CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazili do terénu, z toho 1/6 z nich navštívila školní jídelny, 3/10 soukromá restaurační zařízení, 2/7 výrobny a další zařízení pracující v oboru potravinářské výroby a zpracování a výroby jídel. Zbylých 52 inspektorů navštívilo prodejny potravin. 1 bod 1 Kolik inspektorů Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazilo do terénu? 1 bod 2 Určete souřadnice všech bodů X v rovině, které leží na souřadnicové ose x a mají stejnou vzdálenost od bodu A[5; 4] jako od bodu B[ 1; 2]. 3 Určete, kolik přirozených čísel je kořenem rovnice x(x + 2) = 4(9 + x) 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán trojúhelník EBF a čtverec AFGH. Bod A leží na úsečce EF, body D, G leží na úsečce FB, bod H leží na úsečce EB. Úsečky EF, CD a GH jsou rovnoběžné, velikost úhlu AHE je Jaká je velikost úhlu φ z obrázku? 4.2 Která úsečka má délku rovnu vzdálenosti bodu B od přímky AE? max. 2 body 2 Maturita z matematiky 03

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Rozměry kvádru jsou v poměru 2 : 2 : 1. Tělesová úhlopříčka tohoto kvádru má délku 6 cm. 5 Jaký je objem kvádru v cm 3? max. 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dána rovnice s kombinačními čísly ( k 1 ) + ( k 2 ) = ( 8 6 ). max. 3 body 6.1 Určete nejmenší možnou hodnotu neznámé k, pro kterou má rovnice smysl. 6.2 Řešte rovnici pro přípustné hodnoty. (V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán čtverec o obsahu a 2 a tři shodné obdélníky, které mají jeden rozměr délky a a druhý rozměr délky b. Pro čísla a, b platí, že jsou kladná a a > b. 2 body 7 Jaký bude obvod obdélníka, který vznikne vhodným složením čtverce a všech tří obdélníků? A) a + 3b B) 2a 6b C) 4a + 6b D) 2a(a + b) E) a(a + 3b) Maturita z matematiky 03 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Je dána množina bodů v rovině označená v obrázku šrafováním. 2 body 8 Která soustava nerovnic má grafické řešení shodné s množinou na obrázku? A) I. y 1 x II. y (x 2) 2 3 B) I. y x 1 II. y (x 2) 2 3 C) I. y 1 x II. y 2x 2 3 D) I. y x + 1 II. y (x 2)(x 3) E) I. y 1 x II. y (x 1)(x 4) 4 Maturita z matematiky 03

5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 A, B, C a D zastupují vždy jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9, přičemž mohou zastupovat i stejnou číslici. Je dán součet: A B C B D max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Číslice B musí být rovna Číslice C může být větší než Číslice A může být rovna Číslice D může být rovna Přiřaďte každé z posloupností ( ) její vlastnost (A F) {2n 5} n = {4 + ( 1) n } n = {9 n 3 2n } n = 1 ANO NE max. 4 body 10.4 { 1 n 1} n = 1 A) klesající B) rostoucí C) konstantní D) záporná E) konečná F) kladná KONEC TESTU Maturita z matematiky 03 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazili do terénu, z toho 1/6 z nich navštívila školní jídelny, 3/10 soukromá restaurační zařízení, 2/7 výrobny a další zařízení pracující v oboru potravinářské výroby a zpracování a výroby jídel. Zbylých 52 inspektorů navštívilo prodejny potravin. 1 bod 1 Kolik inspektorů Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazilo do terénu? Počet všech inspektorů, kteří vyrazili do terénu, označíme neznámou x: x 6 + 3x x = x / x + 126x + 120x = 420x = 420x x = 210 Do terénu vyrazilo 210 inspektorů Státní zemědělské a potravinářské inspekce. Řešení: bod 2 Určete souřadnice všech bodů X v rovině, které leží na souřadnicové ose x a mají stejnou vzdálenost od bodu A[5; 4] jako od bodu B[ 1; 2]. Označíme bod X[m; 0], m R ležící na souřadnicové ose x. Určíme jeho vzdálenost od obou bodů a porovnáme je. (m 5) 2 + (0 4) 2 = (m + 1) 2 + (0 + 2) 2 (m 5) 2 + (0 4) 2 = (m + 1) 2 + (0 + 2) 2 m 2 10m = m 2 + 2m m = 36 m = 3 Jedná se o bod X[3; 0]. Řešení: X[3; 0] 3 Určete, kolik přirozených čísel je kořenem rovnice x(x + 2) = 4(9 + x) 1. 1 bod x(x + 2) = 4(9 + x) 1 x 2 + 2x = x 1 x 2 2x 35 = 0 (x 7)(x + 5) = 0 x 1 = 7 x 2 = 5 Kořen x 2 není z množiny přirozených čísel, rovnice má jen jeden přirozený kořen. Řešení: jedno 6 Maturita z matematiky 03

