predikcí získanou pomocí náhodného vektoru X. Konečně pro popis statistické vazby mezi náhodnými veličinami Y a Z při současné eliminaci vlivu, který může být způsobem dalšími veličinami X 1, X 2,..., X k se zavádějí tzv. parciální korelační koeficienty ρ(y, Z X). Kromě toho existuje řada dalších měr statistické vazby (např. Spearmanův korelační koeficient, Kendallův korelační koeficient apod.), které se užívají v závislosti na tom, s jakým typem náhodných veličin se pracuje. Bude o nich pojednáno později. 1.6 Ověřování nezávislosti Budeme předpokládat, že sledujeme dvě náhodné veličiny X a Y a cílem je ověřit jejich nezávislost. K tomu pořídíme datový soubor, kdy budeme na n nezávislých statistických jednotkách pozorovat hodnoty obou znaků. V matematické terminologii to znamená, že provedeme náhodný výběr rozsahu n ze sdruženého rozdělení náhodných veličin X a Y. Označíme x i a y i pozorování dvojice X a Y zjištěné na i-té statistické jednotce, i = 1, 2,..., n. Z těchto hodnot potom vypočteme výběrový průměr x znaku X a výběrový průměr ȳ znaku Y podle vzorců x = 1 n n x i a ȳ = 1 n i=1 n y i. i=1 Lze ukázat, že platí E x = µ x, E ȳ = µ y. To znamená, že hodnoty průměrů kolísají kolem neznámých odhadovaných středních hodnot µ x, µ y a takové odhady se nazývají nestranné nebo nevychýlené. Dále stanovíme výběrové rozptyly s x a s y podle vzorců s x = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 a s y = 1 n 1 n (y i ȳ) 2. Podobně jako pro výběrové průměry platí i pro výběrové rozptyly s x a s y, že jsou nevychýlenými odhady rozptylů σ 2 X a σ2 Y. Konečně vypočteme výběrovou kovarianci s xy podle vzorce s xy = 1 n 1 i=1 n (x i x)(y i ȳ). i=1 Uvedený odhad je opět nevychýlený. Konečně stanovíme výběrový korelační koeficient r xy podle vzorce r xy = s xy s x s y. (1) Tento odhad již není nevychýlený, ale pro velké hodnoty rozsahu výběru n je přibližně nevychýlený, to znamená, že jeho hodnoty kolísají kolem neznámé hodnoty korelačního koeficientu ρ(x, Y ). Ověřit nezávislost znaků X a Y lze provést za předpokladu, že sdružené rozdělení náhodných veličin X a Y je normální N 2 (µ X, µ Y, σx 2, σ2 Y, ρ). Pak je nezávislost ekvivalentní nekorelovanosti a lze ji ověřit statistickým testem, který vychází z testovací statistiky t = r xy 1 r 2 xy n 2. 6
7 Když platí, že t > t 1 α (n 2), zamítáme na hladině významnosti α hypotézu nezávislosti náhodných 2 veličin X a Y a závislost X a Y považujeme za statisticky prokázanou na hladině významnosti α. Symbolem t 1 α (n 2) rozumíme (1 α )-kvantil Studentova t-rozdělení o n 2 stupních volnosti (pro 2 2 stanovení kvantilů lze použít prakticky každý dostupný statistický software např. Excel, Statistica, MATLAB apod.). 1.7 Příklad využití korelační analýzy Při sledování provozu firmy po zavedení nové výrobní linky byl po dobu 7 měsíců sledován počet hodin provozu této linky proměnná X a zároveň měsíční náklady na její údržbu v tisících Kč proměnná Y. Výsledky jsou zaznamenány v tabulce 1. Cílem je zjistit, jak počet hodin provozu linky koreluje s náklady na její provoz a otestovat, zda statistická vazba mezi těmito proměnnými je významná. x i y i Tabulka 1: Počet hodin provozu výrobní linky (proměnná X) v závislosti na měsíčních nákladech na její údržbu (proměnná Y ) Řešení: Užitím výše uvedených vzorců snadno zjistíme, že x = 325, ȳ = 168,571, s x = 54,006, s y = 21,493, r xy = 0,973 a d = 94,6. Za předpokladu normality lze provést test nezávislosti obou veličin. Zvolíme hladinu významnosti α = 0,05, vypočteme t = 9,387 a ve statistických tabulkách najdeme kvantil t 1 α (n 2) = t 0,975(5) = 2,571 Studentova t-rozdělení o n 2 = 5 stupních volnosti. 2 Protože t > t 1 α (n 2), zamítáme na hladině významnosti α = 0,05 hypotézu o nezávislosti obou 2 veličin X a Y. Zároveň lze říci, že náklady na údržbu linky lze z d = 94,6 procent vysvětlit dobou provozu linky. Zbylé procento odpovídá jiným nekontrolovaným vlivům. 1.8 Výběrová varianční matice Na závěr tohoto odstavce ještě zmíníme výpočet výběrové varianční a korelační matice náhodného vektoru X = (X 1, X 2,..., X k ). Podobně jako v případě dvou náhodných veličin, budeme předpokládat, že je na n statistických jednotkách pozorován vektor X. Výsledkem těchto pozorováni je potom datová matice x x 1k D =..... x n1... x nk V jejím i-tém řádku je pozorování vektoru X, na i-té statistické jednotce a v j-tém sloupci jsou pozorování proměnné X j na všech statistických jednotkách. Výběrová varianční matice je matice V ar(x), kde kovariance cov(x i, X j ) jsou nahrazeny výběrovými protějšky s ij. Výběrovou varianční. 7
