PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA"

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

2 Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr ϑ. Na základě měření (pokusů) chceme odhadnou neznámý parametr ϑ. Provedeme n pokusů (n měření). Výsledky těchto pokusů jsou popsány náhodným výběrem X ( X 1,, X n ) a jeho realizací x x,, x ). ( 1 n Opět předpokládáme, že složky náhodného vektoru jsou nezávislé a mají stejné rozdělení jako náhodná proměnná X. Odhad parametru ϑ budeme provádět pomocí vhodné statistiky X,, X ) a její realizace. T t T x,, x ) ( 1 n ( 1 n

3 Testování hypotéz Požadavek na vybrané statistiky je, aby byly nestranné, konzistentní a pokud možno nejlepší nestranné. Budeme využívat hlavně statistiky: výběrový průměr: X 1 n n i1 X i vývěrový rozptyl (modifikovaný): Výběrový koeficient korelace: Sˆ 1 n 1 i1 n 1 X i X Yi Y n i1 R S( X ) S( Y ) n X i X

4 Testování hypotéz Statistická hypotéza H je tvrzení o vlastnostech rozdělení pravděpodobnosti pozorované náhodné veličiny X s distribuční funkcí F(x, ϑ) nebo náhodného vektoru (X, Y ) se simultánní distribuční funkcí F(x,y, ϑ) apod. Postup, jímž ověřujeme danou hypotézu, se nazývá test statistické hypotézy. Proti testované hypotéze H, nazývané také nulová hypotéza - H 0, stavíme tzv. alternativní hypotézu - H A, kterou volíme dle požadavku úlohy. Jestliže H je hypotéza, že parametr ϑ má hodnotu ϑ 0, píšeme H: ϑ = ϑ 0. Případ H A : ϑ ϑ 0 je dvoustranná alternativní hypotéza a H A : ϑ > ϑ 0, resp. H A : ϑ < ϑ 0, je jednostranná alternativní hypotéza.

5 Testování hypotéz Pro testování hypotézy H: ϑ = ϑ 0 proti nějaké zvolené alternativní hypotéze H A se konstruuje vhodná statistika T X,, X ),tzv. testové kritérium. ( 1 n Při hledání statistiky T se vychází z požadavků na zamítnutí hypotézy H: Za jakých podmínek lze hypotézu zamítnout. K tomu se konstruuje množina možných hodnot realizace statistiky T. Tato množina se nazývá kritický obor a označuje se α. Velikost této množiny závisí na spolehlivosti našeho tvrzení. Pokud realizace zvolené statistiky T: t T ( x 1,, x n ) padne do kritického oboru α ( t ) říkáme, že hypotézu zamítáme na hladině významnosti α. U většiny testů se místo kritického oboru udává doplněk kritického oboru: R \. Pokud realizace zvolené statistiky T padne do doplňku kritického oboru ( t ) říkáme, že hypotézu nezamítáme na hladině významnosti α.

6 Testování hypotéz Hladinu významnosti α volíme opět nejčastěji α = 0.1, 0.05, 0.01 Nezamítnutí hypotézy H, resp. H A, neznamená ještě prokázání její platnosti, neboť jsme na základe realizace náhodného výběru získali pouze informace, které nestačí na její zamítnutí. Je-li to možné, je vhodné před přijetím dané hypotézy zvětšit rozsah statistického souboru a znovu hypotézu H testovat.

7 Testování hypotéz Předpokládejme, že máme hypotézu H: ϑ ϑ 0, a H A : ϑ > ϑ 0. Pak lze pravděpodobnosti α a β zobrazit:

8 Testování hypotéz p hodnota V některých statistických programech se místo testovacího kritéria a doplňku kritického oboru používá tzv.p-hodnota. P-hodnota je hodnota distribuční funkce příslušné statistiky pro testovací kritérium. Pokud p-hodnota je větší rovna zvolenému alfa pak nulovou hypotézu nezamítáme na hladině alfa. Pokud p-hodnota je menší než zvolené alfa pak nulovou hypotézu zamítáme na hladině alfa. P-hodnota udává, pro jaké alfa lze ještě lze nulovou hypotézu nezamítnout (či zamítnout).