7 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán trojúhelník EBF a čtverec AFGH. Bod A leží na úsečce EF, body D, G leží na úsečce FB, bod H leží na úsečce EB. Úsečky EF, CD a GH jsou rovnoběžné, velikost úhlu AHE je Jaká je velikost úhlu φ z obrázku? max. 2 body Protože úhly AEH a GHB jsou shodné (vyplývá to z podobnosti trojúhelníků FEB a GHB) a úhel EAH je pravý (je vedlejší k vnitřnímu úhlu ve čtverci AFGH), platí: AEH = GHB = φ = = 28 Ke stejnému závěru dojdeme i takto: Ve čtverci AFGH jsou všechny vnitřní úhly pravé, takže platí: AHE + AHG + GHB = 180 φ = = 28. Řešení: φ = Která úsečka má délku rovnu vzdálenosti bodu B od přímky AE? Vzdálenost bodu B od přímky AE měříme od bodu B po kolmici k přímce AE, tedy po přímce BF. Vzdálenost bodu B od přímky AE je délka úsečky BF. Řešení: BF VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Rozměry kvádru jsou v poměru 2 : 2 : 1. Tělesová úhlopříčka tohoto kvádru má délku 6 cm. 5 Jaký je objem kvádru v cm 3? max. 2 body Maturita z matematiky 03 7

8 Vyjádříme délky hran a a c. a b = 2 2 = 1 b c = 2 1 a = b c = b 2 Délku u tělesové úhlopříčky spočteme ze vztahu: u = a 2 + b 2 + c 2 Do vztahu dosadíme: 6 cm = b 2 + b 2 + b2 36 = 9b2 b 2 = 16 b = 4 (b > 0) 4 4 Nyní určíme objem V = abc = (4 cm) (4 cm) (2 cm) = 32 cm 3. Objem kvádru je 32 cm 3. Řešení: 32 cm 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dána rovnice s kombinačními čísly ( k 1 ) + ( k 2 ) = ( 8 6 ). max. 3 body 6.1 Určete nejmenší možnou hodnotu neznámé k, pro kterou má rovnice smysl. V daných kombinačních číslech musí zároveň platit: k N k 1 k 2. Nejmenší možnou hodnotou neznámé k je tedy 2. Řešení: k = Řešte rovnici pro přípustné hodnoty. (V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.) Rovnici můžeme řešit tak, že každé kombinační číslo převedeme zvlášť na zlomek. Je ale vhodné si uvědomit, že z Pascalova trojúhelníku pro kombinační čísla vyplývá: ( k 1 ) + ( k 2 ) = ( k ) ( 8 6 ) = ( 8 2 ) ( k ) = ( 8 2 ) k + 1 = 8 k = 7 Kořenem rovnice je k = 7. Převedeme-li každé kombinační číslo, vypadalo by řešení následovně: ( k 1 ) + ( k 2 ) = ( 8 6 ) k! + k! = 8! 1!(k 1)! 2!(k 2)! 6! 2! k! + k! = 28 (k 1)! 2(k 2)! k (k 1)! + k(k 1)(k 2)! = 28 (k 1)! 2(k 2)! k + k (k 1) = k + k 2 k = 56 k 2 + k 56 = 0 (k 7)(k + 8) = 0 k 1 = 7 k 2 = 8 N Řešení: k = 7 8 Maturita z matematiky 03

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán čtverec o obsahu a 2 a tři shodné obdélníky, které mají jeden rozměr délky a a druhý rozměr délky b. Pro čísla a, b platí, že jsou kladná a a > b. 2 body 7 Jaký bude obvod obdélníka, který vznikne vhodným složením čtverce a všech tří obdélníků? A) a + 3b B) 2a 6b C) 4a + 6b D) 2a(a + b) E) a(a + 3b) Pokud si situaci zakreslíme, jedná se o tento obdélník: Z obrázku jasně vyplývá, že obvod trojúhelníka je 4a + 6b, tj. možnost C. Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Je dána množina bodů v rovině označená v obrázku šrafováním. Maturita z matematiky 03 9

10 2 body 8 Která soustava nerovnic má grafické řešení shodné s množinou na obrázku? A) I. y 1 x II. y (x 2) 2 3 B) I. y x 1 II. y (x 2) 2 3 C) I. y 1 x II. y 2x 2 3 D) I. y x + 1 II. y (x 2)(x 3) E) I. y 1 x II. y (x 1)(x 4) Funkce, jejíž graf tvoří dolní hranici oblasti, má minimum v bodě [2, 3] a prochází bodem [0; 1], je kvadratická. K zápisu jejího předpisu použijeme vrcholový tvar, neboť bod [2, 3] je vrcholem jejího grafu. y = a(x 2) 2 3 Do předpisu dosadíme bod [0; 1], abychom zjistili koeficient a. 1 = a(0 2) = 4a 3 a = 1 Předpis první hledané funkce je y = (x 2) 2 3. Protože tento předpis se nachází jen v možnostech A a B, nebudeme další možnosti již sledovat. Lineární funkce, jejíž graf tvoří horní hranici, má předpis, využijeme-li úsekový tvar rovnice přímky, následující: x 1 + y 1 = 1 x + y = 1 y = x + 1 y = 1 x. Nerovnosti ověříme dosazením libovolného bodu do soustavy nerovnic, např. [2; 2]. I II. 2 (2 2) Jedná se o oblast vymezenou soustavou nerovnic uvedených v možnosti A. Řešení: A VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 A, B, C a D zastupují vždy jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9, přičemž mohou zastupovat i stejnou číslici. Je dán součet: A B C B D Maturita z matematiky 03

