Vlastní čísla a vlastní vektory

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vlastní čísla a vlastní vektory"

Transkript

1 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi prostoru V, že je matice zobrazení A v této bázi co nejjednodušší, např. má následující strukturu A = A 0 A A A k, kde A k jsou čtvercové matice malého řádu nejlépe nebo a ostatní prvk matice jsou nulové. Problém najít bázi, ab v ní matice zobrazení měla diagonální tvar kde A k jsou skalár, vede k pojmu vlastní číslo a vlastní vektor matice. Definice: Nechť A C n,n. Jestliže platí A = λ pro jisté komplení číslo λ C a jistý nenulový vektor C n, Θ, potom číslo λ nazýváme vlastním číslem matice A a vektor vlastním vektorem příslušným k tomuto vlastnímu číslu. Množinu všech vlastních čísel nazýváme spektrem matice A. Poznámka: Všimněme si, že až dosud jsme uvažovali reálné matice. U vlastních čísel studium pouze reálných matic ztrácí smsl, protože i reálná matice může mít komplení vlastní čísla. Proto uvažujeme obecně komplení matice. Poznámka: Podmínka eistence nenulového vektoru Θ v definici vlastního čísla je nezbtná: kdbchom připustili i = Θ, potom b každé komplení číslo blo vlastním číslem a definice b ztratila smsl.

2 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Odpovídá-li matice A matici nějakého zobrazení A, pak každý nenulový vektor z jádra zobrazení Ker A je vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu 0. Je-li Ker A = {Θ} je-li matice A regulární, pak 0 není vlastním číslem matice A. Příklad: Je-li P je matice ortogonální projekce v prostoru R 3 na nějaký podprostor U U je ted buď rovina nebo přímka procházející počátkem, pak pro každý vektor u U platí P u = u, všechn vektor z U s vjímkou nulového vektoru Θ jsou vlastními vektor matice P příslušné vlastnímu číslu. Prostor U je roven jádru projekce nulovému prostoru matice P, a ted každý vektor z ortogonálního doplňku U s výjimkou Θ je vlastním vektorem příslušným k vlastnímu číslu 0. Obrázek 5.: Poznámka: Pro každý vlastní vektor čtvercové matice A platí A = λ, 0, a ted po složkách máme soustavu a a... a n a a... a n... a n a n... a nn. n = λ. n, kde,..., n jsou neznámé a λ parametr soustav. Tato rovnice je ekviva-

3 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 3 lentní homogenní soustavě rovnic A λi = Θ s parametrem λ a λ a... a n 0 a a λ... a n.... = 0.. a n a n... a nn λ n 0 Protože je tato soustava homogenní, mohou nastat dvě možnosti: a matice je regulární a má ted pouze triviální řešení. V takovém případě neeistuje nenulový vektor Θ takový, že b platilo A = λ; číslo λ není ted vlastním číslem. b matice je singulární, a ted její množina řešení obsahuje i nenulové vektor a její dimenze je nejméně. Číslo λ je ted vlastním číslem matice a každý vektor z množin řešení této homogenní soustav je vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu λ. Hledáme-li vlastní čísla a vektor matice, musí být soustava s maticí A λi singulární. Tento případ nastane právě kdž je nulový její determinant. Determinant matice deta λi = a λ a... a n a a λ... a n... a n a n... a nn λ je polnom stupně n v proměnné λ, který nazýváme charakteristickým polnomem matice A. Je zřejmé, že vlastní čísla matice jsou jeho kořen. Podle základní vět algebr má každý polnom n-tého stupně právě n obecně kompleních kořenů, počítáme-li i jejich násobnosti. Platí ted věta: Tvrzení: Každá čtvercová matice A C n,n má právě n vlastních čísel, počítáme-li každé vlastní číslo v jeho násobnosti jakožto kořenu charakteristického polnomu. Příklad: Reálná čtvercová matice A = 0 0 řádu má charakteristický polnom tvaru deta λi = λ λ = λ λ = λ +