9 Hypotézy pro Binomické rozdělení Nechť X je náhodná proměnná, která má Binomické rozdělení Bi(1,p). Neznámý parametr je p pravděpodobnost úspěchu při jednom pokuse. Pokus je úspěšný, pokud náhodně vybraný prvek má sledovanou vlastnost. Provedeme n -měření n-pokusů. Nechť je náhodný výběr, kde pro realizaci i-té složky X i platí: x i =0, pokud vybraný prvek nemá sledovanou vlastnost a x i =1, pokud vybraný prvek má sledovanou vlastnost. x Označme. Pak realizace výběrového průměru je a tedy bodový odhad parametru p je. ( X1,, X n ) n x x i i1 n x p n

10 Hypotézy pro Binomické rozdělení Testujeme hypotézu H: p = p 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : p p 0 : testovací kritérium: doplněk kritického oboru: t x p0 n p 1 p u 0 ( 0 Pro hypotézu H: p = p 0 (H: p p 0 ) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : p > p 0 je doplněk : Pro hypotézu H: p = p 0 (H: p p 0 ) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : p < p 0 je doplněk : u kde, jsou kvantily normovaného normálního rozdělení. 1 u 1 n ) 1, u 1, u1, u 1

11 Hypotézy pro Binomické rozdělení Příklad 1: Hodíte 100x kostkou. 6 vám padla 0x. Otestujte hypotézu, že pravděpodobnost padnutí 6 je 1/6 vzhledem k alternativní hypotéze, že je větší než 1/6. Otestujte hypotézu (na hladině významnosti α=0,05), že pravděpodobnost padnutí 6 větší rovno než 1/6 vzhledem k alternativní hypotéze, že je menší než 1/6. Příklad : Strana XYZ nechá udělat průzkum její volitelnosti. Vybraná agentura udělá průzkum u reprezentativního vzorku obyvatelstva. Osloví 107 respondentů. Z nich 81 by danou stranu volilo. Otestujte hypotézu (na hladině významnosti α=0,05), že pravděpodobnost volební preference strany větší rovno 30% vzhledem k alternativní hypotéze, že je menší než 30%.

12 Hypotézy pro Binomické rozdělení Nechť X1 je náhodná proměnná, která má Binomické rozdělení Bi(1,p1).. Provedeme n1-pokusů a nechť x1 je úspěšných. Bodový odhad pravděpodobnosti p1 je: Nechť X je náhodná proměnná, která má Binomické rozdělení Bi(1,p).. Provedeme n-pokusů a nechť x je úspěšných. Bodový odhad pravděpodobnosti p je:. p1 p x1 n1 x n

13 Hypotézy pro Binomické rozdělení Testujeme hypotézu H: p1 = p vzhledem k alternativní hypotéze: H A : p1 p : testovací kritérium: doplněk kritického oboru: u 1, u 1 Pro hypotézu H: p1 = p (H: p1 p) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : p1 > p je doplněk : Pro hypotézu H: p1 = p (H: p1 p ) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : p1 < p je doplněk : u kde, jsou kvantily normovaného normálního rozdělení. 1 u 1 t x1 x n1 n n1* n f (1 f ) n1 n, u1 u 1, x1 x f n1 n

14 Hypotézy pro Binomické rozdělení Příklad 3: Strana XYZ nechá udělat průzkum její volitelnosti. Vybraná agentura udělá průzkum u reprezentativního vzorku obyvatelstva. Osloví 107 respondentů. Z nich 81 by danou stranu volilo je stála předvolební kampaň. Po předvolební kampani si zadali další průzkum. Z 138 respondentů by 403 danou stranu volilo. Otestujte hypotézu (na hladině významnosti α=0,05), že byly vhodně investované peníze.

15 Hypotézy pro Normální rozdělení Nechť X je náhodná proměnná, která má Normální rozdělení N(μ, σ ). Neznámé parametry jsou: μ, σ Při testování hypotéz budeme vycházet z výběrového průměru a výběrového rozptylu: Nechť X, S je výběrový průměr a výběrový rozptyl. Pak platí: X n n 1 S je nejlepší nestranný konzistentní odhad parametru E(X) = μ je nejlepší nestranný konzistentní odhad parametru D(X) = σ Provedeme n pokusů (n měření). Výsledky těchto pokusů jsou popsány náhodným výběrem X ( X,, ) a jeho realizací 1 X n. x ( x 1,, x n )

16 Hypotézy pro jeden výběr z Normální rozdělení Testujeme hypotézu H: μ = μ 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : μ μ 0 : testovací kritérium: t x s 0 n 1 doplněk kritického oboru: t 1, t 1 Pro hypotézu H: μ = μ 0 (H : μ μ 0 ) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : μ > μ 0 je doplněk : Pro hypotézu H: μ = μ 0 (H: μ μ 0 ) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : μ < μ 0 je doplněk : t kde, jsou kvantily Studentova rozdělení s k=n-1 stupni volnosti. 1 t 1, t1 t 1,

17 Hypotézy pro jeden výběr z Normální rozdělení Testujeme hypotézu H: σ =σ 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : σ σ 0 : testovací kritérium: t n s 0 doplněk kritického oboru:, 1 Pro hypotézu H: σ = σ 0 (H: σ σ 0 ) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : σ > σ 0 je doplněk : Pro hypotézu H: σ = σ 0 (H: σ σ 0 ) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : σ < σ 0 je doplněk :,, 0, 1, kde, jsou kvantily Pearsonovarozdělení s k=n-1 stupni 1 1 volnosti.

18 Hypotéza pro párové dvojice z Normální rozdělení Nechť (X,Y) je náhodný vektor, který má Normální rozdělení N (μ, σ ), kde μ= (μ(x), μ(y)) je vektor. Chceme porovnat μ(x) a μ(y). Zavedeme novou náhodnou proměnnou D=X-Y. Náhodná proměnná D má opět normální rozdělení se střední hodnotou μ = μ(x) - μ(y). Z naměřených hodnot (x i, y i ) vytvoříme nový soubor d: kde d i = x i, - y i K tomuto souboru spočítáme d, s( d) Testujeme hypotézu H: μ = μ 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : μ μ 0 : testovací kritérium: doplněk kritického oboru: t kde, jsou kvantily Studentova rozdělení s k=n-1 stupni volnosti. 1 t 1 t d s( d) t 0 n 1 1, t 1

19 Hypotéza pro párové dvojice z Normální rozdělení Test na koeficient korelace Nechť (X,Y) je náhodný vektor, který má Normální rozdělení N (μ, σ ), Chceme odhadnou korelaci složek náhodného vektoru ρ(x,y). Nechť r je bodový odhad. Předpokládejme: n 10, r <1, ρ 0 <1. Testujeme hypotézu H: ρ = ρ 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : ρ ρ 0 : testovací kritérium: doplněk kritického oboru: u u 1, u 1 kde, jsou kvantily normovaného normálního rozdělení 1 u 1

20 Hypotéza pro párové dvojice z Normální rozdělení Test na nulový koeficient korelace Nechť (X,Y) je náhodný vektor, který má Normální rozdělení N (μ, σ ), Chceme zjisti, lineární závislost či nezávislost složek náhodného vektoru (X,Y). Testujeme ρ(x,y) na 0. Nechť r je bodový odhad. Testujeme hypotézu H: ρ = 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : ρ 0 : testovací kritérium: doplněk kritického oboru: kde t 1 0, t 1 je kvantily Studentova rozdělení s k=n- stupni volnosti

