Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti."

Daniela Křížová
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek se společným počátkem. První z těchto polopřímek nazýváme počátečním ramenem orientovaného úhlu a druhou nazýváme koncovým ramenem orientovaného úhlu. Společný počátek obou ramen se nazývá vrchol orientovaného úhlu. Orientovaný úhel s počátečním ramenem V A a koncovým ramenem V B označíme ÂV B ; podle definice je ted ÂV B BV A. Nulový orientovaný úhel je orientovaný úhel ÂV B, kde polopřímk V A, V B jsou identické. Budiž dán orientovaný úhel ÂV B. Polopřímk V A, V B dělí rovinu na dva neorientované úhl. Označíme-li jejich velikosti α, β, platí α β = 60 (v míře stupňové, resp. α β = radiánů (v míře obloukové. Radián (značíme rad je velikost středového úhlu, který přísluší oblouku kružnice, jehož délka je rovna poloměru kružnice. Platí rad. = Velikostí orientovaného úhlu ÂV B nazýváme každé reálné číslo tvaru αk (v míře obloukové, resp. každé reálné číslo tvaru αk 60 (v míře stupňové, kde k Z a α = 0, resp. α = 0, jsou-li polopřímk V A, V B identické, α je velikost neorientovaného úhlu, který vznikne otočením počátečního ramene V A do poloh koncového ramene V B v kladném smslu (tj. proti směru pohbu hodinových ručiček, nejsou-li polopřímk V A, V B identické. Je ted 0 α <, resp. 0 α < 60 ; číslo α se nazývá základní velikost orientovaného úhlu. 4.. Goniometrické funkce obecného úhlu. Zvolme v rovině kladně orientovanou kartézskou soustavu souřadnic s počátkem O, osami, a stejnou délkovou jednotkou na obou osách; předpoklad, že soustava je kladně orientovaná, znamená, že orientovaný úhel, jehož počátečním ramenem je kladná poloosa a koncovým ramenem je kladná poloosa, má základní velikost (v obloukové míře. Na kladné poloose zvolme bod A = [, 0] a kolem počátku opišme kružnici o poloměru jedna, tzv. jednotkovou kružnici. Každému reálnému číslu nní můžeme přiřadit právě jeden orientovaný úhel, jehož počátečním ramenem je polopřímka OA ; je to tzv. orientovaný úhel velikosti v základní poloze. Průsečík koncového ramene tohoto orientovaného úhlu s jednotkovou kružnicí označme M = [ M, M ]. Goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou nní definován takto (viz obr. 4.: C O cotg M B tg A D sin O cos M = [ M, M ] A = [, 0] Obr. 4. sin = M, R ; cos = M, R ; tg = sin cos = M M, (k, k Z cotg = cos sin = M M, k, k Z

2 Goniometrie Z definice je zřejmé, že goniometrické funkce jsou periodické: základní perioda T funkcí sinus a kosinus je rovna a základní perioda funkcí tangens a kotangens je rovna. To znamená, že platí: sin( k = sin, R, k Z, cos( k = cos, R, k Z, tg( k = tg, (k, k Z, cotg( k = cotg, k, k Z. Funkce sinus, kosinus jsou kromě toho antiperiodické se základní antiperiodou, tj. pro každé R platí vztah: sin = sin(, cos = cos( Funkce sinus, tangens a kotangens jsou liché, zatímco funkce kosinus je sudá. To znamená, že platí sin( = sin, tg( = tg, cotg( = cotg, cos( = cos, kdkoliv má jedna strana rovnice smsl Z definice goniometrických funkcí plnou ještě tto jejich vlastnosti: ( ( sin = cos = cos ( ( cos = sin = sin ( ( tg = cotg = cotg ( ( cotg = tg = tg

3 4 Kapitola Monotónie a znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech. Kvadrant I II III IV sin cos tg cotg (0, (, (, (, Interval Goniometrické funkce jsou ve skutečnosti monotónní na větších intervalech. Pro každé celé číslo k totiž platí: Funkce sinus od do na intervalu intervalu k, k. k, k a od do na Funkce kosinus od do na intervalu k, k a od do na intervalu k, k. Funkce tangens od do na intervalu ( k, k. Funkce kotangens od do na intervalu (k, k.

