matematika vás má it naupravidl

Transkript

1 VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti. P edstv, které se pejortivn íká kupecké po t. Potí s mtemtikou tkví v tom, e áci nev dí, e ísl ádné mno ství neozn ují, le e jsou to smbol ve h e se zcel p esnými prvidl, i kd se ísl djí pou ít k ozn ení mno ství i délk i úhlu, je to sice velmi u ite né, le pro hru zvnou mtemtik zcel nepodsttné. Up esn ní význmu slov VÝRAZ má pomoci v lep ím vhledu do logik mtemtik. ALGEBRAICKÝ VÝRAZ je p edpis jedné nebo více mtemtických opercí. OPAKOVÁNÍ m Je výrzem? + ANO Je to p edpis, který obshuje blí e neur ené znk (; m; ; nevíme zd jsou to konstnt i prom nné neznáme jejich hodnotu operátor násobení, umoc ování, d lení (co je operátorem d lení v dném p íkldu? s ítání. ÍKLADY (není, neobshuje operátor b + c d e b f b g 5c h 5. b c b Pro jednou pí eme operátor násobení ( c Operátor násobení pí eme jenom Tm, kde je to nezbtn nutné (np. Pro v í p ehlednost podruhé jej nepí eme (b? n rozdíl od i ( j 8 (není, to je u rovnice; srovnání mtemtického výrzu n jedné strn s hodnotou znku n druhé strn k l b 5 m n (není, neobshuje operátor o (není, je to nerovnice; srovnávání hodnot znk Mtemtik vás nemá it nupo ítt, mtemtik vás má it nuprvidl m jejich ívání pou

2 ZAPI TE JAKO VÝRAZ sou et dvojnásobku znku ísl dvojnásobek sou tu znku ísl 5. ( + 5 druhou mocninu rozdílu znk m n. (m n rozdíl druhých mocnin znk m n... m n 5 sou in výrz r s zmen ený o jejich rozdíl. rs (r s nebo tké rs r + s 6 rozdíl výrz r s (v tomto po dí zv ený o jejich sou et r Ve t íd je d dívek chlpc je o mén ne dívek. Zpi výrzem po et ák d 8 Sd esti výrobk stojí v K. Jkou ástku stojí 5 výrobk? 5 v 6 9 Rchlík jede pr rnou rchlostí b kilometr z hodinu. b Jkou dráhu ujede z minut? 60 0 Auto ujelo z hodin km. Kolik kilometr ujede uto stejnou rchlostí z hodin? Známe íselné výrz np. π ;, výrz s prom nnou np. 5 je-li prom nná ve zlomku (jko v dném p íkldu jde o lomený výrz. Prom nnou ve výrzu rozumíme znk, který ozn uje libovolné íslo z ur ité mno in, kterou nzýváme obor prom nné nebo defini ní obor výrzu. Pokud není obor prom nné výslovn ur en, pov ujeme z obor prom nné mno inu v ech ísel, která lze do výrzu dosdit, ni ztrtí smsl n která z uvedených opercí (nedochází np. k d lení nulou, odmoc ování záporného ísl pod.. íkáme, e pro hodnot z defini ního oboru má výrz smsl. Dosdíme-li z prom nné do výrzu libovolná ísl, pro která má dný výrz smsl, provedeme v echn p edepsné operce, dostneme jko výsledek íslo hodnotu výrzu. Vhodno, který p íkld je výrzem uve mno inu, ve které má smsl + qq πε r 0 π 8 πr Je výrzem má smsl: v mno in p irozených ísel N, v mno in celých ísel Z, v mno in rcionálních ísel Q v mno in reálných ísel R Je výrzem má smsl: v mno in celých ísel Z, v mno in rcionálních ísel Q v mno in reálných ísel R. V mno in p irozených ísel N smsl nemá, proto e v bodu je hodnot výrzu rovná nule nul do mno in p irozených ísel nept í. Je výrzem má smsl: v mno in rcionálních ísel Q v mno in reálných ísel R. Je výrzem má smsl: v mno in kldných reálných ísel R + { ; 0} 5Je výrzem má smsl: v mno in ovoce (plod td. R.