21 Hypotéza pro dva výběry z Normální rozdělení Nechť X, Y jsou náhodné veličiny, které mají Normální rozdělení: X N(μ(X), σ (X), Y N(μ(Y), σ (Y). Chceme porovnat μ(x) a μ(y). Provedeme n1 měření pro náhodnou proměnnou X. Výsledky těchto pokusů jsou popsány náhodným výběrem ( X,, ) a jeho realizací. 1 X n1 ( x1,, xn 1) Spočítáme x, s( x) Provedeme n měření pro náhodnou proměnnou Y. Výsledky těchto pokusů jsou popsány náhodným výběrem ( Y1,, Yn ) a jeho realizací ( y1,, yn ). Spočítáme y, s( y). Testujeme hypotézu H: μ(x) - μ(y) = :μ 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : : μ(x) - μ(y) μ 0. Tento test má dvě varianty: pro stejné rozptyly a pro různé rozptyly.

22 Hypotéza pro dva výběry z Normální rozdělení Test rovnosti rozptylů Nechť X, Y jsou náhodné veličiny, které mají Normální rozdělení: X N(μ(X), σ (X), Y N(μ(Y), σ (Y). Testujeme hypotézu H: σ (X) = σ (Y) vzhledem k alternativní hypotéze: H A : σ (X) σ (Y) : testovací kritérium: 1, F1 / ( k1, k) doplněk kritického oboru:, F ( 1 k1, k) kde /, je kvantil Fischerova-Snedecorova rozdělení s k1 a k stupni volnosti. k1=n1-1, k=n-1 pro k1=n-1, k=n1-1 pro

23 Hypotéza pro dva výběry z Normální rozdělení Test rovnosti středních hodnot za podmínky σ (X) = σ (Y) Nechť X, Y jsou náhodné veličiny, které mají Normální rozdělení: X N(μ(X), σ (X), Y N(μ(Y), σ (Y). Testujeme hypotézu H: μ(x) - μ(y) = μ 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : μ(x) - μ(y) μ 0 testovací kritérium: 1, t 1 doplněk kritického oboru:, t t kde, jsou kvantily Studentova rozdělení s k=n-1 stupni volnosti. 1 t 1

24 Hypotéza pro dva výběry z Normální rozdělení Test rovnosti středních hodnot za podmínky σ (X) σ (Y) Nechť X, Y jsou náhodné veličiny, které mají Normální rozdělení: X N(μ(X), σ (X), Y N(μ(Y), σ (Y). Testujeme hypotézu H: μ(x) - μ(y) = μ 0 vzhledem k alternativní hypotéze: H A : μ(x) - μ(y) μ 0 : testovací kritérium: doplněk kritického oboru:, kde, a t(x), t(y) jsou kvantily Studentova rozdělení s k x =n1-1, k y =n-1 stupni volnosti.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testování hypotéz o rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testování hypotéz o rozdělení PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz o rozdělení Testování hypotéz o rozdělení Nechť X e náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládeme, že neznáme tvar distribuční funkce

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrické testy hypotéz čast 1 Neparametrické testy hypotéz - úvod Neparametrické testy statistických hypotéz se používají v případech, kdy neznáme rozdělení pozorované

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 11. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 27 Obsah 1 Testování statistických hypotéz 2

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Testy statistických hypotéz Statistická hypotéza je jakýkoliv předpoklad o rozdělení pravděpodobnosti jedné nebo několika náhodných veličin. Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem

Více

Stručný úvod do testování statistických hypotéz

Stručný úvod do testování statistických hypotéz Stručný úvod do testování statistických hypotéz 1. Formulujeme hypotézu (předpokládáme, že pozorovaný jev je pouze náhodný). 2. Zvolíme hladinu významnosti testu a, tj. riziko, s nímž jsme ochotni se smířit.