4 4 5. Vlastní čísla a vlastní vektor a jeho kořen jsou čísla λ, = ±i λ + = 0. Tato reálná matice nemá ted reálná vlastní čísla. Dosadíme-li za λ = i získáme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ = i Vidíme, že vlastní vektor i i i i 0 0 i i i 0 0. má také komplení složk a platí i = i = i Podobně postupujeme i pro vlastní číslo λ = i a vpočteme příslušný vlastní vektor. i Příklad: Nechť A = Nalezněte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektor matice A. Charakteristický polnom matice A je roven deta λi = 5 λ 3 8 λ 6 4 λ = = 5 λ λ λ λ 8 λ λ = λλ λ + Řešením rovnice deta λi = 0 hledáme kořen charakteristického polnomu, které se postupně redukuje na řešení kubické rovnice λλ λ+ = 0, ted λλ = 0, jejíž kořen jsou jeden dvojnásobný kořen λ = λ = a jeden kořen λ 3 = 0. Vlastní vektor příslušné vlastnímu číslu λ = λ = získáme řešením soustav A λ I = A λ I = Θ, ted ze které vplývá, že každý vektor, pro který je A =, musí splňovat podmínku [0, 3,,, 4, 0] λ a ted lineárně nezávislými vlastními vektor jsou například =, 4, 0 a = 0, 3,. Podobně postupujeme i u,

5 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 5 vlastního čísla λ 3 = 0. Řešení rovnice A λ 3 I = A = Θ vede na hledání vektorů z nulového prostoru soustav Jedním z možných řešení je vektor 3 =,,. Indukuje-li matice A Obrázek 5.: zobrazení A tato matice je maticí lineárního zobrazení A v standardních bá-zích, 0 0 pak má matice zobrazení A v bázi,, 3 diagonální tvar Geometrická interpretace zobrazení A je, že se jedná o projekci na rovinu podél os dané vektorem 3. Příklad: Určete vlastní čísla a příslušející vektor matice A = Postupujeme stejným způsobem, vpočteme charakteristický polnom deta λi = 4 λ λ λ = 4 λ 4 λ5 λ λ + 55 λ = λλ 4λ + 3 a nalezneme jeho kořen λ =, a protože je diskriminant D = = 6 5 = 36 jsou další kořen kompleně sdružené λ,3 = 4±6i = ± 3i..

6 6 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ = najdeme jako nenulové řešení homogenní soustav A λ I = Θ například =,,. Řešením soustav A λ I = Θ získáme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ = + 3i 3i i 9 6 3i i 39 3i, i kterým může být vektor = 3 3i, 5 3i, 4. Podobně vpočteme i vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ 3 = 3i: 3 = 3 + 3i, 5 + 3i, 4. Poznámka: Je-li λ k násobný kořen charakteristického polnomu matice A, pak v obecném případě nemusí být násobnost vlastního čísla jako kořenu rovna počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušných tomuto vlastnímu číslu. Pak matice A není diagonalizovatelná, ted neeituje báze, ve které b měla matice zobrazení A, které indukuje daná matice A, diagonální tvar. [ ] 0 0 Příklad: Matice A = má charakteristický polnom tvaru deta 0 λi = λ 0 λ = λ, a ted číslo λ = 0 je vlastní číslo s násobností. Vlastní vektor matice, které přísluší tomuto vlastnímu číslu vpočteme ze soustav A λi = Θ, ted v našem případě řešením soustav A = Θ ve tvaru = 0, = 0, které vede na = 0, =, [0, ] λ, a ted dim[0, ] λ = se nerovná násobnosti vlastního čísla λ = 0. Matice není ted diagonalizovatelná, nelze nalézt bázi, ve které b měla matice diagonální tvar.,

7 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 7 Smetrické matice a jejich vlastnosti Definice: Nechť A = a ij R m,n. Matici A T R n,m, definovanou A T ji = a ij, i =,..., m, j =,..., n nazýváme maticí transponovanou k matici A. Poznámka: Slovně, j-tým řádkem matice A T se stává j-tý sloupec matice A j =,..., n a i-tým sloupcem matice A T se stává i-tý řádek matice A i =,..., m. Příklad: A = R,3, A T = R 3, Definice: Matice A se nazývá smetrická, jestliže A T = A. Poznámka: Smetrická matice je ted nutně čtvercová matice A R n,n. Poznámka: Ukázali jsme, že reálná matice A R n,n může mít obecně i komplení vlastní čísla. Tvrzení: Smetrická matice A R n,n má všechna vlastní čísla reálná. Tvrzení: Vlastní vektor příslušné navzájem různým vlastním číslům každé reálné matice A R n,n jsou lineárně nezávislé. Tvrzení: Vlastní vektor příslušné navzájem různým vlastním číslům smetrické matice A R n,n jsou navzájem ortogonální kolmé. Příklad: Nechť A = λ, Θ. Pak je ortogonální doplněk X = [ ] λ invariantním podprostorem matice A, který splňuje podmínku A X pro každé X. Příklad: Najděte charakteristický polnom, vlastní čísla a příslušné vlastní vektor smetrické matice A =.

