Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analytické myšlení TSP MU výroková logika II."

Transkript

1 Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol, obce a ekologických sdružení. Reg. číslo CZ.1.07/1.1.00/

2 Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část druhá V předchozí část materiálu o výrokové logice jsme se naučili stanovit pravdivostní hodnotu daného složeného výroku v závislosti na pravdivosti elementárních výroků, z nichž je sestaven, resp. zkonstruovat tabulku pravdivostních hodnot (která systematicky ukazuje, jaké jsou pravdivostní hodnoty daného složeného výroku ve všech různých situacích daných různými kombinacemi pravdivostních hodnot zmíněných elementárních výroků). Zavedli jsme pojem ekvivalence dvou výroků a naučili jsme se zjišťovat, zda dané dva výroky jsou či nejsou ekvivalentní. Ukázali jsme si též několik pravidel, která nám umožňují zkonstruovat k danému složenému výroku, který obsahuje implikaci či disjunkci jako hlavní spojku, výrok ekvivalentní, aniž by bylo nutné připravovat tabulky pravdivostních hodnot. V této části si definujeme, co znamená, že daný (složený) výrok je negací jiného a dále zavedeme pojem vyplývání ve výrokové logice. Naučíme se, jak zjistit, zda daný výrok vyplývá z dané množiny jiných složených výroků a také se naučíme, jak postupovat v úlohách tohoto typu co možná nejjednodušeji. Negování složeného výroku V TSP MU se stále v analytickém myšlení setkáváme s úlohami typu: Který z uvedených výroků je negací (popřením) výroku daného? V této kapitole si ukážeme dva způsoby, jak se dají úlohy tohoto typu řešit. Pojem negace výroku Definice: Výroky α a β jsou vzájemnými negacemi, případně že výrok α je negací výroku β, právě když se na každém řádku tabulky pravdivostních hodnot jejich pravdivostní hodnoty liší. Komentář: zhruba řečeno, ekvivalence dvou výroků znamená, že mají stejné pravdivostní hodnoty, negace znamená, že mají (ve všech řádcích) pravdivostní hodnoty opačné. Definice nám poskytuje i první návod, jak zjistit, zda daný výrok je negací jiného výroku. Cvičení Určete (na základě tabulek pravdivostních hodnot), které z následujících výroků jsou vzájemnými negacemi? a) Jestliže přijde Adam, pak Blanka nepřijde. b) Adam přijde a Blanka také přijde. c) Jestliže Adam nepřijde, pak přijde Blanka. d) Přijde Adam nebo přijde Blanka e) Adam ani Blanka nepřijdou. (= Adam nepřijde a Blanka nepřijde.) Řešení Písmenem A označíme výrok Přijede Adam., písmenem B výrok Přijede Blanka. Výroky a) až e) pak mají podobu: a) A B b) A B

