Čtyřleté gymnázium MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Transkript

1 1 z 14 Čtyřleté gymnázium MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu: Obsahové vymezení: Vyučovací předmět matematika pokrývá vzdělávací oblast Matematika a její aplikace, stanovenou RVPGV. Vzdělávací cíle předmětu matematika vycházejí z tradicí ověřeného rozvoje kognitivních a komunikačních schopností a dovedností žáků gymnázií na českém území. Důraz klademe na dobré porozumění pojmům a souvislostem, na bezpečné zvládnutí základních dovedností, na správné používání symbolického jazyka matematiky, na rozvoj logických schopností a geometrického vnímání světa. Výuka matematiky zohledňuje aktuální rozvoj výpočetní techniky. Vzdělávací cíle rovněž odrážejí současné pojetí vzdělávacího procesu a zejména akcentují schopnost tvořivě pracovat s informacemi, dovednost kultivovaně formulovat a argumentovat. Absolvent se v matematice pohybuje na dobré evropské úrovni. Časové a organizační vymezení: První ročník je pro všechny žáky společný. Od druhého ročníku se matematika vyučuje ve dvou úrovních. Základní (informační) úroveň si volí žáci, kteří se zejména věnují jiným vzdělávacím oborům, nemají v úmyslu absolvovat školní maturitu z matematiky ani skládat přijímací zkoušky z matematiky na vysokou školu. Rozšířenou (výkonnostní) úroveň si volí žáci, kteří matematiku a příbuzné obory studují intenzivněji a vyžadují vyšší nároky a větší rozsah učiva. Hodinová dotace je zachycena v tabulce úroveň 1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník základní rozšířená Jedna hodina v každém ročníku má formu cvičení, třída (skupina) je dělená na polovinu. Na povinné hodiny matematiky navazují volitelné semináře, které dávají prostor nadstandardní látce i metodám práce. Jejich cíle i učivo se aktuálně obměňují podle zaměření a požadavků žáků. Výchovné a vzdělávací strategie: Kompetence k učení učitel: uspořádá učivo v čase, respektuje návaznosti a vztahy uvnitř učiva, dbá na rovnoměrné zatížení žáků v průběhu školního roku seznamuje žáky s učivem živým způsobem, motivuje žáky vhodnými otázkami a problémovými úlohami vytváří ve třídě atmosféru podporující soustředěnou práci systematicky oceňuje dobrou práci žáků přesnost, vytrvalost, duševní činorodost, koncepční schopnost; netoleruje ledabylost a malou snahu vede postupně žáky k samostatné práci s matematickými informacemi podporuje nadané žáky v účasti v matematických soutěžích a ve vzdělávacích aktivitách mimo vyučování (korespondenční semináře, přednášky apod.) Kompetence k řešení problému učitel: vedle standardních metod vytváří příležitosti k investigativní a aplikační činnosti žáků poskytuje žákům pomoc a zpětnou vazbu při hledání formulace problému a jeho řešení diskutuje s žáky o verifikaci řešení problému, o příčinách a důsledcích chyb poskytuje prostor k prezentaci řešení problému Kompetence komunikativní učitel: vyjadřuje se v hodinách kultivovaně, přesně a srozumitelně a totéž vyžaduje od žáků vede žáky k užívání symbolického jazyka matematiky, k přesné formulaci tvrzení moderuje žákovské debaty, klade důraz na kvalitní argumentaci využívá matematický software, internet, video a další informační technologie Kompetence sociální učitel: organizuje činnost žáků ve dvojicích, skupinách, vede žáky k vlastní organizaci práce skupiny, k zodpovědnosti za činnost skupiny

2 oceňuje projevy úcty k práci druhých Kompetence občanské učitel: podporuje zodpovědný vztah k plnění povinností, ke studiu vede žáky k toleranci, ale také ke kritickému hodnocení názorů jiných 2 z 14

