Analytická geometrie lineárních útvarů

Transkript

1 ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod má pouze jednu souřadnici. Souřadnice bodů:a [3] ; B [-3] b) Vzdálenost dvou bodů na přímce: Je-li A [ A] ; B [ B], pak jejich vzdálenost AB A - B Na přímce jsou dán bod A [ -4 ] ; B [ 3 ]. Určete jejich vzdálenost. AB c) Střed úsečk na přímce: Je-li A [ A] ; B [ B], pak jejich střed má souřadnici S [ S] a platí: s A Určete střed úsečk AB s krajními bod A [-] ; B [ 8]. 8 Střed S [ S ] S 3 S [ 3 ] B )V rovině: V rovině je dán souřadný sstém s dvěma kolmými osami,. Jejich průsečík nazveme počátek. Souřadnice bodu v rovině: Každý bod má v rovině dvě souřadnice -. - ovou ;. - ovou A [ 3,4 ], B [ -, ], C [ -3,-4 ], D [,-3 ]

2 Vzdálenost dvou bodů v rovině: Je dán bod A [ A, A ] a bod B [ B, B ]. Jejich vzdálenost určíme z obrázku: Platí Pthagorova věta c a b a A - B b A - B A B A B AB ( ) ( ) V rovině jsou dán bod X [ 5,- ], Y [ -, 4 ]. Určete jejich vzdálenost. ( ) ( ) XY Cvičení:. Je dán trojúhelník ABC : A [,- ] ; B [ -3, ] ; C [ 4, ]. Dokažte, že je rovnoramenný a pravoúhlý.. Vpočtěte velikost obvodu trojúhelníku ABC : A [ -,5;-6 ] ; B [ 5; 0,5 ] ; C [ 9 ; -8,]. [ 3,0 ] Střed úsečk v rovině: Je dána úsečka s krajními bod A [ A, A ] a B [ B, B ]. Jejím středem je bod S [ S, S ] a platí: s A B Vpočtěte souřadnice středu úsečk CD, je-li C [ 5,4 ], D [ -3,- ] S S S [, ]. s A B

3 Cvičení:. Určete velikosti středních příček trojúhelníku ABC,kde A [ -4, ] ; B [ 4,-4 ] ; C [,5 ]. [ 5 ; 4,6098 ; 3,354 ]. K bodu A [,5 ] určete bod B souměrně sdružený podle os. [ B [,-5 ] ] 3. Najděte střed kružnice opsané trojúhelníku ABC : A [,- ], B [ 5,- ] ; C [0,3 ]. [ S [ 5,3 ] ] Vektor v rovině: Vektor orientovaná úsečka ( ve fzice např. síla, rchlost) vektor AB - A - počáteční bod ; B - koncový bod Souřadnice vektoru: Na obrázku jsou zobrazen čtři vektor. Jsou rovnoběžné, stejně velké a stejně orientované - říkáme, že se jedná o různá umístění téhož vektoru. Jedná se ted o jeden vektor v umístěný v různých bodech. Souřadnice vektoru určíme tak, že jeho počáteční bod umístíme do počátku souřadného sstému a souřadnice vektoru budou souřadnicemi koncového bodu. v ( 3, ) Je -li vektor v umístěn do bodů A [ A, A ] a B [ B, B ] kde A je bod počáteční a B bod koncový, pak jeho souřadnice určíme takto: v (v,v ) ( B - A, B - A ) Určete souřadnice vektoru v AB, kde A [,6 ] a B [8, ]. v (8 -, - 6) (6, -4) Příklad : Rozhodněte, zda orientované úsečk AB, CD jsou umístěním téhož vektoru : a) A [ -5; 3], B [ ; -], C [ -3; ],D [ 4; -3] Návod : Vpočteme souřadnice jednotlivých vektorů a zjistíme, zda jsou shodné. AB ( 7, - 4 ), CD ( 7, -4) ano b) [ -;-6], B [ -3 : - ], C [ -3;- ], D [-;-6]

