Teorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
|
|
|
- Vratislav Holub
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Teorie grafů Petr Hanuš (Píta) BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
2 Pojem grafu Graf je abstraktní pojem matematiky a informatiky užitečný pro modelování reálných objektů či situací. (Pozor, neplet me si graf s grafem funkce!) Intuitivně se graf skládá z: vrcholů (uzlů) - znázorňují se jako body, hran spojujících vrcholy. Co lze reprezentovat grafem: počítačové sítě, mapu měst a silničního spojení, atomy v molekule a jejich vazby, vodovodní sítě,... Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
3 Formální defince grafu Definice grafu Graf je uspořádaná dvojice G = (V, E), kde V je množina vrcholů a E je množina hran množina vybraných dvouprvkových podmnožin množiny vrcholů. Hranu mezi vrcholy u a v píšeme jako {u, v}, nebo zkráceně uv. Vrcholy spojené hranou jsou sousední. Na množinu vrcholů známého grafu G odkazujeme jako na V (G), na množinu hran E(G). Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
4 Reprezentace grafu Výčtem vrcholů a výčtem hran: V = {1, 2, 3, 4}, E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {3, 4}} Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
5 Reprezentace grafu Výčtem vrcholů a výčtem hran: V = {1, 2, 3, 4}, E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {3, 4}} Obrázkem Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
6 Orientovaný graf V některých případech (například u toků v sítích) je potřeba u každé hrany vyjádřit její směr. Hrany i grafy se pak nazývají orientované. Formální definice Graf, jehož hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů, se nazývá orientovaný. O hraně (u, v) říkáme, že vychází z vrcholu u a vstupuje do v. Graficky se orientace hrany značí šipkou ve směru, kterým hrana vede. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
7 Multigraf Definice grafu povoluje nejvýše 1 hranu mezi každou dvojicí vrcholů a požaduje, aby hrana spojovala různé vrcholy. Tato omezení odstraňuje multigraf: Formální definice Multigraf je graf, jenž nahrazuje množinu hran multimnožinou (smí obsahovat násobné prvky) a umožňuje existenci smyček - hran spojujících vrchol sám ze sebou. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
8 Ohodnocení grafu Vrcholům a hranám je možné přiřadit např. číslo či barvu. Definice Přiřazení prvků konečné množiny vrcholům či hranám grafu nazýváme jejich ohodnocením. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
9 Stupeň vrcholu Definice Stupněm vrcholu u v neorientovaném grafu G nazýváme počet hran incidentních k vrcholu a značíme jej d G (u). d G (a) = d G (c) = 1 d G (b) = 2 d G (d) = 0 Nejvyšší stupeň v grafu G značíme (G) a nejnižší δ(g). Součet stupňů v grafu je vždy sudý, roven dvojnásobku počtu hran. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
10 Sestrojitelnost grafu na základě stupňů Věta Necht d 1 d 2... d n je posloupnost přirozených čísel. Pak existuje graf s n vrcholy stupňů d 1, d 2,..., d n právě tehdy, když existuje graf s n 1 vrcholy stupňů d 1, d 2,..., d n dn 1, d n dn 1,..., d n 2 1, d n 1 1. Komentář: Ze seřazené posloupnosti odebereme poslední (největší) stupeň d n a od tolika d n bezprostředně předchozích stupňů odečteme jedničky. Zbylé stupně na začátku posloupnosti se nezmění. Při opětovné aplikaci posloupnost znovu seřadit! Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
11 Sestrojitelnost grafu na základě stupňů příklad Mějme graf se stupni vrcholů (1, 1, 1, 2, 3, 4) Dle předchozí věty upravíme posloupnost na (1, 0, 0, 1, 2), uspořádáme ji (0, 0, 1, 1, 2) a pak znovu vše zopakujeme. Dostáváme posloupnost (0, 0, 0, 0) a takový graf už jednoznačně existuje. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
12 Sestrojitelnost grafu na základě stupňů příklad Mějme graf se stupni vrcholů (1, 1, 1, 2, 3, 4) Dle předchozí věty upravíme posloupnost na (1, 0, 0, 1, 2), uspořádáme ji (0, 0, 1, 1, 2) a pak znovu vše zopakujeme. Dostáváme posloupnost (0, 0, 0, 0) a takový graf už jednoznačně existuje. Mějme graf se stupni vrcholů (1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 7) Tuto posloupnost upravíme na (1, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 5) a uspořádáme ji (0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5), pak znovu upravíme na (0, 0, 1, 0, 0, 1, 2). Získáváme situaci, kdy stupně v grafu jsou záporné, ale to pochopitelně nelze. Proto takový graf neexistuje. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
13 Stupeň vrcholu v orientovaném grafu V případě orientovaného grafu rozlišujeme vstupní a výstupní stupeň. Definice Vstupním (výstupním) stupněm vrcholu u orientovaného grafu nazýváme počet hran vstupujících do, resp. vycházejících z, vrcholu u a značíme jej d G + (u), resp. d G (u). vrchol d G d + G a 2 0 b 1 2 c 1 1 d 0 2 e 1 0 Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
14 Seledy v grafu Definice Sledem v (neorientovaném) grafu nazýváme posloupnost vrcholů a hran v 0, e 1, v 1,..., e n, v n, kde každá hrana e i spojuje vrcholy v i 1, v i, resp. vede z v i 1 do v i. Sled v grafu je tedy trasou, na které se mohou vrcholy i hrany opakovat. Samostatný vrchol je také sledem. Délku sledu měříme počtem hran v této posloupnosti. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
15 Cesty v grafu Definice Cesta v grafu je sled bez opakování vrcholů. Jak je to s opakováním hran? Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
16 Cesty v grafu Definice Cesta v grafu je sled bez opakování vrcholů. Jak je to s opakováním hran? b, e 3, c, e 4, d, e 2, b je sledem, ale ne cestou b se opakuje a, e 1, b, e 2, d, e 5, e je sledem i cestou Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
17 Souvislost grafu Definice Neorientovaný graf se nazývá souvislý, pokud mezi každými dvěma jeho vrcholy vede cesta. Nahradíme-li všechny hrany orientovaného grafu G neorientovanými a získáme-li tak souvislý graf, G je slabě souvislý. Orientovaný graf je silně souvislý, pokud mezi každými dvěma jeho vrcholy vedou cesty v obou směrech. Nesouvislý Slabě souvislý Silně souvislý Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
18 Isomorfismus grafů I Grafy, které se liší např. nakreslením, označením vrcholů a hran, ohodnocením, se nemusí lišit svou strukturou mohou být isomorfní. Formální definice Isomorfismus mezi grafy G, H je bijektivní zobrazení vrcholů, které zachovává hrany tj. pokud vede v grafu G hrana mezi vrcholy u, v, pak v grafu H vede hrana mezi vrcholy f (u), f (v). Pokud mezi grafy G, H existuje isomorfismus, nazývají se isomorfní. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
19 Isomorfismus grafů II Co musejí isomorfní grafy splňovat? Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
20 Isomorfismus grafů II Co musejí isomorfní grafy splňovat? Mít stejný počet vrcholů. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
21 Isomorfismus grafů II Co musejí isomorfní grafy splňovat? Mít stejný počet vrcholů. Mít stejný počet hran. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
22 Isomorfismus grafů II Co musejí isomorfní grafy splňovat? Mít stejný počet vrcholů. Mít stejný počet hran. Mít stejné stupně vrcholů. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
23 Isomorfismus grafů II Co musejí isomorfní grafy splňovat? Mít stejný počet vrcholů. Mít stejný počet hran. Mít stejné stupně vrcholů. Důkaz, že grafy isomorfní nejsou, se provádí pomocí těchto (a dalších!) invariantů. Jsou-li tyto invarianty shodné, je nutno vyloučit všechny možné isomorfismy. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
24 Isomorfismus grafů II Co musejí isomorfní grafy splňovat? Mít stejný počet vrcholů. Mít stejný počet hran. Mít stejné stupně vrcholů. Důkaz, že grafy isomorfní nejsou, se provádí pomocí těchto (a dalších!) invariantů. Jsou-li tyto invarianty shodné, je nutno vyloučit všechny možné isomorfismy. Důkaz isomorfie dvou grafů vyžaduje přímo nalezení konkrétního isomorfismu mezi těmito grafy. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
25 Isomorfismus grafů příklad 1 Jsou následující dva grafy isomorfní? Nejprve se podíváme, zda mají stejný počet vrcholů a hran mají. Pak se podíváme na stupně vrcholů a zjistíme, že oba mají stejnou posloupnost stupňů 2, 2, 2, 2, 3, 3. Mohou tedy být (ale nemusejí!) isomorfní. Dále je tedy třeba zkoušet všechny možnosti zobrazení isomorfismu z levého grafu do pravého. Oba vrcholy stupně tři jsou si symetrické, můžeme tedy říct, že nejlevější vrchol prvního grafu se zobrazí na nejlevější vrchol v druhém grafu. Druhý vrchol stupně tři se musí zobrazit na analogický vrchol druhého grafu (pravý spodní). Pak je již patrné, že další sousedé se zobrazí na analogické sousedy. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
26 Isomorfismus grafů příklad 2 Jsou následující dva grafy isomorfní? Jako v předchozím příkladě si ověříme, že oba grafy mají stejný počet vrcholů a hran i stejnou posloupnost stupňů 2, 2, 2, 2, 3, 3. Všimněme si však, že v druhém grafu oba vrcholy stupně tři mají svého společného souseda, tvoří s ním trojúhelník. V prvním grafu tomu tak není, první graf dokonce nemá žádný trojúhelník. Proto zadané dva grafy nejsou isomorfní. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
27 Podgraf Graf H je podgrafem grafu G, pokud platí následující podmínky: Vrcholy grafu H tvoří podmnožinu vrcholů grafu G. Hrany grafu H tvoří podmnožinu hran grafu G. Hrany grafu H mají oba vrcholy v H. Graf G je poté nadgrafem grafu H. Vyznačené vrcholy a hrany v levém grafu tvoří podgraf, v pravém grafu nikoliv. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
28 Indukovaný podgraf Definice Podgraf H se nazývá indukovaný, pokud obsahuje všechny hrany, které mezi jeho vrcholy vedou v nadřazeném grafu G. Samostatné vrcholy libovolného grafu tvoří jeho podgraf. Vyznačené vrcholy a hrany v levém grafu tvoří indukovaný podgraf, v pravém grafu pouze obecný podgraf. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
29 Implementace grafu Mějme jednoduchý graf G na n vrcholech a značme vrcholy jednoduše čísly V (G) = {0, 1,..., n 1}. Jak efektivně uložit graf např. v paměti počítače? Matice sousednosti Matice M o rozměrech n n pro n vrcholů grafu M ij = 1 pokud hrana (i, j) patří do grafu M ij = 0 jinak Pro neorientovaný graf je M symetrická, pro orientovaý nemusí Seznam sousedů Pro každý vrchol existuje samostatný seznam sousedů, s nimiž je tento spojen hranou Implementace pomocí dvou jednorozměrných polí V prvním jsou uloženy všechny seznamy za sebou, seřazené podle čísla vrcholu Druhé uchovává indexy, na kterých začínají v prvním seznamu sousedé každého vrcholu Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
30 Implementace grafu příklad Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
31 Implementace grafu příklad Matice sousednosti a b c d e a b c d e Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
32 Implementace grafu příklad Matice sousednosti a b c d e a b c d e Seznam sousedů Pole indexů do seznamu sousedů: a b c d e Seznam sousedů: c c c d d a b b e b b d c e Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
33 Bodované úlohy Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
34 Bodované úlohy Je následující graf souvislý? Pokud ano, je souvislý slabě či silně? Své tvrzení zdůvodněte. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
35 Bodované úlohy Je následující graf souvislý? Pokud ano, je souvislý slabě či silně? Své tvrzení zdůvodněte. Existuje graf s posloupností stupňů 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 7? Své tvrzení dokažte. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
36 Bodované úlohy Je následující graf souvislý? Pokud ano, je souvislý slabě či silně? Své tvrzení zdůvodněte. Existuje graf s posloupností stupňů 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 7? Své tvrzení dokažte. Nakreslete všechny neisomorfní (jednoduché) grafy na třech vrcholech. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
37 Bodované úlohy II Najděte všechny isomorfní dvojice grafů v následujících obrázcích tří 10-vrcholových grafů. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
38 Bodované úlohy II Najděte všechny isomorfní dvojice grafů v následujících obrázcích tří 10-vrcholových grafů. Mohou dva grafy, orientovaný a neorientovaný, mít stejné matice sousednosti a zároveň stejné počty hran? Pokud ano, jak takové grafy vypadají? Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
39 Kružnice a cyklus Definice Kružnice (uzavřená cesta) v grafu je netriviální neorientovaná cesta, jež začíná i končí ve stejném vrcholu. Cyklus je orientovaná (z orientovaných hran složená) kružnice respektující orientaci těchto hran. Cyklus je tedy vždy kružnicí, ale každá kružnice nemusí být vždy cyklem. Zákaz opakování vrcholu znemožnuje využít násobných hran multigrafu s výjimkou kružnice na 2 vrcholech. Samostatný vrchol, který je cestou, za cyklus nepovažujeme. Graf, který obsahuje cyklus, se nazývá cyklický. Pokud graf cyklus neobsahuje, nazýváme jej acyklický. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
40 Cyklické hrany Definice Pokud je hrana v grafu součástí nějakého cyklu, nazývá se cyklická. Odstraníme-li ze souvislého grafu G hranu e, pak vzniklý graf G bude souvislý právě tehdy, když e je cyklická. Na obrázku dole jsou cyklické hrany vyznačeny zeleně. Ostatní, které by způsobily rozpad grafu jsou vyznačeny červeně. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
41 Les a stromy Definice Les je graf, který neobsahuje kružnice. Strom je graf, který neobsahuje kružnice a je souvislý. Strom je tedy souvislý les. Na obrázku je jednoduchý příklad stromu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
42 Vlastnosti stromů Každý strom s alespoň 1 hranou obsahuje nejméně 2 vrcholy stupně 1. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
43 Vlastnosti stromů Každý strom s alespoň 1 hranou obsahuje nejméně 2 vrcholy stupně 1. Strom s n vrcholy obsahuje práve n 1 hran. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
44 Vlastnosti stromů Každý strom s alespoň 1 hranou obsahuje nejméně 2 vrcholy stupně 1. Strom s n vrcholy obsahuje práve n 1 hran. Předchozí větu lze aplikovat také na lesy. Platí, že les o n vrcholech a k komponentách má n k hran. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
45 Vlastnosti stromů Každý strom s alespoň 1 hranou obsahuje nejméně 2 vrcholy stupně 1. Strom s n vrcholy obsahuje práve n 1 hran. Předchozí větu lze aplikovat také na lesy. Platí, že les o n vrcholech a k komponentách má n k hran. Mezi každými 2 vrcholy ve stromu vede právě jedna cesta. (Jelikož strom nemůže obsahovat kružnici.) Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
46 Vlastnosti stromů Každý strom s alespoň 1 hranou obsahuje nejméně 2 vrcholy stupně 1. Strom s n vrcholy obsahuje práve n 1 hran. Předchozí větu lze aplikovat také na lesy. Platí, že les o n vrcholech a k komponentách má n k hran. Mezi každými 2 vrcholy ve stromu vede právě jedna cesta. (Jelikož strom nemůže obsahovat kružnici.) Přidáním libovolné hrany do stromu vznikne právě jedna kružnice. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
47 Kořenový strom Strom, jehož hrany jsou orientované, se nazývá také orientovaný. Definice Orientovaný strom, jenž má určen význačný vrchol (kořen) r, a v němž existuje orientovaná cesta z r do všech ostatních vrcholů, se nazývá kořenový strom. Při kreslení kořenových grafů se vynechávají šipky definující orientaci hran, předpokládá se, že směřují od kořene. Vzhledem k absenci cyklů je interpretace jednoznačná. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
48 Vlastnosti kořenových stromů Kořen (jako jediný z vrcholů) má vstupní stupeň 0 a všechny ostatní vrcholy 1. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
49 Vlastnosti kořenových stromů Kořen (jako jediný z vrcholů) má vstupní stupeň 0 a všechny ostatní vrcholy 1. Vzdálenost (počet hran na cestě) vrcholu od kořene stromu se nazývá hloubka či úroveň vrcholu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
50 Vlastnosti kořenových stromů Kořen (jako jediný z vrcholů) má vstupní stupeň 0 a všechny ostatní vrcholy 1. Vzdálenost (počet hran na cestě) vrcholu od kořene stromu se nazývá hloubka či úroveň vrcholu. Hloubka kořene je rovna 0. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
51 Vlastnosti kořenových stromů Kořen (jako jediný z vrcholů) má vstupní stupeň 0 a všechny ostatní vrcholy 1. Vzdálenost (počet hran na cestě) vrcholu od kořene stromu se nazývá hloubka či úroveň vrcholu. Hloubka kořene je rovna 0. Je zvykem kreslit vrcholy jedné úrovně ve stejné výšce. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
52 Vlastnosti kořenových stromů Kořen (jako jediný z vrcholů) má vstupní stupeň 0 a všechny ostatní vrcholy 1. Vzdálenost (počet hran na cestě) vrcholu od kořene stromu se nazývá hloubka či úroveň vrcholu. Hloubka kořene je rovna 0. Je zvykem kreslit vrcholy jedné úrovně ve stejné výšce. Výškou kořenového stromu označujeme nejvyšší z hloubek všech jeho vrcholů. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
53 Vlastnosti kořenových stromů II Vede-li v kořenovém stromu hrana z vrcholu u do v, nazývá se u rodičem (otcem) v a v potomkem (synem). Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
54 Vlastnosti kořenových stromů II Vede-li v kořenovém stromu hrana z vrcholu u do v, nazývá se u rodičem (otcem) v a v potomkem (synem). Vrcholy mající společného rodiče nazýváme sourozenci. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
55 Vlastnosti kořenových stromů II Vede-li v kořenovém stromu hrana z vrcholu u do v, nazývá se u rodičem (otcem) v a v potomkem (synem). Vrcholy mající společného rodiče nazýváme sourozenci. Vrchol, jenž nemá žádné potomky, nazýváme list stromu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
56 Vlastnosti kořenových stromů II Vede-li v kořenovém stromu hrana z vrcholu u do v, nazývá se u rodičem (otcem) v a v potomkem (synem). Vrcholy mající společného rodiče nazýváme sourozenci. Vrchol, jenž nemá žádné potomky, nazýváme list stromu. Vrcholy, které nejsou listy, označujeme jako vnitřní. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
57 Isomorfismus kořenových stromů Definice Kořenové stromy považujeme za isomorfní, pokud mezi nimi existuje isomorfismus, který zobrazí kořen stromu na kořen. Dvojice grafů vlevo jsou isomorfní kořenové stromy. Dva pravé grafy jsou isomorfní stromy, ale ne isomorfní kořenové stromy (neexistuje isomorfismus zobrazující kořen na kořen). Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
58 n-ární, úplné stromy Definice Kořenový strom, jehož každý vrchol má nejvýše n potomků, se nazývá n-ární. Má-li navíc n-ární strom právě n potomků u každého vnitřního vrcholu a všechny listy stejné hloubky, nazývá se úplný n-ární strom. Na obrázku je levý strom 3-ární (ternární), pravý je úplný ternární. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
59 Uspořádané stromy V některých případech může být výhodné potomky každého vrcholu jednoznačně pojmenovat a seřadit: Definice Uspořádaný strom je kořenový strom s daným pořadím potomků každého vrcholu. Uspořádaný kořenový strom se někdy také nazývá pěstovaný strom. Při kreslení uspořádaného grafu se dané pořadí vrcholů dodržuje ve směru zleva doprava. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
60 Kódování uspořádaných kořenových stromů Kód uspořádaného kořenového stromu se spočítá rekurzivně z kódů všech podstromů kořene, seřazených v daném pořadí a uzavřených do páru závorek. Místo znaků ( a ) lze použít i jiné symboly, třeba 0 a 1. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
61 Binární stromy Nejpoužívanější n-ární stromy Definice Uspořádaný 2-ární strom se nazývá binární. Potomci každého vrcholu jsou označováni jako levý a pravý. Každý kořenový strom lze převést na binární. Úplný binární strom výšky h má právě 2 h+1 1 vrcholů. Binární stromy lze velmi efektivně reprezentovat polem rodičů, v němž je pro každý vrchol uložen pouze název jeho rodiče. Pole rodičů: Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
62 Podstromy binárních stromů Definice Indukovaný podgraf binárního stromu G, tvořený jedním potomkem vrcholu v a všemi jeho následníky, se nazývá podstromem vrcholu v a stromu G. Podstrom binárního stromu je také binárním stromem. Podstromy se pro konkrétní vrchol označují jako levý a pravý, přičemž kořenem takového podstromu je levý (resp.) pravý potomek daného vrcholu. Pravý a levý podstrom binárního stromu o výšce h mají výšku nejvýše h 1, přicemž nejméně jeden z nich má výšku právě h 1. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
63 Průchod binárním stromem po úrovních Vrcholy stromu jsou navštíveny v pořadí: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
64 Průchod binárním stromem po podstromech Vrcholy stromu jsou navštíveny v pořadí: a, b, d, h, l, e, i, j, c, f, g, k Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
65 Bodované úlohy Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
66 Bodované úlohy Najdete graf se dvěmi kružnicemi, z něhož lze odebráním jedné hrany vytvořit strom? Zdůvodněte a případně nakreslete. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
67 Bodované úlohy Najdete graf se dvěmi kružnicemi, z něhož lze odebráním jedné hrany vytvořit strom? Zdůvodněte a případně nakreslete. Kolik vznikne kružnic, přidáme-li ke stromu dvě hrany? Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
68 Bodované úlohy Najdete graf se dvěmi kružnicemi, z něhož lze odebráním jedné hrany vytvořit strom? Zdůvodněte a případně nakreslete. Kolik vznikne kružnic, přidáme-li ke stromu dvě hrany? Nakreslete pěstovaný strom odpovídající závorkovému kódu ((()(()()()()))(()())). Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
69 Strom v grafu Definice Stromem v grafu G rozumíme podgraf grafu G, který je stromem. Hrany a vrcholy, které do takového stromu patří, označujeme jako stromové (v opačném případě nestromové). Hranu, jejíž jeden krajní vrchol je součástí stromu T v neorient. grafu, budeme značit jako okrajovou hranu stromu T. Je-li graf orientovaný, značíme hranu jako okrajovou pokud je součástí stromu T její počáteční vrchol. Je-li G graf a T strom v G, potom graf vzniklý z T přidáním jeho libovolné okrajové hrany je také stromem. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
70 Kostra grafu Definice Kostra grafu G je takový strom T v grafu G, pro který platí V (T ) = V (G). Graf může mít více než jednu kostru. Každý acyklický podgraf grafu G je obsažen v alespoň jedné kostře grafu G. Graf má kostru pouze tehdy, je-li souvislý. Pokud souvislý není, uvažujeme kostry jeho komponent souvislosti. Kostra nesouvislého grafu je tedy lesem, nikoliv stromem. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
71 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
72 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
73 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
74 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Vrcholy jsou navštěvovány v pořadí podle vzdálenosti od počátečního vrcholu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
75 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Vrcholy jsou navštěvovány v pořadí podle vzdálenosti od počátečního vrcholu. Nalezne nejkratší cestu z počátečního vrcholu do všech ostatních. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
76 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Vrcholy jsou navštěvovány v pořadí podle vzdálenosti od počátečního vrcholu. Nalezne nejkratší cestu z počátečního vrcholu do všech ostatních. Při průchodu grafem je budován strom cest do všech jeho vrcholů. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
77 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Vrcholy jsou navštěvovány v pořadí podle vzdálenosti od počátečního vrcholu. Nalezne nejkratší cestu z počátečního vrcholu do všech ostatních. Při průchodu grafem je budován strom cest do všech jeho vrcholů. Průchod grafem do hloubky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
78 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Vrcholy jsou navštěvovány v pořadí podle vzdálenosti od počátečního vrcholu. Nalezne nejkratší cestu z počátečního vrcholu do všech ostatních. Při průchodu grafem je budován strom cest do všech jeho vrcholů. Průchod grafem do hloubky Vstupem je rovněž neorientovaný souvislý graf Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
79 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Vrcholy jsou navštěvovány v pořadí podle vzdálenosti od počátečního vrcholu. Nalezne nejkratší cestu z počátečního vrcholu do všech ostatních. Při průchodu grafem je budován strom cest do všech jeho vrcholů. Průchod grafem do hloubky Vstupem je rovněž neorientovaný souvislý graf Dokud je to možné, vybere vždy hranu vedoucí dále z vrcholu, do kterého právě vstoupil. Poté se vrací stromem ke kořenu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
80 Algoritmy průchodu grafem Průchod grafem do šířky Vstupem je neorientovaný souvislý graf. Slouží k prohledání a navštívení všech vrcholů grafu. Vrcholy jsou navštěvovány v pořadí podle vzdálenosti od počátečního vrcholu. Nalezne nejkratší cestu z počátečního vrcholu do všech ostatních. Při průchodu grafem je budován strom cest do všech jeho vrcholů. Průchod grafem do hloubky Vstupem je rovněž neorientovaný souvislý graf Dokud je to možné, vybere vždy hranu vedoucí dále z vrcholu, do kterého právě vstoupil. Poté se vrací stromem ke kořenu. I pro tento algoritmus platí, že projde všemi vrcholy a nalezne do nich nejkratší cesty. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
81 Průchod grafem do šířky příklad Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
82 Průchod grafem do hloubky příklad Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
83 Minimální kostra grafu Definice Necht G je souvislý graf s ohodnocenými hranami. Kostra grafu G, jejíž součet ohodnocení všech hran je nejnižší, se nazývá minimální kostra grafu G. Algoritmy pro hledání minimální kostry Primův algoritmus Kruskalův algoritmus Borůvkův algoritmus Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
84 Primův algoritmus Neprohledává systematicky všechny kostry grafu. Začíná v libovolném vrcholu a buduje strom. Nejvyšší prioritu mají hrany s nejnižším ohodnocením. Stále existuje jen jedna komponenta minimální kostry, která postupně roste. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
85 Primův algoritmus - příklad Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
86 Kruskalův algoritmus Nepostupuje cestou budování stromu, naopak vzniká les. Přidává hrany seřazené vzestupně podle jejich ohodnocení. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
87 Bodované úlohy Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
88 Bodované úlohy Jaký je průchod následujícího grafu do šířky, začínáme-li ve vrcholu b a priorita vrcholů na stejné úrovni je dána abecedně? Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
89 Bodované úlohy Jaký je průchod následujícího grafu do šířky, začínáme-li ve vrcholu b a priorita vrcholů na stejné úrovni je dána abecedně? Na graf na obrázku dole aplikujte některý z probraných algoritmů hledání minimální kostry. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
90 Vzdálenost v grafu Pro připomenutí: Délka cesty v neohodnoceném grafu je rovna počtu hran na této cestě. Vzdálenost δ(u, v) vrcholů u, v je délka nejkratší cesty z u do v. Vzdálenost mezi dvěma vrcholy nemusí být v případě orientovaného grafu symetrická (viz obrázek). Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
91 Vzdálenost v ohodnoceném grafu Délka cesty v ohodnoceném grafu je rovna součtu ohodnocení hran na této cestě. Vzdálenost vrcholů je opět rovna délce nejkratší cesty. Vzdálenost v grafech splňuje trojúhelníkovou nerovnost: u, v, w V (G) : d G (u, v) + d G (v, w) d G (u, w). Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
92 Algoritmy hledání nejkratší cesty Dijkstrův algoritmus Najde nejkratší cesty z jednoho vrcholu do všech ostatních. Musí tedy projít všechny vrcholy. Lze jej aplikovat na orientovaný i neorientovaný graf. Vyžaduje nezáporné ohodnocení hran. Vyhodnocuje situaci pro konkrétní uzel a pak jej uzavře (nevrací se k němu). Bellman-Ford algoritmus Základní strukturou podobný Dijkstrovu algoritmu. Graf smí obsahovat i záporně ohodnocené hrany. Oproti Dijkstrovu algoritmu neuzavírá uzly po projdutí, ale nechává je otevřené až do konce (může se k nim vrátit). Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
93 Dijkstrův algoritmus příklad Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
94 Bellman-Ford algoritmus příklad Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
95 Floyd-Warshallův algoritmus Vypočítává nejkratší vzdálenost mezi všemi dvojicemi vrcholů. Graf může obsahovat záporně ohodnocené hrany, avšak cykly s celkovým záporným ohodnocením vedou k chybnému řešení. Mezi každými dvěma dvojicemi vrcholů postupně vylepšuje nejkratší známou vzdálenost. V každém kroku algoritmu je definována množina vrcholů, kterými je možno nejkratší cesty vést. Postupně je do této množiny přidáváno po jednom vrcholu. Po každém přidání vrcholu jsou aktualizovány cesty mezi všemi dvojicemi vrcholů. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
