PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Studium Brownova pohybu. stud. skup.

Transkript

1 Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. XVI Název: Studium Brownova pohybu Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne

2 1 Zadání úlohy 1. Experimentálně ověřte platnost Einsteinova vztahu pro střední kvadratické posunutí částice s 2 při Brownově pohybu. 2. Určete aktivitu Brownova pohybu A částic latexu ve vodě za pokojové teploty. 3. Vypočtěte Avogadrovu konstantu N A. 2 Teoretický úvod měření Brownův pohyb nese jméno skotského botanika R. Browna, neboť právě on jako první mikroskopem pozoroval neustálý chaotický pohyb rostlinných pylových částeček vznášejících se v kapalině a vyzkoumal, že tento pohyb nemůže být pohybem živým a že se jedná o zprostředkované nahlédnutí k existenci pohybu na molekulární úrovni. Brownův pohyb se tak stal jedním z důležitých průkazných pilířů kinetické teorie látky látky tvoři částice vykonávající tzv. tepelný pohyb [4]. Brownovým pohybem tedy rozumíme pohyb malých částeček v kapalině nebo plynu, které v důsledku účinků nevyrušujících se srážek s částicemi tekutiny vykonávají chaotický neuspořádaný pohyb. Experimentálně je ukázáno, že intenzita tohoto pohybu je úměrná termodynamické teplotě, klesá s viskozitou tekutiny a je tím větší, čím menší je rozměr částeček. Při měření je třeba volit dostatečně malé kuličky, aby se fluktuace srážek projevila, ale současně dostatečně velké, aby je bylo možné např. optickým mikroskopem, pozorovat. V praxi se proto používají kuličky o velikosti řádově 1 µm [4]. Při zkoumání Brownova pohybu se používají částice ve tvaru kuliček, neboť pro takovou částici lze s užitím Stokesovy odporové síly snadno sestavit pohybovou rovnici a s pomocí ekvipartičního teorému odvodit vztah pro střední kvadratické posunutí částice [4]. Zavedení potřebných veličin a vztahů Z předpokladu, že žádný směr pohybu částic není preferován, plyne, že střední posunutí ve všech směrech částic je nulové. Z tohoto důvodů pro posuzování Brownova pohybu zavádíme střední kvadratické posunutí. Pro suspenzi o dynamické viskozitě η a teplotě T dokonalých kuliček o poloměru r lze z pohybové rovnice a ekvipartičního teorému odvodit velikost středního kvadratického posunutí ve směru jedné osy ve tvaru (Einsteinův vztah) [4] R m univerzální plynová konstanta [J K 1 mol 1 ], N A Avogadrova konstanta [mol 1 ], T termodynamická teplota suspenze [K], r poloměr brownovské částice [m], η dynamická viskozita suspenze [Pa s] t čas posunutí [s]. x 2 = 1 R m T t = A t. (1) 3π N A rη A = 1 R m T 3π N A rη Souhrné konstantě A ve vztahu (1) říkáme aktivita Brownova pohybu [3]. Všimněme si, že aktivita Brownova pohybu je určena kromě konstant N A a R m také teplotou suspenze T, její viskozitou η a poloměrem kuliček r. Historicky bylo měření Brownova pohybu metodou ke stanovení Boltzmanovy konstanty k B, neboť pro ni platí R m = N A k B a hodnota univerzální plynové konstanty byla známa. [4] (2) 2

