Téma 12, modely podloží

Transkript

1 Téma 1, modely podloží Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Úvod Winklerův model podloží Pasternakův model podloží Pružný poloprostor Nosník na pružném Winklerově podloží, řešení ODM Žemočkinova metoda Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1

2 Základové konstrukce Slouží k tomu a zajišťují, aby tíha vrchní stavby se přenesla do podloží (půdního tělesa) kontaktní napětí v základové spáře a v podloží zůstaly v přípustných mezích sedání celého objektu zůstalo v přípustných mezích

3 Základové konstrukce, pokračování Nejběžnější typy základových konstrukcí: základové patky, základové pásy, základové desky, základové rošty, piloty. Podloží je těleso s velmi složitými vlastnostmi (problematika mechaniky zemin). Pro statické výpočty se zpravidla užívá zjednodušených modelů podloží. 3

4 Základové konstrukce, pokračování V kontaktní spáře se často počítá pouze s normálovým napětím, smykové napětí se zanedbává. Vazba mezi základovou konstrukcí a podložím je jednostranná, nemůže zde vznikat napětí tahové. Úlohy interakce (spolupůsobení) základových konstrukcí s podložím se nazývají také kontaktní úlohy. 4

5 Tuhý nosník (patka) na pružném podkladě Předpoklady: - nosník (těleso) je dostatečně tuhý - lineární průběh kontaktního napětí mezi nosníkem a podložím - kontaktní napětí je tlakové, případně se řeší s vyloučením tahu P M P 6M , A W bl bl bl A bl W 6 P 6M 0 0 p b 1, 1, l l Uvedené řešení je zjednodušené (přibližné), nedostatečně zohledňuje interakci konstrukce s podložím. 5

6 Interakce nosníku s podložím Nosník není zpravidla dostatečně tuhý a kontaktní napětí není lineární. Kromě rovnovážných podmínek se na kontaktu uplatňují také podmínky deformační. Pro řešení interakce konstrukce s podložím se uplatňují různé modely podloží, které je vždy do určité míry idealizují. 6

7 Winklerův model podloží Předpokládá, že reakce podloží je přímo úměrná zatlačení nosníku (desky, základu, konstrukce) do podloží. Platí : kde p( x, C p( x, w( x, y) y) y) Cw( x, y), je reakce podloží je součinitel stlačitelnosti knm je průhyb nosníku (konstrukce) podkladu knm m 3 7

8 Winklerův model podloží, analytické řešení Winklerův model je jednoparametrický model. Lze jej znázornit jako soubor pružin samostatně působících na kontaktu základu a podloží. Tam, kde kontakt není, tj. mimo základ, se pružiny simulující podloží nedeformují, což neodpovídá realitě. Winklerův model se pro svou jednoduchost přes zjednodušení a nedostatky v praxi často používá. q x, y q x, y p x, y 8

9 Hodnoty součinitele stlačitelnosti podkladu C 9

10 Pasternakův model Pasternakův model odstraňuje některé nedostatky Winklerova modelu. Kromě normálových sil uvažuje v podloží i se smykovými silami. Nespojité zaboření objektu dle Winklera je u Pasternaka nahrazeno průhybovou kotlinou. 10

11 Pasternakův model, pokračování Pasternakův model je dvojparametrický. Odpovídá lépe realitě. Rekce podloží je zde funkcí: w w p( x, y) C w( x, y) C ( ) 1 x y parametru C 1 [knm -3 ]-součinitel poddajnosti podkladu parametru C [knm -1 ]-součinitel přenášení smykových sil 11

12 Pružný poloprostor Je pružné těleso ohraničené rovinou (povrchem poloprostoru). Je jednou z možných idealizací podloží stavebních konstrukcí. Považuje se zpravidla za homogenní a izotropní. 1

13 13 Pružný poloprostor, pokračování Zatížení poloprostoru silou působící kolmo k povrchu řešil J. Boussinesq. Pro složky napětí odvodil: ) ( 1 ) (1 3 ) ( 1 3 R r P z z R R R z P R zr z R R P R z P rz r z

