CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky. 1 Vypočtěte v cm 2 obsah S vyznačeného mnohoúhelníku. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dán výraz x2 y y + 2x 2 2 xy + 2x y Určete, pro která x a y nemá daný výraz smysl. 2.2 Určete hodnotu výrazu pro x = Určete, pro kterou hodnotu proměnné x má daný výraz hodnotu větší než 3? 3 body 3 Je dán výraz x 2 + 6x Určete minimální hodnotu d výrazu, které může výraz nabývat. 1 bod 2 Maturita z matematiky 02

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Poměr objemů V 1 a V 2 dvou rotačních válců je 2 : 3. Poloměr podstavy menšího z válců je 2 cm, větší válec má poloměr podstavy 4 cm. max. 2 body 4 Určete, jaký je poměr v 1 : v 2 výšek obou válců V 1, resp. V 2. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky m, n a k svými parametrickými rovnicemi. m = {[1 t; 3 + t], t R} n = {[ 4s; 4 + s], s R} k = {[r; 0], r R} 5 Určete vzdálenost d průsečíku přímek m a n od přímky k. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Na obrázku je fragment ornamentu, který byl použit jako vlys na dekorativní dlažbě. Jedná se o lomenou čáru, která se vždy láme vpravo do pravého úhlu a následující díl čáry je vždy o 10 % delší. Nejkratší díl zobrazený na obrázku je dlouhý 2 cm. 2 body Určete, z kolika dílů nejvíce se bude lomená čára skládat, musí-li se ornament vejít do čtvercové kachle o hraně délky 20 cm. 6.2 Kolik centimetrů bude měřit lomená čára, bude-li se skládat z 15 dílů? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry.) Maturita z matematiky 02 3

4 2 body 7 Kolik je všech trojciferných přirozených čísel, která obsahují v ciferném zápisu právě jednou číslici 2? A) 280 B) 243 C) 225 D) 184 E) 168 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána funkce f(x) = x⁵ 4x⁴ + 17x³ + 32x² 124x + 80, pro x 5; 2. Body A, B, C, D, E označují průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic. 8 Kolik kořenů rovnice x⁵ 4x⁴ + 17x³ + 32x² 124x + 80 = 0 je kladných? A) žádný B) právě jeden C) právě dva D) právě tři E) právě čtyři 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dána čísla A = 1260, B = 4725 a C = Dále uvažujme číslo D, pro které platí D = A + B + C. 4 Maturita z matematiky 02

5 max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je dělitelný Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je násobkem Největší společný dělitel čísel A, B a C je číslo Číslo D je prvočíslo. ANO NE max. 4 body 10 Přiřaďte každé z nerovnic ( ), kde x R, jednu z množin řešení (A F) x + 2 x x 2 2(3x 4) < x 1 < x x A) (, 4 B) ( 4, 2) C) ( 4, 2 D) 2, 4 E) 4, + ) F) 2, + ) KONEC TESTU Maturita z matematiky 02 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky. 1 Vypočtěte v cm 2 obsah S vyznačeného mnohoúhelníku. 1 bod Rozdělíme-li si vhodně čtvercovou mřížku na pět obdélníků a jeden čtverec, jejichž obsahy označíme A, B, C, D, E a F, představuje obsah S vyznačeného obrazce polovinu součtu obsahů takto vytvořených pravoúhelníků. Jelikož strana každého čtverečku je dlouhá 1 cm, a tudíž každý čtvereček má obsah 1 cm 2, mají pravoúhelníky následující obsahy v cm 2 : A = 2, B = 4, C = 2, D = 4, E = 12, F = 8 Tedy S = 1 2 (A + B + C + D + E + F ) = = 1 2 (2 cm cm cm cm cm cm 2 ) = = cm 2 = 16 cm 2 Řešení: S = 16 cm 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dán výraz x2 y y + 2x 2 2 xy + 2x y 2. 6 Maturita z matematiky 02