3 3 z ROČNÍK výstupy RVP GV žák: výstupy ŠVP - žák: Učivo: Souvislosti: odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí účelně využívá kalkulátor rozezná a zdůvodní chybu ve výpočtu Výrazy numerické, aritmetické operace, odhady fyzika výpočty kalkulátor upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí operuje s intervaly používá správně logické spojky a kvantifikátory řeší lineární a kvadratické rovnice, nerovnice a jejich zapisuje výrazy s proměnnými zná zpaměti vzorce A 2 -B 2, A 3 ±B 3, (A±B) 2, (A±B) 3 a dokazuje jejich správnost dělí mnohočleny aplikuje pravidla pro počítání s mocninami počítá s velkými a malými čísly používá semilogaritmický tvar čísla převádí operace s odmocninami na operace s mocninami s racionálním exponentem zapisuje a určí množinu výčtem prvků, charakteristickou vlastností a množinovými operacemi rozlišuje a zdůvodňuje vztah inkluze a rovnosti množin určuje sjednocení a průnik množin rozezná, kdy je věta výrok, a určí pravdivostní hodnotu užívá výroky obsahující slova každý, žádný, aspoň, právě, nejvýše a neguje je čte a zapisuje matematická tvrzení s proměnnou a kvantifikátorem určí strukturu složeného výroku užívá pojmy funkce, nezávisle a závisle proměnná, definiční Výrazy s proměnnou, mnohočleny, lomené výrazy Mocniny a odmocniny, celočíselný a racionální exponent Množiny, základní operace, intervaly Základní logické pojmy, kvantifikátory, disjunkce, konjunkce, negace, implikace, ekvivalence Pravoúhlá soustava souřadnic Funkce, základní vlastnosti, fyzika - vzorce semilogaritmický tvar na kalkulačce fyzika - výpočty množinové diagramy jako metoda řešení slovních úloh zápisy a čtení textu v symbolickém jazyce matematiky aplikační úlohy

4 4 z 14 soustavy načrtne graf funkce y = ax+b, y = ax 2 +bx+c zdůvodňuje vlastnosti funkce rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů geometricky znázorňuje řešení rovnic a nerovnic interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích a nerovnicích obor, obor hodnot, graf určí z grafu vlastnosti a druh funkce ověřuje správnost řešení rovnice, nerovnice, soustavy vhodně zapisuje množiny kořenů aplikuje vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice řeší rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, strukturuje řešení na základě logické úvahy vyjadřuje neznámou ze vzorce graf Lineární rovnice a nerovnice Vyjádření neznámé ze vzorce Lineární funkce Soustavy lineárních rovnic, početní a grafické řešení Slovní úlohy Kvadratické funkce, rovnice, nerovnice Vietovy vzorce Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých do 2. stupně Slovní úlohy Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Rovnice s neznámou pod odmocninou v jednodušších případech diskutuje řešitelnost a počet řešení lineární a kvadratické rovnice rozliší pojem proměnná, parametr, konstanta diskutuje řešitelnost rovnic v závislosti na parametru Rovnice s parametry, diskuse jednodušší typy aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty načrtne graf funkce y =, zdůvodňuje vlastnosti funkce načrtne graf funkce y = x n, nî Z zdůvodňuje vlastnosti funkce využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů řeší lineární a kvadratické rovnice s absolutní hodnotou načrtne graf funkce s absolutní hodnotou využívá grafu k řešení rovnic a nerovnic člení úlohu a provádí syntézu závěru odhaduje chování funkce pro velká x aplikuje základní transformace grafu funkcí rozezná sudou a lichou funkci vysvětlí vztah inverzních funkcí a využívá jejich vlastností Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Grafy funkcí lineárních a kvadratických s absolutní hodnotou porovnání početního a grafického řešení, ověřování správnosti Lineární lomená funkce asymptotické chování, pojem nekonečno Mocninné funkce s celočíselným mocnitelem, inverzní funkce

