Oddíl E učební osnovy VII.1.A MATEMATIKA

Transkript

1 Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o. Oddíl E učební osnovy VII.1.A MATEMATIKA

2 VII.1.A Matematika Charakteristika předmětu: MATEMATIKA v nižším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu matematika pro nižší stupeň víceletého gymnázia vychází z oboru Matematika a její aplikace Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. V matematice je realizováno PT Osobnostní a sociální výchova, která prolíná všemi předměty na nižším stupni gymnázia. Časové vymezení předmětu vyučovací hodina cvičení prima 4 X sekunda 4 X tercie 4 X kvarta 4 X Organizace výuky Výuka probíhá většinou frontálně, ale s aktivním zapojením studentů jak při odvozování nových poznatků, tak při upevňování učiva. Podle přání vyučujícího se většinou zařazuje do rozvrhu jedna hodina matematiky týdně rozdělená, kdy se výuka uskutečňuje vždy jen s polovinou studentů, a tato hodina je věnována buď procvičování učiva zábavnou formou, využití skupinového a problémového vyučování nebo výuce v počítačové učebně. Výchovné a vzdělávací strategie Matematickým vzděláním v průběhu nižšího stupně gymnaziálního vzdělání významně přispíváme k utváření a rozvoji klíčových kompetencí žáků. Matematika názorně demonstruje přechod od konkrétního k abstraktnímu, vyžaduje tvůrčí přístup a různorodé metody práce, podporuje samostatnost i nutnost spolupráce při řešení problémů. Při hledání řešení musí umět student vyjádřit své myšlenky a obhájit své postupy, přijmout a pochopit i jiný myšlenkový postup, který vede ke stejnému cíli. Výuka matematiky je doplňována účastí všech studentů primy, sekundy a tercie ve školním kole Pythagoriády, odkud nejlepší postupují do okresního kola. Všichni studenti nižšího gymnázia se také účastní mezinárodní matematické soutěže Matematický klokan v příslušných kategoriích. Podporujeme účast studentů v matematické olympiádě a korespondenčních soutěžích. Snažíme se tak vypěstovat u všech studentů trvalý zájem o matematiku a podchytit a rozvíjet matematický talent u nadaných studentů

3 VII.1.A Matematika Získané matematické poznatky a dovednosti žáci uplatní nejen při řešení matematických úloh a v běžné praxi, ale také v ostatních přírodovědných oborech (např. fyzika, chemie, zeměpis). Naším cílem je, aby každý student dosáhl v matematické gramotnosti takové úrovně, aby splnil požadavky přijímacího řízení na vyšší stupeň víceletého gymnázia nebo jinou střední školu. Kompetence k učení umožňujeme studentovi vyzkoušet různé metody a formy činností: práce ve dvojicích nebo ve skupinách, soutěže v rámci třídy, práce s textem důraz na pochopení matematického textu nebo naopak schopnost matematizace reálné situace, využívání konzultací, rozbor testů, podporujeme zapojování do matematických soutěží a olympiád zařazujeme problémové úlohy, zejména na odvození nových poznatků nebo na řešení praktických úloh z běžného života Kompetence k řešení problémů přecházíme důsledně od jednoduššího problému ke složitějšímu (princip postupnosti) zařazujeme problémové úlohy z praktického života (rozbor úlohy, matematizace, zvolení vhodného postupu, odhad výsledku, ověření správnosti řešení) podporujeme řešení jedné úlohy různými postupy (porovnání efektivity, přesnosti výsledku, využití různých znalostí, ověření výsledku jiným postupem) vedeme studenty k účasti v matematických soutěžích, kde si ověří a prohloubí své vědomosti a schopnosti Kompetence komunikativní vyžadujeme používání odborné terminologie podporujeme komunikaci studentů při řešení problému: porozumění zadání, vyhodnocení informací, zformulování problému, zdůvodnění postupu řešení, formulace výsledků využíváme práci ve skupinách nebo ve dvojicích pro důslednější komunikaci, diskuzi řešení, obhajování postupů zařazujeme práci s odborným textem pro nácvik porozumění, vyhledání podstatných informací, zhodnocení vedeme studenty k dovednosti číst grafy, diagramy a tabulky a vyhodnotit z nich informace Kompetence sociální a personální vytváříme přátelskou a kolegiální atmosféru při hodinách, kdy se student nebojí říci svůj názor před ostatními studenty ani před pedagogem nevhodná řešení se rozeberou a opraví, ale nezesměšní podporujeme práci ve skupinách, schopnost zapojit se do společné činnosti, uplatnit své individuální schopnosti, ale respektovat názory druhých vedeme studenty ke spolupráci a pomoci vytváření doučovacích skupinek během výuky s cílem dosáhnout co nejlepší výkon každého člena - 2 -

4 VII.1.A Matematika Kompetence občanské seznamujeme studenty s historií a vývojem matematiky od úplných počátků a vedeme je k respektu ke schopnostem a dovednostem našich předků zařazujeme úlohy týkající se aktuálních společenských témat a diskutujeme o nich vytváříme přátelskou atmosféru ve třídě, kdy oceňujeme i výkony slabších studentů Kompetence pracovní rozvíjíme jemnou motoriku ruky při práci s rýsovacími pomůckami vedeme studenty k efektivnímu využívání výpočetních přístrojů (kalkulačky, PC) zařazujeme úlohy na konkrétní praktickou situaci (obklad bazénu, ) a na finanční problematiku (úlohy na spoření, úrokování, splácení úvěru ) motivujeme svou důsledností studenty k zodpovědnému plnění uložených úkolů - 3 -