4 AB ( -, 5 ), CD (, - 5 ) ne Příklad : Určete souřadnice bodu D tak, ab orientované úsečk AB, CD představoval týž vektor : A [ -7; ], B [ ; 7 ] ; C [ -;-3], D [?;? ] Návod : Napíšeme smbolické rovnice pro rovnost vektorů a dosadíme. AB CD B A D C (- 7 ) d ( -) 7 d ( 3) 8 d 6 d 3 d 6 d 3 D [ 6 ; 3 ] Velikost vektoru: Je -li dán vektor v (v, v ), pak jeho velikost určíme následujícím způsobem: v v v Určete velikost vektoru v ( 4,3). v Příklad : Zakreslete vektor AB, CD, EF, určete jejich souřadnice a velikost : A [ ; ], B [ 5 ; 4 ], C [ ; - 3 ], D [ ; ], E [ 5 ; 0 ], F [ - ; - 3 ] v B A 5 4 v -l - -3 v v B C 4 v ( -3) 5 v v( 4, ) v ( - 3, -5) v ( - 7, - 3) v v v 4 0 v v Operace s vektor: a) Součet vektorů: Je dán vektor v (v,v ) a vektor u (u,u ). Jejich součtem u v je vektor w (v u, v u ). b) Součin čísla a vektoru: Je dán vektor v (v,v ) a reálné číslo k. Jejich součinem k.v je vektor w ( k.v, k.v ). c) Skalární součin vektorů: Je dán vektor v (v,v ) a vektor u (u,u ). Jejich skalárním součinem u ο v je číslo : u ο v u. v u. v Skalární součin vektorů nelze zobrazit.

5 Jsou dán vektor v (,-3), u ( 5,6 ). Určete u v, 4.v, u ο v. w u v ( 5, -36 ) ( 7, 3) 4.v ( 4., 4. (-3) ) (8, - ) u ο v.5 (-3) Úhel dvou vektorů: Úhel dvou vektorů určíme z tohoto vzorce u v cosα u. v cosα u u. v u u. v. v v ted po dosazení Určete úhel vektoru u ( -4,) a vektoru v (, 3) Dosadíme do vzorce : cos α α ,4034 Je - li u ο v 0 pak vektor u a v jsou navzájem kolmé! Určete velikosti úhlů. které svírají úhlopříčk čtřúhelníku ABCD : A [-3; ], B [ ; -4 ], C [ 7 ; - ], D [ 5 ; 4 ] Vpočteme např. úhel vektorů AC, BD ( určíme souřadnice těchto vektorů, jejich velikosti a dosadíme do vzorce ) : AC C A ( 0, -3 ) AC BD D B ( 3, 8 ) BD cos ϕ 0,0676 ϕ ε Zjistěte, zda vektor AB, CD jsou navzájem kolmé ( A [ 4; 0], B [-6;4], C { ;7], D [ -3;-3] Určíme souřadnice vektorů AB B-A ( -0, 4), CD D C ( -4, - 0) a dosadíme do podmínk pro kolmost vektorů : -0. ( -4) 4.( -0) jsou kolmé Příklad : Rozhodněte, zda trojúhelník ABC je pravoúhlý ( pravý úhel u vrcholu C ) A[ -;6],B[;-],C[-3;] Návod: zjistíme, zda vektor CA, CB jsou navzájem kolmé CA A C ( -, -5 ), CB B-C ( 5, -) ( -).5 ( -5). ( -) ano