8 8 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Obrázek 5.3: Postupujeme standardním způsobem: vpočteme charakteristický polnom λ deta λi = λ λ = = λ λ λ λ λ = = λ λ 3 + 3λ = = λ λ 3 λ = = λ[ λ λ 3] = = λ[ + λ λ + λ 3] = = λλ 4 = λλ λ + a určíme jeho kořen λ =, λ =, λ 3 = a příslušné vlastní vektor řešením homogenních soustav A λ i I = Θ λ = : získáme v tvaru =,,, který splňuje A =, 3 3 λ = : ,

9 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 9 řešením soustav A λ I = Θ je vektor = 0,, splňující A = λ 3 = : a řešením A λ 3 I = Θ získáme 3 =,,, pro který platí A 3 = 3. Definujeme-li matici vlastních vektorů X =,, 3 = 0, pak kromě identit vplývající z definice vlastních vektorů A X = X platí i vlastnost, že vlastní vektor příslušné navzájem různým vlastním číslům jsou kolmé X T X = 0 0, = Kdž jednotlivé sloupce matice X vnormujeme tak, ab měl výsledné vektor jednotkovou délku = = 3 = = 3 = 3 3 = 6 pak pro matici X =,, 3 platí X T X = I, ted X je ortogonální matice viz následující podkapitola. Základní vlastnost, že vektor,, 3 0,,,.

10 0 5. Vlastní čísla a vlastní vektor vtváří ortonormální bázi prostoru R 3 je vidět z následujících rovností T X T T X = T T T 3 3 = T T T T 3 = 3 T 3 T 3 T 3 3 =,,, 3,,, 3 3, 3, 3, 3 = Příklad: Nechť A : R 3 R 3 je lineární zobrazení se smetrickou maticí 7/9 4/9 4/9 A = 4/9 /9 8/9. 4/9 8/9 /9 Vlastní čísla matice najdeme jako kořen charakteristického polnomu 7/9 λ 4/9 4/9 deta λi = 4/9 /9 λ 8/9 4/9 8/9 /9 λ = = λ 3 λ + λ = λ λ +. Protože je matice A smetrická, jsou tto kořen λ =, λ = λ 3 = reálná čísla. Vlastní vektor = β, β, β 3 takový, že A = λ je řešením homogenní soustav 6β + 4β + 4β 3 = 0 4β 0β + 8β 3 = 0 4β + 8β 0β 3 = 0 s hodností a její řešení lze získat i přímo pomocí vektorového součinu jako = α 6, 4, 4 4, 0, 8 = α 7, 44, 44. Vektor β, β, β 3 musí být totiž kolmý na vektor 6, 4, 4 a 4, 0, 8. Koeficient α zvolíme tak, ab bla norma vektoru rovna jedné, ted =,,. Vlastní vektor příslušné dvojnásobnému vlastnímu číslu 3 λ = λ 3 = jsou řešeními homogenní soustav β + 4β + 4β 3 = 0 4β + 8β + 8β 3 = 0 4β + 8β + 8β 3 = 0

11 5. Vlastní čísla a vlastní vektor s garantovanou hodností. Standardním postupem získáme soustavu v horním stupňovitém tvaru β + β + β 3 = 0 s dvěma lineárně nezávislými řešeními =,, 0 a 3 =, 0,. Tto vektor lze normovat tak, ab jejich norma bla rovna jedné, ted = 5,, 0. Protože obecně 3 není kolmé na a ted není kolmé i na, třetí vektor 3 vpočteme pomocí Gram-Schmidtova orthogonalizačního procesu, kde 3 = 3 α, kde α zvolíme tak, ab platilo že 3, = 0, ted 3, α, = 0. Koeficient α se rovná α = 3, = 4/ 5 a vektor 3 =, 0, 4,, 0 =, 4,. Vektor pak vpočteme normováním vektoru 3 3 =, 4, 5 45 Vpočtené vektor,, 3 jsou ortonormální bází, ve které má lineární zobrazení A diagonální tvar 0 0 Ã = Obrázek 5.4:

12 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Ortogonální matice a jejich vlastnosti Definice: Matice A R n,n se nazývá ortogonální, jestliže A T A = I. Tvrzení:. Každá ortogonální matice A je regulární a platí A = A T. Sloupce ortogonální matice A tvoří ortonormální bázi prostoru R n. Je-li A = a, a,..., a n, pak A T A = = a T a T. a T n a... a n = a, a... a, a n a, a... a, a n. a n, a... a n, a n a T a... a T a n a T a... a T a n. = a T n a... a T n a n = = I Podobně, řádk ortonormální matice tvoří ortonormální bázi R n. Protože je A = A T, platí i vlastnost AA T = AA = I. Tvrzení: Ortogonální matice A R n,n má všechna vlastní čísla ležící na jednotkové kružnici λ =. Příklad: Ortogonální matice řádu První vektor nejobecnější ortonormální báze, v prostoru R je tvaru = cos ϕ, sin ϕ a druhý bazický vektor má nutně jeden ze dvou tvarů ± sin ϕ, cos ϕ. Odpovídající ortogonální matice jsou ted tvaru cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ, ϕ [0, π sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ Poznámka: Matice tvaru lze získat z matic sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ 0 0 vnásobením maticí. Matice zobrazení odpovídá zrcadlení vzhledem k ose dané vektorem e. Matice tvaru 0 0 cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ odpovídá rotaci o úhel ϕ. Všechn ortogonální transformace v R lze ted získat buď otočením o nějaký úhel ϕ a/nebo zrcadlením kolem os e.

13 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 3 Obrázek 5.5: Obrázek 5.6: Obrázek 5.7: Platí ted transformační vztah mezi souřadnicemi nejakého bodu v rovině, před otočením a/nebo zrcadlením a po otočení a/nebo zrcadlení

14 4 5. Vlastní čísla a vlastní vektor, = = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ, 0. 0 Příklad: Nejobecnější kladně orientovanou ortonormální bázi,, 3 prostoru R 3 lze získat následujícím způsobem: Nechť ϑ je úhel mezi vektor e 3 a 3, pro který 0 < ϑ < π. Pak se rovin dané dvojicemi vektorů e, e a, protínají na přímce, ve které leží i vektor k = e 3 3 s délkou ležící na kružnici s poloměrem v obou rovinách. Ted eistuje úhel sin ϑ ϕ [0, π takový, že k = cos ϕ e + sin ϕ e a úhel ψ [0, π takový, že k = cos ψ sin ψ. Úhl ϕ, ϑ, ψ se nazývají Eulerov úhl popisující transformaci souřadnic e, e, e 3 do nového sstému daného vektor,, 3, kterou lze rozdělit do třech kroků: a rotace kolem vektoru e 3 o úhel ϕ; b překlopení kolem vektoru k o úhel ϑ; c rotace otočení kolem vektoru 3 o úhel ψ. Transformační matici lze napsat ted jako součin tří jednoduchých matic otočení cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ cos ϑ sin ϑ 0 sin ϑ cos ϑ cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ = cos ψ cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ψ sin ψ cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ψ sin ϑ sin ϕ cos ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ sin ψ sin ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ cos ψ sin ϑ sin ϕ sin ψ sin ϑ cos ψ sin ϑ cos ϑ Příklad: Matice cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ popisuje pootočení rovin = 0 kolem os o úhel ϕ viděno pozorovatelem proti směru hodinových ručiček ve cos ϕ 0 sin ϕ cos ϕ sin ϕ 0 směru kladné os. Podobně matice 0 0 a sin ϕ cos ϕ 0 sin ϕ 0 cos ϕ 0 0 popisují rotace kolem os resp. os z.

15 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 5 Obrázek 5.8: Obrázek 5.9: Kuželosečk a kvadratické ploch Příklad: Rovnice = 8 popisuje nějakou keželosečku v rovině a m máme vpočítat její tp a délk poloos. Zavedeme nový souřadný sstém

16 6 5. Vlastní čísla a vlastní vektor pomocí transformace souřadnic = + = +, ve vektorovém zápisu = cos π = 4 sin π 4 sin π cos π 4 4 jde ted o pootočení o úhel π/4 ve směru hodinových ručiček. Po dosazení Obrázek 5.0: do rovnice získáme rovnici kuželosečk v nových souřadnicích a = 8, = 6, 4 + =, což je rovnice elips s délkami poloos a =, b =. Obecně převedeme-li rovnici do standardní form =,

