k d K: a!b Hammingova vzd lenost: v ha slova po et jedni ek

Transkript

1 ezpe nostn k dy ezpe nostn k dy 2 EZPE NOSTN K DY chyby? pam, - cesta, - a jednotka, d = KN L? d 6= a d = a modely kan l (charakter chyb): kan l symetrick : pravd(!)=pravd(!) nesymetrick : 6= s v mazem kan l bez pam ti nez visl chyby s pam t shluky chyb 9 8 a =>= >< 3 chyby nebo d = shluk d lky 4 anebo ### > >: 2 shluky d lky a 2 a d NLP2/ k 9995 c Pluh ek ezpe nostn k dy 3 kod r e n dekod r a K k n KN L n D k m s b? c d m m m m m m - syndrom a =(a a k ) b =(b b n) slovo, vektor, znak, ( ( k dov, p pustn, slova nebo znaky nek dov, nep pustn ozn: = fk dov slovag k d K: a!b!!! n kdy pouze!!! a K K 2 K 3 NLP2/ k c Pluh ek b ezpe nostn k dy 4 dvojkov k d: b i 2f g blokov k d (n,k) ur enon a k 9 k informa n (rozhodovac ) obsah, >= shannon m ra informace, informa n entropie m = n;k redundance, nadbyte nost > (nespr bit) 9 k=n norma k du, p enosov rychlost, >= pom rn (relativn ) m ra informace m=n pom rn (relativn ) redundance > % ( informa n st systematick k d: slovo kontroln st nap K, K 3 syst K 2 nesyst chyby: vektor chyb e =bc c =b e () b =c e zji ov n chyb: c 62 oprava chyb: c nahradit nejpodobn j m b K 3 c = 62 f g b = = =) d= e = detek n k d detekce (zji t n ) chyb samoopravn k d korekce (oprava) chyb bezpe nostn k d detek n / samoopravn k d NLP2/ k c Pluh ek Hammingova vzd lenost: slov b' ab": vzd(b',b") po et odli n ch bit K k du k dov vzd lenost kvzd = min vzd(b',b") nap pro K 3 : kvzd= 3 v ha slova po et jedni ek K vzd(b',b") = v ha(b'b") NLP2/ k c Pluh ek

2 ezpe nostn k dy 5 ezpe nostn k dy 6 geometrick interpretace vzd lenosti: detekce: dch < kvzd dch detekovateln chyby oprava: kvzd= 4 dch 3 2 och ch D K 2ch D D 3ch D # 4ch N N dch + och < kvzd och opraviteln chyby och dch D detekce (bez korekce) K korekce N nic # patn korekce SED j j # j j D etecting j # orrecting # E rror S ingle Double T riple Q uadruple kvzd 2 SED 3 SE nebo DED 4 SE-DED nebo TED NLP2/ k 5 22 c Pluh ek ezpe nostn k dy 7 Jednoduch bezpe nostn k dy opakovac k d (n, ): b = = bn = a kvzd = n velk redundance =) mal informa n obsah 2 koktav k d (jk, k): jkr t se opakuje tot (k bit ) velk redundance =) mal informa n obsah 3 parita (k+, k): b =(a ( a k, p) sud : p = a parita a k lich : p = a a k minim ln redundance pouze detekce chyby 4 p n a pod ln parita: k =4=22 a a 2 p a 3 a 4 p 2 p 3 p 4 kvzd =3 k d (8,4) a a 2 p a 3 a 4 p 2 p 3 p 4 p 5 kvzd =4 k d (9,4) NLP2/ k c Pluh ek NLP2/ k c Pluh ek jeden Hamming v k d jeden Hamming v k d k d (7,4) p = a a 2 a 4 p 2 = a a 3 a 4 p 3 = a 2 a 3 a 4 kvzd =3 =) SE (nebo DED) b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 a a 2 a 3 a 4 p p 2 p 3 b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 p p 2 a p 3 a 2 a 3 a 4 x x x x x x x x x x x x NLP2/ k c Pluh ek