5 VII.1.A Matematika Rozpracování vzdělávacího obsahu vyučovacího předmětu P R I M A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Přirozená čísla číslice, číslo, číselná osa rozvinutý a zkrácený zápis čísla početní operace s přirozenými čísly sčítání, odčítání, násobení, dělení se zbytkem vlastnosti početních operací římské číslice Desetinná čísla zavedení desetinného čísla a jeho umístění na číselné ose zaokrouhlování desetinných čísel početní operace s desetinnými čísly číselné výrazy Převody jednotek jednotky měření času jednotky měření úhlu jednotky měření hmotnosti jednotky měření délky, plochy a objemu o student chápe rozdíl mezi pojmy číslice a číslo o správně přečte a zapíše přirozené číslo i vyšších řádů o provádí početní operace v oboru přirozených čísel, využívá zkoušky o zaokrouhluje a provádí odhady výpočtů s danou přesností o analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru přirozených čísel o správně využívá pravidla pro zápis přirozených čísel pomocí římských číslic, čte čísla zapsaná římskými číslicemi o student ovládá čtení, psaní a porovnávání desetinných čísel o provádí početní operace s desetinnými čísly včetně násobení a dělení desetinných čísel deseti, stem, tisícem o zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností o v jednoduchých případech efektivně počítá zpaměti o analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru desetinných čísel o při řešení číselných výrazů rozlišuje pořadí početních operací o student se orientuje v používání správných jednotek při měření konkrétních veličin o převádí jednotlivé jednotky v rámci jedné veličiny o řeší úlohy z praxe s použitím převodů jednotek Téma je pouze opakovací, studenti znají látku z 1.stupně ZŠ Řešení slovních úloh s desetinnými čísly Nácvik dovednosti v používání měřících nástrojů a přístrojů Celá čísla zavedení celého čísla a jeho umístění na číselné ose početní operace s desetinnými čísly číselné výrazy s celými čísly o student chápe pojem záporného čísla a jeho použití v běžném životě, umí porovnávat celá čísla a znázornit je na číselné ose o provádí početní operace s celými absolutní hodnota čísla čísly o zná znaménková pravidla a využívá je při řešení elementárních příkladů i číselných výrazů s celými čísly o umí pracovat s absolutní hodnotou čísla Dělitelnost přirozených čísel o student chápe pojem násobek a Slovní úlohy na - 4 -

6 VII.1.A Matematika násobek, dělitel dělitelnost součtu, rozdílu a součinu znaky dělitelnosti prvočísla a čísla složená rozklad složených čísel na prvočinitele (největší) společný dělitel (nejmenší) společný násobek čísla soudělná a nesoudělná Množiny pojem množina, určení množiny, být prvkem množiny znázornění množin průnik a sjednocení množin Úvod do geometrie bod, přímka, úsečka, střed úsečky, osa úsečky polopřímka, rovnoběžné, různoběžné, kolmé přímky kružnice úhel, osa úhlu, přenášení a grafické sčítání a odčítání úhlů, sestrojení základních úhlů, rozdělení úhlů, dvojice úhlů početní operace s úhly Osová a středová souměrnost osová souměrnost středová souměrnost Trojúhelník, čtyřúhelník, krychle, kvádr čtyřúhelník klasifikace, sestrojení, výpočet obvodu a obsahu trojúhelník základní pojmy, klasifikace sestrojení trojúhelníku kružnice vepsaná a opsaná trojúhelníku výpočet obvodu a obsahu pravoúhlého a obecného trojúhelníku krychle a kvádr objem a povrch, dělitel a umí je vysvětlit o na základě vlastního pozorování odvodí vlastnosti dělitelnosti součtu, rozdílu a součinu o využívá znaky dělitelnosti při řešení úloh s přirozenými čísly o zná rozdíl mezi prvočíslem a číslem složeným, umí efektivně rozložit složené číslo na součin prvočísel o rozlišuje a správně využívá v úlohách pojmy (největší) společný dělitel a (nejmenší) společný násobek o samostatně řeší základní úlohy na dělitelnost o student zná pojmy množina, prvek, dovede zadat množinu výčtem prvků nebo vlastností o umí rozhodnout, zda objekt je nebo není prvkem dané množiny o na základě jednoduchých příkladů z praxe použije pojmy průnik a sjednocení množin o dovede znázornit množiny pomocí Vennových diagramů o student charakterizuje a třídí základní rovinné útvary a jejich vzájemnou polohu o sestrojí základní rovinné útvary, čistě a přesně rýsuje, útvary popisuje o používá množinovou symboliku k zápisu postupu konstrukce o klasifikuje úhly i dvojice úhlů, provádí početní operace s úhly, využívá získané vědomosti při řešení úloh o provádí základní konstrukce týkající se úhlů o student sestrojí obraz libovolného útvaru v osové a středové souměrnosti, zná a používá pojem samodružné body o rozpozná osově a středově souměrný útvar, umí takový útvar načrtnout o student sestrojí čtverec, obdélník, rovnoběžník, kosočtverec a lichoběžník ze základních zadání o rozlišuje pojmy výška, těžnice, těžiště, osa úhlu a osa strany a umí je v daném trojúhelníku sestrojit o sestrojí trojúhelník ze základních zadání, nacvičuje množinový zápis konstrukce o sestrojí kružnici opsanou i vepsanou libovolnému trojúhelníku o vypočítá obsah a obvod čtverce, dělitelnost Používání rýsovacích pomůcek, nácvik přesného a čistého rýsování

7 VII.1.A Matematika síť obdélníku a trojúhelníku na základě vlastních měření o sestrojí síť krychle a kvádru, vypočítá jejich povrch a objem o na základě matematizace reálné situace využívá své znalosti o geometrických útvarech k řešení úloh z běžné praxe S E K U N D A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Zlomky zlomek a jeho velikost, rozšiřování a krácení zlomků, porovnávání zlomků desetinné zlomky, převod zlomků na desetinná čísla početní operace se zlomky Procenta zavedení základních pojmů určování procentové části určování základu určování počtu procent slovní úlohy s procenty Mocniny mocniny s přirozeným exponentem 2.a 3. odmocnina pravidla pro počítání s mocninami, zavedení mocnin se záporným exponentem zápis velkých a malých čísel a početní operace s nimi mocniny v geometrii Výrazy, mnohočleny číselné výrazy opakování výrazy s proměnnými, mnohočleny sčítání a odčítání mnohočlenů násobení mnohočlenů dělení mnohočlenu jednočlenem Pythagorova věta o student chápe zlomek jako část celku, která se dá vyjádřit různými způsoby (krácení, rozšiřování, převod na desetinné číslo)a umí ho zakreslit na číselné ose a znázornit jako část obrazce o umí porovnávat zlomky o řeší jednoduché slovní úlohy se zlomky o ovládá početní operace se zlomky včetně úpravy složeného zlomku a výsledek zapíše jako smíšené číslo o student chápe pojem procento a jeho výhodnost pro charakteristiku určitých hodnot o na základě rozboru úlohy určí správně základ, vypočítá jedno procento a následně dořeší úlohu o řeší základní úlohy s procenty z běžného života o student určí přirozené mocniny celých i desetinných čísel, zlomků i smíšených čísel o chápe pojem odmocnina a dokáže odhadnout výsledek 2. odmocniny o využívá vzorce pro práci s mocninami o umí převést číslo na zápis a.10 n a s takovými čísly dále pracovat o používá mocniny a odmocniny při výpočtu obsahů a objemů těles o v číselných výrazech respektuje pořadí početních operací, určí hodnotu libovolného číselného výrazu o chápe pojem výraz s proměnnými a určí hodnotu výrazu s proměnnými pro libovolné přípustné hodnoty o rozlišuje mnohočleny podle počtu členů o provádí základní početní operace s mnohočleny (kromě dělení mnohočlenu mnohočlenem) o student si uvědomuje souvislost Slovní úlohy z nejrůznějších oblastí běžného života vyžití denního tisku, reklamních tiskovin apod