14 Pružný poloprostor, pokračování u w Pro složky posuvů ve u směru r odvodil: P zr (1 ) 3 E R P (1 ) w (1 ) E R pro z 0 (povrch) je P(1 ) Er u r (1 ) R( R Pro složky posuvů w ve směru osy z odvodil: z R P(1 ) Er 3 z) 14

15 Pružný poloprostor, pokračování Průběh složek napětí s r a s z v řezu vedeném paprskem síly pro m=0,5: 15

16 16 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obdélníka Pro bod M ležící v libovolné hloubce z pod vrcholem obdélníka na povrchu s rovnoměrným zatížením byly integrací odvozeny následující vztahy pro výpočet složky napětí z a posunutí w pro z=0: kde ) ln ln ( ) (1 arctan ) 1 1 ( z l l z s L l l s l s l l l s l l E p w zl l l z l z l L z l l p y x y x y x y x y x y x y x y x z

17 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obdélníka, pokračování Vztahy pro výpočet složky napětí z a posunutí w pro z=0 lze využít i pro body ležící mimo vrchol skutečné zatěžovací obdélníkové plochy. Je přitom nutno dát příslušný bod do vrcholu dvou případně čtyř zatěžovacích ploch. 17

18 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obdélníka, příklad Čtvercová zatěžovací plocha, průběh s z z=l/ a z=l podél osy zatížení pro m=0,5. 18

19 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obdélníka, příklad Čtvercová zatěžovací plocha, m=0,5, průběh w na povrchu podél osy a okraje zatížení. 19

20 Pružný poloprostor, centricky zatížený dokonale tuhý základ Průběh napětí z a průhyb w na povrchu pružného poloprostoru pod tuhým základem 0

21 Pružný poloprostor, centricky zatížený dokonale tuhý základ, pokračování Při zatížení silou P kruhového základu o poloměru a lze průhyb w 0 dán vztahem: w 0 (1 ) P Ea Při zatížení silou P čtvercového základu o straně l=a je pak průhyb w 0 dán vztahem: (1 ) P w 0,88 0 El 1

22 Winklerův model podloží, analytické řešení nosníku na pružném podloží Diferenciální rovnice ohybové čáry prutu: 4 M dm dv d w( x) w protože V, q je 4 EJ dx dx dx Pro nosník na pružném podkladě je: 4 d w( x) q( x) p ( x) q( x) Cbw( x) 4 dx EJ EJ qx a b x z EJ konst., p l pb q( x) EJ

23 Winklerův model podloží, analytické řešení, pokračování 4 Rovnici d w( x) 4 dx lze upravit na tvar q( x) Cbw( x) EJ 4 d w( x) 4 dx Cb EJ w( x) q( x) EJ Uvedená rovnice je lineární, nehomogenní diferenciální rovnice 4. řádu. Její řešení je známo pro nosníky nekonečné, polonekonečné i pro nosníky konečné délky. Tato řešení jsou použitelná pro relativně malou skupinu úloh. 3

24 Rovnici Winklerův model podloží, jiné metody řešení 4 d w( x) Cb q( x) w( x) 4 dx EJ EJ lze řešit také metodou sítí. Interakce nosníku a jiných konstrukcí s Winklerovým modelem podloží nebo i s jinými modely podloží je řešitelná také: silovou metodou obecnou deformační metodou smíšenou metodou - Žemočkinova metoda metodou konečných prvků 4

25 Příklad, nosník na pružném podkladě, zadání F = 1000 kn l = 6 m Nosník délky 6 m s modulem pružnosti v tahu a tlaku E = 0 GPa a obdélníkovém průřezu h = 0,5 m a b = 1,0 m je zatěžován silou F = 1000 kn v polovině rozpětí. Nosník je uložen na pružném podkladě s modulem stlačitelnosti podkladu C = 36 MN/m 3. 5