11 max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Číslice B musí být rovna Číslice C může být větší než Číslice A může být rovna Číslice D může být rovna 2. ANO NE 9.1 Pro číslici B mohou nastat teoreticky následující situace: B + 3 = 3, nebo B + 3 = 13, nebo B = 3, nebo B = 13. Z toho plynou reálně jen dvě možnosti, že B = 0, nebo B = 9, možnost B = 3 reálně nenastane, protože číslice B nemůže být záporná ani rovna 10. B může být i 9, tvrzení je nepravdivé. 9.2 Ze součtu B + C = 1 vyplývá, že pro případ, kdy B = 0, bude C = 1, a pro případ, kdy B = 9, bude C = 2. Tvrzení je pravdivé. 9.3 Bude-li B = 0, nemůže být A + 9 = 1, protože by číslice A byla záporná. Musí tedy platit, že B = 0 a zároveň A + 9 = 11. Pak by číslice A = 2. Pokud číslice B = 9, bude platit B + 3 = 12, tudíž A = 1 nebo A = 11. První možnost je vyloučena, platí tedy jen druhá, že A = = 1. Protože A = 1 nebo A = 2, tvrzení je pravdivé. 9.4 Číslice D nemůže být rovna 2, protože maximální hodnota, které teoreticky může součet A + 9 dosáhnout, je 19. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, ANO, NE 10 Přiřaďte každé z posloupností ( ) její vlastnost (A F) {2n 5} n = {4 + ( 1) n } n = {9 n 3 2n } n = 1 max. 4 body 10.4 { 1 n 1} n = 1 A) klesající B) rostoucí C) konstantní D) záporná E) konečná F) kladná Maturita z matematiky 03 11

12 10.1 Posloupnost {2n 5} 6 = { 3; 1; 1; 3; 5; 7; }. Posloupnost je nekonečná, rostoucí, není záporná, ani n = 1 kladná. Řešení: B 10.2 Posloupnost {4 + ( 1) n } = {3; 5; 3; 5; 3; 5; }. Posloupnost je nekonečná, není rostoucí, ani klesající, n = 1 ani konstantní, je ale kladná. Řešení: F 10.3 Posloupnost {9 n 3 2n } = n = 1 {(32 ) n 3 2n } = n = 1 {32n 3 2n } = {0; 0; 0; 0; 0; }. Posloupnost je nekonečná, n = 1 konstantní. Není ani kladná, ani záporná. Řešení: C KONEC TESTU 10.4 Posloupnost { 1 n 1} = {0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; n = }. Posloupnost je nekonečná, klesající. Není ani n = 1 kladná, ani záporná. Řešení: A 12 Maturita z matematiky 03

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod 2 X[3; 0] 1 bod 3 jedno 1 bod φ = 28 1 bod 4.2 BF 1 bod 5 32 cm 3 max. 2 body 6 1 bod 6.1 k = 2 1 bod 6.2 Rovnici můžeme řešit tak, že každé kombinační číslo převedeme zvlášť na zlomek. Je ale vhodné si uvědomit, že z Pascalova trojúhelníku pro kombinační čísla vyplývá: ( k 1 ) + ( k 2 ) = ( k ) ( 8 6 ) = ( 8 2 ) ( k ) = ( 8 2 ) k + 1 = 8 k = 7 2 body Kořenem rovnice je k = 7. Převedeme-li každé kombinační číslo, vypadalo by řešení následovně: ( k 1 ) + ( k 2 ) = ( 8 6 ) k! + k! = 28 (k 1)! 2(k 2)! k (k 1)! + k(k 1)(k 2)! = 28 (k 1)! 2(k 2)! k + k (k 1) = k + k 2 k = 56 k 2 + k 56 = 0 (k 7)(k + 8) = 0 k 1 = 7 k 2 = 8 N Řešení: k = 7 k! + k! = 8! 1!(k 1)! 2!(k 2)! 6! 2! 7 C 2 body 8 A 2 body Maturita z matematiky 03 13

14 NE 9.2 ANO 9.3 ANO 9.4 NE 10.1 B 10.2 F 10.3 C 10.4 A max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 14 Maturita z matematiky 03

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 1 bod 3 1 bod bod bod 5 max. 2 body 6 1 bod bod body 7 2 body 8 2 body Maturita z matematiky 03 15

16 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky 03