8 matici budeme značit S a lze ji stanovit ze vzorce S = 1 n 1 D ( I 1 ) n E D, kde I je jednotková matice typu n n a E je matice samých jedniček typu n n. Podobně výběrovou korelační matici označíme R a lze ji stanovit podle vzorce R = Diag 1 (s 1, s 2,..., s k ) S Diag 1 (s 1, s 2,..., s k ), kde Diag 1 (s 1, s 2,..., s k ) značí inverzní matici k diagonální matici Diag(s 1, s 2,..., s k ) s prvky s i = s ii, i = 1, 2..., n, na hlavní diagonále. 8
9 Literatura Základní MANN, P.S. Introductory Statistics. 6th edition. Hoboken: Wiley, ISBN MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Grada ISBN NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M., KŘÍŽ, O. Základy statistiky Aplikace v technických a ekonomických oborech. Grada 2012.ISBN: ŘEZANKOVÁ, H. Analýza dat z dotazníkových šetření. 2. vydání, Professional Publishing, ISBN: Doporučená AGRESTI, A. Categorical Data Analysis. Second Edition. Wiley ISBN: ANDĚL, J. Statisticke metody. 3. vydání. Praha: Matfyzpress, ISBN ANDĚL, J. Základy matematické statistiky. 2. vyd. Praha: Matfyzpress, 2007, 358 s. ISBN VÁGNER, M. Integrální počet funkcí jedné proměnné. 1. vydání. Brno: UO, 2005,126 s. ISBN VÁGNER, M., KAŠTÁNKOVÁ, V. Posloupnosti a řady. 1. vydání. Brno: UO, ISBN X. 9
10 Příklady k procvičení Příklad 1.1 Náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu f(x, y) = x + y pro 0 < x < 1, 0 < y < 1, jinak je tato hustota rovna 0. Stanovte korelační koeficient ϱ(x, Y ). Příklad 1.2 Zjišt ovalo se kolik mg kyseliny mléčné je ve 100 ml krve u matek prvorodiček (hodnoty X i ) a u jejich novorozenců (hodnoty Y i ). Byly získány výsledky uvedené v následující tabulce: X i Y i Vypočtěte výběrový korelační koeficient a rozhodněte, zda je mezi množstvím kyseliny mléčné v krvi matek a v krvi jejich novorozenců statisticky významný rozdíl. Příklad 1.3 Zjišt ovalo se jak závisí ve vybraných evropských zemích spotřeba alkoholu (proměnná X)a úmrtnost na cirózu jater (počet zemřelých na tuto diagnózu na obyvatel - proměnná Y ). Údaje jsou převzaty z monografie Anděl: Statistické metody. Byly získány výsledky uvedené v následující tabulce: Země FIN NOR IRL NLD SWE GBR BEL AUT DEU ITA FRA X 3,9 4,2 5,6 5,7 6,6 7,2 10,8 10,9 12,3 15,7 24,7 Y ) 3,6 4,3 3,4 3,7 7,2 3,0 12,3 7,0 23,7 23,6 46,1 Údaje jsou převzaty z monografie Anděl: Statistické metody. Vypočtěte výběrový korelační koeficient a rozhodněte, zda je mezi množstvím spotřeby alkoholu a úmrtností na cirózu jater statisticky významný rozdíl. Příklad 1.4 V tabulce níže jsou uvedena data podle monografie Anděl: Statistické metody o počtu úmrtí v Londýně (hodnoty proměnné Y ) od 1. do , kdy Londýn postihla mimořádně silná mlha. Dále jsou uvedeny hodnoty proměnné X, která představuje průměrné znečištění vzduchu v County Hall uváděné v mg/m 3 a hodnoty proměnné Z, která představuje průměrný obsah oxidu siřičitého (počet částic na jeden milion). Den Y i x i z i Den Y i x i z i ,30 0, ,22 0, ,49 0, ,22 0, ,61 0, ,32 0, ,49 0, ,29 0, ,64 0, ,50 0, ,45 0, ,32 0, ,46 1, ,32 0, ,46 1,34 10
11 Stanovte korelační koeficienty r(x, Y ), r(x, Z) a r(y, Z) a otestujte hypotézy, že mezi dvojicemi proměnných je statisticky významná závislost. 11
1.1 Úvod... 1 1.2 Data... 1. 3 Statistická analýza dotazníkových dat 8. Literatura 10
MÍRY STATISTICKÉ VAZBY, VÝBĚROVÁ ŠETŘENÍ, STATISTICKÁ ANALÝZA DOTAZNÍKOVÝCH DAT Obsah 1 Statistická data 1 1.1 Úvod.......................................... 1 1. Data...........................................
VíceSOFTWARE STAT1 A R. Literatura 4. kontrolní skupině (viz obr. 4). Proto budeme testovat shodu středních hodnot µ 1 = µ 2 proti alternativní
ŘEŠENÍ PRAKTICKÝCH ÚLOH UŽITÍM SOFTWARE STAT1 A R Obsah 1 Užití software STAT1 1 2 Užití software R 3 Literatura 4 Příklady k procvičení 6 1 Užití software STAT1 Praktické užití aplikace STAT1 si ukažme
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceKontingenční tabulky, korelační koeficienty
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Budeme předpokládat, že X a Y jsou kvalitativní náhodné veličiny, obor hodnot X obsahuje r hodnot (kategorií,
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceINDUKTIVNÍ STATISTIKA
10. SEMINÁŘ INDUKTIVNÍ STATISTIKA 3. HODNOCENÍ ZÁVISLOSTÍ HODNOCENÍ ZÁVISLOSTÍ KVALITATIVNÍ VELIČINY - Vychází se z kombinační (kontingenční) tabulky, která je výsledkem třídění druhého stupně KVANTITATIVNÍ
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
Vícejevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.
Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceNáhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.
1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VícePříklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13
Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Více5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza
5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně
VíceMÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE)
zhanel@fsps.muni.cz MÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE) 2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI 2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ Jednorozměrné soubory - charakterizovány jednotlivými statistickými znaky
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
Více6. Lineární regresní modely
6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VíceBodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1
VíceKontingenční tabulky, korelační koeficienty
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení dvanácté aneb Regrese a korelace Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 18 V souboru 25 jedinců jsme měřili jejich výšku a hmotnost. Výsledky jsou v tabulce a grafu. Statistika (KMI/PSTAT)
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
Více12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)
cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceKorelační a regresní analýza
Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceParametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =
Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VícePříklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost
Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost 6. dubna 0 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a vyřešte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu
VíceMnohorozměrná statistická data
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistický znak, statistický soubor Jednotlivé objekty nebo subjekty, které jsou při statistickém
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceMATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT
8. licenční studium Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie MATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT Příklady: ) Najděte vlastní (charakteristická) čísla a vlastní
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceMnohorozměrná statistická data
Mnohorozměrná statistická data Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Mnohorozměrná
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceAplikovaná statistika v R - cvičení 2
Aplikovaná statistika v R - cvičení 2 Filip Děchtěrenko Matematicko-fyzikální fakulta filip.dechterenko@gmail.com 5.6.2014 Filip Děchtěrenko (MFF UK) Aplikovaná statistika v R 5.6.2014 1 / 18 Přehled Rkových
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 7 Jak hodnotit vztah spojitých proměnných
VícePravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1
Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y β ε Matice n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h() k - tj. matice je plné hodnosti
VíceKORELACE. Komentované řešení pomocí programu Statistica
KORELACE Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data I Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu Popisná
VíceYou created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními
VíceUNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
VíceTechnická univerzita v Liberci
Technická univerzita v Liberci Ekonomická fakulta Analýza výsledků z dotazníkového šetření Jména studentů: Adam Pavlíček Michal Karlas Tomáš Vávra Anna Votavová Ročník: 2015/2016 Datum odevzdání: 13/05/2016
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceJana Vránová, 3. lékařská fakulta UK
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
VícePlánování experimentu
Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Autor: Ing. Radek Růčka Přednášející: Prof. Ing. Jiří Militký, CSc. 1. LEPTÁNÍ PLAZMOU 1.1 Zadání Proces
VíceLineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel
Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních
VíceMatematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Lineární a nelineární regrese Přednášky ZS 2016-2017 Sponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 2016 Povinná látka. Bude v písemkách a bude
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceMĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ
MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Opakování populace a výběr z populace
Více