4 V W Goniometrie Funkční hodnot goniometrických funkcí pro některá R. 0 sin 0 cos tg 0 cotg Znak v některých polích tabulk značí, že funkce uvedená v prvním poli řádku není pro hodnotu uvedenou v prvním poli sloupce definována. Většina hodnot goniometrických funkcí v této tabulce je důsledkem vztahů mezi stranami a úhlopříčkou ve čtverci a vztahů mezi stranami a výškou v rovnostranném trojúhelníku (viz obr Obr. 4.

5 [ Z X 6 Kapitola Graf goniometrických funkcí. = sin O 5 Obr. 4.: = sin, R,,, T = YO = cos 5 Obr. 4.4: = cos, R,,, T = O 5 { } Obr. 4.5: = tg, R \ k; k Z, R, T = O 5 Obr. 4.6: = cotg, R \ {k; k Z}, R, T =

6 Goniometrie Vztah mezi goniometrickými funkcemi. Základní vztah sin cos = (4. Součtové vzorce sin( ± = sin cos ± sin cos cos( ± = cos cos sin sin (4. tg( ± = cotg( ± = tg ± tg tg tg cotg cotg cotg ± cotg (4. Vzorce pro sinus a kosinus dvojnásobného a polovičního úhlu sin = sin cos cos = cos sin sin cos = cos cos = (4. (4.6 Součt a rozdíl sinů a kosinů sin sin = sin sin sin = cos cos cos = cos cos cos = sin cos sin cos sin (4.7 Z těchto vzorců plnou vztah sin sin = [cos( cos( ] cos cos = [cos( cos( ] (4.8 sin cos = [sin( sin( ] 4.7. Užití goniometrických funkcí v geometrii. Základem aplikací goniometrických funkcí v geometrii jsou jednak jejich definice, jednak následující dvě důležité vět platné pro každý trojúhelník se stranami a, b, c a úhl α, β, γ. Přitom, jak je obvklé, úhel α je protilehlý straně a, úhel β je protilehlý straně b a úhel γ je protilehlý straně c.

7 8 Kapitola 4 Věta sinová a : b : c = sin α : sin β : sin γ (4.9 Věta kosinová c = a b ab cos γ (4.0 Přímo z definice sinu plne, že obsah P obecného trojúhelníka je dán vzorcem P = ab sin γ ( Harmonické kmit. V technické prai se setkáváme s harmonickými kmit (harmonickými veličinami, tj. s kmit (veličinami, jejichž matematickým vjádřením je funkce tvaru = A sin(ω ϕ, kde A, ϕ, ω R (konstant, R (proměnná. Konstant A, ϕ, ω mají svoje názv: A je tzv. amplituda, ω je tzv. úhlový kmitočet nebo též kruhová frekvence a ϕ je tzv. počáteční fáze nebo fázový úhel nebo též fázový posun. Harmonický kmit je periodická funkce se základní periodou T =. Příkladem harmonické veličin ω je okamžitá hodnota střídavého napětí nebo okamžitá hodnota střídavého proudu Sestrojení grafu funkce = A sin(ω ϕ. a Graf funkce = A sin, kde A > 0, získáme z grafu funkce = sin dilatací ve směru os s koeficientem A. To znamená, že všechn úsečk rovnoběžné s osou A -násobně prodloužíme v případě A > a -násobně zkrátíme v případě A <. Pro A < 0 dostaneme graf souměrný A ke grafu funkce = A sin, kde A > 0 podle os. b Graf funkce = sin ω, kde ω > 0, dostaneme z grafu funkce = sin dilatací ve směru os s koeficientem. Je-li ω < 0, pak sin ω = sin ω. Graf funkce = sin ω, kde ω < 0, je ω souměrný ke grafu funkce = sin ω, kde ω > 0 podle os. c Graf funkce = sin( ϕ dostaneme z grafu funkce = sin posunutím ve směru os, a to posunutím doleva, je-li ϕ > 0, a posunutím doprava, je-li ϕ < 0. Máme-li sestrojit graf funkce = A sin(ω ϕ, použijeme a, b a c. Jejich pořadí je podrobeno jedné podmínce: b vžd musí předcházet c. Podobně sestrojíme graf funkcí = A cos(ω ϕ, = A tg(ω ϕ, = A cotg(ω ϕ Řešené příklad.. Vpočtěte sin 5 tg cos 5 6 cotg 7 4. Řešení: sin 5 tg cos 5 6 cotg 7 4 = sin ( ( cos ( cotg = = sin = 4.