3 c) A B d) A B e) A B Nyní vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot těchto (složených) výroků (rozepište si případně podrobněji, jak jsme získali hodnoty ve sloupečcích příslušejících těmto složeným výrokům): A B a) A B b) A B c) A B d) A B e) A B I II III IV Okamžitě vidíme, že výroky a) a b) jsou vzájemnými negacemi (čili že výrok a) je negací výroku b) a zároveň samozřejmě jaké výrok b) je negací výroku a)), dále vidíme, že negací výroku c) je výrok e), stejně tak, jako v případě výroku d), který má negaci také e) totéž z druhé strany : negací výroku e) je výrok c) či výrok d). Je tedy zřejmé, že k danému výroku nemusí být negace určená jednoznačně. To však neznamená, že by byla libovolná pouze to znamená, že všechny negace daného výroku jsou navzájem ekvivalentní (promyslete si to!). Máme-li v testu úlohu typu Který z následujících výroků je ekvivalentní výroku X a možnosti a) až e), lze postupovat tak, že: 1. Určíme jednotlivé elementární výroky, které se vyskytují ve výroku v zadání a v nabídnutých možnostech. 2. Vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot pro výrok ze zadání a výroky v nabídnutých možnostech. 3. Nalezneme ten výrok, který má přesně opačný sloupec v tabulce pravdivostních hodnot než výroku v zadání. Pravidla pro vytváření negací některých typických složených výroků Podobně jako v případě určování, který výrok je ekvivalentní výroku danému, není zapotřebí ve všech případech vytvářet tabulky pravdivostních hodnot, což může být někdy náročné na čas, ale lze použít několika pravidel pro negování složených výroků. Podíváme se nyní na jednotlivé logické spojky a ukážeme si, jak lze vytvořit negaci bez pomoci tabulky pravdivostních hodnot. Je dobré si uvědomit, co vlastně děláme, pokud vytváříme negaci výroku danému: hledáme takový výrok, který platí právě v těch (všech) situacích, kdy neplatí výrok daný a naopak. Negování výroku ve tvaru konjunkce Znegovat konjunkci znamená znegovat oba její členy a spojit je pomocí spojky disjunkce. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B. Je to přirozené, neboť tvrdím-li výrok v podobě konjunkce, říkám, že platí obě dvě jeho

4 části. Pokud bych chtěl toto tvrzení popřít, musel bych říci, že aspoň jeden z výroků A, B neplatí, tj. negace A nebo negace B platí. Čili platí disjunkce A B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo, že umí anglicky a umí německy, tak při lži ho přistihneme ve třech případech: v případě, že dotyčný neumí anglicky, ale umí německy, dále v případě, že umí anglicky, ale neumí německy, a do třetice v případě, že neumí ani jeden z těchto jazyků. Jinými slovy, aspoň jeden (možná oba jsme v nevylučovacím případě), z výroků umí anglicky, umí německy neplatí. Platí tedy aspoň jeden z výroků neumí anglicky, neumí německy, což je právě inkriminovaná disjunkce: neumí anglicky nebo neumí německy. Poznámka: pokud bychom měli znegovat podle tohoto pravidla výrok např. A B, pak výsledkem by byl výrok A B. Nicméně víme, že dvojitá negace čehokoliv je totéž, jako výrok samotný, a proto bychom spíše psali A B. (Kdybychom chtěli být extrakorektní, doplnili bychom, že výroky A B a A B jsou ekvivalentní). Podobným způsobem budeme postupovat v případě dalších spojek. Negování výroku ve tvaru disjunkce Znegovat disjunkci znamená znegovat oba její členy a spojit je pomocí spojky konjunkce. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B. Opět je to přirozené, neboť tvrdím-li výrok v podobě disjunkce, říkám, že platí aspoň jedna z jeho částí. Pokud bych chtěl toto tvrzení popřít, musel bych říci, že oba dva z výroků A, B neplatí, čili platí současně negace výroků A, B. Čili platí konjunkce A B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo, že umí anglicky nebo umí německy, tak při lži ho přistihneme pouze v případě, že by neuměl ani jeden z těchto jazyků, tj. neuměl anglicky a zároveň neuměl německy. Negování výroku ve tvaru implikace Znegovat implikaci znamená první člen nechat v původní podobě, druhý člen znegovat a spojit je oba spojkou konjunkce. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B. Zde možná není na první pohled úplně jasně vidět, proč tomu tak je, ale pokusíme se to osvětlit: implikace jestliže A, pak B říká, co se má stát, pokud je výrok/podmínka A splněn(a) má nastat B. Chceme-li toto tvrzení popřít, musíme zachytit situaci, kdy výrok A je splněn, ale výrok B nikoliv. To je ovšem přesně situace, kdy platí konjunkce výroku A a negace výroku B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo: Jestliže umím česky, pak umím také slovensky. a my bychom ho chtěl usvědčit ze lži, museli bychom tvrdit, že dotyčný (sice) umí česky, ale slovensky neumí. Negování výroku ve tvaru ekvivalence Znegovat ekvivalenci znamená jeden ze členů ekvivalence znegovat a zbytek nechat. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B či výrok A B (ověřte v tabulce, že jsou ekvivalentní). Vzhledem k tomu, že úlohy na určování negací výroků ve tvaru ekvivalence se v TSP MU prakticky nevyskytují, nebudeme jim věnovat takovou pozornost pravidlo pro negování ekvivalence jsme uvedli spíše pro úplnost.