3 b 6Je výrzem má smsl: v mno in reálných ísel R { 0 } ( teno: v mno in reálných ísel mimo bodu r 0. Není výrzem. 8Je výrzem má smsl: v mno in p irozených ísel N, v mno in celých ísel Z, v mno in rcionálních ísel Q v mno in reálných ísel R 9Je výrzem má smsl: v mno in domácích zví t 0 Není výrzem Je výrzem má smsl v mno in rcionálních ísel Q {} teno: v mno in reálných ísel mimo bodu jedn v mno in reálných ísel R {} Je výrzem má smsl: v mno in rcionálních ísel Q v mno in reálných ísel R. Udejte, kd mjí smsl následující výrz: d ( 0 b + ( ( f ( ( 0 c (, e + g + (v mno in R v d ( (v mno in R v d Ted defini ními obor výrz jsou: R { 0 }, b R { 0 }, c R {}, d R { } f { R ; }, g R Hodnot výrzu Ur ete hodnotu výrzu: 5 6 pro pro ; 6 9 pro pro ; pro 0; 0,5; ; ; 0; 0,5; ; 8; c d pro ; 0; ; ; e 5( ( 9 ; ; ; 6 5 ; ;, e R, + pro ; ; ; 5; 5; 5; 5 f ( ( pro ; ; ; ; 6; 5; 5 Zjednodu te výrz správnost výrzu ov te doszením + 8; do dného i uprveného výrzu. Výrz u pt í do zvlá tní ktegorie výrz, kterým se íká mnoho len. Mnoho len s jednou prom nnou je výrz tvru np. b + c 5; kde, b, c jsou koeficient mnoho lenu je prom nná. Výrz, b, c 5 jsou len (jedno len mnoho lenu. Pojem mnoho lenu lze ilustrovt i n p ípdu více prom nných, kde místo mocnin jedné prom nné jsou sou in mocnin n kolik prom nných. Uvedu n kolik p íkld : ; + ; + z ; + z + z Se ítt od ítt m eme jen t len mnoho lenu, které se li í nnejvý koeficientem:

4 ( ( i násobení mnoho len je t eb k dý len jednoho mnoho lenu násobit k dým lenem druhého mnoho lenu. P i násobení jednotlivých len se ídíme prvidlem pro násobení mocnin: m. n m+ n íkld: ( ( ( 6 + (. + (.5 + (.( Zvlá tním p ípdem násobení mnoho len je druhá mocnin dvoj lenu tk zvný rozdíl tverc. Postupujeme podle vzorc : A+ B A + AB+ B ; A B A AB+ B ; ( A+ B( A B A B Pro jsou len dvoj lenu on en velkým písmenem? Proto e ozn ují mo nost nhrzení velkého A B A AB+ B m e být A + b písmen dl ím mnoho lenem. Tk np. ve vzorci (nebo jkýkoliv jiný mnoho len B (nebo tké dl í mnoho len; to znmená, e + b + b + b.+ + b + b 6 6b + 9 íkld: + + i d lení mnoho lenu jedno lenem je t eb k dý len mnoho lenu d lit jedno lenem. ídíme se p i tom prvidlem pro d lení mocnin. m : n m n íkld: imn te si, e zápis d lení ve tvru zlomk je dleko p ehledn í ne zápis ve tvru klsického d lení. 5 5 ( 5 0 5: : 5 0 : : 5 ( b ( b b+ b ( k 8c ( 5c ( 9k c k + c c ( 5m m (,5 6m m m + m+ 5,5

5 d 5 t+ r + 5 r+ 0,t 5 6,t r+ e ( b c b ( c c ( c f ( b ( b c d ( b c d ( b b g. ( r 6r 0,. ( 0,5r r, + + h ( d ( d ( d d b c 5r r+ d i Ur ete výrz, který musíme p íst k výrzu 5n 0 + p, bchom dostli výrz, n+ 0 p., n+ 50 p 6 j Ur ete výrz, který musíme ode íst od výrzu ( 0,k 0,5k 6, +. k ( b( b b b 5 + l (,z z 0,.( z + m ( j ( 0,9 j n ( b ( 5 b + 0,6, bchom dostli výrz 0,k,5k + 6,9 5 k k b b b b 5,6z + 8z,z + j,9 j, b + b 0 + o p ( q ( b POZOR To je jko b+ b+ 9b + b+ b b. + 9b + b+ nebo: r ( 0, 0, + 0,0 Rozkld mnoho len n sou in: Jde o vjád ení mnoho lenu ve tvru sou inu n kolik mnoho len np. z d vodu krácení v lomeném výrzu. Provádí se nej st ji pomocí tzv. vtýkání nebo pou itím vhodných vzorc. Vtýkání: Je zlo eno n distributivním zákonu A. C B. C C. ( A B nejv ím problémem poznt spole ného d litele jednotlivých len. íkld: 5m 6m m 5m 6 8 z.. z z + + V konkrétních p ípdech bývá

