Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
|
|
- Renáta Kovářová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pokrok matematik, fzik a astronomie Jaroslava Černá NMR Imaging. Nobelova cena za lékařství a fziologii 2003 Pokrok matematik, fzik a astronomie, Vol. 49 (2004), No. 1, Persistent URL: Terms of use: Jednota českých matematiků a fziků, 2004 Institute of Mathematics of the Academ of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictl for personal use. Each cop of an part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic deliver and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Librar
2 NMR Imaging Nobelova cena za lékařství a fziologii 2003 Jaroslava Černá, Praha 1. Úvod V roce 2003 bla udělena Nobelova cena v oblasti lékařství a fziologie za klíčové fzikální objev, které se týkají vužití nukleární magnetické rezonance (NMR) pro stanovení prostorové struktur měřeného objektu (NMR Imaging). Laureát Nobelov cen se stali Paul Lauterbur a Peter Mansfield. Metoda NMR Imaging je zvláště atraktivní, protože umožňuje studovat objekt in vivo. Stala se tak významnou neinvazivní diagnostickou metodou v lékařství (tomografie MR). Dovoluje totiž zobrazit řez živými tkáněmi bez jejich poškození s vsokou přesností a rozlišovací schopností. V roce 2002 blo na celém světě v provozu asi tomografů MR, na nichž blo provedeno více než 60 milionů všetření. 2. Nukleární magnetická rezonance Je-li atomové jádro s nenulovým jaderným magnetickým momentem µ umístěno do statického magnetického pole B 0, magnetický moment µ koná precesi kolem směru vnějšího pole. Frekvence ω 0 tohoto precesního pohbu, tzv. Larmorova frekvence, je dána vztahem ω 0 = γ B 0, (1) kde γ je gromagnetický poměr, který je závislý na tpu jádra. Je různý i pro různé izotop téhož prvku. Uvažujeme-li sstém mnoha jader bez přítomnosti vnějšího statického magnetického pole, jaderné magnetické moment µ i jsou orientován náhodně. Vektor magnetizace M = i µ i je proto nulový. Umístíme-li takový sstém do vnějšího magnetického pole B 0, jaderné magnetické moment µ i se uspořádají. Jejich uspořádání můžeme klasick popsat tak, že počet magnetických momentů, jejichž podélná složka je orientována paralelně s B 0,není stejný jako počet magnetických momentů s podélnou složkou orientovanou antiparalelně k B 0. Sstém se řídí Boltzmannovým rozdělením a při konečné teplotě platí, že magnetických momentů s paralelně orientovanou podélnou složkou je více a tento Mgr. Jaroslava Černá (1978), katedra fzik nízkých teplot, MFF UK Praha, V Holešovičkách 2, Praha 8, jaroslava.cerna@mff.cuni.cz Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 15
3 rozdíl se zvětšuje s rostoucím magnetickým polem. Vektor magnetizace M je proto nenulový a má směr působícího pole B 0. V eperimentu NMR je vzorek vstaven kromě působení vnějšího pole B 0 také působení radiofrekvenčního magnetického pole B 1. Toto pole vzniká v cívce, kterou protéká střídavý elektrický proud s frekvencí ω. Osa cívk je orientována kolmo k B 0. Předpokládejme B 0 =(0, 0, B 0 ) a B 1 = ( 2B 1 cos(ωt), 0, 0 ). Vlivem radiofrekvenčního pole se vektor magnetizace vchýlí z rovnovážného stavu, v němž je orientován paralelně s B 0. Lineárně polarizované radiofrekvenční pole B 1 lze rozložit do dvou kruhově polarizovaných složek, které se otáčejí v rovině kolmé k B 0. Jedna ze složek se otáčí úhlovou rchlostí ω ve směru a druhá proti směru hodinových ručiček. Přejdeme do rotující soustav souřadné, jejíž osa z je totožná s osou z laboratorní soustav souřadné, aosu ztotožníme s tou složkou magnetického pole B 1, která má stejný smsl otáčení jako magnetické moment µ i (viz obr. 1). ω B 1 ω Obr. 1. Rotující soustava souřadná. V dané rotující soustavě souřadné preceduje vektor magnetizace kolem směru efektivního magnetického pole B ef =(B 1, 0, B 0 ω/γ). V případě rezonance, kd ω = γb 0 = ω 0, se vektor magnetizace M otáčí v rovině -z (viz obr. 2). z ϕ M B 1 Obr. 2. V případě rezonance se vektor magnetizace M otáčí v rovině -z. 16 Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1