3 jeden Hamming v k d 2 jeden Hamming v k d 3 b = a a 2 a 4 b 2 = a a 3 a 4 b 3 = a b 4 = a 2 a 3 a 4 b 5 = a 2 b 6 = a 3 b 7 = a 4 b = b 3 b 5 b 7 b 2 = b 3 b 6 b 7 b 4 = b 5 b 6 b 7 dn chyba =) c i = b i nap : c = c 3 c 5 c 7 =) c c 3 c 5 c 7 = b =a G generovac matice s =c H T kontroln matice s 3 = c c 3 c 5 c 7 s 2 = c 2 c 3 c 6 c 7 s = c 4 c 5 c 6 c 7 e s dky ka d z matic tvo b zi tzv vektorov ho neboli line rn ho prostoru dom c kol: Najd te generovac a kontroln matici pro d ve uveden k dy! Pro lichou paritu a pro k d K 2 bysev m to v ak nem lo poda it NLP2/ k c Pluh ek NLP2/ k c Pluh ek M v bec smysl pou vat bezpe nostn k dy??? SED: polovina chyb??? SE: n z 2 n ; chyb?????? Pravd podobnost: P pravd podobnost v skytu chybn ho bitu ; n bit i chybn ch: ni P i ( ; P ) n ; i jinak: P P = ;9 32b / sec n jak chyba: 32 ;9 3 sec SED (33,32): n jak chyba: 33 ;9 sud po et chyb: 5,3 ;6 6,3 rok SE (38,32): n jak chyba: 38 ;9 neopraviteln chyba: 7 ;6 46, rok NLP2/ k c Pluh ek

4 line rn k dy vektorov / line rn prostor mno ina v ech slov dvojkov ho blokov ho k du & operace: vektorov neboli line rn prostor V se skal rn m sou inem nad t lesem GT(2) Galoisovo (kone n ) 2prvkov t leso GT(2) f,g + XOR ND [eld] x+t=y, x=y+t =) od t n s t n t 2 GT(2) skal r v =(v v n) 2 V vektor operace: sou et vektor belova (komutativn ) grupa n soben vektoru skal rem: v = v = v asociativn z kon: (s t) v = s (t v) distributivn z kony: (s + t) v = s v + t v t (u + v) =tu + t v NLP2/ Lin k c Pluh ek line rn k dy 3 line rn k dy 2 skal rn sou in vektor u av: (u u n) (v vn)=u v + + u nvn p : = ++++ = ortogon ln vektory: u? v, u v = p :? Podprostor W prostoru V : W V uzav enost Podprostor W je s m prostorem V echny line rn kombinace vektor u ::: v tvo vektorov (line rn ) prostor Vektory line rn nez visl =) b ze (prostoru) Stejn po et vektor ka d b ze! dimenze ortogon ln dopln k U kprostoru V : U?V u 2 U () (8u 2 U )(8v 2 V ) u?v U je prostor, tzv nulov prostor prostoru V U?V () V?U ortogonalita prostor () ortogonalita b z v 2 V () (8u 2 U ) u?v NLP2/ Lin k c Pluh ek line rn k dy 4 Line rn k dy k dov slova tvo line rn prostor popis line rn ch k d : matice grupov k dy dvojkov (?) line rn k dy b = a a g a k g k b = lin komb g ::: g k g i = it dek G v echna b =ag! line rn prostor b ze: g ::: g k dky G lin nez visl (Pro?) G! prostor V H! prostor U (= V?U dky H lin nez visl (Pro?) G H T = G: k n, H: m n =) m + k = n b =a G b H T =a G H T = s =c H T c =b + e s =e H T chyba v pozic ch =) syndrom z vis pouze na chyb e i i-t sloupech i a j i-t + j-t sloupech = po et lin nez visl ch sloupc matice H dch kvzd s T kvzd= + c 2 V () (8u 2 U ) c u = c 2 V () c H T = NLP2/ Lin k c Pluh ek NLP2/ Lin k c Pluh ek