6 Pou ití vzorc : + + ( + ; A AB+ B ( A B ; A B ( A+ B( A B A AB B A B i rozkldu n sou in lze sto pou ít vý e uvedených vzorc pro druhé mocnin dvoj lenu. íkld: (rozdíl tverc b b b b Pozor: stým omlem je pokus vtvo it i vzore ek pro rozkld sou tu tverc. Tento dvoj len nelze v mno in reálných ísel rozlo it. Sou et tverc lze rozlo it n sou in pouze v oboru kompleních ísel, který se n Z nevu uje. sto vede k cíli i postupné vtýkání, np.: c c c+ c c c kd vede k cíli dopln ní výrzu n druhou mocninu n jkého dvoj lenu se sou sným ode tením dopl ku následným pou itím vzorce pro rozdíl tverc viz p íkld: Výrz 6+ 5 nelze vtknutím zm nit v sou in výrz nelze ni rozlo it podle vzorce. Zkusíme to, co jsme doplnili vzáp tí ode íst. doplnit n druhou mocninu dvoj lenu ( ( + ( ( ( 5 Z p íkldu jsn vplývá, e tto cest vede k cíli jen tehd, je-li dopln k druhou mocninou z 9z z. v ( v 5. ( t 5 + t 6. b + b. r r r c k s u + u. 8 s b( s 8 +. ( m t ( m. ( b( v ( b. nz + k + kz + n 5. c + d d c k p 5d 5d, 5 + ( ( ( z( z+ + ( v ( t ( ( b ( r ( r + ( + c( + + c ( 5 ( s u( k ( 8( b ( m ( t ( b( v ( z ( n+ k ( ( c d ( k p( k+ p 5 5 5( d 0,5

7 Lomený výrz Lomeným výrzem nzýváme výrz, který lze zpst ve tvru podílu dvou mnoho len. Pou íváme stejné termín jko u ísel zlomk ittel, jmenovtel, nejmen í spole ný násobek d litel, spole ný jmenovtel pod. Lomené výrz m eme podobn jko zlomk roz ovt, krátit, se ítt, od ítt, násobit, d lit umoc ovt podle stejných prvidel jko zlomk. V d v k uvádíme, kd mjí dné výrz smsl. íkld: + 6( ( ( +. ± k + k k + k; k s 9 s. s s + ; s ± m m t 5 5 t 8b+ u b + bu+ u 6. Se ítání od ítání lomených výrz íkld ; ; m ( t 5 + ; t 5 u ; b b+ u + Se me výrz + Nejprve posoudíme obor, ve kterém mjí ob výrz smsl. Dný výrz + má smsl pro ±. Jmenovtelé nejdou rozlo it n sou in nemjí spole né d litele spole ným jmenovtelem bude ted jejich sou in. ( + + ( ( /vlo ená poznámk: proti 6 lze krátit bez problém. v itteli proti ve jmenovteli v k pouze z p edpokldu, e se nerovná 0 ted e Pro? Proto e nulou nelze d lit / nebo ( smslu výrz, le tké podmínk krácení výrzem ± co je nejenom podmínk

8 8. b. 6 + b + + b ( ( 9 ; b + b ; ± c. d. z z z 5z z 9 + ; z ± ( ; 0, e. t+ u u+ t u t+ u f. b+ v v v 5v g. k k k + k k+ k 9 h. i. j. ( m + m + m b b + b k. + + t u ; u 0, t u ( b+ v 5 ; v 0 5v k ; k ± k 9 m + ; m 0 b m ; 0 ( + b ; 0 b ; 0, + l ; ± m ( ; 0, ± n o. ; 0, ;

9 9 Násobení d lení lomených výrz Lomené výrz násobíme stejným zp sobem jko zlomk. Dv lomené výrz násobíme tk, e násobíme mezi sebou ittele do jmenovtele výsledku zpí eme výsledek násobení jmenovtel. P i násobení s výhodou krátíme ittele proti jmenovteli. Sledujeme vhodnocujeme kd má dný výrz smsl. íkld +, 0 + lení lomených výrzu je vlstn jenom podmno inou násobení, proto e dv lomené výrz d líme tk, jko zlomk to znmená, e první zlomek násobíme p evrácenou hodnotou zlomku druhého. Trochu to e komplikovt zápis, kd se n kd pou ívá pro operátor d lení dl í zlomková ár. V postupu se k nic nem ní st í si uv domit, e zlomková ár ozn uje d lení. íkld c+ d c d c+ d :, c ± d, c c d c cd c d c d c d c d c d c d c cd c d c c d c :, 0 v v z ( 5 v z d c 6 c d m m m + 5m m t t+ 9 t t ( c ; z 0 ( d ( c d ; ( m c d ; m 0, m 5 t ( t ; t 0, t c + cd + d c d d c+ d 8 n n n + n ;, c d d n n + ; d 0, c d ; n 0, n 6 ;, ± 6 6

10 s 0 s 5 : s s+ s b :6 8v ; s, s 5 s ; v 0 v 0 c : + ( ; d + : b e : + b b ; 0, ± + b ; b, b 0 + b ± f g : k k + : k k ;, 0, k + ; k ±, k ± k + h m + + : + m m + i : + j k r s + m+ ; m ±, m 0 ; ±, 0, 0 ; r 0, s 0 6rs + ; ±, 0 Zprcovl: Leopold Kslinger Pou ité prmen: Algebrické výrz doc. PedDr. Dlibor Mrti ek, Ph.D Sbírk úloh z mtemtik pro Z PedDr. Frnti ek B loun kolektiv