4 Je-li radiofrekvenční pole B 1 aplikováno ve formě pulzu o délce τ, je úhel otočení ϕ vektoru magnetizace M závislý na délce a amplitudě pulzu, ϕ = γ B 1 τ. Nejužitečnější pulz je 90 pulz, který stočí vektor magnetizace M do rovin kolmé k B 0. V laboratorní soustavě souřadné máme pak vektor magnetizace, který se otáčí s úhlovou rchlostí ω 0 vrovině-. V přijímací cívce se indukuje napětí, pomocí kterého detekujeme signál NMR. Po vpnutí ecitačního pulzu se vektor magnetizace M vrací do své rovnovážné poloh, v níž je orientován paralelně s B 0. Tento proces se nazývá spin-mřížková nebo podélná relaace. Spin-mřížkový relaační proces je charakterizován relaačním časem T 1. V průběhu ecitace krátkým radiofrekvenčním pulzem (tpick 10 μs) lze sstém považovat za koherentní sstém, což znamená, že všechn složk µ i vektoru magnetizace M precedují ve fázi kolem směru efektivního pole (vzhledem k rotující soustavě souřadné). Po skončení pulzu však dochází ke ztrátě fázové koherence, která je způsobena fluktuacemi lokálního magnetického pole. Všechna jádra jsou totiž vstavena nejen působení vnějšího statického pole B 0, ale také působení vnitřního lokálního magnetického pole, které je vtvářeno magnetickými moment elektronů a okolních jader. Larmorova frekvence je závislá na poli, ve kterém se jádro nachází, a proto mají jednotlivé jaderné magnetické moment µ i různou Larmorovu frekvenci. Tím je způsobeno rozfázování magnetických momentů, které je příčinou spin-spinové nebo příčné relaace. Spin-spinový relaační proces je charakterizován relaačním časem T 2. Chování vektoru magnetizace popisují Blochov rovnice dm dt dm dt dm z dt = γ(m B) M T 2, = γ(m B) M T 2, (2) = γ(m B) z M z M 0 T 1. Řešením těchto rovnic získáme závislost podélné a příčné složk vektoru magnetizace M na čase, tj. časový průběh relaačních procesů. Relaace podélné složk M z po 90 pulzu je dána vztahem Pro příčnou složku M dostaneme vztah M z = M 0 z (1 e t/t1 ). (3) M = M 0 e t/t2. (4) Ke ztrátě fázové koherence přispívá kromě spin-spinové relaace také nehomogenita vnějšího statického magnetického pole B 0. Rozfázování magnetických momentů způsobuje časový pokles indukovaného napětí, které měříme v přijímací cívce. Fourierovou transformací (FT) měřeného signálu získáme rozdělení Larmorových frekvencí ve zkoumaném vzorku. Toto rozdělení se nazývá spektrum NMR. Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 17
5 3. Zobrazování pomocí NMR Základní princip zobrazování NMR je obsažen v rovnici (1) pro Larmorovu frekvenci, podle které je frekvence ω 0 magnetického momentu úměrná magnetickému poli B 0, které na magnetický moment působí. Předpokládejme, že vzorek se skládá se tří oddělených částí (obr. 3). Je-li takový vzorek umístěn v homogenním magnetickém poli B 0,vespektruNMRseobjevípouze jeden signál. Je-li společně s B 0 aplikováno magnetické pole s lineárním gradientem ve směru os, tj.g z = B z / (obr. 4), každá ze tří částí vzorku se nachází v jiném magnetickém poli. Výsledkem je spektrum NMR se třemi signál. Frekvence signálů odpovídají -ovým souřadnicím jednotlivých částí vzorku a amplitud signálů jsou úměrné počtu jader v každé z jeho částí. Přiložením gradientu magnetického pole jsme informaci o prostorovém rozložení vzorku zakódovali do frekvence, proto