5 Cvičení Pomocí výše zmíněných pravidel pro negování znegujte následující výroky (bez použití tabulky pravdivostních hodnot): a) Jestliže mrzne, pak je kluzko. b) Jestliže je teplo, jdeme se koupat nebo jdeme na zmrzlinu. c) Koupil košťátko, ale nekoupil lopatku. d) Objednáme si myčku nebo si pořídíme služebnou. e) Jestliže nemám svetr, pak mám rolák. f) Není chytrý nebo není bohatý. Řešení a) výrok má podobu implikace, první člen (mrzne) tedy necháme a druhou člen (je kluzko) znegujeme a obě tyto části spojíme pomocí konjunkce dostáváme tak jako výsledek výrok: Mrzne, a není kluzko. (což je totéž, co Mrzne, ale není kluzko.) b) výrok má podobu implikace, jejíž druhý člen je ovšem opět složený výrok (který má podobu disjunkce). Budeme postupovat analogicky: první člen (je teplo) necháme a druhý člen (jdeme se koupat nebo jdeme na zmrzlinu) znegujeme musíme tedy znegovat disjunkci, která se neguje tak, že obě části znegujeme a spojíme je konjunkcí. Výsledek má tedy tvar: Je teplo, a nejdeme se koupat a nejdeme na zmrzlinu. c) výrok má podobu konjunkce (spojka ale zde funguje jako spojka a), obě dvě části tedy znegujeme a dáme mezi ně disjunkci. Výsledek je: Nekoupil košťátko nebo koupil lopatku. d) výrok má podobu disjunkce, tedy podle pravidel obě části znegujeme a spojíme konjunkcí: výsledek je tedy: Neobjednáme si myčku a nepořídíme si služebnou. e) výrok má podobu implikace, proto při negování první člen necháme a druhý znegujeme a oba spojíme konjunkcí. Výsledek je: Nemám svetr a nemám rolák. f) výrok má podobu disjunkce, proto při negování znegujeme oba členy a spojíme je konjunkcí. Výsledek je: Je chytrý a je bohatý. Shrnutí kapitoly o negování složeného výroku Úlohy na negování složeného výroku patří k úlohám, které se v TSP MU vyskytují relativně často. K jejich řešení máme nyní k dispozici dvě metody. První, tabulkovou, která vždy vede k cíli, někdy však může být poněkud zdlouhavá. Druhý způsob se opírá o sadu pravidel, jak znegovat výroky mající konkrétní tvar. Tento způsob je rychlejší uchazeč, který má tuto látku procvičenou, vyřeší takového úlohy v řádu několika málo desítek sekund. Pozn. Může se stát, že po aplikaci našich pravidel pro negování získáme výrok, který mezi nabídnutými možnostmi není. To znamená, že mezi nabídnutými možnostmi musíme hledat takový výrok, který je námi vytvořené negaci ekvivalentní (což opět můžeme dělat pomocí tabulky nebo pravidel). Tato situace však není v testech příliš obvyklá, je však dobré si ji promyslet. Který z následujících výroků je negací (popřením) výroku daného a) Neprší a nevysvitlo sluníčko b) Prší a nevysvitlo sluníčko. Neprší a vysvitlo sluníčko.