17 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 7 Obrázek 5.: pak ji lze psát pomocí smetrické matice jako výraz ve tvaru T 5/8 3/8 =. 3/8 5/8 Nní známým způsobem najdeme vlastní čísla a vektor matice 5/8 λ 3/8 3/8 5/8 λ 5/8 3/8 3/8 5/8 = 5/8 λ 9 64 = λ + λ = = λ 8 λ = 0, 8 8 ze kterého vplývá, že λ = a λ = 4. Vlastní čísla jsou kladná λ > 0 a λ > 0, a současně λ λ, a ted se jedná o elipsu ve tvaru λ + λ =, + =, kde vztah mezi souřadnicemi, a, získáme pomocí matice vlastních vektorů, příslušných vlastním číslům λ = a λ = 4 3/8 3/8, 3/8 3/8 0 0 =,

18 8 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 3/8 3/8 3/8 3/8 0 0 =, =, Kuželosečk: obecný postup Obecný tvar kuželosečk elips, parabol nebo hperbol se středem smetrie v počátku souřadného sstému je a + a + a =. Splňuje-li bod, tuto rovnici, pak i bod, leží ted na dané kuželosečce. Cílem je převést kuželosečku do tvaru a + a =, kde a jsou souřadnice bodu v souřadném sstému daném hlavními poloosami nebo asmptotami kuželosečk. Jsou-li a a a kladná čísla, pak se jedná o elipsu, mají-li různá znamínka, jde o hperbolu. Jednotlivé případ jsou znázorněn grafick na následujícím obrázku: Obrázek 5.: a a Použijeme následující postup: definujeme smetrickou matici A = a a Rovnici a + a + a = lze pak přepsat do tvaru T A =.

19 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 9 Obrázek 5.3:. Protože je matice A smetrická, lze nalézt ortonormální bázi, ve které má tato matice diagonální tvar, ted platí, že eistují vektor, tak, λ 0 že A = λ a A = λ. V maticovém tvaru AX = X, 0 λ kde X =, a současně platí X T X = I. Pak po substituci = T X do rovnice A = získáme rovnici kuželosečk v nových souřadnicích, ve tvaru T λ 0 =, 0 λ ted λ + λ =. Vlastní čísla λ, λ matice A určují tp kuželosečk a příslušné vlastní vektor, určují směr hlavních poloos asmptot kuželosečk. Kvadratické ploch ploch. stupně v prostoru: obecný postup Rovnice s kvadratickými člen a + a + a 3 z + a + a 3 z + a 33 z = popisuje elipsoid, hperboloid, paraboloid, válcovou plochu a jejich různé variant. Z uvedené rovnice je zřejmé, že počátek je středem smetrie dané

20 0 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Obrázek 5.4: ploch, t.j. je-li bod,, z řešením dané rovnice, pak je řešením i bod,, z. V maticovém zápisu má rovnice tvar z T a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 z =, A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Řešení problému vlastních čísel smetrické matice A vede k reálným vlastním číslům λ, λ, λ 3 s ortonormálními vlastními vektor,, 3. Zavedeme-li nové souřadnice pomocí transformace z = X z, X =,, 3.

21 5. Vlastní čísla a vlastní vektor získáme rovnici kvadratické ploch v standardním tvaru z T λ λ λ 3 z =, ted λ +λ +λ 3 z =. Tp kvadratické ploch zjistíme, podle toho zda jsou všechna vlastní čísla kladná pak rovnice popisuje elipsoid nebo se liší znaménkem pak jde o hperboloid nebo se jedná o některou jinou variantu kvadratické ploch. Příklad: Nechť rovnice z + z = popisuje nějakou kvadratickou plochu. O jaký tp kvadratické ploch jde a jaké jsou její hlavní os? Matice A = 0 příslušné vlastní vektor jsou =, = 3 6 má vlastní čísla λ =, λ =, λ 3 = 3 a, 3 = Transformace do nových souřadnic vede na rovnici kvadratické ploch v standardní formě + 3z =. Jedná se ted o rotační hperboloid, jehož průnik s rovinou, je hperbola protínající osu. Průnik hperboloidu s rovinou, z je elipsa s větší poloosou na ose a průnik s rovinou, z je opět hperbola protínající osu. 0.

22 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Obrázek 5.5:

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Linearní algebra příklady

Linearní algebra příklady Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového

Více

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi. Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

1.6 Singulární kvadriky

1.6 Singulární kvadriky 22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Polynomy a racionální lomené funkce

Polynomy a racionální lomené funkce Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b. 1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více