26 Příklad, nosník na Winklerově podloží, výpočtový model pro obecnou deformační metodu x z (0 1 ) (0 3 4) (0 5 6) (0 7 8) (0 9 10)(0 11 1)( ) l 6m 6 vodorovných prutů (oboustranně monoliticky připojené) 7 svislých prutů (pravostranně kloubově připojené) 6

27 7 Příklad, nosník na Winklerově podloží, princip řešení ODM 1 b A / v ODM okrajích na p p p i l b A l E C i w l EA i F i N b C w i F b C i w i F C i w i p b i p i F b i p i F Síla F i ve svislých prutech:

28 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení obecnou deformační metodou Globální matice tuhosti vodorovných prutů l 1m A bh 0,5m 1 3 I bh 1 E 0GPa 0,0104m 4 8

29 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení obecnou deformační metodou Globální matice tuhosti svislých prutů l 1 A b 1m příp. A b 0,5m J není pro výpočet potřeba (zadáno I E C 36MPa 1m 4 ) 9

30 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení obecnou deformační metodou Celková matice tuhosti nosníku Zatěžovací vektor nosníku F T 30

31 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení ODM, průhyb nosníku 0, ,0010 0,000 0,0014 0,0014 0,0030 0,0040 0,0038 0,0038 0,0050 0,0060 0,0059 0,0059 0,0070 0,0070 0,

32 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení ODM, hodnoty natočení nosníku 0, , , , , , , , , , , , , ,

33 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení ODM, hodnoty reakcí [kn] (síly ve svislých prutech) 300,00 50,00 00,00 1,69 50,50 1,69 150,00 136,30 136,30 100,00 50,00 5,76 5,76 0,

34 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení ODM, hodnoty posouvajících sil , , , , , ,

35 Příklad, nosník na Winklerově podloží, řešení ODM, hodnoty ohybových momentů [knm] 0, ,00 5,76 5,76 0,00 100,00 00,00 187,8 187,8 300,00 400,00 500,00 600,00 56,57 35

36 Nosník na pružném podloží, Žemočkinova metoda Nosník na pružném podloží obecně zatížený Rozdělení nosníku na dílky a nahrazení podloží kyvnými pruty 36

37 Nosník na pružném podloží, Žemočkinova metoda, pokračování Výpočtový model, základní staticky a polohově určitá konstrukce Neznámé síly X i nahrazují spojitou reakci podloží p i 37

38 Nosník na pružném podloží, Žemočkinova metoda, pokračování Poloha vetknutého okraje nosníku je dána neznámým poklesem w 0 a pootočení j 0 Úloha je smíšená řeší se silově a deformačně. Je n neznámých sil a dvě neznámá přetvoření. Sestaví se n+ rovnic, a to n deformačních podmínek a podmínky silové (rovnovážné). 38

39 Nosník na pružném podloží, Žemočkinova metoda, pokračování X 11 1 X 1 1 Deformační podmínky: X X w x 1 X 1n n X n n 0 w x n1 X 1 kde je n X nn X n w 0 x n 0 n0 0 w 11 n ik i0 w,( w 11 p ik n w p 11, obecně ik ) je průhyb nosníku (podloží) od síly X w 1, je průhyb nosníku i - tém zatěžovacím stavu od síly n ik w p ik k X i 1 39

40 Nosník na pružném podloží, Žemočkinova metoda, pokračování Silové (rovnovážné) podmínky: n i1 i k1 n X X x m P m i1 i i k1 k 0 P x k k 0 Řešením n+ rovnic jsou síly X 1 až X n a přetvoření w 0 a 0, které stav nosníku a poloprostoru jednoznačně definují. 40

41 Modely podloží, použitá literatura Teplý B., Šmiřák S., Pružnost a plasticita II, Nakladatelství VUT Brno 1993 Dický J., Mistriková Z., Sumec J., Pružnost a plasticita v stavebníctve, STU v Bratislavě 006 Sobota J., Statika stavebných konštrukcií, Vydavateľstvo ALFA, Bratislava