6 c) Jestliže neprší, pak nevysvitlo sluníčko. d) Jestliže prší, pak nevysvitlo sluníčko. e) Prší nebo vysvitlo sluníčko. Pokud bychom aplikovali naše pravidla, dospěli bychom ke větě: Prší nebo nevysvitlo sluníčko. Tu v nabídnutých možnostech ovšem nemáme. Čili budeme hledat takovou možnost, která obsahuje výrok ekvivalentní tomuto našemu. Ekvivalentní výrok k disjunkci dostaneme třeba tak (viz první díl našeho textu), že první člen znegujeme a implikací připojíme druhý člen původní disjunkce (beze změn). Tím dostaneme výrok Jestliže neprší, pak nevysvitlo sluníčko., který už v nabídnutých možnostech je. Správnou odpovědí je tedy c). V rámci procvičování doporučujeme, abyste si zkusili vyřešit tuto úlohu pomocí tabulek. Vyplývání/odvozování ve výrokové logice Posledním typem úloh, jimiž se v tomto textu budeme zabývat, jsou úlohy založené na pojmu vyplývání ve výrokové logice. Naučíme se tedy řešit úlohy, jejichž otázka zpravidla zní: který z následujících výroků vyplývá (je logicky korektní jej odvodit) z výroků daných? Jako v předchozích případech si ukážeme dva postupy: pomocí tabulek pravdivostních hodnot a druhý, pomocí pravidel. Nejprve si ale pojem vyplývání definujeme: Definice: Řekneme, že výrok Z vyplývá z výroků P a Q, když platí, že výrok Z je pravdivý ve všech situacích, kdy jsou současně pravdivé výroky P a Q. Definice jinými slovy říká, že se nestane, že by v nějaké situaci byly pravdivé výroky P a Q, ale výrok Z neplatil. (Výrokům P a Q se v tomto kontextu často říká předpoklady a výroku Z závěr i my se tohoto úzu budeme držet.). Řečeno ještě jinak: kdykoliv platí předpoklady, pak platí i závěr. Na to můžeme v jistém smyslu nahlížet jako na jev, kdy platnost předpokladů již vynucuje platnost závěru. Tabulková metoda řešení úloh na vyplývání ve výrokové logice Podobně jako v předchozích typech úloh nám poskytuje definice návod, jak postupovat v úlohách tohoto typu. Postup se dá shrnout do těchto čtyř bodů: 1. Určíme elementární výroky ve výrocích v zadání (tj. předpokladech) a v nabídnutých odpovědích (tj. možných závěrech). 2. Vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot pro předpoklady a pro možné závěry. 3. Vyškrtneme všechny řádky tabulky, kromě těch, v nichž jsou OBA předpoklady pravdivé. 4. Určíme ten výrok z možných závěrů, který má na všech nevyškrtnutých řádcích tabulky samé jedničky. Stojí za to se zamyslet, že tímto postupem opravdu odhalíme výrok, který z dané sady výroků vyplývá. V bodě 3. vyškrtáváme všechny řádky tabulky kromě těch, které mají u obou předpokladů jedničky. Je jasné, že to, co nám v tabulce zbude, tj. to, co jsme neproškrtli, jsou právě ty řádky (=situace), ve kterých jsou pravdivé naráz oba výroky P a Q. Pokud některý z možných závěrů má na těchto řádcích (pouze) jedničky, znamená to, že je pravdivý ve všech situacích, kdy jsou pravdivé výroky P a Q. A to je přesně to, o čem se hovoří v definici

7 vyplývání. Předveďme si tento postup na konkrétním příkladě: Příklad Určete, který z následujících výroků vyplývá (je logicky korektní ho odvodit) z výroků daných: Netvoří se náledí nebo je kluzko. (předp. 1) Jestliže mrzne, pak se tvoří náledí. (předp. 2) a) Jestliže se netvoří náledí, pak není kluzko. b) Jestliže nemrzne, pak není kluzko. c) Jestliže není kluzko, pak nemrzne. d) Mrzne nebo není kluzko. e) Mrzne a je kluzko. Řešení Prohlédnutím úlohy zjistíme, že v úloze figurují tyto tři elementární výroky: Tvoří se náledí. (označme si ho N) Je kluzko. (ozn. K) Mrzne (ozn. M) Tím jsme splnili bod 1. Nyní si uděláme tabulku pravdivostních hodnot (bod 2.). Vzhledem k tomu, že máme trojici elementárních výroků, budeme potřebovat tabulku s osmi řádky (plus záhlaví). Vyplněná tabulka tedy vypadá následovně: N K M Předp. 1 Ν K Předp. 2 M N a) Ν Κ b) Μ Κ c) K M d) M Κ e) M K