8 VII.1.A Matematika odvození Pythagorovy věty využití Pythagorovy věty Hranoly klasifikace hranolů, krychle, kvádr zobrazení hranolu ve volném rovnoběžném promítání síť hranolu povrch a objem hranolu Lineární rovnice ekvivalentní úpravy rovnic řešení rovnic vyjádření neznámé ze vzorce slovní úlohy řešené pomocí rovnic Intervaly, nerovnice množiny intervaly nerovnice Úlohy o pohybu základní vztahy pro výpočet dráhy, rychlosti a času pohybu složitější úlohy řešené pomocí rovnic mezi pravoúhlým trojúhelníkem a Pythagorovou větou o na základě rozboru úlohy umí správně použít Pythagorovu větu k řešení pravoúhlého trojúhelníku i v úlohách z praxe o student rozlišuje hranoly podle pravidelnosti, kolmosti a počtu hran podstavy, umí pojmenovat části hranolu o načrtne a zobrazí hranol ve volném rovnoběžném promítání, umí sestrojit síť kolmého hranolu o vypočítá povrch a objem pravidelného hranolu a umí poznatky využít při řešení praktických úloh o student rozlišuje mezi pojmy rovnost a rovnice, uvědomuje si pozici neznámé o zná ekvivalentní úpravy rovnice a dovede je používat o ovládá postupy vedoucí k nalezení řešení libovolné lineární rovnice o je si vědom, že rovnice může nemít nebo mít nekonečně mnoho řešení o uvědomuje si smysl a důležitost zkoušky a umí zkoušku provádět o analyzuje a řeší reálné situace s využitím jednoduchých rovnic o ve slovní úloze určí neznámou, vyřeší rovnici a ověří správnost řešení o student chápe interval jako spojitou množinu reálných čísel, umí zobrazit intervaly na číselné ose a provádět s nimi množinové operace, umí zapsat interval jiným způsobem (pomocí nerovností) o uvědomuje si podobnosti i odlišnosti mezi řešením rovnic a nerovnic, umí je vysvětlit o umí zapsat řešení nerovnice pomocí intervalu o student převádí správně jednotky času, dráhy i rychlosti o umí odvodit a používat základní vztah s = v. t o řeší složitější úlohy o pohybu převedením na rovnice Slovní úlohy na rovnice T E R C I E Učivo Očekávané výstupy Poznámky Úměrnosti poměr, postupný poměr úměra závislost veličin přímá a nepřímá úměrnost o student umí rozdělit celek v daném poměru, řeší úlohy na poměr a postupný poměr o krátí a rozšiřuje poměr o vypočítá neznámý člen úměry Využití map a výkresů - 7 -

9 VII.1.A Matematika trojčlenka měřítko úlohy o společné práci o chápe závislost jedné veličiny na druhé a umí ji znázornit na grafu o rozlišuje mezi přímou a nepřímou úměrností a využívá toho při řešení trojčlenky o řeší aplikační úlohy s využitím poměru a trojčlenky o umí pracovat s měřítkem mapy Práce s daty aritmetický průměr diagramy o student je schopen provést základní statistické zpracování dat o ke znázornění výsledků používá sloupcové a kruhové diagramy Konstrukční úlohy základní konstrukce množiny bodů konstrukce trojúhelníku o student ovládá konstrukce úhlů (30 o,45 o,60 o ), rovnoběžek, kolmic o umí sestrojit množiny všech bodů daných vlastností Navázání na dovednosti z primy konstrukce čtyřúhelníku o provádí rozbor konstrukční úlohy a náčrtek o při sestrojování útvarů využívá průniky množin bodů daných vlastností o zapíše správně postup konstrukce o provede diskuzi o počtu řešení Thaletova kružnice zavedení pojmu, vlastnosti o student zná vlastnosti Thaletovy kružnice a využívá je při Plynulé rozšíření konstrukcí tečna z bodu ke kružnici konstrukční úlohy konstrukčních úlohách o sestrojí tečnu ke kružnici z bodu vně kružnice Mocniny opakování přirozeného mocnitele mocnitel nula celý záporný mocnitel o student umí vypočítat mocniny s přirozeným i celým mocnitelem o využívá pravidla pro počítání s mocninami Navázání na znalosti ze sekundy výrazy s mocninami o upravuje číselné výrazy s mocninami i výrazy s proměnnými Algebraické výrazy násobení, dělení a umocňování mnohočlenů rozklad výrazů na součin úpravy lomených výrazů o student ovládá početní operace s mnohočleny včetně dělení mnohočlenu mnohočlenem o správně používá vzorce na umocňování dvojčlenu a rozdíl operace s lomenými výrazy čtverců o rozkládá výrazy na součin pomocí vytýkání, postupného vytýkání a vzorců o určí definiční obor výrazu o krátí a rozšiřuje lomené výrazy o provádí početní operace s lomenými výrazy Úvod do funkcí zavedení pojmů funkce, graf funkce, definiční obor a obor hodnot funkce lineární funkce kvadratická funkce o student rozhodne, zda je daná závislost mezi dvěma veličinami funkce, určí definiční obor, obor hodnot, funkční hodnoty o využívá tabulku k odvození grafu funkce funkce nepřímá úměra o rozlišuje mezi danými funkcemi, určí typ funkce a její graf o sestrojí grafy daných funkcí o odhalí funkční vztah v textu slovní úlohy a graficky jej znázorní Kružnice, kruh o student rozlišuje kružnici a kruh Využití kalkulačky - 8 -