8 Goniometrie 9. Zjednodušte cos(45 cos(45. Řešení: Užitím jednoho ze vzorců (4.7 dostaneme cos(45 cos(45 = sin 45 sin = sin.. Dokažte vztah: a cos sin = ( cos 4, b cos sin = ( sin 4. Řešení: V obou případech použijeme součtové vzorce (4.: a ( cos 4 = cos 4 cos sin 4 sin = = cos sin = cos sin. b ( sin 4 = sin 4 cos cos 4 sin = = 4. Vjádřete sin, cos, znáte-li tg. cos sin = cos sin. Řešení: Ze vzorců (4.5 a (4.6 plne tg = cos. Odtud vpočteme cos : cos ( cos tg ( = cos, cos tg = tg, tg cos = tg. K vjádření sin nní použijeme základní vztah (4.: sin = tg tg tg = tg4 tg tg4 ( tg = 4 tg ( tg, tg sin = tg.

9 40 Kapitola 4 5. Vjádřete a sin b cos, kde je proměnná, a, b > 0, ve tvaru A sin( ϕ, kde A > 0, ϕ 0,. Řešení: Předpokládejme, že je takové vjádření možné, tj. že eistují A a ϕ s požadovanými vlastnostmi tak, že pro všechna platí rovnost A sin( ϕ = a sin b cos. Levou stranu upravíme s pomocí součtového vzorce, viz (4., a dostaneme vztah A sin cos ϕ A cos sin ϕ = a sin b cos. Protože tento vztah podle předpokladu platí pro všechna R, platí speciálně pro = 0 a pro =. Postupným dosazením těchto dvou hodnot proměnné však dostaneme rovnice z nichž plne (protože A, a, b > 0 : A sin ϕ = b, A cos ϕ = a, A = a b, A = a b ; tg ϕ = b a. Jelikož náš postup je zřejmě možno obrátit, hledané vjádření má tvar. a sin b cos = a b sin ( ϕ. 6. Vjádřete sin cos 5 ve tvaru součtu či rozdílu goniometrických funkcí. Řešení: Z posledního ze vzorců (4.8 plne sin cos 5 = [sin ( 5 sin ( 5] = [sin 6 sin (4] = sin (6 sin (4. 7. Nakreslete graf funkce f( = ( cos. 5 Řešení: Funkční vztah upravíme na ekvivalentní tvar f( = ( cos 0 a postupně sestrojíme graf funkcí (viz obr. 4.7 O\ g ( = cos, g ( = cos, g ( = g ( 0, 0 f( = g (. f g g g Obr. 4.7

10 Goniometrie Neřešené příklad. Nakreslete graf goniometrických funkcí:. = sin ; = sin ( ; = sin ; = sin ; = sin 6 (. = cos. = ( sin ( 4. = tg ( 5. = cotg [Do jednoho obrázku] Použití gonimetrických funkcí v Matematice Vpočtěte limit:. lim 0 cos. lim sin 5 sin sin cos. lim 0 [0] ( [ ] sin 4. lim cos tg 5. lim 6 ( sin 6 cos 6. lim tg tg 4 [ ] ( 4 [ ] Vpočtěte integrál: [. sin d ] sin c 4 [. sin sin 5 d sin 6 ] 8 sin 4 c [] []. d cos [tg c ] 4. 0 cos d []

Podobné dokumenty

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře