Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava

Transkript

1 1 014 ocník XIV

2 ISSN

3 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební Tansactions of the VŠB - Technical Univesity of Ostava No. 1, 014, Vol. 14, Civil Engineeing Seies ČAJKA Radim, MATEČKOVÁ Pavlína, FOJTÍK Roman VÝPOČET TEPLOTY V KLUZNÉ SPÁŘE NAVRŽENÉ JAKO SOUČÁST ZÁKLADOVÉ KONSTRUKCE... 1 DRAHORÁD Michal PŘESYPANÉ ZDĚNÉ KLENBOVÉ MOSTY INTERAKCE ZEMINY A KONSTRUKCE V INŽENÝRSKÝCH APLIKACÍCH... 7 FILLO Ľudovít, HALVONIK Jaoslav, BORZOVIČ Vikto PRETLAČENIE LOKÁLNE PODOPRETÝCH BETÓNOVÝCH STROPNÝCH A ZÁKLADOVÝCH DOSIEK HALVONIK Jaoslav, FILLO Ľudovít PRETLAČENIE PRÍČINY HAVÁRIE V KOMPLEXE TRINITY... 5 LABUDKOVÁ Jana, ČAJKA Radim POROVNÁNÍ EXPERIMENTÁLNĚ NAMĚŘENÉ DEFORMACE DESKY NA PODLOŽÍ A VÝSLEDKŮ 3D NUMERICKÉHO MODELU ODROBIŇÁK Jaoslav VERIFICATION OF FLEXURAL BEHAVIOR AND SIMPLIFIED MODELING OF STEEL-CONCRETE COMPOSITE BRIDGE STARÁ Maie, JANULÍKOVÁ Matina EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ PŘEDPJATÉHO ZDIVA S POUŽITÍM KLUZNÉ SPÁRY PETRŮ Jiří MOŽNOSTI APLIKACE PŘÍRODNÍHO ZEOLITU JAKO AKTIVNÍ PŘÍMĚSI DO BETONU DANIEL Ľuboš, KORTIŠ Ján NUMERICKÉ MODELOVANIE INTERAKCIE VOZIDLA A MOSTNEJ KONŠTRUKCII GRZYWIŃSKI Maksym, POKORSKA Iwona STOCHASTIC ANALYSIS OF CYLINDRICAL SHELL KOKTAN Jiří, BROŽOVSKÝ Jiří NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ČASOVĚ ZÁVISLÉHO CHOVÁNÍ ŽELEZOBETONOVÉ KONSTRUKCE S VYUŽITÍM MODELU B KOTRASOVÁ Kamila FLUID IN RECTANGULAR TANK FREQUENCY ANALYSIS KRÁLIK Juaj PROBABILISTIC NONLINEAR ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BUBBLER TOWER STRUCTURE FAILURE... 91

4 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební Tansactions of the VŠB - Technical Univesity of Ostava No. 1, 014, Vol. 14, Civil Engineeing Seies KREJSA Jan, HOLICKÝ Milan, SÝKORA Mioslav UNCERTAINTY IN SHEAR RESISTANCE OF REINFORCED CONCRETE BEAMS WITH STIRRUPS COMPARISON OF EN AND fib MC 010 APPROACHES MELCER Jozef, MARTINICKÁ Ivana VOZIDLO CESTA NUMERICKÉ RIEŠENIE VO FREKVENČNEJ OBLASTI MELCER Jozef, MARTINICKÁ Ivana VZÁJOMNÉ POROVNANIE FFP PRE RÔZNE VÝPOČTOVÉ MODELY VOZIDLA MORAVČÍK Milan PRENOS VIBRÁCIÍ KONŠTRUKCIOU TRATE PRI PREJAZDE VLAKOV PSOTNÝ Matin NONLINEAR ANALYSIS OF BUCKLING & POSTBUCKLING SLOWIK Ondřej, NOVÁK Dahomí ALGORITMIZACE SPOLEHLIVOSTNÍ OPTIMALIZACE SOBEK Jakub ANALÝZA TVAROVÝCH FUNKCÍ PRO TĚLESA S TRHLINOU: VARIANTY ROVINNÉ ÚLOHY VALEŠ Jan KLOPENÍ NOSNÍKU S POČÁTEČNÍMI IMPERFEKCEMI VAŠEK Jakub, KREJSA Matin PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSOUZENÍ SPOLEHLIVOSTI PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE V PROGRAMOVÉM SYSTÉMU MATLAB VOŘECHOVSKÁ Dita, VOŘECHOVSKÝ Mioslav ANALYTICAL AND NUMERICAL APPROACHES TO MODELLING OF REINFORCEMENT CORROSION IN CONCRETE ZÍDEK Rostislav, BRDEČKO Luděk TRADIČNÍ KROV HAVARIJNÍ STAV, MODELOVÁNÍ A PŘÍČINY

5 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 01 Radim ČAJKA 1, Pavlína MATEČKOVÁ, Roman FOJTÍK 3 VÝPOČET TEPLOTY V KLUZNÉ SPÁŘE NAVRŽENÉ JAKO SOUČÁST ZÁKLADOVÉ KONSTRUKCE CALCULATION OF TEMPERATURE IN SLIDING JOINT DESIGNED AS A PART OF FOUNDATION STRUCTURE Abstakt V případě očekávaných vodoovných defomací teénu nebo základové konstukce je možné po eliminaci vnitřních sil v důsledku tření použít asfaltovou eologickou kluznou spáu. Vlastnosti asfaltu jsou však závislé na teplotě. V liteatuře je možné vyhledat data s odhadovanými teplotami v základové spáře, přesto po upřesnění očekávaných teplot bylo povedeno měření teploty v základové desce v budově po supepočítač v aeálu VŠB-TU Ostava. V článku jsou poovnány naměřené a vypočtené teploty po pvní dny po vybetonování základové konstukce. Komě teploty venkovního postředí se uvažuje také s významným vlivem hydatačního tepla. Klíčová slova Kluzná spáa, základová konstukce, měření teploty, výpočet teploty. Abstact In case of expected hoizontal defomation of subsoil o foundation stuctue it is possible to use heological asphalt sliding joint to eliminate intenal foces caused with fiction. Mateial chaacteistics of asphalt ae tempeatue sensitive. In science liteatue it is possible to find data with tempeatues expected in footing bottom, howeve it was decided to complement this infomation with tempeatues measued in-situ in foundation slab fo supe-compute building in campus of VSB-Technical Univesity of Ostava. In the pape measued and calculated tempeatues ae compaed fo the fist days afte conceting the foundation stuctue. Besides the tempeatue of envionment also significant influence of heat of cement hydation ae taken into account. Keywods Sliding joint, foundation stuctue, tempeatue measuement, tempeatue calculation. 1 ÚVOD Vlivem hoizontálních defomací teénu nebo základové konstukce vznikají třením o podloží významné vnitřní síly, kteé je nutné zohlednit v analýze inteakce základu a podloží [], [3]. Po eliminaci tření je možné použít asfaltovou eologickou kluznou spáu. Na Fakultě stavební VŠB TU Ostava pobíhá již několik let výzkum smykových vlastností ůzných duhů asfaltových pásů. 1 Pof. Ing. Radim Čajka, CSc., Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , adim.cajka@vsb.cz. Ing. Pavlína Matečková, Ph.D., Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , pavlina.mateckova@vsb.cz. 3 Ing. Roman Fojtík, Ph.D., Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , oman.fojtik@vsb.cz. 1

6 Výzkum pokázal, že vlastnosti asfaltu jsou významně závislé na teplotě [4], [5], [6]. Spávný návh kluzné spáy je vázán na odhad teploty v základové spáře, přičemž důležité jsou jak teploty kátkodobé, tak teploty dlouhodobé. Odhad kátkodobé teploty má význam při použití kluzné spáy po eliminaci tření vlivem předpětí, teplotních změn nebo objemových změn betonu, největších pávě v pvních dnech po vybetonování konstukce. Odhad dlouhodobé teploty je významný zejména v případě dlouhodobě působící kluzné spáy po eliminaci účinků poddolování a dlouhodobých objemových změn betonu. TEPLOTY NAMĚŘENÉ IN-SITU.1 Popis základové konstukce Budova Náodního Supepočítačového Centa je umístěna v aeálu VŠB-TU Ostava. Budova je založena na železobetonové desce tloušťky 400 mm se ztužujícími žeby v honí části desky. Základová deska byla vybetonována v únou 013, tedy v zimním období. Stanice po měření teplot je na ob. 1, více podobností viz [8]. Byla měřena teplota postředí a teploty v půřezu desky do hloubky 35 mm. Měření přímo v základové spáře nebylo možné vzhledem k technickým paametům měřící stanice. Komě teplot jsou měřeny také poměná přetvoření v půřezu železobetonové desky. Na ob. jsou v gafu znázoněny teploty naměřené v pvních 50 dnech po vybetonování základové desky. Na ob. 3 jsou teploty naměřené in-situ znázoněné v závislosti na souřadnici tloušťky desky. V současné době měření ještě stále pobíhají, ale v delších časových intevalech. Ob. 1: Stanice po měření teplot a napětí v půřezu základové desky 3 VÝPOČET TEPLOTY V PRŮŘEZU ZÁKLADOVÉ DESKY 3.1 Teplota postředí Po výpočet teploty v půřezu desky se teplota postředí uvažuje podle ovnice (1), převzaté z publikace [9], pomocí kteé lze postihnout kolísání teploty v půběhu dne. Te t Tmed Ae.sin. t (1) 1 kde: T med je půměná teplota v zimním postředí, ve výpočtu se uvažuje dopoučená hodnota 5 C, A e teplotní amplituda, ve výpočtu se uvažuje dopoučená hodnota 6 C.

7 Ob. : Dílčí teploty naměřené in-situ Ob. 3: Teploty v půřezu desky naměřené in-situ Teplota postředí in-situ je na ob. 4 poovnána s teplotou, kteá se uvažuje ve výpočtu. Jak se očekávalo, teploty naměřené a teploty předpokládané ve výpočtu se liší, nicméně kolísání teplot během dne je patné i na půběhu teplot naměřených in-situ. 3. Hydatační teplo Po výpočet hydatačního tepla bylo odvozeno množství ůzných závislostí. Ve výpočtu teplot v půřezu desky byl použit model vývoje hydatačního tepla podle ČSN [7], [10]. Uvedený model byl zvolen po jeho jednoduchost, snadné zahnutí do numeického výpočtu a elativní dostupnost všech vstupních paametů. Změna teploty v čase při zohlednění hydatačního tepla se uvažuje pomocí exponenciální funkce (), (3), (4): t t T e Ta a 1 () m. Q T h a c. (3) T o (4) 3

8 kde: m je hmotnost cementu v 1 m 3 betonu [kg.m 3 ], c měná tepelná kapacita [J.kg -1.K -1 ], je hustota betonu [kg.m 3 ], Q h hydatační teplo, stanovené expeimentálně nebo podle dopoučení nomy [kj.m -3 ], T o počáteční teplota betonu [ C], základní hodnota součinitele 10 po teplotu 10 C [-]. Deivací změny teploty se pak vypočítá tepelný tok a tuto veličinu lze použít po numeický výpočet teploty (5): t. t 0. e c.. T.. e T q( t) c.. c.. T (5) a a t Ob. 4: Přepokládaná a naměřená teplota postředí Paamety po výpočet hydatačního tepla cementu, použitého po přípavu betonu na základovou konstukci Náodního Supepočítačového Centa, se nepodařilo získat, potože dodavatelská společnost je odmítla sdělit. Podařilo se zjistit, že byl použit směsný cement. Ve výpočtu se tedy uvažuje maximální a minimální množství cementu a maximální a minimální hydatační teplo podle EN 06 [11] a ČSN [10]. Koeficient, kteý epezentuje ychlost 10 uvolňování hydatačního tepla, se uvažuje minimální hodnotou 0,15 po pomalé uvolňování hydatačního tepla a maximální hodnotou 0,5 po ychlé uvolňování hydatačního tepla. Minimální teploty byly stanoveny po množství cementu m = 300 kg.m -3 a hydatační teplo Q h = 60 kj.m -3 a maximální teploty po množství cementu m = 400 kg.m -3 a hydatační teplo Q h = 350 kj.m Vypočtené teploty Teploty v půřezu desky se zohledněním předpokládané teploty postředí a se započtením vlivu hydatačního tepla byly vypočteny pomocí pogamu NONSTAC, kteý řeší numeicky Fouieovu ovnici vedení tepla po jednoozměné teplotní pole [1]. Na ob. 5 jsou gaficky znázoněny vypočtené minimální a maximální teploty v základové spáře po pomalý i ychlý vývoj hydatačního tepla. Na ob. 6 jsou poovnány teploty na souřadnici 35 mm od povchu desky naměřené in-situ a teploty vypočtené. Teploty jsou poovnány na souřadnici 35 mm od povchu desky, tedy na souřadnici nejblíže základové spáře. 4

9 Ob. 5: Vypočtené maximální a minimální teploty v základové spáře Vypočtené teploty epezentuje křivka po minimální množství cementu a pomalý vývoj hydatačního tepla, kteá se nejvíce půběhem a dosaženými teplotami blíží půběhu teplot, naměřených in-situ. Ob. 6: Vypočtené a naměřené teploty po souřadnici desky 35 mm od povchu 3.4 Diskuse Z obázku 6 je zřejmé, že předpokládaná teplota stanovená výpočtem po souřadnici 35 mm od povchu desky je vyšší než teplota naměřená. Obdobný ozdíl teplot se očekává také v základové spáře. Rozdíl teplot naměřených se očekával, potože po výpočet byla použita ozdílná teplota postředí, než naměřená in situ, viz ob. 4. Další nepřesnosti jsou v jednoduchém modelu vývinu hydatačního tepla dle exponenciální křivky podle ČSN [10], ke kteému se navíc nepodařilo získat přesné vstupní paamety, tj. hydatační teplo a množství cement v 1 m 3 betonu. Rozdíl v teplotách vypočtených a naměřených je třeba zohlednit při návhu eologické asfaltové kluzné spáy, kde jsou mateiálové chaakteistiky teplotně závislé. 4 ZÁVĚR Výstižný návh eologické kluzné spáy je spojen s odhadem teploty v základové spáře. Teplota ovlivňuje smykové defomace asfaltového pásu a tím také jeho smykovou odolnost. V článku byly poovnány teploty naměřené in-situ v základové desce budovy Náodního Supepočítačového Centa a teploty vypočtené na základě předpokládané teploty postředí při zvoleném modelu vývoje hydatačního tepla. Předpokládané teploty jsou v uvedeném případě vyšší než naměřené. Po vyšší 5

10 teploty byly pokázány vyšší defomace a tedy nižší smyková odolnost. Při návhu kluzné spáy je vhodné vzít výše uvedené skutečnosti v úvahu. PODĚKOVÁNÍ Příspěvek byl ealizován za finančního přispění MŠMT, podpoa specifického vysokoškolského výzkumu Koncepčního ozvoje FAST VŠB-TU Ostava v oce 014. LITERATURA [1] CAJKA, R., Numeical Solution of Tempeatue Field fo Stess Analysis of Plate Stuctues (013). Applied Mechanics and Mateials, Vol. 470 (014), pp Tans Tech Publications, Switzeland, ISSN: , ISBN: , doi:10.408/ [] CAJKA, R., Soil stuctue inteaction in case of exceptional mining and flood actions. Final Confeence of COST Action C1: Impovement of Buildings' Stuctual Quality by New Technologies, Innsbuck, Austia, 0 Januay 005 though Januay 005, ISBN: ; [3] CAJKA, R., A Subsoil Model based on Numeical Integation of a Nonlinea Halfspace. 8th Intenational Confeence on Engineeing Computational Technology, ECT 01, Dubovnik; Coatia; 4 Septembe 01 though 7 Septembe 01, Civil-Comp Poceedings, Volume 100, 01, ISBN , doi:10.403/ccp [4] CAJKA, R., MATECKOVA, P., JANULIKOVA, M., Bitumen Sliding Joints fo Fiction Elimination in Footing Bottom. Applied Mechanics and Mateials, Volume 188, (01), pp. 47-5, Tans Tech Publications, Switzeland, ISSN: , ISBN: , DOI: / [5] CAJKA, R., JANULIKOVA, M., MATECKOVA, P., STARA, M., Laboatoy Testing of Asphalt Belts with the Influence of Tempeatue. Tansactions of the VSB - Technical Univesity of Ostava, Constuction Seies, Volume XI, Issue, Pages 1 6, ISSN (Online) , ISSN (Pint) , DOI: /v , Decembe 011 [6] CAJKA, R., JANULIKOVA, M., MATECKOVA, P., STARA, M., Modelling of Foundation Stuctues with Slide Joints of Tempeatue Dependant Chaacteistics. Poceedings of the 13th Intenational Confeence on Civil, Stuctual and Envionmental Engineeing Computing, CC p., Chania, Cete, Geece, 6 Septembe 011 though 9 Septembe 011, ISBN , doi:10.403/ccp [7] CAJKA, R., MATECKOVA, P., Tempeatue Distibution of Slide Joint in Reinfoced Concete Foundation Stuctues. 17th Intenational Confeence on Engineeing Mechanics 011, Svatka, May 09-1, 011. Engineeing Mechanics 011, pp , ISBN , WOS: [8] CAJKA, R., FOJTIK, R., Development of Tempeatue and Stess duing Foundation Slab Conceting of National Supecompute Cente IT4, Pocedia Engineeing, Volume 65, 013, Pages 30-35, ISSN , doi: /j.poeng [9] HALAHYA, M., Tepelná technika, osvětlení, akustika. ALFA Batislava, [10] ČSN The design of watewoks concete stuctues. UNMZ Pague, 010. [11] EN 06 Concete - Pat 1: Specification, pefomance, poduction and confomity. UNMZ Pague, 001. Oponentní posudek vypacoval: Doc. Ing. Július Šoltész, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, STU v Batislave. Doc. Ing. Miloš Zich, Ph.D., Ústav betonových a zděných konstukcí, Fakulta stavební, VUT v Bně. 6

11 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 0 Michal DRHORÁD 1 PŘESYPANÉ ZDĚNÉ KLENBOVÉ MOSTY INTERAKCE ZEMINY A KONSTRUKCE V INŽENÝRSKÝCH APLIKACÍCH BURRIED MASONRY ARCH BRIDGES MODELLING OF THE SOIL-STRUCTURE INTERACTION IN ENGINEERING APLICATIONS Abstakt Tato páce se zabývá možnostmi modelování inteakce zděných klenbových mostních konstukcí s mateiálem zásypu v inženýských aplikacích. Hlavním cílem páce je vývoj numeického modelu konstukce vystihujícího s dostatečnou přesností skutečné chování mostu a jeho spolupůsobení se zeminou náspu na úovni použitelné v běžné inženýské paxi. V článku jsou uvedeny základní předpoklady, definice modelu inteakce zeminy s klenbou a ozbo dosažených výsledků. Klíčová slova Klenbový most, inteakce se zeminou, zemní tlak. Abstact The pape deals with modeling of soil-stuctue inteaction of buied masony ach bidges. The main scope of this wok is developing of a numeical model with sufficient accuacy fo engineeing applications. Basic pesumptions, numeical model definition and analyses of esults ae intoduced in the pape. Keywods Masony ach bidge, soil inteaction, eath pessue. 1 ÚVOD Zděné klenbové mosty s přesypávkou jsou jedním z nejstaších duhů tvalých mostů. Stavba zděných klenbových mostů je z řemeslného hlediska elativně jednoduchá, jejich únosnost a tvanlivost je však při spávném povedení značná. Dlouhou dobu byly tyto mosty jedinou altenativou k mostům dřevěným, jejichž tvanlivost je však významně nižší. Uvedené skutečnosti byly důvodem ozsáhlého ozšíření těchto mostů jak po světě, tak i na území ČR. Zděné klenbové konstukce začaly být vytlačovány až s nástupem modeních tvalých konstukčních mateiálů, tj. oceli a betonu, přičemž poslední běžné aplikace těchto konstukcí spadají přibližně do 30. let minulého století. V současné době lze odhadovat, že celkový počet aktivně užívaných zděných klenbových mostů na komunikační síti v ČR se pohybuje kolem , přitom půměné stáří jednotlivých mostů přesahuje 100 let (zdoj systém BMS Uvážíme-li předpokládanou životnost konstukce 100 let, vývoj zatížení dopavou po dobu jejich užívání a stávající stav dlouhodobé údžby mostních konstukcí, je zřejmé, že tyto mosty vyžadují, nebo v nejbližší době budou vyžadovat, zásadní opavu, zesílení, či dokonce náhadu novou konstukcí. 1 Ing. Michal Dahoád, Ph.D., Kateda betonových a zděných konstukcí, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Paze, Thákuova 7, Paha 6, michal.dahoad@fsv.cvut.cz. 7

12 S ohledem na výše uvedený počet aktivně užívaných klenbových mostů jistě budou finanční náklady na jejich opavu vysoké a s ohledem na současný stav veřejných financí nebude možné všechny nevyhovující mosty nahadit novými ani je v nejbližší době opavit. Ve světle těchto skutečností poto nabývá na významu stanovení skutečného stavu a únosnosti, esp. zatížitelnosti, zděných klenbových mostů. V souvislosti s touto úlohou jsou klíčovými záležitostmi spávný konstukční model zděné klenby a spávná implementace jejího spolupůsobení s mateiálem zásypu. TYPICKÉ USPOŘÁDÁNÍ A STATICKÉ PŮSOBENÍ KONSTRUKCE Zděný klenbový most (viz Ob. 1 a ) je tvořen zděnou klenbovou konstukcí (kamennou nebo cihelnou), zásypem a bočními (popsními) zídkami ohaničujícími mateiál zásypu. Na mateiálu zásypu je povedena vozovka, boční zídky zpavidla přecházejí do paapetních zídek a křídel. Zásyp konstukce je zpavidla tvořen dobře zněným nenamzavým mateiálem, izolace poti vodě je obvykle tvořena jílovou vstvou. V pozdější době byly v postou pod vozovkou za účelem zvýšení únosnosti zřizovány oznášecí železobetonové desky. Touto poblematikou se však tento příspěvek nezabývá. Ob. 1: Typické uspořádání zděného klenbového mostu pohled Ob. : Typické uspořádání zděného klenbového mostu příčný řez Z konstukčního hlediska je hlavním nosným pvkem konstukce zděná klenba, kteá podpouje celou konstukci zásypu a boční zídky. Klenba je v patách vetknuta do opě a základů, kteé jsou zpavidla povedeny z kamenné ovnaniny nebo jsou zděné, založení klenbových mostů bývá plošné, případně na oštu z dřevěných pilot. Na klenbě jsou zpavidla povedeny popsní zídky, kteé klenbu ve svislém směu u okaje ztužují. V příčném směu jsou popsní zídky namáhány 8

13 zemním tlakem a vodoovnými účinky dopavního zatížení, což způsobuje příčné namáhání klenby a obvykle vede ke vzniku podélných thlin ovnoběžných s volným okajem klenby. Ze statického hlediska je zpavidla nevhodné modelovat klenbovou konstukci jako postoovou (objemové nebo plošné pvky spolupůsobící v příčném směu), potože existuje velká nejistota v příčném působení zdiva konstukce. Navíc je postoová úloha složitá z hlediska zadání modelu a spávného vyhodnocení výsledků. V inženýské paxi se poto obvykle používá modelů konstukce v podélném směu (řezu), kdy je celá klenba nahazena klenbovým pasem jednotkové šířky s uvažováním vlivu zásypu a okolního zemního postředí v tomto výseku. Z hlediska typologie lze ozlišit modely putové (Ob. 3), plošné (tvořené plošnými pvky - ve svislém řezu) a kombinované (tvořené plošnými a putovými pvky Ob. 4) podobně např. []. Rozhodujícím článkem modelu z hlediska chování je implementace inteakce zeminy zásypu a klenbové konstukce, esp. definice vlastností mateiálu zásypu. Ob. 3: Putový model klenbové konstukce Ob. 4: Kombinovaný model klenbové konstukce tvořený plošnými a putovými pvky 3 ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ INTERAKCE ZÁSYPU A KONSTRUKCE Inteakci zemin s klenbovou konstukcí v podélném řezu (viz výše) lze modelovat v zásadě dvěma způsoby. Pvním je modelování mateiálu zásypu a jeho spolupůsobení s klenbou vhodnými plošnými (příp. putovými) pvky v jeho skutečné geometii a vlastnostech (zejména nelineáních), duhým je vhodná náhada působení zásypu jinými metodami (např. náhadním silovým zatížením). Hlavní zásadou při tvobě numeického modelu přitom zůstává, aby jeho chování odpovídalo skutečnému chování modelované konstukce. Pvní uvedený způsob, tedy kompletní numeický model mateiálu zásypu a klenby (viz např. Ob. 4), poskytuje obecně lepší výsledky, v nichž jsou při spávném zadání automaticky zahnuty vlivy výstavby a povozu mostu (mía překonsolidace zásypu, oznášení dopavního zatížení mateiálem zásypu, apod.). Klíčovým faktoem je volba vhodných mateiálových modelů zeminy (např. hypoplastický, moh-coulombův) a zdiva (nelineání model mateiálu zahnující změnu tuhosti konstukce v závislosti na jejím namáhání) a definice styčné spáy mezi zeminou a řádově tužší zděnou klenbou. Po spávné nastavení mateiálových modelů je obvykle potřeba povedení alespoň základního diagnostického půzkumu, odebání vzoků a povedení základních zkoušek mateiálů. Z hlediska inženýských aplikací je hlavní nevýhodou tohoto modelu celková složitost a skutečnost, že jej zpavidla není možné sestavit v běžně používaných pogamech po analýzu stavebních 9

14 konstukcí. Celá situace je zpavidla navíc komplikována chabými znalostmi o konstukci, kdy jsou obvykle známy jen vnější ozměy konstukce a ostatní ozměy (mocnost zásypu, tloušťka klenby, tloušťka křídel, atd.) je nutno odhadovat. Uvedené skutečnosti a nejistoty ve vstupních paametech mateiálových modelů použití komplexního modelu konstukce značně komplikují. Výsledky výpočtu jsou tak z uvedených důvodů zatíženy nepřesnostmi, jejichž velikost lze zpavidla jen odhadovat. To staví výsledky získané těmito modely na úoveň výsledků modelů zjednodušených. Duhý způsob modelování, tedy vhodnou náhadu působení zásypu, lze ealizovat celou řadou způsobů. Nejvíce používanými metodami jsou náhada působení zásypu silovým, defomačně závislým, zatížením a náhada působení zásypu pužným podepřením klenbové konstukce na zasypaných částech, přičemž tuhost podepření je závislá na velikosti a směu zatlačení defomované klenbové konstukce do zásypu. Stanovení velikosti náhadního zatížení nebo tuhosti podepření přitom zpavidla vychází ze zavedených postupů mechaniky zemin, příp. z povedených zkoušek. Výhodami těchto modelů jsou značné zjednodušení celé úlohy z hlediska výpočtu a aplikace ověřených postupů při stanovení působení zásypu s klenbovou konstukcí. Nevýhody lze spatřovat jednak ve složitější implementaci poměnných zatížení (esp. tuhosti) do výpočtu v ámci běžných pojekčních pogamů a jednak v omezených možnostech aplikace modelu v případě obecného mateiálu zásypu (soudžné zeminy). Další dobnou nevýhodou modelu je způsob zavedení poměnného zatížení působícího na povchu vozovky, jehož působení je nutno stanovit odděleně, např. vhodnými metodami mechaniky zemin. Řadu výše uvedených nevýhod náhady působení zásypu klenby lze v případě běžných inženýských aplikací odstanit vhodnými opatřeními, např. předepsáním použití konkétního mateiálu zásypu konstukce. Při výběu vhodné metody náhady působení zásypu se pak uplatní i celkové chaakteistiky mostu. Potože zděné klenbové konstukce mají vysokou eálnou tuhost (maximální defomace konstukce jsou v řádu jednotek milimetů), je po modelování zásypu klenby zvolena náhada působení zásypu silovým, defomačně závislým zatížením. 4 NAVRŽENÝ MODEL PŮSOBENÍ ZÁSYPU V INŽENÝRSKÝCH APLIKACÍCH 4.1 Všeobecně Při stanovení náhadního působení mateiálu zásypu v inženýských aplikacích se zpavidla používají klasické postupy mechaniky zemin. Zásyp klenbové konstukce je v naposté většině aplikací tvořen dobře zněným nesoudžným a nenamzavým mateiálem, což zajišťuje vhodné chování konstukce při povozu a záoveň značně zjednodušuje modelování jeho chování. Při stanovení mateiálových chaakteistik zásypu je z inženýského hlediska nutno uvažovat nejhoší možné chaakteistiky mateiálu z hlediska dlouhodobého chování konstukce (poměnná hladina spodní vody, poměnný stupeň satuace, mía ulehlosti atd.) a jejího nejnepříznivějšího možného zatížení. Z tohoto důvodu se v modelu zeminy uvažují zpavidla efektivní chaakteistiky, přičemž soudžnost c se zhusta zanedbává. Působení zásypu klenby lze z hlediska modelu konstukce ozdělit na několik samostatných částí, kteé působí současně na mateiálově nelineání model klenby, a to v závislosti na jejím tvau (viz např. [1]): Zatížení mateiálem zásypu (svislé i vodoovné) v klidovém stavu Zatížení od dopavy (svislé i vodoovné) Reakce od zatlačení konstukce (vodoovné) 4. Působení zásypu v klidovém stavu Při modelování působení zásypu na nosnou konstukci v klidovém stavu (stav konstukce zatížené pouze stálým zatížením) se předpokládají zcela minimální defomace konstukce a vodoovné účinky zatížení f h se uvažují jako klidové (viz Ob. 5). Účinky zatížení f v působícího ve svislém směu se ovnají vlastní tíze mateiálu nadloží, kteá je závislá na mocnosti přesypávky a 10

15 objemové tíze zeminy z. Ve vodoovném směu se zatížení f h stanoví v závislosti na svislém napětí v zemině od vlastí tíhy gz a součiniteli zemního tlaku v klidu K 0. S ohledem na obecně známé defomační chování zemin a jejich stuktuní paměť lze konstatovat, že zásadním faktoem ovlivňujícím náhadní zatížení konstukce v klidovém stavu je mía zhutnění (překonsolidace) mateiálu zásypu (viz Ob. 6 a publikace [7]). Toto zhutnění vzniká během výstavby konstukce, kdy je mateiál zásypu klenby hutněn na napětí hut. Mía překonsolidace je potom vyjádřena součinitelem překonsolidace OCR. v, max OCR (1) Součinitel OCR vyjadřuje pomě maximálního svislého napětí v,max dosaženého v celé histoii konstukce (zásypu) ke svislému napětí v aktuálním stavu v (zpavidla napětí od vlastní tíhy nadloží gz ). Vlivem maximálního svislého napětí v,max, kteé na zeminu v minulosti působilo, totiž došlo k modifikaci vnitřní stuktuy zeminy a její chování v obou napětí menších než v,max je potom silně odlišné od chování nomálně konsolidované zeminy (N.C.), tj. mateiálu se součinitelem OCR = 1,0 (viz Ob. 6). Maximální svislé napětí v,max dosažené v histoii zásypu se po stanovení součinitele OCR uvažuje jako větší z hodnot svislého napětí od hutnění hut a svislého napětí od vlastní tíhy zeminy gz. v f f v h B B Ob. 5: Náhadní zatížení mateiálem zásypu klenbového pasu šířky B v klidovém stavu v h Ob. 6: Vliv překonsolidace na chování zeminy (N.C. nomálně konsolidovaná, O.C. překonsolidovaná) Z úovně počáteční napjatosti (definované součinitelem OCR) je v závislosti na efektivním úhlu vnitřního tření stanoven součinitel bočního tlaku v klidu K 0,OC, a to podle vztahu (). Při stanovení součinitele K 0,OC současně platí, že jeho maximální hodnota je ovna součiniteli pasivního zemního tlaku K p stanoveného po příslušný mateiál zásypu (viz kapitola 4.4). sin' K0, OC (1 sin' ) OCR K p () Hodnoty vodoovného napětí v zásypu h (esp. vodoovného zatížení konstukce f h ) jsou potom stanoveny na základě mocnosti zásypu, esp. na velikosti svislých napětí v zemině v = gz podle vztahu (3). h K gz K (3) 0 0 v Příklad stanovení součinitelů OCR, K 0 a půběhy vodoovného zatížení f h v hutněném zásypu v závislosti na hloubce pod teénem a napětí od hutnění hut je uveden na Ob. 7. Získané výsledky jsou v souladu s dalšími autoy, kteří se poblematikou zabývali (viz [5] a [6]). 11

16 Svislé napětí v [kpa] 0,0 10,0 0,0 30,0 0,0 40,0 0,0 Součinitel OCR 0,0 5,0 10,0 15,0 0,0 0,0 Součinitel K 0 0,0 1,0,0 3,0 0,0 0,0 Vodoovné napětí h [kpa] 5,0 10,0 15,0 0,0 0, sigma gz 0, 0, 0, Hloubka pod teénem [m] 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 sigma hut 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 O.C. N.C. 1,6 1,6 1,6 1,6 1,8 1,8 Ob. 7: Příklad stanovení klidového vodoovného napětí h s vlivem překonsolidace (O.C.) v hutněném zásypu ( hut = 0 kpa) a jeho poovnání s půběhem po nomálně konsolidovanou zeminu (N.C.) 1,8 1,8 4.3 Působení zásypu při poměnném zatížení dopavou Poměnné zatížení dopavou je po klenbové mosty (zejména malých ozpětí) chaakteistické svým ychlým půběhem a zpavidla velmi kátkým tváním. Z hlediska zatížení zeminy se jedná o zatížení okamžité, v případě satuované zeminy je zatížení dopavou zpavidla klasifikováno jako zatížení nedénované (neodvodněné). Poměnné zatížení dopavou působí na povchu zásypu, kde je v naposté většině případů povedena konstukce vozovky. Konstukce vozovky je tvořena kytem vozovky a zpevněnými podkladními vstvami, jejichž základní funkcí je oznesení (distibuce) zatížení F z kontaktní plochy kola vozidla A w do zeminy zásypu klenby. Minimální tloušťka vozovkového souvství je podle předpisu platného v ČR (Technické podmínky TP170 MD ČR) cca 400 mm. Při uvážení základní návhové tíhy kola 150 kn a dotykové ploše A w o ozměech 0,4 x 0,4 m (viz model zatížení 1 v ČSN EN 1991-) je kontaktní napětí na spodním líci vozovkového souvství cca 130 kpa. Toto napětí se přibližuje eálným hodnotám napětí hut dosahovaným při hutnění zásypu konstukce běžnými postředky (např. vibační pěch), a lze poto předpokládat, že chování zásypu bude v obou působení poměnného zatížení dopavou přibližně lineání (viz Ob. 6). Ob. 8: Distibuce poměnného zatížení od dopavy na konstukci klenby a stanovení šířky pasu B 1

17 Z uvedených skutečností plyne, že po stanovení distibuce dopavního zatížení na klenbovou konstukci lze s dostatečnou přesností použít metod založených na předpokladu lineáního chování mateiálu zásypu. V inženýské paxi se nejvíce používá silně zjednodušeného a konzevativního předpokladu lineáního oznášení zatížení mateiálem zásypu klenby pod úhlem (90 ) viz Ob. 8. Roznášení zatížení vozovkovými vstvami se uvažuje pod úhlem 45. Distibuce svislého zatížení f v,dop musí splnit podmínku, aby výslednice zatížení působila v místě aplikace kolového tlaku. Ve vodoovném směu se působící zatížení f h,dop stanoví ze vztahu (4). f h, dop K 0 fv, dop (4) Po stanovení distibuce dopavního zatížení na klenbu lze využít i další modely (např. Boussinesque fomula), vždy je však nutné uvážit vliv okajových podmínek, tj. vliv řádově tužšího podloží tvořeného klenbou nacházející se v malé hloubce pod teénem. To však není, s ohledem na poměnnou hloubku tuhého podloží, obecně snadné. 4.4 Působení (eakce) zásypu při defomaci konstukce Je obecně známo, že defomací klenbové konstukce, tj. jejím zatlačováním/oddalováním do/od mateiálu zásypu, se mění náhadní silové působení zásypu na klenbu (viz např. [8]). Nejsnáze lze tyto změny popsat teoií zemních tlaků známou z mechaniky zemin, esp. metodou závislých tlaků (viz [8]). Po inteakci zásypu klenby s nosnou konstukcí (klenbou) se přitom předpokládá, že defomací klenby je ovlivněna pouze vodoovná složka zatížení zeminou f h (přitom je soudžnost c zanedbána). Svislé zatížení zásypem f v zůstává i během defomace klenby konstantní, ovné zatížení od vlastní tíhy zásypu klenby f gz. Extémní (mezní) náhadní silové zatížení klenby zásypem je přitom dáno maximálními možnými vodoovnými tlaky, kteé může zemina přenést. Tyto tlaky jsou obecně závislé na vlastnostech mateiálu zásypu. Potože mateiál zásypu klenby je tvořen nesoudžnými zeminami, jsou po stanovení mezních vodoovných tlaků využity klasické vztahy odvozené z Rankinovy teoie zemních tlaků a odpovídají smykovým únosnostem na kitických smykových plochách. Minimální hodnota vodoovného zatížení f h,min přitom odpovídá aktivnímu zemnímu tlaku (součinitel K a ) podle vztahu (5), hodnota maximální f h,max potom pasivnímu zemnímu tlaku (součinitel K p ) podle vztahu (6). f h, min K a v B (5) f h, max K p v B (6) Velikosti mezních součinitelů zemních tlaků K a a K p po nesoudžné zeminy podle Rankinovy teoie jsou definovány vztahy (7) a (8). ' K tg 45 (7) a ' K p tg 45 (8) Obecně je velikost vodoovného zatížení, esp. příslušného součinitele bočního tlaku K, závislá na zatlačení konstukce (klenby) do zásypu viz Ob. 9. Zatlačení do zásypu se obvykle definuje elativní hodnotou u/h, vztaženou k mocnosti (výšce) zásypu h v daném místě. Absolutní hodnota defomace (zatlačení) konstukce do zásypu po plnou aktivaci pasivního tlaku je přitom cca 5-kát větší než defomace po plnou aktivaci aktivních hodnot bočního tlaku. Křivka závislosti bočního tlaku na zatlačení konstukce do zásypu je po nomálně konsolidovanou zeminu (OCR = 1) uvedena na Ob

18 K K p K a K u/h Ob. 9: Obecný půběh závislosti součinitele bočního tlaku na elativním zatlačení klenby do zásypu (nomálně konsolidovaná zemina) Po účely výpočtu je obecná křivka z Ob. 9 nahazena multi-lineání závislostí podle [4]. Z hlediska konstukce a působení zásypu má zásadní význam po hodnoty vodoovného tlaku při zatlačení konstukce hutnění zásypu během výstavby a povozu (definované součinitelem OCR), kteé zásadně ovlivňuje hodnoty součinitele bočního tlaku v klidu K 0. Základní křivka závislosti bočního tlaku na zatlačení (OCR = 1 v Ob. 10) je poto modifikována s ohledem na počáteční hodnoty K 0 stanovené podle kap. 4.. Modifikace je povedena tak, že po stanovený součinitel K 0 se vyhledá odpovídající elativní zatlačení do zeminy (u/h) 0 a část křivky mezi nulovým zatlačením a hodnotou (u/h) 0 se odstaní. Hodnota K a a odpovídající poměné oddálení od zeminy (u/h) a přitom zůstává zachováno (je konstantní po všechny hodnoty OCR). Příklady půběhů modifikovaných křivek po ůzné hodnoty OCR, esp. ůzné hodnoty K 0, jsou uvedeny na Ob. 10. Součinitel vodoovného tlaku [ ] 3,50 3,00,50,00 1,50 1,00 0,50 0, ,01 0 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 Relativní zatlačení do zeminy [ ] Ob. 10: Závislosti součinitele vodoovného tlaku K na zatlačení do zeminy po ůzné hodnoty OCR (počáteční hodnoty K 0 ) IMPLEMENTACE MODELU ZÁSYPU DO MODELU KONSTRUKCE Potože odpo zeminy zásypu poti zatlačení je po výše uvedený model nelineání, vede jeho použití k nutnosti použití nelineání analýzy konstukce. Tato skutečnost není při výpočtu na závadu, potože i model vlastní klenby je mateiálově nelineání a pobíhá tedy po kocích. V jednotlivých (lineáních) kocích výpočtu se vždy stanoví defomace konstukce od zatížení a z ní elativní zatlačení/oddálení klenby do/od mateiálu zásypu. Na základě dosažené elativní defomace mateiálu zásypu se stanoví odpovídající součinitel bočního tlaku K a z něj potom 14

19 odpovídající náhadní vodoovné zatížení zděné klenbové konstukce. Upavená hodnota bočního zatížení f h se potom zavede do dalšího koku výpočtu. Kitéiem po ukončení iteačního výpočtu je dosažení dostatečně malé změny bočního zatížení f h mezi kokem i a (i+1). Konvegence metody je vzhledem k chaakteu poblému a obvyklým napjatostním poměům v konstukci ychlá. Příklad konvegence implementované metody je uveden na Ob. 13. Jak vyplývá z výše uvedeného textu, je implementace modelu zásypu do konstukčního modelu nosné konstukce jednoduchá, po jednodušší vaianty běžně používaných inženýských aplikací ji lze nahadit manuální změnou bočního zatížení zaváděného do statického výpočtu konstukce. V ámci páce na níže uvedeném gantovém pojektu byla tato metoda inteakce implementována do jednoduchého pogamu vytvořeného autoem, kteý používá putovou vaiantu metody konečných pvků po ovinnou analýzu klenbových konstukcí. Vlastní model klenby je mateiálově nelineání a zohledňuje ozevíání thliny ve zděném půřezu. Závislost součinitele vodoovného tlaku K na zatlačení do zeminy se stanovuje zvlášť po každý uzel modelu konstukce, při uvážení individuální výšky zásypu a příslušné hodnoty součinitele OCR. Po ilustaci ychlosti konvegence popsané metody je povedena numeická analýza segmentové klenbové konstukce světlosti s = 4,5 m s přesypávkou mocnosti minimálně 0,5 m (viz Ob. 11) podle kitéií uvedených v [3]. Zatížení konstukce je bodové F = 50 kn působící ve středu ozpětí (ve vcholu) klenby. Výsledné defomace po 8-mi kocích výpočtu jsou uvedeny na Ob. 1, vývoj zatlačení konstukce klenby do zásypu v místě největší vodoovné defomace (viz Ob. 11) je uveden na Ob. 13. Z půběhu zatlačení je patné, že po 8-mi kocích výpočtu jsou defomace již ustáleny a výpočet je ukončen. Defomovaný tva konstukce 3,000,500 Defomovaný tva Pův.tva,000 1,500 1,000 0,500 Ob. 11: Geometie klenbového mostu 0,000-3,000 -,000-1,000 0,000 1,000,000 3,000 Ob. 1: Defomace konstukce Zatlačení do zeminy [mm] 4,1E 0 4,0E 0 3,9E 0 3,8E 0 3,7E 0 3,6E 0 3,5E 0 3,4E 0 3,3E Kok výpočtu Ob. 13: Vývoj zatlačení konstukce do zásypu v půběhu analýzy konstukce 15

20 6 ZÁVĚR V ámci páce na níže uvedeném gantovém pojektu byl definován model inteakce hutněného zásypu s přesypanou zděnou klenbovou konstukcí. Uvedený model byl implementován do numeického modelu konstukce a je v současnosti ověřován v paxi. PODĚKOVÁNÍ Pojekt byl ealizován za finanční podpoy ze státních postředků postřednictvím Technologické agentuy České epubliky. Registační číslo pojektu je TA LITERATURA [1] FOGLAR, M., KŘÍSTEK, V. Cente-line optimisation of buied ach bidges. Poceedings of the Institution of Civil Enginees: Bidge Engineeing, 165 (3), 01, pp [] DRAHORÁD, M., POSCH, M. Stanovení maximální povozního zatížení zděných klenbových mostů s přesypávkou, In: Modelování v mechanice, Sboník příspěvků, Ostava, 007, s [3] ČSN P Navhování zděných mostních konstukcí, ÚNMZ, 01 [4] ČSN Zemní tlak na stavební konstukce, ÚNMZ, 1990 [5] BROMS, B.B, Lateal Eath Peassues due to Compaction of Cohesionless Soils, 4th Confeence on Soil Mechanics and Foundantions Engineeing, Budapest 1971, pp [6] CLOUGH, G.W., DUNCAN, J.M, Eath Peassues. Foundantion Engineeing Handbook, Spinge London [7] ATKINSON, J.H., The Mechanics of Soils and Foundantions, New Yok : Routledge, 007 [8] BARTÁK, J, BUCEK, M., Zemní tlaky na tenkostěnné ostění přesypaných staveb- 11. Geotechnické symposium, Znojmo 1991, pp Oponentní posudek vypacoval: Pof. Ing. Juaj Kálik, PhD., Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, STU v Batislave. Doc. Ing. Jiří Božovský, Ph.D., Kateda stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB-TU Ostava. 16

21 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 03 Ľudovít FILLO 1, Jaoslav HALVONIK, Vikto BORZOVIČ 3 PRETLAČENIE LOKÁLNE PODOPRETÝCH BETÓNOVÝCH STROPNÝCH A ZÁKLADOVÝCH DOSIEK PUNCHING OF CONCRETE FLAT AND FOUNDATION SLABS Abstakt V píspevku je pezentovaná poblematika petlačenia lokálne podopetých betónových stopných a základových dosiek. V píspevku sú tiež uvedené haničné hodnoty maximálnej šmykovej odolnosti pedmetných konštukcií s kehkým a náhlym spôsobom poušenia. Pezentované sú gafy pe návh húbky lokálne podopetých stopných a základových dosiek v závislosti od veľkosti zaťaženia, ozpätia a stupňa vystuženia. Klíčová slova Petlačenie, lokálne podopetá stopná a základová doska, kehké poušenie, eťazové zútenie. Abstact Pape deals with punching phenomenon of einfoced concete flat and foundation slabs. Thee ae pesented limits of maximum punching esistance of these stuctues with bittle and sudden mode of failue. Thee ae also pesented gaphs fo design of flat and foundation slab thicknesses, depending on an intensity of load, span length and einfocement atio. Keywods Punching, flat and foundation slab, bittle failue, pogessive collapse. 1 ÚVOD Vzhľadom na ozsiahly výskum pôsobenia lokálne podopetých dosiek 1,,3, pe ktoé je typický náhly spôsob poušenia navhla Subkomisia CEN/TC50/SC limity maximálnej šmykovej odolnosti takýchto konštukcií. Jednotlivé členské štáty CEN upavili tieto obmedzenia do svojich náodných píloh. V píspevku uvádzame tieto obmedzenia a ich vplyv na návh minimálnej húbky lokálne podopetých stopných dosiek a základových dosiek. 1 Pof. Ing. Ľudovít Fillo, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, Slovenskej technickej univezity v Batislave, Radlinského 11, Batislava, tel.: (+41) , ludovit.fillo@stuba.sk. Pof. Ing. Jaoslav Halvonik, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, Slovenskej technickej univezity v Batislave, Radlinského 11, Batislava, tel.: (+41) , jaoslav.halvonik@stuba.sk. 3 Ing. Vikto Bozovič, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, Slovenskej technickej univezity v Batislave, Radlinského 11, Batislava, tel.: (+41) , vikto.bozovic@stuba.sk. 17

22 PRETLAČENIE LOKÁLNE PODOPRETEJ DOSKY Na ob.1 je schematicky znázonené petlačenie lokálne podopetej dosky, ktoé môže nastať poušením tlakovej diagonály (dvenie betónu) alebo šmykovo ťahovým poušením betónu, esp. šmykovej výstuže v uvažovanom kontolnom obvode. Limity uvedené vzťahom (1) a (3) sa týkajú celkovej šmykovej odolnosti a túto hodnotu nemožno pekočiť aj za pedpokladu silnejšieho vystuženia šmykovou výstužou. f d 1 f d,3 u u 0 cack zcos z/sin cack zcos d 1 h z d d 1 d V Rd 1 Stut failue u 1 A 1 u 0 Shea failue A 0 c 3 Stud failue c 1 Ob.1: Model petlačenia lokálne podopetej stopnej dosky 1-poušenie tlakovej diagonály v obvode u 0 (dvenie vzpey); -ťahové poušenie betónu obvod u 1 ; 3-ťahové poušenie šmykovej výstuže obvod u 1 Dvenie vzpey na obvode stĺpa u 0 je kontolované tlakovou pevnosťou betónu, pozi vzoec (1). v fck, fck [ MPa] v 18 V 0 f (1) Ed Ed, max vrd,max, 4 u0d Nový limit pi kontolnom obvode u 1 vychádza z odolnosti v petlačení bez šmykovej výstuže Rd,c, pozi vzoec (). Maximálna odolnosť v petlačení zohľadňujúca aj zvislú šmykovú výstuž v ámci základného kontolného obvodu sa nemá uvažovať väčšia ako k max. Rd,c, pozi vzoec (3). Ak je Rd,cs k max. Rd,c,potom Ed nesmie byť väčšie ako k max. Rd,c. Hodnota k max závisí od typu šmykovej výstuže, pičom pe šmykové tŕne s obojstanne ozkovanou hlavou minimálneho piemeu 3 sa môže uvažovať k max = 1,9, kde je pieme tŕňa. Viac pozi STN EN /NA a 4. Poteba zavedenia tohto limitu vyplynula z expeimentálneho výskumu, ktoý ukázal, že pi použití kvalitnejších betónov dochádza k pedčasnému poušeniu pvku bez toho aby bolo dosiahnuté ozdvenie tlakovej diagonály aj keď teoetický model pedpokladal tento spôsob poušenia. cd

23 v v 0,18 1/3 1/ 100 f 0, k 3/ f Rd, c k l ck 035 C 1,5. d A. f 0 sin kmax vrd, c (3) sw ywd,ef Rd, cs,75. vrd,c. s u1. d 3 NÁVRH HRÚBKY STROPNEJ DOSKY Na základe nových limitov šmykovej odolnosti v petlačení stopných lokálne podopetých dosiek boli vypočítané a definované gafy pe návh húbky dosky v závislosti na ozpätí (osovej vzdialenosti stĺpov), na veľkosti zaťaženia a na stupni vystuženia 7. Na základe ob. až ob.5 je možno navhnúť minimálnu húbku lokálne podopetej dosky stĺpom štvocového pieezu o hane 300 a 500 mm, pe vzdialenosti stĺpov 8 m, pe betón tiedy C5/30, esp. C35/45 a kytie výstuže betónom 5 mm. Húbka dosky je závislá aj od vystuženia hlavnou hoizontálnou výstužou v gafoch sú to čiay pe stupne vystuženia = 0,00; 0,01 a 0,0. ck () Ob.: Návh húbky lokálne podopetej stopnej dosky - betón C5/30 Ob.3: Návh húbky lokálne podopetej stopnej dosky - betón C35/45 19

24 Pe ozme pieezu stĺpa 300 mm a ozpätie 8 m podľa ob., pi návhu húbky dosky 50 mm, by celkové návhové zaťaženie bolo obmedzené pi stupni vystuženia = 0,01 (duhé obmedzenie šmykovej odolnosti stopnej dosky) na hodnotu f d = 16 knm -, pičom f d je návhové zaťaženie pe ozhodujúcu kombináciu stálych a pemenných zaťažení. V tomto pípade ozhodujúce je však kitéium dvenia tlakovej diagonály - vzpey, ktoé obmedzuje zaťaženie dosky na hodnotu f d 13 knm -. Pi výpočte účinku zaťažení bol uvažovaný fakto pe vnútone stĺpy 1,15. Pi návhu húbky dosky 50 mm pe betón tiedy C35/45 (ob.3), by celkové návhové zaťaženie bolo obmedzené pi stupni vystuženia = 0,01 (duhé obmedzenie šmykovej odolnosti stopnej dosky) na hodnotu f d = 18 knm -, kde aj kitéium dvenia tlakovej diagonály obmedzuje zaťaženie dosky na hodnotu cca f d 18 knm -. Ob.4: Návh húbky lokálne podopetej stopnej dosky - betón C5/35 Pe ozme pieezu stĺpa 500 mm a ozpätie 8 m (ob. 4) je pi návhu húbky dosky 50 mm celkové návhové zaťaženie obmedzené pi stupni vystuženia = 0,01 na hodnotu f d 19 knm - (f d je návhové zaťaženie pe ozhodujúcu kombináciu stálych a pemenných zaťažení). V tomto pípade kitéium dvenia tlakovej diagonály nie je ozhodujúce f d knm -. Ob.5: Návh húbky lokálne podopetej stopnej dosky - betón C35/45 0

25 Pi návhu húbky dosky 50 mm pe betón tiedy C35/45 (Ob.5), by celkové návhové zaťaženie bolo obmedzené pi stupni vystuženia = 0,01 na hodnotu f d = knm -, kde kitéium dvenia tlakovej diagonály neozhoduje o únosnosti dosky f d 30 kn.m -. Ak by stupeň vystuženia pozdĺžnou výstužou bol = 0,0, bolo by možno pi návhu húbky dosky uvažovať s celkovým návhovým zaťažením f d 7 knm -. Vplyv vyššej pevnostnej tiedy betónu je zejmý z poovnania ob. a ob.3 a tiež z poovnania ob. 4 a ob.5. Pi návhu húbky dosky 50 mm je pe betón tiedy C5/30 návhové zaťaženie f d = 13 knm - a pe betón tiedy C35/45 návhové zaťaženie f d =18 knm -. Odolnosť lokálne podopetej dosky v petlačení je možno takto zvýšiť o cca 5 knm -, čo pedstavuje 8 %. 4 PRETLAČENIE ZÁKLADOVEJ DOSKY Na ob. 6 je schematicky znázonené petlačenie lokálne zaťaženej základovej dosky, poušenie tlakovej diagonály pi obvode okolo stĺpa u 0 a šmykovo - ťahové poušenie betónu v duhom 0,5d až n - tom kontolnom obvode ohaničenom vzdialenosťou d. Uvádzané obmedzenia sa týkajú opäť celkovej šmykovej odolnosti a túto hodnotu nemožno pekočiť aj za pedpokladu vyššieho vystuženia šmykovou výstužou. M Ed a=d/ u 1 1=63 a=d N Ed a=d u =7 V Ed u z/sin u 0 V Rd u 0 z/sin h f d 1 zcos d 1 thlina V RdD thlina 1 V RdT V RdT A u u 0 A 0 c c 1 Ob.6: Model petlačenia lokálne zaťaženej časti základovej dosky 1

26 Pvé obmedzenie šmykovej odolnosti základovej dosky vychádza z oveenia šmykovej odolnosti v kontolnom obvode u 0 - okolo stĺpa, kde ide o dvenie betónu v tlačenej diagonále. v V f f (4) Ed ck Ed, max 0 vrd,max 0,4.0,6. 1. u0. d 50 Duhé obmedzenie šmykovej odolnosti základovej dosky vychádza z oveenia šmykovej odolnosti betónu v kontolných obvodoch u i (i = 1 až n) a odolnosť v týchto kontolných obvodoch sa nesmie uvažovať väčšia ako k max násobok šmykovej odolnosti betónu Rd,ca. Maximálna šmyková odolnosť v petlačení základových pätiek, esp. dosiek so šmykovou výstužou, sa vypočíta a obmedzuje podľa vzoca (5) pe kontolné obvody vzdialené od líca stĺpa 0,5d a d. Píspevok šmykovej výstuže v tejto oblasti navhujeme stanoviť ako hodnotu podľa vzoca (6). Pe kontolné obvody vo vzdialenosti a d platia vzoce () a (3). Šmyková sila V Ed (a) sa vypočíta od zaťaženia (eakcia zemného tlaku), ktoé leží za oblasťou ohaničenou kontolným obvodom u(a). aved a d d ved a vrd,csa 0,75vRd,c vrd,s a kmax. vrd,c (5) u( a) d a a v Rd,s a 5 NÁVRH HRÚBKY ZÁKLADOVEJ DOSKY 0,75a Asw f ywd,ef sin s (6) u( a) d Pe ozme pieezu stĺpa o hane 300 mm a osovej vzdialenosti stĺpov 88m podľa ob.7, by pi návhu húbky základovej dosky 900 mm z betónu C30/37, nastalo poušenie v tlakovej diagonále pi celkovom piemenom napätí v základovej škáe cg = 60 kn/m.v tomto pípade je ozhodujúce pvé obmedzenie šmykovej odolnosti (4). Pe ozme pieezu stĺpa o hane 500 mm a osovej vzdialenosti stĺpov 8 8 m podľa ob.8, by pi návhu húbky základovej dosky 900 mm, nastalo poušenie v tlakovej diagonále pi celkovom piemenom napätí v základovej škáe cg = 100 knm -. Pi výpočte sa pedpokladalo ovnomené ozdelenie napätí v základovej škáe, možné poušenie tlakovej diagonály v obvode u 0 alebo ťahové poušenie betónu v kontolných obvodoch 0,5d až d. Kytie výstuže bolo uvažované 50 mm. cd Ob.7: Návh húbky lokálne zaťaženej základovej dosky stĺp 300/300 mm

27 Ob.8: Návh húbky lokálne zaťaženej základovej dosky - stĺp 500/500 Únosnosť lokálne zaťaženej základovej dosky je možno zvýšiť o cca 40 % (40 kn/m ) pi zväčšení ozmeu štvocového stĺpa z 300 na 500 mm. Rd acit cit a ved max a (7) v cit Z analýz petlačenia základových dosiek tiež vyplynulo, že pe základovú dosku betónu tiedy C30/37, ozme štvocového stĺpa 500 mm a vzdialenosť stĺpov 8 m boli pe ôzne húbky základovej dosky ozhodujúce nasledovné kitické kontolné obvody: Tab. 1: Poloha kitických obvodov stanovených podľa vzťahu (7) h a c h a c h a c h a c h a c mm mm mm mm mm 400 3,5d 600,5d 800 1,75d ,3d 100 1,0d 6 ZÁVER V píspevku je pezentovaná poblematika betónových lokálne podopetých stopných dosiek a lokálne namáhaných základových dosiek a pätiek. Uvedené sú obmedzenia maximálnej šmykovej odolnosti v petlačení. Na základe uvedených obmedzení (hodnota k max bola uvažovaná 1,9 pe šmykovú výstuž vo fome šmykových tŕňov) boli vytvoené gafy pe návh minimálnej húbky lokálne podopetých stopných dosiek a základových dosiek v závislosti od veľkosti zaťaženia, ozpätia a stupňa vystuženia hlavnou výstužou. Z pezentovaných gafov je zejmé že limit založený na hodnote k max bude ozhodovať o minimálnej húbke dosky z betónov vyššej pevnostnej tiedy, s menším množstvom hlavnej výstuže nad/pod stĺpom a pe dosky podopeté stĺpmi s väčšími ozmemi piečneho ezu. Naopak, limit založený na zlyhaní tlakovej diagonály bude ozhodujúci u dosiek vyobených z betónov nižšej pevnostnej tiedy, s väčším množstvom hlavnej výstuže a menšími ozmemi pieezu stĺpa. POĎAKOVANIE Pojekt bol ealizovaný za finančnej podpoy Vedeckej gantovej agentúy Ministestva školstva a vedy SR. Registačne číslo pojektu je VEGA č. 1/0690/13. 3

28 LITERATÚRA [1] RUIZ M.F. -MUTONI A.:Application of Citical Shea Cack Theoy to Punching of RC Slabs with Tansvese Reinfocement. ACI Stuctual Jounal V.106 No.4, July August 009, pp [] FEIX J. -HAUSLER F. - WALKNER R.:Necessay Amendments to the Rules fo Punching Design Accoding to EN In: Poceedings of Wokshop Design of Concete Stuctues and Bidges using Euocodes, Batislava 011, pp.1-7. [3] HEGGER J. - SIBURG C.: Punching Compaison of Design Rules and Expeimental Data.In: Poceedings of Wokshop Design of Concete Stuctues using EN , Pague 010, pp [4] BUJŇÁK J. -GAVURA S.: On the maximum esistance of slabs einfoced against failue by punching Punching Compaison of Design Rules and Expeimental Data.In: Poceedings of Wokshop Design of Concete Stuctues using Euocodes, Pague 01, pp [5] REGAN P.E.:Shea Reinfocement of Flat Slabs.In: Poceedings of Intenational Wokshop on Punching Shea Capacity of RC Slabs, TRITA/BKN, Bulletin 57, 000, pp [6] BIRKLE G.: Punching of Flat Slabs: The Influence of Slab Thickness and Stud Layout.Depatment of Civil Engineeing, Univesity of Calgay, Calgay, AB, Canada, 004, 15pp. [7] DRŽÍKOVÁ, D. FARKAŠOVÁ,K.: Upavené kitéiá pe petlačenie stopných a základovýchdosiek.páca ŠVK, Batislava 013, 0s. Oponentní posudek vypacoval: Doc. Ing. Miloš Zich, Ph.D., Ústav betonových a zděných konstukcí, Fakulta stavební, VUT v Bně. Ing. Matin Kižma, PhD., Ústav stavebníctva a achitektúy, Slovenská akadémia vied, Batislava. 4

29 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 04 Jaoslav HALVONIK 1, Ľudovít FILLO PRETLAČENIE PRÍČINY HAVÁRIE V KOMPLEXE TRINITY PUNCHING THE REASONS OF FAILURE IN COMPLEX TRINITY Abstakt Píspevok je venovaný objasneniu píčin zútenia nosnej konštukcie gaáži v polyfunkčnom komplexe Tinity, ktoé nastalo v júli oku 01 v Batislave. Lokálne zlyhanie stešnej dosky malo za následok úplnú deštukciu päť poschodovej budovy, ktoej stopné konštukcie boli navhnuté ako lokálne podopeté dosky. Klíčová slova Petlačenie, lokálne podopetá doska, kehké poušenie, eťazové zútenie. Abstact Pape deals with claifying of the easons of ca gaage stuctual collapse in multifunctional complex Tinity in Batislava which occued in Batislava in July 01. Local failue of oof slab caused total destuction of five stoey building, whee floos wee designed as RC flat slabs. Keywods Punching, flat slab, bittle failue, pogessive collapse. 1 ÚVOD V nedeľu 1. júla 01 v anných hodinách došlo k zúteniu stopných konštukcií gaáži obchodno-obytného komplexu Tinity v Batislave. Nakoľko zútená časť nebola skolaudovaná, nedošlo našťastie ku state na ľudských životoch ani ku zaneniam osôb. POPIS KONŠTRUKCIE Polyfunkčný komplex Tinity tvoia ti dilatačné celky A,B,C. Každý dilatačný celok pozostáva zo suteénov, podnoží a obytnej časti, pozi ob.1. Stopné konštukcie suteénov, ktoé slúžia ako gaážové státia a podnoží v ktoých majú byť situované obchodné pevádzky pedstavujú lokálne podopeté dosky húbky 0 mm, okem dosky nad 1.PP, ktoej húbka je zväčšená na 350 mm a v mieste stĺpov ďalej zosilnená hlavicami húbky 500 mm. Dosky sú väčšinou podopeté stĺpmi mm, alebo kuhovými stĺpmi s 600 mm a pod obytnou časťou mm. Dosky majú maximálne ozpätia 7,56,0 m. Obytnú časť tvoia ti výškové budovy s, esp. 6 poschodiami, kde je navhnutý stenový nosný systém. V súčasnosti je dokončený dilatačný celok A, hubá stavba dilatačného celku B a pi dilatačnom celku C sú dokončené podnože. 1 Pof. Ing. Jaoslav Halvonik, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, Slovenskej technickej univezity v Batislave, Radlinského 11, Batislava, tel.: (+41) , jaoslav.halvonik@stuba.sk. Pof. Ing. Ľudovít Fillo, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, Slovenskej technickej univezity v Batislave, Radlinského 11, Batislava, tel.: (+41) , ludovit.fillo@stuba.sk. 5

30 Dilatačný celok A Dilatačný celok B Zútená časť objektu Ob. 1: Modely nosnej konštukcie komplex Tinity DC A a DC B 6

31 Ob. : Celkový pohľad na deštukciu 5 podlažnej budovy Ob. 3: Pohľad na deštukciu 5 podlažnej budovy 7

32 3 ZLYHANIE KONŠTRUKCIE V objekte dilatačného celku B sa zútila časť, ktoá mala slúžiť ako pakovací dom a wellness. Stecha objektu bola navhnutá ako zelená s pemennou vstvou zeminy húbky od 1050 do 1350 mm. Táto vstva zeminy bola umiestnená na lokálne podopetej doske húbky len 00 mm, pozi ob.4. Stešná doska bola podopetá stĺpmi mm. Rozpätia polí boli pemenné, stedné pole 7,55,5 m, kajné polia 4,755,5 m, esp. 6,755,5 m. Stopné dosky mali húbku 0 mm a nakoľko v tom čase neboli zaťažené (okem vlastnej tiaže) dalo sa pedpokladať, že ako pvá sa zútila silne zaťažená stešná doska a sthla ostatné stopné konštukcie tak, že v mieste objektu vznikol káte hlboký viac ako 30 m, pozi ob.. Oblasti bez šmykovej výstuže B A Oblasti so šmykovou výstužou Ob. 4: Pôdoys zútenej konštukcie Chaakteistický tva pouchovej zóny v okolí stĺpov, pozi ob.5, naznačil, že k zlyhaniu došlo v dôsledku petlačenia stešnej dosky. Zlyhanie malo kehký chaakte a bolo pogesívne - eťazové, t.j. petlačenie dosky okolo pvého stĺpa spôsobilo peťaženie oblasti susedných stĺpov a takto sa postupne poucha ozšíila po celej konštukcií. Pád stešnej dosky potom spôsobil postupne zútenie ďalších stopov. 8

33 4 ANALÝZA PRÍČIN ZRÚTENIA KONŠTRUKCIE Pe účely zistenia píčin pádu konštukcie bola uobená statická analýza, ktoá zahŕňala výpočet účinkov zaťaženia na stešnú dosku a výpočet šmykovej odolnosti v petlačení. Ob. 5: Chaakteistický tva pouchovej oblasti v okolí stĺpa 4.1 Účinky zaťaženia Stešná doska bola pi zútení okem vlastnej tiaže, zaťažená ostatným stálym zaťažením s intenzitou až 19,0 kn/m. Ostatné stále zaťaženie tvoili izolačné vstvy a tiaž zemného substátu húbky 1,05 až 1,35 m. Je potebné zdôazniť, že objemová hmotnosť substátu bola značne pemenná v závislosti od nasýtenosti vodou. Pi nafúkavaní substátu na stechu bola objemová hmotnosť len 900 kg/m 3. V statickom výpočte bola uvažovaná 1410 kg/m 3, ale zistená po páde konštukcie až 1670 kg/m 3. S vodou nasýtenom stave naástla objemová hmotnosť až na 1760 kg/m 3. Zaťaženie dosky potom pedstavovali: Vlastná tiaž dosky húbky 00 mm... 5,0 kn/m Izolačne vstvy húbky 30 mm... 1,5 kn/m Zemný substát pi základnej húbke 1,05 m - Pojektovaná obj. tiaž: 14,1 kn/m 3 plošné zaťaženie... 14,8 kn/m - Zistená pi zlyhaní: 16,7 kn/m ,5 kn/m - Vodou nasýtená: 17,6 kn/m ,5 kn/m Navyše opoti navhovanej húbke 1,05 m bol substát vymodelovaný do kopcov s maximálnou húbkou až 1,35 m. Peto ostatné stále zaťaženie sa menilo v závislosti od uvažovanej objemovej tiaže substátu od: - 14,8 18,9 kn/m pi pojektovanej objemovej tiaži - 17,5,6 kn/m pi objemovej tiaži v čase zlyhania konštukcie - 18,8 3,7 kn/m pi objemovej tiaži vodou nasýteného substátu. Pemenné zaťaženie na doske bolo pedpokladané,0 kn/m. Návhové zaťaženie stešnej dosky podľa ČSN : f d = 1,1.5,0 + 1,.1,5 + 1,.15,1 + 1,4.,0 = 8, 33,3 kn/m f d = 31,6 37,6 kn/m (s obj. tiažou pi zlyhaní) f d = 3,7 39,0 kn/m (vodou nasýtený) 9

34 Návhové zaťaženie stešnej dosky podľa STN EN 1990 (zväčšenie o cca 11) f d = 1,35.(5,0+1,50+14,8) + 1,5.0,7.,0 = 31,3 37,0 kn/m f d = 35,0 40,0 kn/m (s obj. tiažou pi zlyhaní) f d = 36, 43,4 kn/m (vodou nasýtený) Zaťaženie pi zlyhaní konštukcie: f qp = 5,0 +1,50 +17,5 = 4,0 9,1 kn/m Účinky zaťažení na konštukciu boli analyzované s použitím FEM modelu stešnej dosky. Vnútoné sily boli vybaté v oblasti dvoch stĺpov A a B podľa ob.4, ktoé pedstavujú dve kitické oblasti. Pvá epezentuje oblasti vystužené šmykovou výstužou a duhá oblasti bez šmykovej výstuže. Sily použité pe oveenie petlačenia sú zhnuté v tab.1 až tab Odolnosť konštukcie v petlačení Stešná doska bola navhnutá z betónu pevnostnej tiedy C5/30 (B30). Piemená hodnota účinnej výšky d v oblasti nad stĺpmi bola 155 mm, hlavná výstuž 0 mm po 150mm v oboch smeoch. Niektoé oblasti v okolí stĺpov boli vystužené šmykovou výstužou, ktoú tvoili dva obvody šmykových tŕňov 10 mm v počte 1 ks (ad stĺpov A na ob.4). Niektoé oblasti boli bez šmykovej výstuže (ad stĺpov B na ob.4). Odolnosť v petlačení bola vypočítaná podľa nomy ČSN a STN EN a to s návhovými aj stednými hodnotami pevnosti mateiálov. Šmykové odolnosti v petlačení sú zhnuté v tab.1 až tab Oveenie spoľahlivosti V tab.1 sú účinky zaťažení a odolnosti stanovené ako návhové s pedpísanou úovňou spoľahlivosti podľa nomy STN EN Aj keď šmyková sila V Ed pôsobiaca v oblastí bez šmykovej výstuže B je menšia ako v oblasti so šmykovou výstužou A, pe veľké nevyovnané momenty, ktoé sa vnášajú do stĺpov bolo šmykové namáhanie.v Ed takme identické pe obe oblasti. Vďaka absencií šmykovej výstuže bola šmyková odolnosť v petlačení v oblasti B pekočená o viac ako 300, kým v pípade oblasti so šmykovou výstužou bolo pekočenie odolnosti o 111. Tab. 1: Oveenie odolnosti v petlačení podľa EC návhové hodnoty Stĺp V Ed M Exd M Eyd.V Ed V Rd.V Ed /V Rd [kn] [kn.m] [kn.m] [kn] [kn] [] A , B , V tab. je poovnanie s modelmi pe oveenie odolnosti v petlačení v zmysle STN EN , ale s použitím C = 1,0 a v Rm,c 1,19.v Rk,c, pozi [3. Na konštukcií bolo uvažované zaťaženie, ktoé tam bolo eálne v čase kolapsu stešnej dosky. Vidíme, že kým v oblastiach so šmykovou výstužou sú účinky zaťaženia poovnateľné s odolnosťou, v pípade oblastí bez šmykovej výstuže účinok zaťaženia pekačuje odolnosť o 60. Tab. : Oveenie odolnosti v petlačení podľa EC stedné hodnoty Stĺp V E M Ex M Ey.V E V Rk V Rm.V E /V Rm [kn] [kn.m] [kn.m] [kn] [kn] [kn] [] A , B ,

35 V tab.3 je posúdenie v zmysle pôvodných československých noiem ady ČSN s výpočtovým (návhovými) hodnotami. Opäť možno konštatovať, že aj keď šmyková sila Q d v okolí uvažovaného stĺpa je v oblastiach vystužených šmykovou výstužou väčšia ako v oblastiach bez šmykovej výstuže, skutočné šmykové namáhanie.q d je veľmi podobné. V tomto pípade pe obidve oblasti pekočenie únosnosti v petlačení pedstavuje cca 30. Dôvodom je skutočnosť, že kontolný obvod uvažovaný v ČSN nome je vo vzdialenosti h/ = 100 mm od líca podpey, kým v modeloch EC až.d = 310 mm. Takže v ámci pvého kontolného obvodu bolo možne v modeloch nomy ČSN uvážiť len jeden obvod šmykových tŕňov, kým v pípade EC modelu až dva obvody. Záoveň v modeloch ČSN sa edukuje píspevok betónu Q bu na polovicu, ak sa uvažuje s píspevkom šmykovej výstuže do odolnosti. Tab. 3: Oveenie odolnosti v petlačení podľa STN návhové hodnoty Stĺp Q d M Ex M Ey.Q d Q ud.q d /Q ud [kn] [kn.m] [kn.m] [kn] [kn] [] A , B , V tab.4 sú účinky zaťažení vypočítané s eálnym zaťažením na stešnej doske a odolnosti so stednými hodnotami pevnosti mateiálov. Nap. pi výpočte Q bu je návhová pevnosť betónu v ťahu R btd = 1, MPa nahadená stednou hodnotou pevnosti R btm =,7. V pípade modelu ČSN sa vypočítané odolnosti viac piblížili účinkom pôsobiaceho zaťaženia. Na pvý pohľad by sa mohlo zdať že model ČSN je pesnejší ako model EC, ale nie je to celkom tak, nakoľko v lokálne podopetých doskách vznikajú membánové sily, ktoé zvyšujú šmykovú odolnosť v petlačení a tento efekt ani jeden z modelov nevystihuje. Tab. 4: Oveenie odolnosti v petlačení podľa STN stedné hodnoty Stĺp Q m M Ex M Ey.Q m Q um.q m /Q um [kn] [kn.m] [kn.m] [kn] [kn] [] A , B , ZÁVER Na základe pomene jednoduchej analýzy bolo možne konštatovať, že píčinou zútenia objektu gaáži v obchodno-obytnom cente Tinity bolo petlačenie stešnej dosky spôsobené veľkým stálym zaťažením najmä od vstvy zemného substátu, ktoého húbka sa pohybovala v ozmedzí 1,05 až 1,35 m. Poucha sa začala zejme šíiť od oblasti stĺpa, označeného ako B na ob.4. Petlačením dosky týmto stĺpom došlo k postupnému peťaženiu susedných oblasti a následnému pádu stešnej dosky na nižšie položené stopne konštukcie a nakoniec celkovému kolapsu časti budovy. Pekočenie šmykovej odolnosti v petlačení bolo viac ako 3 násobné v zmysle požadovanej úovne spoľahlivosti podľa Euokódov a,5 násobné v zmysle požiadaviek noiem ČSN. Ak sa poovnali skutočné účinky zaťaženia so stednými hodnotami šmykovej odolnosti tak v pípade oblasti bez šmykovej výstuže boli stále odolnosti pekočené o 60 podľa modelu EC a o 30 podľa modelu nomy ČSN Je peto viac ako podivuhodné, že stešná doska vydžala takto veľké zaťaženie viac ako 8 mesiacov, aj keď veľkosť zaťaženia sa postupne zvyšovala zväčšujúcou sa vlhkosťou zemného substátu. Našťastie vďaka ekonomickej kíze stavba meškala niekoľko okov a piestoy dilatačného celku B neboli v čase haváie skolaudované. Šťastím bolo tiež, že k zúteniu došlo v nedeľu v anných hodinách takže v piestooch objektu sa nikto nenachádzal. Záveom chceme zdôazniť že píspevok nemal ambíciu vysvetliť pečo došlo k tak fatálnemu 31

36 poddimenzovaniu stešnej dosky, ale skô poukázať na závažnosť fenoménu petlačenia pi navhovaní lokálne podopetých doskových konštukcií. POĎAKOVANIE Pojekt bol ealizovaný za finančnej podpoy Vedeckej gantovej agentúy Ministestva školstva a vedy SR. Registačne číslo pojektu je VEGA č. 1/0690/13. LITERATÚRA [1] RUIZ,M.F.- MUTTONI,A. Applicationof Citical Shea Cack Theoy to Punching of RC Slabs with Tansvese Reinfocement. ACI Stuctual Jounal V.106 No.4, July August 009, pp [] FEIX,J.- HAUSLER,F.- WALKNER,R.: Necessay Amendments to the Rules fo Punching Design Accoding to EN In: Poceedings of Wokshop Design of Concete Stuctues and Bidges using Euocodes. Batislava 011, pp.1-7. [3] HEGGER,J.- SIBURG,C.: Punching Compaison of Design Rules and Expeimental Data. In Poceedings of Wokshop Design of Concete Stuctues using EN Pague 010, pp [4] BILČÍK, J. FILLO, Ľ. BENKO, V. HALVONÍK, J.: Betónové konštukcie. Navhovanie podľa EN Batislava 008, 374s. Oponentní posudek vypacoval: Doc. Ing. Václav Cepek, CSc., Ostava. Doc. Ing. Matin Moavčík, Ph.D., Kateda stavebných konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, Žilinská univezita v Žiline. 3

37 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 05 Jana LABUDKOVÁ 1, Radim ČAJKA POROVNÁNÍ EXPERIMENTÁLNĚ NAMĚŘENÉ DEFORMACE DESKY NA PODLOŽÍ A VÝSLEDKŮ 3D NUMERICKÉHO MODELU COMPARISON OF EXPERIMENTALLY MEASURED DEFORMATION OF THE PLATE ON THE SUBSOIL AND THE RESULTS OF 3D NUMERICAL MODEL Abstakt Cílem článku je poovnání sedání základu naměřeného při expeimentu a sedání získaného z 3D modelu na bázi MKP. Při tvobě postoového numeického modelu s využitím 3D pvků je poblematické zejména spávně stanovit velikost modelované oblasti představující podloží, zvolit okajové podmínky a velikost konečnopvkové sítě. V paametické studii zpacované ze 168 vaiant modelů je znázoněna gafická závislost svislých defomací na zmíněných paametech modelu podloží. Klíčová slova Základové konstukce, podloží, inteakční modely, kontaktní napětí, inteakce základ podloží, 3D model MKP. Abstact The pupose of this pape is to compae the measued subsidence of the foundation in expeiments and subsidence obtained fom FEM calculations. When using 3D elements fo ceation of a 3D model, it is, in paticula, essential to choose coectly the size of the model aea which epesents the subsoil, the bounday conditions and the size of the finite element netwok. The paametic study evaluates impacts of those paametes on final defomation. The paametic study is conducted of 168 vaiant models. Keywods Foundation stuctue, soil stuctue inteaction, inteaction models, contact stess, 3D FEM element. 1 ÚVOD V důsledku nesouladu vypočtených a skutečných hodnot sedání základů se povádí výzkumy a expeimentální měření zaměřená na sedání základové půdy pod stavbami, defomace základových desek a závislost napětí v základových deskách na chaakteistikách podloží. Výsledky dosažené při expeimentech slouží ke zpřesnění metod výpočtů sedání. O inteakci základových konstukcí s podložím je také pojednáno v [5, 6, 8, 9, 16, 19]. V oce 01 byl v aeálu Fakulty stavební VŠB TU Ostava uskutečněn expeiment [3]. Hodnoty sedání naměřené během zatěžovací zkoušky byly následně poovnány s hodnotami vypočtenými pomocí inteakčních modelů s postoovými pvky na bázi MKP [1,, 18]. Tyto 1 Ing. Jana Labudková, Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , jana.labudkova@vsb.cz. Pof. Ing. Radim Čajka, CSc., Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , adim.cajka@vsb.cz. 33

38 výpočty jsou povedeny po několik vaiant, kteé se liší velikostí modelované oblasti podloží a okajovými podmínkami. EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ Předmětem vytvořeného modelu byla zatěžovací zkouška pováděná na zkušebním zařízení v aeálu Fakulty stavební VŠB TU Ostava. Testovací zařízení umožňuje povádět expeimentální měření přetvoření i napjatosti a při vzájemné inteakci základových konstukcí s podložím lze sledovat napěťově-defomační vztahy [3]. Zkušebním vzokem byla pefabikovaná betonová dlaždice. Betonová dlaždice byla zvolena po jednoduchost při povádění expeimentu zaměřeného na ověření zkušebních metod a zařízení. Rozměy této betonové dlaždice jsou 500 x 500 x 48 mm. Honí vstva podloží je tvořená spašovými hlínami s konzistencí třídy F4 a její mocnost je cca 5 m. Během zkoušky pováděné v čevnu 01 byla betonová deska upostřed zatěžována tlakem vyvozeným hydaulickým lisem. Rozměy zatěžované plochy byly 100 x 100 mm a v době poušení mělo zatížení hodnotu 18,640 kn. Další měření související s inteakcí základových konstukcí a podloží jsou popsána v [4, 7]. Ob. 1: Zkušební vzoek a jeho centické zatěžování 3 TVORBA MODELU V PROGRAMOVÉM SYSTÉMU ANSYS Po betonovou desku, kteá je modelována jako plocha se zadanou tloušťkou desky, je použit plošný pvek SHELL 181. Podloží je modelováno s využitím postoového pvku SOLID 45. Pvek SOLID 45 umožňuje řešit lineání i nelineání analýzy konstukce s velkými defomacemi, dotvaováním a zplastizováním. Velikost pvků sítě je odlišná po řešenou oblast podloží a plochu desky, u kteé je použita hustší síť. Řešení kontaktních úloh na bázi MKP je uvedeno také v [14, 17]. Ob. : 3D model v pogamu ANSYS; deska z postého betonu na podloží 34

39 Aby byly účinky zatížení působícího na základovou desku přeneseny do podloží, je nutné vytvořit jejich vzájemný kontakt a definovat kontaktní plochu. Kontaktní plocha epezentuje styk desky s podložím a je chaakteistická tím, že přenáší pouze tlakovou sílu. Vzhledem k tomu, že se jedná o jednostannou vazbu, vstupuje do výpočtu konstukční nelineaita, kteá vyžaduje iteační postup řešení a analýza je automaticky nelineání. Kontakt je zpostředkován pomocí kontaktního páu TARGE 170 CONTA 173. Ke kontaktu dochází v momentu, kdy pvky jednoho povchu ponikají do povchu duhého. Numeická řešení kontaktních úloh jsou popsána také v [10, 11, 1, 13, 15]. Na kontaktní ploše je zanedbán vliv tření mezi deskou a podložím. Součinitel tření je tedy nulový. Při řešení úlohy byla zanedbána vlastní tíha zemního masivu i betonové desky. Vlastní tíha zeminy by měla vliv na výslednou hodnotu absolutních veličin (sednutí). Na hodnotu elativních veličin má vliv jen v případě nelineání analýzy. 3.1 Paametická studie Velikost modelované oblasti představující podloží a okajové podmínky jsou paamety modelu, kteé mají při řešení tojozměné postoové úlohy výazný vliv na výsledné defomace. Byly vytvořeny čtyři vaianty s odlišnými okajovými podmínkami (Ob. 3). Všechny vaianty byly následně poovnány a byl sledován vliv okajových podmínek na výsledné veličiny, kteými jsou defomace vzniklé při inteakci desky s podložím, vnitřní síly a kontaktní napětí [1,, 18]. Ob. 3: Vaianty okajových podmínek Vzájemné poovnávání ůzných vaiant modelů bylo povedeno ze čtyř hledisek. Pvním z nich byl vliv zvolených okajových podmínek na defomace (vaianty A, B, C, D). Na Ob. 4 (vlevo) je patný vliv a význam okajových podmínek na výsledné svislé defomace. Největší ozdíly ve vypočtených hodnotách svislé defomace v závislosti na ostoucí hloubce bylo dosaženo po vaiantu okajových podmínek A. Po vaiantu C jsou okajové podmínky v uzlech obvodových stěn modelu podloží natolik významné, že defomace téměř nezávisí na hloubce modelu podloží [1,, 18]. Svislé defomace w [mm] 0 17,5 15 1,5 10 7,5 Vaianta A Vaianty B, D Vaianta C 5,5 5,0 7,5 Hloubka [m] Ob. 4: Gaf závislosti svislých defomací na zvolených okajových podmínkách (vlevo) a na hloubce modelu podloží (vpavo) 35

40 Duhým sledovaným paametem je závislost defomací na poměnné hloubce namodelovaného podloží při zachování stejného půdoysného ozměu podloží. Zvětšuje-li se hloubka modelu podloží, zvětšují se i výsledné svislé defomace. Na Ob. 4 (vpavo) je zřejmé, že čím je větší hloubka modelovaného podloží, tím je větší ozdíl mezi defomacemi vypočtenými po jednotlivé vaianty okajových podmínek. S ostoucí hloubkou modelu podloží se tedy volba okajových podmínek stává ozhodujícím kitéiem ovlivňujícím výsledné svislé defomace[1,, 18]. Třetím sledovaným hlediskem je závislost defomací na poměnné velikosti půdoysné plochy podloží, když je zachovaná stejná hloubka. Z Ob. 5 (vlevo) vyplývá, že po všechny vaianty okajových podmínek jejich vliv slábne se zvětšující se půdoysnou plochou podloží. Z Ob. 5 (vlevo) lze vyvodit závě, že při dostatečné velikosti půdoysných ozměů modelu podloží nezáleží na volbě okajových podmínek. Při posledním poovnání byl sledován vliv celkové velikosti postoového modelu podloží na defomace. Z Ob. 5 (vpavo) vyplývá, že čím je větší řešená oblast, tím jsou větší také defomace. To platí bez ohledu na to, zda tento náůst defomací ovlivňuje převážně hloubka nebo půdoysné ozměy modelu podloží [1,, 18]. Svislé defomace w [mm] Vaianta A Vaianta B Vaianta C Vaianta D Svislé defomace w [mm] 11,0 10,5 10,0 9,5 9,0 8,5 Vaianta A Vaianta B Vaianta C Vaianta D 0 0,5x0,5 1,0x1,0,5x,5 5,0x5,0 Půdoysné ozměy modelu [m] Ob. 5: Gaf závislosti svislých defomací na půdoysných ozměech modelu (vlevo) a na celkové velikosti modelu podloží (vpavo) 8,0,50 x,50 x,50 3,75 x 3,75 x 3,75 5,00 x 5,00 x 5,00 Velikost podloží [m] 3. Závislost svislých defomací na půdoysných ozměech a hloubce modelu podloží Po naznačení závislosti svislých defomací na půdoysných ozměech a hloubce modelu podloží byla použita vaianta okajových podmínek A. Ob. 6: Vliv půdoysných ozměů modelovaného podloží a jeho hloubky na svislé defomace 36

41 Nejychlejší náůst svislých defomací s hloubkou je po takové půdoysné ozměy podloží, kteé jsou totožné s velikostí desky. V takovém případě je totiž vliv okolní zeminy zanedbán a svislé defomace se mění ve stejném poměu jako hloubka oblasti. Se zvětšující se půdoysnou plochou, a tedy ostoucím vlivem okolní zeminy, je náůst svislých defomací s hloubkou pomalejší a není zachován pomě náůstu hloubky a defomací (Ob. 6, Tab. 1). Při tvobě modelu v pogamu ANSYS byla použita síť o velikosti pvku 0,1 x 0,1 x 0,1 m [18]. Tab. 1: Vliv půdoysných ozměů modelovaného podloží a jeho hloubky na svislé defomace Hloubka [m] Půdoysné ozměy modelovaného podloží [m] 1,5 x 1,5 1,0 x 1,0 0,5 x 0,5,5 5,0 7,5 37

42 3.3 Výsledná napjatost a defomace desky Na základě paametické studie a vlivu jednotlivých paametů 3D modelu na celkové defomace byl vytvořen model podloží o ozměech,5 x,5 x,5 m, s velikostí sítě 0,05 x 0,05 x 0,05 m a okajovými podmínkami vaianty D. Výsledná napjatost a defomace jsou uvedeny na následujících obázcích. Na Ob. 7 jsou vykesleny celkové defomace, ze kteých je patný vliv okajových podmínek, kteé zabaňují hoizontálním posunům obvodových stěn modelu a vetikálním posunům podstavy modelu podloží. Na obázku je také vykeslen vetikální řez vedený středem modelu podloží [18]. Ob. 7: Model ANSYS: Celkové defomace desky, vetikální řez podložím [m]; Rozdělení kontaktního napětí je zaznamenáno na Ob. 8 až Ob. 10. Podle předpokladu dochází ke koncentaci kontaktního napětí po obvodu betonové desky a v jejich ozích, kde napětí pudce naůstá [18]. To je možné sledovat také v příčném a šikmém řezu betonovou deskou. Špičky představující ostoucí kontaktní napětí lze v pogamu ANSYS omezit. Ob. 8: Model ANSYS: Kontaktní napětí a vyznačení řezů [Pa] 38

43 Ob. 9: Model ANSYS: Kontaktní napětí příčný řez A A [Pa] Ob. 10: Model ANSYS: Kontaktní napětí šikmý řez B B [Pa] Svislá složka napětí v podloží σ z je vykeslena na Ob. 11. Čeveně zbavené oblasti znázoňují tahová napětí zeminy v místě poklesové kotliny. Při modelování konstukce je důležitá zejména volba mateiálového modelu a následné zadání paametů zeminy. Na Ob. 11 je povedeno sovnání lineáního a nelineáního mateiálového modelu. Při lineáním výpočtu není zohledněna oblast a způsob možného poušení. Nelineání mateiálový model je poveden s využitím modelu Ducke Page, díky kteému je možné lépe vystihnout chování zeminy a popsat ozdíl mezi tahovou a tlakovou pevností. Ob. 11: Model ANSYS: Sovnání napětí σ z lineáního a nelineáního mateiálového modelu 39

44 Při nelineání analýze dochází při překočení podmínky plasticity k tvalým defomacím. Po model podloží velikosti,5 x,5 x,5 m, jehož síť měla velikost 0,1 x 0,1 x 0,1 m nebyly mezi lineáním a nelineáním mateiálovým modelem zjištěny žádné odchylky. Když byla ve stejném modelu konečnopvková síť zhuštěna na 0,05 x 0,05 x 0,05 m, extémní hodnoty napětí v tlaku i tahu naostly téměř na dvojnásobek. V tomto případě došlo ke zplastizování (Ob. 1) a výsledky použitého lineáního a nelineáního mateiálového modelu se lišily (Ob. 11). Po zplastizování se snížila tahová i tlaková napětí v zemině. V eálných podmínkách je zemina schopná přenášet v menší míře i tahová napětí. S tímto předpokladem také koesponduje použitá podmínka plasticity, ve kteé je vznik tahového napětí možný, jak je patné na Ob. 11. Ob. 1: Model ANSYS: Plastické defomace 4 ZÁVĚR Hodnoty defomací získané z 3D modelu s postoovými pvky vytvořeném v pogamu ANSYS mají velký ozptyl způsobený jednotlivými paamety. (Ob. 13) Ob. 13: Sovnání naměřených svislých defomací s výsledky získanými z několika 3D modelů v pogamu ANSYS 40

45 Ve sovnání s defomacemi naměřenými během expeimentu jsou defomace získané z modelů v pogamu ANSYS větší. Důvodem je mimo jiné fakt, že v modelech z pogamu ANSYS, není zohledněna stuktuní pevnost zeminy. Vlastnosti 3D modelu podloží odpovídají vlastnostem lineáně pužné hmoty. Je-li odhad velikosti řešené oblasti poveden na základě předem známé hloubky defomační zóny získané postřednictvím opavného součinitele přitížení m, je v takto vytvořeném 3D modelu nepřímo zohledněn odpo přitěžované zeminy poti přetvoření. Opavný součinitel m ovlivňuje stuktuní pevnost zeminy. Záoveň platí, že čím je opavný součinitel přitížení m menší, tím více se defomační chování zeminy blíží chování lineáně pužné hmoty. Pokud se hodnota m blíží nule, výsledky konvegují k výsledkům získaným z 3D modelů MKP. Při výpočtu sedání pužného polopostou modifikovaného pomocí stuktuní pevnosti, kteý je popsán v ČSN , byla získaná maximální hodnota sedání podloží pod středem desky 7,61 mm. Ve zmíněném výpočtu je sednutí podloží počítáno do hloubky defomační zóny z z. Významným paametem 3D modelu je také stupeň disketizace. Dělení modelu na konečné pvky má vliv na samotné výsledky a výsledný počet stupňů volnosti, čímž ovlivňuje výpočtový čas a objem výsledných dat. PODĚKOVÁNÍ Tento článek vznikl za finanční podpoy inteního gantu SGS číslo SP014/09. LITERATURA [1] CAJKA, R. & LABUDKOVA, J. Influence of paametes of a 3D numeical model on defomation aising in inteaction of a foundation stuctue and subsoil. 1st Intenational Confeence on High-Pefomance Concete Stuctues and Mateials (COSTMA '13). Budapest, Hungay, Decembe 10-1, 013, ISSN , ISBN [] CAJKA, R. & LABUDKOVA, J. Dependence of defomation of a plate on the subsoil in elation to the paametes of the 3D model. Intenational Jounal of Mechanics, 014 (in pint). [3] CAJKA, R. & KRIVY, V. & SEKANINA, D. Design and Development of a Testing Device fo Expeimental Measuements of Foundation Slabs on the Subsoil. Tansactions of the VSB - Technical Univesity of Ostava, Constuction Seies, Volume XI, Numbe 1/011, VSB - TU Ostava, Pages 1 5, ISSN (Online) , ISSN (Pint) DOI: /v , 011. [4] CAJKA, R. & FOJTIK, R. Development of Tempeatue and Stess duing Foundation Slab Conceting of National Supecompute Cente IT4, Pocedia Engineeing, Volume 65, 013, Pages 30-35, ISSN , doi: /j.poeng [5] CAJKA, R. & BURKOVIC, K. & BUCHTA, V. Foundation slab in inteaction with subsoil. Advanced Mateials Reseach. Volume , 014, Pages , ISSN: ISBN: , DOI: / [6] CAJKA, R., BURKOVIC, K., BUCHTA, V., FOJTIK, R. Expeimental soil - Concete plate inteaction test and numeical models, Key Engineeing Mateials. Volume , 014, Pages 33-36, ISSN: ISBN: , DOI: / [7] CAJKA, R. & MATECKOVA, P. & JANULIKOVA, M. Bitumen Sliding Joints fo Fiction Elimination in Footing Bottom. Applied Mechanics and Mateials, Volume 188, (01), pp. 47-5, ISSN: , ISBN: , DOI: / [8] CAJKA, R. Detemination of Fiction Paametes fo Soil Stuctue Inteaction Tasks. Recent Reseaches in Envionmental & Geological Sciences. Enegy, Envionmental and Stuctual Engineeing Seies No. 4, pp Poceedings of the 7th WSEAS 41

46 Intenational Confeence on Continuum Mechanics (CM 1). Kos Island, Geece, July 14-17, 01, pp , ISSN , ISBN [9] CAJKA, R. Geneal Contact Element using Jacobian of Tansfomation and Gauss Numeical Integation of Half-space. In Poceedings of the 3d Intenational Confeence on Mathematical Models fo Engineeing Science (MMES 1), WSEAS Pess, Pais, Fance, Decembe -4, 01, pp. 3-8, ISBN [10] CAJKA, R. Accuacy of Stess Analysis Using Numeical Integation of Elastic Half-Space (013), Applied Mechanics and Mateials, , pp ISSN: , ISBN: , DOI: / [11] CAJKA, R. Hoizontal Fiction Paametes in Soil Stuctue Inteaction Tasks. Advanced Mateials Reseach, Vol. 818 (013), pp , Tans Tech Publications, Switzeland, doi:10.408/ [1] CAJKA, R. Analysis of Stess in Half-space using Jacobian of Tansfomation and Gauss Numeical Integation. Advanced Mateials Reseach, Vol. 818 (013), pp , Tans Tech Publications, Switzeland, doi:10.408/ [13] CAJKA, R. Compaison of the calculated and expeimentally measued values of settlement and stess state of concete slab on subsoil. Applied Mechanics and Mateials. Volume , 014, Pages , ISSN: ISBN: , DOI: / [14] FRYDRYSEK, K. & JANCO, R. & GONDEK, H. Solutions of Beams, Fames and 3D Stuctues on Elastic Foundation Using FEM. Intenational Jounal of Mechanics, Issue 4, Volume 7, 013, pp [15] HALVONIK, J. & FILLO, L. The Maximum Punching Shea Resistance of Flat Slabs, Pocedia Engineeing, Volume 65, 013, Pages , ISSN , doi /j.poeng [16] JANULIKOVA, M. & STARA, M. Reducing the Shea Stess in the Footing Bottom of Concete and Masony Stuctues, Pocedia Engineeing, Volume 65, 013, Pages 84-89, ISSN , doi: /j.poeng [17] KRALIK, J. & JENDZELOVSKY, N. Contact poblem of einfoced-concete gide and nonlinea Winkle foundation. Intenational Confeence Geomechanics 93, Stata Mechanics/Numeical Methods/Wate Jet Cutting/Mechanical Rock Disintegation, Pages 33-36, Ostava, Czech Republic, Sep 8-30, ISBN X, Rottedam / Bookfield / [18] LABUDKOVA, J. Compaison of soil - foundation inteaction models with measued values, Maste Thesis, VSB TUO, Ostava, 013, 163 s. [19] MYNARCIK, P. Technology and Tends of Concete Industial Floos, Pocedia Engineeing, Volume 65, 013, Pages , ISSN , doi: /j.poeng Oponentní posudek vypacoval: Pof. Ing. Ludovít Fillo, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, STU v Batislave. Pof. Ing. Juaj Kálik, PhD., Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, STU v Batislave. 4

47 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 06 Jaoslav ODROBIŇÁK 1 VERIFICATION OF FLEXURAL BEHAVIOR AND SIMPLIFIED MODELING OF STEEL-CONCRETE COMPOSITE BRIDGE Abstact An expeimental veification of actual flexual behavio of composite steel-concete gide bidge is pesented. The compaison of the expeimentally obtained values with the values calculated using suitable computational model is also given in the pape. Intoduction of changes in stiffness of concete slab due to concete cacking into the global analysis is discussed, too. Keywods Steel-concete bidge, expeimental measuement, esult compaison, eal behavio, simplified modeling. 1 INTRODUCTION With the use of moden stuctual analysis compute pogams, the most eliable design altenative, poviding the most pobable esponse of a bidge stuctue due to a ange of designed loads, can be identified. Even though, many simplified technical appoaches ae outinely used in the application of theoies to pactice duing design and analysis pocess of bidges. Moeove, thee is usually lack of equied time to veify all details. Theefoe, a poof-load test is useful in cetain cicumstances, [1]. The main pupose is not to veify final design of the bidge but also to validate adopted assumptions of the designe. Actual eseves in load-caying capacity of the new bidge stuctue can be detemined afte test evaluation, []. Thus, poof-load test suppoted by finite analysis model might epesent the most poweful tool fo veification of eal behavio of bidges, [3]. The aim of pesented eseach, whose patial esults ae intoduced in this pape, was to veify the actual flexual behavio of a composite steel-concete bidge. ANALYZED BRIDGE STRUCTURE The eseach dealt with a oad bidge shown in Fig. 1 built acoss a highway. The analyzed supestuctue was manufactued as a fou-span continuous composite steel and concete stuctue, [4]. Because of an angula cossove and ach cuvatues of side oad appoaches, theoetical spans of left and ight main gides ae not equal. The left main gide has spans m, while in the case of ight gides the coesponding values ae m, Fig. 1. Moeove, the deck of the bidge follows the vetical ach cuvatue of the oad on the bidge, as well. The bidge supestuctue consists of the einfoced concete deck composed with the two plate gides of I-section axially 4.0 m spaced. The stuctual depth of the gides with the basic value 1300 mm in midspan egions is inceasing within the 6.5 m long linea haunches on both sides up to 1800 mm above intemediate suppots. Webs of the plate gides ae 1 mm thick in the span aeas and 16 mm thick above suppots, espectively. To save mateial, vaiable aea of both flanges 1 Ing. Jaoslav Odobinak, PhD., Depatment of Stuctues and Bidges, Faculty of Civil Engineeing, Univesity of Zilina, Univezitna 815/1, Zilina, Slovak Republic, phone: (+41) , jaoslav.odobinak@fstav.uniza.sk. 43

48 popotioned to the longitudinal couse of bending moments was used. The top flange acting with the concete deck is of the constant 350 mm width with the vaying thickness fom 5 to 50 mm. The bottom flanges of 650 mm width have thickness fom 30 mm in the span aeas to 40 mm above the pies. Fig. 1: Oveall view on the bidge (top) and top-view on the scheme of supestuctue (bottom) Tuss coss-fames consisting of hoizontal chods and diagonals made of HEB sections ensue the lateal stability of the plate-gide bidge and help to distibute the vetical loads. As end coss-beams a welded I-section of 1000 mm height was designed. Low-alloy stuctual cabon steel of gade S355J has been used fo steel bidge stuctual elements. Reinfoced concete of quality C35/45 was used in the slab. The slab is 33 mm thick in the middle pat with haunches towads the gides. In the oute pats, thickness of the slab deceases foms the value of 45 mm above the gides to the 07 mm at the ends of side cantileves. Shea stud connectos ø19/150 fom steel gade S35J at the inteface between the concete slab and stuctual steel should ensue a full composite action. 3 EXPERIMENTAL INVESTIGATION 3.1 Measued values Duing testing, the main gide s deflections in each span as well as the beaing settlements wee monitoed. In addition, the exta expeimental investigation using 0 stain gauges was caied out. The stains in two selected coss-sections wee obseved in the flanges of main gides, in the concete slab and in the bottom chod of bacings, espectively. The section almost in the middle of the longest (nd) span was chosen in sagging moment aea, just in the point, whee the middle intemediate bacing is joined. Fo monitoing stains in hogging moment aea, the same amount of gauges was installed in the bidge's coss-section in distance of 400 mm fom theoetical suppot above the middle pie. The aangement of stain gauges in coss-section and thei denotation ae shown in Fig.. Seveal of them ae also visible in Fig

49 Fig. : Coss-section of the bidge and stain gauges midspan S_LG above pie S_LG LG_TR LG_TR LG_BR LG_BL LG_BR Fig. 3: Real position of seveal gauges in the "midspan" and "above-pie" coss-section 3. Testing load Fo the pupose of the test, eight tucks Tata 815 with the aveage goss-vehicle weight of 8.0 tons with deviation of ±.0% wee at disposal. Fou load positions (load cases) epesented by the goup of these tucks wee consideed. Accoding to Fig. 4, load aangements LC-1 to LC-3 consisted of the goup of 5, 8 o 7 tucks, espectively, and wee placed within a span in ode to cause the maximum stessing and deflection of the loaded span. Actually, the applied test load epesents load efficiency η = 0.75~0.97 in deflections and η = 0.70~0.81 in bending moments as compaed to the values caused by taffic load given in the Euocode 1. The last load case LC-P consisted of two goups of fou vehicles situated along the bidge axis in the adjacent spans to the middle pie. In the case of suppot moment above middle pie, the load efficiency of such aangement is some η = A coect position of loads was detemined on the basis of influence sufaces of the deck investigated on spatial finite element models descibed in the next chapte. 45

50 LC LC- LC LC-P Fig. 4: Load cases - aangement of loies on the bidge Fig. 5: Photogaphy of load case LC-3 fom left side 4 GLOBAL ANALYSIS In the pesented fist stage of evaluation of obseved data, common FEM-based softwae was used. A spatial numeical model combining plate and beam elements was chosen. Both the concete slab and the steel gide wee appoximated consideing vaiability of thicknesses and heights. Intenal tuss diaphagms and end coss-gides wee consideed as the beam elements especting thei chaacteistics including appopiate eccenticities. As simplified modeling was the issue, no mateial nonlineaities wee adopted into the analysis. Similaly to the simplified method given in [5], the effect of cacks in concete was taken into account by neglecting the concete in some aea above the intemediate suppots. Fou concepts of modeling the concete slab in the hogging egions wee analyzed in the study. In the fist one, the invaiable flexual stiffness of the composite coss-section along the bidge length was thought (EI _uncacked). The second model allowed fo stiffness changes due to concete cacking in the hogging egions using simplified appoach accoding to [5] (EI_cacked). The last two models 46

51 (EI_semi A and EI_semi B) came fom an estimation of concete stiffness somewhee between the bodes epesented by the "cacked" and the "uncacked" analysis. division of the slab above pies Fig. 6: Left half of FEM model of the supestuctue and highlighted division of the slab above pies Thus, if cacks in concete ae taking into account, stiffness EI of composite sections should be educed. In pesented simplified models, linea analysis was applied. The stiffness eduction was made by modification of modulus of concete mateial E c,model used in the tansfomation models. In the Fig. 7, the values of slab modulus E c,model intoduced into the numeical model ae illustated as pecentage of modulus of "uncacked" einfoced concete slab E c+s Ecs Ecm E (1) s whee: E cm is modulus of elasticity of concete [N/mm ], E s is modulus of elasticity of einfocement [N/mm ], epesents einfocement atio [-]. 100% 80% Quasi eal - including einfocement P I Quasi eal - without einfocement 60% 40% 0% E R EI_cacked (EN) EI_semi_A EI_semi_B EI_uncacked 0% x/l mesued fom a pie Fig. 7: Modification of modulus of slab E c,model in numeical models in pecentage of E c+s It should be noticed that flexual behavio of the stuctue can be influenced by non-stuctual membes of the bidge, as well. Fo instance, the conices togethe with the steel handails should be implemented into an impoved tansfomation model, as they act as side beams of the concete slab. The influence of conices depends on conices' anchoing system and on conceting system and phases, especially. Paticulaly in the winte time, some stiffness of the bitumen layes can be consideed, as well. Since this aticle is dedicated to compaing expeiment with simplified modeling appoach, in ou case, we did not conside above mentioned effects. 47

52 4 RESULT COMPARISON Only small pat of esults is pesented in the pape. Anyway, conclusions ae based on the citical analysis of many othe esults, as well. 4.1 Deflections Compaison of the numeically obtained defomation of the gides with those obseved duing measuement is shown in Fig. 8. The values valid fo mid-span of the second and the thid bidge span ae confonted. Only thee load cases ae pesented in the Fig. 8. Compaison of gides' deflections indicates that in the case of analyzed bidge, the "uncacked" analysis can povide esults close to the measued values. The othe models with less concete stiffness above suppot poduced diffeences on both sides, with dependence on load position and analyzed span. left gide ight gide left gide ight gide Deflection in nd span [mm] LC - 3 LC - P LC - Deflection in 3d span [mm] LC - LC - P LC EXPERIMENT EI - 1_cacked EI - _semi A EI - 3_semi B EI - 4_uncacked Fig. 8: Mid-span deflections in two adjacent middle spans poduced by thee load cases: esults at the nd span ae on the left-hand side and esults at the thid span ae on the ight-hand side 4.1 Stains/stesses The stain measuements poved the elastic behavio of the composite steel and concete bidge duing testing. In the next figues, the compaison of stesses in the steel gides expessed fom the measued stains with the stesses obtained by means of the numeical calculations is pesented. The stesses at left gide (LG) and ight gide (RG) ae shown though the height of coesponding gide section in the case of two load cases. The stesses calculated fom measued stains in the case of tack aangement LC ae put in Fig. 9, while Fig. 10 shows the values valid fo the load case LC-P. Pesented values epesent the stesses tansfomed fom the data obseved in coesponding gauges at the top o bottom flanges, espectively. In the case of two gauges glued on flanges of the left gide, the aveage value is given. Unfotunately, a stain gauge glued to the bottom flange of ight gide (the gauge RG-B accoding to Fig. 3) in the midspan coss-section got out of ode duing the test. Thus, only one measued point though the gide's height in the midspan can be found in that case in the Fig. 9 o. Fig

53 Height of the gide [mm] pie LG pie RG midspan LG midspan RG EXPERIMENT EI_cacked EI_semi_A EI_semi_B EI_uncacked Fig. 9: Stesses though the gides height in the steel gides unde load case LC- Height of the gide [mm] pie LG pie RG midspan LG midspan RG EXPERIMENT EI_cacked EI_semi_A EI_semi_B EI_uncacked Fig. 10: Stesses though the gides height in the steel gides unde load case LC-P Similaly to deflection-based conclusion, it could be again stated that within the fou analyzed models, the "uncacked" analysis gave the stain/stess esults, which ae closest to the obseved ones. Analyses of the othe thee models with educed stiffness above pies poduced highe diffeences, especially in hogging moment egions. The obseved values of stains at the top of the gide in the intemediate suppot aea indicates that eithe the concete cacking has les influence on slab stiffness o the einfoced concete can tansfe moe tensile foces than pedictions coming fom common assumptions of the codes. 4 CONCLUSIONS The stain measuements poved the possibility of appoximating the composite bidge by means of combined plate-beam model poviding sufficiently accuate pediction of the supestuctue behavio, especially the gides within span aeas. It could be concluded, that among the fou analyzed models, the "uncacked" analysis with the constant stiffness of the einfoced bidge slab descibed the actual behavio of this composite bidge with the best accuacy, in geneal. The stesses in the gides above intemediate suppots ae influenced by effects like concete cacking, tension stiffening and einfocement yielding. Allowing fo these effects seems to be quite complicated without utilization of nonlinea analysis. A technique given in [6], when additional defomation loads supply effects of cacking in "uncacked" analysis, can be altenatively applied. Pobably, next eseach will focus on this aea. 49

54 Howeve, in the phase of bidge design it is necessay to ensue the safe detemination of the bidge esponse to action. In that case, the stiffness eduction in the hogging egions due to concete cacking and tension-stiffening of concete shell be given by the coesponding codes on consevative side to fulfill the equiement of the safe design of steel gide. Especially, in the case of two-gide bidge concept, when only one gide is loaded, the effect of the stiffness change in the hogging egions ove intenal suppots is moe stiking, [3]. The pesented expeimental obsevations wee done in the age of concete of 50 days. Thus, majoity of shinkage stains had aleady been peceded. It would be useful to epeat the expeimental measuement sometimes in the futue, to compae obtained esults. Afte decades, shinkage effect will aleady be subsided and most of ievesible stains developed. Paticulaly, the effect of cacking and development of cacks poduced by epeated loads would be also obseved. ACKNOWLEDGMENT The pape pesents esults of woks suppoted by the Slovak Reseach and Development Agency unde the contact No. APVV and by the Scientific Gant Agency of the Slovak Republic unde the poject No. 1/0364/1. LITERATURE [1] ODROBINAK, J. & VICAN, J. Behaviou analysis of composite motoway bidge duing poof-load test. In: Concete and Concete Stuctues, Poceedings of the 5th Intenational Confeence, Zilina. EDIS - Univesity of Zilina 009, pp ISBN [] CECHAKOVA, V., ROSMANIT, M. & FOJTIK, R. FEM Modeling and Expeimental Tests of Timbe Bidge Stuctue. Pocedia Engineeing (Steel Stuctues and Bidges 01, Slovakia). Elsevie, 01, Vol. 40 (01), pp ISSN [3] ODROBINAK, J., VICAN, J. & BUJNAK, J. Veification of composite steel-concete bidge behavio. Pocedia Engineeing (Concete and Concete Stuctues 013, Slovakia). Elsevie, 013, Vol. 65 (013), pp ISSN [4] Design documentation geneal dawings and technical epot. SO Bidge on highway D1 Hicovsky Channel in km Dopavopojekt Batislava, a.s., 008. [5] Euocode 4: EN 1994-: Design of Composite Steel and Concete Stuctues - Pat : Geneal Rules and Rules fo Bidges. CEN, Bussels, 005. [6] BUJNAK, J. & ODROBINAK, J. Cacking Of Concete Deck in Composite Stuctues. In: Euosteel 005: Reseach Euocodes Pactise, Poceedings of the 4th Intenational Confeence on Steel and Composite Stuctues, Maasticht. Velag-Mainz Aachen, 005, volume B, pp ISBN Reviewes: Ing. Mikolášek David, Ph.D., Depatment of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, VŠB-Technical Univesity of Ostava. Ing. Roman Šafář, Depatment of Concete and Masony Stuctues, Faculty of Civil Engineeing, Czech Technical Univesity in Pague. 50

55 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 07 Maie STARÁ 1, Matina JANULÍKOVÁ EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ PŘEDPJATÉHO ZDIVA S POUŽITÍM KLUZNÉ SPÁRY EXPERIMENTAL MEASUREMENTS OF PRESTRESSED MASONRY WITH USING SLIDING JOINT Abstakt Příspěvek se věnuje expeimentálnímu měření defomací v místě lokálního namáhání zdiva od dodatečného předepnutí. Měření jsou pováděna na zděném ohu, kteý je postaven v laboatoním zařízení. Laboatoní zařízení bylo navženo a vyobeno na Stavební fakultě VŠB-TUO v ČR a je učené po měření tojosé napjatosti zdiva. Do zdiva jsou vloženy dvě předpínací tyče umístěné v ůzných výškách a upevněny do kotevních desek, kteé slouží po přenos předpínacích sil do zdiva. Zděný oh je poveden v poměu ke skutečnosti 1:1. V patě zdiva je vložena asfaltová lepenka. Ta působí ve zdivu jako kluzná spáa a zajišťuje snížení smykového napětí v základové spáře zděných popř. betonových konstukcí. Získané výsledky jsou poovnány s výsledky zdiva bez použití kluzné spáy včetně komentáře vlivu kluzné spáy na předpínání zděných konstukcí. Klíčová slova Expeimentální měření, defomace, předpínání, zdivo, kluzná spáa. Abstact Contibution deals with expeimental measuements of defomations in the place exposed to local load caused by additional pe-stessing. The measuements ae made at the masony cone built in the laboatoy equipment. The laboatoy equipment was designed at Faculty of Civil Engineeing VSB TU Ostava fo measuement ti-axial stess-stain conditions in masony. In this masony cone two pe-stessing bas ae placed. These bas ae in diffeent height and ae anchoed to the ancho plates, which tansfe pe-stessing foces to the masony. The specimen fo laboatoy testing is pefomed in the popotion to the eality of 1:1. In the bottom pat masony is inseted asphalt stip. It opeates in the masony like a sliding joint and educes the shea stess at inteface between concete and masony stuctues. The esults ae compaed with the esults of masony without the use of sliding joints, including comment on the effect of sliding joints on the pe-stessing masony stuctues. Keywods Expeimental measuements, defomations, pe-stessing, masony, sliding joint. 1 ÚVOD Metoda snižování smykových napětí v základových spáách aplikací eologické kluzné spáy je účinná a snadno poveditelná v paxi. Kluzné spáy jsou obvykle tvořeny nataveným či volně 1 Ing. Maie Staá, Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , maie.staa@vsb.cz. Ing. Matina Janulíková, Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , matina.janulikova@vsb.cz. 51

56 položeným asfaltovým pásem na vyovnávací betonové vstvě, případně litým asfaltem či umělohmotnou fólií. Současné metody [1] návhu kluzných spá jsou s ohledem na stále se vyvíjecí nové mateiály již nedostačující a lze je použít pouze po oientační výpočty. Spávnost návhu eologické kluzné spáy je podmíněna zejména znalostí mechanické odezvy asfaltového pásu při dlouhodobě působícím smykovém zatížení, potože ve většině případů má na konstukce vliv především dlouhodobé přetváření. V ámci výzkumu Studentské gantové soutěže VŠB-TU Ostava je pováděno ověření vhodnosti po kombinování sanačního opatření pomocí dodatečného předpínání zdiva a současně použití kluzné spáy ve zdivu. Předpětí ve zdivu můžeme dosáhnout pomocí ocelových lan nebo táhel. Tyto ocelové pvky se vkládají do předem vyfézovaných dážek, kteé mohou být při vnějším nebo vnitřním líci zdiva. Konce ocelových pvků se upínají do ocelových úhelníků nebo speciálních kotev. U těchto způsobů ekonstukce je nutné dodžet postupy a technologie předpínání. Důležité je vhodně zvolit předpínací systém kotev, zvolit vhodné uspořádání a uložení předpínacích kabelů, učení postupu předpínání a stanovení velikosti předpínacích sil v jednotlivých kabelech. V dostupné liteatuře [~10] můžeme nalézt, na základě povedených expeimentů, dopoučené hodnoty poměu předpínací síly a pevnosti zdiva v tlaku kolmo a ovnoběžně s ložnou spáou. Konkétně v liteatuře [4;5;6] jsou uvedeny hodnoty, kteé jsou dosaženy ve svislém řezu hoizontálně předpjatého stěnového pásu. Po expeimentální zkoušky zdiva byly postaveny dva zkušební vzoky. Po přehlednost jsou označeny jako ZDIVO_1 a ZDIVO_. Oba vzoky byly postaveny s použitím stejných mateiálů, ale měly ozdílnou pevnost malty a tím i výslednou pevnost zdiva jako celku. Vzoek ZDIVO_1 byl postaven bez použití asfaltové lepenky, zatímco zkušební vzoek ZDIVO_ byl postaven s vloženou asfaltovou lepenkou v patě zdiva, kteá představovala kluznou spáu ve zdivu. Použitým asfaltovým pásem je oxidovaný asfaltový pás s obchodním názvem IPA V60 S35 viz [11;1]. Předpínací síly v expeimentálním měření defomací, popsaném v tomto příspěvku, jsou voleny bezpečně s ohledem na kvalitu vyplnění spá maltou jako 10 až 50 % pevnosti zdiva v tlaku kolmo na ložné spáy, kteé jsou dosaženy přímo pod kotevní deskou, což odpovídá přibližně 1,5 % napětí dosaženého ve svislém řezu hoizontálně předpjatého stěnového pásu. Záměem tohoto zkoušení, není pouze samotné měření defomací, ale také sledování chování zdiva v místě lokálního namáhání od postupně zvyšujícího se předpětí a v místě kluzné spáy. PRINCIP MĚŘENÍ.1 Použitý mateiál a jeho mateiálové chaakteistiky Zařízení po zkoušení tojosé napjatosti je ocelová konstukce o ozměech 900 x 900 x 1550 mm, kteá byla navžena a sestavena dle [13]. V této konstukci je postaven zděný oh o výšce 870 mm. Tloušťka zdi je 440 mm, povch zdiva byl neomítnutý. Použitými zdícími pvky jsou cihly CP 90x140x65, P15 a jako spojovací mateiál byla použita vápenná malta, smíchaná s pískem v poměu 1:4. Půměná pevnost cihel v tlaku byla stanovena zkouškou dle nomy [14] na hodnotu 1,87 MPa po oba zkušební vzoky. Z této hodnoty je pak odvozená nomalizovaná půměná pevnost v tlaku zdícího pvku f b = 9,9 MPa. Půměná pevnost malty v tlaku byla nomou [15] stanovena na hodnotu f m,1 = 0,77 MPa po vzoek ZDIVO_1 a hodnota f m, = 0,351 MPa po vzoek ZDIVO_. Testovaný zděný oh je uvažován jako část stávající konstukce a poto při výpočtu chaakteistické pevnosti zdiva v tlaku je postupováno podle nomy [16] Hodnocení existujících konstukcí, kteá se odkazuje při stanovení pevnostních chaakteistik na dříve platné nomy, po zdivo např. na již neplatnou přednomu [17]. Výsledná chaakteistická pevnost zdiva v tlaku kolmo k ložným spáám po vzoek ZDIVO_1 je f k = 1,663 MPa a po zkoušený vzoek ZDIVO_ je výsledná pevnost zdiva f k = 1,366 MPa. 5

57 V půběhu zdění byly do zdiva vloženy dvě předpínací tyče v ůzných výškách a spáy byly doplněny maltou, viz ob. 1. Každá předpínací tyč byla označena dle směu, ve kteém byla kladena (smě A, smě B). Výškový ozdíl umístění čidel a předpínacích tyčí u obou zkoušených vzoků zdiva byl v ámci pouze jednoho centimetu, což lze považovat za zanedbatelný ozdíl. Ve směu A byla umístěna ve výšce 390 mm, ve směu B byla umístěna ve výšce 530 mm. Dle výobce byly předpínací tyče typu HPT 6 z oceli o půměu 6 mm, modul pužnosti 185 ± 10 GPa. Tyče byly hladké bez dážek nebo jiných povchových úpav. Po konečném vyzdění celého zděného ohu, byla honí část konstukce vyovnána vstvou malty s ocelovou oznášecí deskou o tloušťce 1 mm. Na předpínací tyče se osadily ocelové kotevní desky na vstvu malty po vyovnání povchu zdiva.. Zatížení testovaných vzoků Svislé zatížení bylo vnášeno pomocí hydaulického lisu, kteý se umístil mezi oznášecí deskou a I pofilem přišoubovaným k laboatonímu zařízení. Vzoek byl zatížen svislým zatížením 0,1 MPa. Svislé zatížení bylo stanoveno na základě statického výpočtu odinného domu v obci Staříč, jež byl z důvodu stávajících thlin sanován dodatečným předepnutím v úovni základů a úovni ŽB věnců 1.pp a 1.np. Předpínací síla byla vnesena do předpínacích tyčí ovněž pomocí hydaulických lisů přes kotevní desky o ozměech 300 x 300 mm a tloušťce 10 mm a také kotevních desek 300 x 300 mm s tloušťkou 0 mm, kteé byly zkoušeny na obou vzocích zdiva. Hodnoty předpínacích sil jsou uvedeny v tab. 1. Měřené defomace byly zaznamenávány pomocí potenciometických čidel upevněných k laboatonímu zařízení, označených dle připojení k měřící stanici. V každém směu bylo upevněno celkem osm čidel, ve směu A čidla s označením M1 až M8 a ve směu B čidla s označením M1 až M8. Rozmístění jednotlivých čidel v obou směech je patné na ob. 1. SMĚR A ŘEZ 1 ŘEZ ŘEZ 3 ŘEZ 4 SMĚR B 870 smě A smě B M1 M M3 M4 M5 M6 M7 M8 M1 M M3 M4 M5 M6 M7 M Ob. 1: Schéma ozmístění měřících čidel ve směu A, ve směu B Ob. : Zkušební vzoek ZDIVO_, detail kluzné spáy v patě zdiva 53

58 Vzoek byl zatěžován postupně předpínací silou o velikosti 10 % až 50 % z pevnosti zdiva v tlaku kolmo na ložné spáy, vždy nejpve ve směu B a poté ve směu A. Na zkušebním vzoku byly povedeny pouze dvě měření a to z důvodu eliminace chyb při měření, kteá by byla způsobena tvalou defomací vzoku. V tab. 1 jsou uvedeny vstupní hodnoty zatížení zdiva. V pvním sloupci jsou uvedeny pocentuální hodnoty, ve duhém a čtvtém jsou hodnoty napětí v kotevní oblasti, odvozené z chaakteistické pevnosti zdiva v tlaku kolmém na ložné spáy, ve třetím a pátém sloupci jsou uvedeny velikosti předpínacích sil, vnášených do zdiva přes kotevní desku o velikosti 300 x 300 mm. Plocha kotevní desky a také plocha zdiva pod kotevní deskou, se uvažovala bez oslabení otvoem, kteý byl ponechán po půchod předpínací tyče, jelikož ozměy otvou jsou v tomto případě zanedbatelné. Tab. 1: Vstupní hodnoty po předpínání zdiva, plocha kotevní desky A = 0.09 m ZDIVO_1 (f k = 1,663MPa) ZDIVO_ (f k = 1,366MPa) Napětí [kpa] Předpínací síla [kn] 54 Napětí [kpa] Předpínací síla [kn] 10 % 166,3 14,97 136,6 1,9 0 % 33,6 9,93 73, 4,59 30 % 498,9 44,90 409,8 36,88 40 % 665, 59,87 546,4 49,18 50 % 831,5 74,84 683,0 61,47.3 Výsledky měření a jejich sovnání Půběhy výsledných defomací z měření, lze vidět na níže uvedených gafech (ob. 3 a ob. 10). Na x-ové souřadnici jsou uvedeny hodnoty defomací se záponým znaménkem od tlaku kotevní desky na zdivo. Výsledné defomace jsou získané způměováním měření ve svislých řezech M1 ~ M4 a M5 ~ M8 ve směu A, M1 ~ M4 a M5 ~ M8 ve směu B. Na svislé ose jsou uvedeny výškové souřadnice umístění jednotlivých čidel dle ob. 1. Všechna čidla byla umístěna na cihlách popř. kotevních deskách, nikoliv však v maltové spáře. Vodoovná přímka v gafu označuje umístění předpínací síly. Uvedené obázky, obou zkušebních vzoků ZDIVO_1 a ZDIVO_, představují stlačení kotevních desek a jejich okolí. Půběhy defomací kotevních desek s ůznou tuhostí ukazují, že v případě kotevní desky s tloušťkou 0 mm dochází k vyšším defomacím přímo pod kotevní deskou, ale také v jejím nejbližším okolí než v případě kotevní desky o tloušťce 10 mm. Důvodem chování kotevních desek je vyšší ohybová tuhost kotevních desek s tloušťkou 0 mm. Ohybová tuhost je závislá na tloušťce desky a pomě tuhostí obou použitých desek je 1:8. Jak je patné z ob. 3 až ob. 6 tva defomace zdiva v obou směech, v místě předpínací tyče, odpovídá koncentaci napětí přímo pod kotevní deskou, zatímco nad a pod úovní kotevní desky jsou defomace mnohem menší. Půběhy defomací jsou přibližně ve stejných odstupech po jednotlivé velikosti předpínacích sil, především pak ve směu B. Ke sovnání hodnot výsledných půběhů, ze zkušebního vzoku ZDIVO_1 s deskou 300 x 300 x 10 mm (ob. 3 a ob. 4), v obou předpínaných směech, dochází nad hanicí napětí odpovídající 50 % z pevnosti z tlaku kolmo na ložné spáy, kteá působí přímo pod kotevními deskami. Zatímco v případě vzoku s deskou 300 x 300 x 0 mm (ob. 5 a ob. 6), dochází ke sovnání hodnot výsledných defomací v obou směech, již při napětí odpovídající 30 % a více z pevnosti z tlaku kolmo na ložné spáy působící přímo pod kotevními deskami.

59 Na základě uvedených výsledků zkušebního vzoku ZDIVO_1, lze tedy říct, že při použití kotevních desek s vyšší ohybovou tuhostí je zajištěno souměnější zatížení od předpětí v obou směech (již při nižších předpínacích silách) než v případě kotevních desek s nižší ohybovou tuhostí. Samozřejmě nesmíme opomenout výškové umístění předpínacích tyčí, velikosti ploch kotevních desek a samozřejmě modul pužnosti malty a cihel, jež mají ozhodující vliv na výsledné půběhy. Ob. 3: Defomace ZDIVO_1 ve směu A, kotevní deska 300 x 300 x 10 mm Ob. 4: Defomace ZDIVO_1 ve směu B, kotevní deska 300 x 300 x 10 mm Ob. 5: Defomace ZDIVO_1 ve směu A, kotevní deska 300 x 300 x 0 mm Ob. 6: Defomace ZDIVO_1 ve směu B, kotevní deska 300 x 300 x 0 mm Ob. 7 až ob. 10 tva defomace zdiva v obou směech, v místě předpínací tyče, odpovídá koncentaci napětí přímo pod kotevní deskou. Zatímco nad úovní kotevní desky jsou defomace takřka zanedbatelné, v místě pod kotevní deskou a především v patě zdiva můžeme vidět vliv kluzné spáy na výsledné defomace. Významně se defomace pojevují na ob. 7, kde je použita kotevní deska s nižší tuhostí a umístění předpínací tyče je 340 mm od kluzné spáy. V tomto místě lze vidět posunutí zdiva po asfaltové lepence současně se zvyšující se předpínací silou (shodné hodnoty v patě a v místě předpínací síly). Při použití desky s větší tloušťkou, viz ob. 9, je pohyb zdiva po kluzné spáře ovněž významný, ale nedochází zde k posunu kotevní desky současně s kluznou spáou. Tyto posuny jsou menší než s deskou o menší tuhosti. 55

60 Vliv kluzné spáy zkušebního vzoku ZDIVO_ na smě B nebyl pakticky žádný. Můžeme tedy říct, že důležité po kombinování sanačního opatření pomocí předpínání zdiva a použitím kluzné spáy, je především výškové umístění předpínacích tyčí a také tuhost použitého kotevního systému. Ob. 7: Defomace ZDIVO_ ve směu A, kotevní deska 300 x 300 x 10 mm Ob. 8: Defomace ZDIVO_ ve směu B, kotevní deska 300 x 300 x 10 mm Ob. 9: Defomace ZDIVO_ ve směu A, kotevní deska 300 x 300 x 0 mm Ob. 10: Defomace ZDIVO_ ve směu B, kotevní deska 300 x 300 x 0 mm 3 ZÁVĚR Příspěvek se věnuje laboatonímu měření předpínaného zděného ohu. Simuluje tak případy zesilování a sanací zděných budov. Sovnání výsledných defomací s použitím kotevních desek s ůznou tloušťkou desky, ukázalo ozdílné stlačení zdiva v místě kotevních desek u obou zkušebních vzoků. Tyto ozdíly byly způsobeny ozdílnou ohybovou tuhostí samotných desek a tím i eliminace defomace samotné kotevní desky při zatěžování předpínací silou. Po ověření hypotéz je potřeba povést měření předpínání zdiva s použitím desek s větší ohybovou tuhostí než doposud a povést sovnání s již získanými hodnotami, kteé jsou uvedeny v tomto příspěvku. 56

61 Výsledné posuny zdiva s použitím kluzných spá se liší v závislosti na použitém mateiálu po kluznou spáu a jejím umístění ve zdivu. Dále také výškovým umístěním předpínacího zařízení a tuhosti použitého kotevního systému. Podobné měření kluzných spá jsou řešeny v ámci finanční podpoy Ministestva půmyslu a obchodu, pogam TIP pojekt číslo FR-TI/746 - Reologická kluzná spáa s teplotně řízenými viskoelastickými vlastnostmi [18;19;0]. Cílem páce by mělo být využití softwau, na bázi MKP, po návh nebo posouzení sanačních opatření poškozených zděných konstukcí [1~9]. PODĚKOVÁNÍ Příspěvek byl ealizován za finančního přispění MŠMT, podpoou specifického vysokoškolského výzkumu Studentské gantové soutěže VŠB-TU Ostava pod identifikačním číslem SP013/39. LITERATURA [1] ČSN : Navhování objektů na poddolovaném území. Paha: ČNI, [] ČAJKA, R. Stengthening of Histoical Stuctues on Flooded and Undemined Teitoy. Intenational Geotechnical Engineeing, Saint Petesbug Septembe 003, Russian, ISBN [3] ČAJKA, R. Lifetime Enhancement of Histoical Stuctues on Flooded and Undemined Teitoy. Integated Lifetime Engineeing of Buildings and Civil Infastuctues, and Intenational Symposium ILCDES Decembe 003, Kuopio, Finland, ISSN , ISBN [4] SCHUBERT, P.; HOFFMANN, G. Duckfestigkeit von Mauewek paallel zu den Lagefugen. Mauewek-Kalende 1994, Enst Sohn & Belin 004. [5] BAŽANT, Z.; KLUSÁČEK, L. Statika při ekonstukcích objektů. VUT Bno, 004. [6] KLUSÁČEK, L.; BAŽANT, Z. Předpínání staveb ve vztahu k podloží. Sboník příspěvků 13. mezináodního semináře 008, Ostava 008. VŠB-TU Ostava 008, s ISBN [7] KOŠATKA, P.; LORENZ, K.; VAŠKOVÁ, J. Zděné konstukce 1. ČVUT Paha, 006 [8] TERZIJSKI, I.; KLUSÁČEK, L.; BAŽANT, Z. a kol.: Stanovení defomačních chaakteistik zdiva. Stavební obzo 1/01, Fakulta stavební ČVUT, Paha, 01, ISSN [9] ŠULÁK, P. Dlouhodobé sledování chování předpjaté konstukce. Sboník příspěvků 13. mezináodního semináře 008, Ostava 008. VŠB-TU Ostava 008, s ISBN [10] WITZANY, J.; ČEJKA, T.; ZIGLER, R. Stanovení zbytkové únosnosti existujících zděných konstukcí. Stavební obzo. 008, Číslo 9, Ročník 17. ISSN [11] DEHTOCHEMA BITUMAT, s..o.: Technický list po oxidovaný asfaltový pás IPA V60 S35, dostupné z [1] DEHTOCHEMA BITUMAT, s..o.: Pohlášení o shodě po oxidovaný asfaltový pás, dostupné z [13] MYNARZOVÁ, L. Statická analýza konstukcí zděných staveb. Disetační páce 009. VŠB- TU Ostava 009. ISBN [14] ČSN EN 105-1: Zkušební metody po zdivo. Část 1: Stanovení pevnosti v tlaku. Český nomalizační institut, 000. [15] ČSN EN : Zkušební metody malt po zdivo. Část 11: Stanovení pevnosti zatvdlých malt v tahu za ohybu a v tlaku. Český nomalizační institut, 000. [16] ČSN ISO 138 Zásady navhování konstukcí Hodnocení existujících konstukcí. Český nomalizační institut,

62 [17] ČSN P ENV : Navhování zděných konstukcí. Část 1-1: Obecná pavidla po pozemní stavby. Pavidla po vyztužené a nevyztužené zděné konstukce. Český nomalizační institut, [18] ČAJKA, R., BURKOVIČ, K., GŘUNDĚL, V., JANULÍKOVÁ, M., MATEČKOVÁ, P., STARÁ, M.: Tempeatue dependant slide joints fo cacking elimination in concete foundations. The 7th Cental Euopean Congess on Concete Engineeing: Innovative Mateials and Technologies fo Concete Stuctues, ISBN: [19] JANULÍKOVÁ, M., STARÁ, M.: Viscoelastic behavio of asphalt belts at diffeent tempeatues in the sliding joint. In Young Scientist 013, The 5th PhD. Student Confeence of Civil Engineeing and Achitectue, Heľany, Slovensko, ISBN: [0] MATEČKOVÁ, P., JANULÍKOVÁ, M., STARÁ, M.: Aplikace eologické kluzné spáy v základové konstukci na poddolovaném území. 19. Betonářské dny 01, Kongesové centum ALDIS, Hadec Kálové, 01, ISBN: [1] ČAJKA, R.; KALOČOVÁ, L. Modeling and Analysis of Post Tensioned Masony. The eleventh Intenational Confeence on Civil, Stuctual and Envionmental Engineeing Computing Septembe 007, St. Julian, Malta 007, ISBN [] ČAJKA, R.; KALOČOVÁ, L. Pogessive appoach to the analysis of post-tensioned masony stuctues using FEM. In EngOpt Intenational Confeence on Engineeing Optimization. Rio de Janeio 1-5. Juni 008. Ed. J. Hekovitz, A. Canelas, H. Cotes, M. Aoztequi, 008. ISBN [3] ČAJKA, R.; MATEČKOVÁ, P.; MYNARZOVÁ, L.; STARÁ, M. Analysis of ti-axial stessstain conditions of pe-stessed masony cone. In: Poceedings of 5 th Intenational Confeence on Reliable Engineeing Computing (REC 01), June 01, Bno, ISBN: [4] ČAJKA, R.; MATEČKOVÁ, P.; STARÁ, M.; JANULÍKOVÁ, M. Testing of pe-stessed masony cone fo ti-axial stess-stain analysis, The 3 d Intenational Symposium on Life- Cycle Civil Engineeing Octobe 01, Vienna [5] HAACH, V. G.; VASCONCELOS, G.; LOURENCO, P. B. Paametical study of masony walls subjected to in-plane loading though numeical modeling. Engineeing Stuctues, Apil 011, ISSN: , DOI: /j.engstuct [6] MATERNA, A.; BROŽOVSKÝ, J. Constitutive model fo two-dimensional modeling of masony. In poceedings of the Eleventh Intenational Confeence on Civil, Stuctual and Envionmental Engineeing Computing 007, Malta 007. [7] STARÁ, M., JANULÍKOVÁ, M.: Laboatoy testing of pe-stessed masony. In Young Scientist 013, The 5th PhD. Student Confeence of Civil Engineeing and Achitectue, Heľany, Slovensko, ISBN: [8] MILANI, G.; LOURENCO, P. B.; TRALLI, A. Homogenized limit analysis of masony walls, Pat II: Stuctual examples. Computes and Stuctues. Januay 006, ISSN: , DOI: /j.compstuc [9] ZUCCHINI, A.; LOURENCO, P. B. A mico-mechanical model fo the homogenization of masony. Intenational Jounal of Solids and Stuctues. Juni 00, DOI: /S (0) Oponentní posudek vypacoval: Pof. Ing. Jaoslav Halvonik, PhD., Kateda betónových konštukcií a mostov, Stavebná fakulta, STU v Batislave. Doc. Ing. Zdeněk Bažant, CSc., Ústav betonových a zděných konstukcí, Fakulta stavební, VUT v Bně. 58

63 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 08 Jiří PETRŮ 1 MOŽNOSTI APLIKACE PŘÍRODNÍHO ZEOLITU JAKO AKTIVNÍ PŘÍMĚSI DO BETONU THE POSSIBILITIES OF APPLICATION OF NATURAL ZEOLITE AS AN ACTIVE ADMIXTURE IN CONCRETE Abstakt Příspěvek se zabývá studiem možností využití příodního zeolitu jako částečné náhady potlandského cementu v betonech v množstvích 3, 5 a 10 %. Výsledné stanovené hodnoty základních fyzikálně mechanických vlastností (pevnost, mazuvzdonost a odolnost poti působení vody a chemických ozmazovacích látek) jsou následně podobeny poovnání s efeenčními směsmi betonu bez této částečné náhady potlandského cementu altenativním pojivem na bázi příodního zeolitu. Klíčová slova Beton, příodní zeolit, potlandský cement, pucolánové příměsi, mazuvzdonost. Abstact The pape deals with the possibility of using natual zeolite as a patial eplacement fo the standad Potland cement in concete at amounts 3, 5 and 10 %. The esulting set values of basic physical and mechanical popeties (stength, fost esistance and esistance to wate and chemical de-icing salts) ae subsequently compaed with efeence concete mixtues without the patial eplacement Potland cement of altenative binde based on natual zeolite. Keywods Concete, Natual zeolite, Potland cement, Pozzolanic admixtues, Fost esistance. 1 ÚVOD Otázka ochany životního postředí při výobě stavebních hmot získává v posledních letech na stále větší důležitosti. K minimalizaci možných vlivů půmyslu na okolí lze výazně přispět ozsáhlejším využíváním pucolánových příměsí s hydaulickými vlastnostmi. Mezi základní příměsi patří tufy, zeolity, pemzy, diatomitové zeminy, spongility, pálené jíly, cihelný pach, metakaoliny, elektáenské popílky, vysokopecní ganulované stusky aj. I přes tuto skutečnost jsou ve stavebnictví stále nejvíce používána tadiční pojiva na bázi potlandského slínku, kteé značným způsobem zatěžují životní postředí, a to nejen uvolňováním velkého množství oxidu uhličitého do ovzduší při výpalu slínku, ale také enegetickou náočností výoby. V posledních době se řada autoů [3, 4]. zabývala aplikací příodního zeolitu jako aktivní příměsi do betonu v množství cca 10 až 60 % hm. Dalšími aplikacemi zeolitů se zabývají autoři [5, 6, 7, 8]. Předmětem tohoto příspěvku je studium možností využití příodního zeolitu jako částečné náhady klasického potlandského cementu v betonech v množstvích 3, 5 a 10 % hm. Výsledné stanovené hodnoty základních fyzikálně 1 Ing. Jiří Petů, Kateda stavebních hmot a diagnostiky staveb, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava-Pouba, tel.: (+40) , jii.petu@vsb.cz. 59

64 mechanických a tvanlivostních vlastností jsou následně podobeny poovnání s efeenčními směsmi betonu bez této částečné náhady potlandského cementu altenativním pojivem. VSTUPNÍ MATERIÁLY Jako vstupní suoviny expeimentální části byly použity potlandský cement CEM I 4,5 R, příodní zeolit ZeoBau 00 z lokality Nižný Habovec. Dále bylo použito těžené kamenivo fakce 0-4 z lokality Tovačov a dcené kamenivo fakcí 4-8 a 8-16 z lokality Habůvka. Jako přísady byly aplikovány supeplastifikační přísada GLENIUM SKY 665 na bázi polykaboxyláteteu a povzdušňující bezchloidová přísada MICRO-AIR 103. Receptuy jednotlivých směsí jsou uvedeny v Tab. 1. Při výobě a ošetřování zkušebních těles bylo postupováno dle ČSN EN [13] a ČSN EN [14]. Po výobu míchání betonových směsí byla použita laboatoní míchačka Jage Recod. Hutnění betonových směsí ve fomách bylo povedeno na vibačním stole. Zkušební tělesa byla odfomována po 4 hodinách tuhnutí a tvdnutí s následným uložením ve vodní lázni. Tab. 1: Receptuy jednotlivých směsí Množství suoviny kg/m 3 Směs Cement CEM I 4,5 R [kg] Zeolit ZeoBau 0-00 µm [kg] Kamenivo (těžené, Tovačov) fakce 0-4 [kg] Kamenivo (dcené, Habůvka) fakce 4-8 [kg] Kamenivo (dcené, Habůvka) fakce 8-16 [kg] Voda [kg] Supeplastifikační přísada GLENIUM SKY 665 [kg] Povzdušňující přísada MICRO AIR 103 [kg] Refeenční směs (obsah Zeolitu 0 %) Směs ZB3 (obsah Zeolitu 3 %) Směs BZ5 (Obsah Zeolitu 5 %) Směs BZ10 (obsah Zeolitu 10 %) 346,00 0,00 947,00 338,00 405,00 190,00,4 1,04 335,6 10,38 947,00 338,00 405,00 190,00,4 1,04 38,70 17,30 947,00 338,00 405,00 190,00,4 1,04 311,40 34,60 947,00 338,00 405,00 190,00,4 1,04.1 Stuktua, složení a vlastnosti zeolitů Zeolity patří do skupinu tektosilikátů. Obdobně jako všechny tektosilikáty mají zeolity tojozměnou vazbu tetaedů křemíku a hliníku, jež jsou navzájem popojené sdílením vcholových kyslíků. Zeolity patří mezi nestechiometické sloučeniny obsahující zpavidla 60 až 70 % oxidu křemičitého, 10 až 15 % oxidu hlinitého, menší množství oxidu vápenatého a jako typickou složku oxid sodný a daselný. Hliník je ve stuktuře obsažen ve fomě čtyřstěnů stejně jako křemík, kteý jím tak může být nahazen, ale vzhledem k oxidačnímu stupni hliníku (III) je nezbytná přítomnost alkalického kovu, příp. jiného kationtu, kompenzujícího záponý náboj Al-tetaedů. Kationty se tak mohou vzájemně zastupovat, což tvoří základ iontovýměnných vlastností zeolitů. Otevřená stuktua zeolitů obsahuje četné kanálky a dutiny, kteé mohou zaujímat až 40 % celkového objemu a v nichž 60

65 je evesibilně vázána voda. Tato vlastnost - vodní kapilání kapacita ovlivňuje příznivě homogenitu a konzistenci čestvých betonových směsí a současně také půběh hydatace. Zeolity je možné taktéž připavit (dle požadované stuktuy a složení) synteticky z někteých příodních nebo půmyslových aluminosilikátů působením oztoku hydoxidu sodného a daselného, nejčastěji hydotemálním způsobem v autoklávech. Je možné také připavit zeolity o požadovaném poloměu póů - tzv. molekulová síta, kteá nacházejí nezastupitelné uplatnění v celé řadě půmyslových oboů. Pincipy syntézy zeolitů za teplot pod 100 C mohou být užitečné i po přípavu ůzných kompozitů, včetně bezcementových, např. z půmyslových aluminosilikátů (pucolánů), kde přispívají k užitným vlastnostem ztvdlého kompozitu. [1, ] 3 PEVNOSTNÍ VLASTNOSTI 3.1 Stanovení pevnosti v postém tlaku (kychelná, válcová) Ověření pevností bylo stanoveno dle ČSN EN [9] po 3, 9, 8 a 90 dnech tuhnutí a tvdnutí. Zkoušky byly pováděny vždy na třech tělesech z každé eceptuy (betonových kychlích o ozměech mm a betonových válcích o ozměech mm). Pevnosti byly stanoveny na zkušebním lisu FORM+TEST Alpha Ob. 1: Stanovení pevnosti v postém tlaku na kychlových a válcových vzocích Hodnoty pevností v postém tlaku po 8 dnech stanovených na kychli v případě efeenčních směsí dosahují 31,18 MPa. Hodnoty pevností u modifikovaných směsí se pohybují v ozmezí od 9,91 MPa (u směsi s obsahem 3 % zeolitu), přes 33,9 MPa (u směsi s obsahem 10% zeolitu) až po 35,51 MPa u směsi s obsahem 5 % zeolitu. Nejvyšší hodnoty pevnosti v postém tlaku stanovené na kychli po 8 dnech tuhnutí a tvdnutí dosáhla směs s obsahem 5 % zeolitu (35,51 MPa). Naopak 61

66 nejnižší hodnota pevnosti byla stanovena u směsi s obsahem 3 % zeolitu. V případě dalších stanovených pevností po 90 dnech tuhnutí a tvdnutí dochází k náůstu hodnot pevností, pavděpodobně v důsledku stále pobíhající pucolánové eakce. U efeenční směsi se jedná o náůst opoti pevnostem po 8 dnech téměř o 11 %, u směsí s obsahem zeolitu 3 % pak o 14 %, u směsí s obsahem zeolitu 5 % o 10 % a u směsí s obsahem zeolitu 10 % pak o náůst pevnosti o 10 %. Největší náůst opoti pevnostem stanovených po 8 dnech byl zaznamenán u směsi s 3 % zeolitu, téměř o 14%. Výsledky stanovení pevností v postém tlaku na kychlových vzocích jsou uvedeny v Tab. a na Ob. 1. U pevností v postém tlaku stanovených na válcových vzocích se jeví situace obdobně, tzn., nejvyšší hodnoty pevnosti bylo dosaženo u směsi s obsahem zeolitu 5 % (35,09 MPa). Naopak nejnižší hodnoty bylo dosaženo u směsi s 3 % zeolitu. Refeenční směs dosáhla pevnosti 7,89 MPa. U pevnosti po 90 dnech byl pozoován stejný efekt náůstu pevností jako v případě pevností stanovovaných na kychlových vzocích. Největší náůst opoti pevnostem stanovených po 8 dnech byl zaznamenán u směsi s 3 % zeolitu a to téměř 15 %. Nejnižší hodnota 3 % byla pozoována u směsi s 5 % obsahu zeolitu. U směsi s 10 % zeolitu došlo naopak k poklesu pevnosti a to o 6 %. Výsledky stanovení pevností v postém tlaku na válcových vzocích jsou uvedeny v Tab. a gaficky znázoněny na Ob Stanovení pevnosti v tahu ohybem Zkouška byla pováděna dle ČSN EN [10]. Zkouška pobíhala na třech támcích z každé eceptuy o ozměu mm po 3, 9, 8 a 90 dnech tuhnutí a tvdnutí pomocí laboatoního lisu. Hodnoty pevností po 8 dnech stanovených na támci v případě efeenčních směsí dosahují 6,4 MPa. Hodnoty pevností u modifikovaných směsí se pohybují v ozmezí od 5,99 MPa (u směsi s 3 % zeolitu), přes 5,97 MPa (u směsi s 5 % zeolitu) až po 6,6 MPa u směsi s 10 % zeolitu. Nejvyšší hodnoty pevnosti v tahu ohybem stanovené na támci po 8 dnech tuhnutí a tvdnutí dosáhla směs s obsahem 10 % zeolitu. U pevnosti po 90 dnech byl pozoován stejný efekt náůstu pevností jako v případě pevností v postém tlaku stanovovaných na kychlových a válcových vzocích. U efeenční směsi se jedná o náůst opoti pevnostem po 8 dnech téměř o 9 %, u směsí s obsahem zeolitu 3 % pak o 14 %, u směsí s obsahem zeolitu 5 % o 8 % a u směsí s obsahem zeolitu 10 % pak o náůst pevnosti 4 %. Největší náůst opoti pevnostem stanovených po 8 dnech byl zaznamenán u směsi s 3 % zeolitu téměř o 14%. Výsledky stanovení pevností v tahu ohybem jsou uvedeny v Tab. a na Ob.. Tab. : Stanovení pevnostních vlastností jednotlivých směsí po příslušném počtu dní tvdnutí Dny 3 dny 9 dnů 8 dnů 90 dnů Vzoek Pevnost v postém tlaku kychlená [MPa] Pevnost v postém tlaku válcová [MPa] Pevnost v tahu ohybem [MPa] Pevnost v postém tlaku kychlená [MPa] Pevnost v postém tlaku válcová [MPa] Pevnost v tahu ohybem [MPa] Pevnost v postém tlaku kychlená [MPa] Pevnost v postém tlaku válcová [MPa] Pevnost v tahu ohybem [MPa] Pevnost v postém tlaku kychlená [MPa] Pevnost v postém tlaku válcová [MPa] Pevnost v tahu ohybem [MPa] RB 17,14 16,99 4,68 8,51 1,56 5,78 31,18 7,89 6,4 34,75 31,10 6,79 ZB3 16,90 15,70 5,51 8,8 1,68 6,08 9,71 1,68 5,99 33,81 31,61 6,81 BZ5 18,86 15,98 4,7 30,05 4,84 5,91 35,51 4,84 5,97 38,93 36,00 6,45 ZB10 17,76 16,66 4,8 31,75 3,5 6,01 33,9 3,5 6,6 36,84 7,35 6,5 6

67 Ob. : Stanovení pevnosti v tahu ohybem Ob. 3: Odolnost poti působení CHRL 4 ODOLNOST PROTI PŮSOBENÍ VODY A CHEMICKÝCH ROZMRAZOVACÍCH LÁTEK (CHRL) Stanovení bylo povedeno dle ČSN [11] vždy na třech kychlových vzocích o ozměech mm z každé eceptuy s využitím laboatoního zmazovacího boxu KD 0-T4.1. Maximální hodnota plošného odpadu byla dle [11] stanovena na g.m - po 100 zmazovacích cyklech. Nejnižší množství plošného odpadu vykazoval po povedení zkoušky mateiál s obsahem 10% zeolitu - 607,4 g.m - (stupeň poušení dle [11] 3). Naopak nejvyšší hodnoty odpadu byly zjištěny u efeenčních těles, v případě 100 zmazovacích cyklů až 1035,6 g.m - (stupeň poušení dle [11] 5). Lepších výsledků bylo dosaženo u směsí s 5 % obsahu zeolitu - 657,8 g.m - (stupeň poušení dle [11] 4) a 401,5 g.m - (stupeň poušení dle [11] 4) u 3% obsahu zeolitu ve směsi. Tab. 3: Odolnost poti působení vody a chemickým ozmazovacím látkám Směs Odpad po 5 cyklech [g.m - ] Odpad po 50 cyklech [g.m - ] Odpad po 75 cyklech [g.m - ] Odpad po 100 cyklech [g.m - ] RB Ref. směs (Zeolit 0 %) 040,0 498, 7811,9 1035,6 ZB3 (Zeolit 3 %) 677,0 1577,8 065, 401,5 BZ5 (Zeolit 5 %) 493,3 154,4 194,1 657,8 ZB10 (Zeolit10 %) 91,9 13,3 394,1 607,4 63

68 Podmínce odolnosti poti působení vody a chemických ozmazovacích látek tedy vyhověla pouze směs s 10 % zeolitu. Ostatní směsi včetně směsi efeenční byly klasifikovány jako nevyhovující. Výsledky stanovení včetně časového půběhu dle jednotlivých zmazovacích cyklů odolností poti působení vody a chemických ozmazovacích látek jsou uvedeny v Tab. 3 a na Ob STANOVENÍ MRAZUVZDORNOSTI Stanovení bylo povedeno dle metodiky ČSN 7313 [11] na nomových tělesech - támcích o ozměech mm s využitím laboatoního zmazovacího boxu KD 0-T4.1. Následně po povedení příslušného počtu zmazovacích cyklů (100 a 50) byly stanoveny z jednotlivých poměů pevností v postém tlaku a v tahu ohybem příslušné koeficienty mazuvzdonosti. Koeficient mazuvzdonosti KM v postém tlaku po 50 a 100 cyklech a koeficient mazuvzdonosti KM v tahu ohybem po 50 a 100 cyklech. Limitní nomovou hodnotou po učení, zda je mateiál mazuvzdoný či ne je hodnota koeficientu mazuvzdonosti v postém tlaku a tahu ohybem 0,75. V případě stanovení mazuvzdonosti po 50 zmazovacích cyklech byla vyhodnocena jako mazuvzdoná pouze směs efeenční. Ostatní směsi, tj. s obsahem 3 %, 5 % a 10 % zeolitu byly vyhodnoceny jako nevyhovující podmínce mazuvzdonosti. Výsledky stanovení viz Tab. 4. V případě stanovení mazuvzdonosti po 100 zmazovacích cyklech byly vyhodnoceny jako mazuvzdoná směs efeenční a směs s obsahem 3 % zeolitu. Ostatní směsi, tj. s obsahem 5 % a 10 % zeolitu byly vyhodnoceny jako nevyhovující podmínce mazuvzdonosti. Výsledky stanovení jsou uvedeny v Tab. 5. Tab. 4: Koeficient mazuvzdonosti v postém tlaku a v tahu ohybem po 50 cyklech 50 cyklů Koeficient mazuvzdonosti v postém tlaku KM[-] Koeficient mazuvzdonosti v tahu ohybem KM [-] RB Ref. směs (Zeolit 0 %) 0,9 0,99 ZB3 (Zeolit 3 %) 0,67 0,99 BZ5 (Zeolit 5 %) 0,58 0,96 ZB10 (Zeolit10 %) 0,51 0,93 Tab. 5: Koeficient mazuvzdonosti v postém tlaku a v tahu ohybem po 100 cyklech 100 cyklů Koeficient mazuvzdonosti v postém tlaku KM [-] Koeficient mazuvzdonosti v tahu ohybem KM [-] RB Ref. směs (Zeolit 0 %) 0,99 0,98 ZB3 (Zeolit 3 %) 0,99 0,95 BZ5 (Zeolit 5 %) 0,58 0,98 ZB10 (Zeolit10 %) 0,51 0,99 6 ZÁVĚR Výsledky expeimentálních zkoušek směsi betonu s příodním zeolitem ZeoBau ( %, 5 % a 10 %) jako částečné náhady potlandského cementu lze shnout do následujících bodů: 1. Nejvyšších hodnot pevnosti v postém tlaku stanoveném na kychlových vzocích po 8 dnech dosáhla směs s obsahem 5 % zeolitu. Naopak nejnižších hodnot pevností bylo dosaženo u směsi s 3 % zeolitu. U pevností v postém tlaku stanovených na válcových vzocích bylo nejvyšších hodnot dosaženo u směsí s obsahem 5% zeolitu. Naopak nejnižších hodnot bylo dosaženo u směsi s 3 % zeolitu. Nejvyšších hodnot pevnosti v tahu 64

69 ohybem stanovených na támci po 8 dnech tuhnutí a tvdnutí dosáhla směs s obsahem 10 % zeolitu. V případě 90ti denních pevností byl pozoován jev, kdy zřejmě díky dále pobíhajícím pucolánovým eakcím dochází k dalšímu náůstu pevností. Nejvýznamnější náůst pevností v postém tlaku a tahu ohybem opoti pevnostem stanovených po 8 dnech byl zaznamenán u směsi s 3 % zeolitu o %. Ze stanovených výsledků můžeme tedy konstatovat, že přídavek příodního zeolitu v uvedených množstvích má za následek částečné zlepšení pevnostních vlastností.. V případě stanovení mazuvzdonosti po 50 zmazovacích cyklech byla vyhodnocena jako mazuvzdoná pouze směs efeenční (KM v postém tlaku 0,9 a KM v tahu ohybem 0,99). U 100 zmazovacích cyklů se dá klasifikovat jako mazuvzdoná směs efeenční (KM v postém tlaku 0,99 a KM v tahu ohybem 0,98) a směs s 3 % zeolitu (KM v postém tlaku 0,99 a KM v tahu ohybem 0,95). Poměně vysokou hodnotu koeficientu mazuvzdonosti v postém tlaku po 100 cyklech KM 0,99 u směsi s 3 % zeolitu můžeme označit jako jistou anomálii vzhledem k ostatním výsledkům stanovení koeficientů mazuvzdonosti. Vzhledem k tomu, že výsledky byly stanoveny na příslušných sadách zkušebních těles dle metodiky [1] není možné povedení ověření této hodnoty opakováním této zkoušky na identických vzocích (ověření by pavděpodobně potvdilo, že se v tomto případě jedná o anomálii). U hodnot koeficientů mazuvzdonosti KM v tahu ohybem po 50 a 100 zmazovacích cyklech je zajímavým poznatkem skutečnost, že postupné zvyšování množství obsahu zeolitu (3 %, 5 % a 10 %) má na hodnotu koeficientu mazuvzdonosti v tahu ohybem minimální vliv. K výsledkům stanovení koeficientu mazuvzdonosti KM v postém tlaku po 50 a 100 zmazovacích cyklech dá konstatovat, že s postupným zvyšováním množství zeolitu ve směsích dochází ke snižování hodnoty koeficientu mazuvzdonosti a tím pádem k tomu, že u výsledného mateiálu dochází ke snížení odolnosti vůči mazu. Do budoucna je nutné zaměření se na ověření vlastností hodnot koeficientu mazuvzdonosti KM v postém tlaku a tahu ohybem u daných směsí. 3. Při zkoušce odolnosti poti působení vody a chemických ozmazovacích látek bylo nejnižšího množství plošného odpadu dosaženo u směsi s 10 % zeolitu a to 607,4 g.m -. Naopak nejvyšší hodnoty odpadu byly zjištěny u efeenční směsi (10 35,6 g.m - ). Podmínce odolnosti poti působení vody a chemických ozmazovacích látek tedy vyhověla pouze směs s 10 % zeolitu. Ostatní směsi včetně směsi efeenční byly klasifikovány jako nevyhovující. Obecně můžeme k výsledkům stanovení odolnosti poti působení vody a chemických ozmazovacích látek konstatovat, že zvýšení obsahu zeolitu v uvedených množstvích ve směsích má za následek snížení hodnoty plošného odpadu a tím pádem tedy výazné zvýšení odolnosti daného mateiálu poti působení vody a chemických ozmazovacích látek. Po shnutí výsledků můžeme dojít k závěu, že jako jedna z nejvhodnějších hmotnostních kombinací částečné náhady potlandského cementu se jeví vaianta s obsahem 3-5 % příodního zeolitu. Na základě pezentovaných výsledků můžeme konstatovat, že příodní zeolit má dobý potenciál využití jako částečné náhady potlandského cementu při výobě betonu, ovšem vyskytuje se celá řada limitujících faktoů, na kteé je nutné se do budoucna zaměřit. LITERATURA [1] BRANDŠTETR Jiří, HAVLICA Jaomí. Zeolity v maltách a betonech. Mateiály a technologie po stavbu. 000, č. 6, s ISSN: [] TSCHERNICH, Rudy W. Zeolites of the Wold. Phoenix, Aisona: Geoscience Pess, 199. ISBN: [3] KULOVANÁ Teeza, VEJMELKOVÁ Eva, KOŇÁKOVÁ Dana, ŽUMÁR Jaomí, KEPPERT Matin, ČERNÝ Robet a ŠEDLMAJER Matin. Příodní zeolit jako aktivní příměs do betonu. Stavební obzo. 013, oč. 013, č. 9, s ISSN:

70 [4] KULOVANÁ, Teeza, VEJMELKOVÁ Eva, KEPPERT Matin, ČERNÝ Robet, ŠEDLMAJER Matin a ROVNANÍKOVÁ Pavla. Expeimentální analýza vlastností vysokohodnotného betonu s příodním zeolitem. Stavební obzo. 013, oč. 013, č. 1, s ISSN: [5] BAŞYIǦIT Celalettin. The effect of zeolit ate on the themo-mechanical popeties of concete. Intenational Jounal of Physical Sciences, vol. 5, no. 7, 010, pp ISSN: [6] VALIPOUR, Mahdi, PARGAR Fahad, SHEKARCHI Mohammad and KHANI Saa. Compaing a natual pozzolan, zeolite, to metakaolin and silica fume in tems of thei effect on the duability chaacteistics of concete: A laboatoy study. Constuction and Building Mateials, vol. 41, Apil 013, pp , ISSN [7] NAJIMI, Meysam, SOBHANI Jafa, AHMADI Babak and SHEKARCHI Mohammad. An expeimental study on duability popeties of concete containing zeolite as a highly eactive natual pozzolan. Constuction and Building Mateials, vol. 35, Octobe 01, pp , ISSN [8] IKOTUN, B. D., EKOLU S. Stength and duability effect of modified zeolite additive on concete popeties, Constuction and Building Mateials, Volume 4, Issue 5, May 010, pp , ISSN [9] ČSN EN Zkoušení ztvdlého betonu Část 3: Pevnost v tlaku zkušebních těles. Paha: Úřad po technickou nomalizaci, metologii a státní zkušebnictví, 009. [10] ČSN EN Zkoušení ztvdlého betonu Část 5: Pevnost v tahu ohybem zkoušených těles. Paha: Úřad po technickou nomalizaci, metologii a státní zkušebnictví, 009. [11] ČSN Stanovení odolnosti povchu cementového betonu poti působení vody a chemických ozmazovacích látek. Paha: Český nomalizační institut, 003. [1] ČSN Stanovení mazuvzdonosti betonu. Paha: Český nomalizační institut, 003. [13] ČSN EN Zkoušení ztvdlého betonu - Část : Výoba a ošetřování zkušebních těles po zkoušky pevnosti. Paha: Úřad po technickou nomalizaci, metologii a státní zkušebnictví, 009. [14] ČSN EN Zkoušení ztvdlého betonu Část 1: Tva, ozměy a jiné požadavky na zkušební tělesa a fomy. Paha: Úřad po technickou nomalizaci, metologii a státní zkušebnictví, 013. Oponentní posudek vypacoval: Pof. Ing. Stanislav Unčík, PhD., Kateda mateiálového inžiniestva, Stavebná fakulta, STU v Batislave. Doc. Ing. Tomáš Klečka, CSc., Oddělení stavebních mateiálů, Klokneův ústav, ČVUT v Paze. 66

71 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 09 Ľuboš DANIEL 1, Ján KORTIŠ NUMERICKÉ MODELOVANIE INTERAKCIE VOZIDLA A MOSTNEJ KONŠTRUKCII THE NUMERICAL MODELING OF INTERACTION VEHICLE AND BRIDGE Abstakt Dynamická inteakcia vozidlo most pedstavuje aktuálnu poblematiku, ktoej sa venujú ľudia na viaceých pacoviskách. Pe iešenie takejto úlohy sa využívajú hlavne numeické metódy. Najznámejšou a najpoužívanejšou z nich je metóda konečných pvkov. Článok sa zaobeá numeickým modelovaním inteakcie vozidlo most v systéme ANSYS a zobazuje vplyv ýchlosti vozidla na piehyb mosta v stede ozpätia. Klíčová slova ANSYS, metóda konečných pvkov, kmitanie, dynamická analýza, náhodný pofil. Abstact Vehicle bidge dynamic inteaction epesents the actual poblem which is solved on many wok places. Within the solution of the task the numeical methods ae applied mainly. The Finite Element Method is the best-known and widely used. The submitted aticle is dedicated to the numeical modeling oh vehicle bidge inteaction poblem in the envionment of the system ANSYS and illustates the influence of the speed of vehicle motion on the bidge mid-span deflection. Keywods ANSYS, finite element method, vibation, dynamic analysis, andom pofile. 1 ÚVOD Súčasný vývoj v danej poblematike je zameaný hlavne na inteakciu koľajových vozidiel a železničných mostov pi ktoých je dynamický účinok výazne vyšší ako pi cestných mostoch [7]. Pi analýze inteakcie mostov pozemných komunikácií a vozidiel sa vo väčšine aplikujú podobné pincípy výpočtov. Dôležitou súčasťou iešenia poblému je spávna voľba výpočtových modelov vozidiel, ich matematický popis a následné iešenie v sústave s mostnou konštukciou. Často sa používajú tzv. štvtinové alebo polovičné výpočtové modely, ktoé modelujú pohyb a účinky štvtiny alebo polovice vozidla. Opoti piestoovým modelom vozidiel majú výhodu značného zjednodušenia, ale nie je možné pomocou nich iešiť vplyv piestoového kmitania vozidla. Výpočtové modely vozidiel sa kvôli zjednodušeniu matematického iešenia zostavujú ako diskétne výpočtové modely s konečným počtom stupňov voľnosti. Pohybové ovnice potom pechádzajú do tvau obyčajných difeenciálnych ovníc. Článok sa zaobeá tvobou výpočtových modelov vozidla, mosta a ich vzájomnej inteakcie v pogamovom systéme ANSYS pacujúceho na báze MKP. Vozidlo je v tomto pípade modelované 1 Ing. Ľuboš Daniel, Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, Žilinská univezita v Žiline, Univezitná 815/1, Žilina, lubos.daniel@fstav.uniza.sk. Ing. Ján Kotiš, Ph.D., Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, Žilinská univezita v Žiline, Univezitná 815/1, Žilina, jan.kotis@fstav.uniza.sk. 67

72 ako štvtinový model tvoený pomocou pužinových pvkov s pedpísanými tuhostnými a tlmiacimi vlastnosťami a pvkov chaakteizujúcich koncentovanú hmotu v uzloch. Model mostnej konštukcie je tvoený ovinnými nosníkovými pvkami. Samotná inteakcia vozidlo most je zabezpečená pomocou kontaktných pvkov s využitím kontaktu typu node to suface. Pedkladaná úloha patí medzi nestacionány pevnostný (dynamický) dej, ktoý opisuje všeobecná pohybová difeenciálna ovnica. M. ut + C. u t + K. ut = Ft (1.1) Kde matica M pedstavuje maticu hmotnosti, matica K maticu tuhosti a matica C maticu útlmu systému. Ako neznáma veličina v ovnici figuuje vekto posunov u a jeho deivácie. Jednou z možností iešenia tejto ovnice v systéme ANSYS je využitie implicitnej Newmakovej metódy. Jedná sa o metódu piamej integácie, kde numeicky integujeme difeenciálnu ovnicu po učitých časových kokoch Δt vo zvolenom časovom intevale (t, t max ). Z toho vyplýva, že ku geometickej disketizácii pibúda ešte aj časová. Výsledkom sú, tak ako pi statickej úlohe MKP, funkčné hodnoty vo vybaných geometických bodoch a nie samotné funkcie. Navyše funkčné hodnoty sú iešené ešte aj v časových kokoch. Pi Newmakovej metóde sa zavádzajú nasledovné pedpoklady pe závislosť vyšetovaných veličín v časovom koku. u t+ t = u t u t +. u t+dt. t u = u + u. t + 1/-. u +. u. t t+ t t t t t+ t OPIS VÝPOČTOVÉHO MODELU VOZIDLA Použitý štvtinový výpočtový model vozidla simuluje svojimi chaakteistikami ťažké nákladné vozidlo T815 (Ob..1). Pužiace pvky vozidla sa uvažujú lineáne pužné. Útlm spojovacích členov je úmený ýchlosti (viskózny útlm). Popis kmitania vozidla budeme iešiť numeicky, v ámci algoitmov metódy konečných pvkov. (1.) Ob..1: Vozidlo T815 modelované ako štvtinový model Model využívaný pi analýze v systéme ANSYS je zobazený na Ob... Je tvoený pomocou toch uzlov a štyoch pvkov. Hmoty sú modelované pomocou pvkov MASS1 a sú pedpísané v uzloch číslo a 3. V uzle číslo 1 je definovaný uzlový kontaktný pvok. Uzly sú vzájomne spojené pomocou pvkov COMBIN14 s pedpísanými tuhostnými a tlmiacimi chaakteistikami. Možnosti pvkov sú spacované v [1]. 68

73 Diagonálna matica hmotnosti vozidla {m}d = {m 1, m } D = {17400, 140 } D [kg] Diagonálna matica tuhostí spojovacích členov vozidla {ki}d = {k 1, k } D = { , } D [N/m] Diagonálna matica tlmenia spojovacích členov vozidla {bi}d = {b 1, b } D = { 60197, } D [kg/s] Ob..: Model vozidla v systéme ANSYS [6] 3 OPIS VÝPOČTOVÉHO MODELU MOSTA Pedmetom analýzy je mostná konštukcia na pozemnej komunikácii spájajúca obce Vaín a Mojš. Celková dĺžka mostnej konštukcie je 87 m a je tvoená 3 poliami s ovnakým ozpätím 9 m. Každé jedno pole pôsobí ako jednoduchý nosník. Hlavnými nosnými pvkami sú pefabikované pedpäté nosníky typu I-73, uložené v piečnom smee vo vzdialenosti mm. Uloženie nosníkov a skladba mostovky je zobazená v piečnom eze na Ob Ob. 3.1: Piečny ez mosta spájajúci obce Vaín Mojš Analýza je zameaná na stedné pole mostnej konštukcie, ktoé je modelované v systéme ANSYS pomocou nosníkových pvkov BEAM3 ako jednoduchý ovinný nosník s ozpätím 9 m. Modul pužnosti mateiálu sa uvažuje 3,85e10 N/m, intenzita hmotnosti mosta na mete kg/m a kvadatický moment plochy pieezu 1,606 m 4. Pe účely optimalizácie počtu nosníkových pvkov s ohľadom na pesnosť výpočtu a čas potebný pe výpočet bola vykonaná pedbežná analýza, pi ktoej vozidlo pechádzalo po moste konštantnou ýchlosťou a menil sa iba počet pvkov. Z výsledkov analýzy bolo učené, že 50 pvkov postačuje pe dosiahnutie dostačujúcej pesnosti. Z dôvodu možných nepesností pi vyšších ýchlostiach však bolo použitých 100 pvkov. 4 KONTAKTNÁ ÚLOHA VOZIDLO-MOST Pi iešení úlohy inteakcia vozidlo most teba venovať dostatočnú pozonosť kontaktu medzi jednotlivými dynamickými systémami. Ako kontaktný pvok je použitý CONTA175 a ako cieľové pvky sú použité TARGE169. Umiestnenie kontaktných pvkov v modeli je zobazené na Ob Pvok CONTA175 epezentuje koleso vozidla a pvky TARGE169 sú naviazané na nosníkové pvky BEAM3. 69

74 Ob. 4.1: Umiestnenie kontaktných pvkov v modeli Pi vzájomnej inteakcii vozidla a mostnej konštukcii zoháva veľkú úlohu pozdĺžny pofil vozovky na mostovke, ktoý sa považuje za náhodnú stacionánu egodickú funkciu s nulovou stednou hodnotou a s nomálnym ozdelením hustoty pavdepodobnosti. Na štatistický popis neovnosti vozovky sa najčastejšie v súčasnej dobe používa výkonová spektálna hustota S( h )=S( h 0) -k 0 (4.1) ktoá zobazuje ozdelenie celkového výkonu náhodného pocesu podľa jednotlivých fekvencií. Noma STN ISO 8608 [] chaakteizuje kvalitu vozoviek z pohľadu výškových neovnosti páve na základe VSH a ozdeľuje vozovky do 8 kategóií. Pi numeických simuláciách potebujeme na základe známej VSH geneovať náhodný pozdĺžny pofil jazdnej dáhy. Je to možné uobiť podľa vzťahu N h(x) =.S( k)..cos( k.x+ k) k=1. (4.) Uhol φ k je uhol fázového posunutia náhodné ozdelený v intevale (0; π), geneovaný podľa ovnomeného ozdelenia. 5 VPLYV NEROVNOSTÍ NA DYNAMICKÚ ODOZVU KONŠTRUKCIE OD VOZIDLA Pe poteby numeickej simulácie pejazdu vozidla po moste je vygeneovaný náhodný pofil jazdnej dáhy, ktoý sa podľa nomy zaaďuje do tiedy cesty B. To znamená, že hodnota výkonovej spektálnej hustoty v efeenčnom bode je Úsek je vekto o veľkosti 1 x 900, čo pi vzokovaní 0,01 m pedstavuje pofil o dĺžke 9 m (ozpätie mosta). Ped samotným využívaním pofilu pi simuláciách je potebné oveiť jeho spávne dynamické vlastnosti. [3]. 10 Neovnosti vozovky na moste h(t) h(t) [mm] Cas t [s] Ob. 5.1: Náhodný pofil jazdnej dáhy na moste 70

75 Poovnanie piebehov výchyliek v stede mosta od pejazdu vozidla po hladkom a neovnom pofile jazdnej dáhy je zobazené na Ob. 5.. Rýchlosť vozidla je konštantná 10 m/s. 0 - Vychylka v stede ozpatia mosta od pejazdu vozidla v=10 m/s pofil s neovnostami hladky pofil u(t) [mm] cas [s] Ob. 5.: Poovnanie výchylky v stede ozpätia mosta od pejazdu vozidla po hladkom a neovnom pofile, ýchlosť vozidla v=10 m/s 6 POROVNANIE VÝSLEDKOV EXPERIMENTU A VÝPOČTU Expeimentálne meania sa uskutočnili na moste vo Vaíne dňa Pedmetom expeimentálnych meaní bolo sledovanie časových piebehov vetikálnych výchyliek uposted ozpätia mosta od účinkov pohybujúceho sa ťažkého nákladného automobilu Tata T815. Ako zaťažovacie vozidlo sa použilo vozidlo Tata T815, ŠPZ KM-503AA. Tuhostné a hmotnostné paamete vozidla boli expeimentálne oveované. Tlmiace paamete vozidla boli pevzaté z fiemnej dokumentácie o vozidle. Vozidlo sa pohybuje po moste konštantnou ýchlosťou 7,91 m/s. 5 0 Vychylka v stede ozpatia mosta od pejazdu vozidla v=7,91 m/s expeiment vypocet -5 u(t) [mm] cas [s] Ob. 6.1: Poovnanie expeiment a výsledkov výpočtu pejazdu vozidla po moste s náhodnými neovnosťami, ýchlosť vozidla v= 7,91 m/s 71

76 Poovnanie expeimentálneho meania a výsledkov z numeických simulácií je zobazené na Ob Maximálna výchylka v stede mosta nameaná pi expeimente je 17,8 mm. Maximálna výchylka získaná výpočtom je 18, mm. Pesnosť výpočtu na základe expeimentálneho meania je 97,7 %. Na základe výsledkov poovnania výpočtu s expeimentom, môžeme považovať nami zvolený postup numeického modelovania pejazdu vozidla po mostnej konštukcii za spávny. 7 ZÁVER V ámci numeických analýz bol sledovaný vplyv náhodných neovností na dynamickú odozvu mosta. Pesnosť výsledkov získaných pomocou MKP bola oveená z výsledkov expeimentu. Poovnaním expeimentálnych meaní a výsledkov MKP je odchýlka pesnosti výsledkov,3 %. Na základe výsledkov poovnania výpočtu s expeimentom, môžeme považovať nami zvolený postup numeického modelovania pejazdu vozidla po mostnej konštukcii za spávny. Vplyvom neovností pi simulácii pejazdu vozidla sa maximálny piehyb v stede ozpätia zvýšil o 4,01 %. Z výsledných poovnaní pejazdov vozidla po moste s neovným a hladkým pofilom je zejmé, že neovnosti jazdnej dáhy majú vplyv na výsledný časový piebeh piehybu s ohľadom na zväčšenie dynamickej zložky. Pi zvolenej tiede cesty B však tento náast nie je významný a bolo by skô zaujímavé sa sústediť na kategóie ciest s nižšou kvalitou povchu vozovky. Páca ukázala, že úloha inteakcia vozidlo - most patí medzi stochastické úlohy. Riešenie takejto úlohy je možné expeimentálnou alebo teoetickou cestou. Ako sa ukazuje tak najvýhodnejšie je využitie vzájomnej kombinácie týchto dvoch pístupov dohomady. PODAKOVANIE Tento píspevok vznikol s podpoou GA MŠVVaŠ SR VEGA, gant č. 1/059/1. LITERATÚRA [1] ANSYS, Inc.: ANSYS 8.0 Documentation [] STN ISO 8608 Mechanické kmitanie, pofily povchu cesty. Zaznamenávanie nameaných údajov, SÚTN, Batislava, 000. [3] DANIEL, Ľ., Inteakcia v sústave vozidlo jazdná dáha, Páca ŠVOČ, Svf, ŽU, Žilina, 01 [4] MELCER, J., Dynamické výpočty mostov na pozemných komunikáciách. EDIS, Žilinská univezita v Žiline, 1997, ISBN [5] FRÝBA, L.: Vibation of Solids and Stuctues Unde Moving Loads. ACADEMIA, Paha, Nodhoff Intenational Publishing, Goningen, 197, ISBN [6] SÝKOROVÁ, R.: Kmitanie mosta vyvolané pohybom vozidla. Žilinská Univezita Stavebná fakulta, Žilina, Dizetačná páca, 010 [7] MAJKA, M., Hatnett, M..: Dynamic esponse of bidges to moving tains: A study on effects of andom tack iegulaities and bidge skewness. COMPUTERS & STRUCTURES, Volume 87, Issue 19-0, Pages , 008 Oponentský posudok vypacoval: Pof. Ing. Pet Hoyl, CSc., d.h.c., Kateda mechaniky, Fakulta stojní, VŠB-TU Ostava. Pof. Ing. Jiří Máca, CSc., Kateda mechaniky, Fakulta stavební, ČVUT v Paze. 7

77 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 10 Maksym GRZYWIŃSKI 1, Iwona POKORSKA STOCHASTIC ANALYSIS OF CYLINDRICAL SHELL Abstact The pape deals with some chosen aspects of stochastic stuctual analysis and its application in the engineeing pactice. The main aim of the study is to apply the genealized stochastic petubation techniques based on classical Taylo expansion with a single andom vaiable fo solution of stochastic poblems in stuctual mechanics. The study is illustated by numeical esults concening an industial thin shell stuctue modeled as a 3-D stuctue. Keywods Stochastic petubation technique, finite element method, shell stuctue. 1 INTRODUCTION In the pape the finite element method has been applied to the analysis of vaiation of stuctual paametes due to uncetainties of these paametes. The so-called stochastic finite element method has been used on the basic of the nd-ode petubation method [1-5]. This non-statistical appoach is numeically much moe efficient than a statistical appoach, such as Monte Calo simulation. A majo advantage of the statistical finite element appoach is that only the fist two moments need to be known. Moeove a lage numbe of samples ae equied in statistical appoaches. FORMULATION OF THE PROBLEM.1 Second moment petubation method The basic concept of second moment petubation method (SMPM) is descended fom the linea tansfom of a andom vaiable descibed in tem of a powes seies expansion [1,, 4]. Let us conside a vecto a a, 1,,, ˆ, ae assumed to be time-independent andom vaiables, specified by the fist two associated cental moments means a a and coss-covaiances Cov a, a s ;, s 1,,, ˆ. Expanding the andom vaiables x i a aound the agument means a via Taylo seies and etaining tems up to second ode yields x i x ˆ ˆ 1 (1) 1 a 1 aa s i i a xi a aa a a aa a a a s as The zeo, fist and mixed second deivatives od i The mean values x E, i 1,,, iˆ i x i x x with espect to a at, ae expessed as a ae constant valued. 1 Maksym Gzywiński, Ph.D., Depatment of Building, Constuction and Engineeing, Faculty of Civil Engineeing, Czestochowa Univesity of Technology, ul. Akademicka 3, 4-00 Czestochowa, Poland, phone: (+48) , mgzywin@bud.pcz.czest.pl. Iwona Pokoska, Ph.D., Depatment of Theoy of Stuctues, Faculty of Civil Engineeing, Czestochowa Univesity of Technology, ul. Akademicka 3, 4-00 Czestochowa, Poland, phone: (+48) , pokoska@bud.pcz.czest.pl. 73

78 74 s s a a s i a a i i i a a a a E a a x a a E a x a x x E ˆ 1 ˆ s a a s i i a a Cov a a x a x ˆ 1, 1 () o, moe concisely i i i a x a x x () 1 (3) whee the symbolic symbol s a a s a a Cov a a ˆ 1 (), (4) To detemine the coss-covaiances x i x j Cov, we note, by (1) and (3), that the speads of the andom vaiables i x about thei means i x ae ) ( ˆ 1 ˆ i s s a a s i a a i i i x a a a a a a x a a a x x x (5) and j j i i j i x x x x E x x Cov, ) ( () ˆ 1, () () j i s s s a a s j i j s i s i x x a a a a E a a x x x a a x a a x x ) ( () () () () () ˆ 1, j i j i j i s s s a a s j i x x x x x x a a a a Cov a a x x (6) o ) ( () ˆ 1 4 1,, j i s a a s j i j i x x a a Cov a a x x x x Cov. (7) The fist two moments (3) and (7) ae second-ode. In compaison with conventional statistical appoaches, Monte Calo simulation fo instance, the dawbacks of the non-statistical SMPM ae that (i) andom vaiables i x must satisfy the conditions fo small fluctuation and fo continuity at a, and (ii) only fist two pobabilistic moments can be given on output. On the othe hand, advantages of SMPM ae significant, since (a) the assumption of the nomal distibution (even homogeneity) fo i x is not necessaily needed, (b) only the fist two moment fo a ae equied on input, and (c) with the same-ode accuacy only ) ˆ ( o equation system to be solved in SMPM when compaed with ) ˆ ( 3 o coesponding systems sampled in Monte Calo simulation.. Hieachical equations Hieachical system fo the multidegee-of-fedom system descibing stuctual static esponse with stiffness matix K, displacement vecto q and load vecto Q is Q q K (8) 0,,, 0 q K Q q K ˆ,,, 1 (9) ), ( ˆ 1, 0,,,, () 0 s s s s s a a Cov q K q K Q q K (10)

79 whee the symbols 0,, deivatives with espect to and, s denote the values of the zeo, fist and mixed second patial a at a, espectively. 3 EXAMPLE In the example a thin shell stuctue is consideed. Fig. 1 shows the half of a cylindical shell clamped at boundaies unde unifomly distibuted pessue p 15kN/m. The emaining input data ae: adius R.5m, length L 1m, Young modulus E 30MPa, Poisson atio 0.. The expectation, coelation function and coefficient of vaiation of the shell thickness ae assumed as: E(t) t Cov(t, t s ) exp x x 0 /λ y y 0 /λ 1.5/RL, λ.5/rl, α 0.05; 0.10; Fig. 1: 60-element shell with mesh gid Due to symmety only one-quate of shell is consideed. The finite element mesh include 60 ectangula elements (60 andom design vaiables), and total numbe of degees of feedom is 313. The main motivation behind an application of the genealized petubation technique is to eliminate the estiction on the input second pobabilistic moments to be smalle than 0,15 and impossibility of eliable computations of highe than the second pobabilistic moments fo the output. Tab. 1 and Fig. give the computed values of expectations and standad deviations fo diffeent andom thickness shell. 75

80 Tab. 1: Expectations and standad deviations displacement q (in symmety blue line Fig. 1) Z Expectation q Z Std. Dev. q Z Angle Deteministic o 1.e e e-04.39e e e e o 1.44e e-04.00e-04.71e e e e o 1.84e-04.01e-04.50e e e e e o 1.9e-04.09e-04.59e e e e e o 1.40e e e-04.5e e e e o 0.56e e e e e e e-04 0 o CONCLUSIONS In the stochastic petubational analysis we deal with one system of the zeoth-ode equations, one system of the fist-ode equations fo each of the andom vaiables and one system of the second-ode equations. This non-statistical appoach does not estict the analysis to some limits of andom fields as in the statistical techniques; it is applicable to both the homogeneous and nonhomogeneous andom fields and a nomal appoximation is not necessaily needed. The estiction of small uncetainties in andom vaiables, being inheent of the mean-point petubation pocedue, is seemingly eliminated by the check-point petubation scheme in which the point of the system is petubated aound its paameteized vaiables. With the tansfomation fom coelated andom vaiables to uncoelated vaiables and by using only dominant pat of the tansfomed set, the algoithms woked out ae effective even fo PCbased stochastic analysis of lage-scale systems with acceptable computations cost. Since almost all opeations elated to andom quantities can be caied out by the pocedues fo deteministic calculations the algoithms developed can be immediately adapted to existing deteministic finite element pogams. REFERENCES [1] LIU, W.K., BELYTSCHKO, T., MANI, A. Random field finite elements, Int. J. Num. Meth. Eng., 1986, vol. 3, issue 10, pp (15 p). ISSN [] KLEIBER, M., HIEN, T.D. The Stochastic Finite Element Method. Wiley, 199. ISBN X. 3 p. [3] GRZYWIŃSKI, M., SŁUŻALEC, A. Stochastic equations of igid-themo-viscoplasticity in metal foming pocess, Int. J. Eng. Science, 00, vol. 40, issue 4, pp (17 p). ISSN [4] GRZYWIŃSKI, M., HIEN, T. D. Stochastyczna ważliwość konstukcji katowych. In: TARNOWSKI, W., KICZKOWIAK, T. (ed.) Polioptymalizacja i Komputeowe Wspomaganie Pojektowania, 008, pp (6 p). ISBN [5] POKORSKA I., A sensitivity analysis of powde foging pocesses, Stuctual and Multidisciplinay Optimization, 008, 37, 1, pp (13 p). ISSN Reviewes: Pof. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D., Institute of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Bno Univesity of Technology. Pof. Ing. Jiří Šejnoha, DSc., FEng., Depatment of Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Czech Technical Univesity in Pague. 76

81 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 11 Jiří KOKTAN 1, Jiří BROŽOVSKÝ NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ČASOVĚ ZÁVISLÉHO CHOVÁNÍ ŽELEZOBETONOVÉ KONSTRUKCE S VYUŽITÍM MODELU B3 NUMERICAL MODELLING OF TIME-DEPENDENT BEHAVIOUR OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURE WITH USE OF B3 MODEL Abstakt Příspěvek se zabývá výpočetní analýzou časově závislých defomací železobetonové ámové konstukce s využitím teoie lineání viskoelasticity a modelu B3. Numeické řešení využívá přímé integace a je implementováno v algoitmickém jazyce. K výpočetní analýze putových konstukcí je využita obecná defomační metoda. V příspěvku je komě příkladu výpočtu s využitím modelu B3 pezentováno a diskutováno sovnání s výpočtem podle ČSN EN Klíčová slova Numeické modelování, viskoelasticita, železobeton, defomační metoda, model B3. Abstact The pape poposes an implementation of ceep analysis of einfoced concete stuctues which utilizes the B3 model and the diect stiffness method fo einfoced concete fames. The analysis is based on a numeical integation and it is implemented in an algoithmic pogamming language. Thee is pesented a solution with the mentioned appoaches which is compaed with solution based on the EN technical standad. Keywods Numeical modelling, viscoelasticity, einfoced concete, diect stiffness method, B3 model. 1 ÚVOD Řada stavebních mateiálů mění svoje vlastnosti v čase. Důsledkem těchto změn je obvykle náůst defomací během životnosti stavebních konstukcí. Tyto jevy jsou nezanedbatelné například u mateiálů na bázi dřeva [,5], ale také u betonu (dotvaování, smšťování) [3,6,10,1]. Někteé modení stavební konstukce, například vícepodlažní bytové domy, uvedené dva typy mateiálů kombinují, a poto je potřebné studovat vliv těchto dlouhodobých změn na celkovou funkčnost a použitelnost těchto objektů. Jde zejména o možné důsledky ozdílných defomací v půběhu životnosti objektů, kteé mohou vést k naušování spojů mezi pvky z jednotlivých mateiálů, k nadměným defomacím, případně ke ztátě účinnosti izolačních pvků nebo k estetickým závadám (thliny v pohledových pvcích). Význam těchto vlivů je často možné zanedbat u konstukcí malého ozsahu, ale nelze je pominout u konstukcí větších ozměů (např. vícepodlažní pozemní stavby, dřevo-betonové lávky a mosty větších ozpětí) [7]. 1 Bc. Jiří Koktan, Kateda stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava - Pouba, tel.: (+40) , jii.koktan.st@vsb.cz. Doc Ing. Jiří Božovský, Ph.D., Kateda stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava - Pouba, tel.: (+40) , jii.bozovsky@vsb.cz. 77

82 Na Fakultě stavební VŠB-TU Ostava je v současné době připavován šiší výzkum dlouhodobého chování ozsáhlých konstukcí kombinujících pvky z železobetonu a konstukčního dřeva, případně z mateiálů na bázi dřeva. Předkládaný článek poto představuje část úvodních teoetických pací, kteé mají sloužit k přípavě nástojů po modelování předpokládaného chování uvedených konstukcí v půběhu jejich životnosti. V příspěvku je diskutováno především použití numeického modelu B3 po beton [1] a jeho implementace v algoitmickém jazyce, kteá má posloužit především k ověření zvolených výpočetních postupů před tím, než budou připaveny nástoje po ozsáhlejší úlohy. MODELOVÁNÍ ČASOVĚ ZÁVISLÝCH JEVŮ V BETONU.1 Viskoelastické modely Důsledkem změn ve stuktuře betonu v čase (chemické pocesy, vysychání atd.) dochází nejen ke změnám mechanických vlastností mateiálu (náůst pevnosti, modulu pužnosti), ale také k postupnému vývoji defomací, a to i při konstantním zatížení (dotvaování betonu). K popisu tohoto chování existuje celá řada přístupů. Často se vychází z teoie lineání viskoelasticity, kteou je ovšem u betonu možné použít jen v případech, kdy napětí v mateiálu dosahují podstatně nižních hodnot než je pevnost betonu [8,9]. Této skutečnosti využívají i technické nomy [4], kteé v ůzné podobě zavádějí časově závislou funkci poddajnosti viskoelastického mateiálu nebo z ní vyjádřený součinitel dotvaování. Funkci poddajnosti betonu je možné popsat například pomocí Kelvinova řetězce [8], což však vyžaduje znalost řady paametů řetězce, jejichž stanovení nemusí být v paktických úlohách snadné. Poto, pokud není vhodné nebo účelné použít nomový přístup, je možné použít někteý z přesnějších modelů, například model B3 [1,9].. Model B3 Po dále popsané páce byl vybán model B3 navžený pofesoem Bažantem [1] a to v takzvané zkácené vezi. Model B3 byl sestaven na základě vyhodnocení dlouhodobých výzkumů chování železobetonových konstukcí. Jeho učitou nevýhodou je jistá složitost a obtížnost stanovení někteých vstupních paametů. Ty musí být v optimálním případě získány pomocí kátkodobých dotvaovacích zkoušek po konkétní beton. Autoři modelu také uvádí ozsah vlastností betonu, po kteý je model ověřen: vodní součinitel v ozsahu od 0,35 po 0,85, pevnost na válcích po 8 dnech od 17 MPa do 70 MPa a hmotnost cementu kg v metu kychlové betonu. Po běžné betonové směsi je možné najít dopoučené hodnoty jednotlivých mateiálových paametů, kteé byly použity také v úlohách diskutovaných v dalším textu. Funkce J má ve zkácené vezi modelu B3 tva: o 1 J ( t, t' ) qs ln (1 ) E 78 m n ( t' )( t t', (1) kde: t čas, kdy je vneseno zatížení [dny], t čas, po kteý je pováděn výpočet [dny], E o asymptotický modul pužnosti [Pa]. Ostatní veličiny jsou konstantami a je možno je učit expeimentálními testy. Po běžné betony se zpavidla dopoučují hodnoty: ψ=0,3, m=0,5, n=0,1, α=0,001 [8]. V ovnici (1) není uvážen vliv smšťování betonu. Podle [9] se v dále uváděných příkladech u modelu B3 počítalo s Pickettovým efektem..3 Výpočetní postupy Ke stanovení hodnoty funkce poddajnosti J v čase t je možné použít numeickou integaci nebo jiné numeické postupy (například exponenciální algoitmus, jak je ukázáno v [9]). Po potřeby

83 výpočtů ámových konstukcí obecnou defomační metodou [11] je nutné stanovit také elaxační funkci R(t,t ), kteá je s funkcí poddajnosti svázána vztahem ().,,,, 1, () Relaxační funkce může být stanovena numeicky na základě vztahu () nebo může být po beton stanovena dle [8] přibližně pomocí vztahu (3).,,,,,,, 1, (3) kde: t m polovina doby mezi t a t [dny], t 1 den [dny]. Sovnání přesnějšího numeického výpočtu vycházejícího ze vztahu () s přibližným analytickým řešením podle vzoce (3) je uvedeno na Obázku 1. Při výpočtu byly použity výše uvedené dopoučené paamety funkce poddajnosti. V dalších výpočtech bylo používáno numeického postupu. 5 x 1010 R(t,30) [Pa] numeické řešení t=1den přibližné řešení podle analytického vztahu t[dní] Ob. 1: Rozdíl mezi numeickým a přibližným analytickým výpočtem elaxační funkce 3 SROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ MODELU B3 A ŘEŠENÍ PODLE ČSN EN Zadání sovnávacího příkladu Po sovnání výsledků získaných pomocí zkácené veze modelu B3 a postupu podle ČSN EN uvedeném v příloze B byl připaven model postého nosníku o ozpětí 3 mety zatíženého spojitým ovnoměným zatížením o velikosti 7 kn/m, kteé bylo na nosník umístěno 30 dní od betonáže. Nosník byl navžen z betonu C30/37 (půměná pevnost po 8 dnech 38 MPa a sečnový modul pužnosti 3 GPa) s hlavní výztuží 4x10-B40B při spodním okaji s kytím 38 mm. Po výpočty byla předpokládána půměná elativní vlhkost postředí 50%. Schéma příkladu je uvedeno na Obázku. Při výpočtech podle se neuvažovalo s vlivem tahových thlin. 79

84 Ob. : Schéma sovnávacího příkladu Nosník byl ozdělen na 10 konečných pvků. Byly uvažovány dvě vaianty řešení, v pvní byl vliv hlavní nosné výztuže zahnut v idealizovaném půřezu, zatímco v duhé vaiantě byla výztuž zavedena do výpočtu pomocí dalších konečných pvků. Puty výztuže byly umístěny vůči neutální ose nosníku excenticky. Toho bylo v modelu dosaženo pomoci kátkých putů s vysokou tuhostí, kteé spojovaly uzly konečných pvků betonového nosníku s uzly konečných pvků představujících výztuž. Inteakce mezi betonem a výztuží je tedy zjednodušeně modelována jen v uzlech. 3. Výsledky sovnávacího příkladu Na Obázku 3 jsou sovnány vypočítané půběhy vývoje půhybu nosníku upostřed ozpětí v čase. Je patné, že vliv zanedbání výztuže na výsledky není zanedbatelný. Model B3 při daných vstupních paametech poskytuje vyšší odhady defomace než model podle ČSN EN..5 w [mm] t [let] Ob. 3: Vývoj maximálního půhybu nosníku v čase ČSN EN s výztuží ČSN EN B3 B3 s výztuží Vzhledem k tomu, že jde o idealizovaný model staticky učité konstukce, nemá dotvaování vliv na ozložení vnitřních sil. V případě modelu s výztuží, kteá na ozdíl od betonu svoje defomace v čase nemění, k přeozdělení sil dojde. To je ilustováno na Obázku 4, kde jsou sovnány síly ve výztuži v čase 3 dny po přiložení zatížení a po 10 letech. Na Obázku 5. jsou síly ve výztuži v případě výpočtu pomocí modelu B3. Rozdílné hodnoty počáteční napjatosti ve výztuži vyplývají z ozdílných vstupních paametů obou použitých modelů (při použití modelu B3 je nutno pacovat s asymptotickým modulem pužnosti). Skoková změna sil v jednotlivých konečných pvcích výztuže je dána výše uvedeným zjednodušeným modelem spolupůsobení výztuže s betonem, ve kteém je společná defomace betonu a výztuže zajištěna jen v uzlech konečných pvků. 80

85 kn kn kn 9.0 kn 7.57 kn 5.14 kn z [m] kn 5.14 kn.6 kn 7.57 kn 4.68 kn 5.10 kn 3.86 kn 4.68 kn 5.10 kn.6 kn 0.96 kn 1.89 kn 1.89 kn 0.96 kn x [m] Ob. 4: Hodnoty nomálové síly ve výztuži při výpočtu dle ČSN EN kn 9.01 kn kn kn kn 9.01 kn kn 6.11 kn 5.51 kn 5.51 kn 4.17 kn 5.06 kn z [m] kn 4.17 kn 5.06 kn.83 kn 1.04 kn.5 kn.5 kn 1.04 kn x [m] Ob. 5: Hodnoty nomálové síly ve výztuži při výpočtu pomocí modelu B3 Ve výpočtech bylo využíváno numeické integace a numeického výpočtu elaxační funkce. Vzhledem k tomu, že funkce popisující časově závislé chování betonu jsou silně nelineání a stejné chování vykazují i výsledné defomace (viz Obázek 3), je potřebné ověřit také vliv velikosti výpočtového koku na výsledky výpočtů. Bylo ověřeno použití ovnoměného koku (až do 100 intevalů) a koku, jehož velikost se měnila logaitmicky podle dopoučení v [9] (až do 0 intevalů). Výsledky jsou uvedeny na Obázku 6. Z povedeného sovnání je zřejmé, že při vyšších počtech koků výsledky výpočtů konvegují ke stejnému řešení. Současně je patné, že při ovnoměném koku řešení je nutno použít poměně vysokého počtu výpočtových koků (100), zatímco při koku poměnné velikosti vede již ozdělení řešeného časového intevalu (10 let) na 10 koků k dostatečně přesným výsledkům. 81

86 .5 x 10-3 w [m] Rovnoměné ozdělení 100 intevalů Rovnoměné ozdělení 50 intevalů Rovnoměné ozdělení 10 intevalů Logaitmické ozdělení 10 intevalů Logaitmické ozdělení 0 intevalů t [dní] Ob. 6: Vliv výpočtového koku na defomace v čase 4 VÝPOČET DOTVAROVÁNÍ ROVINNÉHO RÁMU 4.1 Popis konstukce Rozměy a zatížení ámu jsou uvedeny na Obázku 7. Po učení defomací vlivem dotvaování se uvažovala kvazistálá kombinace zatížení. Zatížení začalo působit po 40 dnech. Velikost zatížení ámové příčle 5,8 0, 14,4 30,7kN/m. Velikost zatížení sloupů 1kN/m. Jako mateiál byl ve výpočtu uvažován beton třídy C0/5, hlavní nosná výztuž byla B500B. Funkce poddajnosti betonu byla učena podle zkáceného modelu B3 s následujícími paamety: půměná pevnost v tlaku 4MPa, doba ošetřování 8 dní. Ob. 7: Schéma modelu ovinného ámu Hlavní nosná výztuž sloupů byla uvažována 4xϕ16. U příčle byla výztuž při spodním povchu 4xϕ16, a při honím povchu 4xϕ0, přičemž kytí bylo ve všech případech 30 mm. Rozměy jednotlivých pvků a polohy výztuže jsou uvedeny na Obázku 8. 8

87 Ob. 8: Půřezy sloupu (vlevo) a příčle ámu 4. Výsledky řešení ámu Na Obázku 9 je ukázán půhyb upostřed ozpětí příčle ámu. Obázek 10 pak ilustuje vývoj defomací ámu po půl oce, po 5 letech a po 0 letech w [mm] t [let] Ob. 9: Vývoj půhybu příčle v čase z [m] [0.18mm;0.73mm] t=0.5 let t=0 let t=5 let [-7.53mm;0.49mm] [0.09mm;31.97mm] [0.00mm;.10mm] [-0.09mm;31.97mm] [-0.18mm;0.73mm] [7.53mm;0.49mm] x [m] Ob. 10: Celkové defomace ámu po 0,5 oku, po 5 letech a po 0 letech 6 ZÁVĚR V článku bylo pezentováno řešení časově závislých defomací železobetonových ámů s využitím defomační metody a modelu B3. Bylo ověřeno, že uvedený postup je vhodný i v případě, že je implementován pomocí algoitmického jazyka (např. Octave nebo Matlab). Při použití přesnějších modelů, jako je model B3 je ovšem nezbytné používat data ověřená alespoň 83

88 kátkodobými expeimenty, neboť obecně nelze pacovat s nomovými vstupními daty, kteá jsou statisticky upavena a nemusí nutně odpovídat konkétní situaci (viz např. Obázek 3). PODĚKOVÁNÍ Pováděné páce byly podpoovány z postředků na koncepční ozvoj vědy a výzkumu poskytnutých VŠB-TU Ostava Ministestvem školství, mládeže a tělovýchovy ČR. LITERATURA [1] BAŽANT, Zdeněk P. a BAWEJA. Ceep and Shinkage Pediction Model fo Analysis and Design of Concete Stuctues: Model B3. ACI Concete Intenational. 001, ACI 3, s Dostupné z: [] CECCOTTI, Aio. Composite concete timbe stuctues. Pogess in Stuctual Engineeing and Mateials, 00, 4.3: [3] ČAJKA, Radim a Pavlína MATEČKOVÁ. Paametické výpočty únosnosti a použitelnosti předpjaté střešní vaznice. Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava: Řada stavební. 010, X, č. 1, s [4] ČSN EN : Navhování betonových konstukcí- část 1-1 Obecná pavidla a pavidla po pozemní stavby. Paha: ČNI, 006. [5] FRAGIACOMO, Massimo; CECCOTTI, Aio. Long-tem behavio of timbe concete composite beams. I: Finite element modeling and validation. Jounal of stuctual engineeing, 006, 13.1: 13-. [6] JANULÍKOVÁ, Matina, Radim ČAJKA, Pavlína MATEČKOVÁ a Maie STARÁ. Modeling of Foundation Stuctues with Sliding Joint Using Results of Asphalt Belts Laboatoy Tests. Tansactions of the VŠB - Technical Univesity of Ostava. Constuction Seies , XII, issue 1, s DOI: /v x. Dostupné z: x.xml [7] JIRÁSEK, Milan a Zdeněk P. BAŽANT. Inelastic Analysis of Stuctues. 1. vyd. Chicheste, England: John Wiley & Sons. Ltd., 00. ISBN [8] JIRÁSEK, Milan a Jan ZEMAN. Přetváření a poušování mateiálů: dotvaování, plasticita, lom a poškození. Vyd. 1. Paha: Nakladatelství ČVUT, 006, 175 s. ISBN [9] JIRÁSEK, Milan; DOBRUSKÝ, Svatopluk. Accuacy of Concete Ceep Pedictions Based on Extapolation of Shot-Time Data. In: Poceedings of the 5th intenational confeence on eliable engineeing computing,(197-07). 01. [10] KŘÍSTEK, Vladimí, Jaoslav ŘÍMAL a Jan L. VÍTEK. Reologické pojevy v pvcích betonových komoových nosníků. Stavební obzo. 013, oč. 013, č. 6, s [11] MELOSH, Robet J. Basis fo deivation of matices fo the diect stiffness method. AIAA Jounal, 1963, 1.7: [1] ZÍDEK, Rostislav a Luděk BRDEČKO. Deflection of Reinfocement Concete Stuctues accoding to EC: Compaison of Methods. In: FUIS, Ed.: Vladimí. Engineeing mechanics 011: intenational confeence, May 9-1, 011, Svatka, Czech Republic ; IM 011 ; book of full texts. 1. ed. Pague: Inst. of Themodynamics, Acad. of Sciences of the Czech Republic, 011, s ISBN Oponentní posudek vypacoval: Ing. Tomáš Čejka, Ph.D., Kateda konstukcí pozemních staveb, Fakulta stavební, ČVUT v Paze. Ing. Rostislav Zídek, Ph.D., Ústav stavební mechaniky, Fakulta stavební, VUT v Bně. 84

89 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 1 Kamila KOTRASOVÁ 1 FLUID IN RECTANGULAR TANK FREQUENCY ANALYSIS Abstact Gound-suppoted tanks ae used to stoe a vaiety of liquids. Duing eathquake activity the liquid exets impulsive and convective pessues (sloshing) on the walls and bottom of the ectangula tank. This pape povides theoetical backgound fo analytical calculating of cicula fequencies and hydodynamic pessues developed duing an eathquake in ectangula containe. Analytical esults of fist natual fequency ae compaed with expeiment. Keywods Rectangula tank, fluid, fequency, expeiment. 1 INTRODUCTION Seismic event is cetainly one of the most citical extenal events egading safety of industial plants, as demonstated by ecent eathquakes. If industial facilities stoe lage amount of hazadous mateials, accidental scenaios as fie, explosion o toxic dispesion may be tiggeed, thus possibly involving woking people within the installation, population living in close suounding o in uban aea whee the industial installation is located. Liquid stoage tanks ae consideed essential lifeline stuctues. Lage-capacity gound-suppoted tanks ae used to stoe a vaiety of liquids, e.g. wate fo dinking and fie fighting, petoleum, chemicals, and liquefied natual gas. Satisfactoy pefomance of tanks duing stong gound shaking is cucial fo moden facilities. Tanks that wee inadequately designed o detailed have suffeed extensive damage duing past eathquakes. Knowledge of pessues and foces acting on the walls and bottom of containes duing an eathquake and fequency popeties of containes and fluid ae impotant fo good analysis and design of eathquake esistant stuctues/facilities tanks. FLUID IN RECTANGULAR TANK DURING EARTHQUAKE Fo tanks, walls of which can be assumed as igid, a solution of the Laplace equation fo hoizontal excitation can be obtained in a fom, so that the total pessue is again given by the sum of impulsive and convective pessues by use of absolute summation ule: phdw phdiw phdcw. (1) Conside a ectangula containe as shown in Fig. 1, and at the instant unde consideation let the suface of the fluid be hoizontal and let the walls of the containe have a hoizontal acceleation u o in the x - diection. Let it be equied to find the pessues on the walls of the containe due to the acceleation u. o Let the fluid have a depth H, a length L and a unit thickness, Fig. 1a. It is seen that the action of the fluid is simila to that which would be obtained if the hoizontal component of fluid velocityu wee 1 Ing. Kamila Kotasová, Ph.D., Depatment of stuctual mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Technical Univesity of Košice, Vysokoškolská 4, Košice, Slovak Republic, phone: (+41) , kamila.kotasova@tuke.sk. 85

90 independent of the y coodinate; that is, imagine the fluids to be constained by thin, massless, vetical membanes fee to move in the x diection, and let the membanes be oiginally spaced a distance dx apat. When the walls of the containe ae given acceleation, the membanes will be acceleated with the fluid and the fluid will be squeezed vetically with espect to the membanes. L L x dx dx u y v y H u o H-y v du u dx dx u a) b) Fig. 1: Rectangula tank is filled with fluid As shown in Fig. 1b, since the fluid is estained between two adjacent membanes, the vetical velocity v is dependent on the hoizontal velocity u accoding to du v H y. () dx This is an equation specifying the constaint on the fluid flow. As the fluid is consideed incompessible, it follows that the acceleation v is popotional to the velocity v and the acceleation u is popotional to the velocity u, and the pessue in the fluid between two membanes is given by the standad hydodynamic equation: p v, (3) y whee is density of the fluid. The acceleation u o thus poduces an incease of hydodynamic impulsive pessue on one wall and a decease of pessue on the othe wall of y 1 y L p HDIw u 0 H 3 tanh 3 H H. (4) H The effect of the impulsive pessues is to excite the fluid into oscillations. To examine the fundamental mode of vibation, conside the fluid to be constained between igid membanes that ae fee to otate as shown in Fig.. 86

91 L L x H x u y v Fig. : Rectangula tank ae filled with fluid The constaint is descibed by the following equations: L x d u, (5) dy v z. (6) The pessue in the fluid is given by p u, x (7) 3 3 L x x d p 1. L 3 dx (8) The equation of motion of a slice of the fluid is l l p L 3 dy x dx y 1 dy. (9) The solution of this equation, with the bounday conditions appopiate to the poblem, is fo sinusoidal oscillations 5 y sinh L sin t. (10) 0 5 H sinh L This specifies the oscillation of the fluid. To detemine the natual fequency of vibation, the maximum kinetic enegy, W, is equated to the maximum potential enegy, W. K W K h l 1 u v sin t dxdy, (11) 0 l l 1 WP g x sin t dx. (1) l P 87

92 This gives g 5 5 H tanh. (13) L L The cicula fequencies ae then fo the nth mode g 5 5 H n n tanh n. (14) L L The hydodynamic convective pessues ae given by p HDCw 1 5 x cosh 3 L 5 L 0 sin t. (15) 3 5 H sinh L 3 EXPERIMENTAL ANALYSIS OF FLUID IN RECTANGULAR TANK The expeiment was made with a ectangula tank with inne gound paametes 19 mm x 39 mm and height 4 mm, made of glass. The tank was filled with wate by using potassium pemanganate; the height of filling of wate was 50 mm. The containe was excited by hoizontal hamonious motion of vaious fequencies with amplitudes of 5 mm and 10 mm (see Fig. 3). Fig. 3: View of expeiment place 4 RESULTS AND CONCLUSION The fist natual fequencies wee calculated by analytical solution equation (14). Fig. 4 shows the natual fequencies in [Hz] fo ealized expeiment depend of height of filling. 88

93 1,5 1.5 f [Hz] 1 0, height of filling [mm] Fig. 4: The fist natual fequencies depend of height of filling 1 Maximun height of wave [cm] cm 0 f [Hz] Fig. 5: Maximum heights of wave in [cm] 1 Maximun height of wave [cm] cm f [Hz] Fig. 6: Maximum heights of wave in [cm] Fo a ectangula tank with inne paametes 19 mm x 39 mm and height 4 mm, the tank was filled with wate to the height of 50 mm, the natual fequency is given f 1 = Hz, f = 1.38 Hz, and moe..., thee wee calculated by using of equation (14). 89

94 Fig. 5 shows the maximum heights of waves fo 50 mm filling of wate, by vaious exciting fequencies with 5 mm amplitude, in dependency fom fequencies in [Hz]. Fig. 6 shows the maximum heights of waves fo 50 mm filling of wate, by vaious exciting fequencies with 10 mm amplitude, in dependency fom fequencies in [Hz]. Fig. 5 shows that the maximum height of wave of wate fo 50 mm filling of wate with 5 mm amplitude is by exciting fequency 0.86 Hz. The maximum height of wave is 60 mm fom oiginal fee suface of fluid, it is 110 mm fom bottom of tank (filling of wate is 50 mm). It is coesponding with fist natual fequency, which is given f 1 = Hz by (14). Fom Fig. 5 is seen, that second natual fequency f = 1.38 Hz isn t visible. Fig. 6 shows that sloshing out of wate (blue aow) is by exciting fequency 0.85 Hz fo 50 mm filling of wate and 5 mm amplitude. It is coesponding with fist natual fequency, it is given f 1 = Hz by (14). Fist natual fequency calculated by analytical solution, equation (14), was compaed with the expeiment, see Tab. 1. Tab. 1: Compaing of fist natual fequencies Analytical solution Expeiment 5 mm amplitude 10 mm amplitude Fist natual fequency in [Hz] ACKNOWLEDGEMENTS Pepaation of the pape was suppoted by the Scientific Gant Agency of the Ministy of Education of Slovak Republic and the Slovak Academy of Sciences unde Poject 1/001/11. REFERENCES [1] HOUSNER, G., W.: Eathquake pessues on fluid containes, Califonia institute of technology, Pasadena, Califonia, [] BENČAT, J, PAPÁNOVÁ, Z.: Dynamic esponse of stuctues due to industial machiney effects. 0th Intenational Congess on Sound and Vibation 013, ICSV 013., Bangkok; Thailand; 7 July 013 though 11 July 013; Code 10340, Volume 4, 013, Pages [3] KRÁLIK, J., KRÁLIK JR., J.: Pobability assessment of analysis of high-ise buildings seismic esistence, Advanced Mateials Reseach, Volume , 013, Pages [4] MALHOTRA, P. K., WENK, T., WIELAND, M.: Simple pocedue fo seismic analysis of liquid-stoage tanks, Stuctual Engineeing Intenational, No. 3, 000, s [5] MELCER, J.: Expeimental testing of a bidge. Applied Mechanics and Mateials, Volume 486, 014, Pages [6] MIHALIKOVÁ, M., NÉMET, M., ZUBKO, P., VOJTKO, M.: Influence of stain ate on automotive steel sheet beaking. Chemicke Listy. Volume 105, Issue 17, 011, Pages s836-s837. [7] SUMEC, J., JENDŽELOVSKÝ, N.: Seismic analysis of einfoced concete wate tank. In: Poceedings of DYN-WIND 008. SvF ŽU, Papadno-Podjavoník, May 6-9, 008, pp ISBN [8] EN : 006 Euocode 8. Design of stuctues fo eathquake esistance. Pat 4: Silos, tanks and pipelines, CEN, Bussels, 006. Reviewes: Pof. Ing. Juaj Kálik, PhD., Depatment of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Slovak Univesity of Technology in Batislava. Ing. Vladimía Michalcová, Ph.D., Depatment of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, VŠB-Technical Univesity of Ostava. 90

95 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 13 Juaj KRÁLIK 1 PROBABILISTIC NONLINEAR ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BUBBLER TOWER STRUCTURE FAILURE Abstact This pape descibes the eliability analysis of concete bubble towe stuctue of nuclea powe plant with the eacto WWER 440 unde high intenal ovepessue. Thee is showed summay of calculation models and calculation methods fo the pobability analysis of the stuctual integity consideing degadation effects and high intenal ovepessue. The uncetainties of the esistance and the calculation model wee taking in the account in the RSM method. Keywods Pobability, Nonlineaity, Failue, Reinfoced Concete, NPP, ANSYS, RSM. 1 INTRODUCTION The Intenational Atomic Enegy Agency set up a pogam [, 7 and ] to give guidance to its membe states on the many aspects of the safety of nuclea powe plant (NPP) eactos. The isk of the NPP pefomance fom the point of the safety must be calculated by consideation of the impact of the all effects duing plant opeation. The pobabilistic safety analysis (PSA) is one fom the effective methods to analyze the safety and eliability of the NPP: (1) Accident fequency (systems) analysis, () Accident pogession analysis, (3) Radioactive mateial tanspot (souce tem) analysis, (4) Offsite consequence analysis, (5) Risk integation. The final stage of the PSA is the assembly of the outputs of the fist fou steps into an expession of isk as follows: n n n n IE PDS APB STG (1) Risk f IE P IE PDS P PDS APB P APB STG C In n h n h i n i j n j k ik h1 i1 j1 k1 whee n is the sample numbe in the LHS scheme; n IE - the numbe of initiating events; n PDS - the numbe of plant damage states; n APB - the numbe of accident pogession bins; n STG - the numbe of souce tem goups; Risk In - the isk of consequence measue I fo sample n (consequences/yea); f n (IE h ) - the fequency (pe yea) of initiating event h fo sample n; P n (le h PDS I ) - the conditional pobability that initiating event h will lead to plant damage state i fo sample n; P n (PDS I APB J ) - the conditional pobability that plant damage state i will lead to accident pogession bin 1 fo sample n; P n (APB J STG k ) - the conditional pobability that accident pogession bin j will lead to souce tem goup k fo sample n and C ik - the expected value of consequence measue i conditional on the occuence of souce tem goup k. 1 Pof. Ing. Juaj Kálik, Ph.D., Depatment of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Slovak Univesity of Technology in Batislava, Radlinského 11, Batislava , juaj.kalik@stuba.sk. 91

96 The isk integation is shown in matix fomulation in Figue 1. The appoximate numbes of PDSs, APBs, and STGs, and the numbe of consequences used in the diffeent NUREG-1150 [0] PSAs ae 0, 1000, 50 and 8, espectively. Accident Fequency Analysis Accident Pogession Analysis Souce Tem Analysis Consequence Analysis Risk Results f n (PDS) P n (PDS i APB j ) P n (APB j STG k ) C ik (STG) Risk (f 1, f f nie ) P P... P P P... P.... P P... P 11, 1, 1,nAPB 1,,,nAPB npds, 1 npds, 1 npds,napb P11 P 1... P1 P1 P... P.... P 1 P 1... P,,,nSTG,,,nSTG napb, napb, napb,nstg P11 P 1... P1 P1 P... P.... P 1 P 1... P,,,nSTG,,,nSTG npds, npds, npds,nstg Fig. 1: Scheme of Latin Hypecube Sampling The geneal pupose of the pobability analysis of the containment integity [15 and 16] was to define the citical places of the stuctue elements and to estimate the stuctual collapse. (Risk 1,Risk Risk nie ) Fig. : Calculation model of NPP building Following the esults fom Loss of Coolant Accident (LOCA) scenaios the pobability check of the stuctual integity may be ealized fo the andom value of the loads and mateial popeties by modified LHS method. Fo a complex analysis of the concete stuctue fo diffeent kind of loads, ANSYS softwae and the pogam CRACK (ceated by Kálik) [15 and 16] wee povided to solve this task. The building of the powe block was idealized with a discete model consisting of elements with degees of feedom (DOF) (see Fig.). The intenational standad NUREG-1150 [0] PSA defines the pincipal steps fo the calculation of the isk of the NPP pefomance by LHS pobabilistic method. PROBABILISTIC SAFETY ASSESSMENT Pobabilistic safety assessment (PSA) level [, 7 and 16] is a systematic way to study, fom the point of view of safety and with the estictions of a specific methodology, the behaviou of a system (NPP unde accident o quasi-accident conditions) when uncetainty is pesent and widespead. The stating point of level is the esult of a PSA level 1. The esults of such study is a huge quantity of accident sequences that ae gouped, accoding to diffeent citeia egading accident chaacteistics and potential containment esponses, into a manageable numbe of plant damage states (PDS). Afte an appopiate sceening of vey low pobability sequences, the 9

97 pobabilistic pogession of accidents is studied using event tees, commonly known as accident pogession event tees (APET) o containment event tees (CET), unde two possibilities: lage event tees (vitually all questions egading sevee accident ae included as top events) and small event tees (only main questions egading sevee accident phenomena ae included as top events). The use of these event tees leads to getting a huge quantity of end states, that have to be gouped, as in the case of PDS s, to get a moe manageable set of elease categoies, late used to estimate all the vaiety of diffeent possible souce tems. The appopiate combination of elease categoies and coesponding fequencies allows estimating the isk associated to the NPP. Uncetainty is eally pevasive in a PSA level. The fist matte of concen is the stating point. A lot of methods and tools do exist to study the influence of uncetainties on the esults of sevee accidents compute codes in use fo PSA level. So we could say that uncetainty aises in thee aeas of the PSA level - 1) Definition of plant damage states, ) Simulation of the poblem, including event tee constuction and models (compute codes) used to simulate the physical-chemical pocesses involved, and 3) data used to feed models. This is what classically has been consideed scenaio, model and data uncetainty..1 Plant damage state definition and quantification The plant damage states (PDS) fom the stating point fo the level analysis [16]. Each PDS consists of a collection of coe damage sequences, which ae expected to behave similaly following the onset of coe damage. The pupose of gouping coe damage sequences into PDS is to make the level analysis moe manageable and undestandable. Accident pogession was the fist paamete consideed in the gouping pocess. Fou main souce tem goups wee selected depending on the sequence type: a lage LOCA, tansients o small LOCA, intefacing LOCA, and open eacto (o fuel pool) sequences. All othe paametes wee consideed within each of these main goups.. Pobabilistic analysis of NPP stuctues The containment ovepessue study is pat of the Level PSA [ and 7]. Consequently, the containment s pessue capacity must be expessed in pobabilistic tems in such a fom that it can be used as input in the oveall pobabilistic isk assessment. The methodology of pobabilistic analysis of integity of einfoced concete stuctues of containment esults fom equiements [7 and 16] and expeiences fom thei applications [15]. The pobability of loss integity of einfoced concete stuctue hence it will be calculated fom the pobability of no accomplishment condition of eliability RF, P f = P(RF < 0), () whee the eliability condition is defined by [4] in fom RF = R - E > 0, vaious in the fom elative RF = R / E -1 > 0 (3) whee R is esistance of stuctue, E - effect of action defined by its density. In the case of calculus the esistance of einfoced concete stuctue leads off the condition of section integity. The pessue value could be consideed to be the containment ultimate capacity. This pessue capacity value can be detemined though stuctual analysis methods. The conventional analysis is typically based on design configuation and specified design mateial popety values, and as such is deteministic and the computed capacity is a point estimate of the capacity. Appoximation is always made in the analysis and the actual as-built building geomety and mateial popeties deviate fom the idealized design used as basis of the analysis. The uncetainty involved to the calculation has following two impotant implications: 1. The capacity desciption must include a quantified desciption of the uncetainty inheent in the point estimate. The fagility cuves must be defined fo Level PSA ovepessue studies.. The capacity estimates must be detemined not only fo the weakest link (with lowest point estimate), but also fo othe weak links along the pessue bounday. Once point estimates and the associated distibutions, as well as the level of coelation between the diffeent failue 93

98 modes, the aggegate oveall desciption of the containment pessue capacity can be computed using pobabilistic method. Infomation fom design calculation and engineeing judgment may identify pats of the containment o doos, hatch coves, etc., as candidates limiting the oveall containment pessue capacity. The components/mechanisms with low enough capacities must be analyzed to the level of detail consideed easonable fo the pupose, eliminating consevatism as possible. 3 SAFETY ANALYSIS OF THE NPP STRUCTURES DUE TO LOCA ACCIDENT The accident scenaio was defined in accodance with code MELCOR [1]. The guillotine cutting of the 13mm, 3mm, 71mm and the lage beak LOCA of the 500mm (Fig.3) cold leg in the containment wee consideed. The tempeatue in the containment inceased duing the LOCA accident. The peaks of the tempeatue ae equal to 160 o C in the Box SG (Steam geneato) by the esults of themodynamic analysis. The effect of these tempeatue peaks is minimal duing the accident and the acting of the ovepessue loads. In the case of the hamonic amplitude of tempeatue the phase angle fo concete walls is supeio to 4 hous. The stength of the concete afte LOCA accident inceases about to 10% in consequence of the tempeatue loads duing the accident. The peak of the pessue in the Box SG is equal to 00kPa (absolute value). Fig. 3: Ovepessue in the Box SG fo guillotine cutting of pipe 500mm [1] 3.1 Failue pessue of containment The failue pessue p u can be detemined fom the assumption, that failue occus when in the stuctue the mean esistance counted on the mean mateial stength R is eached assuming linea elation between the intenal ovepessue p and action effects E coected by the action effect educing coefficient pu plocak REo E p (4) whee p u is failue pessue, p LOCA is pessue in the case of LOCA effect (p LOCA =150kPa), k is eduction facto based on assumption of the stess edistibution due to nonlinea behavio of mateial, R is stuctue esistance (capacity), E o is effect of initial action (dead loads, tempeatue, pefomance loads), E p is effect of pessue. 94

99 3. Failue pessue of containment Fo the pobability analysis of the steel and einfoced stuctues of NPP containment the statistical chaacteistic of mateial popeties must be defined. In the case than the site-specific mateial stength test data ae available median stength and vaiability can be obtained fom the sample statistics. Howeve, in the absence of site specific test data in the cuent study, the median mateial stengths and vaiability wee estimated based on the nominal specification values adjusted based on geneic data in the liteatue and expeience fom othe containment investigations. The median values and vaiability wee chaacteized assuming that all of the mateial stengths could be chaacteized by a lognomal distibution. 3.3 Modelling uncetainty Uncetainties exist in the estimated pessue capacities due to diffeences between the analytical idealization of the stuctue and the eal conditions. Thee ae vaious possible souces of modelling uncetainties. The quality of calculation FEM model meshing, appoximation, bounday conditions it has significant influence to value of intenal foce distibutions. The uncetainty of intenal foce distibution, failue citeia, and used empiical fomulae must be investigated. Howeve, in many instances, the evaluation of these uncetainties would equie vey detailed analysis and/o extensive data which may not be available. As a esult, it is necessay to use subjective evaluation and engineeing judgment to estimate these uncetainties. It is well known [14 and 16] that due to non-linea and especially plastic behaviou of einfoced concete stuctue the diffeent codes allow to take into account the edistibution of intenal foces, pimaily the bending moments in a diffeent extent depending on the neutal axis depth, the quality of the concete, the plastic behaviou of the einfocement. The amount of bending moments edistibuted in the codes is between 15-30%. The esults ae such a situation, whee the capacity of all the coss sections of maximal moments is fully exhausted. In the case of high intenal ovepessue the containment concete walls and plates ae loaded by tension foces and bending moments. The edistibution of intenal nomal foces in a box-like einfoced concete stuctue is possible, even in case of tension if the capacities of the walls/slabs in one diection ae not unifomly exhausted. Of couse, the edistibution of the bending moments is possible too. The vey high stesses of the ange of the mean stengths cause high plastic defomations which also contibute to the edistibution. This effect may be consideed by consevative appoach using eduction facto k ed. Summing up the foegoing aguments it was assumed that a k ed = 1. which is consistent with a edistibution between % [16]. 4 EXPERIMENTAL TEST OF CONTAINMENT AIR TIGHTNESS The bubble towe (BT) is the most impotant stuctue in the case of the accident of the pipe coolant system in the Reacto hall (Fig.). The exteme pessue and the steam adioactivity ae eliminated in the space of BT. In this pape the nonlinea analysis of the concete BT stuctue esistance fo mean values of loads, mateial popeties and highe ovepessue than BDBA (Beyond Design Basic Accident) is pesented. On the base of the IAEA equiements [14] the expeimental test of the ai tightness of hemetic zone must be ealized each 10 yeas of NPP pefomance. The stiffness of stuctue is tested duing this expeiment too. The expeimental esults wee compaed with the esults of numeical analysis of the stuctues on the FEM calculation model. Fo a complex analysis of the concete stuctue fo diffeent kind of loads, ANSYS softwae wee povided to solve this task. The building of the nuclea powe block (NPP) was idealized with a discete model consisting of elements with DOF (Fig.4). The ai tightness of the hemetic zone and stiffness esistance of the stuctues was tested by compession of the inteio space of NPP. The pessue incease with the speed of 5kPa by hous and each compession step (a 5kPa) wee stabilized duing hou. 95

100 Fig. 4: Calculation FEM model of the NPP building The pessue incease fom the 0kPa to 100kPa and since the pessue decease to 0kPa with the same tempo. The esults of the measuements wee ecoded at pessue 0, 5, 50, 75 and 100kPa. The inspections of the citical places wee ealized by the expets (STU Batislava, VUEZ Levice, VUJE Tnava, SE Batislava) afte each changing step. Fig. 5: Bubble towe wall and oof measued deflection The optical and mechanical methods wee used to check the defomation of stuctues in the citical places duing the pessue change inside the hemetic zone. The citical places of the stuctues wee detemined by the numeical analysis [14]. The mechanical indicatos wee installed in the wall cente of the gas-tank and the oof-plate of the bubble towe. 5 NUMERICAL ANALYSIS The safety and eliability of the NPP stuctues of the hemetic zone must be tested on the esistance to the LOCA accident. The DBA a BDBA loads wee defined fom the scenaios of the guillotine cutting of the 13.mm, 3.mm, 71.mm and 500.mm cold leg in the Box SG. The peaks pessue and tempeatue wee consideed on the base of the scenaios in pogam MELCOR by VUJE Tnava. The BDBA load case was defined fo the pessue 150.kPa following E = D + L + P a T o + R a (5) whee D - dead loads, L - live loads, T o - pefomance tempeatue, R a - eaction of the equipments, P a.-.local effects of the LOCA. 96

101 The behavio of the intensity of bending moments m x unde pessue 150kPa is pesented in Fig.6. The most exposed walls on the tension ae the walls in the modulus 10 and 17 and wall bottom in the modulus E. The most exposed walls on the bending ae the walls in the modulus 10 and 17 in the cone with wall in module D and wall bottom in the modulus E (Fig. 6). Fig. 6: Bending moments m x unde pessue 150kPa 6 NONLINEAR SOLUTION The pesented constitutive model is a futhe extension of the smeaed cack model [1, 3, 1 and 3], model of the smeaed einfocements [14 and 1], which was developed in [15]. Following the expeimental esults [3, 11 and 18] a new concete cacking layeed finite shell element was developed and incopoated into the ANSYS system [16] using pogam CRACK. The layeed appoximation and the smeaed cack model of the shell element ae poposed. The matix of the mateial stiffness is obtained fom the poposition of smeaed einfocement and the otated cacks in the diection of pincipal stain in each shell laye. The stiffness matix of einfoced concete fo the l th -laye can be witten in the following fom n l l T l l l T l l c c. c c. s s s j1 D T D T T D T (6) whee [T c.σ ], [T c.ε ], [T s ] ae the tansfomation matices fo concete and einfocement sepaately. The limit of damage at a point was contolled by the values of the so-called cushing o total damage function F u. The modified Kupfe s condition [18] fo l - laye of section is following l l 1; ; 0 and u F F I J l u u u 97 F 3J I 0 (7) 1 whee I1, J ae stain invaiants; and u is an ultimate total stain extapolated fom uniaxial test esults;, ae mateial paametes detemined fom Kupfe s expeiment esults ( = 1.355, =0.355 u ). In the otated cack model, the diection of the pincipal stess coincides with the diection of the pincipal stain. If the pincipal stain axes otate duing the loading the diection of the cacks otates, too. The failue function [16] of the whole section will be obtained by the integation of the failue function though to whole section in the fom h Nlay 1 l 1 l u. u 1; ; u u 1; ; u l h h 0 l 1 F F I I dz F I I h (8) u

102 whee h l is the thickness of the shell laye and h is the total shell thickness. This failue condition is detemined by the maximum stain s of the einfocement steel in the tension aea (max( s ).. sm = 0.01) and by maximum concete cack width w c (max(w c ) w cm = 0.3mm). In ode to ensue the co-axiality of the pincipal stain axes with the mateial axes the tangent shea modulus G t is calculated as c1 c G t (9) 1 The nonlinea solution was ealized using the layeed shell element SHELL91 fom the ANSYS libay and pogam CRACK with concete nonlinea model [15 and 16] and the expeimental esults [11]. The compaison of the influences of the plastic defomation and bounday effects is pesented in the Fig. 7. The wall of the 4. gas-tank has dimension 39.0/13.61/1.5.m. The simple suppot and clamped was investigated. Also, the elastic and plastic behavio of concete mateial was consideed too. Fig. 7: Compaison the wall deflection of 4.gas-tank fo elastic and plastic solution 7 PROBABILISTIC ANALYSIS OF THE STRUCTURE FAILURE Recent advances and the geneal accessibility of infomation technologies and computing techniques give ise to assumptions concening the wide use of the pobabilistic assessment of the eliability of stuctues though the use of simulation methods [5, 6, 8, 9, 13, 16, 17, 19 and 4]. Reliability can be defined as the pobabilistic measue of assuance of pefomance with espect to some pescibed conditions [4, 5, 6, 10 and 19]. A condition can efe to an ultimate limit state (such as collapse) o seviceability limit state (such as excessive deflection and/o vibation). The pobability of failue can be defined by the simple elation Pf PR E PRE0 PRF 0 (10) whee RF is a eliability function, E is a loading effects and R is a esistance of stuctue. The eliability function RF can be expessed geneally as a function of the stochastic paametes X 1, X to X n, used in the calculation of R and E. RF g( X1, X,..., X n ) (11) The failue function g({x}) epesents the condition (eseve) of the eliability, which can eithe be an explicit o implicit function of the stochastic paametes and can be single (defined on one coss-section) o complex (defined on seveal coss-sections, e.g., on a complex finite element model). 98

103 Fo a system limit state defined by g(x 1,..., X m ).=.0, whee X i ae the basic vaiables, the failue pobability is computed as the integal ove the failue domain (g(x).<.0) of the joint pobability density function of X. In geneal, the failue of any system can be expessed as a union and/o intesection of events. The failue of an ideal seies (o weakest link) system [15] may be expessed following Fsys F1F... Fm (1) in which denotes the Boolean OR opeato. In the case of simulation methods the failue pobability is calculated fom the evaluation of the statistical paametes and theoetical model of the pobability distibution of the eliability function Z.=.g(X). The failue pobability is defined as the best estimation on the base of numeical simulations in the fom N 1 pf I gxi0 (13) N i 1 whee N in the numbe of simulations, g(.) is the failue function, I[.] is the function with value 1, if the condition in the squae backet is fulfilled, othewise is equal to 0. Vaiation of the failue function can be defined by Melches [17] in the fom 1 N N 1 1 sp I g X f i I g Xi N 1 N i1 N i1 0 0 (14) The vaious foms of analyses (statistical analysis, sensitivity analysis, pobabilistic analysis) can be pefomed. Most of these methods ae based on the integation of Monte Calo (MC) simulations. Thee categoies of methods have been pesently ealized - Diect methods (Impotance Sampling.-.IS, Adaptive Sampling.-.AS, Diect Sampling.-.DS), Modified methods (Conditional, Latin Hypecube Sampling.-.LHS) and Appoximation methods (Response Suface Method.-.RSM). The advantages and dawbacks of these methods ae descibed in detail in the wok [17]. Appoximation methods - Response Suface Methods ae based on the assumption that it is possible to define the dependency between the vaiable input and the output data though the appoximation functions in the following fom: n n n1 n o i i ii i ij i j i1 i1 i1 ji (15) Y g X c c X c X c X X whee c o, c i, c ii, and c ij ae egession coefficients which depend on g X in ˆX and the deivatives of ˆX. Based on Equation (14), fee types of polynomial ae defined depending on the tems consideed full quadatic, educed quadatic o linea. On the base of expeimental design, the unknown coefficients ae detemined due to the andom vaiables selected within the expeimental egion. The tue pefomance function g({x}) o {Y} in Equation (14) can be epesented in the matix fom as Y Xc (16) whee {Y} is the vecto of actual esponses, and [X] is the coefficient matix. The least squaes estimates ĉ, defined as c o, c i, c ii and c ij in Equation (15), ae obtained by solution of the least squae (egession) analysis, i.e., T 1 T cˆ X X X Y (17) 99

104 The design includes seveal statistical popeties such as othogonality that makes the T calculation of X value. X tem simple and otability that insues the unifom pecision of the pedicted Fig. 8: Distibution schemes CCD method The cental composite design (CCD) is based on the full quadatic polynomial. Hence it is composed of k factoial design, n o cente points and k axial potion of design. The total numbe of design points is N= k +k+n o which is much moe than the numbe of the coefficients p=(k+1)(k+)/. The gaphical epesentation fo k=3 and the matix fom of the coded values ae epesented in Figue 8. 8 PSA ANALYSIS OF STRUCTURE FAILURE The pobability of BT-stuctue failue is calculated fom the pobability of the eliability function RF [16] in the fom, P f = P(RF < 0) (18) whee the eliability condition is defined depending on concete failue condition (4) as follows RF Fu I1; J; u 1 Fu I1; J; u u, (19) whee failue function F u (.) was consideed in the fom (7). The pevious design analysis, calculations and additions include vaious uncetainties, which detemine the esults of pobability beaing analysis of containment stuctual integity is pesented in Table 1. On the base of mentioned inaccuacy of input data fo pobabilistic analysis of loss integity of einfoced concete containment stuctues wee detemined thei mean values and standad deviations, vaious the vaiable paametes fo nomal and lognomal distibution. On the base of the RSM simulation method the vecto of the defomation paametes { s } is defined fo s-simulation in the fom and the stain vecto 1 s KEs, s, F. s FGs, Ps, Ts (0) s BsGs, Ps, Ts, Es, s, F. s (1) whee F is the Kupfe s yield function of the concete defined in the stess components. 100

105 Table 1: Vaiable paametes of the input data [16] Loads Model Dead load Pessue Tempeatue Action uncetainty Resistance uncetainty Chaacteistic values G k P k T k E k R k Vaiables g va p va t va e va va Histogam type N N N N/LN N/LN Mean value Deviation [%] Minimum value / /0.498 Maximum value / / CONCLUSION This pape poposed the methodology of the PSA level analysis of the NPP hemetic stuctues penetation unde accident events. The geneal pupose of the pobabilistic analysis of the containment integity was to define the citical places of the stuctue elements and to estimate the stuctual collapse. The uncetainties of the loads level (long-time tempeatue and dead loads), the mateial popeties (concete cacking and cushing, einfocement, and line) and othe influences following the inaccuacy of the calculated model and numeical methods wee consideed. Resulting fom vaiability of input quantity 5 simulation steps on the base of RSM method unde system ANSYS-CRACK was ealized [16]. The pobability of loss BT-stuctue integity was calculated fom 10 6 Monte Calo simulations fo 5 steps of appoximation method RSM on the full stuctual FEM model. The pobability analysis was ealized fo stuctual FEM model consideing the concete cacking. The mean value of the failue pessue is equal to 609.7kPa and its 5% kvantil is equal to 369.3kPa. ACKNOWLEDGEMENT This aticle was ceated with the suppot of the Ministy of Education, Science, Reseach and Spot of the Slovak Republic within the Reseach and Development Opeational Pogamme fo the poject "Univesity Science Pak of STU Batislava", ITMS , co-funded by the Euopean Regional Development Fund. REFERENCES [1] BAŽANT, Z. P. PANG, S. D. VOŘECHOVSKÝ, M. AND NOVÁK. D. Enegetic-statistical size effect simulated by SFEM with statified sampling and cack band model. Intenational Jounal fo Numeical Methods in Engineeing (Wiley), 71(11): , 007. [] CSNI R.1997/11 Level PSA Methodology and Sevee Accident Management, Pepaed by the CNRA Woking Goup on Inspection Pactices (WGIP), OCDE/GD(97)198, [3] ČERVENKA, V. Constitutive Model fo Cacked Reinfoced Concete, ACI Jounal 8 (1985) 877. [4] EUROCODE Basis of Stuctual Design. ENV , CEN 00. [5] HALDAR,A. & MAHADEVAN,S. Pobability, Reliability and Statistical Methods in Engineeing Design, John Wiley & Sons., New Yok, 000. [6] HOLICKÝ,M. & MARKOVÁ,J. Base of eliability theoy and isk evaluation. ČVUT Paha, (in Czech), 005. [7] IAEA. Development and Application of Level Pobabilistic Safety Assessment fo Nuclea Powe Plants. Daft Safety Guide DS393, Daft 6, Febuay, 008. [8] JANAS, P., KREJSA, M., KREJSA, V. Stuctual Reliability Assessment Using Diect Detemined Pobabilistic Calculation. In Poceedings of the Twelfth Intenational Confeence on Civil, Stuctual and Envionmental Engineeing Computing, pape 7, Topping, Costa 101

106 Neves & Baos (eds), Funchal, Madeia, Potugal. Civil-Comp Pess, 009. ISBN [9] JANAS, P., KREJSA, M., KREJSA, V. Using the Diect Detemined Fully Pobabilistic Method fo detemination of failue. In Poceedings of the Euopean Safety and Reliability Confeence, Esel septembe 009, Pague. Reliability, Risk and Safety: Theoy and Applications, 010 Taylo & Fancis Goup, London. pp (8 p). [10] JCSS-OSTL/DIA/VROU , Pobabilistic Model Code, Pat 1 Basis of Design, Woking mateial, [11] JERGA,J. & KRIŽMA,M. Assessment of Concete Damage. Building Reseach Jounal, Vol. 54, No. 3-4, 006, pp [1] JURIŠ,P. JANČOVIČ,J. Accident iniciated by leak coolant medium fo EMO1,. LOCA x500mm. VÚJE,a.s. V01-TS/871/00/006.15, 006. [13] KALA, Z. Sensitivity analysis of steel plane fames with initial impefections, Engineeing Stuctues, 33, 8, pp , 011. [14] KAZAKOV K., A.YANAKIEVA, Computational Effectivness of the Augmented Lagange Method in the FE Simulations of Pull-out of Steel Ba and Concete, Comptes endus de l'académie bulgaie des Sciences, Tome 65 (), 19-4, 01. [15] KRÁLIK,J. Pobability Nonlinea Analysis of Reinfoced Concete Containment Damage due to High Intenal Ove-pessue. Engineeing mechanics. EACR Bno, Vol.1, No., 005, pp [16] KRÁLIK,J. Safety and Reliability of Nuclea Powe Buildings in Slovakia. Eathquake- Impact-Explosion. Edition STU Batislava, 009, pp.305. [17] KRÁLIK,J. Reliability Analysis of Stuctues Using Stochastic Finite Element Method, Edition STU Batislava, 009, pp.138. [18] KUPFER,H., HILSDORF, H. K. & RUESCH, H.. Behavio of Concete Unde Biaxial Stesses, Jounal ACI, Poc.V.66, No.8, 1969, pp [19] MELCHERS,R.E. Stuctual Reliability: Analysis and Pe-diction, John Wiley & Sons, Chicheste, U.K., [0] NUREG Sevee Accident Risks An Assessment fo Five US Nuclea Powe Plants, Summay Repot, Final Summay Repot, NUREG-1150, Vol.1 and, Decembe [1] OÑATE, E. OLLER, S. OLIVER, J. LUBLINER, J. A Constitutive Model fo Cacking of Concete Based on the Incemental Theoy of Plasticity, Engineeing Computation 5, pp. 309, [] SALAJKA, V. HRADIL, P. KALA, J. Assess of the Nuclea Powe Plant Stuctues Residual Life and Eathquake Resistance, In Poc. The Second Intenational Confeence on Engineeing and Technology Innovation (ICETI 01), Kaohsiung, Taiwan, Novembe 0-06, 01, pp.4 [3] SUCHARDA, O., BROŽOVSKÝ, J. Effect of Selected Paametes of Non-Linea Analysis of Concete Stuctues. Tansactions of the VŠB - Technical Univesity of Ostava, 01, oč. 1, č. 1, s [4] VEJVODA, S., KERŠNER, Z., NOVÁK, D. & TEPLÝ, B. Pobabilistic Safety Assessment of the Steam Geneato Cove, In Poc. of the 17th Intenational Confeence on Stuctual Mechanics in Reacto Technology (SMiRT 17), Pague, CR, August 17-, 003, 10 pp. Reviewes: Pof. Ing. Zbyněk Kešne, CSc., Institute of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Bno Univesity of Technology. Doc. Ing. Pustka David, Ph.D., Depatment of Building Stuctues, Faculty of Civil Engineeing, VŠB-TU Ostava. 10

107 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 14 Jan KREJSA 1, Milan HOLICKÝ, Mioslav SÝKORA 3 UNCERTAINTY IN SHEAR RESISTANCE OF REINFORCED CONCRETE BEAMS WITH STIRRUPS COMPARISON OF EN AND fib MC 010 APPROACHES NEJISTOTY SMYKOVÉ ODOLNOSTI ŽELEZOBETONOVÝCH NOSNÍKŮ S TŘMÍNKY POROVNÁNÍ POSTUPŮ PODLE EN A fib MC 010 Abstact The submitted contibution is focused on the model uncetainty elated to shea esistance of einfoced concete beams with stiups. Using available test esults, effects of basic vaiables on the model uncetainty ae analysed. Consideing the section-oiented models povided in EN and in the new fib Model Code 010 ae citically compaed. Poposed pobabilistic desciption of the model uncetainty consists of the lognomal distibution having the mean and coefficient of vaiation dependent on the consideed model. Stength of shea einfocement seems to be the most impotant basic vaiable fo most of the consideed models. Keywods Model uncetainty, shea esistance, einfoced concete, beam. Abstakt Příspěvek je zaměřen na modelové nejistoty smykové odolnosti železobetonových pvků s třmínky. S využitím dostupných expeimentálních dat se poovnávají nejistoty modelů v EN a fib Model Code 010. Jsou identifikovány veličiny významně ovlivňující modelovou nejistotu. Teoetický popis nejistot se opíá o lognomální ozdělení s půměem a vaiačním koeficientem závislým na použitém modelu. Po většinu uvažovaných modelů je pevnost smykového vyztužení nejvýznamnější základní veličinou. Klíčová slova Modelová nejistota, smyková odolnost, železobeton, nosník. 1 INTRODUCTION Pevious studies [1-4] indicated that stuctual esistances can be pedicted by appopiate modelling of mateial popeties, geomety vaiables and uncetainties associated with an applied model. The effect of vaiability of mateials and geomety has been extensively investigated and is 1 Bc. Jan Kejsa, Depatment of Stuctual Reliability, Klokne Insitute, Czech Technical Univesity in Pague, Solinova 7, , Pague-Dejvice, phone: (+40) , jan.kejsa@klok.cvut.cz. Pof. Ing. Milan Holicky, Ph.D. DSc., Depatment of Stuctual Reliability, Klokne Insitute, Czech Technical Univesity in Pague, Solinova 7, , Pague-Dejvice, phone: (+40) , milan.holicky@klok.cvut.cz. 3 Ing. Mioslav Sykoa, Ph.D., Depatment of Stuctual Reliability, Klokne Insitute, Czech Technical Univesity in Pague, Solinova 7, , Pague-Dejvice, phone: (+40) , mioslav.sykoa@klok.cvut.cz. 103

108 elatively well undestood. Howeve, impovements in the desciption of model uncetainties ae still needed [4]. The pesented study is focused on the model uncetainties of the shea esistance of beams with stiups. Model uncetainty in the shea esistance accoding to the new fib Model Code [5] (heeafte MC 010 ) is analysed. The esults ae then citically compaed to those obtained in a pevious study [6] fo the model in EN [7] (heeafte EN ). Beams not affected by degadation ae taken into account. MODEL UNCERTAINTY The model uncetainty should always be clealy associated with an assumed esistance model. In common cases actual esistance can be estimated as a poduct of the model uncetainty and esistance obtained by the model. In this study the model uncetainty θ is consideed to be a andom vaiable. The multiplicative elationship fo θ is assumed in accodance with [8]: R = θ R model (X) (1) whee: R denotes the esponse of a stuctue (actual esistance estimated fom test esults and stuctual conditions); R model model esistance (estimate of the esistance based on a model); and X T = (X 1,, X m ) vecto of basic vaiables X i. Assuming lognomal distibution with the oigin at zeo (heeafte simply lognomal distibution ) fo R and R model ( ), the model uncetainty given by elationship (1) is also lognomal. The model uncetainty θ in geneal depends on basic vaiables X. Influence of individual vaiables on θ can be assessed by a egession analysis [9]. It is also indicated that the model descibes well the essential dependency of R on X only if the model uncetainty: Has eithe a suitably small coefficient of vaiation (how small is the question of the pactical impotance of the accuacy of the model) o Is statistically independent of the basic vaiables (X 1,, X m ). Moe infomation about the model uncetainties can be found in [6,10,11]. 3 SHEAR RESISTANCE ACCORDING TO THE CONSIDERED MODELS Thee levels of appoximation ae distinguished in the models fo shea esistance of einfoced concete beams accoding to MC 010: MC 010 Level 1 (heeafte Level 1 ) equies few input data and is simple to evaluate. Fo Level moe input data ae needed and the evaluation is moe complex than in Level 1. Level 3 equies the same input data like Level ; howeve its evaluation is the most laboious. Evaluation of the shea esistance fo all the levels is based on analytical elationships that ae essentially easy to compute (see elationship () below and Annex A). Input data fo the thee levels ae summaised in Tab. 1. In MC 010 it is expected that Level 1 leads the most consevative esults, Level is less consevative and Level 3 povides the most accuate esults. 104

109 Tab. 1: Desciption and ange of vaiables included in the database and enteing to the assessment Basic vaiables fo which data ae included in the database Min. Max. Applied in model a/d (-) shea span-to-depth atio b w (mm) smallest width of a coss-section in the tensile aea all models d (mm) effective depth all models f c (MPa) concete compessive stength all models f yw (MPa) yield stength of stiups all models s (mm) stiup spacing V fail (kn) shea foce at failue Levels, 3 ρ 1 = A sl / (b w d) (%) (1) longitudinal einfocement atio Levels, 3 ρ w = A sw / b ws (%) () shea einfocement atio all models ρ w f yw (MPa) stength of shea einfocement all models Auxiliay vaiables deived fom the basic vaiables (in MC assessment) E s (GPa) modulus of elasticity of einfocing steel 10 Levels, 3 k v (-) (3) k ε (-) (4) stength eduction facto fo concete cacked in shea stength eduction facto fo concete cacked in compession (7) (7) Levels 1-3 (7) (7) Levels 1-3 ε x (-) (5) stain in the coe laye (7) (7) Levels, 3 ξ ( ) (6) angle between concete compession stuts and the main tension chod (7) (7) all models (1) A sl denotes aea of longitudinal einfocement () A sw aea of shea einfocement (3) k v = 180 / ( z) (4) fo Level 1 k ε = 0.55 fo Level k ε = min[1 / ( (ε x + (ε x ) cot ξ)), 0.65] (5) ε x = (M E / z + V E ) / ( E s ρ l b w d), whee M E = V fail z, V E = V fail and z = 0.9d (6) ξ may be chosen between limits <30, 45 > fo Level 1 and < ε x, 45 > fo Level (7) depends on an applied model 105

110 Consideing no axial compessive foce and f c in MPa, the shea esistance accoding to Levels 1 and is: 1/ max( k v min(8, fc ) bw z, wbw z f yw cot ) R model( X ) min 1/ 3 () kε min(1,(30 / fc ) ) fcbw z sin cos Evaluation accoding to Level 3 is moe complex and is descibed sepaately in Annex A. Actual concete stengths instead of chaacteistic values ae applied in all the models. Notation of the basic vaiables affecting the shea esistance is povided in Tab. 1. The symbol ξ fo the angle between concete compession stuts and the main tension chod is intoduced hee instead of θ (used in MC 010) to avoid confusion with the symbol fo model uncetainty. The shea model povided in EN fo beams with stiups is: R model (X) = max 1 cot ξ.5 {min[ρ w b w z f yw cot ξ; b w z ν 1 f c / (cot ξ + tan ξ)]} (3) whee: ν 1 denotes the stength eduction facto fo concete cacked in shea, ν 1 = 0.6 fo f c 60 MPa o ν 1 = max[0.5; 0.9 f c / 00 MPa] othewise. Moe infomation about the model and elated uncetainties can be found in [6]. 4 DATABASE OF EXPERIMENTAL RESULTS Reseaches at the Univesity of Stellenbosch collected a database of tests of beams with stiups [1] that is used hee to assess the uncetainty in the MC 010 models. Fo tests infomation on ρ w and f yw is missing and these test esults ae heeafte not consideed. Ranges of mateial and geometical chaacteistics of the tested beams ae given in Tab. 1. The database coves a wide ange of beams with low to high concete stengths, shea einfocement atio, and effective depths. Beams with light, modeate and heavy shea einfocement ae included. It should be noted that the design ules in EN ae valid fo einfocement with the chaacteistic yield stength f yk between 400 to 600 MPa and the database contains 97 specimens out of this ange. Howeve, these specimens have insignificant influence on the model uncetainty and ae thus taken into account in the futhe analysis. No simila limits ae included in MC 010. Gubb s test of outlies is pefomed consideing a significance level of 0.05 [13]. One sample is emoved fo all the levels of MC 010 (fo EN none of the 00 samples was excluded [6]). 5 STATISTICAL EVALUATION AND COMPARISON OF THE MODEL UNCERTAINTY Fo each expeiment the model esistance is assessed fom equation () and Annex A and the model uncetainty is evaluated fom equation (1). Sample chaacteistics of θ (mean μ θ and coefficient of vaiation V θ ) fo the whole database ae given in Tab. a fo MC 010 and in Tab. b fo EN (adopted fom [6]). A lognomal distibution is assumed in accodance with [8]. Fig. 1 shows pobability density functions of θ associated with EN and MC 010, based on the sample chaacteistics deived fom the whole databases. It appeas that Level 3 is the most appopiate model the mean of the uncetainty is close to unity and coefficient of vaiation is elatively small. To veify influence of basic vaiables (Tab. 3) on the model uncetainty, a simple sensitivity analysis poposed in [1] is conducted fo the pesent database. Tends in θ with a basic vaiable X i ae assessed using the coelation coefficient ρ (coelation between θ and X i ). Note that infomation on stiup spacing s is missing fo 67 tests. These tests wee emoved fom the database only fo a 106

111 paticula assessment of influence of s on θ as this vaiable is not an input paamete fo any of the consideed shea models. Tab. a: Sample chaacteistics of the model uncetainty accoding to MC 010 Level of appoximation Level 1 Level Level 3 Desciption of the sample μ θ Vθ μ θ Vθ μ θ Vθ Whole database, n = Lightly einfoced beams (ρ w f yw 1 MPa), n = 147 Modeately einfoced beams (1 MPa < ρ w f yw MPa), n = 44 Heavily einfoced beams ( MPa < ρ w f yw ), n = Tab. b: Sample chaacteistics of the model uncetainty accoding to EN adopted fom [6] Desciption of the sample μ θ Vθ Whole database, n = Lightly einfoced beams n = Modeately einfoced beams, n = Heavily einfoced beams, n = PDF[-] Level 3 EN Level Level θ [-] 3 Fig. 1: Pobability density functions of θ associated with the EN and MC 010 models fo the whole databases 107