3 Uvažujme pohyb v rovině. Jsou-li oba směry pohybu částice stejně pravděpodobné (nedochází k preferovanému tečení), platí x 2 = ȳ 2. Střední kvadratické posunutí v rovině je pak s použitím Einsteinova vztahu (1) rovno s 2 = x 2 + ȳ 2 = 2 x 2 = 2A t. (3) Cílem měření bude ze vztahů (1) a (2) vypočítat Avogadrovu konstantu N A. Při měření v praxi nejsou podmínky, za kterých je vztah odvozen, přesně splněny. Aby výpočet konstanty byl co nejpřesnější, je třeba provádět měření více a vybrat takové, kde co nejlépe přibližně platí [3] s 2 t : s 2 2t : s 2 3t :... = t : 2t : 3t :..., (4) kde s 2 2t (resp. s2 3t ) jsou kvadráty vzdáleností bodů i a i + 2 (resp. i a i + 3) po sobě zachycených v časovém kroku t. K výpočtu Avogadrovy konstanty z aktivity Brownova pohybu je třeba znát dynamickou viskozitu η zkoumané suspenze. Ta lze v našem případě vyjádřit přibližně pomocí vztahu [3] kde ϕ je objemový podíl částic v suspenzi. 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky η = η R η H2 O. = (1 + 2,5 ϕ) η H2 0, (5) Trinokulární mikroskop MOTIC, kamera, PC s videokartou a softwarem (program Brown), pravítko, zvukový signalizátor času, tiskárna, Brownův roztok (latexové částečky), laboratorní míchadlo vzorků, ze sítě řízené stopky, podložní sklo, krycí sklíčka a další pomůcky (lihová fixa, destilovaná voda, papírové ubrousky), snímek latexových částeček z elektronovéhu mikroskopu s měřítkem. Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo Veličina[jednotka] Mezní chyba Pozn. Pravítko d[m] 10 3 odhad Stopky t[s] 0,3 reakční doba 2.2 Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. ˆ Univerzální plynová konstanta: R M = 8, J K 1 mol 1 [2] ˆ Tabulková hodnota Avogadrovy konstanty: N A = 6, mol 1 [2] ˆ Dynamická viskozita vody při teplotě vzorku: η H2 O = 0, Pa s [5] 2.3 Popis postupu vlastního měření Příprava měření Před vlastním měřením je třeba připravit roztok tak, aby jej bylo možné sledovat pomocí optického mikroskopu. Na důkladně omyté podložní sklíčko kápneme do lihovou fixou vyznačené oblasti kapku dobře protřepaného roztoku destilované vody s částicemi latexu, jehož objemový poměr ϕ je znám. Kapku omezíme umístěním bočních krycích skel a takto vytvořené pilíře překryjeme dalším krycím sklíčkem. Před umístěním vzorku do mikroskopu přístroj vhodně nastavíme (clona, kondenzor) a optimalizujeme velikost obrazu snímaného kamerou do počítače. Ještě před zkoumáním vzorku vložíme kalibrační sklo a předáme programu Brown informaci o aktuálním zvětšení. Po té vložíme připravený 3

4 vzorek, s pomocí stop lihových fix na podložním skle zaostříme a postupně s průběžným doostřováním měníme objektivy až k dosáhnutí největšího zvětšení. Dále nalezneme oblast s reprezentativní Brownovskou částicí není slepana z více částí, nepohybuje se preferovaným směrem, atp. Pro lepší další zachycování poloh částic ještě použijeme digitální zvětšení ROI video signálu zachytávajícího programu. Nyní může měření započnout. Sledování pohybu částice Zapneme sběr dat programu Brown a laboratorní metronom a v jeho udávaných krocích zachycujeme polohy částice kliknutím do snímané roviny. Změříme nejméně 25 poloh částic. Po naměření posoudíme, zda-li je splněn Einsteinův vztah na základě přibližné platnosti vztahu (4). Zkontrolujeme graf vektorů posunutí, zda-li nedocházelo k výraznějšímu tečení vzorku. Měření provádíme dokud není vztah (4) přiměřeně splněn. Nalezení rozměru Brownovské částice Pevná část v použitém suspenzi je tvořena téměř kulovými částečkami latexu. Jejich statistický rozměr je třeba určit ze snímku souboru částic z elektronového mikroskopu, který je opatřen měřítkem. Při měření postačí pro každou částici změřit průměr jeden. Nalezení časového kroku Pro nalezení přesnější časového kroku t změříme několikrát čas trvání 10 kroků. 3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 23,3 C Atmosférický tlak: 976,8 hpa Vlhkost vzduchu: 30 % 3.2 Způsob zpracování dat Určení časového kroku Máme naměřno pět hodnot t trvání deseti časových kroků t. Časový krok tak bude určen vztahem t = t /10. Nejpravděpodobnějšíh hodnotu desetinásobku časového kroku vypočítáme jako aritmetický průměr. Chyba určení bude zahrnovat statistickou chybu a chybu měření přístrojem (viz tabulka 1). Průměr kulových částic Uvažujme, že snímek z elektronového mikroskopu zachycuje reprezentativní vzorek latexových částeček. Naměříme průměry jednotlivých koulí. Nejpravděpodobnější hodnotou průměru pak bude aritmetický průměr. Velikost průměru přepočítáme s pomocí měřítka snímku na reálný rozměr. Částice snímku, které mají rozmělněné okraje do souboru zahrnuty nebudou. Chyba určení průměru bude dána statistickou chybou a chybou měření přístrojem (odhad v tabulce 1). Výpočet aktivity Brownova pohybu Ze vztahu (3) vyjádříme hledanou aktivitu jako A = s2 2t = 5 s2 t. (6) Její nejistotu vypočítáme s pomocí statistické chyby vypočtené programem Brown a nejistotou určení časového kroku. 4