se tato procedura nazývá frekvenční kódování. z B 0 FT ω 0 ω Obr. 3. Spektrum NMR v homogenním magnetickém poli B 0: Spektrum obsahuje jeden signál na frekvenci ω 0 = γb 0. z B 0 + G z FT 1 ω 1 ω 2 ω 3 ω 2 3 Obr. 4. Spektrum NMR v gradientovém poli B 0 + G z : Rezonanční frekvence ω 1, ω 2, ω 3 odpovídají souřadnicím 1, 2, 3 jednotlivých částí vzorku. Je-li vzorek složitější, je zřejmé, že pro rekonstrukci prostorové struktur nestačí aplikovat gradient pouze v jednom směru. Pokud aplikujeme gradient s různou 18 Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1
6 orientací (obr. 5), lze prostorovou strukturu vzorku určit. Metoda zobrazení používající otáčivého gradientu pole je analogická metodě rentgenovské tomografie (v lékařské terminologii označované CT). Obr. 5. Zpětná projekce: Vužitím spekter s rozdílnou orientací gradientu magnetického pole lze rekonstruovat prostorovou strukturu vzorku (směr gradientů je vznačen šipkami). V prai se však používá propracovanější postup. Vzorek je vstaven nejen gradientu magnetického pole kódujícímu frekvenci, ale také gradientu kódujícímu fázi. Předpokládejme, že máme 9 magnetických momentů uspořádaných do matice 3 3 (obr. 6). Aplikujeme-li gradient ve směru os, magnetické moment v jednotlivých sloupcích budou precedovat s odlišnými frekvencemi ω 1, ω 2 a ω 3 (obr. 6). ω 1 ω 2 ω 3 G z Obr. 6. Frekvenční kódování: Gradient G z = B z/ je příčinou odlišných Larmorových frekvencí v jednotlivých sloupcích. Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 19
7 Pomocí frekvenčního kódování ted dokážeme odlišit sloupce. Pro úplnou prostorovou informaci je dále nutné odlišit jednotlivé řádk. Toho lze docílit pomocí dalšího gradientu magnetického pole, který aplikujeme ve směru os. Na obr. 7 je znázorněn jeden sloupec z původní matice 3 3. Zapneme-li gradient ve směru os, každýze tří magnetických momentů bude precedovat s jinou Larmorovou frekvencí, a ted za určitý čas se každý otočí o jiný úhel. V okamžiku, kd gradient ve směru vpneme, všechn tři magnetické moment začnou precedovat se svou původní frekvencí ω 1,ale fáze každého z magnetických momentů bude jiná (obr. 7). Informace o poloze ve směru os zůstane zakódována ve fázi, proto se tento proces nazývá fázové kódování. ω 1 ω 1 + γ G z ω 1 G z Obr. 7. Fázové kódování: Za dobu t 1, po kterou je zapnutý gradient G z = B z/, sekaždý ze tří magnetických momentů otočí o jiný úhel, ϕ() =γ G z t 1. Po vpnutí gradientu je Larmorova frekvence všech magnetických momentů stejná. Vmezení vrstv rovnoběžné s rovinou - se provádí užitím gradientu ve směru os z v kombinaci s nastavením potřebné ecitační frekvence ω 0. Pouze pro magnetické moment s frekvencemi v malém okolí ω 0 (obr. 8) bude splněna rezonanční podmínka, a ted pouze tto magnetické moment se budou podílet na tvorbě signálu NMR. Gradient pro výběr vrstv musí být zapnutý v průběhu ecitace magnetických momentů. z ω 0 G z z Obr. 8. Výběr vrstv: Na tvorbě signálu NMR se podílejí pouze magnetické moment s frekvencemi v malém okolí ω Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1
8 Šířka ecitované vrstv je dána velikostí gradientu ve směru z a šířkou frekvenčního spektra ecitačního pulzu. Každý radiofrekvenční pulz má určitý frekvenční rozsah, který je dán délkou a tvarem pulzu. Čím kratší pulz použijeme, tím širší je jeho frekvenční rozsah, a proto širší ecitovaná vrstva. Radiofrekvenční pulz nemusí být vžd pravoúhlý. Ideálním tvarem pulzu je tzv. sinc pulz (sin t/t), protože má pravoúhlé frekvenční spektrum [1]. Při konstantním frekvenčním rozsahu ecitačního pulzu je možné ovlivnit šířku vrstv velikostí gradientu ve směru z. Aplikujeme-li strmější