112 Tab. 3: Coefficient of coelation descibing the influence of vaiables included in the database on θ Vaiable coefficient of coelation ρ fo exponential (linea) egession EN Level 1 Level Level 3 a/d 0.1 (0.11) 0.09 (0.05) 0 (-0.04) (-0.1) b w 0.14 (0.11) 0.17 (0.17) 0.0 (0.19) (-0.13) d (-0.04) 0 (-0.0) 0.04 (0.0) (-0.33) f c 0.16 (0.14) 0.18 (0.17) 0.19 (0.18) 0.06 (0.08) f yw 0.09 (0.05) 0. (0.) 0.1 (0.0) 0.1 (0.4) s 0.03 (0.01) 0.01 (-0.0) 0.05 (0.03) (-0.33) V fail -0.0 (-0.04) 0.04 (0.04) 0.07 (0.07) (-0.06) ρ (0.08) 0.09 (0.11) (-0.06) 0.15 (0.13) ρ w (-0.60) -0.7 (-0.61) -0.7 (-0.6) -0. (-0.3) ρ w f yw (-0.68) (-0.6) -0.7 (-0.63) (-0.1) Regession analysis is based on a linea o exponential model descibed by the following elationships: linea: θ(ρ w f yw ) = b 0 + b 1 ρ w f yw (4) exponential: θ(ρ w f yw ) = exp(b 0 + b 1 ρ w f yw ) (5) whee: b 0 and b 1 denote egession paametes detemined by the Least squae method. The esults povided in Tab. 3 eveal stong coelations between θ and ρ w o ρ w f yw while weak coelations appea fo the othe shea paametes fo EN , Levels 1 and. Influence of ρ w o ρ w f yw on θ fo Level 3 is consideably educed which is the key impovement of this model. Medium coelations between θ d and θ s ae obseved fo Level 3. Fo most of the shea paametes the exponential egession is moe appopiate than linea egession. Figs. and 3 show vaiation of the model uncetainty with the stength of shea einfocement and its exponential tend fo the Level 3 and EN models, espectively. The model uncetainty fo EN (and also fo Levels 1 and ) clealy deceases with an inceasing ρ w f yw and its diffeentiation with espect to this paamete is thus poposed. The uncetainty elated to Level 3 seems to be independent of ρ w f yw and the diffeentiation is not necessay. Sample chaacteistics of θ fo light to heavy einfoced beams ae povided in Tabs. a and b; limits fo lightly, modeately and heavily einfoced beams ae accepted fom [14]. It follows that the mean of the uncetainty µ θ depends on the stength of shea einfocement while the effect on the coefficient of vaiation is less significant. Based on the esults given in Tab. a mean µ θ 1.1 and coefficient of vaiation V θ 0. may be accepted fo the shea esistance of the membes with stiups fo Level 3. Fo the othe models both the chaacteistics µ θ and V θ ae mostly geate. Fo heavily einfoced beams an unambiguous ecommendation cannot be now povided due to the lack of expeimental data. 108

113 4 θ [-] 3. Lightly Modeately einfoced Heavily w f yw [MPa] Fig. : Vaiation of θ with ρ w f yw fo Level 3 (whole database) 4 θ [-] 3. Lightly Modeately einfoced Heavily w f yw [MPa] Fig. 3: Vaiation of θ with ρwfyw fo EN (whole database) Note that the esidual scatte R [15] could be detemined as an additional paamete descibing elationship between θ and the basic vaiables. Howeve, R -values impove infomation deduced fom the ρ-coefficient insignificantly in the pesented case. To summaise the above esults it is ecommended to pefe a model with the highest accuacy if data equied fo the assessment ae available. It is expected that fo most pactical cases additional 109

114 data fo Levels and 3 V fail (fom a test o design assumptions), E s and ρ l (see Tab. 1) ae known. Computational demands fo all the consideed models ae simila all the models ae based on analytical elationships which ae easy to evaluate. Theefoe, it is ecommended to use the Level 3 model while assessing the shea esistance of lightly to modeately einfoced beams with stiups. 6 DISCUSSION Uncetainties elated to the MC 010 models ae biefly discussed in [16] whee a diffeent database containing beams with a vaiable coss-section and with nomal foce is consideed. Consequently the esults by Sigist et al. [16] slightly diffe fom those pesented in this contibution. Fo Levels 1 and they obtained less consevative mean values (µ θ ) and a smalle coefficient of vaiation (V θ 0.); fo Level 3 highe mean (µ θ 1.) and a smalle coefficient of vaiation (V θ 0.13) was epoted. Uncetainties associated with two shea models (EN and the model poposed in [17]) wee analysed in [18]. A test database used fo the analysis is not descibed in detail. It can only be judged fom povided figues that, egading ρ w, the database is somewhat simila to that accepted hee most of samples with a low shea einfocement atio (ρ w < 0.5 %), some with modeate 0.5 % < ρ w < 1 % and vey few with a high atio ρ w > 1 %. Busse et al. [18] consideed ρ w as the most impotant paamete instead of ρ w f yw. This makes a small diffeence as both these vaiables affect the uncetainty of EN model in a simila way [6]. Fo EN they obtained µ θ 1.35 and V θ 0.3; fo the model in [17] µ θ 1.1 and unealistically low V θ 0.07 wee epoted. In futhe studies the diffeences amongst the epoted esults should be investigated and claified. 7 CONCLUDING REMARKS Desciption of uncetainties elated to esistance and load effect models can be a cucial poblem of eliability analyses. The pesented compaison of uncetainties in the shea esistance of beams with stiups accoding to the models in EN and fib MC 010, leads to the following conclusions: In common cases actual shea esistance can be expessed as a poduct of the model uncetainty and esistance obtained by the model. Uncetainty elated to MC 010 Level 3 can be descibed by the lognomal distibution with a mean µ θ 1.1 and coefficient of vaiation V θ 0.; both these chaacteistics ae moe favouable than fo the othe consideed models (EN and MC 010 Levels 1 and ). It is ecommended to use the MC 010 Level 3 model fo assessing lightly to modeately einfoced beams since all the equied input data ae commonly available and computational demands ae acceptable. No ecommendation is povided fo heavily einfoced beams due to the lack of expeimental data. ACKNOWLEDGEMENTS This study is an outcome of the eseach poject P105/1/051 Model uncetainties in esistance assessment of concete stuctues, suppoted by the Czech Science Foundation. 110

115 ANNEX A SHEAR RESISTANCE ACCORDING TO MC 010 LEVEL 3 In the Level 3 appoach, the design shea esistance in the ange V R < V R,max (ξ min ) is given by: V R = V R,s + V R,c (6) whee: V R,max = k ε min(1, (30/f c ) 1/3 ) f c b w z sinξ min cosξ min (7) V R,s = ρ w b w z f yw cotξ (8) V R,c = k v min(8; f c 1/ ) b w z (9) whee f c is in MPa. Vaiables k ε and ξ ae same as in the Level appoximation. ξ min is a lowe limit fo ξ. Stength eduction facto fo concete cacked in shea is given by: k v = max[0.4(1 V fail / V R,max ) / ( ε x ),0] (10) In the ange V R V R,max (ξ min ) the esistance is detemined using the Level model. REFERENCES [1] BERTAGNOLI, G., GIORDANO, L. & MANCINI, G. Safety fomat fo the nonlinea analysis of concete stuctues. Studi e iceche - Politecnico di Milano. Scuola di specializzazione in costuzioni in cemento amato. 004, Vol. 004, N. 5, pp ISSN [] ČERVENKA, V. Global Safety Fomat fo Nonlinea Calculation of Reinfoced Concete. Beton- und Stahlbetonbau. 008, Vol. 103, N. 008, pp [3] SCHLUNE, H., PLOS, M. & GYLLTOFT, K. Safety fomats fo nonlinea analysis tested on concete beams subjected to shea foces and bending moments. Eng.Stuct. 011, Vol. 33, N. 8, pp ISSN [4] SYKORA, M. & HOLICKY, M. Safety fomat fo non-linea analysis in the model code - veification of eliability level. In Poc. fib Symp. PRAGUE 011 Concete engineeing fo excellence and efficiency. Pague : Czech Concete Society, 011, pp ISBN ISBN [5] FIB. fib Model Code fo Concete Stuctues 010. Lausanne : fib, pp. ISBN [6] SÝKORA, M., HOLICKÝ, M. & KREJSA, J. Model uncetainty in shea esistance of einfoced concete beams with shea einfocement. In Poc. Modelling in mechanics 013. Ostava : VŠB-Technical Univesity of Ostava, Faculty of Civil Engineeing, 013, pp. 10. ISBN [7] EN Design of concete stuctues - Pat 1-1: Geneal ules and ules fo buildings. Bussels : CEN, pp. [8] JCSS. JCSS Pobabilistic Model Code. Zuich : Joint Committee on Stuctual Safety, 001. ISBN [9] DITLEVSEN, O. & MADSEN, H.O. Stuctual Reliability Methods. Chicheste : John Wiley & Sons, pp. ISBN [10] HOLICKY, M., SYKORA, M., BARNARDO-VIJLOEN, C., MENSAH, K.K. & RETIEF, J.V. Model Uncetainties in Reliability Analysis of Reinfoced Concete Stuctues. In Poc. SEMC 013. Millpess, 013, pp ISBN [11] SYKORA, M., CERVENKA, V. & HOLICKY, M. Uncetainties of esistance models fo einfoced concete stuctues. In Poc. fib Symposium Tel Aviv 013. Tel Aviv : Technion, 013, pp ISBN

116 [1] MENSAH, K.K. Reliability Assessment of Stuctual Concete with Special Refeence to Shea Resistance (MSc thesis). Stellenbosch, South Afica : Univesity of Stellenbosch, pp. [13] ANG, A.H.S. & TANG, W.H. Pobabilistic Concepts in Engineeing Emphasis on Applications to Civil and Envionmental Engineeing. USA : John Wiley & Sons, pp. ISBN [14] CLADERA, A. & MARÍ, A.R. Shea stength in the new Euocode. A step fowad? Stuct Concete. 007, Vol. 6, N. 7, pp ISSN [15] HOLICKÝ, M. Intoduction to Pobability and Statistics fo Enginees. Heidelbeg : Spinge, pp. ISBN [16] SIGRIST, V., BENTZ, E., RUIZ, M.F., FOSTER, S. & MUTTONI, A. Backgound to the fib Model Code 010 shea povisions - pat I: beams and slabs. Stuctual Concete. 013, Vol. 14, N. 3, pp ISSN [17] HEGGER, J. & GÖRTZ, S. Shea capacity of beams made of nomal and high pefomance concete. Beton- und Stahlbetonbau. 006, Vol. 101, N. 9, pp [18] BUSSE, D., ECKFELDT, L. & EMPELMANN, M. Assessing the eliability of existing concete bidges in tems of shea stength. In Poc. SEMC 013. Millpess, 013, pp ISBN Reviewes: Pof. Ing. Zbyněk Kešne, CSc., Institute of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Bno Univesity of Technology. Doc. Ing. Pustka David, Ph.D., Depatment of Building Stuctues, Faculty of Civil Engineeing, VŠB-Technical Univesity of Ostava. 11

117 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 15 Jozef MELCER 1, Ivana MARTINICKÁ VOZIDLO CESTA NUMERICKÉ RIEŠENIE VO FREKVENČNEJ OBLASTI VEHICLE ROADWAY NUMERICAL SOLUTION IN FREQUENCY DOMAIN Abstakt Pi iešení poblémov inteakcie vozidlo cesta vo fekvenčnej oblasti nás okem iného zaujímajú funkcie fekvenčného penosu. Pedkladaný píspevok je venovaný teoetickému odvodeniu funkcií fekvenčného penosu pe ôzne výpočtové modely nákladného vozidla a ich numeickému vyčísleniu v učitom fekvenčnom pásme. Numeické výsledky sú uvádzané pe vozidlo typu Tata T815. Poukazujú napíklad na vzťah fekvenčnej skladby neovností povchu jazdnej dáhy k hodnotám kontaktných síl medzi kolesom vozidla a vozovkou. Kľúčové slová Vozidlo, cesta, funkcia fekvenčného penosu. Abstact At the solution of the vehicle oadway inteaction poblems in the fequency domain we ae inteested in the fequency esponse functions. The submitted pape is dedicated to the theoetical deivation of fequency esponse functions fo vaious kind of a loy computing models and thei numeical evaluation in cetain fequency band. Numeical esults ae intoduced fo the vehicle Tata T815. Fo example they efe to the elation between fequency composition of oad unevenness and tie foces. Keywods Vehicle, oadway, fequency esponse function. 1 ÚVOD Pi iešení dynamických úloh vo fekvenčnej oblasti nás zaujímajú hlavne fekvenčné spektá a funkcie fekvenčného penosu. Funkcie fekvenčného penosu (FFP) vyjadujú vzťah medzi odozvou a budením dynamického systému v závislosti od hodnoty budiacej fekvencie. V pípade dynamického systému tvoeného vozidlom a vozovkou sú neovnosti vozovky zdojom kinematického budenia vozidla. Výpočtové modely vozidiel je možné zvoliť na ôznej kvalitatívnej úovni celý piestoový model, polovičný ovinný model, štvtinový model. Pe tieto výpočtové modely je možné odvodiť ôzne fekvenčné penosy. V pípade sledovania inteakcie vozidlo cesta nás zaujímajú funkcie fekvenčného penosu vzťahujúce sa k zložkám posunutí chaakteistických bodov vozidla (viažucich sa k stupňom voľnosti výpočtového modelu) a k hodnotám kontaktných síl vznikajúcich medzi kolesom vozidla a jazdnou dáhou. Pe ôzne výpočtové modely vozidla je vhodné sledovať a vzájomne poovnávať takzvané výkonové penosové faktoy (VPF), čo sú duhé mocniny absolútnych hodnôt funkcií fekvenčného penosu. Dá sa ukázať, že pokiaľ sú výpočtové 1 Pof. Ing. Jozef Melce, DSc., Kateda stavebnej mechaniky, Fakulta stavebná, Žilinská univezita v Žiline, Univezitná 815/1, Žilina, tel.: (+41) , jozef.melce@fstav.uniza.sk. Ing. Ivana Matinická, Ph.D., Kateda stavebnej mechaniky, Fakulta stavebná, Žilinská univezita v Žiline, Univezitná 815/1, Žilina, tel.: (+41) , ivana.matinicka@fstav.uniza.sk. 113

118 modely vzájomne dynamicky ekvivalentné, tak funkcie fekvenčného penosu pe vzájomne si koešpondujúce zložky, sú vzájomne identické. Možností, ako takéto údaje získať, je viac. Niektoé sú obsahom pedkladaného píspevku. Využitie získaných výsledkov je ôznoodé [1], [], [3], [4], [5], [6]. FUNKCIE FREKVENČNÉHO PRENOSU Fekvenčný penos lineánej sústavy (funkcia fekvenčného penosu FP(p), kde p i ω je komplexné číslo, ob. 1) sa zavádza ako pome ustálenej odozvy ( t) k hamonickému budeniu h (t). Ak budenie je hamonické s jednotkovou amplitúdou ust tak platí, že FP h iωt ( t) h. f ( t) 1e, (1) iωt iωt iωt ( p) FP(i ω) ust ( t) /( h e ) ust ( t) /(1 e ) ust ( t) e. () Im FP FP(p) Re Ob. 1: Gafická intepetácia funkčných hodnôt funkcie fekvenčného penosu Fekvenčný penos FP(p) ako funkcia komplexne pemennej sa dá zobaziť ako vektoový súčet jej eálnej Re[ FP( p)] a imaginánej časti Im[ FP ( p)]. FP( p) Re[ FP( p)] i Im[ FP( p)], (3) alebo iφ FP( p) FP( p) e, (4) kde FP ( p) je absolútna hodnota, alebo veľkosť fekvenčného penosu. Platí pe ňu FP( p) Re [ FP( p)] Im [ FP( p)], (5) φ actg(im[ FP( p)]/ Re[ FP( p)]). (6) Z ovnice () je možné vyjadiť ( ) ust t FP( p) Ak dosadíme (4) do (7) dostaneme ust ( t) ust i ( t) /(1 e ωt ) iω t ust( t) FP( p) e. (7) iφ iωt i( ω tφ) FP( p) e e FP( p) e. (8) Gafické znázonenie fekvenčného penosu sa nazýva fekvenčnou chaakteistikou. Gafické znázonenie absolútnej hodnoty (modulu) funkcie fekvenčného penosu od fekvencie hamonického budenia je amplitúdová chaakteistika. Fázová chaakteistika je gafické znázonenie agumentu (fáze) funkcie fekvenčného penosu od fekvencie hamonického budenia. Fekvenčné spektum výstupného signálu (odozvy esponse) FS ( p) možno získať násobením penosovej funkcie systému fekvenčným spektom vstupného signálu (budenia) FS h ( p) FS p) FP( p) FS ( p). (9) ( h 114

119 Zavedením výkonových spektálnych hustôt vstupného signálu VSH ( ω) a výstupného signálu VSH ( ) je možné uvedené závislosti vyjadiť v tvae ω VSH ( h ( h ω) FP( p) VSH ( ω), espektíve FP p) VSH ( ω) / VSH ( ω) (10) kde FP( p) nazývame výkonový penosový fakto (VPF). Schematické znázonenie fyzikálneho významu ovnice (10) je zobazené na ob.. Dynamický systém si postedníctvom fekvenčného penosu vybeá z výkonovej spektálnej hustoty budenia len fekvencie blízke vlastným fekvenciám systému a na ne v odozve eaguje. h VSH h FP(p) ω VSH ω ω Ob. : Fyzikálny význam výkonového penosového faktoa 3 VÝPOČTOVÝ MODEL VOZIDLA Výpočtové modely vozidiel je možné voliť na ôznych úovniach, ako toj, dvoj alebo jedno dimenzionálne. Pe účely tohto píspevku je postačujúce zvoliť ovinný dvoj alebo jednodimenzionálny výpočtový model vozidla. Rovinný výpočtový model nákladného vozidla Tata 815 je zobazený na ob. 3. Uvedený výpočtový model je diskétny model. Pohybové ovnice je možné odvodiť v tvae obyčajných difeenciálnych ovníc. V ďalšom texte sú uvedené pohybové ovnice pe polovičný model vozidla z ob. 3. Súčasne sú uvedené aj vzťahy pe výpočet kontaktných síl. Symboly i (i = 1,, 3, 4, 5) označujú zložky posunutí chaakteistických bodov vozidla zodpovedajúce stupňom voľnosti. F d3, F d4, F d5 sú dynamické zložky kontaktných v mieste kontaktu kolesa s jazdnou dáhou. h 3, h 4, h 5 sú funkcie pospisujúce neovnosti jazdnej dáhy v mieste kontaktu kolesa s vozovkou. Význam ostatných symbolov je zejmý z ob. 3 a z nasledujúceho textu. 115

120 116 Ob. 3 Polovičný model vozidla Tata ) ( ) ( ) ( ) ( s k s k s b s b m ) ( ) ( y s b s s b s I 0 ) ( ) ( s k s s k s 0 ) ( ) ( ) ( ) ( h k s k h b s b m ) ( ) ( ) ( h c b h c b s b m 0 ) ( ) ( ) ( h c k h c k s k ) ( ) ( y h c b c h c b c I 0 ) ( ) ( h c k c h c k c, (11) ) ( ) ( d h b h k F ) ( ) ( d h c b h c k F ) ( ) ( d h c b h c k F. (1) 4 PRECHOD Z ČASOVÉHO DO FREKVENČNÉHO PRIESTORU Pe pechod z časového do fekvenčného piestou je možné použiť Laplaceovu integálnu tansfomáciu. Dohodnime sa, že Laplaceov obaz nejakej funkcie (t) označíme L(t) = R(p). Je definovaný vzťahom 0 d e t t p R p t. (13) V tomto pípade ω p i je komplexné číslo. 1(m 1 ) (I y1 ) T 3(m ) k 1 b 1 c b 5 4(m 3 ) 5 k 5 (I y3 ) 5 b 4 4 c k f s 1 s 1 3 k 3 b 3 s k 4 b

121 Funkcia (t) a jej deivácie podľa času sa budú tansfomovať nasledovne n 1 n n n1i i L t p R p p 0, pe n = 1,,... i1 n n n1 n n1 t p Rp p 0 p t p Rp 0 0 lim t,, t p Rp p 0 0 t 0. (14) Funkcie času 1 ( t) až 5 ( t) a h 3 ( t) až h 5 ( t) sa budú tansfomovať na funkcie R 1 ( p) až R 5 ( p) a H 3 ( p) až H 5 ( p). Zavedením nasledovného označenia je možné definovať 5 fekvenčných penosov R1 ( p) R( p) R3 ( p) R4( p) R5 ( p) 1,, 3, 4, 5. H3( p) H3( p) H3( p) H3( p) H3( p) (15) Laplaceovou tansfomáciou pohybových ovníc (11) a zavedením fekvenčných penosov (15) dostaneme sústavu piatich ovníc v komplexnom tvae pe výpočet funkcií i, kde i = 1,, 3, 4, 5. Zápis ovníc v maticovom tvae je nasledovný Vo všeobecnosti platí, že a ik aik, e i aik, im a PS. (16), i i, e i i, im, PS i PSi, e i PSi, im. (17) Pe náš konkétny pípad a nulové počiatočné podmienky vypadajú súčinitele a ik a pavé stany PS i nasledovne a ( ) 11 k1 k mω b1 b ωi, a 1 k s k1 s1 ( b s b1 s1) ωi, a 13 k1 b1 ωi, a 14 k b ωi, a i, - a 1 k s k1 s1 b s b1 s1) ωi ( a, a k s k s I y ω ( b s b s ) ω i, a 3 k1 s1 b1 s1 ω i, a 4 k s b s ωi, a i, - a31 k1 b1 ωi a13, a3 k1 s1 b1 s1 ωi a3, a ( ) 33 k1 k3 m ω b1 b3 ωi, a i, a i, - a41 i a k b ω 14, a4 k s b s ωi a , a43 0 0i a34, a ( ) 44 k k4 k5 m3 ω b b4 b5 ωi, a 45 ( k5 k4) c ( b5 b4 ) cωi, -

122 i 0 0 a a, 5 5 i 0 0 a a, i 0 0 a a, i ) ( ) ( a ω c b b c k k a, i ) ( ) ( ω c b b ω I c k k a y. (18) i PS, i 0 0 PS, i ω b k PS, i ) ( i 5 i 4 i 5 i 4 4 ω e b e b e k e k PS φ φ φ φ, i ) ( ) ( i 4 i 5 i 4 i 5 5 ω c e b e b c e k e k PS φ φ φ φ. (19) Súčinitele φ 4, φ 5 majú význam konštánt fázového posunutia medzi pôsobiskami jednotlivých nápav. Sú závislé od ýchlosti pohybu vozidla v. ω v c s φ 4, ω v c s φ 5. (0) Podobným spôsobom je možné definovať aj fekvenčné penosy pe dynamické zložky kontaktných síl i 1) ( 1) ( ) ( ) ( d3 3 d ω b k p H t F L F, i ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 i i d4 4 d ω e c b e c k p H t F L F φ φ, i ) ( ) ( ) ( ) ( 5 5 i i d5 5 d ω e c b e c k p H t F L F φ φ. (1) 5 VÝSLEDKY NUMERICKÉHO RIEŠENIA Numeické iešenie funkcií fekvenčného penosu bolo vykonané pe ovinný výpočtový model nákladného automobilu Tata 815 (ob. 3) s nasledovnými paametami: hmotnosti a hmotné momenty zotvačnosti hmotných objektov modelu vozidla m 1 = kg, m = 455 kg, m 3 = kg, I y1 = kg.m, I y3 = 466 kg.m, tuhostné chaakteistiky spojovacích členov modelu vozidla k 1 = ,5 N/m, k = N/m, k 3 = N/m, k 4 = N/m, k 5 = N/m, tlmiace chaakteistiky spojovacích členov modelu vozidla b 1 = kg/s, b = ,5 kg/s, b 3 = kg/s, b 4 = 747 kg/s, b 5 = 747 kg/s, tecie chaakteistiky spojovacích členov modelu vozidla f = N, dĺžkové ozmey výpočtového modelu vozidla s 1 = 3,135 m, s = 1,075 m, s = s 1 + s = 4,1 m, c = 0,660 m. Pe úplnosť sú uvádzané aj vlastné fekvencie tohto výpočtového modelu vozidla f (1) = 1,1333 Hz; f () = 1,451 Hz; f (3) = 8,8966 Hz; f (4) = 10,9054 Hz; f (5) = 11,715 Hz. Na ďalších obázkoch sú zobazené výkonové penosové faktoy (VPF) jednotlivých funkcií fekvenčného penosu (duhé mocniny absolútnych hodnôt jednotlivých fekvenčných funkcií) pi ýchlosti pohybu vozidla 10 m/s.

123 1.5 1 /h 3 [m /m ] f [Hz] Ob. 4: VPF fekvenčného penosu veličiny /h 3 [ad /m ] f [Hz] Ob. 5: VPF fekvenčného penosu veličiny 6 3 /h 3 [m /m ] f [Hz] Ob. 6: VPF fekvenčného penosu veličiny 3 119

124 1 4 /h 3 [m /m ] f [Hz] Ob. 7: VPF fekvenčného penosu veličiny /h 3 [ad /m ] f [Hz] Ob. 8: VPF fekvenčného penosu veličiny 5 10 x 106 F d3 /h 3 [kn /m ] f [Hz] Ob. 9: VPF fekvenčného penosu veličiny F d3 10

125 15 x 108 F d4 /h 3 [kn /m ] f [Hz] Ob. 10: VPF fekvenčného penosu veličiny F d4 15 x 108 F d5 /h 3 [kn /m ] f [Hz] Ob. 11: VPF fekvenčného penosu veličiny F d5 6 ZÁVER Pi iešení dynamických úloh vo fekvenčnej oblasti sú pedmetom záujmu buď fekvenčné spektá alebo funkcie fekvenčného penosu. Je možné ich získať teoetickou alebo expeimentálnou cestou. V pedloženou píspevku je ukázaný spôsob iešenie funkcií fekvenčného penosu numeickou cestou pe ovinný (polovičný) model vozidla Tata 815 pi ýchlosti pohybu vozidla 36 km/h. V gafickej podobe sú pezentované výkonové penosové faktoy jednotlivých sledovaných veličín. Stavebného inžiniea zaujímajú v pvom ade fekvenčné penosy týkajúce sa kontaktných síl vznikajúcich medzi kolesom vozidla a vozovkou. Z uvedených obázkov je zejmé, že pokiaľ ide o hodnoty kontaktných síl, tak výkonovo majú najväčší podiel na ich vzniku tie fekvenčné zložky kinematického budenia, ktoé koešpondujú vlastným fekvenciám a tvaom vlastného kmitania vťahujúcim sa k dominantným pohybom nápav vozidla. Dá sa jednoducho peukázať, že pakticky ovnaké výsledky je možné získať aj pe jednoduchšie (štvtinové) modely vozidla, pokiaľ sú dynamický ekvivalentné s tu použitým výpočtovým modelom. 11

126 POĎAKOVANIE Tento píspevok vznikol s podpoou GA MŠSR VEGA, gant č. 1/059/1. LITERATURA [1] IVÁNKOVÁ, O. Vplyv seizmicity na konštukčné systémy výškových budov. Medzináodná konfeencia: Vývoj a aplikace MKP systémů po analýzu stavebních konstukcí. VUT Bno, 003, s [] KOTRASOVÁ, K. a KORMANÍKOVÁ, E. Seismic design of liquid stoage tank made fom composite mateial. Wold Jounal of Engineeing. 008, Vol. 5, No. 3, p ISSN [3] LAJČÁKOVÁ, G.: Vplyv paametov vozidla na inteakčné sily vznikajúce medzi kolesom a jazdnou dáhou. Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské Technické univezity Ostava, oč. X, č. 1, 010, řada stavební, ISSN , s [4] PETŘÍK, T., LEDNICKÁ, M., KALÁB, Z., HRUBEŠOVÁ, E.: Hodnocení technické seizmicity v okolí ekonstuované komunikace. Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské Technické univezity Ostava, oč. XII, č. 1, 01, řada stavební, ISSN , s [5] PETŘÍK, T., STOLÁRIK, M.: Expeimentální měření a numeický model dynamických účinků vibačního válce. Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské Technické univezity Ostava, oč. XI, č. 1, 011, řada stavební, ISSN , s [6] PYTKA, J., TARKOWSKI, P., KUPICZ, W.: A eseach of vehicle stability on defomable suface. Ekspoatacja i niezawodnosc Maintenance and Reliability. Vol. 15, No. 3, 013, ISSN , p Oponentní posudek vypacoval: Doc. Ing. Alexande Tesá, DSc., Ústav stavebníctva a achitektúy, Slovenská akadémia vied, Batislava. Ing. Pet Fefecki, Ph.D., Výzkumný pogam 3, IT4Innovations, VŠB-TU Ostava. 1

127 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 16 Jozef MELCER 1, Ivana MARTINICKÁ VZÁJOMNÉ POROVNANIE FFP PRE RÔZNE VÝPOČTOVÉ MODELY VOZIDLA MUTUAL COMPARISON OF FRF FOR VARIOUS VEHICLE COMPUTATIONAL MODELS Abstakt Funkcie fekvenčného penosu (FFP) chaakteizujú odozvu dynamického systému vo fekvenčnej oblasti. Pedkladaný píspevok poovnáva funkcie fekvenčného penosu pe ôzne výpočtové modely vozidla. Ukazuje, že pokiaľ sú výpočtové modely dynamicky ekvivalentné, tak zodpovedajúce FFP sú pakticky zhodné. Klíčová slova Výpočtové modely vozidla, neovnosti cesty, funkcie fekvenčného penosu. Abstact Fequency esponse functions (FRF) chaacteize the esponse of dynamic system in fequency domain. The submitted pape compaes the fequency esponse functions fo vaious vehicle computational models. It shows that while the computational models ae dynamically equivalent than the FRF ae pactically identical. Keywods Vehicle computational models, oad unevenness, fequency esponse functions. 1 ÚVOD Pi iešení dynamických úloh vo fekvenčnej oblasti nás zaujímajú hlavne fekvenčné spektá a funkcie fekvenčného penosu. Funkcie fekvenčného penosu (FFP) vyjadujú vzťah medzi odozvou a budením dynamického systému v závislosti od hodnoty budiacej fekvencie. V pípade dynamického systému tvoeného vozidlom a vozovkou sú neovnosti vozovky zdojom kinematického budenia vozidla. Výpočtové modely vozidiel je možné zvoliť na ôznej kvalitatívnej úovni: celý piestoový model 3D, polovičný ovinný model D, štvtinový model 1D. Pe tieto výpočtové modely je možné odvodiť ôzne fekvenčné penosy. V pípade sledovania inteakcie vozidlo cesta zaujímajú stavebných inžinieov hlavne funkcie fekvenčného penosu vzťahujúce sa k hodnotám kontaktných síl vznikajúcich medzi kolesom vozidla a jazdnou dáhou. Pe ôzne výpočtové modely vozidla je vhodné sledovať a vzájomne poovnávať takzvané výkonové penosové faktoy (VPF), čo sú duhé mocniny absolútnych hodnôt funkcií fekvenčného penosu. Dá sa ukázať, že pokiaľ sú výpočtové modely vzájomne dynamicky ekvivalentné, tak funkcie fekvenčného penosu pe vzájomne si koešpondujúce zložky, sú vzájomne pakticky identické. Možností, ako takéto údaje získať, je viac. V pedkladanom píspevku sú pezentované a vzájomne poovnávané FFP dynamických zložiek kontaktných síl nákladného vozidla Tata T815 získané numeickou cestou. Využitie získaných výsledkov je ôznoodé [1], [], [3], [4], [5], [6]. 1 Pof. Ing. Jozef Melce, DSc., Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, Žilinská univezita, Univezitná 815/1, Žilina, tel.: (+41) , jozef.melce@fstav.uniza.sk. Ing. Ivana Matinická, PhD., Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, Žilinská univezita, Univezitná 815/1, Žilina, tel.: (+41) , ivana.matinická@fstav.uniza.sk. 13

128 VÝPOČTOVÉ MODELY VOZIDLA Výpočtové modely vozidla je možné voliť na ôznej úovni v závislosti od sledovaných cieľov. Je možné použiť celý piestoový model vozidla 3D (ob. 1), polovičný ovinný model D (ob. ), alebo štvtinový model 1D (ob. 3). Ob. 1: Celý piestoový model T815 3D Ob. : Polovičný ovinný model T815 D 14

129 Ob. 3: Štvtinový model pednej a zadnej nápavy T815 1D Výpočtové modely zobazené na ob. 1,, 3 sú diskétne výpočtové modely. Pi iešení vo fekvenčnej oblasti nás zaujímajú hodnoty vlastných fekvencií netlmeného kmitania [7]. Ich hodnoty pe jednotlivé modely sú uvedené v nasledujúcom texte: Plné vozidlo T815 3D Vlastné fekvencie {f} = {f (1) ; f () ; f (3) ; f (4) ; f (5) ; f (6) ; f (7) ; f (8) ; f (9) } = = {1.13; 1.9; 1.45; 8.89; 8.89; 10.91; 10.91; 11.71; 11.71} [Hz] Plné vozidlo T815 D Vlastné fekvencie {f} = {f (1) ; f () ; f (3) ; f (4) ; f (5) } = {1.13; 1.45; 8.89; 10.91; 11.71} [Hz] Plné vozidlo T815 1D, pedná nápava Vlastné fekvencie {f} = {f (1) ; f () } = {1.06; 8.89} [Hz] Plné vozidlo T815 1D, zadná nápava Vlastné fekvencie {f} = {f (1) ; f () ; f (3) } = {1.40; 10.91; 11.71} [Hz] 3 FUNKCIE FREKVENČNÉHO PRENOSU Fekvenčný penos lineánej sústavy (funkcia fekvenčného penosu FP(p), kde p i ω je komplexné číslo, ob. 4) sa zavádza ako pome ustálenej odozvy k hamonickému budeniu. Ak budenie je hamonické s jednotkovou amplitúdou tak platí, že FP h iωt ( t) h. f ( t) 1e, (1) iωt iωt iωt ( p) FP(i ω) ust ( t) /( he ) ust ( t) /(1 e ) ust ( t) e. () Fekvenčný penos FP(p) ako funkcia komplexne pemennej sa dá zobaziť ako vektoový súčet eálnej a imaginánej časti. 15

130 alebo FP( p) Re[ FP( p)] iim[ FP( p)], (3) FP iφ ( p) FP( p) e, (4) kde FP ( p) je absolútna hodnota, alebo veľkosť fekvenčného penosu. Platí pe ňu FP( p) Re [ FP( p)] Im [ FP( p)]. (5) Duhú mocninu absolútnej hodnoty funkcie fekvenčného penosu penosový fakto (VPF). FP( p) nazývame výkonový Im FP FP(p) Re Ob. 4: Gafická intepetácia funkčných hodnôt funkcie fekvenčného penosu 4 PRECHOD Z ČASOVÉHO DO FREKVENČNÉHO PRIESTORU Pe jednotlivé výpočtové modely vozidla sa odvodia pohybové ovnice. Ako neznáme v pohybových ovniciach vystupujú zložky posunutí i (t) chaakteistických bodov výpočtového modelu zodpovedajúce jednotlivým stupňom voľnosti. Zdojom kinematického budenia sú neovnosti jazdnej dáhy h j (t). Pe pechod z časového do fekvenčného piestou je možné použiť napíklad Laplaceovu integálnu tansfomáciu. Dohodnime sa, že Laplaceov obaz nejakej funkcie i (t) označíme L i (t) = R i (p). Funkcie času i (t) a h j (t) sa budú tansfomovať na funkcie R i ( p) a H j ( p). Zavedením nasledovného označenia je možné definovať ôzne fekvenčné penosy Ri ( p) i. (6) H j ( p) Laplaceovou tansfomáciou pohybových ovníc a zavedením fekvenčných penosov dostaneme sústavu ovníc v komplexnom tvae pe výpočet funkcií i. Zápis ovníc v maticovom tvae je nasledovný a PS. (7) Vo všeobecnosti platí, že aik aik, e iaik,im, i i, e i i, im, PSi PSi, e i PSi, im. (8) Podobným spôsobom je možné definovať aj fekvenčné penosy pe dynamické zložky kontaktných síl LF d ( t) F n dn H ( p). (9) Podobný popis iešenia pe D model vozidla je uvedený napíklad v [8]. j. 16

131 5 VÝSLEDKY NUMERICKÉHO RIEŠENIA Numeické iešenie funkcií fekvenčného penosu bolo vykonané pe 3D, D a 1D výpočtové modely nákladného automobilu Tata T815 zobazené na ob. 1,, 3. Všetky FFP sú vzťahované ku kinematickému budeniu neovnosťou vozovky pod pavým pedným kolesom vozidla. Uvažuje sa s ýchlosťou pohybu vozidla 10 m/s. Na ob. 5 sú vykeslené výkonové penosové faktoy (VPF) dynamickej zložky kontaktnej sily F d pod pavým pedným kolesom vozidla pe všetky 3 použité výpočtové modely. Poloha lokálnych extémov a ich hodnoty sú nasledovné: 3D: f = 9,44 Hz; F d5 /h 5 = kn /m ; D: f = 9,0 Hz; F d3 /h 3 = kn /m ; 1D: f = 9,30 Hz; F d /h = kn /m ; 10 x 106 Model 3D F d5 /h 5 [kn /m ] f [Hz] 10 x 106 Model D F d3 /h 3 [kn /m ] f [Hz] 10 x 106 Model 1D F d /h [kn /m ] f [Hz] Ob. 5: VPF pe F d pod pavým pedným kolesom 17

132 Na ob. 6 sú vykeslené výkonové penosové faktoy (VPF) dynamickej zložky kontaktnej sily F d pod pavým pedným kolesom zadnej nápavy vozidla pe všetky 3 použité výpočtové modely. Poloha lokálnych extémov a ich hodnoty sú nasledovné: 3D: f = 10,94 Hz; F d7 /h 5 = 10, kn /m ; D: f = 10,94 Hz; F d4 /h 3 = 10, kn /m ; 1D: f = 10,94 Hz; F d4 /h 4 = 10, kn /m ; 15 x 108 Model 3D F d7 /h 5 [kn /m ] f [Hz] 15 x 108 Model D F d4 /h 3 [kn /m ] f [Hz] 15 x 108 Model 1D F d4 /h 4 [kn /m ] f [Hz] Ob. 6: VPF pe F d pod pavým pedným kolesom zadnej nápavy 18

133 Na ob. 7 sú vykeslené výkonové penosové faktoy (VPF) dynamickej zložky kontaktnej sily F d pod pavým zadným kolesom zadnej nápavy vozidla pe všetky 3 použité výpočtové modely. Poloha lokálnych extémov a ich hodnoty sú nasledovné: 3D: f = 10,94 Hz; F d8 /h 5 = 11, kn /m ; D: f = 10,93 Hz; F d5 /h 3 = 11, kn /m ; 1D: f = 10,93 Hz; F d5 /h 4 = 11, kn /m ; 15 x 108 Model 3D F d8 /h 5 [kn /m ] f [Hz] 15 x 108 Model D F d5 /h 3 [kn /m ] f [Hz] 15 x 108 Model 1D F d5 /h 4 [kn /m ] f [Hz] Ob. 7: VPF pe F d pod pavým zadným kolesom zadnej nápavy 19

134 6 ZÁVER Pi iešení dynamických úloh vo fekvenčnej oblasti sú pedmetom záujmu buď fekvenčné spektá alebo funkcie fekvenčného penosu. Je možné ich získať teoetickou alebo expeimentálnou cestou. V pedloženom píspevku sú ukázané výsledky iešenia funkcií fekvenčného penosu numeickou cestou pe 3D, D a 1D výpočtové modely vozidla Tata T815 pi ýchlosti pohybu vozidla 10 m/s (36 km/h). Stavebného inžiniea zaujímajú v pvom ade fekvenčné penosy týkajúce sa kontaktných síl vznikajúcich medzi kolesom vozidla a vozovkou. V gafickej podobe sú pezentované výkonové penosové faktoy dynamických zložiek kontaktných síl pod kolesami na pavej stane vozidla. Z uvedených obázkov je zejmé, že pokiaľ sú jednotlivé výpočtové modely dynamicky ekvivalentné, tak výkonové penosové faktoy vzájomne si koešpondujúcich veličín sú pakticky identické. Vzájomné poovnania nie sú závislé od ýchlosti pohybu vozidla. Na vznik kontaktných síl majú výkonovo najväčší podiel tie fekvenčné zložky kinematického budenia, ktoé koešpondujú vlastným fekvenciám a tvaom vlastného kmitania vťahujúcim sa k dominantným pohybom nápav vozidla. POĎAKOVANIE Tento píspevok vznikol s podpoou GA MŠSR VEGA, gant č. 1/059/1. LITERATÚRA [1] PANULINOVÁ, E. Vplyv ovnosti povchu vozovky na hladinu hluku z automobilovej dopavy. Silniční obzo. Paha, 001, oč. 6, č. 11/1, s , ISSN [] KOTRASOVÁ, K. a KORMANÍKOVÁ, E. Seismic design of liquid stoage tank made fom composite mateial. Wold Jounal of Engineeing. 008, Vol. 5, No. 3, p ISSN [3] IVÁNKOVÁ, O. Vplyv seizmicity na konštukčné systémy výškových budov. Medzináodná konfeencia: Vývoj a aplikace MKP systémů po analýzu stavebních konstukcí. VÚT Bno, 003, s [4] LAJČÁKOVÁ, G. Inteaction in the system vehicle Roadway. nd Intenational Confeence: New Tends in Statics and Dynamics of Buildings. STU Batislava, 003, Octobe 16 17, 003, p. 7-30, ISBN [5] PYTKA, J., TARKOWSKI, P., KUPICZ, W.: A eseach of vehicle stability on defomable suface. Ekspoatacja i niezawodnosc Maintenance and Reliability. Vol. 15, No. 3, 013, p , ISSN [6] MAJKA, M., HARTNETT, M.: Dynamic esponse of bidges to moving tains. A study on effects of andom tack iegulaities and bidge skewness. Computes & Stuctues, Vol. 87, 009, p [7] MARTINICKÁ, I.: Výpočet vlastných fekvencií a tvaov vlastného kmitania výpočtových modelov vozidiel. Pozemné komunikácie a dáhy. 010, oč. 6, č.1-, s , ISBN [8] MELCER, J., MARTINICKÁ, I.: Vozidlo cesta numeické iešenie vo fekvenčnej oblasti. Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské Technické univezity Ostava. Řada stavební. VŠB TU, SvF, Ostava, oč. XIV., č.1, 014, 10 s., ISSN Oponentní posudek vypacoval: Pof. Ing. Pet Hoyl, CSc., d.h.c., Kateda mechaniky, Fakulta stojní, VŠB-TU Ostava. Pof. Ing. Jiří Máca, CSc., Kateda mechaniky, Fakulta stavební, ČVUT v Paze. 130

135 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 17 Milan MORAVČÍK 1 PRENOS VIBRÁCIÍ KONŠTRUKCIOU TRATE PRI PREJAZDE VLAKOV VIBRATION TRANSMISION DUE TO MOVING TRAIN Abstakt Analyzuje sa penos vibácií a ich tlmenie v konštukcii tate, ktoá je dynamicky zaťažovaná opakovanými pejazdmi vlakov. Aplikovaná je expeimentálna analýza pejazdov chaakteistických vlakov osobnej dopavy, ktoá je vyhodnocovaná v časovej a fekvenčnej oblasti pe f = (0 500Hz). Dominantné fekvencie ovplyvňujúce kmitania koľajníc, podvalov, štkového lôžka a zemného telesa tate sú hodnotené zo získaných časových záznam pejazdu vlakov. Kľúčové slova Expeimentálna analýza, fekvenčná analýza kmitania, kmitanie komponentov tate. Abstact The tansmission of vibation and damping in the tack stuctue, which is dynamically loaded by epeated passages of the tain bogies is analyzed. The expeimental analysis is pefomed fo passages of the passenge tain which ae evaluated in the time and fequency domain f = (0 500 Hz). The influence of dominant fequency phenomena on the ails, sleepes, ballast bed, and gound vibation ae investigated fom the time ecods of the tain passages. Keywods Expeimental analysis, fequency analysis, vibation of tack. 1 ÚVODNÉ POZNÁMKY K DYNAMICKÉMU NAMÁHANIU TRATE Píspevok je venovaný vybaným aspektom dynamického chovania konštukcie tate, najmä vibáciám komponentov železničného zvšku (koľajové pásy, podvaly, štkové lôžko, zemné teleso), ktoé sú dynamicky zaťažované opakovanými pejazdmi vlakov, pičom sa hodnotia aj javy spojené so šíením vibácii a hlukových emisii do okolia tatí najmä: edukcia dynamických účinkov konštukciou tate a koľajových vozidiel pohodlie cestovania a vplyv tlmenia v komponentoch tate. edukcia vibácií a hlukového zaťaženia nepiaznivo pôsobiace na okolité konštukcie a obyvateľov v blízkosti tatí, ob.1.1. Penos vibácii konštukciou tate, esp. jej hlavných pvkov je vyvolané celým adom budiacich zdojov, ktoé ovplyvňujú nielen kmitanie tate, ale aj dynamické javy spojené so šíením defomačných vĺn v konštukcii tate, ob.1.. Zložitý poblém dynamickej inteakcie pohybujúce sa vozidlo tať sa ieši dvoma základnými pístupmi: A/ Teoetickou cestou aplikáciou ôznych výpočtových modelov zohľadňujúcich pužné a tlmiace väzby vystupujúce v modeloch zaťaženia (koľajových vozidiel) aj konštukcie tate 1 Pof. Ing. Milan Moavčík, CSc. 1, Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, Žilinská univezita v Žiline, Univezitná 815/1, Žilina, Slovenská epublika, mimo@fstav.uniza.sk. 131

136 (komponenty tate) a simuláciou dôležitých paametov na dynamickú odozvu. Pitom sa využíva iešenie MKP, čo je aplikované napíklad v [3, 4]. Hlukové emisie Kmitanie komponentov tate Rozkmitávanie okolitých budov Penos vibácii podložím Ob. 1.1: Vibácie konštukcie tate, penos podložím a hlukové zaťaženie v okolí tatí P w x w 0 w(x) piehyb koľajnice Zaťaženie podvalu Zaťaženie štkového lôžka Zaťaženie podložia Ob. 1.: Schéma penosu silových účinkov konštukciou tate Výstupy iešenia dynamickej odozvy tate majú ôznu podobu, podľa fomulácie úlohy a cieľov iešenia a obyčajne sa fomulujú ako úlohy: A1/ Modálne vlastnosti konštukcie Vlastné fekvencie kmitania f (i) a im odpovedajúce vlastné tvay kmitania, Tlmiace vlastnosti konštukcie logaitmický dekement útlmu. A/ Dynamické vlastnosti konštukcie v tvae fekvenčných chaakteistík odozvy na hamonické budenie (amplitúdové a fázové chaakteistiky odozvy), obyčajne vo fome dynamickej poddajnosti - eceptancie ( i )", ktoá pedstavuje citlivosť konštukcie na hamonické budenia, alebo v inveznej fome dynamickej tuhosti ki ( ). 13

137 Dynamická poddajnosť je definovaná komplexným pomeom dynamickej výchylky w(x,t) a budiacej sily F(x,t) v mieste x konštukcie: wxt (, ) w exp i( t w ) w ( i) exp i( w F) exp i. (1.1) F( x, t) F exp i( t ) F F s amplitúdovou chaakteistikou dynamickej poddajnosti: w, [m/n]. (1.) F kde: f je uhlová fekvencia, je fázový posun. T Dynamická tuhosť (dynamic stiffness) je invezná funkcia k dynamickej poddajnosti: 1 F( x, t) k( i ), [N/m] (1.3) ( i) w( w, t) Dynamické vlastnosti konštukcie však môžu byť vyjadené aj ďalšími vzťahmi tzv. "mobility dates", ako pome ýchlosti kmitania ku dynamickej sile (mobility), alebo zýchlenie kmitania ku dynamickej sile (inetancia) a ich invezné chaakteistiky. A3/ Dynamická odozva konštukcie tate na účinky pohyblivého dynamického zaťaženia - účinky kolesových síl, podvozkov, esp. celých vlakov sa učuje pe chaakteistické taťové úseky (piame úseky, oblúky, výhybky, mosty, tunely) a pe hlavné typy konštukcie tate (novo budovaný koido, klasické konštukcie tate). Ide o hodnotenie pejavov dynamických inteakčných síl /, vznikajúcich na styku koleso koľajnica na konštukciu tate: dynamických posunov wy ( x, t) komponentov tate (Y), kde (Y)= koľajnica (R), podvaly (S) štkové lôžko (B), esp. ich zýchlenia w Y ( x, t), pomeného petvoenia ( x, t), esp. im odpovedajúcej napätosti ( x, t ), Y dynamických inteakčných síl koleso/koľajnica FY ( xt, ), dynamických koeficientov komponentov tate wxt (, ) dyn wst ( x). Typické teoetické závislosti dynamickej poddajnosti ( f ) pe ovinný model tate, pe nízke a stedné fekvencie sú pezentované na ob. 1.3, z ktoých môžeme usudzovať na náchylnosť ezonančného kmitania v konštukcii tate. Vidíme, že ozhodujúce fekvenčné zložky ležia v nízkofekvenčnej oblasti f (4 80 Hz). Tieto vibácie sa šíia z miesta styku koleso koľajnica, ktoé však je v pohybe, cez koľajnice, podvaly štkové lôžko a zemné teleso tate do okolia tatí, kde nepiaznivo pôsobia na životné postedie, ob.1.1. Všeobecne poblém kmitania konštukcie tate je šiokospektálny poblém zahŕňajúci nielen vibácie konštukcie a vlnenia, ale aj šíenie zvukových emisií pi pejazde vlakov. Tento píspevok sa analyzuje kmitanie komponentov tate vo fekvenčnej oblasti f (1 500 Hz). B/ Expeimentálnou analýzou v nepoušenej konštukcii tate, ktoá má ovnaké ciele ako teoetická analýza, ale zohľadňuje skutočné pomey v konštukcii tate. Hľadajú sa možné ezonančné oblasti kmitania konštukcie tate a jej pvkov (podvaly, štkové lôžko, podkladové vstvy) pi pejazde vlakov osobnej a nákladnej dopavy a to v piamych taťových úsekov, ale v oblúkoch a na výhybkách. Viaceé aspekty poblematiky dynamického namáhania tate boli pezentované nap. V pácach [3, 4, 5]. Tento píspevok je venovaný vibáciám penášaných hlavnými konštukčnými komponentmi tate do zemného telesa tate, ich tlmeniu a zmenám ich fekvenčnej skladby. 133 Y