5 Výpočet Avogadrovy konstanty Ze vztahů (2), (3) a (5), byla-li dostatečně splněna rovnice (4) pro Avogadrovu konstantu, uvážíme-li d = 2r plyne N A = 4 R M tt 3π s 2 η H2 O(1 + 2,5ϕ)d. (7) Chyba určení Avogadrovy konstanty bude určena jako chyba nepřímého měření s pomocí zákona kvadratického hromadění chyb. Zakokrouhlovací chybu univerzální plynové konstanty R M a viskozity vody η H2 O bude zanedbána. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty potřebné k výpočtům hledaných veličin a konstant jsou společně s jejich statistickým zpracováním zachyceny v tabulkách 2, 3 a 4. Tabulka 3 zachycuje výstupní hodnoty dvou z šesti měření programem Brown, u kterých se nevyskytovalo výrazné tečení či nebyla naměřena dvojčástice. Absolutní chyby dědí jednotku ze záhlaví tabulky, relativní chyby jsou bezrozměrné. Ve všech tabulkách mají tyto označení následující významy: x nejpravděpodobnější hodnota veličiny x, s xs statistická směrodatná odchylka veličiny x, ρ xs relativní statistická chyba veličiny x, P 0,68, ρ xp relativní chyba měření přístrojem veličiny x, P 0,68, ρ x celková relativní chyba měření veličiny x, P 0,68. Tabulka 2: Výpočet času t. Číslo měření Čas t [s] 1. 47, , , , ,9 t [s] 47,98 s t s [s] 0,017 ρ t s 0,00035 ρ t p 0,0063 ρ t 0,0021 Tabulka 3: Výstup dat výběrů z měření z programu Brown. Měření Poměr stř. kvadr. posunutí s 2 [µm 2 ] Pro výpočet N A A. 1 : 1,71 : 2,44 : 2,81 13 ± 2 NE B. 1 : 1,90 : 2,94 : 3,59 23 ± 3 ANO Změřené / odečtené hodnoty Teplota prostředí v bezprostřední blízkosti vzorku: T = [(273, ,5) ± 0,05] K, Měřítko snímku souboru částic z el. mikroskopu: 6,15 cm 1 µm. 5

6 Tabulka 4: Stat. vyšetřování latexových kuliček. Číslo měření d [cm] Číslo měření d [cm] 1. 2, , , , , , , , , ,8 6. 2, ,3 7. 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 - - d [cm] 2,58 ρ d p 0,013 s d s [cm] 0,0079 ρ d 0,013 ρ d s 0,0031 Neměřené přejaté hodnoty (zadání úlohy, tabulky) Dynamická viskozita destilované vody při teplotě T : η H2 O = 0, Pa s, Objemový podíl částic latexu v suspenzi: ϕ = Zpracování dat a číselné výsledky Určení časového kroku Naměřená data trvání desetinásobku t časového kroku t jsou v tabulce 2. Statistickým zpracováním získáme nejpravděpodbnější velikost násobku t časového kroku. Chyba určení je dána odmocninou součtu druhých mocnin statistické směrodatné odchylky a chyby měření (viz tabulka 1). Průměr kulových částic t = 47,98 s, ρ t = 0,0021. Naměřená data průměrů kuliček na snímku z elektronového mikroskopu jsou v tabulce 4. Statistickým zpracováním získáme nejpravděpodbnější velikost průměru d. Chyba určení je dána odmocninou součtu druhých mocnin statistické směrodatné odchylky a chyby měření (viz odhad tabulka 1). Reálný průměr je pak roven d = d = 2,58 cm, ρ d = 0,013. d [cm] 6, 15 cm 1 µm = 4, m. 6