10 VII.1.A Matematika definice kružnice, kruhu délka kružnice, obsah kruhu části kružnice, kruhu vzájemné polohy útvarů Válec, kužel objem a povrch válce, síť objem a povrch kužele o zná Ludolfovo číslo a vzorce na výpočty a správně je používá o řeší praktické úlohy, ve kterých se vyskytují kružnice, kruh a jejich části o student řeší slovní úlohy na objemy a povrchy válce a kužele o matematizuje praktické úlohy ze života Využití kalkulačky K V A R T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Shodná zobrazení definice shodného zobrazení a shodnost trojúhelníků identita osová a středová souměrnost o student správně zobrazí běžné geometrické útvary ve všech typech zobrazení o využívá věty o shodnosti trojúhelníků posunutí o rozezná přímou a nepřímou otáčení shodnost Podobnost podobnost trojúhelníků koeficient podobnosti redukční úhel a poměry stejnolehlost Zobrazení a konstrukční úlohy Goniometrické funkce jednotky úhlu - stupně, minuty, vteřiny zavedení goniometrických funkcí sinus, kosinus, tangens kotangens v pravoúhlém trojúhelníku řešení úloh s využitím goniometrických funkcí Výroková a predikátová logika, Vennovy diagramy výrok jednoduchý, složený, logické spojky negace výroků tabulky pravdivostních hodnot Vennovy diagramy o student zmenší (zvětší) útvar v daném poměru, určí poměr podobnosti mezi dvěma útvary o zdůvodní podobnost trojúhelníků o zobrazuje útvary ve stejnolehlosti o využívá stejnolehlost při dělení, zvětšování, zmenšování úseček o řeší slovní úlohy využívající podobnost o student vyhodnotí vhodnost shodného nebo podobného zobrazení při konstrukční úloze o provede správnou konstrukci včetně všech řešení o zapíše zdůvodnění postupu o student správně využívá jednotlivé goniometrické funkce v konkrétních příkladech o ovládá goniometrické výpočty na kalkulačce o při řešení slovních úloh vytvoří náčrtek a uvědomuje si, že musí vycházet jen z pravoúhlých trojúhelníků o používá intuitivně i inverzní funkce o student rozpozná, kdy je a kdy není sdělení výrok o správně používá logické spojky, znázorní složený výrok pomocí schématu o vytváří správné negace jednoduchých i složených výroků, využívá kvantifikátory o používá tabulku pravdivostních hodnot při určování tautologií, při rozhodování o pravdivosti výroku a při řešení slovních úloh o na řešení úloh s množinovou Osová a středová souměrnost opakování z nižších ročníků Nácvik přesného rýsování Využití kalkulačky - 9 -

11 VII.1.A Matematika Důkazy matematických vět důkaz přímý důkaz nepřímý důkazy dělitelnosti Kvadratická rovnice Soustavy rovnic dvě rovnice o dvou neznámých grafické řešení soustavy sčítací a dosazovací metoda soustavy o více neznámých slovní úlohy řešené soustavami rovnic Euklidovy věty odvození Euklidových vět konstrukce odmocnin útvary o stejném obsahu Středový a obvodový úhel definice, odvození vztahů geometrické úlohy využívající vztahu mezi středovým a obvodovým úhel využití v konstrukčních úlohách Základní finanční gramotnost tématikou využívá Vennovy diagramy o student rozlišuje mezi pojmy definice a matematická věta o správně zapíše matematickou větu pomocí kvantifikátorů a logických spojek o podle typu matematické věty zvolí vhodný typ důkazu a provede jej o student umí řešit neúplnou i úplnou kvadratickou rovnici o při řešení využívá diskriminant a rozklad na součinový tvar o je schopen vyvodit počet řešení o student řeší soustavy dvou rovnic pomocí sčítací a dosazovací metody, eventuelně graficky o aplikuje postup na soustavy o více neznámých o zapíše množinu všech řešení i v případě, že je těchto řešení nekonečně mnoho o využívá soustav rovnic k řešení slovních úloh, po vyřešení ověří správnost výsledků o student řeší úlohy v pravoúhlém trojúhelníku zadané pomocí výšky nebo úseků na přeponě o ovládá konstrukce odmocnin s využitím Euklidových vět o převede libovolný trojúhelník resp. čtyřúhelník na čtverec o student chápe vztah mezi středovým a obvodovým úhlem a umí jej využít při řešení geometrických úloh o sestrojí množinu bodů, ze kterých je vidět úsečka pod daným úhlem, a používá ji v konstrukčních úlohách o student se orientuje v přibližných nákladech na domácnost, cenách základních potravin a spotřebního zboží o rozlišuje pojmy spoření, půjčka, úrok, pojištění o chápe princip složeného úrokování o uvědomuje si důležitost zodpovědného přístupu k zacházení s financemi

12 Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o. Oddíl E učební osnovy VII.1.B MATEMATIKA platné pro školní rok 2017/2018 pro ročníky sexta, septima, oktáva

13 VII.1.B Matematika Charakteristika předmětu: MATEMATIKA ve vyšším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu matematika pro vyšší stupeň víceletého gymnázia vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace (RVP G). V matematice budeme realizovat průřezové téma Osobnostní a sociální výchovu, která prolíná všemi předměty na vyšším stupni gymnázia. Časové vymezení předmětu vyučovací hodina cvičení kvinta 3 X sexta 4 X septima 3 X oktáva (4) X Organizace výuky Předmět matematika je povinný pro všechny studenty kvinty až septimy. V oktávě je tento předmět volitelný a je určen zejména pro studenty, kteří z tohoto předmětu chtějí skládat maturitní zkoušku nebo předpokládají využití matematiky ve svém dalším vysokoškolském studiu. Výuka matematiky je uskutečňována převážně frontálním vyučováním s co největším zapojením studentů do společného odvozování poznatků, využívají se ale často i prvky problémového a skupinového vyučování. Výchovné a vzdělávací strategie Matematickým vzděláním v průběhu vyššího stupně gymnaziálního vzdělání významně přispíváme k utváření a rozvoji klíčových kompetencí žáků. Matematika výrazně rozvíjí logické uvažování, abstraktní a analytické myšlení, učí srozumitelné a věcné argumentaci, formulaci problémů a jejich řešení, vyžaduje tvůrčí přístup a různorodé metody práce, podporuje samostatnost i nutnost spolupráce při řešení problémů. Významným aspektem je i rozvíjení geometrické představivosti, a to jak v rovině, tak v prostoru. Těžiště výuky spočívá v aktivním osvojení strategie řešení úloh a problémů, v ovládnutí nástrojů potřebných pro vysokoškolské studium i pro běžný život, v pěstování schopnosti aplikace. Během studia si studenti uvědomují, že matematika nachází uplatnění ve většině oborů lidské činnosti, zejména v informatice, technice a ekonomii. Podporujeme účast studentů v matematických soutěžích, jako je Matematický klokan, matematická olympiáda, a v korespondenčních soutěžích. Snažíme se tak - 1 -