8 Zdroje [1] Testy studijních předpokladů a logika. Sylvie Kouřilová, Erik Caha, Pavel Caha. Fregment, [2] PDF soubory TSP MU použité v předchozích letech. Dostupné na (verze z ) [3] Statistické údaje o TSP. Dostupné na (verze z ) Na tuto elektronickou publikaci navazují další učební materiály vystavené na webu: Kolektiv autorů, vydáno , vydavatel Gymnázium Globe, s.r.o.

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první PRACOVNÍ VERZE TEXTU, KTERÁ BUDE DÁLE UPRAVOVÁNA TEXT SLOUŽÍ PRO POTŘEBY ÚČASTNÍKŮ EMAILOVÉHO SEMINÁŘE RESENI-TSP.CZ

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Výroková logika. p, q, r...

Výroková logika. p, q, r... Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Formální systém výrokové logiky

Formální systém výrokové logiky Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)

Více

Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami

Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:

SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady: ARNP 1 2015 Př. 1 SLOŽENÉ VÝROKY Motivační příklad společné zadání pro další příklady: Byly vysloveny následující výroky (vhledem k budoucímu času se jedná o hypotézy) : b: Na přednášku přijde Barbora.

Více

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,

Více

1.4.6 Negace složených výroků I

1.4.6 Negace složených výroků I 1.4.6 Negace složených výroků I Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Dlouho jsem se v počátcích své praxe snažil probrat negace za jednu hodinu. Tvorba negací je skvělým procvičováním schopnosti dodržovat

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků

Více

( ) ( ) Negace složených výroků II. Předpoklady:

( ) ( ) Negace složených výroků II. Předpoklady: 1.4.7 Negace složených výroků II Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Na začátku hodiny slovně zadávám úkol najít negaci implikace. Teprve po zapsání do třídnice promítám zadání příkladů (kde je v

Více

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky

Více

- existuje..., negace: pro všechny neplatí,... - pro všechna..., negace: existuje, že neplatí,...

- existuje..., negace: pro všechny neplatí,... - pro všechna..., negace: existuje, že neplatí,... .4.0 Formální logika shrnutí Předpoklady: 00409 Shrnutí logiky Důležité znalosti konjunkce, a b, "a", pravda, jen když jsou oba výroky pravdivé (jako průnik) disjunkce, a b, "nebo", lež, jen když jsou

Více

Seminář III. Základy logiky a matematiky. Martin Štrobl // Vojtěch Fučík ISS FSV UK

Seminář III. Základy logiky a matematiky. Martin Štrobl // Vojtěch Fučík ISS FSV UK Seminář III. Základy logiky a matematiky Martin Štrobl // Vojtěch Fučík ISS FSV UK 24.10.2016 Základy logiky a matematiky (ISS FSV UK) Seminář III. 24.10.2016 1 / 12 Téma výroková logika Základy logiky

Více

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky.

VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky. Číslo projektu Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Autor Tematický celek Mgr.