6 Lineární závislost a nezávislost vektorů: a) Dva vektor Vektor u a v jsou lineárně závislé, právě kdž eistuje reálné číslo k tak že platí u k.v Příklad závislých vektorů: u ( -, ) v (, -4 ) - platí u (-0,5).v číslo k - b) Tři vektor Vektor u, v, w jsou lineárně závislé právě kdž eistují reálná čísla m, n tak, že platí w m.u n.v Příklad závislých vektorů: u ( -, ) v (3, -4 ) w ( 7, -8) platí: 7 -.m 3.n /. - 8.m (-4)n 4 -.m 6.n - 8.m - 4.n rovnice sečteme 6.n n 3 m 3.n Vektor jsou lineárně závislé a platí: w.u 3.v Vektor w nazýváme lineární kombinací vektorů u a v. Studovat závislost a nezávislost 3 vektorů můžeme pouze v prostoru. V rovině platí, že 3 vektor jsou vžd závislé. Cvičení:. Rozhodněte, zda orientované úsečk AB,CD, jsou umístěním téhož vektoru, jestliže a) A[ ; ], B [ -3; - ], C [ ; - ], D [ 7 ; -4] ( ano ) b) A [ 3; - ], B [ -5; -4 ], C [ -; 5 ], D [ -3; 7] ( ne ). Určete souřadnice bodu D tak, ab orientované úsečk AB, CD bl umístěním téhož vektoru : a) A [ -;], B [ 3; -5 ], C [ 5; -7] D [ 9; - 4] b) A [ -5;-7], B [ -3;-4], C [ ;] D [ 3 ; 5 ] 3. Určete velikosti úhlů, které svírají úhlopříčk čtřúhelníku ABCD : a) A [ -3;], B [ 3 ; 9 ], C [ 7 ; 6 ], D [-; 6 ] , b) A [ ; ], B [ -3 ; - ], C [ 7 ; 4 ], D [ ; -] 8 0 7, Dokažte, že trojúhelník ABC je pravoúhlý : ( zjistěte, zda vektor CA,CB jsou navzájem kolmé : a) A [ 4; -], B [ 3; 4], C [ ; ] ano b) A [ - ; 6 ], B [ 0; 7 ], C [ 5; ] ano 5. Určete souřadnice vektoru v AB, kde A [,-3 ] ; B [ 6,7 ]. [ v ( 4,0) ] 3 6. V soustavě souřadnic jsou dán bod A [,7 ] ; B [ -4, ]; C ;. D ; 5. Jsou vektor AB; CD umístěním téhož vektoru? [ ano ] 5 7. V soustavě souřadnic jsou dán bod A [ -,0 ]; B [,4 ]; C 3 ; ; D 3 ; ; E [,- ] ; F 3 [ 6, ]. Zjistěte, zda jsou si rovn vektor a) AB; CD ; b) AB; EF ; c) CD; EF [ a) ne; b) ano; c) ne ] 8. Jsou dán bod A [4,0 ] ; B [ 5,- ]; D 4 5 ; 5. Určete bod C tak, ab vektor AC a BD bl umístěním téhož vektoru u. [ C [ -0,;-5,5 ] ] 9. Určete skalární součin vektorů u (-, 6 ) ; v ( 3,-5 ). [ -36 ]

7 0. Určete úhel vektorů u (-6,8 ) v (, -4). [69 4 ]. Je dán vektor v (-,3) a vektor u AB, A [ 7, ], B [-,3 ]. Určete jejich úhel. [ 4 7 ]. Rozhodněte, zda jsou kolmé vektor u ( -5,3 ); v ( -6, -0 ) [ ano ] 3. Určete koeficient lineární závislosti vektorů u ( -,6 ) ; v ( 3, -6 ) a w ( 8, -8 ). [ - ; ] 4. Rozhodněte, zda jsou kolmé vektor a (6,-6) ; b ( 8, 8). [ ano ] 5. Najděte alespoň jeden vektor v tak, ab s vektorem u (,- ) bl kolmé. 6. Trojúhelník ABC má vrchol A [-5, ] ; B [,5 ]. Určete souřadnici vrcholu C, jestliže vektor u AC ( 3,-4 ). Dále určete velikosti vektorů u AC ; v AB ; w BC. [ C [-,- ], u 5; v 3. 5; w 58 ] 7. Rovnoběžník ABCD má vrchol A [ 0,0 ] ; B [8,- ] ; C [,4 ]. Určete souřadnice vrcholu D. [ D [ 4,6 ] ] 8. Vektor v AB, A [-, ]; B [,5 ], vektor u AC, C [7,-3]. Určete úhel α vektorů u a v. [ α ] 9. Je dán trojúhelník ABC : A [7,-3] ; B [-, ]; C [,5 ]. Určete úhel β. [ β ] 0. Je dán rovnoběžník ABCD, A [3,3] ; B [,7 ]; C [7,5 ]. Určete souřadnice vrcholu D a úhel jeho úhlopříček. [ D [8,], γ 7 34 ]. Jsou dán bod : A [0,3] ; B [-3,-3 ]; C [4, ]. Leží tto bod v jedné přímce? [ ano ] Parametrické vjádření přímk v rovině Přímka je jednoznačně určena dvěma různými bod. K nalezení parametrické rovnice přímk potřebujeme mít dán jeden bod a vektor ( směrový vektor přímk ). Přímka je množina bodů X. Každý bod X [,] na přímce p dostaneme tak, že k bodu A [a,a ] přičteme t násobek vektoru v. Ted X A t. v po rozepsání do souřadnic dostaneme parametrickou rovnici přímk: p : a t.v a t.v kde t je parametr Napište parametrickou rovnici přímk, určené bodem A [3,4] a vektorem v (,5). p: 3.t 4 5.t Napište parametrickou rovnici přímk určené bodem A [5,6] a bodem B [7,7].

