Vyvažování a rotace v BVS, všude se předpokládá AVL strom
|
|
- Zdeněk Pešan
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vyvažování a rotace v BVS, všude se předpokládá AVL strom 1. Jednoduchá levá rotace v uzlu u má operační složitost a) závislou na výšce levého podstromu uzlu u b) mezi O(1) a Θ(n) c) závislou na hloubce uzlu u d) konstantní Řešení Provedení kterékoli rotace nezávisí na poloze uzlu ve stromu a vyžaduje jen změnu ukazatelů na předem známý počet uzlů nejvýše 3 v jednoduché rotaci (malujte si obrázek) případně o jeden více uvažujeme-li i ukazatele na rodiče uzlu, v němž rotace probíhá. To ovšem znamená, že se jedná o konstantní složitost varianta d). 2a. LR rotace v uzlu u lze rozložit na a) levou rotaci v pravém synovi uzlu u následovanou pravou rotací v uzlu u b) pravou rotaci v pravém synovi uzlu u následovanou levou rotací v uzlu u c) levou rotaci v levém synovi uzlu u následovanou pravou rotací v uzlu u d) pravou rotaci v levém synovi uzlu u následovanou levou rotací v uzlu u Řešení Namalujte si tři obrázky. Nejprve (dostatečně velký) binarní strom a pojmenujte(!) v něm uzly. Na druhém obrázku bude tento strom po LR rotaci v kořeni. Na třetím obrázku nejprve původní strom překreslete po L rotaci v levém následníku kořene a tento naposled jmenovaný strom pak ještě po R rotaci v kořeni. Výsledek třetího obrázku je shodný se druhým obrázkem, takže třetí možnost je správně. 2b. RL rotace v uzlu u lze rozložit na a) levou rotaci v pravém synovi uzlu u následovanou pravou rotací v uzlu u b) pravou rotaci v pravém synovi uzlu u následovanou levou rotací v uzlu u c) levou rotaci v levém synovi uzlu u následovanou pravou rotací v uzlu u d) pravou rotaci v levém synovi uzlu u následovanou levou rotací v uzlu u Řešení Namalujte si tři obrázky. Nejprve (dostatečně velký) binarní strom a pojmenujte(!) v něm uzly. Na druhém obrázku bude tento strom po RL rotaci v kořeni. Na třetím obrázku nejprve původní strom překreslete po R rotaci v pravém následníku kořene a tento naposled jmenovaný strom pak ještě po L rotaci v kořeni. Výsledek třetího obrázku je shodný se druhým obrázkem, takže druhá možnost je správně. 3. Kolik jednoduchých rotací se maximálně provede při jedné operaci Insert v AVL stromu s n uzly? a) jedna b) dvě c) log(n) d) n Řešení Provádějí-li se rotace vůbec, pak leda jednoduché (L, R) nebo dvojité (LR, RL). Každá dvojitá rotace je však složením dvou jednoduchých rotací. Pokud došlo k rozvážení v uzlu X, platí toto: Měl-li podstrom s kořenem v X před operací insert hloubku h, pak po operaci insert stoupla hloubka na h+1 (protože X je najednou rozvážený), ale rotace opět tuto hloubku sníží na původní h (malujte si obrázky!). Protože tedy operace insert a následná rotace v X nezměnila hloubku podstromu s kořenem v X, nemohlo ani dojít k rozvážení uzlů kteří leží nad X, tj. na cestě z X ke kořeni celého stromu, tudíž se žádne další rotace po operaci Insert neprovedou a platí možnost b). 4. LR rotace v uzlu u má operační složitost a) závislou na hloubce uzlu u b) Θ (log n) c) konstantní d) lineární Řešení Provedení kterékoli rotace nezávisí na poloze uzlu ve stromu a vyžaduje jen změnu ukazatelů na předem známý počet uzlů nejvýše 6 ve dvojité rotaci (malujte si obrázek) případně o jeden více uvažujeme-li i ukazatele na rodiče uzlu, v němž rotace probíhá. To ovšem znamená, že se jedná o konstantní složitost varianta c).
2 5a. Levá rotace v uzlu u a) v podstromu s kořenem u přemístí pravého syna u p uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane levým synem uzlu u p a levý podstrom uzlu u p se stane pravým podstromem uzlu u b) v podstromu s kořenem u přemístí levého syna u l uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane pravým synem uzlu u l a levý podstrom uzlu u l se stane pravým podstromem uzlu u c) v podstromu s kořenem u přemístí pravého syna u p uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane levým synem uzlu u p a pravý podstrom uzlu u p se stane levým podstromem uzlu u d) v podstromu s kořenem u přemístí levého syna u l uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane pravým synem uzlu u l a pravý podstrom uzlu u l se stane levým podstromem uzlu u Řešení Zde můžeme jen doporučit nakreslení obrázku, případně nahlédnutí do vhodné publikace, možnost a) se ukáže být jedinou správnou. 5b. Pravá rotace v uzlu u a) v podstromu s kořenem u přemístí pravého syna u p uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane levým synem uzlu u p a levý podstrom uzlu u p se stane pravým podstromem uzlu u b) v podstromu s kořenem u přemístí levého syna u l uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane pravým synem uzlu u l a levý podstrom uzlu u l se stane pravým podstromem uzlu u c) v podstromu s kořenem u přemístí pravého syna u p uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane levým synem uzlu u p a pravý podstrom uzlu u p se stane levým podstromem uzlu u d) v podstromu s kořenem u přemístí levého syna u l uzlu u do kořene. Přitom se uzel u stane pravým synem uzlu u l a pravý podstrom uzlu u l se stane levým podstromem uzlu u Řešení Zde můžeme stejně jako ve vedlejším oddělení jen doporučit nakreslení obrázku, případně nahlédnutí do vhodné publikace, možnost d) se ukáže být jedinou správnou. 6. Vyvážení BVS některou z operací rotace a) je nutno provést po každé operaci Insert b) je nutno provést po každé operaci Delete c) je nutno provést po každé operaci Insert i Delete d) snižuje hloubku stromu e) není pro udržování BVS nezbytné Řešení Binární vyhledávací stromy se vyvažovat mohou a také nemusí. Možnosti a) b) c) tedy opadají a zřejmě platí možnost e). Možnost d) neplatí, protože rotace nemusí snížit hloubku stromu, je-li provedena dostatečně vysoko ve stromu v některé z kratších větví (jednoduché cvičení najděte na to příklad, budete potřebovat pět pater stromu). 7a. Na obrázku je uveden BVS, který v průběhu práce vyvažujeme (AVL strom). Ten nyní upravíme tak, že z něj odstraníme operací Delete uzly s klíči 50, 30, 25 v tomto pořadí. Rozhodněte, zda a jaká rotace bude během této úpravy použita: a) L rotace b) R rotace c) LR rotace d) RL rotace e) žádná rotace 7b. Na obrázku je uveden BVS, který v průběhu práce vyvažujeme (AVL strom). Ten nyní upravíme tak, že z něj odstraníme operací Delete uzly s klíči 5, 25, 35 v tomto pořadí. Rozhodněte, zda a jaká rotace bude během této úpravy použita: a) L rotace b) R rotace c) LR rotace d) RL rotace e) žádná rotace
3 8a. Do prázdného BVS, který v průběhu práce vyvažujeme (AVL strom), vložíme klíče 23, 11, 24, 31, 17, 20, 30, 25. Po prvním rozvážení stromu je třeba provést rotaci, která strom opět vyváží. Tato rotace bude: a) L b) R c) LR d) RL e) žádná, strom se v průběhu vkládání daných klíčů nerozváží 8b. Do prázdného BVS, který v průběhu práce vyvažujeme (AVL strom), vložíme klíče 25, 30, 20, 17, 31, 24, 11, 12. Po prvním rozvážení stromu je třeba provést rotaci, která strom opět vyváží. Tato rotace bude: a) L b) R c) LR d) RL e) žádná, strom se v průběhu vkládání daných klíčů nerozváží B-strom 9a. Do B-stromu znázorněného na obrázku vložíme postupně klíče 14, 10. Pak bude kořen obsahovat klíč/klíče a) 8, 10 b) 8, 11 c) 10 d) 11 e) 11, 14 9b. Do B-stromu znázorněného na obrázku vložíme postupně klíče 7, 5. Pak bude kořen obsahovat klíč/klíče a) 5 b) 5, 7 c) 7 d) 7, 8 e) Klíče 1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12 v tomto pořadí vložte do prázdného B-stromu řádu 2. Nakreslete tento strom po vložení prvních čtyř, prvních osmi a nakonec po vložení všech daných klíčů. 11a. Z B-stromu znázorněného na obrázku odebereme postupně klíče 4, 35. Pak bude kořen obsahovat klíč/klíče a) 18 b) 18, 28 c) 20 d) 20, 28 e) 28
4 11b. Z B-stromu znázorněného na obrázku odebereme postupně klíče 18, 2. Pak bude kořen obsahovat klíč/klíče a) 8 b) 8, 16 c) 10 d) 10, 12 e) B-strom je řádu k, pokud každý jeho uzel, kromě kořene, musí obsahovat alespoň k klíčů a zároveň může obsahovat nejvýše 2k klíčů. Vybudujte B-strom řádu 1 tak, že do prázdného stromu vložíte v uvedeném pořadí klíče 25, 13, 37, 32, 40, 20, 22. Dále tento strom zrušte, a to tak, že jednotlivé klíče klíče odstraníte v pořadí 13, 25, 40, 22, 20, 37, 32. Nakreslete strom po každé operaci Insert a Delete. Řešení
5 13. Vybudujte B-strom řádu 1 tak, že do prázdného stromu vložíte v uvedeném pořadí klíče 32, 18, 31, 59, 20, 23, 24, 36, 60, 58, 15, 57, 51, 17, 16, 26, 42, 21, 43, 12. Dále tento strom zrušte, a to tak, že jednotlivé klíče klíče odstraníte v pořadí 23, 31, 26, 15, 24, 42, 17, 36, 20, 43, 16, 32, 18, 59, 21, 51, 60, 12, 58, 57. Nakreslete strom po každé operaci Insert a Delete. Řešení
6
7
8
9
10
11 14. B-strom je řádu 5 a máme do něj umístit klíčů. Jaký je maximální a minimální možný počet uzlů tohoto stromu? Jaká je maximální a minimální možná hloubka tohoto stromu? Řešení Pokud jsou všechny uzly maximálně naplněny klíči, má každý uzel 10 klíčů a 11 potomků. Počet klíčů v jednotlivých patrech je pak 10, 11*10, 11*11*10, 11*11*11*10 atd. Když má tento strom hloubku h, jeho počet klíčů je roven 10 * ( * ^h) = 10 * (11^(h+1) 1) /(11 1) = 11^(h+1) 1. Nejmenší h, pro které platí 11^(h+1) , je h=5, strom tedy bude mít 6 pater včetně kořene. Pokud by měly být všechny uzly minimálně zaplněny, tj. počet uzlů by se maximalizoval, pak zopakujeme předchozí výpočet s jinými parametry, jmenovitě: Počet klíčů v jednotlivých patrech je pak 1, 6*5, 6*6*5, 6*6*6*5 atd. Když má tento strom hloubku h, jeho počet klíčů je roven 5 * ( * ^h) 4 = 5 * (6^(h+1) 1) /(6 1) 4 = 6^(h+1) 5. Nejmenší h, pro které platí 6^(h+1) , je h=7, strom tedy bude mít 8 pater včetně kořene. 15. Řešte předchozí úlohu pro obecnou hodnotu řádu B-stromu k. a pro daný počet klíčů n. Insert sort 16. Nahradíme-li Selection sort Insert sort-em, pak asymptotická složitost řazení a) nutně klesne pro každá data b) nutně vzroste pro každá data c) může klesnout pro některá data d) může vzrůst pro některá data e) zůstane beze změny pro libovolná data Řešení Tady je patrně nutné si pamatovat, že asymptotická složitost Selection sortu je Θ(n 2 ), zatímco asymptotická složitost Insert sortu je O(n 2 ). To znamená, že existují případy, kdy Insert sort svá data seřadí v čase asymptoticky kratším než n 2. Na těchto datech však asymptotická složitost Selection sortu zůstane stejná, protože ta je rovna Θ(n 2 ) vždy. To znamená, že při přechodu od Selection sortu k Insert sortu nad týmiž daty může asymptotická složitost někdy klesnout, což odpovídá variantě c). 17. Čtyři prvky řadíme pomocí Insert Sortu. Celkový počet vzájemných porovnání prvků je a) je alespoň 4 b) je nejvýše 4 c) je alespoň 3 d) může být až 10 e) je vždy roven 4*(4 1)/2 = 6. Řešení Nejmenší možný počet testů je: při zařazení 2. prvku - 1, při zařazení 3. prvku - 1, při zařazení 4. prvku - 1. Tedy celkem 3 porovnání, pokud je posloupnost prvků rostoucí již před seřazením. Největší možný počet testů je při zařazení 2. prvku - 1, při zařazení 3. prvku - 2, při zařazení 4. prvku - 3. Tedy celkem 6 porovnání, pokud je posloupnost prvků klesající před seřazením. Pro 4 prvky tedy Insert sort vykoná 3 až 6 porovnání prvků, podle toho, jaká má data. S tímto zjištěním koresponduje pouze varianta c). 18. V určitém problému je velikost zpracovávaného pole s daty rovna rovna 3n 2 log(n 2 ) kde n charakterizuje velikost problému. Pole se řadí pomocí Insert sort-u.
12 Asymptotická složitost tohoto algoritmu nad uvedeným polem je tedy a) Ο(n 2 log(n)) b) Ο(n 2 log(n 2 )) c) Ο(n 4 log 2 (n)) d) Ο(n 2 log(n) + n 2 ) e) Ο(n 2 ) Řešení Máme-li velikost pole rovnu k, Insert sort jej zpracuje v čase Ο(k 2 ). Velikost našeho pole je k = 3n 2 log(n 2 ), takže bude zpracováno v čase Ο(k 2 ) = Ο((3n 2 log(n 2 )) 2 ) = = O(9n 4 log 2 (n 2 )) = O(9n 4 4 log 2 (n)) = O(n 4 log 2 (n)). Platí tedy možnost c). 19. Insert sort řadí (do neklesajícího pořadí) pole o n prvcích, kde jsou stejné všechny hodnoty kromě poslední, která je menší. Jediné nesprávné označení asymptotické složitosti výpočtu je a) Ο(n) b) Θ(n) c) Ω(n) d) Ο(n 2 ) e) Ω(n 2 ) Řešení Zpracování prvních (n 1) prvků pole proběhne v čase úměrném (n 1), protože žádný prvek se nebude přesouvat a zjištění toho, že se nebude přesouvat, proběhne v konstantním čase. Poslední prvek se pak přesune na začátek, což opět proběhne v čase úměrném n. Celkem tedy veškeré řazení proběhne v čase úměrném n. Platí ovšem konst n Ο(n) konst n Θ(n) konst n Ω(n) konst n Ο(n 2 ) Jediná nepravdivá varianta je e). 20. Insert sort řadí pole seřazené sestupně. Počet porovnání prvků za celý průběh řazení bude a) n b) n 1 c) n*(n 1)/2 d) n*n e) log 2 (n) Řešení V k-tém kroku řazení je nutno prvek na pozici k zařadit na jemu odpovídající místo v seřazeném úseku nalevo od k (předpokládáme pole indexované 0.. n 1). Tento prvek je však díky původnímu sestupnému seřazení menší než všecny prvky nalevo od něj, tudíž musí být zařazen na úplný začátek, což znamená, že bude porovnán se všemi prvky nalevo od něj jichž je právě k. Viz obrázek. V k tém kroku tedy bude provedeno k porovnání. Celkový počet porovnání tedy je (n 1) = n*(n 1)/2. Platí varianta c). 21. Insert sort řadí (do neklesajícího pořadí) pole o n prvcích, kde v první polovině pole jsou pouze dvojky, ve druhé polovině jsou jen jedničky. Jediné nesprávné označení asymptotické složitosti výpočtu je a) Θ(n) b) Ω(n) c) Ο(n 2 ) d) Θ(n 2 ) e) Ω(n 2 ) Řešení Na obrázku máme znázorněnou situaci před prvním přesunem jedničky první a pak situaci před některým dalším přesunem jedničky.
13 V každém kroku je nutno jednu jedničku přesunout o n/2 pozic doleva a těchto kroků bude n/2 (protože jedniček je n/2). Počet provedených operací bude tedy úměrný hodnotě výrazu n/2 n/2 = n 2 /4 Θ(n 2 ). Z toho, že n 2 /4 Θ(n 2 ), vyplývá bezprostředně také, že n 2 /4 Ο(n 2 ), n 2 /4 Ω(n 2 ), n 2 /4 Ω(n) a navíc n 2 /4 Ο(n). Pravdivé jsou tedy varianty b) d), nepravdivá je jedině varianta a). 22. V poli velikosti n mají všechny prvky stejnou hodnotu kromě posledního, který je menší. Zatrhněte všechny možnosti, které pravdivě charakterizují asymptotickou složitost Insert Sortu (třídění vkládáním) pracujícího nad tímto konkrétním polem. Ο(n) Ω(n) Θ(n) Ο(n 2 ) Ω(n 2 ) Θ(n 2 ) Řešení Insert Sort postupuje od začátku pole a každý prvek zařadí do již seřazeného počátečního úseku pole. protože ale jsou všechny prvky stejně velké, zařazení každého prvku se redukuje na to, že bude ponechán na místě. To je operaces konstantní časovou složitostí, takže prvních n 1 prvků bude zpracováno v čase Θ(n). Poslední prvek v poli je sice menší, takže patrně nebude zpracován v konstantním čase. Zpracování každého jednotlivého prvku při řazení Insert Sort-em má však složitost Ο(n), takže celková složitost řazení bude Θ(n) + Ο(n) = Θ(n). V zadání je tedy nutno zatrhnout možnosti Ο(n), Ω(n), Θ(n), Ο(n 2 ). 23. Pole délky n obsahuje hodnoty n, 1, 2, 3, 4,..., n 2, n 1, v uvedeném pořadí. Počet porovnání dvojic čísel, které provede Insert sort při řazení tohoto pole, je a) 2 log 2 (n) 1 b) n+3 c) 2n 3 d) n(n 1)/2 + 2 e) 2n 2 n 1 24a. Pole délky n obsahuje všechna čísla 1, 2,..., n, přitom první polovina pole obsahuje všechna lichá čísla seřazená vzestupně, druhá polovina obsahuje všechna sudá čísla také seřazená vzestupně. Pomocí Insert sortu řadíme toto pole do vzestupného pořadí. Čas potřebný na seřazení tohoto pole je a) konstantní b) úměrný n c) úměrný n log (n) d) úměrný n 2 e) úměrný n 3 24b. Pomocí Insert sortu řadíme pole délky n o do neklesajícího pořadí. První třetina a třetí třetina pole obsahují čísla v rozmezí 100 až 1000, druhá třetina pole obsahuje čísla v rozmezí 20 až 50. Čas potřebný na seřazení tohoto pole je a) konstantní b) úměrný n c) úměrný n log (n) d) úměrný n 2 e) úměrný n 3
14 25. Insert sort řadí do neklesajícího uspořádání posloupnost n různých kladných celých čísel. Na vstupu je posloupnost 2, 4, 6, 8, 10,, n 6, n 4, n 2, n, n 1, n 3, n 5, n 7,, 7, 5, 3, 1. Určete přesně, kolik porovnání dvojic čísel provede Insert sort při řazení těchto dat a také vyjádřete asymptotickou složitost tohoto procesu pomocí Ο/Θ/Ω symboliky. Selection sort 26. V určitém problému je velikost zpracovávaného pole s daty rovna rovna 2n 3 log(n) kde n charakterizuje velikost problému. Pole se řadí pomocí Selection sort-u. Asymptotická složitost tohoto algoritmu nad uvedeným polem je tedy a) Θ(n 2 ) b) Θ(n 6 log 2 (n)) c) Θ(n 3 log(n)) d) Θ(n 3 log(n) + n 2 ) e) Θ(n 5 log(n)) Řešení Máme-li velikost pole rovnu k, Selection sort jej zpracuje v čase Θ(k 2 ). Velikost našeho pole je k = 2n 3 log(n), takže bude zpracováno v čase Θ (k 2 ) = Θ((2n 3 log(n)) 2 ) = = Θ(4n 6 log 2 (n)) = Θ(n 6 log 2 (n)). Platí tedy možnost b). 27. Pole n různých prvků je uspořádáno od druhého prvku sestupně, první prvek má nejmenší hodnotu ze všech prvků v poli. Zatrhněte všechny možnosti, které pravdivě charakterizují asymptotickou složitost Selection Sortu (třídění výběrem) pracujícího nad tímto konkrétním polem. Ο(n) Ω(n) Θ(n) Ο(n 2 ) Ω(n 2 ) Θ(n 2 ) Řešení Pro výběr aktuálního minima musí Select Sort pokaždé zkontrolovat všechny prvky od aktuálního až do konce pole, takže jeho složitost je je vždy právě Θ(n 2 ) nezávisle na datech v poli. V zadání je tedy nutno zatrhnout možnosti Ω(n), Ο(n 2 ), Ω(n 2 ), Θ(n 2 ) 28. Společná vlastnost Insert sort-u, Select sort-u a Bubble sort-u je následující: a) všechny tyto algoritmy jsou vždy stabilní b) všechny tyto algoritmy jsou vždy nestabilní c) všechny tyto algoritmy mají složitost Ο(n log 2 (n)) d) všechny tyto algoritmy mají složitost Ο(n 2 ) e) všechny tyto algoritmy mají složitost Θ(n 2 ) Řešení První z uvedených řazení Insert sort lze pouhou záměnou ostré a neostré nerovnosti v testu vnitřního cyklu učinit stabilním či nestabilním. Tvrzení variant a) a b) o stabilitě/nestabilitě za všech okolností tak patrně neplatí. Všechny zmíněné algoritmy v nejhorším případě řadí v čase úměrném n 2, funkce n log 2 (n) roste asymptoticky pomaleji než funkce n 2, tudíž varianta c) rovněž neplatí. Insert sort může řadit v čase úměrném n, má-li vhodná data, takže tvrdit o něm, jako ve variantě e), že pokaždé řadí v čase úměrném n 2, není korektní. Zbývá tak jen správná varianta d).
Radek Mařík
2012-03-20 Radek Mařík 1. Pravá rotace v uzlu U a) v podstromu s kořenem U přemístí pravého syna U.R uzlu U do kořene. Přitom se uzel U stane levým synem uzlu U.R a levý podstrom uzlu U.R se stane pravým
BINARY SEARCH TREE
Níže uvedené úlohy představují přehled otázek, které se vyskytly v tomto nebo v minulých semestrech ve cvičení nebo v minulých semestrech u zkoušky. Mezi otázkami semestrovými a zkouškovými není žádný
BINARY SEARCH TREE
---------------------------------------- BINARY SEARCH TREE --------------------------------------------------- Je dán BVS s n uzly. Máme za úkol spočítat hodnotu součtu všech klíčů v tomto stromě. Když
bin arn ı vyhled av an ı a bst Karel Hor ak, Petr Ryˇsav y 23. bˇrezna 2016 Katedra poˇ c ıtaˇ c u, FEL, ˇ CVUT
binární vyhledávání a bst Karel Horák, Petr Ryšavý 23. března 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT Příklad 1 Naimplementujte binární vyhledávání. Upravte metodu BinarySearch::binarySearch. 1 Příklad 2 Mysĺım
Adresní vyhledávání (přímý přístup, zřetězené a otevřené rozptylování, rozptylovací funkce)
13. Metody vyhledávání. Adresní vyhledávání (přímý přístup, zřetězené a otevřené rozptylování, rozptylovací funkce). Asociativní vyhledávání (sekvenční, binárním půlením, interpolační, binární vyhledávací
AVL stromy. pro každý uzel u stromu platí, že rozdíl mezi výškou jeho levého a pravého podstromu je nejvýše 1 stromy jsou samovyvažující
Stromy 2 AVL AVL stromy jména tvůrců stromů: dva Rusové Adelson-Velskii, Landis vyvážené binární stromy pro každý uzel u stromu platí, že rozdíl mezi výškou jeho levého a pravého podstromu je nejvýše 1
a) b) c) Radek Mařík
2012-03-20 Radek Mařík 1. Čísla ze zadané posloupnosti postupně vkládejte do prázdného binárního vyhledávacího stromu (BVS), který nevyvažujte. Jak bude vypadat takto vytvořený BVS? Poté postupně odstraňte
Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
A4B33ALG 2010/05 ALG 07. Selection sort (Select sort) Insertion sort (Insert sort) Bubble sort deprecated. Quicksort.
A4B33ALG 2010/05 ALG 07 Selection sort (Select sort) Insertion sort (Insert sort) Bubble sort deprecated Quicksort Stabilita řazení 1 Selection sort Neseřazeno Seřazeno Start T O U B J R M A K D Z E min
COMPLEXITY
Níže uvedené úlohy představují přehled otázek, které se vyskytly v tomto nebo v minulých semestrech ve cvičení nebo v minulých semestrech u zkoušky. Mezi otázkami semestrovými a zkouškovými není žádný
Select sort: krok 1: krok 2: krok 3: atd. celkem porovnání. výběr nejmenšího klíče z n prvků vyžaduje 1 porovnání
Select sort: krok 1: výběr klíče z n prvků vyžaduje 1 porovnání krok 2: výběr klíče z 1 prvků vyžaduje 2 porovnání krok 3: výběr klíče z 2 prvků vyžaduje 3 porovnání atd. celkem porovnání Zlepšení = použít
Doba běhu daného algoritmu/programu. 1. Který fragment programu z následujících dvou proběhne rychleji?
1 Doba běhu daného algoritmu/programu 1. Který fragment programu z následujících dvou proběhne rychleji? int n = 100; int sum = 0; for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < i; j++) sum += i+j; int n = 75;
Návrh Designu: Radek Mařík
1. 7. Najděte nejdelší rostoucí podposloupnost dané posloupnosti. Použijte metodu dynamického programování, napište tabulku průběžných délek částečných výsledků a tabulku předchůdců. a) 5 8 11 13 9 4 1
1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10
Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10
Náplň. v.0.03 16.02.2014. - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění
Náplň v.0.03 16.02.2014 - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění Spojení dvou samostatně setříděných polí void Spoj(double apole1[], int adelka1, double
Algoritmy I, složitost
A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??
ˇ razen ı rychlejˇ s ı neˇ z kvadratick e Karel Hor ak, Petr Ryˇsav y 20. dubna 2016 Katedra poˇ c ıtaˇ c u, FEL, ˇ CVUT
řazení rychlejší než kvadratické Karel Horák, Petr Ryšavý 20. dubna 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT Příklad 1 Která z následujících posloupností představuje haldu uloženou v poli? 1. 9 5 4 6 3 2. 5 4
MIDTERM D. Příjmení a jméno:
MIDTERM D Příjmení a jméno: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Doplňte místo otazníku ten ze symbolů, aby platil vztah (log n) / (log n 2 ) =?(1/ n): A) o B) O (a současně nelze použít ani o ani Θ) C) Θ D) Ω
Programování 3. hodina. RNDr. Jan Lánský, Ph.D. Katedra informatiky a matematiky Fakulta ekonomických studií Vysoká škola finanční a správní 2015
Programování 3. hodina RNDr. Jan Lánský, Ph.D. Katedra informatiky a matematiky Fakulta ekonomických studií Vysoká škola finanční a správní 2015 Umíme z minulé hodiny Implementace zásobníku a fronty pomocí
Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620
Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620 1. Vymezení pojmů Strom: Strom je takové uspořádání prvků - vrcholů, ve kterém lze rozeznat předchůdce - rodiče a následovníky - syny.
STACK
Níže uvedené úlohy představují přehled otázek, které se vyskytly v tomto nebo v minulých semestrech ve cvičení nebo v minulých semestrech u zkoušky. Mezi otázkami semestrovými a zkouškovými není žádný
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 20. září 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší
ADT STROM Lukáš Foldýna
ADT STROM Lukáš Foldýna 26. 05. 2006 Stromy mají široké uplatnění jako datové struktury pro různé algoritmy. Jsou to matematické abstrakce množin, kterou v běžném životě používáme velice často. Příkladem
NPRG030 Programování I, 2018/19 1 / :03:07
NPRG030 Programování I, 2018/19 1 / 20 3. 12. 2018 09:03:07 Vnitřní třídění Zadání: Uspořádejte pole délky N podle hodnot prvků Měřítko efektivity: * počet porovnání * počet přesunů NPRG030 Programování
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Třídění, vyhledávání Daniela Szturcová
Stromy. Jan Hnilica Počítačové modelování 14
Stromy Jan Hnilica Počítačové modelování 14 1 Základní pojmy strom = dynamická datová struktura, složená z vrcholů (uzlů, prvků) propojených hranami hrany chápeme jako orientované, tzn. vedou z uzlu A
Příklad 1/23. Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) d) g(x) Ω(f(x))
Příklad 1/23 Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) c) g(x) Θ(f(x)) d) g(x) Ω(f(x)) e) g(x) Ο(f(x)) 1 Příklad 2/23 Pro rostoucí spojité
Základní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
Stromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy
Stromy úvod Stromy Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Neorientovaný strom Orientovaný strom Kořenový orientovaný
Jméno:... St. Sk.:. Cvičící:.. Bodů ze cv.: (Tučná čísla indikují počet neuspěvších (z 50) v jednotlivých otázkách) 1.
Jméno:... St. Sk.:. Cvičící:.. Bodů ze cv.: (Tučná čísla indikují počet neuspěvších (z 50) v jednotlivých otázkách) 1. 36 Heap sort a) není stabilní, protože halda (=heap) není stabilní datová struktura
Dynamické programování. Optimální binární vyhledávací strom
The complexity of different algorithms varies: O(n), Ω(n ), Θ(n log (n)), Dynamické programování Optimální binární vyhledávací strom Různé algoritmy mají různou složitost: O(n), Ω(n ), Θ(n log (n)), The
Stromy, haldy, prioritní fronty
Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík
Binární Vyhledávací Stromy, u kterých je. složitost operací v nejhorším. rovná O(log n)
Stromy Binární Vyhledávací Stromy, u kterých je č asová složitost operací v nejhorším případě rovná O(log n) Vlastnosti Red-Black Stromů Vlastnosti Red-Black stromů Každý uzel stromu je obarven červenou
Složitost algoritmů. Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol.
Složitost algoritmů Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol., 2017 Datové struktury a algoritmy, B6B36DSA 02/2017, Lekce 3
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
Datové struktury Úvod
Datové struktury Úvod Navrhněte co nejjednodušší datovou strukturu, která podporuje následující operace: 1. Insert a Delete v O(n), Search v O(log n); Datové struktury Úvod Navrhněte co nejjednodušší datovou
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 19. září 2017 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší
přirozený algoritmus seřadí prvky 1,3,2,8,9,7 a prvky 4,5,6 nechává Metody řazení se dělí:
Metody řazení ve vnitřní a vnější paměti. Algoritmy řazení výběrem, vkládáním a zaměňováním. Heapsort, Shell-sort, Radix-sort, Quicksort. Řazení sekvenčních souborů. Řazení souborů s přímým přístupem.
Různé algoritmy mají různou složitost
/ 1 Různé algoritmy mají různou složitost 1/ 1 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená?? 2/ 1 Asymptotická složitost y y x x Každému algoritmu
Návrh designu: Radek Mařík
Návrh designu: Radek Mařík 1. Hashovací (=rozptylovací) funkce a) převádí adresu daného prvku na jemu příslušný klíč b) vrací pro každý klíč jedinečnou hodnotu c) pro daný klíč vypočte adresu d) vrací
Vyhledávací stromy. Slouží jako pomůcka pro organizaci dat umožňující efektivní vyhledávání.
Vyhledávací stromy Slouží jako pomůcka pro organizaci dat umožňující efektivní vyhledávání. Vytvářejí se vždy nad již existující datovou strukturou (zpravidla tabulkou). Vyhledávací stromy můžeme rozdělit
TGH07 - Chytré stromové datové struktury
TGH07 - Chytré stromové datové struktury Jan Březina Technical University of Liberec 1. dubna 2014 Prioritní fronta Datová struktura s operacemi: Odeber Minum (AccessMin, DeleteMin) - vrat prvek s minimálním
Základy řazení. Karel Richta a kol.
Základy řazení Karel Richta a kol. Přednášky byly připraveny s pomocí materiálů, které vyrobili Marko Berezovský, Petr Felkel, Josef Kolář, Michal Píše a Pavel Tvrdík Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická
B3B33ALP - Algoritmy a programování - Zkouška z předmětu B3B33ALP. Marek Boháč bohacm11
333LP - lgoritmy a programování - Zkouška z předmětu 333LP Jméno Příjmení Už. jméno Marek oháč bohacm11 Zkouškový test Otázka 1 Jaká je hodnota proměnné count po vykonání následujícího kódu: data=[4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8]
Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy (binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost
Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost 1. Asymptotické odhady Asymptotická složitost je deklarována na základě
3 Algoritmy řazení. prvku a 1 je rovněž seřazená.
Specifikace problému řazení (třídění): A... neprázdná množina prvků Posl(A)... množina všech posloupností prvků z A ... prvky množiny Posl(A) q... délka posloupnosti Posl(A), přičemž Delka()
B3B33ALP - Algoritmy a programování - Zkouška z předmětu B3B33ALP. Marek Boháč bohacm11
Jméno Příjmení Už. jméno Marek oháč bohacm11 Zkouškový test Otázka 1 Jaká je hodnota proměnné count po vykonání následujícího kódu: data=[4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8] count=0 for i in range(1,len(data)):
Dynamické datové struktury IV.
Dynamické datové struktury IV. Prioritní fronta. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra
5. Vyhledávání a řazení 1
Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 5 1 Základy algoritmizace 5. Vyhledávání a řazení 1 doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze
Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39
Základy algoritmizace Michal Krátký 1, Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Základy algoritmizace, 2006/2007 Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39
Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy
Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří
Datový typ prioritní fronta Semestrální práce z předmětu 36PT
Datový typ prioritní fronta Semestrální práce z předmětu 36PT Martin Tůma Cvičení 113, Út 18:00 22. května 2004 Specifikace problému Často potřebujeme přístup k informacím, tak aby tyto byly seřazeny podle
Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2013/2014 Radim Farana. Obsah. Strom
8 Podklady ředmětu ro akademický rok 2013/2014 Radim Farana Obsah 2 Dynamické datové struktury. Strom. Binární stromy. Vyhledávací stromy. Vyvážené stromy. AVL stromy. Strom 3 Název z analogie se stromy.
TGH05 - Problém za milion dolarů.
TGH05 - Problém za milion dolarů. Jan Březina Technical University of Liberec 20. března 2012 Časová složitost algoritmu Závislost doby běhu programu T na velikosti vstupních dat n. O(n) notace, standardní
SORT STABILITY
Níže uvedené úlohy představují přehled otázek, které se vyskytly v tomto nebo v minulých semestrech ve cvičení nebo v minulých semestrech u zkoušky. Mezi otázkami semestrovými a zkouškovými není žádný
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy
Časová složitost algoritmů
Časová složitost algoritmů Důležitou vlastností algoritmu je časová náročnost výpočtů provedené podle daného algoritmu Ta se nezískává měřením doby výpočtu pro různá data, ale analýzou algoritmu, jejímž
Pokročilá algoritmizace amortizovaná složitost, Fibonacciho halda, počítačová aritmetika
amortizovaná složitost, Fibonacciho halda, počítačová aritmetika Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2009 Amortizovaná složitost Asymptotická složitost často dostatečně nevypovídá o složitosti algoritmů,
Red Black strom (Red Black Tree) Úvod do programování. Rotace. Red Black strom. Rotace. Rotace
Úvod do programování Michal Krátký 1,Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Úvod do programování, 2004/2005 Red Black strom je binární strom s jedním dvouhodnotovým příznakem
Složitosti základních operací B + stromu
Složitosti základních operací B + stromu Radim Bača VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra informatiky ŠKOMAM 2010-1- 28/1/2010 Složitosti základních operací B +
Zadání druhého zápočtového projektu Základy algoritmizace, 2005
Zadání druhého zápočtového projektu Základy algoritmizace, 2005 Jiří Dvorský 2 května 2006 Obecné pokyny Celkem je k dispozici 8 zadání příkladů Každý student obdrží jedno zadání Vzhledem k tomu, že odpadly
Prioritní fronta, halda
Prioritní fronta, halda Priority queue, heap Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 2018 1 / 26 Prioritní fronta Halda Heap sort 2 / 26 Prioritní fronta (priority queue) Podporuje
Pokročilé haldy. prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010
Pokročilé haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (I-EFA) ZS 2010/11,
Časová složitost / Time complexity
Časová složitost / Time complexity Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 2018 1 / 24 Složitost algoritmů Algorithm complexity Časová a paměťová složitost Trvání výpočtu v závislosti
Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
Asymptotická složitost algoritmů
Semestrální projekt 1 Y14TED Asymptotická složitost algoritmů Autor: Antonín DANĚK Osnova Slide 2 Co je to složitost algoritmu? Jak se počítá složitost algoritmu? Smysl přesného výpočtu složitosti algoritmu
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka
Algoritmizace Dynamické programování. Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010
Dynamické programování Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010 Rozděl a panuj (divide-and-conquer) Rozděl (Divide): Rozděl problém na několik podproblémů tak, aby tyto podproblémy odpovídaly původnímu
autoři: Rudolf Bayer, Ed McCreight všechny vnější uzly (listy) mají stejnou hloubku ADS (abstraktní datové struktury)
definice ( tree) autoři: Rudolf Bayer, Ed McCreight vyvážený strom řádu m ( ) každý uzel nejméně a nejvýše m potomků s výjimkou kořene každý vnitřní uzel obsahuje o méně klíčů než je počet potomků (ukazatelů)
Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani
Informatika navazující magisterské studium Přijímací zkouška z informatiky 2018 varianta A
Informatika navazující magisterské studium Přijímací zkouška z informatiky 2018 varianta A Každá úloha je hodnocena maximálně 25 body. Všechny své odpovědi zdůvodněte! 1. Postavte na stůl do řady vedle
Algoritmy a datové struktury
Algoritmy a datové struktury Stromy 1 / 32 Obsah přednášky Pole a seznamy Stromy Procházení stromů Binární stromy Procházení BS Binární vyhledávací stromy 2 / 32 Pole Hledání v poli metodou půlení intervalu
IB108 Sada 1, Příklad 1 Vypracovali: Tomáš Krajča (255676), Martin Milata (256615)
IB108 Sada 1, Příklad 1 ( ) Složitost třídícího algoritmu 1/-Sort je v O n log O (n.71 ). Necht n = j i (velikost pole, které je vstupním parametrem funkce 1/-Sort). Lehce spočítáme, že velikost pole předávaná
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
ALG 09. Radix sort (přihrádkové řazení) Counting sort. Přehled asymptotických rychlostí jednotlivých řazení. Ilustrační experiment řazení
ALG Radix sort (přihrádkové řazení) Counting sort Přehled asymptotických rychlostí jednotlivých řazení Ilustrační experiment řazení Radix sort Neseřazeno Řaď podle. znaku Cbb DaD adb DCa CCC add DDb adc
Dynamické datové struktury III.
