Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Transkript

1 Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce. Závislost studujme na hladině významnosti 0,05. id Y výnos [t/ha] x hnojivo [kg/ha] Celkem Řešení 1 Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru =+ Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = =, = Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky mezivýpočtů a. Ze zadání víme, že =8. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry,. Dostaneme id Y x yx x Celkem Průměr 62,5 443, ,38 Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme = ,75 62, ,75 = = ,5 =0, Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme =62,5 0, ,75=62,5 25,93019=36,56981 Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě množství použitelného hnojiva odhadneme výnos pomocí funkce =0, ,

2 Celou situaci můžeme znázornit grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. POZOR! V tomto případě je osa svislá a osa vodorovná (podle pořadí sloupců v MS Excel). Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám Závislost výnosu na množství hnojiva Dále se budeme zabývat problémem, zda lze vypočtenou závislost považovat za statisticky významnou na zadané hladině ( =0,05. Nejprve si vypočteme reziduální součet čtverců podle vzorce ) =*+,+ -. Výpočet provedeme dalším rozšířením naší tabulky id Y x yx x2 Y-(a+bx) (Y-(a+bx)) , , , , , , , , , , , , , , , , Celkem , Průměr 62,5 443, ,38 n 8 Se 177,9257 b 0, s2 29,65429 a 36,56981 s 5, Dostáváme tedy ) =177,9257 2

3 Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako / = ) 2 / = 177,9257 = 177,9257 =29, Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku / =0/ =029,65429=5, Hypotézu 1 2 : =0 (závislost je nevýznamná) testujeme proti hypotéze 1 : 0 (tato závislost je významná) pomocí statistiky 5 = / 6* Dosadíme a dostaneme 5 = 0, , ,75 =0, ,0625 = 0, ,5 = 0, ,5 =0, , =6,677 Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud 5 9 : +1 ( 2. Připomínáme, že 9 : 1 ( 2 označuje 1 ( 2-kvantil Studentova t-rozdělení o 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 5 = 6,677 =6,677 2,447=9 <: =1 0,05 2 >=9?=1 0,05 2 > Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 0, ,56981je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle =1 Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. ) =A * =40 62, , , , , , , ,5 = 22,5 + 12,5 + 12,5 +7,5 +2,5 +2,5 +17,5 +17,5 =1 177,9257 =1 0,118617=0, Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. 3

4 Příklad 2 Měřením bylo získáno 10 hodnot statistických znaků B a. Odhadněte parametry regresní přímky, která vystihuje závislost na B. Rozhodněte o kvalitě regresního modelu pomocí koeficientu determinance. B:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 : 290, 365, 420, 445, 501, 598, 635, 687, 750, 880 Řešení 2 Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru =+ Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = =, = Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky mezivýpočtů a. Ze zadání víme, že =10. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry,. Dostaneme id X Y xy x Celkem Průměr 5,5 557,1 3564,4 Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme = ,5 557, ,5 = ,5 = 5003, ,5 82,5 =60,64848 Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme =557,1 60, ,5=557,1 333,5667=223,5333 Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě odhadneme hodnotu pomocí funkce =60, ,5333. Celou situaci můžeme znázornit grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám. 4

5 Závislost statistických znaků X a Y Dále se budeme zabývat problémem, zda lze vypočtenou závislost považovat za statisticky významnou na zadané hladině ( =0,05. Nejprve si vypočteme reziduální součet čtverců podle vzorce ) =*+,+ -. Výpočet provedeme dalším rozšířením naší tabulky id X Y xy x2 Y-(a+bx) (Y-(a+bx)) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1903 Celkem ,2061 Průměr 5,5 557,1 3564,4 n 10 a 223,5333 b 60,64848 Dostáváme tedy ) =5390,2061 Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako / = ) 2 5

6 / = 5390,2061 = 5390,2061 =673, Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku / =0/ =0673,7758=25,95719 Hypotézu 1 2 : =0 (závislost je nevýznamná) testujeme proti hypotéze 1 : 0 (tato závislost je významná) pomocí statistiky 5 = / 6* Dosadíme a dostaneme 5 = 60, , ,5 =2, ,25=2, ,5 =2, ,5=2, ,082951=21,22214 Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud 5 9 : +1 ( 2. Připomínáme, že 9 : 1 ( 2 označuje 1 ( 2-kvantil Studentova t-rozdělení o 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 5 = 21,22214 =21, ,306=9 2: =1 0,05 2 >=9 <=1 0,05 2 > Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 60, ,5333je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle =1 Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. ) =A * = , , , , , , , , , ,1 = 267, , , ,1 + 56,1 +40,9 +77,9 +129,9 +192,9 +322,9 =71342, , , , , ,81 =1 5390, ,9 =1 0, =0, Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. 6