138 Ob. 1.3: Typické teoetické závislosti poddajnosti tate ( f ) pe diskétny ovinný model tate: (1) Pe nespojené štkové lôžko pod podvalmi ( ) - iešenie KSM [3] a () pe spojené spolukmitajúce štkové lôžko s podvalmi ( _) - podľa [] KVÁZI-STATICKÉ A DYNAMICKÉ ÚČINKY NA KONŠTRUKCIU TRATE Kmitanie hlavných komponentov konštukcie tate (Y) (koľajové pásy (R), podvaly (S), štkové lôžko (B) a zemné teleso tate (Z)) je vyvolané celým adom budiacich zdojov: kvázi-statické budenie odpovedajúce pohybu podvozkov koľajových vozidiel (vlakov) v závislosti na ich hmotnosti a ýchlosti pohybu, neovnosti na koľajniciach a kolesách koľajových vozidiel, skladba a typy vlakov, diskétne podpey koľajníc a tuhosť podkladu, ale aj ďalšími dynamickými efektmi spojenými so šíením defomačných vĺn v koľajniciach a podvalovom podloží. V idealizovanej konštukcii tate (tať bez defektov s konštantnou tuhosťou podkladu) je petvoenie tate závisle len na veľkosti kolesových síl P w. Pejazd každého dvojkolesia nápav vozidiel sledovaným miestom x vyvolá piehyb koľajového pásu wxt (, ), ktoého chaakte je závislý na ýchlosti pohybu c a ďalších paametoch. Teoetické iešenie poblému pohybu kolesovej sily P w po koľajovom páse s tuhosťou podkladu k z, uvažovanom ako nosník na pužnom podklade [4], má známy tva: 4 wxt (, ) wxt (, ) wxt (, ) EI m 4 1 b k. (, ). ( ) z w x t Pw x ct (.1) x t t Z iešenia piehybu w(x,t) v (.1) vyplýva tzv. "kitická ýchlosť pohybu c c ", pi ktoej dynamické účinky môžu dosahovať vysoké hodnoty: c c. kz. EI m kde: k z je tuhosť podkladu [N/m ], m 1 je hmotnosť nosníka [kg/m], EI je ohybová tuhosť nosníka [Nm ], ( x ct) je Diacova funkcia c c 4 4 EI. k z (.) m 1

139 Riešenie poblému (.1) je tzv. "kvazistacionány stav" popísaný v pohyblivom súadnicovom systéme (x,w) piehybová vlna vytvoená pod kolesami wxt (, ) wst () t sa pohybuje spoločne so silou P w, ob x P w c P w x w ct w w(x,t) ct x x = ct + x Ob..1: Pevný a pohyblivý súadnicový systém pe pohyb sily po nosníku na pužnom podklade Kitické ýchlosti c c dosahujú vysoké hodnoty (c c 40 m/s), teda sú vzdialené od bežných pevádzkových ýchlosti, kde c<c c. Nebezpečný ezonančný stav môže nastať pi vysokoýchlostných tatiach na mäkkom podloží, kedy piehybová vlna wxt (,) šíiaca sa s pohybom vlaku sa piblíži ýchlosti šíenia Rayleighových vĺn v podloží dĺžke (c m/s), čo môže spôsobiť veľké a nestabilné petvoenia v podloží tate. Inteakčné kolesové sily /, sú z kontaktného bodu koleso - koľajnica penášané konštukciou tate (podvaly, štkové lôžko, podkladové vstvy) aj do okolia tate spôsobujú chaakteistické dynamické javy: kmitanie komponentov tate koľajových pásov, podvalov, štkového lôžka a podložia tate, kde dominujú najmä nízkofekvenčné zložky inteakčných síl. šíenie pužných defomačných vĺn konštukciou tate aj zeminovým podložím (povchové Rayleighove vlny, pozdĺžne a piečne vlny), ktoé spôsobujú nízke a stedné fekvenčné zložky inteakčných síl. vzduchom penášané zvukové emisie šíiace sa v okolí tate, ktoé spôsobujú stedné a vysokofekvenčné zložky inteakčných síl. Pi budiacich účinkov koľajových vozidiel v konštukcii tate ozlišujeme: a/ Kvázi-statické účinky pohyblivých hmotných nápav závislé na skladbe podvozkov koľajových vozidiel a ýchlosti pohybu c. Pe ýchlosti c < c c sa tieto účinky pejavujú ako chaakteistické kvázi-statické petvoenie tate w () t w v zmysle ob... R st Ob..: Časový záznam vetikálnych posunov koľajového pásu wr () t w pi pejazde st ýchlika L30+8 vagónov, elatívny snímač D R /Bosh, c = 119 km/h 135

140 Kvázi-statické účinky majú nízkofekvenčný chaakte f (0 30 Hz) a pe ýchlosti vlakov do 00 km/h ovplyvňujú len blízke okolie styku koleso koľajnica, pičom sú ýchlo tlmené a teda nevytváajú nebezpečné dynamické javy v okolí tate. b/ Dynamické účinky pohyblivých hmotných nápav sú dôsledkom viaceých dynamických zdojov budenia, najmä: impefekcií (neovnosti) koľajníc a kolies vozidiel, neovnomenej tuhosti podkladu pod podvalmi, paametického budenia v dôsledku pejazdu nápav nad podvalmi, chaakteizované fekvenciou: c fs [Hz] (.3) Ls kde: L s = 0,6 m (vzdialenosť podvalov). Zmieňované dynamické účinky majú všeobecne šiokospektálnu skladbu f ( Hz), ktoú je potebné analyzovať použitím vhodných snímačov kmitania a analyzátoov dynamických signálov (LabView-National Instuments, DISYS a pod.). Časové záznamy dynamických zložiek zýchlenia kmitania koľajnice wr () t, podvalov ws () t a štkového lôžka wb () t, majú vždy chaakteistický tva spevádzaný tlmením amplitúd výchyliek, esp. zýchlení kmitania, ob KMITANIE KOMPONENTOV ŽELEZNIČNÉHO ZVRŠKU MERANIE V TRATI Naše pacovisko má ziadené dve expeimentálne meacie miesta na hlavnom ťahu Batislava Košice, kde sa opakovane vykonávali meania od oku 004 až doteaz: (1) na novobudovanom koidoe v úseku Cífe Tnava piamy taťový úsek, () na klasickej konštukcii tate v úseku Žilina Vaín piamy taťový úsek, Tento píspevok je venovaný novovybudovanému koidou, kde konštukcia tate má ovnakú skladbu konštukčných vstiev, ob Pejazdy vlakov osobnej pepavy majú tiež typickú skladbu lokomotíva osobných vozňov. Rýchlosť vlakov sa pohybovala od km/h. 3,0 4,0 3,0 1,3 1,7 1,7 1,7 1,7 1,3 0,6 5 % 5 % štkové lôžko h = 0,35-0,55m sanačná vstva zo štkodvy f. 4-5, min h = 0,40 M geomežovina Tensa SS 30, ola 50x4 m filtačná geotextília Tatatex T00, ola 50x 3,8 m Ob. 3.1: Chaakteistický piečny ez konštukciou tate koidou Batislava Žilina 136

141 3.1 Meané veličiny Vetikálne kmitanie koľajníc (R), podvalov (S), štkovej vstvy meanej medzi podvalmi (B) a zemného telesa tate (Z) boli meané meacou linkou Katedy stavebnej mechaniky vždy ovnakou metodikou popísanou napíklad v pácach [4, 5]. Piame meanie piehybov pomocou elatívnych snímačov D R, D S dáva celkové kvázi-statické piehyby wst () t týchto komponentov, ktoé je chaakteizované nízkymi fekvenčnými zložkami. Akceleomete A R, A S, A B, A Z dávajú zas dynamické zložky odozvy týchto komponentov wr () t, ws () t, wb () t a wz () t, ale v šiokej fekvenčnej oblasti pičom nepotebujú efeenčnú základňu, ob.3.. R k, R p PRIEHYBOMERY A k, A p, A bal SNÍMAČE ZRÝCHLENIA R k UIC 60 A k R p A p A b A Z Ob. 3.: Snímané miesta v konštukcii tate Pi meaní dynamickej odozvy šiokopásmových pocesov je potebné spávne voliť meací eťazec výbe snímačov, citlivosti a pod. a zohľadňovať základné súvislosti medzi amplitúdami posunov kmitania wt (), ýchlosti wt () a zýchlenia kmitania wt (). Potom piame meanie výchyliek wt () bude zvýazňovať nízkofekvenčné zložky vibácií a meanie zýchlení wt () zas vysokofekvenčné zložky, ob Pe šiokopásmové pocesy, ako sú aj vibácie konštukcie tate, volíme snímanie zýchlení, pičom však zohľadňujeme vyššie uvedené súvislosti filtácia signálov, pásmové piepustnosti a pod. 0, Hz zýchlenie w ýchlosť w (-6dB/oct.) výchylka w (-1dB/oct.) ÚTLM db Ob. 3.3: Vzťah amplitúd ýchlosti wt () a posunov wt () kmitania voči amplitúdam zýchlenia kmitania wt () v meaných signáloch 137

142 3. Fekvenčná analýza odozvy tate pi pejazde celého vlaku Vo fekvenčnej analýze kmitania komponentov tate ha voľba vzokovacej fekvencie f s dôležitú úlohu, nakoľko sa jedná o elatívne ýchle dynamické deje a ovplyvňuje pesnosť (ozlišovacia schopnosť) spektálnych obazov. Jednostanná autospektálna hustota G XX ( f k ) pe fekvencie f k meaného časového záznamu x (t) je definovaná ako v [4]: n d GXX ( f k ) X i ( f k ), k=1,, 3, N/ (3.1) ndt i1 kde: X ( f i k ) t. X ik t N 1 xin n0 j kn.exp (3.) N N je veľkosť analyzovaného bloku, ktoý sa volí N = 18, 56, 51, 104, 048, Ďalší dôležitý kok fekvenčnej analýzy časových signálov je vhodný výbe funkcie váhového okna (váhové časové okno). Hanningovo váhové okno bolo aplikované vo všetkých analýzach. Spektálna analýza časových záznamov sa vyhodnocovala ako amplitúdové výkonové spektum (Powe Spectum PWR). Píklad analýzy pejazdu ýchlika na koidoe v úseku Cífe Tnava je pezentovaný na ob Pejazd ýchlika L vagónov _ Meania TN II, No. : Analýza vetikálneho zýchlenia koľajnice w () t, t = 9,0 s, c =118 km/h, Analýza LABWIEV, f s= 1000 Hz. R [m /s ^ ] AR [s ] a/ Časový piebeh vetikálneho zýchlenie koľajnice wr () t, snímač AR / BK4500, t = 9,0 s, Nefiltovaný záznam [m/s^]^ 150 AR: PWR 3xN [Hz] b/ Výkonové spektum Sww ( f ) kmitania koľajnice wr () t / A R : PWR 3xN104 (75% pekytie) 138

143 AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae [ms-]^ AR: Mean PWR 3xN104 Ak_N104_p50_piem [Hz] f 1 11, 18, 59 Hz f 3 = Hz c/ Piemeované výkonové spektum S ( f ) kmitania koľajnice w () t / A R : Mean PWR 3xN104 ww Ob. 3.4: Fekvenčná analýza kmitania koľajnice A R - pejazd ýchlika L vagónov Pejazd ýchlika L vagónov _ Meania TN II, No. : Analýza vetikálneho zýchlenia podvalu w () t, t = 9,0 s, c =118 km/h, Analýza Labview, f s= 1000 Hz. S R [m /s^] 40 AS [s] a/ Časový piebeh vetikálneho zýchlenia podvalu ws () t snímač A S / BK4500, Nefiltovaný záznam [m/s^]^ AP: 3 PWR N [Hz] b/ Výkonové spektum Sww ( f) kmitania podvalu ws () t / A S : PWR 3xN104, (pekytie 75%) 139

144 AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae AmplitudeRMSSquae [m/s^]^ 0.15 AS: Mean PWR N [Hz] f i 10, 5, 61, 98 Hz f i Hz c/ Piemeované výkonové spektum Sww ( f ) kmitania podvalu ws () t / A S : Mean PWR 3xN104, (pekytie 75%) Ob. 3.5: Fekvenčná analýza kmitania podvalu A S - pejazdu ýchlika L vagónov Pejazd ýchlika L vagónov _ Meania TN II, No. : Analýza vetikálneho zýchlenia štkového lôžka w () t, t = 9,0 s, c =118 km/h, Labview, f s= 1000 Hz. B [m /s ^ ] AB [s ] a/ Časový piebeh vetikálneho zýchlenia štkového lôžka w () t, snímač A B / BK8306, t = 9,0 s B [m/s^]^ AB: 3x PWR N [Hz] b/ Výkonové spektum Sww ( f ) kmitania štkového lôžka wb () t / A B : PWR 3xN=104, (pekytie75%) 140

145 [m/s^]^ 0.15 AB: Mean PWR:3x N [Hz] f 1 54 Hz f Hz c/ Piemeované výkonové spektum Sww ( f ) kmitania štkového lôžka wb () t / A B : Mean PWR 3xN104, (pekytie 75%) Ob. 3.6: Fekvenčná analýza kmitania štkového lôžka A B - pejazdu ýchlika L vagónov Analogickým postupom ako je pezentovaná vyššie uvedená analýza pejazdu celého vlaku sa postupuje aj pi posudzovaní vplyvu pejazdu jednotlivých podvozkov koľajových vozidiel lokomotív a vagónov na odozvu tate. 4 HLAVNÉ VÝSLEDKY MERANEJ DYNAMICKEJ ODOZVY Hlavný cieľ expeimentálnej analýzy bol zameaný na hodnotenie fekvenčnej skladby kmitania jednotlivých komponentov tate a tlmenia dynamických účinkov, ako dôsledok inteakčných síl vznikajúcich na styku koleso - koľajnica a penášaných konštukciou tate: Časové piebehy vetikálneho zýchlenia komponentov tate koľajníc w () t, podvalov ws () t, štkového lôžka wb () t a zemného telesa wz () t dobe epezentujú intenzitu vibácií komponentov tate, aj edukciu dynamických účinkov v jednotlivých pužných väzbách smeom k podkladovým vstvám konštukcie tate. Tlmenie kmitania komponentov tate sa kvalitatívne zmenšuje smeom k podložiu, čo kvantitatívne možno vyjadiť faktoom 0,1 tlmenia amplitúd kmitania: Fekvenčná skladba kmitania komponentov tate potvdila, že ozhodujúce fekvencie ležia v nízkofekvenčnej oblasti: f (1 100 Hz). Ukázalo sa že ýchlosť pejazdu vlakov osobnej dopavy do 140 km/h neovplyvňuje výazne dynamickú odozvu. Odozva tate je takme identická pi všetkých pejazdoch vlakov osobnej dopavy. Pi ťažkých nákladných vlakov je tento vplyv už výazný. Identifikovali sa hlavné ezonančné oblasti vibácii pe pevádzkové ýchlosti vlakov do 140 km/h pe koľajové pásy, podvaly, štkové lôžko aj zemné teleso tate, esp. náchylnosť ezonančného kmitania v týchto konštukčných pvkov: - Koľajnicové pásy: Fekvenčné spektum Sww ( f) vetikálneho zýchlenia w R () t v oblasti f (0 500 Hz) je šiokopásmové s najvýaznejšími fekvenciami v oblasti f (0 60 Hz). - Podvaly: Redukcia kmitania je výazná. Fekvenčné spektum Sww ( f) vetikálneho zýchlenia w () t má v oblasti f (0 500 Hz) tiež šiokopásmový chaakte, ale s dvomi výaznými s R 141

146 fekvenčnými oblasťami: f(1) (0 10 Hz) s dominujúcimi fekvenciami: f = 10, 5, 61 Hz, kedy spoločne kmitá koľajnica a podvaly a f() ( Hz), kedy tiež kmitá koľajnica na podvaloch. - Štkové lôžko: Redukcia kmitania voči podvalom je opäť výazná. Fekvenčné spektum S ( ) ww f vetikálneho zýchlenia wb () t má dominantnú oblasť fekvencii f (54 6 Hz). - Zemné teleso tate (,5 m od vonkajšej koľajnice): Fekvenčné spektum Sww ( f) vetikálneho zýchlenia w z () t má dominantné fekvencie tiež v oblasti f (54 6 Hz). Rozhodujúce vplyvy na intenzitu vibácii majú dynamické zložky budenia pochádzajúce z neovnosti na koľajniciach a kolesách koľajových vozidiel. Expeimentálna analýza potvdila, že ozhodujúce fekvenčné zložky kmitania ležia v nízkofekvenčnej oblasti f (1 100 Hz). Hlavné oblasti dominantných fekvencii kmitania koľajníc, podvalov a štkového lôžka, ostávajú pincipiálne zachované v každom vytvoenom zázname. POĎAKOVANIE Píspevok vnikol za finančnej podpoy Gantovej agentúy VEGA-MŠ SR Registačné číslo pojektu 1/0517/1.L LITERATÚRA [1] KNOTHE K., GRASSIE S.: Modelling of ailway tack and vehicle/tack inteaction at high fequencies, Vehicle system dynamic (1993), pp [] KNOTHE K., WU Y.: Receptance behaviou of ailway tack and subgade. Achive of applied mechanics 68 (1998), Sping velag, pp [3] SIČÁR M.: Dynamická inteakcia tate a vozidla. Dizetačná páca (1996), Žilinská univezita, 180 p. [4] MORAVČÍK MILAN, MORAVČÍK MARTIN: Mechanika železničných tatí, Časť 3. Epeimentálna analýza namáhania a petvoenia komponentov tate Edis Žilina 00. Diel 3, ISBN , 0 s. [5] MORAVČÍK M.: Dynamic behaviou of ailway tack expeimental measuements. Communication 3/00, ISSN , pp [6] Diadem /NT Manual: Advance Couse Manual, Vesiom 10.0, 006. Oponentní posudek vypacoval: Doc. Ing. Otto Plášek, Ph.D., Ústav železničních konstukcí a staveb, Fakulta stavební, VUT v Bně. Ing. Matin Stoláik, Ph.D., Kateda geotechniky a podzemního stavitelství, Fakulta stavební, VŠB-TU Ostava. 14

147 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 18 Matin PSOTNÝ 1 NONLINEAR ANALYSIS OF BUCKLING & POSTBUCKLING Abstact The stability analysis of slende web loaded in compession was pesented. To solve this poblem, a specialized compute pogam based on FEM was ceated. The nonlinea finite element method equations wee deived fom the vaiational pinciple of minimum of potential enegy. To obtain the nonlinea equilibium paths, the Newton-Raphson iteation algoithm was used. Coesponding levels of the total potential enegy wee defined. The peculiaities of the effects of the initial impefections wee investigated. Special attention was focused on the influence of impefections on the post-citical buckling mode. The stable and unstable paths of the nonlinea solution wee sepaated. Obtained esults wee compaed with those gained using ANSYS system. Keywods Stability, postbuckling, geometic nonlinea theoy, initial impefection, finite element method, Newton-Raphson method, ac-length method. 1 INTRODUCTION The snap-though effect means a sudden modal change in the buckling suface of a slende web. Even in the case when the snap-though of the slende web does not mean the collapse of the stuctue, we conside it to be a negative phenomenon. In the pesented pape we ty to explain the behaviou of the snap-though of the slende web loaded in compession [1]. The geometically nonlinea theoy epesents a basis fo the eliable desciption of the postbuckling behaviou of the slende web. The esult of the numeical solution epesents a lot of the load vesus displacement paths. Except the pesentation of the diffeent load-displacement paths the level of the total potential enegy has been evaluated as well. THEORY Let us assume a ectangula slende web simply suppoted along the edges (Fig. 1) with the thickness t. The displacements of the point of the neutal suface ae denoted q = [u, v, w] T and the elated load vecto is p = [p x, 0, 0] T. We assume the so called von Kámán theoy, when the out of plane (plate) displacements (w) ae much bigge as in-plane (web) displacements (u,v). Taking into account the non-linea tems one gets the stains Lm Nm z k (1) whee T 1 Lm u, x, v, y, u, y v, x, T Nm w, x, w, y, w, x w, y the indexes denote the patial deivations., T k, w yy, w xy, w, xx,, 1 Doc. Ing. Matin Psotný, PhD., Depatment of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Slovak Univesity of Technology, Radlinského 11, Batislava, Slovakia, phone: (+41) , matin.psotny@stuba.sk. 143

148 a C B A b a = b = 10 mm t = 1 mm E = MPa = 0.3 a b initial impefection mode: whee m n m n Fig. 1: Slende web: a) Notations of the quantities, b) FEM model SHELL 143 The initial displacements will be assumed as the out of plane displacements only and so it yields ε0 ε0nm z k0. () Resticting to the isotopic elastic mateial and to the constant distibution of the esidual stesses,, ) ove the thickness, the total potential enegy can be expessed as ( xw yw w U T T εm ε0m t Dεm ε0m da k k0 Dk k0 da A 1 A 1 3 t 1 A q T p da, (3) whee ε m, k ae stains and cuvatues of the neutal suface, ε 0m, k 0 ae initial stains and cuvatues, q, p ae displacements of the point of the neutal suface, elated load vecto. The system of conditional equations can be obtained fom the condition of the minimum of the incement of the total potential enegy [6] U 0. (4) This system can be witten as: Kinc α Fint Fext Fext 0, (5) KincD KincDS whee K inc is the incemental stiffness matix, KincSD KincS FintD F int FintS is the vecto of the intenal foces, FextD F ext FextS is the vecto of the extenal load of the web, 144

149 FextD F ext is the incement of the extenal load of the web, FextS BD αd q B α, q B α. BS αs Fo moe details see [3]. In the case of the stuctue in equilibium F 0, we can do the incemental step 1 inc i1 Kinc α Fext α K Fext and α α α. The Newton-Raphson iteation can be aanged in the following way: we suppose that i does not i i i epesent the exact solution and the esidua ae F F. The coected paametes ae i 1 i i1 i i α α α, whee α Kinc. We have used the identity of the incemental stiffness matix with the Jacobbian of the system of the nonlinea algebaic equation J Kinc. To be able to evaluate the diffeent paths of the solution, the pivot tem of the Newton- Raphson iteation has to be changed duing the solution. Fo the stable path of solution the deteminant of the incemental stiffness matix must be positive det K inc 0, all the pincipal minos must by positive as well and the load must be taken as the pivot tem. 3 FEM NONLINEAR ANALYSIS The FEM compute pogam using a 48 DOF element [5] has been used fo analysis. FEM model consists of 8x8 finite elements. Full Newton-Raphson pocedue, in which the stiffness matix is updated at evey equilibium iteation, has been applied. The fundamental path of the solution stats fom the zeo load level and fom the initial displacement. It means that the nodal displacement paametes of the initial displacements and the small value of the load paamete have been taken as the fist appoximation fo the iteative pocess. To obtain othe paths of the solution we have used andom combinations of the paametes as the fist appoximation. Inteactive change of the pivot membe duing calculation is necessay fo obtaining equied numbe of L-D paths, subsequently it was possible to sepaate the stable and unstable paths of solution. Obtained esults wee compaed with esults of the analysis using ANSYS system, whee 16x16 elements model was ceated (Fig. 1b). Element type SHELL143 (4 nodes, 6 DOF at each node) was used. The ac-length method was chosen fo analysis, the efeence aclength adius is calculated fom the load incement. Only fundamental path of nonlinea solution has been pesented. Shape of the web in postbuckling has been also displayed. 4 ILLUSTRATIVE EXAMPLES Illustative examples of compessed steel web fom Fig. 1 ae pesented as load displacement paths fo diffeent amplitudes of initial geometical impefection [] mentioned in this Figue. Fom Figs. and 3 it is obvious that two almost identical modes of initial impefection at the beginning of the pocess offe two diffeent solutions in postbuckling. These pesented nonlinea solutions of the postbuckling behaviou of the slende web ae divided into two pats. On the left side, thee is load vesus nodal displacement paametes elationship, on the ight side the elevant level of the total potential enegy is dawn. (Unloaded web epesents a zeo total potential enegy level.) F int i int ext ext 145

150 Due to the mode of the initial impefection the nodal displacements denoted A, C have been taken as the efeence nodes (see Fig. 1a). The thick line epesents the stable path and the thin line epesents the unstable path of the solution. Moe details about the solution of the equilibium paths wee mentioned in [3], [4]. 50 v load p [N/mm] v v v3 p = p L3 p L > 0 A p L p L v1 p = 150 v1 v, v3 othe paths C displacement w [mm] total potential enegy U *10-3 [J] v1 p = 50 Fig. : The postbuckling of the slende web with the initial x y x y displacement w sin sin 0.15sin sin a b a b 146

151 load p [N/mm] A C v p L3 p L < 0 p L p L3 v displacement w [mm] total potential enegy U *10-3 [J] v v1 p = 50 v3 p = 150 v1 p = 150 v1 v, v3 othe paths Fig. 3: The postbuckling of the slende web with the initial x y x y displacement w sin sin 0. sin sin a b a b The aim of this pape was to ty to give an answe to the poblem of the theat of collapse of the slende web loaded in compession in the second mode of buckling. Fig. shows the solution fo the initial displacement paametes and We can see that the fundamental path is in the postbuckling phase in mode 1 (v1 the thick line). The lowest value of the total 147

152 potential enegy is elated to the path v3 (mode ). The enegy baie potects the snap fom the path v1 to the path v3. When we incease effect of the mode in the mode of the initial displacement ( and 0 0. ) the postbuckling mode of the slende web is the mode (Fig. 3). Let us find the connection between the load displacement path and coesponding level of the total potential enegy. Fom Fig. and 3 one can see, that elative position of limit points in L D diagam mentions on magnitude of enegetic baie. The incease of the paamete 0 is elated to decease of paamete p L3. This is a value of load at limit point of the lowest enegy path. If p L3 is the lowest limit point in L D diagam, enegetic baie is eliminated and solution will continue in postbuckling phase in the most convenient way, i.e. in the lowest enegy path. 5 CONCLUSIONS The influence of the value of the amplitude and the mode of the initial geometical impefections fo the postbuckling behaviou of the slende web is pesented. As the impotant esult we can note, that the level of the total potential enegy of the fundamental stable path can be highe than the total potential enegy of the seconday stable path. This is the assumption fo the change in the buckling mode of the slende web. The evaluation of the level of the total potential enegy fo all paths of the non-linea solution is a small contibution in the investigation of the post buckling behaviou of the slende web. To be able to give a full answe fo the mechanism of the snap-though effect, moe in-depth eseach will be equied. ACKNOWLEDGMENT Pesented esults have been aanged due to the eseach suppoted by Slovak Scientific Gant Agency, poject No. 1/069/1. REFERENCES [1] BLOOM, F. COFFIN, D. Handbook of Thin Plate Buckling and Postbuckling. ChapmanHall/CRC, Boca Raton, 001, 770 p. ISBN [] KALA, Z. KALA, J. ŠKALOUD, M. TEPLÝ, B. Sensitivity Analysis of the Effect of Initial Impefections on the Stess State in the Cack-Pone Aeas of Beathing Webs. Poc. of the Fouth Int. Conf. on Thin-walled Stuctues, Loughboough (England, UK), 004, pp ISBN [3] PSOTNÝ, M. RAVINGER, J. Post-Buckling Behaviou of Impefect Slende Web. Engineeing Mechanics, Vol. 14, 007, No. 6, pp ISSN [4] PSOTNÝ, M. RAVINGER, J. Stable and Unstable Paths in the Post-Buckling Behaviou. Intenational Confeence VSU 005, Sofia, 005, pp [5] SAIGAL, S. YANG, I. Nonlinea Dynamic Analysis with 48 DOF Cuved Thin Shell Element. Int. J. Nume. Methods in Engng. 1985,, pp ISSN [6] WASHIZU, K. Vaiational Methods in Elasticity and Plasticity. Pegamonn Pess, NY, 198, 630 p. ISBN Reviewes: Pof. Ing. Pavel Kuklík, CSc., Depatment of Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Czech Technical Univesity in Pague. Ing. Mioslav Rosmanit, Ph.D., Depatment of Building Stuctues, Faculty of Civil Engineeing, VŠB-Technical Univesity of Ostava. 148

153 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 19 Ondřej SLOWIK 1, Dahomí NOVÁK ALGORITMIZACE SPOLEHLIVOSTNÍ OPTIMALIZACE ALGORITHMIZATION OF RELIABILITY-BASED OPTIMIZATION Abstakt Článek představuje nově vyvinutý akademický softwae FNPO učený po spolehlivostní optimalizaci. Pogam pacuje s nově navženou optimalizační metodou nazvanou Aimed Multilevel Sampling (AMS) v optimalizačním cyklu pocesu spolehlivostní optimalizace. Po simulaci na jednotlivých úovních algoitmu AMS a spolehlivostní výpočty pogam využívá cyklického spouštění pogamu FReET tzv. double-loop přístup. Vyvinutý softwae umožňuje optimalizaci modelu obecné složitosti se zohledněním deteministických a/nebo spolehlivostních omezujících podmínek. Klíčová slova Optimalizace, Spolehlivostní posouzení, Aimed Multilevel Sampling, Monte Calo, Latin Hypecube Sampling, Pavděpodobnost pouchy, Spolehlivostní optimalizace, Analýza s malým počtem vzoků. Abstact The pape pesents newly developed univesity softwae FNPO designed fo eliability-based optimization. The pogam woks with a newly poposed optimization method called Aimed Multilevel Sampling (AMS) in the optimization cycle of eliability-based optimization. Fo simulation at diffeent levels of the algoithm AMS and eliability calculations pogam uses cyclic calls of pogam FReET so called double-loop appoach. The developed softwae enables to optimize model of geneal complexity with consideation of deteministic and/o eliability constaints. Keywods Optimization, Reliability assessment, Aimed Multilevel Sampling, Monte Calo, Latin Hypecube Sampling, Pobability of failue, Reliability-based design optimization, Small sample analysis. 1 INTRODUCTION Reliability-based optimization is a demanding discipline in which it is necessay to combine the optimization appoaches and eliability assessment of stuctues [1]. Methods fo eliability calculation utilize simila simulation techniques and stochastic methods such as optimization appoaches - it is also usually a epeated solving of poblem. Some paticula pats of the eliability calculations can be even fomulated as an optimization poblem (e.g. calculation of eliability index accoding Hasofe and Lind [] o imposing statistical coelation between andom vaiables). 1 Dipl. Ing. Ondřej Slowik, Institute of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Bno Univesity of Technology, Veveří 331/95, Bno, slowik.o@fce.vutb.cz. Pof. Ing. Dahomí Novák, DSc., Institute of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, Bno Univesity of Technology, Veveří 331/95, Bno, novak.d@fce.vutb.cz. 149

154 Theefoe a connection of model optimization with its eliability assessment in the fom of optimization constaint is a challenging issue. Thanks to the development of compute technology and stochastic, simulation and appoximation methods themselves is such connection of optimization pocess with eliability assessment possible nowadays [3]. The aim of the pape is to pesent a newly developed univesity softwae designed fo eliability-based optimization FReET Nested Pobabilistic Optimize (heeinafte FNPO). This pogam utilizes a newly suggested optimization algoithm called "Aimed Multilevel Sampling" (heeinafte AMS) fo the pupose of stochastic optimization. Softwae FNPO uses existing pogam FReET [4], [5] fo the eliability calculations and simulation within the AMS algoithm. GENERAL FORMULATION OF RELIABILITY-BASED OPTIMIZATION PROBLEM The basic peequisite fo eliability-based optimization is to model a load and stuctual esponse using andom vaiables. Depending on the equied obustness and accuacy of the mathematical model it is theefoe necessay to andomize some of its input paametes. If any of the functional paametes ae consideed to be andom, then analysed function itself is consequently also a andom function. The geneal stochastic fomulation of the eliability-based optimization poblem can be expessed like this:,,,,, (1) unde constaints:,,,,, 0 1 (),,,,, 0 1 (3) whee: x is a vecto of deteministic design vaiables, Y is a vecto of andom vaiables, is a vecto of consideed pobability functions and y ae statistical paametes of andom vaiables. Numbes p and m indicate a numbes of constaints functions. In the context of the simultaneous application of eliability assessment and stochastic optimization within one pocedue, it has to be noted, that the vecto y' may include two sets of statistical paametes of andom vaiables. The fist set of statistical paametes epesents the andomization of vaiables that eflects the natual behaviou of statistical quantities evaluated on the basis of the expeiment. This set of statistical paametes is then used fo eliability calculations. The second set of statistical paametes of andom vaiables is then used fo optimization puposes. Fo optimization those paametes ae andomized, fo which optimal input combination is seached. Statistical paametes ae then selected with egad to the choice of optimization method so that the design space should be coveed as evenly as possible. Geneally stuctual design is dependent on vaiables quantifying the esponse of the investigated stuctues to the load (e.g. stains and stesses). Theefoe we can define the esponse of the stuctue as:, 1 (4) whee: x is the vecto of deteministic design vaiables and A(ω) is a vecto of andom paametes of the investigated stuctue (e.g. load o stength). Design equiements can be fomulated as:, 1 (5) 150

155 with given boundaies y il and y iu. Constaints fo deteministic design vaiables can be detemined as: 1 (6) Reliability constaints can be expessed by a pobability function:, 1 (7) Let us intoduce now the function of oveall cost of stuctue c=c(z), which will seve as the main citeion of optimality. Optimal design vecto of input values z* composed of a vecto of deteministic design vaiables x and vecto of andom vaiables A(ω) is detemined using a stochastic optimization (e.g. [6]). Then the optimization poblem can be undestood as maximization of eliability, with consideation of constaints, defined as the maximum acceptable cost of stuctue. Constained by:,, 1 (8) (9) 1 (10) whee the design space fo the calculation of the pobability is defined as:,,, (11) with a given pobability distibution, whee Ω is the sample space fo the pobability calculations and Σ is a complete design space of vaiables. Computational demands of eliability-based optimization ae obvious fom the fomulation above. Fo the puposes of stochastic optimization it is necessay to epeatedly geneate andom ealizations within the design space Σ. It is also necessay fo each of these ealizations to calculate the pobability of failue in the geneal case by computationally demanding (mostly numeical) integation of the equation:,,.,,,., (1) whee: D f epesents the failue aea (that is the aea whee value of function indicating a failue is <0) and f(x 1, X,., X n ) is the joint pobability density function of andom vaiables X=X 1, X,., X n [7]. The quantification of eliability is associated with the epeated evaluation of stuctual esponse. It can bing enomous demands on the computing time. Theefoe lot of appoximation methods, which aim to educe the computational complexity of eliability assessment (FORM, SORM, Response suface methods) [8], [9], [10], as well as advanced optimization techniques fo the small sample analysis [3], [11] have been developed. 3 AIMED MULTILEVEL SAMPLING (AMS) The simplest heuistic optimization method is to pefom Monte Calo type simulation within a design space and select the best ealization of andom vecto (with egad to optimization citeia). Such a pocedue clealy does not convege towad function optimum and the quality of solution depends on the numbe of the simulations. The exact location of the optimum using only simple simulation is highly impobable. Scatte of the esults of such optimization is in the case of small sample analysis vey high and stongly dependent on the numbe of simulations. This appoach, howeve, is vey simple equiing no knowledge of featues of the objective function and fom the engineeing point of view is tanspaent and elatively easy to apply. Method Aimed Multilevel Sampling was fist suggested in [1] (called Nested LHS). Its basic idea is to sot the couse of the simulation into seveal levels. An advanced sampling within a defined space will be pefomed at each level. Subsequently, the sample with the best popeties with espect to the definition of the optimization poblem will be selected. Design vecto Xi,best (x 1, x,..., x n ) 151

156 coesponding to the best in the i-th level geneated sample is detemined as a vecto of mean values of andom vaiables fo simulation within the next level of algoithm AMS. Subsequently, the sampling space is scaled down aound the best sample. Anothe LHS simulation is then pefomed in this educed space. This leads to moe detailed seach in the aea aound the samples with the best popeties with espect to the exteme of the function. The geneal algoithm of AMS method along with a detailed desciption of the settings of input paametes and compaison of suggested method with othe common optimization techniques is pesented in [3]. 4 FREET NESTED PROBABILISTIC OPTIMIZER (FNPO) 4.1 Desciption of the pogam FNPO is univesity softwae developed pimaily fo the puposes of eliability-based optimization and testing of algoithm AMS. The pogam woks as contol softwae fo pocess of eliability-based optimization using pogam FReET that povides basic calculations on the vaious levels of the algoithm of pogam FNPO. The pogam uses so called double loop appoach to eliability-based optimization. In this appoach algoithm woks in two (o thee) basic cycles: The oute loop epesents the optimization pat of the pocess. The simulation within the design space is pefomed in this cycle. Fo obtained design vectos of n- dimensional space X i (x 1, x,., x n ) objective function values ae calculated. The best ealization is then selected based on these values. Consequently the best ealization of andom vecto X i,best is compaed with optimization constaints. These constaints may be fomulated by any deteministic function which functional value we can compae with a defined inteval of allowed values. Constaints ae also possible to fomulate as allowed inteval of eliability index β fo any limit state function (within design space of given poblem). Calculations of eliability index of each geneated andom vectos X i takes place in the inne loop. If the best andom vecto fit constaints, it is accepted as the next stating point of algoithm AMS o in the case of optimization by simple simulation as a feasible solution. The inne loop/s ae used to calculate eliability index eithe fo the need of checking of geneated solutions if they satisfy constaints, o to calculate the actual value of the objective function, if the taget eliability index is set as goal of optimization pocess. FNPO is not the stand alone pogam. The pogam needs softwae FReET, in which takes place definitions of all functions and vaiables, set up of the elevant pobability distibutions and coelation matix. Intenal cycles to calculate the eliability index ae also pefomed within FReET using appoximation method FORM. FNPO then pocesses.fe files appopiately and manages the concuence of all levels of eliability-based optimization pocess. The pogam is theefoe fully dependent on calculations of FReET and cannot be used independently, both fo deteministic and eliability-based optimization. Fo the optimization pocess itself, FNPO application offes two methods. The use has the choice to use eithe a simple simulation using one of simulation methods available in FReET o AMS algoithm. AMS algoithm can be fully contolled and all options of its settings descibed in [3] ae implemented in the pogam. Detailed desciption of possible settings fo each section along with the use instuctions is available in the use manual [3]. 4. Possible poblem definitions in FNPO Using FNPO, numbes of use-defined eliability-based optimization poblems can be solved. But the descibed vesion of pogam, howeve, is still in the testing stages. Some of the featues we conside fo the futue development have not been fully implemented yet. Pogam thus suffes fom 15

157 seveal limitations. Solved poblems cuently cannot be multi-citeial and thee is the option to specify only one function as a constaint (deteministic o eliability-based). These and many othe mino poblems (elated to the GUI envionment) should be emoved in subsequent vesions of the pogam. Theefoe, in the following, we will focus only on the definitions of optimization poblems that ae solvable using FNPO today. Possible definitions of optimization goal The simplest type of tasks that can be solved using FNPO is unbounded optimization of the objective function eithe using a simple simulation with one of simulation methods implemented in FReET, o using the AMS algoithm. Optimization poblems defined in this way wee mainly used fo testing of the efficiency of algoithm AMS [3]. Example of unbounded minimization of the objective function may be defined as: min (13) whee: X is a andom vecto defined within n-dimensional design space R n. The optimization poblem defined in this way can be used to solve equations that cannot be solved analytically in closed fom. This type of equations appeas fo example in mathematical models of the behaviou of the ope. FNPO also allows seaching fo such andom vectos X within the defined design space R n, which coesponds to the defined objective function values f(x). min (14) whee: k is defined functional value fo which the vecto of input values is seached. The task is thus defined as minimization of the absolute value of the diffeence between the functional value and defined value k. This type of optimization is often pat of the design of cable stuctues. An achitect defines the shape of the poposed cable stuctue. The enginee then has to find such a combination of load, the coss-sectional aea and the pestessing of wies that esult in the final deflection of the each wie as close as possible to poposed deflection. Anothe option is to define the taget eliability index β d fo a given limit state function. Fo the geneated andom vectos thus except objective function value also eliability index is calculated, which is the selection citeion of the best ealization in a given cycle. min (15) In such way algoithm AMS can be diected to the solution with defined value of eliability. Possible constaints definitions Fo the above-specified objectives of optimization a constaint can be simultaneously defined in the fom of allowed inteval of functional values of a selected function (also objective function values may be limited). Allowed inteval of functional values can be defined as open o closed inteval of eal numbes. Constaint function can geneally be any function defined in R n. An example of optimization with constaint: constained by: o: o: whee: min (16) (17) (18) 153 (19)

158 d is lowe limit of the functional value and h is uppe limit of the functional value. Constaints can also be fomulated as eliability-based. Simila to the deteministic constaints, they could be defined as an open o closed inteval of allowed values of eliability index fo a given limit state function. (0) The definitions of open intevals ae fo eliability constaints simila to (18) and (19). The use can define moe than one limit state function (e.g. fo the ultimate limit state and seviceability limit state). In this case, the task can be defined as optimization of the eliability index of one limit state function subject to the limitation of allowed eliability index of second limit state function. This pocedue is clealy demonstated in the example given in section 5. Such a definition would coespond the equation (15) unde constaints (0). 5 APPLICATION OF FNPO FOR PRACTICAL TASK Let us define the poblem (taken fom [13]) fo the needs of the optimization task. It is the task of eliability-based optimization of a wooden beam. Analytical elationships needed to define the limit state functions ae taken fom [14]. Wooden simply suppoted beam of length l with ectangula coss-section is loaded by unifom continuous loading along its entie length. The load is the sum of the pemanent load g and vaiable load q. Static scheme is illustated in Fig. 1. Fig. 1: Static scheme of simply-suppoted wooden beam with ectangula coss-section Paametes h and b epesent the height and width of the coss-section. Fo the pupose of eliability-based optimization in accodance with the equiements of EUROCODE 5 [14] two basic limit state functions wee defined. Fo the ultimate limit state: and fo seviceability limit state: whee: M R is the citical moment (3). (1),, () (3) M E is moment induced by imposed loads: (4) In equations (3) and (4) values Θ R and Θ E epesent model uncetainties of stuctual esponse and load effect selected accoding to [15]. k mod is nomative coefficient taking into account the influence of ambient humidity and duation of load. Value f m epesents the bending stength of 154

159 used wood. In the case of equation () the limit state function is defined by deflections. The limit deflection is defined by equation:, The value of deflection due to the applied load is defined as follows: whee: (5),,, (6), 1, (7), 1, (8) u 1,fin and u,fin ae the deflections induced by dead and live loads, E is the modulus of elasticity of used wood, k 1,def is a facto taking into account the effect of ceep fo dead load, k,def is a facto taking into account the effect of ceep fo live load. In pefomed calculations, these values of nomative factos wee consideed: k mod = 0,8 k 1,def = 0,8 k,def = 0,5 Reliability calculations as well as optimization pocess equies andomization of individual paametes of vecto of input values. Fo the puposes of calculations of the eliability index (using FORM method within the intenal cycle of eliability-based optimization) andomization of individual paametes accoding to Tab. 1 was pefomed [13]. Tab.1: Randomization of paametes fo eliability calculations Vaiable Distibution mean Standad deviation COV l [m] Nomal b [m] Nomal Optimised h [m] Nomal Optimised E [Gpa] Lognomal ( pa) f m [Mpa] Lognomal ( pa) g [kn/m] Gumbel max EV q [kn/m] Gumbel max EV Θ R [-] Lognomal ( pa) Θ E [-] Lognomal ( pa) Mean values of height and width of the coss-section aea wee the subjects of optimization. Pesented task is theefoe nine-dimensional in tems of eliability calculations and two-dimensional in tems of the optimization pocess. Fo the pupose of optimization of coss-sectional aea paametes b and h wee andomized accoding to Tab.. 155

160 Tab. : Randomization of paametes b and h fo pupose of optimization Vaiable Distibution mean Standad deviation b [m] Rectangula h [m] Rectangula Values a and c in Tab. ae paametes of utilized ectangula distibution. The example descibed was solved by an atificial neual netwok (ANN) in [13]. The aim of the task was to find such combination of height and width of the coss-section, which coesponds to the value of eliability index fo the ultimate limit state function (ULS) given by (1) equal to 3.8 and simultaneously fo the seviceability limit state function (SLS) given by () equal to 1.5. The esult of the solution of descibed poblem by atificial neual netwok (appea in [13]) is displayed in Tab. 3. Tab. 3: Results of solution obtained by atificial neual netwok mean h mean b β 1 β β 1- taget a β - taget If we define optimization poblem by equation (15) with eliability constaints given by equation (0), then we can solve the same poblem of eliability-based optimization using pogam FNPO. Since that pocess is not a multi-citeia optimization solution in the eal sense, we cannot expect a simila accuacy of solution as in the case of neual netwok. Futue implementations of multi-citeia optimization togethe with an extension of options to defining constaints could allow the FNPO solve that kind of poblems with geate pecision. Duing the solution of the poblem using pogam FNPO was utilized the option to detemine a taget value of eliability index fo the selected limit state function. Theefoe taget eliability index fo the limit state function given by () was defined as β = 1.5. As a constaint was set inteval of allowable values of eliability index fo the limit state function given by equation (1) 3.75 < β < Duing solution of the tasks (using AMS algoithm) the total numbe of 300 simulations was used. Taining of ANN utilized in [13] needed 100 simulations. Note that simple two-dimensional optimization task would AMS algoithm pobably maste successfully with a lowe numbe of simulations. Due to the specification of the task, it was necessay to ensue that the stict definition of the constaints met by at least one ealization in the fist cycle of optimization algoithm AMS. This poblem should pobably emove the application of multi-citeia optimization. The esult solution of the task using FNPO is displayed in Tab. 4 and in Fig.. Tab. 4: The esult solution of the task using FNPO mean h mean b β 1 β β 1 - taget β - taget Final solution theefoe coesponds well to the values obtained using neual netwok [13]. The esulting coss-sectional aea has a size 0.08 m. The gaph in Fig. shows the gadual convegence of geneated solutions towad the equied values of eliability indices. c 156

161 Fig. : Evolution of values of eliability indices duing optimization 6 CONCLUSION The pape pesents newly developed univesity softwae FNPO designed fo eliability-based optimization. The pogam uses a newly poposed optimization algoithm AMS, which was developed fo small sample analysis and existing pogam FReET fo simulation and eliability calculations. Tests of AMS algoithm and pogam FNPO pefomed so fa povide pomising esults. Howeve, it is necessay to make anothe seies of tests, especially fo high-dimensional poblems to detemine moe accuately effectiveness of the poposed method. Detailed infomation about the softwae FNPO and algoithm AMS ae available in [3]. ACKNOWLEDGMENT The pesented esults wee obtained with the suppot of pojects GAČR (SPADD), n S, TAČR (SIMSOFT), n. TA and the poject of the specific univesity eseach at Bno Univesity of Technology, egisteed unde the numbe FAST-J REFERENCES [1] RACKWITZ, R. Optimization - the basis of code-making and eliability veification. Stuct.Saf. 000, Vol., N. 1, pp [] HASOFER, A. M. a N. C. LIND. Exact and invaiant second-moment code fomat. Jounal of Eng. Mech. Division, ASCE, Vol ASCE, No. EM1, pp [3] SLOWIK, O. Reliability-based stuctual optimization. Bno, 014. Maste s thesis. VUT Bno. Supeviso: pof. Ing. Dahomí Novák, DSc. [4] NOVÁK, D., VOŘECHOVSKÝ, M. & RUSINA, R FReET v. 1.5 pogam documentation. Use s and Theoy Guides. Bno/Cevenka Consulting, [5] NOVÁK, D.; VOŘECHOVSKÝ, M.; TEPLÝ, B FReET: Softwae fo the statistical and eliability analysis of engineeing poblems and FReET-D: Degadation module. Advances in Engineeing Softwae (Elsevie), Vol. 7, pp

162 [6] MARTI, K. Stochastic optimization of stuctual design. ZAMM Z. angew. Math. Mech., 7 (199) 6, pp [7] TEPLÝ, B. a D. NOVÁK. Spolehlivost stavebních konstukcí: teoie, numeické metody, navhování, softwae. 1. edition. Bno: CERM, 1999, 87 s. ISBN X. [8] GRIGORIU, M. Methods fo appoximate eliability analysis. J. Stuctual safety. No. 1, 198/1983, pp [9] BUCHER, C. G. a U. BOURGUND. Efficient use of Response suface methods. Inst. Eng. Mech., Innsbuck Univesity, epot No. 9-87, [10] LI, K. S. a P. LUMB. Reliability analysis by numeical integation and cuve fitting. J. Stuctual safety. Vol. 3, 1985, pp [11] ALI, M., M. PANT, A. ABRAHAM a V. SNAŠEL. Diffeential evolution using mixed stategies in competitive envionment. Intenational Jounal of Innovative Computing: Infomation and Contol. 011, Vol. 7, No. 8, pp [1] SLOWIK, O. Optimalizace betonových konstukcí stochastickými metodami optimalizace. Bno, 01. Dostupné z: Bachelo s thesis. VUT Bno. Supeviso: pof. Ing. Dahomí Novák, DSc. [13] NOVÁK, D. a D. LEHKÝ. An invese eliability analysis based on stochastic simulation and atificial neual netwok. Cape Town: SEMC, 010. [14] Dřevěné konstukce podle Euokódu 5. Vyd. 1. Paha: Infomační centum ČKAIT, 004, 401 s. ISBN [15] JCSS Pobabilistic Model Code. Zuich : Joint Committee on Stuctual Safety, 001. Reviewes: Ing. Pet Konečný, Ph.D., Depatment of Stuctual Mechanics, Faculty of Civil Engineeing, VŠB-Technical Univesity of Ostava. Ing. Mioslav Sýkoa, Ph.D., Depatment of Stuctual Reliability, Klokne Institute, Czech Technical Univesity in Pague. 158