5 geometricky znázorňuje řešení rovnic a nerovnic interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích 5 z 14

6 6 z ROČNÍK výstupy RVP GV žák: výstupy ŠVP - žák: (základní úroveň) Učivo: (základní) výstupy ŠVP - žák: (rozšiřující úroveň) Učivo: (rozšiřující) Souvislosti: určuje geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině, na základě vlastností třídí útvary využívá náčrt při řešení planimetrických problémů užívá symbolický jazyk geometrie Základní planimetrické pojmy: úhly, trojúhelníky, čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, kružnice Množiny bodů daných vlastností (základní) Úhly v kružnici, výpočet a konstrukce dokazuje a vyvrací rovnost množin bodů Tečnové a tětivové čtyřúhelníky Složitější úlohy, argumentace Opakování ze ZŠ, sjednocení značení a zápisů teorie množin software řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím množin bodů dané vlastnosti ověřuje řešení úlohy, diskutuje řešitelnost úlohy Konstrukční úlohy řešené množinami bodů diskutuje řešitelnost úlohy v závislosti na vstupních parametrech Náročnější úlohy řeší planimetrické úlohy motivované praxí Euklidovy věty aplikace početní i konstrukční řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy pomocí konstrukce délek úseček daných výrazem pracuje s iracionálními čísly graficky znázorní iracionální čísla ověřuje řešení úlohy Konstrukční úlohy řešené výpočtem diskutuje řešitelnost úlohy v závislosti na vstupních parametrech Náročnější úlohy Pythagorova věta, Euklidovy věty, podobnost řeší pravoúhlý trojúhelník v aplikovaných úlohách Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku fyzika mechanika zeměpissouřadnice převádí míry úhlů Orientovaný úhel, oblouková míra načrtne grafy goniometrických funkcí zdůvodňuje vlastnosti funkce využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic, při určování využívá efektivně kalkulátor a matematický software aplikuje transformace grafů funkcí korektně zapisuje Goniometrické funkce, definice, hodnoty, vlastnosti, grafy, transformace grafů umí zpaměti základní goniometrické vzorce řeší rovnice a nerovnice aplikací vzorců dokazuje rovnost goniometrických kalkulačky, software, fyzika - mechanika

7 7 z 14 kvantitativních vztahů geometricky znázorňuje řešení rovnic modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích, nerovnicích v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravu výrazů množiny kořenů rovnic Vztahy mezi funkcemi Sinus a kosinus dvojnásobného úhlu Goniometrické rovnice (základní) Sinová a kosinová věta výrazů aplikací vzorců Goniometrické vzorce Rovnice řešené aplikací vzorců, goniometrické nerovnice využívá náčrt při řešení planimetrického problému v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy a trigonometrii umí zpaměti základní vzorce pro výpočet obsahu a obvodu Výpočet obsahů a obvodů rovinných útvarů zdůvodňuje správnost vzorců pro výpočet obsahu přehled vzorců pro plochu trojúhelníku určuje geometrické pojmy využívá náčrt při řešení geometrického problému rozlišuje vektorové a skalární veličiny provádí operace s vektory Vektory v rovině, souřadnice, sčítání, násobení reálným číslem, skalární součin Rozklad vektoru na složky fyzika vektorové veličiny využívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině, využívá geometrický význam koeficientů řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině Analytické vyjádření přímky v rovině Polohové a metrické úlohy v rovině užívá metody analytické geometrie k řešení problémů Analytická metoda řešení úloh využívá charakteristických vlastností kuželoseček k analytickému vyjádření z analytického zdůvodňuje a aplikuje vlastnosti kuželoseček užívá středovou a obecnou Kuželosečky, definice, vlastnosti, analytické vyjádření Vzájemná poloha přímky a užívá středovou a obecnou rovnicí kuželoseček užívá analytickou metodu k Vyšetřování množin bodů analytickou metodou aplikace technické, umělecké