Dynamické datové struktury III. Halda. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra aplikované
Programování v C++ 1, 16. cvičení
Programování v C++ 1, 16. cvičení binární vyhledávací strom 1 1 Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2018/2019 Přehled 1 2 Shrnutí minule procvičené
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
II. Úlohy na vložené cykly a podprogramy
II. Úlohy na vložené cykly a podprogramy Společné zadání pro příklady 1. - 10. začíná jednou ze dvou možností popisu vstupních dat. Je dána posloupnost (neboli řada) N reálných (resp. celočíselných) hodnot.
IB111 Úvod do programování skrze Python
Vyhledávání, řazení, složitost IB111 Úvod do programování skrze Python 2012 Otrávené studny 8 studen, jedna z nich je otrávená laboratorní rozbor dokáže rozpoznat přítomnost jedu ve vodě je drahý (je časově
Reprezentace aritmetického výrazu - binární strom reprezentující aritmetický výraz
Reprezentace aritmetického výrazu - binární strom reprezentující aritmetický výraz (2 + 5) * (13-4) * + - 2 5 13 4 - listy stromu obsahují operandy (čísla) - vnitřní uzly obsahují operátory (znaménka)
Teorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
Teorie grafů Petr Hanuš (Píta) BR Solutions - Orličky 2010 23.2. 27.2.2010 Píta (Orličky 2010) Teorie grafů 23.2. 27.2.2010 1 / 66 Pojem grafu Graf je abstraktní pojem matematiky a informatiky užitečný
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
V případě jazyka Java bychom abstraktní datový typ Time reprezentující čas mohli definovat pomocí třídy takto:
20. Programovací techniky: Abstraktní datový typ, jeho specifikace a implementace. Datový typ zásobník, fronta, tabulka, strom, seznam. Základní algoritmy řazení a vyhledávání. Složitost algoritmů. Abstraktní
Stromové struktury v relační databázi
Stromové struktury v relační databázi Stromové struktury a relační databáze Zboží Procesory Paměti Intel AMD DDR DIMM Pentium IV Celeron Duron Athlon http://interval.cz/clanky/metody-ukladani-stromovych-dat-v-relacnich-databazich/
CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
Binární vyhledávací stromy
Binární vyhledávací stromy Definice: Binární vyhledávací strom (po domácku BVS) je buďto prázdná množina nebo kořen obsahující jednu hodnotu a mající dva podstromy (levý a pravý), což jsou opět BVS, ovšem
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
Složitost algoritmů. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava
Složitost algoritmů doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 27. prosince 2015 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Složitost algoritmů
TGH07 - Chytré stromové datové struktury
TGH07 - Chytré stromové datové struktury Jan Březina Technical University of Liberec 5. dubna 2017 Prioritní fronta Datová struktura s operacemi: Odeber Minum (AccessMin, DeleteMin) - vrat prvek s minimálním
Časová a prostorová složitost algoritmů
.. Časová a prostorová složitost algoritmů Programovací techniky doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Hodnocení algoritmů Programovací techniky Časová a prostorová
ADT prioritní fronta. Haldy. Další operace nad haldou. Binární halda. Binomické stromy. Časová složitost jednotlivých operací.
ADT prioritní fronta Haldy množina M operace Přidej(M,x) přidá prvek x do množiny M Odeber(M) odeber z množiny M prvek, který je na řadě Zásobník (LIFO), Fronta (FIFO) Prioritní fronta: Přidej(M,x) přidá
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
Prohledávání do šířky = algoritmus vlny
Prohledávání do šířky = algoritmus vlny - souběžně zkoušet všechny možné varianty pokračování výpočtu, dokud nenajdeme řešení úlohy průchod stromem všech možných cest výpočtu do šířky, po vrstvách (v každé
Algoritmy výpočetní geometrie
Algoritmy výpočetní geometrie prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)
Základy algoritmizace c2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský 1/57
Základy algoritmizace Michal Krátký 1, Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Základy algoritmizace, 2006/2007 Základy algoritmizace c2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský 1/57
SQL tříhodnotová logika
SQL tříhodnotová logika Jmeno Prijmeni Student Jaroslav Novák true Josef Novotný false Jiří Brabenec SELECT * FROM OSOBA WHERE Student!= true Jaký bude výsledek? SQL tříhodnotová logika Jmeno Prijmeni
popel, glum & nepil 16/28
Lineární rezoluce další způsob zjemnění rezoluce; místo stromu směřujeme k lineární struktuře důkazu Lineární rezoluční odvození (důkaz) z Ë je posloupnost dvojic ¼ ¼ Ò Ò taková, že Ò ½ a 1. ¼ a všechna
ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY
Jurdič Radim ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY Veškeré hodnoty, s nimiž v programech pracujeme, můžeme rozdělit do několika skupin zvaných datové typy. Každý datový typ představuje množinu hodnot, nad kterými můžeme