gradient, vbíráme užší vrstvu. Kontrast obrazu NMR je ovlivněn rozdíl v hustotě jader vodíku 1 H, jejichž signál se v lékařství pro NMR Imaging vužívá. Kontrast daný pouze rozdílnou hustotou jader 1 H je však malý, protože tato hustota je v různých biologických tkáních v řadě případů téměř stejná. Přechod mezi tkáněmi b ted bl na obrazu NMR nezřetelné. Pro vlepšení kontrastu se proto vužívají rozdíl v relaačních časech T 1 a T 2 jader v různých tpech tkání. Relaační čas jsou navíc odlišné i pro tkáň zdravou a tutéž tkáň zasaženou např. nádorem, což umožňuje diagnostiku nádorů. Je-li relaační doba T 1 jader ve tkáni A kratší než ve tkáni B, vektor magnetizace tkáně A se po ecitačním 90 pulzu vrací rchleji do poloh rovnoběžné s B 0.Vdaný časový okamžik je proto podélná složka magnetizace tkáně A větší než tkáně B. Pokud aplikujeme v tomto okamžiku další 90 pulz, bude amplituda signálu tkáně A větší, a proto se obraz tkáně A bude jevit světlejší. Tento způsob zobrazování se nazývá T 1 vážený obraz. T 2 vážený obraz vužívá rozdílu ve spin-spinových relaačních dobách. Je-li T 2 jader ve tkáni A kratší než ve tkáni B, klesá příčná složka vektoru magnetizace tkáně A rchleji než tkáně B. Amplituda signálu tkáně A je ted v každém okamžiku menší, a proto se obraz tkáně A jeví na T 2 váženém obrazu tmavší. T 1 nebo T 2 vážený obraz lze získat vužitím vhodné pulzní sekvence. Pulzní sekvencí se rozumí posloupnost radiofrekvenčních pulzů, která slouží k vtvoření určité specifické form signálu NMR. Často používanou pulzní sekvencí je tzv. spinové echo. Jaderný sstém je nejprve vstaven působení 90 pulzu, který stočí vektor magnetizace do rovin -. Jednotlivé magnetické moment se začnou vlivem mírně odlišných Larmorových frekvencí otáčet s rozdílnou fází. Za čas T E po aplikaci 90 pulzu je aplikován 180 pulz. V době mezi pulz dojde k úplné ztrátě fázové koherence sstému magnetických momentů µ i, ale všechn magnetické moment zůstávají v rovině pulz způsobí otočení magnetických momentů o 180 kolem os.začast E po aplikaci pulzu dojde k obnovení fázové koherence a vtvoří se signál nazývaný spinové echo. Tato pulzní sekvence eliminuje ztrátu fázové koherence magnetických momentů, která je způsobena nehomogenitou vnějšího statického magnetického pole. Amplituda spinového echa závisí na hodnotě spin-spinové relaační dob T 2 ( e 2TE/T2 ). Parametr pulzní sekvence spinového echa jsou čas T E mezi 90 pulzem a 180 pulzem a čas T R mezi dvěma opakováními celé pulzní sekvence. Nastavením parametrů T E a T R (s ohledem na hodnot relaačních časů T 1 a T 2 ) lze ovlivnit, zda výsledný obraz bude T 1 vážený nebo T 2 vážený [5]. Na obr. 9 jsou T 1 a T 2 vážené obraz řezu mozkem. Můžeme si všimnout, že na T 1 váženém obrazu je mozkomíšní mok tmavý, protože má delší relaační čas T 1 než mozková tkáň. Naopak na T 2 váženém obrazu je Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 21
9 Obr. 9. Řez mozkem: T 1 a T 2 vážený obraz. mozkomíšní mok světlý. Příčinou je jeho relaační čas T 2,kterýjedelšínežT 2 mozkové tkáně. Gradient ve směru jednotlivých os je nutné spínat ve správném pořadí. V případě pulzní sekvence spinového echa je gradient pro výběr vrstv zapnutý v době trvání 90 pulzu a 180 pulzu, gradient kódující fázi v době před 180 pulzem a gradient kódující frekvenci v době načítání dat, tj. při vtvoření spinového echa (obr. 10). T R T E 180 t G z z G z G z z G z G z z G z G z z G z Obr. 10. Spínání gradientů při sekvenci spinového echa: Na horní časové ose je znázorněna pulzní sekvence, na prostřední ose průběh signálu NMR a na dolní ose spínání gradientů magnetického pole. Ke zpracování měřeného signálu je třeba použít metod 2D spektroskopie, která vžaduje provedení Fourierov transformace ve dvou nezávislých časových doménách. Označme t 1 dobu, po kterou je zapnutý gradient G z kódující fázi, a časem t rozumějme 22 Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1