14 VII.1.B Matematika vypěstovat u studentů trvalý zájem o matematiku, podchytit a rozvíjet matematický talent u nadaných studentů a připravovat studenty na úspěšné vysokoškolské studium. Kompetence k učení umožňujeme studentům vyzkoušet různé metody a formy činností: práce ve dvojicích nebo ve skupinách, soutěže v rámci třídy, práce s textem důraz je kladen na pochopení matematického textu nebo naopak schopnost matematizace reálné situace, využívání konzultací, rozbor testů zařazujeme problémové úlohy, zejména na odvození nových poznatků nebo na řešení praktických úloh z běžného života průběžným hodnocením výsledků jejich práce studentům umožňujeme posoudit vlastní pokrok při učení, uvědomit si případné nedostatky a hledat cesty k jejich odstraňování modelováním situací, kreslením náčrtků v geometrii rozvíjíme u studentů prostorovou představivost Kompetence k řešení problémů přecházíme důsledně od jednoduššího problému ke složitějšímu (princip postupnosti) zařazujeme problémové úlohy z praktického života (rozbor úlohy, matematizace, zvolení vhodného postupu, odhad výsledku, ověření správnosti řešení) podporujeme řešení jedné úlohy více možnými postupy (porovnání efektivity, přesnosti výsledku, využití různých znalostí, ověření výsledku jiným postupem) vedeme studenty k účasti v matematických soutěžích, kde si ověří a prohloubí své vědomosti a schopnosti Kompetence komunikativní vyžadujeme používání odborné terminologie podporujeme komunikaci studentů při řešení problému: porozumění zadání, vyhodnocení informací, zformulování problému, zdůvodnění postupu řešení, formulace výsledků využíváme práci ve skupinách nebo ve dvojicích pro důslednější komunikaci, diskuzi řešení, obhajování postupů zařazujeme práci s odborným textem pro nácvik porozumění, vyhledání podstatných informací, zhodnocení vedeme studenty k dovednosti číst grafy, diagramy a tabulky a vyhodnotit z nich informace Kompetence sociální a personální vytváříme přátelskou a kolegiální atmosféru při hodinách, kdy se student nebojí říci svůj názor před ostatními studenty ani před pedagogem nevhodná řešení se rozeberou a opraví, ale nezesměšní rozebíráme při hodinách se studenty jejich výkony a pokroky a vedeme je ke schopnosti objektivně zhodnotit vědomosti a dovednosti své i svých spolužáků podporujeme práci ve skupinách, schopnost zapojit se do společné činnosti, uplatnit své individuální schopnosti, ale respektovat názory druhých - 2 -

15 VII.1.B Matematika vedeme studenty ke spolupráci a pomoci vytváření doučovacích skupinek během výuky s cílem o co nejlepší výkon každého člena Kompetence občanské seznamujeme studenty s historií a vývojem matematiky od úplných počátků a vedeme je k respektu ke schopnostem a dovednostem našich předků zařazujeme úlohy týkající se ekologie, odpadů, jiných národností, zdravého životního stylu apod. a diskutujeme o nich vytváříme přátelskou atmosféru ve třídě, kdy oceňujeme výkony i slabších studentů Kompetence k podnikavosti podporujeme u studentů samostatnou aktivitu, oceňujeme jejich vlastní přínos do výuky zařazujeme do výuky úlohy zabývající se například výpočtem nákladů na různé stavební či opravárenské práce, úlohy na porovnávání výhodnosti té které nabídky po zvážení všech faktorů posilujeme sebevědomí studentů vhodně volenými úkoly a následným zhodnocením - 3 -

16 VII.1.B Matematika Rozpracování vzdělávacího obsahu vyučovacího předmětu K V I N T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Nelineární rovnice a nerovnice kvadratické rovnice a nerovnice nerovnice v součinovém a podílovém tvaru rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou o student používá vhodné metody řešení jednotlivých typů rovnic a nerovnic o přihlíží ke specifikům jednotlivých typů rovnic (jako jsou podmínky řešitelnosti, nutnost zkoušky jako iracionální rovnice součást řešení a pod.) rovnice s neznámou ve jmenovateli o zná a využívá princip nulových soustavy s kvadratickou rovnicí bodů o vychází z definice absolutní Funkce definice, graf, základní vlastnosti funkcí lineární funkce kvadratická funkce lineární lomená funkce funkce s absolutní hodnotou mocninné funkce inverzní funkce n-tá odmocnina, počítání s mocninami exponenciální funkce, rovnice logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Stereometrie polohové vlastnosti základních geometrických útvarů řezy na tělesech průsečíky přímky s tělesem a s rovinou metrické vlastnosti odchylky, vzdálenosti, kolmost shodná a podobná zobrazení v prostoru tělesa objem a povrch hodnoty o student chápe funkci jako závislost veličin, chápe pojmy definiční obor, obor hodnot, vztah mezi funkcí a jejím grafem o podle zadání rozpozná typ funkce, určí její definiční obor, průsečíky s osami, načrtne graf funkce a na základě grafu určí monotonii, paritu, omezenost a obor hodnot funkce o využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic o k dané funkci najde funkci inverzní a sestrojí její graf o převede odmocniny na mocniny a využívá vzorce pro práci s mocninami o porovnává hodnoty exponenciálních a logaritmických funkcí na základě jejich grafů o řeší základní typy exponenciálních a logaritmických rovnic, využívá substituce o chápe pojem logaritmus, využívá věty o logaritmech při úpravách výrazů a při řešení logaritmických rovnic o řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích o student užívá správně geometrické pojmy o určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů v prostoru, jejich odchylky a vzdálenosti o užívá volného rovnoběžného promítání ke znázornění geometrických útvarů o využívá svých znalostí a prostorové představivosti k řešení úloh na tělesech o převádí své poznatky o shodných a podobných zobrazeních do prostoru a využívá jich k řešení Rozvíjení prostorové představivosti Zdokonalování práce s rýsovacími potřebami, nácvik přesného a čistého rýsování - 4 -

17 VII.1.B Matematika úloh o spočítá povrch a objem základních geometrických těles S E X T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Goniometrie a trigonometrie orientovaný úhel funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens obecného úhlu výrazy a rovnice s goniometrickými funkcemi sinová a kosinová věta, řešení obecného trojúhelníku Kombinatorika základní kombinatorická pravidla variace, permutace a kombinace bez i s opakováním vlastnosti kombinačních čísel, Pascalův trojúhelník binomická věta Pravděpodobnost náhodné pokusy pravděpodobnost jevů pravděpodobnost sjednocení jevů nezávislé jevy binomické rozdělení podmíněné pravděpodobnosti o student chápe pojem orientovaný úhel a přiřadí mu správnou velikost ve stupních nebo v radiánech o rozšíří své znalosti o goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku na goniometrické funkce libovolného orientovaného úhlu, uvědomuje si periodičnost funkcí o odvodí vlastnosti a grafy goniometrických funkcí z jednotkové kružnice o na základě svých předešlých znalostí práce s grafy načrtne grafy i složitějších goniometrických funkcí o využívá goniometrické vzorce při úpravách výrazů a při řešení rovnic o s ohledem na periodičnost goniometrických funkcí určuje správně množinu všech řešení goniometrických rovnic o používá sinovou a kosinovou větu k řešení obecného trojúhelníku a je schopen aplikovat znalosti na úlohy z praxe o student využívá kombinatorická pravidla součinu a součtu pro řešení jednoduchých kombinatorických úloh o chápe rozdíl mezi uspořádanými a neuspořádanými k-ticemi a správně volí v úlohách použití variací nebo kombinací o je schopen podle zadání konkrétní úlohy volit vhodný postup a řešit kombinatorické úlohy bez i s opakováním prvků o využívá vlastností kombinačních čísel pro úpravy výrazů a řešení rovnic s těmito čísly o odvodí binomickou větu s využitím Pascalova trojúhelníku a používá ji pro umocnění dvojčlenu o student ovládá základní pojmy pravděpodobnosti o rozlišuje mezi množinou možných a množinou příznivých výsledků a s využitím kombinatoriky určí a spočítá pravděpodobnost jevu o využívá svých znalostí o množinách k určení Práce s kalkulátorem - určování hodnot goniometrických funkcí - 5 -

