Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Transkript

1 Náhodné veličiny

2 Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es. X může být 0, 1, 2, 3. Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? X {2, 3,..., 12}. Hodíme dvěma kostkami zajímá nás největší z hozených čísel. X {1,..., 6} Měříme hladinu alkoholu v krvi řidiče. X 0,? (smrtelná hodnota okolo 4 promile)

3 Náhodné veličiny Definice náhodné veličiny Zjednodušeně: Náhodná veličina X je funkce, která prvkům množiny Ω přiřazuje reálná čísla, X : Ω R. Vědecky : Nechť (Ω, S, P) je pravděpodobnostní prostor. Funkce X : Ω R taková, že pro každé x R je {ω : X (ω) x} S, se nazývá náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Ω, S, P).

4 Náhodné veličiny Zápis jevů pomocí náhodných veličin Zápisem [X = x] rozumíme náhodný jev složený ze všech ω Ω, pro která je X (ω) = x. Podobně např. [X < x] = {ω Ω: X (ω) < x}.

5 Náhodné veličiny Příklad Hodíme dvěma kostkami, X udává součet čísel na obou kostkách. Ω = {ω 1, ω 2,..., ω 36 }, ω 1... padlo (1, 1), ω 2... padlo (1, 2),..., ω 6... padlo (1, 6) ω 7... padlo (2, 1), ω 8... padlo (2, 2),..., ω padlo (2, 6). ω padlo (6, 1), ω padlo (6, 2),..., ω padlo (6, 6) Pak např. X (ω 1 ) = 2, X (ω 2 ) = X (ω 7 ) = 3, X (ω 31 ) = 7, apod. [X = 3]... padl součet 3... nastal jev A = {ω 2, ω 7 } P(X = 3) =? P(X < 4) =?

6 Náhodné veličiny Základní typy náhodných veličin Diskrétní náhodné veličiny mohou nabývat nanejvýš spočetně mnoha hodnot. Příklady: Počet šestek při deseti hodech kostkou. Na kolikátý pokus se podaří vyvolat studenta, který něco umí. Počet procent vadných součástek v balíku s 25 kusy. Spojité náhodné veličiny (zjednodušeně) mohou nabývat všech hodnot z určitého intervalu. Příklady: Naměřená hodnota napětí. Délka časového intervalu mezi dvěma událostmi.

7

8 Definice diskrétní náhodné veličiny (zjednodušená verze) Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, jestliže je její obor hodnot nanejvýš spočetná množina. Pravděpodobnostní funkce Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X je funkce p : R R definovaná vztahem p(x) = P(X = x). Pozor, rozlišujeme malá a velká písmena!!! Někdy se též používá název frekvenční funkce a značí se f.

9 Příklad Tři střelci nezávisle na sobě vystřelili na terč. Pravděpodobnost zásahu je u prvního střelce 0,9, u druhého 0,6 a u třetího 0,3. Náhodná veličina X udává, kolik střelců zasáhlo cíl. a) Najděte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X. b) Vypočtěte pravděpodobnost, že v terči bude nanejvýš jeden zásah. c) Vypočtěte pravděpodobnost, že v terči bude aspoň jeden zásah.

10 Graf pravděpodobnostní funkce Znázornění pomocí histogramu

11 Vlastnosti pravděpodobnostní funkce 0 p(x) 1 pro každé x R, p(x i ) = 1 x i (sčítáme přes všechny hodnoty x i, jichž X může nabývat).

12 Distribuční funkce Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce F : R R definovaná vztahem F (x) = P(X x). Toto je obecná definice pro jakoukoli náhodnou veličinu, nikoli jen pro diskrétní náhodné veličiny! Někdy se uvádí též definice F (x) = P(X < x).

13 Příklad (Střelci pokračování) Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X. Graf distribuční funkce

14 Výpočet F(x) pro diskrétní náhodné veličiny Je-li X diskrétní náhodná veličina, která může nabývat hodnot x 1, x 2,..., a p její pravděpodobnostní funkce, pak F (x) = x i x p(x i )

15 Vlastnosti distribuční funkce 0 F (x) 1 pro každé x R, F je neklesající, tj. když x y, pak F (x) F (y), lim F (x) = 0, lim F (x) = 1, x x P(a < X b) = F (b) F (a) pro každé a, b R, F je zprava spojitá, tj. lim F (t) = F (x). t x + Vlastnosti distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Graf funkce F má schodovitý tvar. Výšky schodů jsou hodnoty pravděpodobnostní funkce p, p(x) = F (x) lim F (t) pro každé x R. t x

16 Nezávislé náhodné veličiny zjednodušená verze Dvě diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy, když pro každé dvě hodnoty x a y platí P((X = x) (Y = y)) = P(X = x) P(Y = y).

17 Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny Střední hodnotu diskrétní náhodné veličiny X označíme EX (jiná používaná značení: E(X ), µ(x ), µ) a definujeme ji vztahem EX = x i x i p(x i ) (sčítáme přes všechny hodnoty x i, jichž X může nabývat).

18 Vlastnosti střední hodnoty Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny, pak E(X ± Y ) = EX ± EY. Jestliže X je náhodná veličina a c reálná konstanta, pak E(cX ) = cex. Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny a a, b, c reálné konstanty, pak E(a + bx + cy ) = a + bex + cey. Jestliže X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny, pak E(X Y ) = EX EY.

19 Rozptyl diskrétní náhodné veličiny Rozptyl diskrétní náhodné veličiny X označíme DX (jiné názvy: disperze, variance; jiná používaná značení: D(X ), V(X ), σ 2 ) a definujeme jej vztahem DX = E(X EX ) 2. Pro jeho výpočet používáme vzorec DX = x i x 2 i p(x i ) (EX ) 2. Směrodatná odchylka Směrodatnou odchylku diskrétní náhodné veličiny X označíme σ a definujeme ji vztahem σ = DX.

20 Vlastnosti rozptylu DX 0 Jestliže a, b jsou reálné konstanty, pak D(a + bx ) = b 2 DX. Jestliže X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny, pak D(X ± Y ) = DX + DY.