7 2 2.1 Určete, pro která x a y nemá daný výraz smysl. 3 body Nejvhodnější strategií je výraz zprvu zjednodušit, určit podmínky, za nichž má smysl, a hodnoty výrazu pak určovat ze zjednodušeného tvaru. Ke zjednodušení výrazu použijeme postupné vytýkání, které aplikujeme na čitatel i jmenovatel. Dále využijeme vzorce a 2 b 2 = (a b)(a + b). x 2 y y + 2x 2 2 = y(x2 1) + 2(x 2 1) = (x2 1)(y + 2) (x 1)(x + 1)(y + 2) = 2 x(y + 2) (y + 2) (y + 2)(x 1) (y + 2)(x 1) Pro x = 1,y = 2 nemá výraz smysl, pro x 1, y 2 lze ve zlomku krátit: (x 1)(x + 1)(y + 2) x + 1 = = x + 1 (y + 2)(x 1) 1 Řešení: x = 1 y = Určete hodnotu výrazu pro x = 5. Nyní, hledáme-li hodnotu výrazu pro x = 5, dosadíme za proměnnou x do zjednodušeného tvaru: = 6 Pro x = 5 má výraz hodnotu rovnu 6. Řešení: Určete, pro kterou hodnotu proměnné x má daný výraz hodnotu větší než 3? Chceme-li zjistit, pro kterou hodnotu proměnné x má výraz hodnotu větší než 3, opět využijeme zjednodušeného tvaru: x + 1 > 3 x > 3 1 x > 2 Výraz má hodnotu větší než 3 pro x > 2. Řešení: x > 2 3 Je dán výraz x 2 + 6x Určete minimální hodnotu d výrazu, které může výraz nabývat. 1 bod Výraz x 2 + 6x + 12 stačí upravit na čtverec do tvaru x 2 + 6x = (x + 3) Sčítanec (x + 3) 2 je vždy nezáporný a přičteme-li k nezápornému číslu číslo 3, dosáhneme vždy čísla většího nebo rovného 3. Výraz x 2 + 6x + 12 nabývá minimálně hodnoty d = 3. Řešení: d = 3 Maturita z matematiky 02 7

8 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Poměr objemů V 1 a V 2 dvou rotačních válců je 2 : 3. Poloměr podstavy menšího z válců je 2 cm, větší válec má poloměr podstavy 4 cm. max. 2 body 4 Určete, jaký je poměr v 1 : v 2 výšek obou válců V 1, resp. V 2. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Vyjádříme objemy obou válců. Objem válce V 1 = πr 12 v 1, válce V 2 = πr 22 v 2. Zapíšeme poměr objemů obou válců: V 1 2 v 1 V2 = πr 1 = 2 πr22 v 2 3 Dosadíme velikosti poloměrů r 1 = 2 cm, r 2 = 4 cm a vyjádříme poměr výšek. 4πv 1 = 2 16πv2 3 v 1 = 2 / 4 4v2 3 v 1 v2 = 8 3 Poměr v 1 : v 2 výšek válců je 8 : 3. Řešení: v 1 = 8 v2 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky m, n a k svými parametrickými rovnicemi. m = {[1 t; 3 + t], t R} n = {[ 4s; 4 + s], s R} k = {[r; 0], r R} 5 Určete vzdálenost d průsečíku přímek m a n od přímky k. 1 bod Určíme průsečík P přímek m a n, které jsou různoběžné, neboť jejich směrové vektory ( 1, 1) a ( 4, 1) jsou lineárně nezávislé. Protože přímka k je souřadnicovou osou x, bude vzdálenost d průsečíku P přímek m a n od ní rovna y-ové souřadnici bodu P. Společný bod přímek m a n určíme řešením soustavy: I. 1 t = 4s II. 3 + t = 4 + s Rovnice sečteme, eliminujeme tím parametr t a vypočteme parametr s. 4 = 4 3s s = 0 Dosazením do rovnice přímky n určíme souřadnice průsečíku. P = [ 4 0; 4 + 0] = [0; 4] Bod P má od přímky k (souřadnicové osy x) vzdálenost d = 4. Řešení: d = 4 8 Maturita z matematiky 02