96 Floyd-Warshallův algoritmus příklad Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
97 Problém barvení grafu Je možné obarvit vrcholy grafu s použitím n barev tak, aby žádné dva sousední vrcholy nebyly obarveny stejnou barvou? Důležité pojmy: Chromatické číslo grafu Minimální počet barev n nutný k obarvení grafu tak, aby žádné dva sousední vrcholy nebyly obarveny stejnou barvou. Stupeň uzlu Úroveň saturace Počet různých barev spojených s uzlem. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
98 Algoritmus barvení 1 Uspořádat uzly v klesajícím pořadí podle jejich stupně. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
99 Algoritmus barvení 1 Uspořádat uzly v klesajícím pořadí podle jejich stupně. 2 Použít barvu 1 pro první uzel. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
100 Algoritmus barvení 1 Uspořádat uzly v klesajícím pořadí podle jejich stupně. 2 Použít barvu 1 pro první uzel. 3 Vybrat neobarvený uzel s maximální úrovní saturace. V případě rovnosti vybrat uzel s maximálním stupněm v neobarveném podgrafu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
101 Algoritmus barvení 1 Uspořádat uzly v klesajícím pořadí podle jejich stupně. 2 Použít barvu 1 pro první uzel. 3 Vybrat neobarvený uzel s maximální úrovní saturace. V případě rovnosti vybrat uzel s maximálním stupněm v neobarveném podgrafu. 4 Obarvit vybraný uzel nejmenší možnou barvou. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
102 Algoritmus barvení 1 Uspořádat uzly v klesajícím pořadí podle jejich stupně. 2 Použít barvu 1 pro první uzel. 3 Vybrat neobarvený uzel s maximální úrovní saturace. V případě rovnosti vybrat uzel s maximálním stupněm v neobarveném podgrafu. 4 Obarvit vybraný uzel nejmenší možnou barvou. 5 Pokud jsou všechny uzly obarveny, pak KONEC. Jinak přejít k bodu 3. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
103 Barvení grafu příklad vrchol A B C D E saturace stupeň neob Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
104 Barvení grafu příklad vrchol A B C D E saturace stupeň neob vrchol A B C D E saturace stupeň neob Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
105 Barvení grafu příklad vrchol A B C D E saturace stupeň neob Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
106 Barvení grafu příklad vrchol A B C D E saturace stupeň neob Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
107 Barvení grafu příklad vrchol A B C D E saturace stupeň neob Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
108 Problém barvení mapy Pro obarvení libovolné mapy tak, aby dvě sousední země nebyly obarveny stejnou barvou, potřebujeme nejvýše čtyři barvy. Postup: Jednotlivé oblasti na mapě prohlásíme ze vrcholy grafu. Oblasti, které spolu sousedí, spojíme hranami. Pozor, alespoň jedna z oblastí musí sousedit celým úsekem hranice! Na graf poté aplikujeme algoritmus barvení. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
109 Problém barvení mapy příklad Mějme následující mapu: Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
110 Problém barvení mapy příklad Mějme následující mapu: Převedeme jí na graf: Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
111 Problém barvení mapy příklad Mějme následující mapu: Převedeme jí na graf: Algoritmus barvení grafů: Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
112 Problém barvení mapy příklad Mějme následující mapu: Převedeme jí na graf: Algoritmus barvení grafů: Podle grafu vybarvíme mapu: Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
113 Barvení mapy v praxi Politická mapa Evropy: Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
114 Bonusová úloha Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
115 Bonusová úloha Vybarvěte mapu USA nejnižším možným počtem barev tak, aby žádné dva sousední státy neměly stejnou barvu. Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
116 Bonusová úloha vzorové řešení Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová
Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]
![Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]](/thumbs/25/4817299.jpg "Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]")
Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme
07 Základní pojmy teorie grafů
07 Základní pojmy teorie grafů (definice grafu, vlastnosti grafu, charakteristiky uzlů, ohodnocené grafy) Definice grafu množina objektů, mezi kterými existují určité vazby spojující tyto objekty. Uspořádaná
Grafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu
Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující
Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.
Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Základy informatiky. 07 Teorie grafů. Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant
Základy informatiky 07 Teorie grafů Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant Obsah přednášky barvení mapy teorie grafů definice uzly a hrany typy grafů cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy Kolik barev je
Úvod do teorie grafů
Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí
Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
Grafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
Stromy, haldy, prioritní fronty
Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
Jan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus
Teorie grafů. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Teorie grafů Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Opakování z minulé přednášky Co je to složitostní třída? Jaké složitostní třídy známe? Kde leží hranice mezi problémy řešitelnými
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
Základní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2015/2016
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2015/2016 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy
Matematika III 10. přednáška Stromy a kostry
Matematika III 10. přednáška Stromy a kostry Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 11. 2007 Obsah přednášky 1 Izomorfismy stromů 2 Kostra grafu 3 Minimální kostra Doporučené zdroje
Graf. Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd.
Graf 2 0 3 1 4 5 Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd. Běžné reprezentace grafu Uzly = indexy Stupně uzlů
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.
Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014
Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště?
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou
TGH09 - Barvení grafů
TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít
STROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy
STROMY Základní pojmy Strom T je souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf kružnici. Strom dále budeme značit T = (V, X). Pro graf, který je stromem platí q = n -, kde q = X a n = V. Pro T mezi každou
Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde
Kapitola 5 Grafy 5.1 Definice Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran E ( V 2), kde ( ) V = {{x, y} : x, y V a x y} 2 je množina všech neuspořádaných dvojic prvků množiny
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra Zdeněk Dvořák 10. prosince 2018 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení je dobré obarvení
Metody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Algoritmy na ohodnoceném grafu
Algoritmy na ohodnoceném grafu Dvě základní optimalizační úlohy: Jak najít nejkratší cestu mezi dvěma vrcholy? Dijkstrův algoritmus s t Jak najít minimální kostru grafu? Jarníkův a Kruskalův algoritmus
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo
Teorie grafů Jirka Fink
Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10
Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10
Dijkstrův algoritmus
Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Vrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda Zdeněk Dvořák 12. prosince 2017 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení
Použití dalších heuristik
Použití dalších heuristik zkracování cesty při FIND-SET UNION podle hodností Datové struktury... p[x] - předchůdce uzlu x MAKE-SET(x) p[x] := x hod[x] := 0 hod[x] - hodnost (aprox. výšky) UNION(x,y) LINK(FIND-SET(x),
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28
Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo
8 Rovinnost a kreslení grafů
8 Rovinnost a kreslení grafů V přímé návaznosti na předchozí lekci se zaměříme na druhý důležitý aspekt slavného problému čtyř barev, který byl původně formulován pro barevné rozlišení států na politické
= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle R. Bělohlávek, V. Vychodil: Diskrétní matematika 2, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/dm2.pdf P. Martinek: Základy teoretické informatiky,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů študenti MFF 15. augusta 2008 1 17 Teorie grafů Požiadavky Základní pojmy teorie grafů, reprezentace grafu. Stromy a jejich základní vlastnosti,
Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
popel, glum & nepil 16/28
Lineární rezoluce další způsob zjemnění rezoluce; místo stromu směřujeme k lineární struktuře důkazu Lineární rezoluční odvození (důkaz) z Ë je posloupnost dvojic ¼ ¼ Ò Ò taková, že Ò ½ a 1. ¼ a všechna
1 Teorie grafů. Základní informace
Teorie grafů Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí s matematickým pojetím grafů a na konkrétních příkladech si vyzkouší vybrané algoritmy pro hledání v grafech. Výstupy z výukové
Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39
Základy algoritmizace Michal Krátký 1, Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Základy algoritmizace, 2006/2007 Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39
Množiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1
VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 Pokrytí a vzdálenost Každý graf je sjednocením svých hran (jak je to přesně?).?lze nalézt složitější struktury stejného typu, ze kterých lze nějaký graf
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Ohodnocené orientované grafy
Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf
ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ
ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2/2, Lekce Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná
Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy
Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří
Minimalizace KA - Úvod
Minimalizace KA - Úvod Tyto dva KA A,A2 jsou jazykově ekvivalentní, tzn. že rozpoznávají tentýž jazyk. L(A) = L(A2) Názorně lze vidět, že automat A2 má menší počet stavů než A, tudíž našim cílem bude ukázat
Stromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy
Stromy úvod Stromy Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Neorientovaný strom Orientovaný strom Kořenový orientovaný
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Úvod do Teorie grafů Petr Kovář
Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
které je z různých pohledů charakterizují. Několik z nich dokážeme v této kapitole.
Kapitola 7 Stromy Stromy jsou jednou z nejdůležitějších tříd grafů. O tom svědčí i množství vět, které je z různých pohledů charakterizují. Několik z nich dokážeme v této kapitole. Představíme také dvě