18 VII.1.B Matematika Statistika statistický soubor, jednotka znak tabulka četností, relativní četnost aritmetický průměr, modus, medián směrodatná a mezikvartilová odchylka Analytická geometrie souřadnice bodu vektory, operace s vektory, skalární a vektorový součin geometrie v rovině lineární geometrie v prostoru pravděpodobnosti sjednocení jevů o početně rozhodne o závislosti či nezávislosti jevů o rozhodne o vhodnosti použití binomického rozdělení k výpočtu pravděpodobnosti a určí výsledek o řeší jednoduché úlohy na podmíněné pravděpodobnosti o student správně používá základní pojmy statistiky, uvědomuje si souvislost mezi velikostí statistického souboru a objektivitou výsledku o na základě získaných dat sestaví tabulku četností a určí relativní četnosti o u statistického souboru rozhodne, kterou charakteristiku polohy (aritmetický průměr, modus, medián)a variability (směrodatná nebo mezikvartilová odchylka) zvolit a tu potom spočítá o znázorní získané statistické výsledky pomocí vhodného grafu o student si představí a znázorní bod zadaný pomocí souřadnic v rovině i v prostoru o spočítá střed a délku úsečky z jejích krajních bodů o chápe vektor jako množinu orientovaných úseček, vektory graficky i početně sčítá, odčítá, násobí reálným číslem o určí skalární a vektorový součin vektorů, chápe jejich rozdíl, geometrický význam a použití o určí přímku v rovině pomocí parametrického vyjádření, obecnou rovnicí i směrnicovým tvarem o řeší polohové a metrické úlohy v rovině (vzájemná poloha a průsečík přímek, kolmost, odchylky, vzdálenost bodu od přímky) o vyjádří přímku a rovinu v prostoru o řeší polohové a metrické úlohy v prostoru (vzájemná poloha bodů, přímek a rovin, jejich průniky, kolmost, odchylky, vzdálenosti) S E P T I M A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Analytická geometrie kuželoseček kružnice, kružnice a přímka elipsa, elipsa a přímka parabola, parabola a přímka o student si uvědomuje vznik kuželosečky jako průniku roviny a kužele a souvislost typu kuželosečky s nakloněním roviny hyperbola, hyperbola a přímka o u jednotlivých kuželoseček vysloví přesnou geometrickou definici o podle zadání napíše středovou - 6 -

19 VII.1.B Matematika Posloupnosti a řady posloupnost, určení posloupnost vlastnosti posloupností matematická indukce aritmetická posloupnost geometrická posloupnost limita posloupnosti nekonečná geometrická řada Komplexní čísla část 1. zavedení komplexních čísel a početních operací s nimi Gaussova rovina absolutní hodnota komplexního čísla goniometrický tvar komplexního čísla řešení kvadratických rovnic s reálnými koeficienty v oboru komplexních čísel Rovnice s parametrem lineární rovnice s parametrem kvadratické rovnice s parametrem nebo vrcholovou rovnici kuželosečky, z obecné rovnice určí typ kuželosečky, střed, vrcholy, ohniska o určí vzájemnou polohu přímky a kuželosečky, napíše rovnice všech přímek majících s kuželosečkou společný právě jeden bod o student chápe posloupnost jako typ funkce se specifickým definičním oborem o pracuje s posloupnostmi zadanými pomocí vzorce pro n-tý člen i rekurentně o vysloví hypotézu a dokáže monotonii a omezenost posloupnosti o využívá matematickou indukci pro důkazy matematických tvrzení o vysloví definici aritmetické a geometrické posloupnost, zná jejich vlastnosti a umí jich využít při řešení úloh o používá geometrickou posloupnost při řešení úloh o úrokování o chápe pojem limita posloupnosti a spočítá jednoduché limity o chápe pojem nekonečná geometrická řada a řeší úlohy na její součet o student chápe zavedení imaginární jednotky a komplexních čísel o provádí základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru o znázorní komplexní čísla jako body v Gaussově rovině o odvodí absolutní hodnotu komplexního čísla jako jeho vzdálenost od počátku v Gaussově rovině o uvědomuje si možnost zápisu komplexních čísel v goniometrickém tvaru o převádí komplexní čísla v algebraickém tvaru na goniometrický a naopak o řeší kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a provádí diskusi řešení v oboru komplexních čísel o student chápe rozdíl mezi neznámou a parametrem v rovnici o provádí diskuzi řešení rovnice vzhledem k parametru v oboru reálných i komplexních čísel a získané výsledky správně interpretuje - 7 -

20 VII.1.B Matematika O K T Á V A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Komplexní čísla část 2. součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru komplexní čísla jako vektory v Gaussově rovině Moivreova věta o student vypočítá součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru o graficky provádí součet, rozdíl, součin i podíl komplexních čísel o odvodí z předchozích znalostí Na úvod opakování komplexních čísel část 1. binomické rovnice Moivreovu větu a používá ji pro kvadratické rovnice s komplexními umocňování komplexních čísel a koeficienty při řešení binomických rovnic o řeší kvadratické rovnice s Diferenciální počet spojitost funkce limita funkce derivace funkce průběh funkce Integrální počet primitivní funkce integrační metody určitý integrál užití integrálního počtu Opakování učiva komplexními koeficienty o student na základě pochopení pojmu okolí bodu definuje spojitost funkce v bodě a v intervalu o chápe pojmy vlastní a nevlastní limita a limita ve vlastním a nevlastním bodě a spočítá základní limity o uvědomuje si odvození a geometrický význam 1. derivace a spočítá derivaci jednoduché i složené funkce o využívá 1. derivaci k určení monotonie funkce a 2. derivaci k určení extrémů, konvexnosti a konkávnosti funkce o vyšetří průběh funkce a načrtne graf funkce o řeší úlohy na extrém funkce o student chápe vztah funkce a k ní primitivní funkce o určí primitivní funkci k základním funkcím, využívá metodu per partes a větu o substituci o uvědomuje si rozdíl mezi primitivní funkcí a určitým integrálem, vypočítá hodnotu určitého integrálu o využívá určitý integrál k výpočtu obsahu plochu a objemu rotačního tělesa o prohlubováním, upevňováním a procvičováním učiva se student připravuje na maturitní zkoušku - 8 -