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Na obrázku je fragment ornamentu, který byl použit jako vlys na dekorativní dlažbě. Jedná se o lomenou čáru, která se vždy láme vpravo do pravého úhlu a následující díl čáry je vždy o 10 % delší. Nejkratší díl zobrazený na obrázku je dlouhý 2 cm. 2 body Určete, z kolika dílů nejvíce se bude lomená čára skládat, musí-li se ornament vejít do čtvercové kachle o hraně délky 20 cm. Čáru lze demonstrovat pomocí geometrické posloupnosti, kde kvocient q = 1,1 a první člen a 1 = 2. Protože se ornament musí vejít do kachle o hraně 20 cm, musí se poslední člen posloupnosti (poslední čára) vejít do tohoto rozměru. a n = ,1 n 1 = 20 1,1 n 1 = 10 log 10 n 1 = log 1,1 1 n = + 1 log 1,1 n = 25,16 Čára se může skládat nejvíce z 25 částí. Řešení: nejvýše z 25 částí 6.2 Kolik centimetrů bude měřit lomená čára, bude-li se skládat z 15 dílů? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry.) Tentokrát je neznámou součet 15 po sobě jdoucích členů výše popsané geometrické posloupnosti. Dosadíme tedy do vzorce pro součet. s 15 = 2 1,115 1 = 64 1,1 1 Čára bude mít po zaokrouhlení délku 64 cm. Řešení: 64 cm Maturita z matematiky 02 9

10 2 body 7 Kolik je všech trojciferných přirozených čísel, které obsahují v ciferném zápisu právě jednou číslici 2? A) 280 B) 243 C) 225 D) 184 E) 168 Hledáme trojciferná čísla, která obsahují vždy jen jednou v ciferném zápisu 2, např. 215 nebo 982, nikoliv však 224. Taková trojciferná čísla mají ciferný zápis 2XY, nebo X2Y, nebo XY2, kde číslice X a Y jsou různé od 2. Mohou být ale stejná. V prvním případě tedy na pozice X a Y umísťujeme jednu z devíti možných cifer (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), jde tedy o 9 9, tj. 81 možností, protože číslice se mohou opakovat. V druhém a třetím případě jde o shodnou situaci, musíme ale brát v úvahu, že možnost, kdy je na pozici stovek 0, nepočítáme, jde vlastně o dvojciferné číslo. Je-li tedy ciferný zápis X2Y (resp. XY2), jde o 81 možností bez těch, které mají na pozici stovek 0, což je 9 čísel (020, 021, 023, 024, 025, 026, 027, 028, 029), protože vlastně volíme jen číslici na pozici jednotek, a to z 9 možných (dvojku už zvolit nemůžeme). Celkový počet čísel tak vypočteme takto: (81 9) = = = 225 čísel Všech trojciferných čísel, které obsahují v ciferném zápisu právě jednou číslici 2, je 225. Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána funkce f(x) = x⁵ 4x⁴ + 17x³ + 32x² 124x + 80, pro x 5; 2. Body A, B, C, D, E označují průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic. 10 Maturita z matematiky 02

11 8 Kolik kořenů rovnice x⁵ 4x⁴ + 17x³ + 32x² 124x + 80 = 0 je kladných? A) žádný B) právě jeden C) právě dva D) právě tři E) právě čtyři 2 body Z grafu funkce f plyne, že protíná osu x ve čtyřech bodech A, B, D a E: A = [ 5, 0], B = [ 4, 0], D = [1, 0], E = [2, 0] Průsečíky A, B, D, E s osou x přímo určují kořeny rovnice f(x) = 0. Jedná se o x 1 = 5, x 2 = 4, x 3 = 1 a x 4 = 2. Kladné jsou právě dva z nich, x 3 a x 4. Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dána čísla A = 1260, B = 4725 a C = Dále uvažujme číslo D, pro které platí D = A + B + C. max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je dělitelný Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je násobkem Největší společný dělitel čísel A, B a C je číslo Číslo D je prvočíslo. ANO NE Všechna tři čísla je možné rozložit na součin mocnin prvočísel, závěry lze ale odvodit i jinak. 9.1 Víme, že 16 = 2 4. Nejmenší společný násobek čísel A, B a C bude dělitelný 16, když je 16 dělitelné alespoň jedno z čísel A, B nebo C. Číslo A je dělitelné 4, po vydělení ale získáme číslo 315, to už není ani sudé, tedy číslo A není 16 dělitelné. Číslo B je liché, tedy ani ono nesplňuje podmínku dělitelnosti 16. Číslo C je dělitelné 8, nikoli 16. Nejmenší společný násobek tak 16 dělitelný není. Tvrzení je nepravdivé. 9.2 Právě tehdy, když je přirozené číslo a dělitelem přirozeného čísla b, je přirozené číslo b násobkem přirozeného čísla a. Otázka zní tedy podobně jako v předchozí situaci. Protože číslo A má ciferný součet dělitelný 3 a končí 0, je dělitelné 3 a zároveň 5. Je tedy dělitelné i 15. Je-li číslo A dělitelné 15, musí jím být dělitelný i nejmenší společný násobek čísel A, B a C. Ten je proto násobkem čísla 15. Tvrzení je pravdivé. Maturita z matematiky 02 11