7 Do chyby reálného průměru se promítne i chyba změření měřítka ( 1 3 průměru je tedy ρ d = 0,014. Výpočet aktivity Brownova pohybu 0,1 6,15 ). Chyba určení reálného K výpočtu použijeme vztah (6). Násobek t časového kroku je v tabulce 2, hodnoty středního kvadratického posunutí s 2 jsou v tabulce 3. A A = 5 s2 A t = 1,35 µm 2 s 1, A B = 5 s2 B t = 2,40 µm 2 s 1. Přitom aktivita A A měření A je třeba brát vzhledem k dostatečnému nesplění (4) brát s rezervou. Chyby určení aktivit A A a A B vypočítáme s pomocí zákona hromadění chyb. Relativní chyby určení ρ AA = ρ t 2 + ρ s 2 2 = 0,15, A ρ AB = ρ t 2 + ρ s 2 2 = 0,13. B A jim odpovídající chyby absolutní (P 0,68) ε AA = ρ AA A A = 0,21 µm 2 s 1, ε AB = ρ AB A B = 0,31 µm 2 s 1. (8) Výpočet Avogadrovy konstanty Avogadrovu konstantu vypočítáme na základě vztahu (7), kam budeme dosazovat nejpravděpodobnější hodnoty měřených veličin. Pro výpočet Avogadrovy konstanty využijeme hodnoty měření B, neboť u nich je nejlépe splněn Einsteinův vztah a nedocházelo zde k výraznému tečení. 4R M tt N A = 3π s 2 B η H 2 O(1 + 2,5ϕ)d = 4 8, ,98 10 (273, ,5) ( ) = 5, mol 1. 3π , ,5 4, Chybu určíme pomocí kvadratického zákona hromadění chyb ρ NA = ρ t 2 + ρ T 2 + ρ s ρ d2 + ρ 2 B pc, kde ρ pc je chyba zachycení polohy částice na obrazovce počítače v okamžicích daných signalizátorem času. Její velikost (P 0,68) odhaduji ρ pc = , vzhledem k dílkům v grafu na monitoru a omezenosti smyslů laboranta. Relativní a abslutní chyba určení Avogadrovy konstanty tedy je ρ NA = 0,15 ε NA = ρ NA N A = 0, mol 1. (9) 7

8 3.5 Číselné výsledky měření Výsledné aktivity Brownova pohybu, vypočtené pro měření A a B A A = (1,35 ± 0,63) µm 2 s 1, P 1, A B = (2,40 ± 0,93) µm 2 s 1, P 1. Avogadrova konstanta byla vypočítána z dat měření B 3.6 Grafické výsledky měření N A = (5,27 ± 0,77) mol 1, P 0,68. Trajektorie, resp. polohy sledované částice v časových krocích, jsou přiloženy na konci protokolu. Pro obě měření jsou také přiloženy grafy rozložení vektorů posunutí, z kterých je možné poznat tendence tečení v určitých směrech. V obou vybraných měření A i B jsou symptomy tečení ze všech měření minimální. K protokolu přiložené listy ˆ Měření A: trajektorie, rozložení vektorů posunutí (List 1, 2) ˆ Měření B: trajektorie, rozložení vektorů posunutí (List 3, 4) ˆ Snímek latexových částeček z elektron. mikroskopu (List 5) ˆ Poznámkový a pracovní list s ostatními daty (List 6) 4 Diskuze výsledků Tabulky [2] udávají hodnotu Avogadrovy konstanty 6, mol 1. Udávaná hodnota leží ve spodní části intervalu nejistoty naměřené hodnoty. Měření považuji vzhledem k řádové shodě výsledku za úspěšné. Největšími zdroji chyb, které způsobily podhodnocení velikosti Avogadrovy konstanty, jsou zřejmě chybné určení průměru kuliček, viskozity suspenze a nepřesnost určování polohy způsobená lidským činitelem. V [3] se udává, že v praxi bývá viskozita menší, než udává vztah (5). Při určení průměru kuliček se statisticky zpracovává velký soubor kuliček, zatímco měření probíhá pro minimální počet. Pro lepší výsledky by bylo možné provést měření více a výsledky statisticky zpracovat, pak by použití této střední hodnoty průměrů bylo více odůvodněné. Určování polohy částice v daném okamžiku na obrazovce počítače klade vysoké požadavky na smysly člověka, pro lepší výsledky by bylo třeba použít software, který by polohu částice ze snímaného videa mapoval automaticky. Více než konkrétní přesná čísla aktivity Brownova pohybu nás může zajímat předevím jejich řád. Ten vychází v jednotkách µm 2 s 1. 5 Závěr Z dat měření, u kterého byl nejlépe splněn Einsteinův vztah, jsme vypočítali Avogadrovu konstantu N A = (5,3 ± 0,8) mol 1, P 0,68. Bylo zjištěno, že aktivita Brownova pohybu je řádově µm 2 s 1, to znamená, že střední hodnota kvadrátu vzdálenosti, kterou částice urazí za 1 sekundu, je řádově v µm 2. 8

9 Seznam použité literatury [1] Brož J. a kol: Základy fysikálních měření. SPN, Praha 1967, kap [2] Mikulčák, J a kol: Matematické fyzikální a chemické tabulky. Prometheus, Praha 1988, str. 139., str [3] H. Valentová: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. ( ). [4] Mikulčák, J a kol: Molekulová fyzika. Academia, Praha 1922, str. 124., str [5] ONLINE: Výpočet dynamické viskozity vody v závislosti na teplotě. ( ). 9