5 line rn k dy 5 line rn k dy 6 (Ik, F) systematick k d (F T,Im) Ij jednotkov matice j j element rn operace s dky: z m na dk p i ten line rn kombinace jin ch dk (n soben dku nenulov m skal rem) G! G' H! H' t mno ina k dov ch slov jin (vyhovuj c ) kontroln matice!!! syndromy maj jin v znam!!!? element rn operace +? + v e uveden vztahy Nelze-li *: permutace sloupc nalezen matice opa n permutace sloupc oprava chyby =) vz jemn r zn sloupce H: elementent rn operace: + 2! ' 3+ '! 3' 2+ 3'! 2' H' = Hamming v k d (7,4) trochu jin NLP2/ Lin k c Pluh ek line rn k dy 7 NLP2/ Lin k c Pluh ek line rn k dy 8 kod r dekod r NLP2/ Lin k c Pluh ek NLP2/ Lin k c Pluh ek

6 k dov vzd lenost: line rn k dy 9 vzd(b',b") = v ha(b' b") lin k d =) b' b" jek dov slovo lin k d =) kvzd = minim v ha 6= lin k d K lich k dov vzd lenost lin k d K k d K + parita (sud ) kvzd(k )=kvzd(k) + Hamm k: kvzd =3 Hamm k + parita: kvzd =4 # roz en Hamming v k d p n a pod ln parita analogicky kvzd: 3! 4 Hammingovy k dy perfektn k dy SE v echny syndromy vyu ity kvzd =3 n =2 m ; k = n ; m m k d (3,) (7,4) (5,) (3,26) odvozen k dy: men k =) n nap k dy (2,8), (2,6), (38,32), roz en Hammingovy k dy kvaziperfektn k dy SE{DED v echny syndromy vyu ity s = xxx =) chyba s = xxx =) 2chyby (krom s = ) ( dn chyba) obecn : kvzd =4 n =2 m ; k = n ; m m k d (4,) (8,4) (6,) (32,26) NLP2/ Lin k c Pluh ek NLP2/ Lin k c Pluh ek

7 K dy RM K dy RM 2 k dy RM (Reed { Muller) parametry: a j lenn logick sou iny prom nn ch (pomocn ch) =3 j sou iny G G # 2 2 G # # 3 G 3 # 2 G G G G G G 2 G kvzd =2 ; n =2 k = po et dk G NLP2/ Lin k 92 c Pluh ek K dy RM 3 RM (, 3) =3, =, kvzd =4 n =8, k =4, k d (8,4) SE-DED b = a b 2 = a + a 4 b 3 = a + a 3 b 4 = a + a 3 + a 4 b 5 = a + a 2 b 6 = a + a 2 + a 4 b 7 = a + a 2 + a 3 b 8 = a + a 2 + a 3 + a 4 a 4 = b + b 2 = b 3 + b 4 = = b 5 + b 6 = b 7 + b 8 a 3 = b + b 3 = b 2 + b 4 = = b 5 + b 7 = b 6 + b 8 a 2 = b + b 5 = b 2 + b 6 = = b 3 + b 7 = b 4 + b 8 NLP2/ Lin k 2 82 c Pluh ek K dy RM 4 p klad { pokra ov n a =(a a 2 a 3 a 4 )=( a a), kde a =(a ) a a =(a 2 a 3 a 4 ) b = a ( a a) b G G = a b ; a G = a G + a G b = (b b 2 ::: b 8 ) = a ( ) b = (b b 2 ::: b 8 ) = (a a ::: a ) a = b = b 2 = = b 8 =2 b = a ( a a 2 a) G G G = a G + a G + 2 a 2 G Ur it 2 a 2 Ur it b = b ; 2 a 2 G 3 Ur it a 4 Ur it b = b ; a G 5 Ur it a = a N kter k dy RM n k m kvzd = NLP2/ Lin k 3 82 c Pluh ek NLP2/ Lin k 4 92 c Pluh ek

8 K dy H K dy H Kone n (Galoisova) t lesa Pro ka d prvo slo p apro ka d p irozen j> existuje pr v jedno kone n t leso GT(p j ), kter m p j prvk!!! Jin kone n t lesa neexistuj GT(4) = GT(2 2 ) + }~ } }~ ~ ~} }~ ~} }~ } }}}} ~ }~ } ~ }~ nap : + ~ = nebo ~= } nula (} =) ~ jedni ka (~ =) Vka d m kone n m t lese existuje primitivn prvek, tzn takov prvek, e (8 6= ) (9i) = i = = = = = = = 2 = = 2 = ~ = 3 = ~ = 3 = NLP2/ Lin k 5 82 c Pluh ek K dy H 3 + K dy H 2 == (lze v ak pou t tak =) = 2 = 3 == S t n : XOR nap : += N soben : i j = i + j,nap = 2 = 3 = = = GT(6) = GT(2 4 ) i i 2 3 i i i i 8 9 i i NLP2/ Lin k 6 82 c Pluh ek K dy H 4 k dy H (ose { haudhuri { Hoquenghem) (zjednodu eno) k dy (n,k) pro opravu t chyb (tj k d t E) n =2 ; a m = n ; k je primitivn prvek t lesa GT(2 m ) 2 n kvzd = 3 SE 3 6 3n 2 n kvzd =5 DE 5 5n 3 6 3n 2 n kvzd =7 TE n =3 =) GT(32) =) 5bitov prvky kvzd =3 =) m =5 =) k d (3,26) kvzd =5 =) m = =) k d (3,2) atd Pozn: Uveden k dov vzd lenost je tzv zaru en Skute n k dov vzd lenost m e b t v t NLP2/ Lin k 7 82 c Pluh ek k d(5,7) Roz en k dy H parita nav c ) oprava t chyb detekce t+ chyb (srov roz en Hamming v k d) N kter roz en k dy H kvzd n k n k n k (!) (!) (!) (!) (!) (!) (!) (!) (!) (!) NLP2/ Lin k 8 2 c Pluh ek

9 Mnoho leny nad t lesem GT(2) Mnoho leny nad t lesem GT(2) 2 K dy a mnoho leny mnoho leny nad t lesem GT(2): (x) = c n; x n; + + c x + c c i 2 GT(2) x 2?!!! Mnoho leny stupn <n: vektorov /line rn prostor (bez skal rn ho sou inu) izomorfn s prostorem uspo dan ch ntic: c n; x n; + + c (c n; ::: c ) p : n =7 x 5 +x 3 +x+ izomore jen: sou et & n soben skal rem N soben mnoho len (x) = G(x)(x) =(x 3 +x+) (x 3 +x) x 6 +x 5 +x 4 +x 3 G(x)x 3 x 5 +x 4 +x 3 +x 2 G(x) x 4 +x 3 +x 2 +x G(x)x x 3 +x 2 +x+ G(x) x 6 +x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+ = (x) zkr cen z pis : b =g a (zde neozna uje skal rn sou in!) Mnoho leny: n soben a d len mnoho len obv postup analogie s okruhem cel ch sel d litelnost NLP22/3 ykl k 52 c Pluh ek Mnoho leny nad t lesem GT(2) 3 NLP22/3 ykl k c Pluh ek Mnoho leny nad t lesem GT(2) 4 (x) = x 6 +x 2 +x D len mnoho len G(x) = x 3 +x+ x 6 +x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x + =) x 3 x 6 +x 5 +x 4 +x 3 - x 5 +x 4 +x 3 +x 2 =) x 2 x 5 +x 4 +x 3 +x 2 - x 4 +x 3 +x 2 +x =) x x 4 +x 3 +x 2 +x - x 3 +x 2 +x + =) x 3 +x 2 +x + - x 2 +x zbytek (x) % G(x) = x+ pod l (x) G(x) = x 3 +x+ ( D len mnoho len 2 (x) : G(x) (x) = x 6 +x 2 +x = c 6 x c G(x) = x 3 +x+ = g 3 x g := # j j j j #j j # zkr cen z pis : (x) G(x) (x) % G(x) (x) G(x) NLP22/3 ykl k c Pluh ek NLP22/3 ykl k c Pluh ek