12 9.3 Ciferný součet čísla 1260 je 9, čísla 4725 je 18, stejně jako čísla Čísla A, B a C jsou dělitelná devíti, tedy jejich největší společný dělitel musí být rovněž dělitelný alespoň devíti. Protože 21 není násobkem devíti, nemůže být největším společným dělitelem. Tvrzení je nepravdivé. 9.4 Protože z předchozích výpočtů víme, že všechna tři čísla jsou dělitelná devíti, je i jejich společný součet dělitelný devíti, tohoto společného dělitele lze totiž ze součtu čísel A, B a C vytknout = 9 ( ) Protože součet je dělitelný více jak dvěma děliteli (1, 9 a sám sebou), není prvočíslem. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, NE max. 4 body 10 Přiřaďte každé z nerovnic ( ), kde x R, jednu z množin řešení (A F) x + 2 x x 2 2(3x 4) < x 1 < x x A) (, 4 B) ( 4, 2) C) ( 4, 2 D) 2, 4 E) 4, + ) F) 2, + ) 10.1 Pro x 4 řešíme nerovnici v podílovém tvaru 2x + 2 x x + 2 x 4 0 x + 4 x 2 0 x + 4 Rozdělíme číselnou osu nulovými body a body, v nichž není nerovnice definována, a určíme znaménka čitatele, jmenovatele i celkového podílu. 12 Maturita z matematiky 02

13 x 2 x + 4 x (, 4) x ( 4, 2 x (2,+ ) x 2 + x Hledáme, kdy je výraz na levé straně rovnice nekladný. Rovnice má řešení pro x ( 4,2. Řešení: C 10.2 V tomto případě se jedná o kvadratickou rovnici, upravíme tedy tvar rovnice do součinového tvaru kořenových činitelů kvadratického trojčlenu. x 2 2 (3x 4) x 2 6x 8 x 2 6x (x 4)(x 2) 0 Z grafu kvadratické funkce, jejíž rovnice je na levé straně této nerovnosti, vyplývá, že řešením nerovnice je množina 2,4. Řešení: D 10.3 Jedná se vlastně o zápis soustavy dvou nerovnic. Je možné je řešit každou zvlášť (řešení je pak průnik výsledných množin), anebo zároveň. 5 < x 1 < 1 / < x < < x < 2 Řešením je množina ( 4, 2). Řešení: B Maturita z matematiky 02 13

14 10.4 Lineární nerovnici vyřešíme úpravami: x x 2x 4 x 2 Řešením nerovnice je množina 2, + ). Řešení: F KONEC TESTU 14 Maturita z matematiky 02

15 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 S = 16 cm 2 1 bod x = 1 y = 2 1 bod bod 2.3 x > 2 1 bod 3 d = 3 1 bod 4 Uveďte postup řešení. max. 2 body Vyjádříme objemy obou válců. Objem válce V 1 = πr 12 v 1, válce V 2 = πr 22 v 2. Zapíšeme poměr objemů obou válců: V 1 2 v 1 V2 = πr 1 = 2 πr22 v 2 3 Dosadíme velikosti poloměrů r 1 = 2 cm, r 2 = 4 cm a vyjádříme poměr výšek. 4πv 1 = 2 16πv2 3 v 1 = 2 / 4 4v2 3 v 1 v2 = 8 3 Poměr v 1 : v 2 výšek válců je 8 : 3. 5 d = 4 1 bod nejvýše z 25 částí 1 bod cm 1 bod 7 C 2 body 8 C 2 body Maturita z matematiky 02 15

16 NE 9.2 ANO 9.3 NE 9.4 NE 10.1 C 10.2 D 10.3 B 10.4 F max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky 02

17 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod bod bod bod 3 1 bod 4 max. 2 body 5 1 bod bod bod 7 2 body 8 2 body Maturita z matematiky 02 17

18 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 18 Maturita z matematiky 02