10 dobu, kd je zapnutý gradient G z kódující frekvenci. V době trvání gradientu Gz se provádí obvklá Fourierova transformace podle proměnné t. Takto získaná spektra závisí na době t 1, tj. na době trvání gradientu G z. Spektra naměříme pro několik různých časů t 1 a provedeme druhou Fourierovu transformaci podle proměnné t 1. Tímto postupem získáme informaci o prostorovém rozložení vzorku. 4. Nobelov cen Práce v oblasti NMR bla oceněna již třemi Nobelovými cenami. První bla udělena za původní eperimentální prokázání jevu NMR v roce Laureát se stali Edward Mills Purcell a Feli Bloch. V roce 1991 bl oceněn Nobelovou cenou za chemii Richard Ernst. Cenu obdržel za svůj příspěvek k rozvoji spektroskopie NMR vsokého rozlišení. Laureáti Nobelov cen za rok 2003 Paul Lauterbur a Peter Mansfield bli oceněni za rozvoj aplikačních možností zobrazování pomocí NMR v medicíně. P. Lauterbur pracoval v oblasti tvorb gradientových polí pro dvojdimenzionální zobrazování. P. Mansfield přispěl významným způsobem k rozvoji matematických metod zpracování signálu NMR pro účel zobrazování. Literatura [1] Hornak, J. P.: (1996). [2] Hornak, J. P.: (1997). [3] Englich, J.: Pulzní metoda jaderné magnetické rezonance a její užití v MR tomografii. Pokrok mat. fz. astronom. 42 (1995), [4] Rinck, P. A.: Magnetic Resonance in Medicine. Blackwell Scientific Publications, Oford [5] Schild, H. H.: MRI made eas. Schering, Berlin [6] Slichter, C. P.: Principles of Magnetic Resonance. Springer-Verlag, Berlin [7] Westbrook, C., Kaut, C.: MRI in Practice. Blackwell Science, Oford Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 23
Zobrazování. Zdeněk Tošner
Zobrazování Zdeněk Tošner Ultrazvuk Zobrazování pomocí magnetické rezonance Rentgen a počítačová tomografie (CT) Ultrazvuk Akustické vlnění 20 khz 1 GHz materiálová defektoskopie sonar sonografie (v lékařství
VíceVyužití magneticko-rezonanční tomografie v měřicí technice. Ing. Jan Mikulka, Ph.D. Ing. Petr Marcoň
Využití magneticko-rezonanční tomografie v měřicí technice Ing. Jan Mikulka, Ph.D. Ing. Petr Marcoň Osnova Podstata nukleární magnetické rezonance (MR) Historie vývoje MR Spektroskopie MRS Tomografie MRI
Vícemagnetizace M(t) potom, co těsně po rychlé změně získal vzorek magnetizaci M 0. T 1, (2)
1 Pracovní úkoly Pulsní metoda MR (část základní) 1. astavení optimálních excitačních podmínek signálu FID 1 H ve vzorku pryže 2. Měření závislosti amplitudy signálu FID 1 H ve vzorku pryže na délce excitačního
VíceMagnetická rezonance (2)
NMR spektroskopie Principy zobrazování Fourierovské MRI Magnetická rezonance (2) J. Kybic, J. Hornak 1, M. Bock, J. Hozman 2008 2013 1 http://www.cis.rit.edu/htbooks/mri/ NMR spektroskopie Principy zobrazování
VíceÚvod do neeukleidovské geometrie
Úvod do neeukleidovské geometrie Obsah In: Václav Hlavatý (author): Úvod do neeukleidovské geometrie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1926. pp. 209 [212]. Persistent URL:
VíceZOBRAZENÍ MAGNETICKOU REZONANCÍ (MRI MAGNETIC RESONANCE IMAGING)
ZOBRAZENÍ MANETICKOU REZONANCÍ (MRI MANETIC RESONANCE IMAIN) Příběh začal roku 1938 Isidor Rabi předvedl signál nukleární magnetické rezonance na molekulách chloridu lithného v roce 1937 Nositel Nobelov
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Josef B. Slavík; B. Klimeš Hluk jako methodická pomůcka při zjišťování příčin chvění v technické praxi Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 2 (957), No.