163 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 0 Jakub SOBEK 1 ANALÝZA TVAROVÝCH FUNKCÍ PRO TĚLESA S TRHLINOU: VARIANTY ROVINNÉ ÚLOHY SHAPE FUNCTIONS ANALYSIS OF CRACKED SPECIMENS: PLANE PROBLEM VARIANTS Abstakt Příspěvek se zaměřuje na analýzu pole napětí, jmenovitě tvaových funkcí po apoximaci polí napětí a posunů v tělese s thlinou, a to po dvě vaianty ovinné úlohy ovinnou napjatost a ovinnou defomaci. Tvaové funkce, učované přepočtem z hodnot koeficientů členů Williamsova mocninného ozvoje, jsou stanovovány po zkušební těleso po test štípáním klínem (WST). Po učení hodnot koeficientů členů/funkcí je využito tzv. přeučité metody (ODM). Klíčová slova Přeučitá metoda, ovinná napjatost, ovinná defomace, test štípáním klínem, tvaové funkce, Williamsův ozvoj. Abstact The pape is focused on the stess field analysis (especially the shape functions) fo appoximation of the stess and displacement fields in cacked specimens in two vaiants of plane poblem the plane stess and the plane stain condition. Shape functions ae obtained fom calculated values of coefficients of tems of the Williams powe seies of the wedge-splitting test (WST) specimen. The so called ove-deteministic method (ODM) is used fo the detemination of these shape functions. Keywods Ove-deteministic method, plane stess, plane stain, wedge-splitting test, shape functions, Williams powe seies. 1 ÚVOD Výzkum analýzy polí napětí/defomací v tělesech s thlinou je obvykle pováděn za předpokladu uvažování zkoumaného poblému jako D úlohy ve stavu ovinné defomace, jak je to dopoučováno v mnoha odboných zdojích po numeické simulace ůzných zkušebních těles (např. [1]). Po zkušenostech z předchozích analýz dospěl auto tohoto příspěvku k otázce, zda by uvažování ovinné úlohy jako ovinné napjatosti (namísto zmíněné ovinné defomace) neposkytovalo odlišné výsledky. Po sovnávací analýzu byla vybána typická vaianta lomové zkoušky kvazikřehkých mateiálů ve stavebnictví, a to zkušební test štípáním klínem (wedge-splitting test, dále jen WST) v modifikaci se dvěma podpoami a oznášecími příložkami, umístěnými v dážce (po oznášení zatížení do samotného tělesa, ozloženého na vodoovnou štípací sílu a svislou přítlačnou sílu), viz Ob. 1 nalevo. 1 Ing. Jakub Sobek, Ústav stavební mechaniky, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Bně, Veveří 331/95, Bno, tel.: (+40) , sobek.j@fce.vutb.cz. 159

164 Numeické simulace, vycházející z uvedeného testu, byly ealizovány v systému ANSYS [] výpočtem v ovinné úloze ovinné napjatosti. Posuny sledovaných bodů kolem vcholů thlin sloužily jako vstupy po tzv. přeučitou metodu (ODM) [3], využívající ovnic po popis polí napětí/posunů těles s thlinou dle Williamse [4]. Při ODM bylo sledováno, jak se budou jednotlivé bezozměné tvaové funkce (přepočítané z hodnot koeficientů členů Williamsova ozvoje) od sebe lišit v závislosti na použité šířce zkušebních těles. NUMERICKÝ MODEL Výpočtový model, koespondující s Ob. 1 nalevo, byl vytvořen v systému ANSYS [] jako symetická polovina tělesa (Ob. 1 napavo). Thlina je modelována ponecháním stupňů volnosti uzlů poušené části (líců thliny) tělesa, na zbytku ligamentu je zabáněno hoizontálnímu posunu (simulace kontinua tělesa). Vliv singulaity na vcholu thliny je zohledněn použitím typu konečných pvků PLANE8 (8-mi uzlový ovinný pvek s možností zadání tloušťky po úlohy řešené ovinnou napjatostí) při využití funkce KSCON [5], kteá zohledňuje singulaitu napětí na vcholu thliny tím, že zkosí síť KP v místě koncentace napětí potlačení numeické chyby. y,v x,u x Ob. 1: Geometie zkušebního tělesa po test štípání klínem (nalevo), ukázka výpočtového modelu včetně okajových podmínek a sítě konečných pvků (napavo) Relativní délka thliny = a/w ef, kde a je délka thliny a W ef je efektivní výška tělesa, se pohybovala od hodnoty 0,15 do 0,95 po vystižení dostatečného ozsahu poušení. Délka i výška těles W je 100 mm (kychle). Vlastnosti mateiálů byly zvoleny tak, aby simulovaly eálné chování při budoucích zkušebních testech v laboatoři, tj. po beton E = 35 GPa a = 0, a po ocel (oznášecí příložky) E = 10 GPa a = 0,3. Reálné konstanty, představující tloušťku tělesa t, byly zadávány v hodnotách: 0,1; 0,5; 0,5; 1,0;,0 m. Počet vybaných uzlů kolem vcholu thliny po další analýzu za použití ODM byl, dle předpokladů z [6,7], stanoven o hodnotě 49 (osvědčené množství vstupů do ODM) a vzdálenost výběu od vcholu byla 5 mm. Výstupem z výpočtu jednotlivých vaiant byly posuny vybaných uzlů. Model byl zatížen dvěma komponentami síly, kteá působí na ocelovou příložku. Přičemž vetikální (přítlačná) síla je v poměu k hoizontální (ozevíající) P v = 0,5359 P sp, kde P sp = 1 kn. 160

165 3 VÍCEPARAMETROVÁ LINEÁRNÍ ELASTICKÁ LOMOVÁ MECHANIKA Opoti lineání elastické lomové mechanice (LELM) se u vícepaametové elastické lomové mechaniky (Multi-paamete Linea Elastic Factue Mechanics MP-LEFM) bee po popis polí napětí a posunů v tělese s thlinou v potaz více členů řešení Williamsovy mocninné řady [4]. 3.1 Williamsova řada Nekonečnou mocninnou řadou Williamsovým ozvojem chaakteizujeme pole napětí a defomací v homogenním elastickém izotopním tělese poušeném thlinou. Tenzo napětí {} a vekto defomace {u} lze zapsat po poušení v módu I (štípací test poušení tahem) ve tvau: n n n n n ( 1) cos 1 1 cos 3 x n n 1 n n n n n y An ( 1) cos 1 1 cos 3 n1, (1) xy n n n n n ( 1) sin 1 1sin 3 n n n n n 1 cos cos u, () 1 sin sin n/ An v n1 n n n n n kde: A n konstanty po konkétní délku thliny [Pa/m n/ 1 ], n index členu řady [-], E, Youngův modul pužnosti esp. Poissonův součinitel, [Pa] esp. [-], modul pužnosti ve smyku, = E/((1 + )) [Pa],, jsou polání souřadnice (počátek soustavy souřadnic je ve vcholu thliny, kladná osa x je oientována ve směu šíření thliny) [m], Kolosovova konstanta [-] (po ovinnou napjatost = (3 )/(1 + ) a po ovinnou defomaci = (3 4). Hodnoty koeficientů A n se vyjadřují jako funkce elativní délky thliny a nomují se na jednotkové zatížení takto se definují tzv. bezozměné tvaové funkce g n [8]. Koeficientům jednotlivých členů Williamsovy řady pak odpovídají tyto funkční předpisy: n 4A An g ( ) W po n 1,3, 4, N a g t( ), n (3) kde: je elativní délka thliny ( = a/w ef ) [-], t W je nominální napětí v centální ovině tělesa způsobené aplikovaným zatížením ( = P sp /tw) [Pa], je tloušťka zkušebního tělesa [m], je výška (ozmě ve směu šířící se thliny) zkušebního tělesa [m]. 161

166 3. Metoda přeučitosti (ODM) Metoda, sloužící k získání libovolného počtu členů Williamsova ozvoje, kteá se využívá při řešení soustavy ovnic, vycházejících z ovnice (1) a (), se anglickým názvem označuje jako Ove- Deteministic Method (ODM) [3]. Ve výzkumném kolektivu, jehož je auto členem, se zažil ekvivalentní temín metoda přeučitosti [6]. Z matematického hlediska jde o metodu nejmenších čtveců, jejíž podstatou je řešení soustavy k ovnic, kde k vyjadřuje počet vybaných uzlů kolem vcholu thliny, po až N zvolených členů mocninné řady. Ze znalosti komponentů vektou posunu (ovinná úloha dva posuny po každý z vybaných uzlů) u a v po k vybaných uzlů KP sítě (např. řešení z běžně dostupného konečně-pvkového softwau) a poláních souřadnic těchto uzlů lze vyčíslovat předpis () až po N členů řady tak, aby N k. Řešením přeučité soustavy získáme vekto koeficientů členů řady A n (popř. vekto odpovídajících tvaových funkcí g n z (3)). 4 VÝSLEDKY A DISKUZE Implementace ODM poběhla v softwau Mathcad11 a k vyhodnocení jednotlivých funkcí posloužil nástoj MS Excel. Po sovnání vaiant řešení při stavu ovinné napjatosti posloužila úloha analyzovaná na identickém zkušebním tělese, avšak při uvažování úlohy ovinné defomace [6]. Tab. 1 shnuje sovnání jednotlivých použitých tlouštěk tělesa t při výpočtu při stavu ovinné napjatosti. Sovnání je vybané pouze po elativní délku thliny = 0,35. Členy Williamsovy řady, označované A n jsou samozřejmě ozdílné, ale po přepočtu na bezozměné tvaové funkce g n vidíme, že hodnota je po všechny t stejná na výpočet tvaových funkcí, za využití ovinné napjatosti, tedy nemá ozdílná šířka vliv. Je zde ale patný ozdíl mezi pvní tvaovou funkcí g 1 a součinitelem intenzity napětí K I (vypočítaný v systému ANSYS přes příkaz KCALC, umožňující získání K I metodou extapolace posunů do vcholu thliny). Tyto dva členy by si měly být podobné na základě uvážení následujícího vztahu: KI a Y, Y 1 kde: je délka thliny [m], je matematická konstanta, přibližně 3,14 [-]. Y je funkce geometie tělesa [-]. 16 g, (4) Tab. 1: Hodnoty členů A n a tvaových funkcí g n (včetně K I ) po ozdílné tloušťky tělesa t (ovinná napjatost) s jednotnou elativní délkou thliny = 0,35 t [m] A 1 g 1 K I A 3 g 3 0, ,77,810483, ,93-3, , ,51,810483, ,17-3, ,5 1979,75,810483, ,59-3, ,0 9639,88,810483, ,9-3,789076,0 4819,94,810483, ,65-3, Ob. ukazuje gafy sovnání situace při uvažování stavu ovinné napjatosti/defomace u půběhů tvaových funkcí g n (g 1 až g 8 ) v závislosti na elativní délce thliny. Vidíme zde nepatné odchylky v půběhu funkcí získaných z řešení ovinných úloh při uvažování ovinné napjatosti/defomace zejména v ozmezí elativní délky thliny od 0,7 až po koncovou hodnotu 0,95 u každé ze zobazených tvaových funkcí. Hodnoty g n po někteé z následujících gafů v místě kolem 0,9 jsou záměně potlačeny z důvodu vizuálního zkeslení zobazení celkové funkce (zvláště po vyšší členy).

167 Ob. : Sovnání ovinné napjatosti/defomace na půběhu jednotlivých tvaových funkcí g 1 až g 8 v závislosti na elativní délce thliny 5 ZÁVĚR Z povedené analýzy vyplývá, že použití ovinné napjatosti (namísto ovinné defomace) nemá téměř žádný vliv na výsledky tvaových funkcí g n, jejichž hodnoty nezávisejí na použité tloušťce tělesa t, avšak vyjma oblasti po dlouhé thliny. Po běžné zkoušky se zkušební tělesa vytvářejí se zářezem, kde není větší než 0,5; po počáteční stádia zkoušky je tedy povedená analýza bez užitku. Avšak po přesné vyhodnocení zkoušky po její stádia po dlouhé efektivní thliny (např. oblast 163

168 konce sestupné větve zatěžovacího diagamu kvazikřehkých mateiálů) je zřejmé, že intepetaci tloušťky tělesa a okajových podmínek je třeba věnovat náležitou pozonost. Rozdílné hodnoty součinitele intenzity napětí K I a pvní tvaové funkce g 1 se s největší pavděpodobností liší ozdílností místa výběu vstupujících posunů. U K I postřednictvím KCALC příkazu toto místo leží bezpostředně v místě vcholu thliny. Kdežto u výpočtu g 1 pomocí ODM jsou posuny vybíány z pstence o poloměu 5 mm od vcholu thliny. Toto platí jak po úlohu ovinné napjatosti, tak i defomace. Přiozeně, další ozdíl je dán vztahem (4). Sovnání půběhů tvaových funkcí po těleso s thlinou při uvažování ovinné napjatosti a ovinné defomace bylo ukázáno v přehledných gafech. Na převážné části definičního obou tvaových funkcí nebyly zjištěny téměř žádné ozdíly po obě úlohy. Znatelné ozdíly jsou pozoovány až po velmi dlouhé thliny. Z těchto důvodů se jeví jako opodstatněné pokačovat ve výpočtech za uvažování ovinné defomace. V případě elastického chování mateiálu nezáleží na tom, zda výpočet poběhl za podmínky ovinné napjatosti či defomace. Při výazném nelineáním chování je však sovnání zcela na místě. Dochází zde k výazným ozdílům v ozsahu plastické zóny u vcholu thliny v případě ovinné napjatosti je větší než při ovinné defomaci. Je to způsobeno ozdílem multiaxiality napjatosti ve vcholu thliny. PODĚKOVÁNÍ Výzkum byl ealizován za finanční podpoy VUT v Bně v ámci pojektu specifického vysokoškolského výzkumu FAST-J LITERATURA [1] ANDERSON, T.L. Factue mechanics. Fundamentals and Applications. Boca Raton: CRC Pess, pp. ISBN [] ANSYS Documentation. Vesion 11.0, Swanson Analysis System, Inc., Houston, Pennsylvania, 007. [3] AYATOLLAHI, M. R. & NEJATI, M. An ove-deteministic method fo calculation of coefficients of cack tip asymptotic field fom finite element analysis. Fatigue Fact Engng Mate Stuct. 010, N. 34, pp [4] WILLIAMS, M. L. On the stess distibution at the base of a stationay cack. ASME J Appl Mech. 1957, N. 4, pp [5] SEITL, S., VESELÝ, V., ŘOUTIL, L. Analýza vlivu popocí válcového zkušebního tělesa na lomové paamety při zkoušce klínovým štípáním. Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské Technické univezity Ostava, řada stavební. 011, Vol. XI, Issue 1, pp [6] SOBEK, J., VESELÝ, V. & ŠESTÁKOVÁ, L. Accuacy of appoximation of stess and displacement fields in cacked body fo estimation of failue zone extent. Tansactions of the VŠB Technical Univesity of Ostava: Constuction Seies [online]. Wasaw, Poland: Vesita, 01, Vol. 1, Issue, pp (10 p). ISSN (Online); ISSN (Pint). DOI: /v [7] VESELÝ, V., SOBEK, J., ŠESTÁKOVÁ, L., SEITL, S. Accuate desciption of nea-cacktip fields fo the estimation of inelastic zone extent in quasi-bittle mateials. Key Engineeing Mateials, 013, Vols , pp DOI: / [8] KNÉSL, Z. & BEDNÁŘ, K. Dvoupaametová lomová mechanika: výpočet paametů a jejich hodnoty. Bno: Ústav fyziky mateiálů AV ČR v. v. i., Oponentní posudek vypacoval: Pof. Ing. Michal Šejnoha, Ph.D., DSc., Kateda mechaniky, Fakulta stavební, ČVUT v Paze. Doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D., Kateda mechaniky, Fakulta stavební, ČVUT v Paze. 164

169 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. 1 Jan VALEŠ 1 KLOPENÍ NOSNÍKU S POČÁTEČNÍMI IMPERFEKCEMI LATERAL-TORSIONAL BUCKLING OF A BEAM WITH INITIAL IMPERFECTIONS Abstakt Článek se zabývá statistickou analýzou únosnosti postě uloženého ohýbaného nosníku půřezu IPE 0 řešeného geometicky nelineáním řešením s vlivem klopení. Put byl modelován v pogamu ANSYS s pomocí pvku BEAM188. Impefekce byly uvažovány jako náhodné veličiny. Počáteční zakřivení a otace osy jsou uvažovány ve tvau jedné půlvlny funkce sinus. Koelace mezi amplitudami počátečního zakřivení a počáteční otace osy je uvažována jako paamet řešení na intevalu od -1 do 1. Je studován vliv této koelace na změnu střední hodnoty a směodatné odchylky náhodné únosnosti. Klíčová slova Klopení, únosnost, impefekce, nosník, štíhlost, ocel, koelace. Abstact The pape deals with a statistical analysis of a simply suppoted hot-olled beam IPE 0 in bending which was analysed with espect to lateal-tosional buckling using geometic nonlinea solution. The beam was simulated in ANSYS pogam using beam element BEAM188. All initial impefections wee consideed to be andom vaiables. Initial cuvatue and otation of the beam axis had a shape of half-wave sine function. Coelation between the amplitudes of initial cuvatue and initial otation of the beam axis was a paamete of the solution within the inteval fom -1 to 1. Influence of this coelation upon the vaiance of the mean value and standad deviation of the loadcaying capacity was caied out. Keywods Lateal-tosional buckling, load-caying capacity, impefection, beam, slendeness, steel, coelation. 1 ÚVOD Předložený článek se zabývá stochastickou analýzou únosnosti postě uloženého ohýbaného nosníku půřezu IPE 0. Je studován vliv klopení na únosnost putu, jehož poměná štíhlost je 1. Aby bylo možno zohlednit vliv počátečních impefekcí na únosnost, byl nosník řešen geometicky nelineáním řešením. Počáteční impefekce osy nosníku je modelována tak, že vychází z pvního vlastního tvau vybočení při ztátě stability klopením. Tato impefekce sestává z vybočení osy nosníku ve směu kolmém na měkčí osu půřezu a natočení půřezů podél osy nosníku. Zakřivení nosníku podle pvního vlastního tvau vybočení předpokládá, že vybočení osy a natočení půřezů podél osy nosníku jsou funkčně závislé. Není jasné, jak dalece tento předpoklad odpovídá výsledkům, kteé bychom obdželi z expeimentů. 1 Ing. Jan Valeš, Ústav stavební mechaniky, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Bně, Veveří 331/95, Bno, tel.: (+40) , vales.j@fce.vutb.cz. 165

170 Většina laboatoních měření věnuje více pozonosti měření počátečního zakřivení osy nosníku než měření počátečních natočení půřezů. V případě klopení mohou však být obě impefekce důležité. Otázkou je, jakou mezi nimi uvažovat koelaci. Uvažovat koelaci hodnotou 1 nemusí přesně odpovídat skutečnosti. Koelace mezi nimi je pimáně dána výobními pocesy. Abychom získali představu, jak moc velký vliv může mít velikost koelace na statistické chaakteistiky únosnosti, je v článku tato poblematika studována s pomocí nelineáního výpočtového modelu. Výpočtový model byl poveden v pogamu ANSYS, přičemž byl bán v úvahu náhodný vliv všech počátečních impefekcí. VÝPOČTOVÝ MODEL Byl vytvořen výpočtový model oboustanně kloubově uloženého nosníku pofilu IPE 0, oceli třídy S35. Jeho délka L byla vypočítána v závislosti na poměné štíhlosti při klopení LT. Tato štíhlost je dána podle EUROCODE 3 jako kde: W pl,y je plastický půřezový modul k ose y [m 3 ] (viz Ob. 1), f y jmenovitá hodnota meze kluzu oceli [Pa] a M c pužný kitický moment při klopení [Nm]. M c je dán vztahem M W pl, y f y LT (1) M c EIω () L GI L c EIz GIt 1 kde: E je modul pužnosti v tahu a tlaku [Pa], G modul pužnosti ve smyku [Pa], I z moment setvačnosti půřezu k ose z [m 4 ], I t moment tuhosti půřezu v koucení [m 4 ], I ω výsečový moment setvačnosti půřezu [m 6 ] a L délka nosníku [m]. Ve vztahu () se uvažují nomové (nominální a chaakteistické) hodnoty; a platný pouze po postě uložený nosník zatížený koncovými momenty podle Ob. 1. Kombinací vzoců (1) a () a dosazením tabulkových (nominálních) hodnot ideálního půřezu dostaneme délku nosníku L = 3,33 m. Schéma nosníku je na Ob. 1. Zakřivení osy nosníku ve směu měkčí osy, tj. v ovině xy, je popsáno funkcí sin x av av0 (3) L a natočení půřezů po délce nosníku je dáno jako sin x a a0 (4) L kde: a v0 je amplituda počátečního zakřivení osy nosníku [m], viz Ob. a a φ0 amplituda počátečního natočení půřezů po délce nosníku [ad], viz Ob.. t 166

171 Pokud je nosník zakřiven podle pvního vlastního tvau, tak platí, že a vo a e0 h Pz 1 M P c, (5) z 0 a (6) v0 M c kde: e 0 je amplituda jedné půlvlny funkce sinus vztahující se k honí haně půřezu [m], h výška půřezu [m], síla [N], po niž platí vztah P z P EI L z z. (7) Ob. 1: Schéma nosníku Ob. : Definování zakřivení upostřed ozpětí 167

172 Výpočtový model byl vytvořen v pogamu ANSYS za použití putového pvku BEAM188. Tento pvek je vhodný po analýzu štíhlých konstukcí, a to jak při řešení lineáních úloh, velkých otací, či nelineáních aplikacích velkých poměných přetvoření. Je založen na Timoshenkově putové teoii, kteá zahnuje smykové defomace [1]. Tento dvou-uzlový pvek má v každém uzlu 7 stupňů volnosti (3 stupně volnosti odpovídají posunům v osách x, y, z, další 3 otacím kolem těchto os a 7. stupeň volnosti odpovídá deplanaci). Model byl na obou koncích zatěžován ohybovými momenty stejné velikosti a opačného smyslu, viz Ob Počáteční impefekce Při geneování náhodných veličin (kap. 3) a následném vytváření výpočetního modelu jsou mezi počátečním zakřivením e 0 a počátečním natočením půřezu a φ0 uvažovány ůzné hodnoty koelací, a to v ozmezí -1 až 1 s kokem 0,1. Počáteční zakřivení se simuluje náhodnou vstupní veličinou e 0, ze kteé je zakřivení osy a v0 vypočítáno podle vzoce (5). Náhodnou impefekci a φ0 volíme jako koelovanou s impefekcí e 0. Potože jsme neměli infomace o směodatné odchylce počátečního pootočení a φ0, byla tak vypočtena s pomocí (5) a (6) za předpokladu, že e 0 je náhodná veličina a h, P z, M c jsou deteministické veličiny dané nominálními geometickými chaakteistikami půřezu. Jelikož je střední hodnota e 0 nulová, tak je nulová i střední hodnota a φ0. Poznamenejme, že veličina a φ0 není ve výpočtu uvažována jako funkčně závislá na e 0, tak jak by indikovaly (5) a (6), ale tyto vzoce slouží pouze po výpočet směodatné odchylky amplitudy počátečního natočení půřezu a φ0 jakožto náhodné vstupní veličiny koelované s e 0. Směodatná odchylka e 0 byla vypočítána z předpokladu, že 95 % ealizací se nachází v toleančních mezích nomy přípustných odchylek []. Výpočty únosností jsou tak povedeny po séie náhodných ealizací s 1 ůznými koelacemi mezi oběma počátečními impefekcemi. Poznamenejme, že střední hodnoty ani směodatné odchylky počátečních impefekcí e 0 a a φ0 se nemění se změnou koelace. Příklady samotného počátečního zakřivení osy putu a počátečního zakřivení v kombinaci s natočením půřezů modelovaného v ANSYSu jsou schematicky znázoněny na Ob. 3. a) b) c) a) b) c) Ob. 3: Schéma výpočetního modelu: a) samotného počátečního zakřivení osy putu, b) počátečního zakřivení v kombinaci s natočením půřezů s koelací -1, c) počátečního zakřivení v kombinaci s natočením půřezů s koelací 1 168

173 3 STOCHASTICKÁ ANALÝZA ÚNOSNOSTI 3.1 Náhodné vstupní veličiny Únosnost M d je obecně náhodná veličina, kteá je funkcí náhodných geometických a mateiálových chaakteistik a může být studována za použití simulačních metod typu Monte Calo. Po tuto úlohu bylo po každou ze séie 1 uvažovaných koelací mezi vstupními impefekcemi simulováno 500 náhodných ealizací metodou Latin Hypecube Sampling [3,4]. Celkově tak bylo získáno hodnot únosností M d. Náhodnými vstupními veličinami byly ozměy pofilu IPE 0 (Ob. 4) [5], mateiálové vlastnosti oceli třídy S35 a počáteční impefekce e 0 a a φ0. Jejich hodnoty jsou uvedeny v Tab. 1. U všech vstupních náhodných veličin je uvažováno Gaussovo ozdělení hustoty pavděpodobnosti. Reziduální napětí nebyla uvažována. Všechny veličiny jsou vyjma počátečních impefekcí e 0 a a φ0 vzájemně statisticky nezávislé. Ob. 4: Půřez IPE 0 Tab. 1: Náhodné vstupní veličiny Symbol Náhodná veličina Střední hodnota Směodatná odchylka E Modul pužnosti v tahu MPa MPa f y Mez kluzu 97,3 MPa 16,8 MPa μ Poissonův součinitel 0,3 0,009 e 0 Amplituda počátečního zakřivení 0 m 0, m a φ0 Amplituda počátečního natočení 0 ad 0, ad h Výška půřezu 0, mm 0,975 mm b Šířka půřezu 111,49 mm 1,093 mm t 1 Šířka stojiny 6,5 mm 0,47 mm t Šířka pásnice 9,136 mm 0,41 mm Polomě zaoblení 1 mm 0,55 mm 169

174 3. Únosnost Za hodnotu únosnosti M d je uvažována taková hodnota ohybového momentu M (dle Ob. 1), při níž se von Missesovo napětí v nejvíce namáhaném místě nosníku ovná mezi kluzu f y. Možnost zplastizování půřezu není uvažována a M d je tedy hodnota elastické únosnosti. Statistiky únosností jsou zobazeny v gafech na Ob. 5 a Ob. 6. Statistický soubo dat po každou hodnotu koelace mezi počátečními impefekcemi byl podoben Gubbsově testu odlehlých hodnot [6] a gafy jsou sestaveny pouze z hodnot neodlehlých. Ob. 5: Střední hodnoty únosností po jednotlivé koelace Ob. 6: Směodatné odchylky únosností po jednotlivé koelace 170

175 3.3 Analytický výpočet Hodnoty elastické únosnosti M d lze po koelaci 1 mezi oběma počátečními impefekcemi, tj. s uvažováním platnosti vzoce (6), vypočítat podle [7]. Hodnoty únosností vypočtené z ANSYSu a z analytického výpočtu jsou poovnány na Ob. 7. Mezi oběma únosnostmi je vysoká koelace přibližně 0,996. Přesto jsou však analytické hodnoty v půměu o,14 knm nižší. Rozdíly hodnot únosností z analytického výpočtu a z výpočtu v ANSYSu jsou zobazeny na Ob. 8. Ob. 7: Koelace mezi únosnostmi z výpočtu v ANSYSu a analytického výpočtu Ob. 8: Rozdíly únosností 171

176 4 ZÁVĚR Z gafů na Ob. 5-6 je patné, že se vzůstající koelací mezi počátečním zakřivením e 0 a počátečním natočením půřezů a φ0 klesá střední hodnota únosnosti, kdežto směodatná odchylka má tendenci ůst. Pokles střední hodnoty má přitom míný nelineání tend klesající v oblasti, kde se koelace blíží 1. Po koelaci 1, tedy plnou funkční závislost mezi těmito dvěma impefekcemi, byla obdžena nejnižší střední hodnota únosnosti. To potvzuje, že počáteční natočení putů je nezanedbatelná impefekce. Po koelaci 1 obdžíme nejenom nejnižší hodnotu půměné únosnosti, ale záoveň i vysokou hodnotu směodatné odchylky únosnosti. Střední hodnota únosnosti je po tuto koelaci cca o 9,84 % nižší než střední hodnota únosnosti po koelaci -1. Pokud bychom počítali návhovou únosnost jako 0,1 pocentní kvantil, tak nízká střední hodnota a vysoká směodatná odchylka povede na nízkou hodnotu 0,1 pocentního kvantilu. Zakřivení osy putu podle pvního tvau vybočení (koelace 1) je z hlediska spolehlivosti návhu konzevativní. Uveďme dopoučení, že při paktickém použití metody je vhodné počáteční impefekci uvažovat podle pvního tvau vybočení, což je tadiční postup. Po přesnější výpočet bychom potřebovali znát skutečnou hodnotu koelace mezi e 0 a a φ0 zjištěnou z velkého množství expeimentů. Sovnáme-li hodnoty únosností vypočtené z ANSYSu s hodnotami vypočtenými analyticky, obdžíme hodnoty v půměu o,14 knm nižší. To může být způsobeno mimo jiné tím, že ANSYS vypočítává půřezové chaakteistiky sám a nemusí se tak přesně shodovat s hodnotami z analytických vzoců. Přesto však je koelace mezi hodnotami únosností z obou metod výpočtů velmi vysoká, cca 0,996. PODĚKOVÁNÍ Pojekt byl ealizován za finanční podpoy ze státních postředků postřednictvím Gantové agentuy České epubliky. Registační číslo pojektu je GAČR S. LITERATURA [1] ANSYS Element Refeence, Release 1.1, ANSYS, Inc [] EN 10034:1993 Euocode: Stuctual steel I and H sections Toleances on shape and dimensions, [3] IMAN, R. & CONOVER, W. Small sample sensitivity analysis techniques fo compute models with an application to isk assessment. Communications in Statistics Theoy and Methods 1980; 9(17): [4] McKEY, M., CONOVER, W. & BECKMAN, R. A compaison of the thee methods of selecting values of input vaiables in the analysis of output fom a compute code, Technometics 1979; 1(): [5] MELCHER, J., KALA, Z., HOLICKÝ, M., FAJKUS, M. & ROZLÍVKA, L. Design Chaacteistics of Stuctual Steels Based on Statistical Analysis of Metallugical Poducts, Jounal of Constuctional Steel Reseach, 60(3-5), 004, s , ISSN [6] GRUBBS, F. E. Pocedues fo Detecting Outlying Obsevations in Samples, Technometics, Vol. 11, No. 1, 1969, s [7] KALA, Z. Elastic Lateal-Tosion Buckling of Simply Suppoted Hot-Rolled Steel I-Beams with Random Impefections, 11th Intenational Confeence o Moden Building Mateials, Stuctues and Techniques, MBMST 013, 013, s Oponentní posudek vypacoval: Doc. Ing. Matin Psotný, PhD., Kateda stavebnej mechaniky, Stavebná fakulta, STU v Batislave. Ing. Vít Křivý, Ph.D., Kateda konstukcí, Fakulta stavební, VŠB-TU Ostava. 17

177 Sboník vědeckých pací Vysoké školy báňské - Technické univezity Ostava číslo 1, ok 014, očník XIV, řada stavební článek č. Jakub VAŠEK 1, Matin KREJSA PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSOUZENÍ SPOLEHLIVOSTI PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE V PROGRAMOVÉM SYSTÉMU MATLAB PROBABILISTIC RELIABILITY ASSESSMENT OF TRUSS CONSTRUCTION IN MATLAB SOFTWARE PLATFORM Abstakt Příspěvek se zabývá využitím pavděpodobnostních postupů při posouzení spolehlivosti příhadové nosné konstukce. K výpočtu pavděpodobnosti pouchy posuzovaných nosných pvků i celého nosného systému byla zvolena klasická simulační technika Monte Calo, aplikovaná v pogamovém systému MATLAB s využitím daného geneátou pseudonáhodných čísel a možnosti paalelizace u vícejádových pocesoů. Cílem páce byla analýza využitelnosti MATLABu po pavděpodobnostní výpočty a pavděpodobnostní posudky spolehlivosti nosných konstukcí. Klíčová slova MATLAB, posudek spolehlivosti, pavděpodobnostní metody, Monte Calo, pavděpodobnost pouchy, funkce spolehlivosti, geneáto pseudonáhodných čísel, paalelizace. Abstact This pape deals with the use of pobabilistic methods in assessing the eliability of the tuss suppot stuctue. Classical Monte Calo simulation technique was chosen fo calculation of failue pobability in stuctual elements and the entie suppot system unde assessment. Numeical calculation was applied in MATLAB softwae system using the andom numbe geneato and paallelization using multi-coe pocessos. The aim of the study was to analyse the usability of MATLAB fo pobability calculations and pobabilistic eliability assessments of load-beaing stuctues. Keywods MATLAB, eliability assessment, pobabilistic methods, Monte Calo, pobability of failue, eliability function, geneato of pseudoandom numbes, paallelization. 1 ÚVOD DO PROBLEMATIKY Nosný systém každé stavební konstukce by měl splňovat řadu podmínek, kteé se v poceduře posuzování objevují ve fomě kitéií spolehlivosti. Učováním pavděpodobnosti, s jakou budou požadované vlastnosti stavebních objektů zachovány, se zabývá vědní obo teoie spolehlivosti konstukcí [16]. Aplikace teoie spolehlivosti vede k využívání pavděpodobnostních výpočetních postupů, založených na teoii pavděpodobnosti a matematické statistiky, jejichž vývoj zažívá 1 Jakub Vašek, Kateda stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava - Pouba, student 4. očníku bakalářského studia obou Konstukce staveb, jakub.vasek.st@vsb.cz. doc. Ing. Matin Kejsa, Ph.D., Kateda stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB-Technická univezita Ostava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostava - Pouba, tel.: (+40) , matin.kejsa@vsb.cz. 173

178 v poslední době značný vzestup [1, 9, 1]. 1.1 Pavděpodobnostní výpočty Hlavním ysem pavděpodobnostních metod je možnost vyjádření vaiability, esp. nahodilosti vstupních i výstupních veličin pavděpodobnostně např. fomou histogamů. Na ozdíl od současně platných nomových postupů, založených na deteministickém pojetí vstupních veličin [13, 14, 15], pak pavděpodobnostní postupy vedou ke kvalitativně vyšší úovni posudku spolehlivosti i zajištění bezpečnosti uživatelů stavebních objektů [11, 0,, 4, 5]. Tato páce si klade za cíl zmapovat možnosti pavděpodobnostních výpočtů v pogamovém systému MATLAB se zaměřením na posouzení spolehlivosti vybané příhadové konstukce. 1. Simulační metoda Monte Calo Výpočet pavděpodobnosti pouchy u posuzovaných nosných konstukcí umožňuje řada výpočetních postupů a metod. Nejpočetnější a nejpoužívanější skupinu pavděpodobnostních nástojů představují metody založené na simulační technice Monte Calo, tedy na opakovaných vyčísleních (ealizacích, simulacích) funkce spolehlivosti. Klasická simulace Monte Calo je snadno aplikovatelná a všeobecně sozumitelná [, 19]. Při řešení výpočetně náočnějších úloh je již však málo efektivní, neboť dostatečně přesné řešení vyžaduje velký počet simulací. Z tohoto důvodu je patný ozvoj dalších metod založených na simulacích - tzv. zdokonalené a statifikované simulační metody (např. Latin Hypecube Sampling LHS [18, 3], Response Suface Method RSM [8]), u kteých lze dosáhnout zvýšené efektivity vyčíslení výsledné pavděpodobnosti pouchy edukcí ozptylu jednotlivých simulací a jejich koncentování do oblasti pouchy, což umožňuje výazné snížení výpočetního času. 1.3 Pavděpodobnostní posouzení V pocesu návhu konstukce se povádí řada výpočetních opeací, souvisejících s posudkem spolehlivosti jednotlivých konstukčních částí nebo konstukce jako celku. Musí být splněna ůzná kitéia spolehlivosti, definovaná příslušnými nomovými předpisy, ve kteých figuují dvě klíčové veličiny - odolnost konstukce R a účinek zatížení E. Pavděpodobnostní posudek spolehlivosti pak může být založen na analýze funkce spolehlivosti, kteá může být definovaná např.: RF, (1) Χ R E kde X je vekto náhodných vstupních poměnných - např. mechanických vlastnosti mateiálu, geometie konstukce, účinků zatížení nebo vlivu postředí na konstukci. Podmínka spolehlivosti pak může být vyjádřena ve tvau: E R R E 0 RF. () 174 Χ 0 Nesplnění podmínky () představuje z hlediska spolehlivosti nepříznivý, tzn. pouchový stav, kdy účinek zatížení E převyšuje odolnost konstukce R. Analýzou funkce spolehlivosti (1) pak lze získat pavděpodobnost pouchy P f : RF 0 PR E 0 P f P Χ, (3) kteou lze poovnat s mezní návhovou pavděpodobností pouchy P d, definovanou společně se směnými úovněmi spolehlivosti v ČSN EN , podobněji pak v ČSN ISO 394. Konstukce je spolehlivá za splnění podmínky spolehlivosti: Pf P d. (4) Pavděpodobnostní posouzení lze povést i na úovni indexu spolehlivosti [3, 10]: d. (5)

179 PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSOUZENÍ V PROSTŘEDÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Softwae MATLAB představuje pogamovací postředí s šiokou míou uplatnění. Pimáně je tento softwae učen k maticovým výpočtům, díky ozsáhlé knihovně funkcí jej však lze využít také například ke statistické analýze či k řešení pavděpodobnostních úloh..1 Funkce MATLABu vhodné k pavděpodobnostním výpočtům Mezi základní opeace pováděné při pavděpodobnostních výpočtech patří páce s velkým objemem dat. Ke statistické analýze hodnot představujících například zatížení či mateiálové chaakteistiky lze s výhodou využít funkci hist. Tato funkce vytváří ze zadaného statistického soubou (vektou čísel) histogam, epezentující četnost jednotlivých hodnot. Výstupem je gafické zobazení histogamu, vekto absolutních četností a vekto obsahující střední hodnoty tříd, po kteé byl histogam učen. Počet tříd představuje vstupní paamet funkce hist, přičemž implicitně je nastaven na hodnotu 10. Další možností zadání vstupních veličin do výpočtu může být paametické ozdělení pavděpodobnosti. Součásti knihovny softwau MATLAB je také funkce pdf (pobability density functions), kteá slouží k vytvoření celé řady paametických ozdělení pavděpodobnosti, např. ovnoměné, nomální nebo lognomální. Agument této funkce je tvořen názvem paametického ozdělení pavděpodobnosti, vektoem epezentující definiční obo zadaného ozdělení a příslušnými paamety. Na funkci pdf navazuje nepřímo funkce cdf (cumulative distibution function). Vstupní hodnoty jsou totožné, ale výstupem je distibuční funkce. K usnadnění aplikace paametických ozdělení existují v ámci základního ozhaní softwau MATLAB také funkce andtool a disttool, kteé vyvolají okno s možností zobazení všech implementovaných paametických ozdělení. Velký význam má u pavděpodobnostních výpočtů s využitím simulačních technik geneáto pseudonáhodných čísel. Po pavděpodobnostní posudky konstukcí je využíváno geneování pseudonáhodných čísel s ovnoměným ozdělením. Kvalitu geneátou pseudonáhodných čísel lze vyjádřit peiodou opakování neboli skupinou čísel, kteá se v půběhu geneování opakuje. K řešení tohoto případu slouží funkce and [6], kteá vytváří pseudonáhodná čísla v ozmezí 0 a 1. Funkce and v nejstaších vezích softwau MATLAB využívala Lehmeova ekuentního vztahu: a. x cmod m xk 1 k, (6) kde jednotlivé veličiny nabývají hodnot: a = 7 5 = 16807, c = 0 a m = 31-1 = Po uvedené hodnoty konstant činí peioda opakování přes miliady čísel. Během zdokonalování výpočetní techniky i samotného systému MATLAB došlo postupně i k úpavě výpočetního algoitmu geneátou. Od 5. veze tohoto softwau činí peioda opakování 149 čísel. Tato hodnota peiody je po simulační metody plně dostačující. Na ukázku páce geneátou pseudonáhodných čísel v pogamovém systému MATLAB byl sestojen histogam četností náhodně geneovaných čísel s ovnoměným ozdělením pavděpodobnosti, jenž je zobazen na ob. 1. Histogam byl vytvořen po pseudonáhodných čísel geneovaných funkcí and.. Optimalizace simulačního výpočtu K dosažení dostatečně přesného výsledku simulačních metod je důležité velké množství simulačních koků. S tímto faktem je spojena časová náočnost výpočtu. Opatřením, kteé eliminuje výpočetní čas, může být paalelizace výpočtu na vícejádových pocesoech (podobně jako v [7]). Tento přístup lze aplikovat i v postředí pogamového systému MATLAB. Příkazem, kteý uvede do pohotovosti jáda pocesou, se nazývá matlabpool [17]. Agumentem tohoto příkazu je počet jade, kteá mají být následně použita po výpočet. Vzhledem ke skutečnosti, že simulační techniky představují cyklus se známým počtem opakování, lze využít úpavu cyklu fo na pafo [17]. 175

180 Ob.1: Histogam vytvořený z vygeneovaných pseudonáhodných čísel Ob.: Příklad zápisu optimalizační příkazů matlabpool a pafo Příklad zápisu těchto příkazů v softwau MATLAB je zobazen na ob.. V tomto případě se výpočetní opeace v simulačním cyklu ozdělí na části, kteé jsou řešeny odděleně příslušným jádem pocesou. Tyto výpočetní úkony pobíhají dynamicky, kdy se na začátku dalšího koku cyklu přiřadí příslušná výpočetní opeace volnému jádu pocesou, čímž dochází k optimálnímu využití pocesou. Při použití cyklu pafo musí být dodžena učitá omezení. Pvním předpokladem použití této optimalizace je nezávislost jednoho simulačního cyklu na duhém. V případě simulační techniky Monte Calo u dále uvedeného příkladu byl tento předpoklad splněn, potože v každém simulačním koku se u každé náhodné poměnné geneují nové statisticky nezávislé hodnoty. Další podmínkou je využití pouze jednoho cyklu pafo. Pokud je z nějakých důvodů nutné využít vnitřní smyčku, musí být použit standadní cyklus fo. Omezení, kteé se pojevilo při algoitmizaci simulační techniky v softwau MATLAB, souvisí s ukládáním dat. Pokud se výsledky simulace půběžně zaznamenávají do matice, je ji nutné nejpve vynulovat. Pokud se během paalelní smyčky do matice ukládají data pomocí indexování, je žádoucí předem znát ozmě matice výsledků. Během souběžného výpočtu totiž nelze matici mazat, ani upavovat její velikost. Z tohoto důvodu byl celý níže uvedený simulační poces ozdělen na menší celky, po kteých došlo k částečnému vyhodnocení a vynulování matice výsledků. 3 PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSOUZENÍ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE V softwau MATLAB byl pomocí výše uvedených funkcí napogamován výpočetní model pavděpodobnostního posouzení ocelového příhadového vazníku, založeném na simulační technice Monte Calo. Pavděpodobnost pouchy byla zjišťována jak u jednotlivých nosných pvků - putů, tak u konstukce jako celku s efeenční dobou 50 let. Po výpočet vnitřních sil u jednotlivých putů byla využita obecná defomační metoda. Ob.3: Statické schéma posuzované příhadové konstukce 176

181 3.1 Popis řešené konstukce Posuzovaná příhadová konstukce je tvořena 9 puty z oceli pevnostní třídy S 35 (statické schéma viz ob. 3). Příhadový vazník tvoří puty z ovnoamenných úhelníků, přičemž stojky a diagonální puty jsou tvořeny dvojicí těchto pofilů. 3. Vstupní údaje Řešená konstukce byla nejpve navžena a posouzena podle stávajících nomových postupů. Výsledné dimenze pofilů jednotlivých putů pak byly použity i při definici výpočetního modelu pavděpodobnostního výpočtu. U řešení pavděpodobnostní úlohy jsou vstupní a výstupní náhodně poměnné veličiny vyjádřeny pavděpodobnostně např. fomou useknutých histogamů [4, 1]. K náhodně poměnným veličinám, ovlivňující odolnost ocelové konstukce, patří napětí na mezi kluzu, půřezové chaakteistiky (půřezová plocha a moment setvačnosti). Vaiabilita půřezových vlastností může být vyjádřena např. postupem podle [4], kteý spočívá ve vyjádření statisticky závislých půřezových chaakteistik jednopaameticky s využitím histogamu (lze ovněž použít postup podle [5]). Vstupní náhodně poměnné veličiny ovlivňující odolnost řešené konstukce jsou uvedeny v tabulce 1. Modul pužnosti oceli v tahu a tlaku byl vyjádřen deteministicky E = 10 GPa. Tab.1: Náhodně poměnné veličiny vstupující do výpočtu odolnosti konstukce Poměnná Název Jednotky Rozptyl chaakteistik půřezu Název histogamu Minimum Rozsah hodnot Maximum eps [-] Epsilon 0,068 0,040 Mez kluzu oceli f y [MPa] Bas-Fy Tab.: Náhodně poměnné veličiny vstupující do výpočtu účinku zatížení Poměnná Název Jednotky Název histogamu Minimum Rozsah hodnot Maximum Stálé zatížení DL 1,91 DEAD1 0,818 1 Zatížení sněhem SL 10,88 SNOW 0 1 Zatížení větem WL 5,01 WIND1-1 1 U veličin, epezentující účinky zatížení, bylo uvažováno s vlivem zatížení stálého, sněhem, větem a vlastní tíhou. V tabulce jsou uvedeny vstupní hodnoty náhodně poměnných veličin všech typů zatížení. Zatížení větem, sněhem a zatížení stálé působí ve styčnících honího pásu příhadového vazníku. Síly epezentující vlastní tíhu jsou přepočítány podle poměnné půřezové plochy a objemové hmotnosti oceli do každého uzlu konstukce. Výsledné hodnoty vnitřních sil pak v putech symetických k ose symetie dané konstukce vycházely vzhledem k poměnné půřezové ploše odlišně. 3.3 Výpočetní model Algoitmus výpočtu lze obecně ozdělit do tří částí. V pvní části pobíhá načtení dat po příslušné náhodně poměnné veličiny a následně jsou vytvořeny histogamy a příslušné distibuční funkce. Také je potřebné načíst údaje, definující geometii nosného systému - souřadnice 177

182 uzlů, popis putů, podpo a zatěžovacích vektoů. Po posouzení spolehlivosti je nutno zadat ovněž hodnoty vzpěných délek. V duhé části vytvořeného algoitmu pobíhá vlastní simulace Monte Calo. Při využití simulačních metod je nutné k zjištění přesnějšího řešení vyšší počet simulací. V tomto případě byl výpočet poveden s počtem simulací. Vaiační koeficient výsledné pavděpodobnosti pouchy lze po malé pavděpodobnosti definovat ve tvau: 1, (7) N P vp f. kde N je počet simulací a P f řád učované pavděpodobnosti pouchy. Po danou úlohu lze tedy očekávat výsledek zatížený chybou, vyjádřenou vaiačním koeficientem ±5%. Z tohoto hlediska lze počet simulačních koků považovat za dostatečný. Během simulace jsou nejpve učeny hodnoty zatížení. Zatěžovací vektoy představují síly, kteými je konstukce zatížena, přičemž vynásobením jednotlivých vektoů zatížení s příslušnou náhodně vygeneovanou hodnotou distibuční funkce dojde k začlenění pavděpodobnosti do výpočtu. Součtem všech zatěžovacích vektoů lze získat zatěžovací vekto celé konstukce. Následně může poběhnout výpočet obecnou defomační metodou, kteým lze učit náhodně poměnné velikosti vnitřních sil v konstukci. Poslední, třetí část algoitmu zpacovává data z výpočtu a poovnává hodnoty vnitřních sil z jednotlivých simulačních koků s limitními hodnotami. Ke snížení náoků na paměť při samotném posouzení putů umožňuje algoitmus ukládat do paměti pouze hodnoty 1 nebo 0 u každého ze simulačních koků (1 epezentuje stav pouchy, 0 stav spolehlivý), čehož lze využít v případě potřeby pouze číselného vyjádření výsledné pavděpodobnosti pouchy. Pokud jsou ovšem požadovány gafické výstupy výsledků - histogamy výsledných veličin (např. funkce spolehlivosti), algoitmus umožňuje v jednotlivých simulačních kocích ukládat kompletní dosažené výsledky (např. hodnoty vnitřních sil). 3.4 Posouzení spolehlivosti nosných pvků Posuzovaná příhadová konstukce je vystavena pouze účinkům osového namáhání, přičemž mohou být nosné pvky namáhány tahem nebo postým či vzpěným tlakem. Při posudku spolehlivosti taženého putu a putu namáhaného postým tlakem je jeho odolnost vyjádřena: R N f A, (8) Rd y. kde f y epezentuje napětí na mezi kluzu oceli [MPa] a A představuje půřezovou plochu putu [m ]. Při definování odolnosti putu namáhaného vzpěným tlakem se vychází z Euleovy kitické síly: R f EI y N Rd Fc, (9) Lc kde E je modul pužnosti v tahu a tlaku oceli [MPa], I y moment setvačnosti půřezu [m 4 ] a L c vzpěná délka [m]. Ob.4: Schematicky znázoněný výsledek pavděpodobnostního výpočtu 178

183 Ob.5: Výstup z pogamu MATLAB: posouzení spolehlivosti taženého putu spodního pásu příhadové konstukce a gafická intepetace výsledků jednotlivých simulací - každá z teček gafu vyjadřuje výsledný účinek zatížení (hoizontální osa) a odolnost konstukce (vetikální osa) po každý simulační kok, čevená přímka vyznačuje hanici pouchy, kteá odděluje oblast pouchovou (vpavo dole) od oblasti, kdy je spolehlivost konstukce zachovaná Ob.6: Výstup z pogamu MATLAB: posouzení spolehlivosti taženého putu vlevo histogam účinku zatížení (zeleně), vpavo histogam odolnosti konstukce (modře), detail ukazuje oblast pouchy, kde dochází ke vzniku pavděpodobnosti pouchy podle (3) Na ob. 4 je zobazena posuzovaná konstukce s výsledkem pavděpodobnostního posouzení. Čené označené puty představují nosné pvky, u nichž nedošlo během simulací k pouše. Důvodem tohoto výsledku může být skutečnost, že při návhu podle ČSN EN , ze kteé vycházelo zadání, nehaje oli pouze limitní únosnost, ale také limitní hodnota štíhlosti pvku. Dalším faktoem, ovlivňující nulovou pavděpodobnost u někteých putů je fakt, že se při návhu dimenzuje vždy skupina putů (diagonály jsou tvořeny jedním pofilem). Modou bavou jsou zaznačeny puty, u kteých došlo k překočení únosnosti v tahu. Při gavitačním zatížení vycházejí tahové síly v dolním 179