10 Mnoho leny nad t lesem GT(2) 5 K dy generovan mnoho lenem D litelnost mnoho len deg P (x) stupe mnoho lenu P (x) deg = ; (?) deg (P (x)g(x)) = deg P (x) +deg G(x) G(x) 6= deg (P (x)%g(x)) < deg G(x) deg (P (x)g(x)) =degp (x) ; deg G(x) P (x)%g(x) = () G(x) j P (x) 6= () G(x) 6 j P (x) G(x) j P (x) () 9Y (x) P (x) = G(x)Y (x) G(x) je d litelem P (x) nerozlo iteln (ireducibiln ) mnoho len P (x): nem jin d litele ne a P (x) obdoba prvo sel rozklad na prvo initele je jednozna n prvo initel = nerozlo iteln mnoho len pro GT(2)! K dy generovan mnoho lenem G(x) = x m + g m; x m; + + g x + m =degg(x) > G(x) generovac mnoho len (x) a k bit =) k; deg (x) (x) = (x) G(x) (x) b n bit =) n; deg (x) n = k + m m = deg G(x) redundance G(x) = x 3 +x+ a = b = (viz p na n soben mnoho len ) Pozorov n : x j G(x) =) (x) = (x) x =) b =xx Z v r: mus platit x 6 j G(x) x 7 +=(x 3 +x 2 +) (x 3 +x+) (x+) NLP22/3 ykl k c Pluh ek K dy generovan mnoho lenem 2 NLP22/3 ykl k 6 32 c Pluh ek K dy generovan mnoho lenem 3 Pozorov n : (x) =a k; x k; + + a (x) G(x) = a k; G(x) x k; ++a G(x) G(x) x k;,, G(x) line rn nez visl b ze line rn ho prostoru (x) G(x) v echny line rn kombinace Z v r: K d generovan mnoho lenem je line rn G(x) = x 3 +x+ g m g m; g m g kol: Ov te, e k dy generovan mnoho lenem G(x) a matic G jsou stejn Najd te kontroln matici H a v imn te si, e je to matice Hammingova k du (7,4) (x) b vyslan slovo (x) c p ijat slovo E(x) e chybov mnoho len (x) = (x) + E(x) S(x) = (x) % G(x) syndrom (x) % G(x) = S(x) = E(x) % G(x) syndrom z vis pouze na chyb ch E(x) = E (x) x j x 6 j E (x) E(x) shluk chyb d lky l =(dege (x))+ E(x) shluk chyb d lky 4 E (x) j =2 deg E (x) =3 detekce chyb: S(x) = E(x) % G(x) =? x 6 j G(x) =) x j nem vliv E (x) % G(x) =? E (x) 6= & deg E (x) < deg G(x) =) =) E (x) % G(x) 6=, tedy: detekce shluk chyb d lky l m = deg G(x) G(x) = x 6 + =) l 6 NLP22/3 ykl k c Pluh ek NLP22/3 ykl k c Pluh ek

11 yklick k dy yklick k dy 2 yklick k dy () line rn k dy (2) cyklick posuv k dov ho slova! k dov slovo K cyklick (viz k 2) K 2 nespl uje () K 3 nespl uje (2) d le p edp: G(x) j (x n ; ), tzn: 9H(x) G(x) H(x) = x n ; H(x) kontroln mnoho len (m podstatn men v znam ne kontroln matice) Pozorov n : (x) = b n; x n; + + b = G(x) (x) cykl pos vlevo: (x) = (x) x ; b n; x n + b n; = = (x) x ; b n; (x n ; ) = = (x) G(x) x ; b n; G(x) H(x) = Z v r: =[(x) x + b n; H(x)] G(x) Mnoho len G(x) generuje cyklick k d G(x) = x 3 +x+ G(x) j (x 7 ; ) k d (7,4) generovan G(x) je cyklick K cyklick k d =) 9K': k dy K a K': stejn mno ina k dov ch slov k d K': generov n mnoho lenem G(x) G(x) 6= nejni stupe k d K je cyklick (viz k 2) k d K ': G(x) = x + t mno ina k dov ch slov: f,,, g NLP22/3 ykl k 9 82 c Pluh ek yklick k dy 3 NLP22/3 ykl k 32 c Pluh ek yklick k dy 4 Systematick cyklick k dy (x) = (x) G(x) k d nen systematick (existuj v jimky) Systematick k d: (x) = (x) x m + (x) x m %G(x), kde m = deg G(x) G(x) = x 3 +x+ (x) (x) x 3 (x) x 3 % G(x) (x)!!! Mno ina k dov ch slov je u obou k d stejn!!! NLP22/3 ykl k 52 c Pluh ek N kter cyklick k dy: G(x) =x + (x) = G(x) (x) x = =) G(x) =G() = =) (x) = =) (x) =b n; + + b = =) parita (sud ) G(x) =x m + x m mod G(x) kongruence stejn zbytek po d len (x) = j (x) (x m ) j + + (x) (x m ) (x) j (x) ++ (x) mod G(x) =) pod ln parita mtic bit (sud ) Hammingovy k dy nap : G(x) = x 3 + x + k d (7,4) G(x) = x 4 + x + k d (5,) G(x) = x 5 + x 2 + k d (3,26) H k dy (viz line rn k dy) RS k dy Reed { Solomon Fireovy k dy NLP22/3 ykl k 2 72 c Pluh ek