VíceOPVK CZ.1.07/2.2.00/
18.2.2013 OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0184 Cvičení z NMR OCH/NMR Mgr. Tomáš Pospíšil, Ph.D. LS 2012/2013 18.2.2013 NMR základní principy NMR Nukleární Magnetická Resonance N - nukleární (studujeme vlastnosti
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
VíceMagnetická rezonance Přednáška v rámci projektu IET1
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Magnetická rezonance Přednáška v rámci projektu IET1 Miloslav Steinbauer Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
VícePROČ TATO PŘEDNÁŠKA? KDO JSEM?
PROČ TATO PŘEDNÁŠKA? KDO JSEM? BARNEY: LÉKAŘKA (GENETIKA, NEUROCHIRURGIE), T.Č. VĚDECKÝ PRACOVNÍK V CENTRU POKROČILÉHO PREKLINICKÉHO ZOBRAZOVÁNÍ (CAPI) CAPI : VÝZKUMNÉ PRACOVIŠTĚ ZAMĚŘENÉ NA MULTIMODÁLNÍ
VíceJednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života
Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Organizace JČMF In: Jiří Dolejší (editor); Jiří Rákosník (editor): Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života. (Czech).
VíceMagnetická rezonance
Úvod Základy Fyzika MRI Magnetická rezonance J. Kybic, J. Hornak 1, M. Bock, J. Hozman April 28, 2008 1 http://www.cis.rit.edu/htbooks/mri/ Úvod Základy Fyzika MRI Magnetická rezonance Úvod a motivace
VícePRAKTIKUM IV. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM IV Úloha č.: X Název: Studium nukleární magnetické rezonance Vypracoval: Michal Bareš dne.11.7 Pracovní úkol 1) Nastavte optimální
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
VíceÚvod Základy Fyzika MRI. Magnetická rezonance. J. Kybic, J. Hornak 1, M. Bock, J. Hozman, P.Doubek. 1
Úvod Základy Fyzika MRI Magnetická rezonance J. Kybic, J. Hornak 1, M. Bock, J. Hozman, P.Doubek 2008 2016 1 http://www.cis.rit.edu/htbooks/mri/ Úvod Základy Fyzika MRI Magnetická rezonance Úvod a motivace
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Emil Calda; Oldřich Odvárko Speciální třídy na SVVŠ v Praze pro žáky nadané v matematice a fyzice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13 (1968), No. 5,
VíceVznik NMR signálu a jeho další osud.
Vznik NMR signálu a jeho další osud. NMR ecitace Zdrojem energie pro ecitaci jader je oscilující elektromagnetické záření s frekvencí w o generované střídavým proudem : B = C * cos (w o t) z z b b M o
VíceFunkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 2. Lineární rovnice o dvou neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 10 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402867
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 3. Neurčité rovnice 1. stupně o 3 neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 15 20. Persistent URL: http:dml.czdmlcz402868
VíceKomplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vladimír Kořínek Poznámky k postgraduálnímu studiu matematiky učitelů škol 2. cyklu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 6, 363--366 Persistent
VíceO rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
VícePANM 16. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 16 List of participants In: Jan Chleboun and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Aleš Fořt Několik poznámek o dosavadním vývoji palivových článků Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 5 (1960), No. 6, 697--700 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138258
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi Rejstřík In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp.