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0. 11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Petr Misák Ústav stavebního zkušebnictví Fakulta stavební, VUT v Brně misak.p@fce.vutbr.cz Základní pojmy Jev souhrn skutečností zobrazujících ucelenou

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013 Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

12. prosince n pro n = n = 30 = S X

12. prosince n pro n = n = 30 = S X 11 cvičení z PSI 1 prosince 018 111 test střední hodnoty normálního rozdělení při známém rozptylu Teploměrem o jehož chybě předpokládáme že má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 3 jsme provedli

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

Náhodné veličiny, náhodné chyby

Náhodné veličiny, náhodné chyby Náhodné veličiny, náhodné chyby Máme náhodnou veličinu X, jejíž vlastnosti zkoumáme. Pokud známe její rozložení (např. z nějaké dřívější studie) nebo alespoň předpokládáme znalost rozložení, můžeme ji

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly

Více

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty Neparametrické testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Testování hypotéz. testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace. tvrzení je nutno předem zformulovat

Testování hypotéz. testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace. tvrzení je nutno předem zformulovat Testování hypotéz testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace tvrzení je nutno předem zformulovat najít odpovídající test, podle kterého se na základě informace z výběrového souboru rozhodneme, zda

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj. Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik.

Více

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě

Více

Jednostranné intervaly spolehlivosti

Jednostranné intervaly spolehlivosti Jednostranné intervaly spolehlivosti hledáme jen jednu z obou mezí Princip: dle zadání úlohy hledáme jen dolní či jen horní mez podle oboustranného vzorce s tou změnou, že výraz 1-α/2 ve vzorci nahradíme

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

prosince oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti τ. X i. X = 1 n.. Podle CLV má veličina

prosince oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti τ. X i. X = 1 n.. Podle CLV má veličina 10 cvičení z PSI 5-9 prosince 016 101 intervalový odhad Veličina X, představující životnost žárovky, má exponenciální rozdělení s parametrem τ Průměrná životnost n = 64 náhodně vybraných žárovek je x =

Více

Zpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Testování statistických hypotéz. Obecný postup

Testování statistických hypotéz. Obecný postup poznámky k MIII, Tomečková I., poslední aktualizace 9. listopadu 016 9 Testování statistických hypotéz Obecný postup (I) Vyslovení hypotézy O datech vyslovíme doměnku, kterou chceme ověřit statistickým

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK11 Základy ekonometrie Autokorelace Cvičení 5 Zuzana Dlouhá Gauss-Markovy předpoklady Náhodná složka: Gauss-Markovy předpoklady 1. E(u) = náhodné vlivy se vzájemně vynulují. E(uu T ) = σ I n konečný

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 4. až 5.4 hod. http://www.osu.cz/~tvrdik

Více

Analýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Analýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel Analýza rozptylu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO Brno) Analýza rozptylu 1 / 30 Analýza

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test)

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Autoři: Carlos M. Jarque and Anil K. Bera Předpoklady: - Výběrová data mohou obsahovat chybějící pozorování (chybějící hodnoty) vhodné zejména

Více

Intervalové Odhady Parametrů

Intervalové Odhady Parametrů Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze

Více

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech. Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom

Více

Co je to statistika? Úvod statistické myšlení. Základy statistického hodnocení výsledků zkoušek. Petr Misák

Co je to statistika? Úvod statistické myšlení. Základy statistického hodnocení výsledků zkoušek. Petr Misák Základy statistického hodnocení výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Co je to statistika? Statistika je jako bikiny. Odhalí téměř vše, ale to nejdůležitější nám zůstane skryto. (autor neznámý)

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Statistika pro každého. Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při nestejných rozptylech

Statistika pro každého. Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při nestejných rozptylech Statistika pro každého Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při stejných rozptylech Testovací kuchařka 1 2 Párový t-test 1 2 Párový t-test -test užijeme v

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží

Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží Zdeněk Karpíšek Jsou tři druhy lží: lži, odsouzeníhodné lži a statistiky. Statistika je logická a přesná metoda, jak nepřesně

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by Birom

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

Příklad datového souboru. Pravděpodobnost vs. statistika. Formální definice. Teorie odhadu

Příklad datového souboru. Pravděpodobnost vs. statistika. Formální definice. Teorie odhadu Pravděpodobnost vs. statistika Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými veličinami, jejichž rozdělení je známo Statistika odvozovali jsme charakteristiky těchto rozdělení

Více