Více

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této 1.4.4 Implikace Předpoklady: 010403 Implikace Implikace libovolných výroků a,b je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak, píšeme a b a čteme jestliže a, pak b. Výroku a se říká

Více

Klasická výroková logika - tabulková metoda

Klasická výroková logika - tabulková metoda 1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot

Více

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro

Více

1 Výrok a jeho negace

1 Výrok a jeho negace 1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence

1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence 1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence Předpoklady: 1401, 1402 Pedagogická poznámka: Látka zabere spíše jeden a půl vyučovací hodiny. Buď můžete využít písemku nebo se podělit o čas s následující

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Predikátová logika Individua a termy Predikáty

Predikátová logika Individua a termy Predikáty Predikátová logika Predikátová logika je rozšířením logiky výrokové o kvantifikační výrazy jako každý, všichni, někteří či žádný. Nejmenší jazykovou jednotkou, kterou byla výroková logika schopna identifikovat,

Více

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7 1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Příklad z učebnice matematiky pro základní školu:

Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Logika, výroky, množiny

Logika, výroky, množiny Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží

Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Normální formy. (provizorní text)

Normální formy. (provizorní text) Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,

Více

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, 1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3 Predikátový počet Uvažujme následující úsudek.

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu

Více

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Premisa Premisa Závěr

Premisa Premisa Závěr Studijní text Argumentace Jak to v komunikaci přirozeně děláme, jak argumentujeme? Leden má 31 dní, protože je prvním měsícem roku. Vím, že nelze nekomunikovat. Tzn. každý člověk komunikuje. A Petr je

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však

Více

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Matematika pro informatiky KMA/MATA Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)]

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)] Úloha 1 U každé dvojice výroků rozhodněte, zda výrok uvedený vpravo je negací výroku vlevo. Pokud tomu tak není, zdůvodněte proč. a) p: Mám bílý svetr. q: Mám černý svetr. b) r: Bod A leží vně kruhu K.

Více

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání

Více

Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu

Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu Jiří Raclavský (214): Úvod do logiky: klasická výroková logika Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.216, OPVK) Úvod

Více

Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]

Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q

Více

Kongruence na množině celých čísel

Kongruence na množině celých čísel 121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem

Více

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23 Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.

Více

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 1401 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Úvod do logiky (VL): 7. Ekvivalentní transformace

Úvod do logiky (VL): 7. Ekvivalentní transformace Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 7. Ekvivalentní transformace doc. PhDr. Jiří

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina

Více

3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice

3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice 3.10. Rezoluční metoda ve výrokové logice [070405-1102 ] 27 3.10 Rezoluční metoda ve výrokové logice Rezoluční metoda rozhoduje, zda daná množina klausulí je splnitelná nebo je nesplnitelná. Tím je také

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 010402 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků. Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY RADIM BĚLOHLÁVEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový

Více

1. Výroky a operace s nimi

1. Výroky a operace s nimi 1. Výroky a operace s nimi 1. Rozhodněte, zda se jedná o výrok, případně určete, zda je pravdivý či nepravdivý: a) Úhlopříčky čtverce nejsou navzájem kolmé. b) Existuje trojúhelník, který je rovnoramenný.

Více

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

Logika. 1. Úvod, Výroková logika

Logika. 1. Úvod, Výroková logika Logika 1. Úvod, Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,

Více

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy 1.4.6 tavba matematiky, důkazy Předpoklady: 1401, 1404 Pedagogická poznámka: Tato hodina se velmi liší od většiny ostatních neboť jde v podstatě o přednášku. Také ji neprobíráme v prvním ročníku, ale přednáším

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Sémantika predikátové logiky

Sémantika predikátové logiky Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem

Více

Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.

Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu

Více

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

přednáška 2 Marie Duží

přednáška 2 Marie Duží Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,

Více

Logický čtverec. Tradiční logický čtverec

Logický čtverec. Tradiční logický čtverec Logický čtverec Tradiční logický čtverec Logický čtverec je schéma, do kterého lze poměrně přehledně znázornit následující vztahy mezi tvrzeními: Kontradikce je vztah mezi dvěma tvrzeními s přesně opačnými

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu

Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase

PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase -stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin 1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické

Více

1 Úvod do matematické logiky

1 Úvod do matematické logiky 1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele

Více

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Kapitola Výroky

Kapitola Výroky 1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více