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
VíceZlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Zdeněk Češpíro Výbojový vakuoměr bez magnetického pole Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 3 (1958), No. 3, 299--302 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137111
VíceRozhledy matematicko-fyzikální
Rozhledy matematicko-fyzikální Rudolf Klepáček; Martin Macháček Chemická analýza pomocí optických vláken Rozhledy matematicko-fyzikální, Vol. 80 (2005), No. 2, 21 24 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/146100
VíceAplikace matematiky. Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní
Aplikace matematiky Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní (2m + 1) diagonální maticí Aplikace matematiky, Vol. 17 (1972), No. 4, 321--324 Persistent
VíceActa Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica Cyril Dočkal Automatické elektromagnetické váhy Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Šafránek Některé fysikální pokusy s katodovou trubicí Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D285--D289 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123398
VíceSkoro každý prvek má nějaký stabilní isotop s nenulovým spinem. (Výjimky: Ar, Tc, Ce, Pm)
Gyromagnetická částice, jev magnetické rezonance Pojmy s kterýma se můžete setkat: u elektronů lze Bohrův magneton Zkoumat NMR lze jen ty jádra, které mají nenulový jaderný spin: Několik systematických
VíceHistorický vývoj geometrických transformací
Historický vývoj geometrických transformací Věcný rejstřík In: Dana Trkovská (author): Historický vývoj geometrických transformací. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2015. pp. 171 174.
VíceNerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Antonín Bohun Elektronová emise, luminiscence a zbarvení iontových krystalů Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 6 (1961), No. 3, 150--153 Persistent URL:
VíceMapování indukce magnetického pole v okolí malých cívkových aplikátorů metodou magnetické rezonance
Mapování indukce magnetického pole v okolí malých cívkových aplikátorů metodou magnetické rezonance 1 Petr Bidman, 2 Karel Bartušek 1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické
VíceRelaxace, kontrast. Druhy kontrastů. Vít Herynek MRA T1-IR
Relaxace, kontrast Vít Herynek Druhy kontrastů T1 T1-kl T2 GE MRA T1-IR Larmorova (rezonanční) frekvence Účinek radiofrekvenčního pulsu Larmorova frekvence ω = γ. B Proč se zajímat o relaxační časy? Účinek
VíceJubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987
Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987 Zdeněk Horský Písemnosti z pozůstalosti prof. dr. A. Seydlera In: Libor Pátý (editor): Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
VíceSkládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :
Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jindřich Procházka Pokusy o interferenci a odrazu zvuku Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D197--D200 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120811
VíceVznik NMR signálu a jeho další osud.
Vznik NMR signálu a jeho další osud. NMR ecitace Zdrojem energie pro ecitaci jader je oscilující elektromagnetické záření s frekvencí w o generované střídavým proudem : B = C * cos (w o t) z z b b M o
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Jan Vlachý Postavení fyziky, věd o Zemi a astronomie, v rozpočtech amerických federálních ministerstev a agentur Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13
VíceBooleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
VíceRelaxace jaderného spinu
Relaace jaderného spinu ecitace relaace Relaační dob Metod měření relaačních dob Relaační mechanism Dipól-dipólová relaace Nukleární verhauserův efekt Příklad dnamika trisacharidu Relaační jev Relaace
VíceMagnetická rezonance. Biofyzikální ústav LF MU. Projekt FRVŠ 911/2013
Magnetická rezonance Biofyzikální ústav LF MU Magnetická rezonance Je neinvazivní zobrazovací metoda, která poskytuje informace o vnitřní stavbě lidského těla a o fyziologii a funkci jednotlivých orgánů.
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Výpočet objemu tělesa In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
VíceO nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ladislav Klír Příspěvek ke geometrii trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 44 (1915), No. 1, 89--93 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122380
VíceVznik NMR signálu a jeho další osud.