8 8 z 14 vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce řeší analyticky úlohy o vzájemné poloze přímky a kuželosečky (diskusí znaménka diskriminantu) rozlišuje analytické vyjádření útvaru od zadání funkce předpisem rovnicí kružnice kuželosečky vyšetřování množin bodů dané vlastnosti a k řešení aplikačních úloh ověřuje řešení problému využívá náčrt při řešení geometrického problému řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy pomocí zobrazení řeší geometrické úlohy motivované praxí Shodná zobrazení v rovině (posunutí) Podobná zobrazení, stejnolehlost Konstrukční úlohy řešené pomocí zobrazení volí efektivní metodu řešení problému ověřuje a obhajuje řešení problému Smíšené úlohy z planimetrie řešení analytickou i syntetickou metodou

9 9 z 14 3.ROČNÍIK výstupy RVP GV žák: výstupy ŠVP - žák: (základní úroveň) Učivo: (základní) výstupy ŠVP - žák: (rozšiřující úroveň) Učivo: (rozšiřující) Souvislosti načrtne graf funkce y = a x, y = log a x zdůvodňuje vlastnosti funkcí využívá vlastnosti funkcí při řešení rovnic a nerovnic aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních a logaritmických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi modeluje závislosti pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích určuje geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v prostoru zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan využívá vlastností inverzních funkcí ověřuje řešení rovnic a nerovnic Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice, nerovnice Vlastnosti logaritmů Přirozený logaritmus Aplikace Základní stereometrické pojmy, volné rovnoběžné promítání Složitější rovnice Nerovnice kalkulátor, software fyzika modelování rozpadu biologie modelování rů určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů v prostoru využívá náčrt při řešení problému sestrojí a zobrazí rovinný řez hranolu a jehlanu nebo jejich průnik s přímkou využívá náčrt při řešení problému určuje vzdálenosti a odchylky lineárních útvarů v prostoru v úlohách početní Vzájemné polohy přímek a rovin v prostoru, řezy Metrické úlohy v prostoru, vzdálenosti, odchylky rozlišuje mezi definicí a kriteriem rovnoběžnosti a kolmosti analyzuje a řeší komplexní stereometrické problémy metrické a polohové ověřuje řešení problému Příčky mimoběžek, náročnější úlohy rovnoběžnost vzájemná pol tří rovin a řeš soustavy rovnic o neznámých kolmost, kriter

10 10 z 14 geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii řeší stereometrické problémy motivované praxí aplikuje poznatky z planimetrie ve stereometrii v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii řeší stereometrické problémy motivované praxí, aplikuje poznatky z planimetrie ve stereometrii aplikuje vzorce pro objemy a povrchy těles efektivně využívá kalkulátor Tělesa, objemy, povrchy Eulerova věta provádí operace s vektory vysvětlí geometrický význam operací určuje vzájemnou polohu, vzdálenosti a odchylky lineárních útvarů v prostoru analytickou metodou užívá analytické metody k řešení komplexních úloh v prostoru užívá analogie mezi kružnicí a kulovou plochou volí syntetickou nebo analytickou metodu řešení problému a kriticky hodnotí jejich výhody a nevýhody dokazuje jednoduchá tvrzení matematickou indukcí Souřadná soustava v prostoru Vektory, operace s vektory Analytické vyjádření přímky v prostoru Analytické vyjádření roviny prostoru Polohové a metrické úlohy analytickou metodou Analytické vyjádření kulové plochy Smíšené úlohy ze stereometrie Matematická indukce Řešitelnost soustavy rovnic o tř neznámých Porovnání met