12 Fireovy k dy Fireovy k dy 2 d r mnoho lenu P (x) je nejmen takov r, e P (x) j (x r ; ) d x 3 +x+ je roven 7 (ale stupe je roven 3) x i ; j x j ; () i j j 6 6 shluky chyb E (x) a E 2 (x) E (x) = E (x) x i x j E (x) E 2 (x) = E (x) x j x j E (x) deg E (x) +deg E (x) <q j i ot zka: Kdy E (x) E 2 (x) mod x q + vahy: E (x) ; E 2 (x) mod x q + (E (x)+e (x) x j;i ) x i mod x q + x i neobsahuje prvo initele x q + E (x)+e (x) x j;i mod x q + odpov : Pr v kdy E (x) = E (x) a q j j;i E (x) = E (x) = E (x) deg E (x) < deg P (x) a P (x) m d r ot zka: Kdy E (x) (x j;i +) mod P (x) odpov : Pr v kdy r j j;i NLP22/3 ykl k 3 82 c Pluh ek Fireovy k dy P (x) nerozlo iteln mnoho len du r Q(x) = x q +! q a r nesoud ln - p = deg P (x) q =degq(x) n = NSN (q, r) nejmen spole n n sobek G(x) = P (x) Q(x) generovac mnoho len nbitov ho Fireova k du l l 2 ( l + l 2 q+ l p detekce shluk chyb d lky l 2 oprava shluk chyb d lky l 6 P (x) = x 3 +x+ =) p=3 r=7 Q(x) = x 5 + =) q=5 q j p n =35 l = l 2 =3 nebo l =2 l2 =4 anebo l = l2 =5 NLP22/3 ykl k 4 82 c Pluh ek Fireovy k dy 3 Prodlou en Fireovy k dy M sto jednoho mnoho lenu P (x) se pou ije n kolik mnoho len P (x), P 2 (x), D lka k dov ho slova: n = NSN (q, r, r 2,), kde r, r 2, jsou dy P (x), P 2 (x), P (x) = x +x 7 +x 6 +x+ P 2 (x) = x 2 +x ++x+ P 3 (x) = x +x 9 +x 7 +x 6 +x 5 +x+ Q(x) = x 22 + G(x) = P (x) P 2 (x) P 3 (x) Q(x) k d ( , ), tzn m=56 shluky d lky Oprava shlukuchyb (princip Meggittova dekod ru) 6 cyklick k d: 9H(x) G(x) H(x) = x n + x n = G(x) H(x) + syndrom: S(x) = E(x) % G(x) shluk chyb: E(x) = E (x) x j x j E (x) E(x) x n;j = E (x) x n E(x) x n;j = E (x) G(x) H(x) + + E (x) E(x) x n;j E (x) S(x) x n;j E (x) deg E (x) deg G(x) mod G(x) mod G(x) E (x) =(S(x) x n;j )%G(x) oprava: Po t se S(x), S(x) x, S(x) x 2, atd, dokud nen v sledkem mnoho len, kter p slu opraviteln chyb V sledn mnoho len je roven E (x) apo etproveden ch krok ur uje hodnotu j NLP22/3 ykl k 5 82 c Pluh ek NLP22/3 ykl k 6 82 c Pluh ek