Vznik NMR signálu a jeho další osud. NMR ecitace ce Zdrojem energie pro ecitaci jader je oscilující elektromagnetické záření s frekvencí ω o generované střídavým proudem : B = C * cos (ω o t) z z β M o
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 25--31 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124004
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pavel Chmela Matematické vyjádření barvy a problémy barevného vidění Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 9 (1964), No. 2, 65--[72a],73 Persistent URL:
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Bohdan Klimeš Normalisace veličin, jednotek a značek ve fysice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 3 (1958), No. 4, 437--441 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137041
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VíceFaktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 5. kapitola. Několik otázek z matematické statistiky In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 964. pp. 50 59. Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VícePANM 17. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 17 List of participants In: Jan Chleboun and Petr Přikryl and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní
VíceKonvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
VíceKongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
VíceNukleární magnetická rezonance (NMR)
Nukleární magnetická rezonance (NMR) Nukleární magnetické rezonance (NMR) princip ZDROJ E = h. elektro-magnetické záření E energie záření h Plankova konstanta frekvence záření VZOREK E E 1 E 0 DETEKTOR
VíceNMR spektroskopie rádiové frekvence jádra spinovou rezonancí jader spinový moment lichý počet
NMR spektroskopie NMR spektroskopie Nukleární Magnetická Resonance - spektroskopická metoda založená na měření absorpce elektromagnetického záření (rádiové frekvence asi od 4 do 900 MHz). Na rozdíl od
VíceÚvod do filosofie matematiky
Úvod do filosofie matematiky Axiom nekonečna In: Otakar Zich (author): Úvod do filosofie matematiky. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947. pp. 114 117. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403163
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky M. Jahoda; Ivan Šimon Užití sodíkového světla pro Ramanův zjev Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 69 (1940), No. 3-4, 187--190 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123324
VíceMagnetická rezonance (3)
Magnetická rezonance (3) J. Kybic, J. Hornak 1, M. Bock, J. Hozman 2008 2018 1 http://www.cis.rit.edu/htbooks/mri/ MRI zobrazovací techniky Multislice imaging Šikmé zobrazování Spinové echo Inversion recovery
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 16. Hodnost a nulita matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 106--115. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401345 Terms of use:
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Jan Šlégr Předpověď a pozorování radiových emisí z planety Jupiter Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 55 (2010), No. 4, 297--301 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/141973
VíceJan Sobotka (1862 1931)
Jan Sobotka (1862 1931) Martina Kašparová Vysokoškolská studia Jana Sobotky In: Martina Kašparová (author); Zbyněk Nádeník (author): Jan Sobotka (1862 1931). (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 231--234.
VíceMagnetická rezonance (3)
Magnetická rezonance (3) J. Kybic, J. Hornak 1, M. Bock, J. Hozman April 28, 2008 1 http://www.cis.rit.edu/htbooks/mri/ MRI zobrazovací techniky Multislice imaging Šikmé zobrazování Spinové echo Inversion
VícePANM 14. List of participants. http://dml.cz. Terms of use:
PANM 14 List of participants In: Jan Chleboun and Petr Přikryl and Karel Segeth and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceKombinatorika. In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp. 3 [6].
Kombinatorika Předmluva In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1980. pp. 3 [6]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403963 Terms of use: Antonín Vrba, 1080 Institute of
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceO mnohoúhelnících a mnohostěnech
O mnohoúhelnících a mnohostěnech I. Úhly a mnohoúhelníky v rovině In: Bohuslav Hostinský (author): O mnohoúhelnících a mnohostěnech. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947.
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Bohdan Klimeš Odvození Steinerovy věty pro moment setrvačnosti ze zákona o zachování energie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 1 (1956), No. 5-6, 71--74
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Matyáš Lerch K didaktice veličin komplexních. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 5, 265--269 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108855
VícePřímky a křivky. Úvod. Úvodní úlohy. Terms of use:
Přímky a křivky Úvod. Úvodní úlohy In: N. B. Vasiljev (author); V. L. Gutenmacher (author); Leo Boček (translator); Alena Šarounová (illustrator): Přímky a křivky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp.
VíceAnalytická geometrie a nerovnosti
Analytická geometrie a nerovnosti 1. kapitola. Předběžné poznámky. Polorovina In: Karel Havlíček (author): Analytická geometrie a nerovnosti. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 4 14. Persistent URL:
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Ladislav Drs Použití samočinných počítačů a automatického kreslení v deskriptivní geometrii Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 17 (1972), No. 4, 199--203
VíceNMR spektroskopie Instrumentální a strukturní analýza
NMR spektroskopie Instrumentální a strukturní analýza prof. RNDr. Zdeněk Friedl, CSc. Použitá a doporučená literatura Solomons T.W.G., Fryhle C.B.: Organic Chemistry, 8th Ed., Wiley 2004. Günther H.: NMR
VíceStrukturní analýza. NMR spektroskopie
Strukturní analýza NMR spektroskopie RNDr. Zdeněk Tošner, Ph.D. lavova 8, místnost 020 tel. 22195 1323 tosner@natur.cuni.cz www.natur.cuni.cz/nmr/vyuka.html Literatura Böhm, Smrčková-Voltrová: Strukturní
VíceZlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Příloha A In: Vlasta Chmelíková (author): Zlatý řez nejen v matematice. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2009. pp. 157 166. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400805
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jan Novák Aritmetika v primě a sekundě Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D254--D257 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120798
Více