8 Z dvojice bodů A,B nejprve určíme vektor AB u (,). p: 5.t 6 t Je dána přímka p: 5.t ; 6 t. Určete zda na této přímce leží bod K [,4 ] a bod M [ 3,6 ]. Leží-li bod na přímce, pak jeho souřadnice musí vhovovat rovnici přímk. K : 5.t t t t - Protože všlo v obou rovnicích stejné t, bod K leží na přímce p. M: 3 5.t t t t 0 Protože všlo v obou rovnicích různé t, bod M neleží na přímce p. Cvičení:. Napište parametrickou rovnici přímk určené bodem P [ 3, -8 ] a směrovým vektorem v ( 3, 4 ). [ 33t, -84t ]. Napište parametrickou rovnici přímk určené bodem A [ 6, 3 ]a bodem B [ 3,- ] [ 6-3t, 3-5t ] 3. Jsou dán tři bod A [ -4, ], B [, 0 ], C [, 6 ]. Tto bod tvoří trojúhelník.napište parametrické rovnice těžnic trojúhelníku ABC. 7 4 t; t k; 4k m; 6 5m 4. Jsou dán bod A [ -3, 0 ], B [, 4 ]. Určete vzájemnou polohu přímk určené bod A a B s přímkou p: -4t, -4t. Obecná rovnice přímk Obecná rovnice přímk v rovině má tvar: a b c 0 kde a, b, c jsou reálná čísla. Vektor n ( a, b ) je vektor kolmý k přímce, říkáme mu vektor normálový. Obecnou rovnici přímk získáme z parametrické rovnice tak, že obě rovnice vnásobíme takovými čísl, ab po jejich sečtení vpadl parametr t. Přímku p : 5.t ; 6 t převeďte na obecný tvar. p : 5.t 6 t /.(-) 5 t - --t - -7 p: rovnice sečteme Máme-li dán dva bod a chceme sestavit obecnou rovnici přímk určené těmito bod, můžeme postupovat dvěma způsob: ) Sestavíme nejprve parametrickou rovnici přímk a postupem z předchozího příkladu přejdeme na rovnici obecnou ) Najdeme normálový vektor přímk a postupujeme podle následujícího příkladu: Napište obecnou rovnici přímk určené bodem A [ -,6 ] a bodem B [ 4,-3 ].

9 Nejprve najdeme vektor v AB ( 6,-9). K němu kolmý vektor ( normálový vektor přímk ) n ( 9, 6 ). Máme již první koeficient obecné rovnice a 9, b 6. Rovnice přímk bude mít tento tvar: 9 6 c 0 Zbývá nalézt koeficient c. Ten najdeme tak, že dosadíme jeden z bodů A nebo B za a do rovnice: A p : 9.(-) 6.6 c c 0 c -8 Celá rovnice bude mít tvar: můžeme ji ještě dělit 3 p: Vzdálenost bodu od přímk Vzdálenost bodu A [ 0, 0 ] od přímk p : a b c 0 Vpočteme podle vzorce d a 0 a b 0 b c Je dána přímka p : Vpočtěte vzdálenost bodu K [ -, ] od této přímk. a0 b0 c Vpočteme podle vzorce d 0,77 a b Úhel dvou přímek : Vpočteme buď jako úhel dvou směrových nebo dvou normálových vektorů takto: cosα u v u. v cosα u u. v u u. v. v v Určete úhel přímek: p: q: n p ( -, 3 ) ; n q ( 3, -4 ) n p. nq n p. nq 6 8 cosα α 3 0 n n. n n p q p q