21 Doctrina - Podještědské gymnázium, s.r.o. Oddíl E učební osnovy VII.1.B MATEMATIKA platné pro školní rok 2017/2018 pro ročník kvinta

22 VII.1.B Matematika Charakteristika předmětu: MATEMATIKA ve vyšším stupni osmiletého studia Obsah předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu matematika pro vyšší stupeň víceletého gymnázia vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace (RVP G). V matematice budeme realizovat průřezové téma Osobnostní a sociální výchovu, která prolíná všemi předměty na vyšším stupni gymnázia. Časové vymezení předmětu vyučovací hodina cvičení kvinta 3 X sexta 3 X septima 3 X oktáva 3 X Organizace výuky Vzhledem k zavedení povinné státní maturitní zkoušky z matematiky je předmět matematika povinný pro studenty kvinty až oktávy a objemem učiva reflektuje požadavky na tuto maturitní zkoušku. Protože ale připravujeme studenty také na studium matematiky na vysoké škole, jsou jednotlivá témata probírána více do hloubky oproti daným požadavkům a studentům je podle zájmu a možností nabízen volitelný rozšiřující předmět Matematické cvičení. Výuka matematiky je uskutečňována převážně frontálním vyučováním s co největším zapojením studentů do společného odvozování poznatků, využívají se ale často i prvky problémového a skupinového vyučování. Výchovné a vzdělávací strategie Matematickým vzděláním v průběhu vyššího stupně gymnaziálního vzdělání významně přispíváme k utváření a rozvoji klíčových kompetencí žáků. Matematika výrazně rozvíjí logické uvažování, abstraktní a analytické myšlení, učí srozumitelné a věcné argumentaci, formulaci problémů a jejich řešení, vyžaduje tvůrčí přístup a různorodé metody práce, podporuje samostatnost i nutnost spolupráce při řešení problémů. Významným aspektem je i rozvíjení geometrické představivosti, a to jak v rovině, tak v prostoru. Těžiště výuky spočívá v aktivním osvojení strategie řešení úloh a problémů, v ovládnutí nástrojů potřebných pro vysokoškolské studium i pro běžný život, v pěstování schopnosti aplikace. Během studia si studenti uvědomují, že matematika nachází uplatnění ve většině oborů lidské činnosti, zejména v informatice, technice a ekonomii

23 VII.1.B Matematika Podporujeme účast studentů v matematických soutěžích, jako je Matematický klokan, matematická olympiáda, a v korespondenčních soutěžích. Snažíme se tak vypěstovat u studentů trvalý zájem o matematiku, podchytit a rozvíjet matematický talent u nadaných studentů a připravovat studenty na úspěšné vysokoškolské studium. Kompetence k učení umožňujeme studentům vyzkoušet různé metody a formy činností: práce ve dvojicích nebo ve skupinách, soutěže v rámci třídy, práce s textem důraz je kladen na pochopení matematického textu nebo naopak schopnost matematizace reálné situace, využívání konzultací, rozbor testů zařazujeme problémové úlohy, zejména na odvození nových poznatků nebo na řešení praktických úloh z běžného života průběžným hodnocením výsledků jejich práce studentům umožňujeme posoudit vlastní pokrok při učení, uvědomit si případné nedostatky a hledat cesty k jejich odstraňování modelováním situací, kreslením náčrtků v geometrii rozvíjíme u studentů prostorovou představivost Kompetence k řešení problémů přecházíme důsledně od jednoduššího problému ke složitějšímu (princip postupnosti) zařazujeme problémové úlohy z praktického života (rozbor úlohy, matematizace, zvolení vhodného postupu, odhad výsledku, ověření správnosti řešení) podporujeme řešení jedné úlohy více možnými postupy (porovnání efektivity, přesnosti výsledku, využití různých znalostí, ověření výsledku jiným postupem) vedeme studenty k účasti v matematických soutěžích, kde si ověří a prohloubí své vědomosti a schopnosti Kompetence komunikativní vyžadujeme používání odborné terminologie podporujeme komunikaci studentů při řešení problému: porozumění zadání, vyhodnocení informací, zformulování problému, zdůvodnění postupu řešení, formulace výsledků využíváme práci ve skupinách nebo ve dvojicích pro důslednější komunikaci, diskuzi řešení, obhajování postupů zařazujeme práci s odborným textem pro nácvik porozumění, vyhledání podstatných informací, zhodnocení vedeme studenty k dovednosti číst grafy, diagramy a tabulky a vyhodnotit z nich informace Kompetence sociální a personální vytváříme přátelskou a kolegiální atmosféru při hodinách, kdy se student nebojí říci svůj názor před ostatními studenty ani před pedagogem nevhodná řešení se rozeberou a opraví, ale nezesměšní rozebíráme při hodinách se studenty jejich výkony a pokroky a vedeme je ke schopnosti objektivně zhodnotit vědomosti a dovednosti své i svých spolužáků - 2 -

24 VII.1.B Matematika podporujeme práci ve skupinách, schopnost zapojit se do společné činnosti, uplatnit své individuální schopnosti, ale respektovat názory druhých vedeme studenty ke spolupráci a pomoci vytváření doučovacích skupinek během výuky s cílem o co nejlepší výkon každého člena Kompetence občanské seznamujeme studenty s historií a vývojem matematiky od úplných počátků a vedeme je k respektu ke schopnostem a dovednostem našich předků zařazujeme úlohy týkající se ekologie, odpadů, jiných národností, zdravého životního stylu apod. a diskutujeme o nich vytváříme přátelskou atmosféru ve třídě, kdy oceňujeme výkony i slabších studentů Kompetence k podnikavosti podporujeme u studentů samostatnou aktivitu, oceňujeme jejich vlastní přínos do výuky zařazujeme do výuky úlohy zabývající se například výpočtem nákladů na různé stavební či opravárenské práce, úlohy na porovnávání výhodnosti té které nabídky po zvážení všech faktorů posilujeme sebevědomí studentů vhodně volenými úkoly a následným zhodnocením - 3 -