11 11 z 14 řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet) upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly řeší rovnice s faktoriály a kombinačními čísly Kombinatorika, základní pojmy a úvahy Kombinace, variace, permutace bez opakování Variace s opakováním Faktoriály a kombinační čísla ověřuje vlastnosti kombinačních čísel a faktoriálů Kombinace, permutace s opakováním Důkazy vlastností kombinačních čísel pravidlo souč a součtu slovní úlohy upravuje efektivně číselné výrazy a výrazy s proměnnými využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti čte a zapisuje výrazy s indexy a sumou Binomická věta Základní pojmy pravděpodobnosti, definice rozlišuje klasickou a statistickou definici pravděpodobnosti Pravděpodobnost sjednocení, průniku, doplňku jevů užívá analogii mezi množinovými operacemi a výpočtem pravděpodobnosti množinové po pravděpodobn

12 12 z ROČNÍK výstupy RVP GV žák: výstupy ŠVP - žák: (základní úroveň) Učivo: (základní) výstupy ŠVP - žák: (rozšiřující úroveň) Učivo: (rozšiřující) Souvislosti: diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení vytváří a vyhodnocuje závěry a předpovědi na základě dat volí a využívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat využívá software užívá symbolický jazyk matematiky pracuje s indexy Základní statistické pojmy, třídění dat, charakteristiky polohy Grafické zpracování dat, tabulky, diagramy interpretuje výsledky výpočtů, porovnává soubory na základě charakteristik interpretuje závislost dat Podrobnější grafické zpracování Charakteristiky variability, další charakteristiky Dvourozměrné soubory, korelace software reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a graf, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k odlišným charakteristikám zdůvodňuje vlastnosti posloupností modeluje závislosti posloupnostmi řeší aplikační úlohy využitím poznatků o posloupnostech interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice užívá správně vzorec pro n-tý člen a rekurentní zadání posloupnosti Posloupnosti, definice, vlastnosti, grafy, rekurentní zadání Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Aplikace, finanční matematika aplikační úlohy jednoduché a složené úrokování

13 13 z 14 odhaduje a zdůvodňuje chování posloupností pro velká n používá symbolický jazyk matematiky diskutuje konvergenci a divergenci posloupností a určuje limity užívá symbolický zápis řady diskutuje konvergenci a divergenci řady a určuje součet řady řeší aplikační úlohy Limita posloupnosti Nekonečná řada, aplikace práce s nekonečnem užívá základní pojmy diferenciálního počtu užívá a zdůvodňuje význam derivace pro průběh funkce derivuje elementární a složené funkce řeší aplikační úlohy pomocí diferenciálního počtu vyšetřuje průběh funkcí Základní pojmy diferenciálního počtu Limita funkce Asymptota ke grafu funkce Derivace funkce a její význam Extrémy funkce Druhá derivace Vyšetřování průběhu funkce nekonečně velké a nekonečně malé veličiny fyzika vztahy mezi veličinami užívá správně logické spojky a kvantifikátory, objasní stavbu matematické věty rozlišuje předpoklad, závěr a důsledek tvrzení formuluje obrácenou a obměněnou implikací rozlišuje mezi obecným důkazem a ověřením jednotlivého případu užívá základní důkazové metody Logika, práce s výroky, důkazové metody určuje pravdivostní hodnotu složených výroků a neguje je dokazuje základní matematické věty gymnaziální matematiky Složitější úlohy

14 14 z 14 užívá základní vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel pracuje s iracionálními a reálnými čísly k důkazu jednoduchého matematického tvrzení vyvrací jednoduchá matematická tvrzení, uvádí protipříklady užívá symbolické zápisy číselných oborů dokazuje věty o dělitelnosti Teorie čísel zapisuje komplexní čísla v algebraickém i goniometrickém tvaru provádí operace s komplexními čísly znázorňuje komplexní čísla v Gaussově rovině řeší kvadratické rovnice v C početně i graficky řeší binomické rovnice v C řeší jednodušší rovnice vyšších stupňů v C Komplexní čísla Algebraický a goniometrický tvar Operace s kompl.čísly Moivreova věta Řešení rovnic v komplexním oboru Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty Binomické rovnice Rovnice vyšších stupňů význam vícenásobných kořenů pro průběh polynomické funkce