10 Vzájemná poloha přímek v rovině Vzájemnou polohu určíme pomocí směrových vektorů obou přímek. Jsou -li přímk zadán obecnou rovnicí, je lepší místo směrových vektorů použít normálové. a) rovnoběžné - totožné - směrové vektor lineárně závislé, všechn bod společné - různé - směrové vektor lineárně závislé, žádný společný bod b) různoběžné - směrové vektor lineárně nezávislé, jeden společný bod - průsečík Průsečík obou přímek najdeme, řešíme-li soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Určete vzájemnou polohu přímek p: - 3.t q: - 3.k - t -3 k u p ( 3, - ) ; v q ( - 3, ) Pro směrové vektor obou přímek platí : u p - v q Přímk mohou být buď totožné nebo rovnoběžné. Na přímce zvolíme libovolný bod C : volíme např. t 5 ; 0 C [ 5, 0 ] Ověříme, zda tento bod leží i na přímce q : - 3.k 5-3.k k - -3 k 0-3 k k 3 Protože hodnota k je různá, bod C na q neleží a přímk jsou rovnoběžné různé. Určete vzájemnou polohu přímek p: q: n p ( -, 3 ) ; n q ( 3, -4 ) - tto vektor jsou lineárně nezávislé - přímk jsou různoběžné Určíme jejich průsečík P: / / obě rovnice sečteme P [ - 43, -3 ] Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek určíme tak, že na jedné z nich zvolíme libovolný bod a podle vzorce vpočteme jeho vzdálenost od druhé přímk. Je dána přímka p : q :

11 Určete jejich vzdálenost. n p ( -, 3 ) ; n q ( -4, 6 ) - tto vektor jsou lineárně závislé, ale koeficient c v druhé rovnici není dvojnásobkem c v první rovnici - přímk jsou rovnoběžné Na p zvolíme libovolný bod : - ( volíme libovolně ) vjde z rovnice - -3 A [ -, - 3 ] d a 0 a b 0 b c d ,9707 Cvičení: 5. Napište obecnou rovnici přímk určené bodem A [, ] a B [, ]. [ ] 6. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ -3, ] a je rovnoběžná s osou. [ ] 7. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ -3, ] a je rovnoběžná s osou. [ -3 ] 8. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ -3, ] a je rovnoběžná s přímkou [ ] 9. Určete vzájemnou polohu dvou přímek p: 33t, -84t q Určete případný průsečík, úhel nebo vzdálenost. [ různob.; P [ 4 6 ; ]; α 3 0 ] Vpočtěte odchlku přímek p: ; q: 8 0 [ 45 ]. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ 4,3] a má od přímk 7 0 odchlku 45. [ nebo ]. Najděte průsečík přímek p: 3 0, q: 3 0. [ P [, - ] ] Směrnicový tvar rovnice přímk Je to rovnice v tomto tvaru: k q Proměnnou k nazýváme směrnice přímk a platí: k tg α, kde α je úhel přímk p s osou p α q Proměnná q se označuje úsek přímk na ose. Přímka ve tvaru k q ted vžd prochází bodem [ 0,q ]. Pro přímku určenou dvěma bod A [, ]; B [, ] platí vzorec:

12 A α B k k tgα Napište směrnicovou rovnici přímk p, která je určena bod A [ 6, ]; B [ 9,0]. 0 9 Z daného vztahu určíme k: k Rovnice má tvar 3 q Neznámou q zjistíme dosazením libovolného bodu do rovnice: Rovnice má tvar q q -7 Tento tvar rovnice přímk připomíná lineární funkci. Cvičení:.) Určete směrnicový tvar rovnice přímk, dané bodem A [ 4; ] a směrovým úhlem α [ 3 ( 4 3 ) ] π. 3 4.) Určete směrnicový tvar rovnice přímk, dané bodem A [ -3;0 ] a bodem B [ ; -] [ ] ) Jsou dán bod A [ -5;4 ] a B [ m ; -3]. Určete číslo m tak, ab přímka daná bod A,B měla směrnici 3 k. Napište její rovnici v směrnicovém tvaru [ m ; - ] ) Napište ve směrnicovém tvaru rovnici přímk, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou danou bod A [ -;-4 ] a B [ 4 ; 7 ] 3 [ ] ) Napište ve směrnicovém tvaru rovnici přímk, která prochází počátkem bodem A [ 3;0 ] a její úsek na 5 ose je q 5 5 [ ] 6 6.) Napište ve směrnicovém tvaru rovnici přímk, která prochází počátkem bodem A [ 4;6 ] a je kolmá k přímce o rovnici [ ] ) Určete směrnici a úsek q přímk dané rovnicí [k,5; q 3]

13 8.) Přímka p má rovnici Napište obecnou rovnici přímk. [ 0 5 0]