7 Příklad 3 Charakterizujte závislost proměnné na B lineární regresní funkcí. B:12, 14, 16, 18, 20, 24, 26, 28, 30 :186, 216, 246, 276, 306, 366, 396, 426, 456 Řešení 3 Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru =+ Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = =, = Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky mezivýpočtů a. Ze zadání víme, že =9. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry,. Dostaneme id X Y xy x Celkem Průměr 20, , ,667 Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme = ,9 319, ,9 = , ,3 =4907,7 324,7 =15,11401 Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme =319,3 15, ,9=319,3 315,7149=3,61847 Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě odhadneme hodnotu pomocí funkce =15, , Celou situaci můžeme znázornit grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám. 7

8 Závislost Y na X Dále se budeme zabývat problémem, zda lze vypočtenou závislost považovat za statisticky významnou na zadané hladině ( =0,05. Nejprve si vypočteme reziduální součet čtverců podle vzorce ) =*+,+ -. Výpočet provedeme dalším rozšířením naší tabulky id X Y xy x2 Y-(a+bx) (Y-(a+bx)) ,06 1, ,84 0, ,62 0, ,4 0, ,18 0, ,26 0, ,48 0, ,7 0, ,92 0,8464 Celkem ,0404 Průměr 20, , ,667 n 9 a 3,62 b 15,11 Dostáváme tedy ) =4,0404 Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako / = ) 2 8

9 / = 4, =4,0404 =0, Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku / =0/ =00,5772=0, Hypotézu 1 2 : =0 (závislost je nevýznamná) testujeme proti hypotéze 1 : 0 (tato závislost je významná) pomocí statistiky 5 = / 6* Dosadíme a dostaneme 5 = 15, , ,9 =19, ,29=19, ,71 =19, ,01971=315,7149 Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud 5 9 : +1 ( 2. Připomínáme, že 9 : 1 ( 2 označuje 1 ( 2-kvantil Studentova t-rozdělení o 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 5 = 315,7149 =315,7149 2,365=9 D: =1 0,05 2 >=9 E=1 0,05 2 > Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 15, ,61847je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle =1 Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. Pomůžeme si dalším rozšířením tabulky ) =A id X Y xy x2 Y-(a+bx) (Y-(a+bx))2 Y-pY (Y-pY) ,06 1, , , ,84 0, , , ,62 0, , , ,4 0,16-43, , ,18 0, , , ,26 0, , , ,48 0, , , ,7 0,49 106, , ,92 0, , ,778 Celkem , Průměr 20, , ,667 n 9 a 3,62 b 15,11 9

10 * =1 4, =1 0, =0, Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. 10

11 Příklad 4 Charakterizujte závislost proměnné na B lineární regresní funkcí. B:5, 15, 25, 35, 45, 55, 65 :3.5, 5.2, 5.5, 6.1, 5.9, 6.4, 7.8 Řešení 4 Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru =+ Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = =, = Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky mezivýpočtů a. Ze zadání víme, že =7. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry,. Dostaneme id X Y xy x ,5 17, , ,5 137, ,1 213, ,9 265, , , Celkem , Průměr 35 5, ,4286 Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme = , = , =157, =0, Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme =5,77 0, =5,77 1,966875=3, Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě odhadneme hodnotu pomocí funkce =0, , Závislost X a Y

12 Celou situaci jsme znázornili grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám. Dále se budeme zabývat problémem, zda lze vypočtenou závislost považovat za statisticky významnou na zadané hladině ( =0,05. Nejprve si vypočteme reziduální součet čtverců podle vzorce ) =*+,+ -. Výpočet provedeme dalším rozšířením naší tabulky id X Y xy x2 Y-(a+bx) (Y-(a+bx)) ,5 17,5 25-0, , , , , ,5 137, , , ,1 213, , , ,9 265, , , , , , , , , Celkem , , Průměr 35 5, ,4286 n 7 a 3, b 0, Dostáváme tedy ) =1, Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako / = ) 2 / = 1, = 1, =0, Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku / =0/ =00,278223=0, Hypotézu 1 2 : =0 (závislost je nevýznamná) testujeme proti hypotéze 1 : 0 (tato závislost je významná) pomocí statistiky 5 = / 6* Dosadíme a dostaneme 5 = 0, , =0, =0, =0, ,91503=5, Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud 12

13 5 9 : +1 ( 2. Připomínáme, že 9 : 1 ( 2 označuje 1 ( 2-kvantil Studentova t-rozdělení o 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 5 = 5, =5, ,571=9 E: =1 0,05 2 >=9 H=1 0,05 2 > Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 0, , je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle =1 Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. Pomůžeme si dalším rozšířením tabulky ) =A id X Y xy x2 Y-(a+bx) (Y-(a+bx))2 Y-pY (Y-pY) ,5 17,5 25-0, , , , , , , , , ,5 137, , , , , ,1 213, , , , , ,9 265, , , , , , , , , , , , , , , Celkem , , , Průměr 35 5, ,4286 n 7 a 3, b 0, * =1 1, , =1 0, =0, Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. 13