25 VII.1.B Matematika Rozpracování vzdělávacího obsahu vyučovacího předmětu K V I N T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Nelineární rovnice a nerovnice kvadratické rovnice a nerovnice nerovnice v součinovém a podílovém tvaru rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou o student používá vhodné metody řešení jednotlivých typů rovnic a nerovnic o přihlíží ke specifikům jednotlivých typů rovnic (jako jsou podmínky řešitelnosti, nutnost zkoušky jako iracionální rovnice součást řešení a pod.) rovnice s neznámou ve jmenovateli o zná a využívá princip nulových soustavy s kvadratickou rovnicí bodů o vychází z definice absolutní Funkce definice, graf, základní vlastnosti funkcí lineární funkce kvadratická funkce lineární lomená funkce funkce s absolutní hodnotou mocninné funkce inverzní funkce n-tá odmocnina, počítání s mocninami exponenciální funkce, rovnice logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Stereometrie polohové vlastnosti základních geometrických útvarů řezy na tělesech průsečíky přímky s tělesem a s rovinou metrické vlastnosti odchylky, vzdálenosti, kolmost shodná a podobná zobrazení v prostoru tělesa objem a povrch hodnoty o student chápe funkci jako závislost veličin, chápe pojmy definiční obor, obor hodnot, vztah mezi funkcí a jejím grafem o podle zadání rozpozná typ funkce, určí její definiční obor, průsečíky s osami, načrtne graf funkce a na základě grafu určí monotonii, paritu, omezenost a obor hodnot funkce o využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic o k dané funkci najde funkci inverzní a sestrojí její graf o převede odmocniny na mocniny a využívá vzorce pro práci s mocninami o porovnává hodnoty exponenciálních a logaritmických funkcí na základě jejich grafů o řeší základní typy exponenciálních a logaritmických rovnic, využívá substituce o chápe pojem logaritmus, využívá věty o logaritmech při úpravách výrazů a při řešení logaritmických rovnic o řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích o student užívá správně geometrické pojmy o určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů v prostoru, jejich odchylky a vzdálenosti o užívá volného rovnoběžného promítání ke znázornění geometrických útvarů o využívá svých znalostí a prostorové představivosti k řešení úloh na tělesech o převádí své poznatky o shodných a podobných zobrazeních do prostoru a využívá jich k řešení Rozvíjení prostorové představivosti Zdokonalování práce s rýsovacími potřebami, nácvik přesného a čistého rýsování - 4 -

26 VII.1.B Matematika úloh o spočítá povrch a objem základních geometrických těles S E X T A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Goniometrie a trigonometrie orientovaný úhel funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens obecného úhlu výrazy a rovnice s goniometrickými funkcemi sinová a kosinová věta, řešení obecného trojúhelníku Kombinatorika základní kombinatorická pravidla variace, permutace a kombinace bez i s opakováním vlastnosti kombinačních čísel, Pascalův trojúhelník binomická věta Pravděpodobnost náhodné pokusy pravděpodobnost jevů pravděpodobnost sjednocení jevů nezávislé jevy binomické rozdělení podmíněné pravděpodobnosti o student chápe pojem orientovaný úhel a přiřadí mu správnou velikost ve stupních nebo v radiánech o rozšíří své znalosti o goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku na goniometrické funkce libovolného orientovaného úhlu, uvědomuje si periodičnost funkcí o odvodí vlastnosti a grafy goniometrických funkcí z jednotkové kružnice o na základě svých předešlých znalostí práce s grafy načrtne grafy i složitějších goniometrických funkcí o využívá goniometrické vzorce při úpravách výrazů a při řešení rovnic o s ohledem na periodičnost goniometrických funkcí určuje správně množinu všech řešení goniometrických rovnic o používá sinovou a kosinovou větu k řešení obecného trojúhelníku a je schopen aplikovat znalosti na úlohy z praxe o student využívá kombinatorická pravidla součinu a součtu pro řešení jednoduchých kombinatorických úloh o chápe rozdíl mezi uspořádanými a neuspořádanými k-ticemi a správně volí v úlohách použití variací nebo kombinací o je schopen podle zadání konkrétní úlohy volit vhodný postup a řešit kombinatorické úlohy bez i s opakováním prvků o využívá vlastností kombinačních čísel pro úpravy výrazů a řešení rovnic s těmito čísly o odvodí binomickou větu s využitím Pascalova trojúhelníku a používá ji pro umocnění dvojčlenu o student ovládá základní pojmy pravděpodobnosti o rozlišuje mezi množinou možných a množinou příznivých výsledků a s využitím kombinatoriky určí a spočítá pravděpodobnost jevu o využívá svých znalostí o množinách k určení Práce s kalkulátorem - určování hodnot goniometrických funkcí - 5 -

27 VII.1.B Matematika pravděpodobnosti sjednocení jevů o početně rozhodne o závislosti či nezávislosti jevů o rozhodne o vhodnosti použití binomického rozdělení k výpočtu pravděpodobnosti a určí výsledek o řeší jednoduché úlohy na podmíněné pravděpodobnosti S E P T I M A Učivo Očekávané výstupy Poznámky Statistika o student správně používá základní statistický soubor, jednotka znak pojmy statistiky, uvědomuje si tabulka četností, relativní četnost souvislost mezi velikostí aritmetický průměr, modus, medián statistického souboru a objektivitou směrodatná a mezikvartilová výsledku odchylka o na základě získaných dat sestaví tabulku četností a určí relativní četnosti o u statistického souboru rozhodne, kterou charakteristiku polohy (aritmetický průměr, modus, medián)a variability (směrodatná nebo mezikvartilová odchylka) zvolit a tu potom spočítá o znázorní získané statistické Analytická geometrie souřadnice bodu vektory, operace s vektory, skalární a vektorový součin geometrie v rovině lineární geometrie v prostoru Analytická geometrie kuželoseček kružnice, kružnice a přímka elipsa, elipsa a přímka parabola, parabola a přímka hyperbola, hyperbola a přímka výsledky pomocí vhodného grafu o student si představí a znázorní bod zadaný pomocí souřadnic v rovině i v prostoru o spočítá střed a délku úsečky z jejích krajních bodů o chápe vektor jako množinu orientovaných úseček, vektory graficky i početně sčítá, odčítá, násobí reálným číslem o určí skalární a vektorový součin vektorů, chápe jejich rozdíl, geometrický význam a použití o určí přímku v rovině pomocí parametrického vyjádření, obecnou rovnicí i směrnicovým tvarem o řeší polohové a metrické úlohy v rovině (vzájemná poloha a průsečík přímek, kolmost, odchylky, vzdálenost bodu od přímky) o vyjádří přímku a rovinu v prostoru o řeší polohové a metrické úlohy v prostoru (vzájemná poloha bodů, přímek a rovin, jejich průniky, kolmost, odchylky, vzdálenosti) o student si uvědomuje vznik kuželosečky jako průniku roviny a kužele a souvislost typu kuželosečky s nakloněním roviny o u jednotlivých kuželoseček vysloví přesnou geometrickou definici o podle zadání napíše středovou - 6 -