Cvi en 86: Najd te nutn a posta uj c podm nky pro kompaktnost mno iny M v diskr tn m metrick m prostoruè! ë M je kompaktn, pr v kdy je kone n. ë Cvi e

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvi en 86: Najd te nutn a posta uj c podm nky pro kompaktnost mno iny M v diskr tn m metrick m prostoruè! ë M je kompaktn, pr v kdy je kone n. ë Cvi e"

Jan Kopecký
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Cvi en 86: Najd te nutn a posta uj c podm nky pro kompaktnost mno iny M v diskr tn m metrick m prostoruè! ë M je kompaktn, pr v kdy je kone n. ë Cvi en 87: Rozhodn te, zda je sou in dvou kompaktn ch metrick ch prostor èp; è, èq; è tak kompaktn! ë ano ë V n sleduj c ch ty ech cvi en ch sestrojte v dy vhodn p klady: Cvi en 88: Najd te prostor èp; è a funkci f spojitou na èp; è, kter nen omezen na P! Prostor èp; è nen z ejm kompaktn : Lze naj t funkci s analogick mi vlastnostmi na libovoln m nekompaktn m èp; è? Cvi en 89: Nech prostor èp; è nen kompaktn. Sestrojte omezenou spojitou funkci na èp; è, kter nen stejnom rn spojit na èp; è! Cvi en 90: V ka d oblasti G R m lze jej libovoln dva body spojit lomenou arou, kter le cel v G. Lze tak spojit spojit lomenou arou v G libovoln dva body z G? ëneë Cvi en 91: Je-li G R m oblast a x 2 G, lze nal zt ke ka d mu bodu 2 G lomenou ru kter ho spojuje s x a kter le cel krom bodu v G? ëneë Cvi en 92: æ Seznamte se s konstrukc spojit ho zobrazen f intervalu ë0; 1ë na tverec ë0; 1ëæ ë0; 1ë èjde o tzv. Peanovu k ivkuè. Lze sestrojit f tak, aby bylo prost? ë ne; odpov lehce dostaneme pomoc souvislosti ë Vr t me se k cvi en m na e en diferenci ln ch rovnic: Cvi en 93: Zjist te, zda n sleduj c funkce tvo line rn nez visl syst m na R a sv tvrzen doka te: èaè f1; x 2 ; x 5 g ; èbè fexp x; exp 2x; exp 3xg ; ècè f5; sin 2 x; cos 2 xg ; èdè fx exp x; x 2 exp x; x 3 exp xg ; èeè fsin x; cos x; cos 2xg : ë V echny syst my krom ècè jsou nez visl. ë Cvi en 94: Zjist te, zda jsou funkce f1; arcsin x; arccos xg line rn nez visl na intervalu ë,1; 1ë! ëfunkce jsou line rn z visl. ë Cvi en 95: Jsou-li f;g 2CèRè funkce, jsou line rn z visl funkce èæè f; g; jf j ; jgj ; f + ; f, ; g + ; g, ; max èf;gè ; min èf;gè? Jak je minim ln a maxim ln dimenze line rn ho obalu v ech funkc èæè vz vislosti na volb f a g? ë Jsou ; 0 p i f = g 0 a 6 nap. pro x a x 3 ë Cvi en 96: Ur ete obecn e en rovnic: y 00 +4y 0 +4y =0 y 00, 3y 0 +2y =0 y 00, 6y 0 +13y =0 ë yèxè =c 1 expè,2xè +c 2 x expè,2xè; yèxè =c 1 exp x + c 2 exp 2x ; yèxè =c 1 exp 3x cos 2x + c 2 exp 3x sin 2x ë 10

2 11 Cvi en 97: e te rovnici x 2 y 00, xy 0, 3y =5x 4 ; zkuste funkci f èxè =1=x! ë yèxè =c 1 x 3 + c 2 =x + x 4 ë Cvi en 98: Ur ete obecn e en rovnic: y y y 0 =0 y è4è, y = y 0000, y =0 y è5è +4y è4è +5y è3è, 2y 0 +5y =0 ë yèxè =c 1 + c 2 e,2x cos 3x + c 3 e,2x sin 3x ; yèxè =c 1 e x + c 2 e,x + c 3 cos x + c 4 sin x ; yèxè =c 1 e x + c 2 e,2x +e x èc 3 + c 4 cos 2x + c 5 sin 2xèë Cvi en 99: Ur ete e en rovnice y 000, 3y 00 +3y 0, y = 0 vyhovuj c po te n podm nce yè0è = 1, y 0 è0è = 2, y 00 è0è = 3. ë yèxè =e x è1 + xèë Cvi en 100: Ur ete e en n sleduj c ch rovnic, vyhovuj c dan m podm nk m: y 00 +4y 0 +4y =0; yè0è = 0; yè1è = 0 y 00, 3y 0 +2y =0; yè0è = 2; y 0 è0è = 3 y 00, 6y 0 +13y =0; yè0è = 1; yè2è = expè6è y 00, 4y 0 +3y =0; yè0è = 6; y 0 è0è = 10 ë yèxè =0; yèxè = exp x + exp 2x; :::ë Cvi en 101: Nalezn te obecn e en diferenci ln ch rovnic: y 00 +3y 0 =3xexp,3x; y 00 + y =4xcos x; 7y 00, y 0 =14x; y 00, y 0 = exp x sin x; ë c 1 +èc 2, x 2 =2, x=3è exp,3x ë ë c 1 cos x + c 2 sin x + x cos x + x 2 sin x ë ë c 1 + c 2 expèx=7è, 7x 2, 98x ë ë c 1 + c 2 expèxè, è1=2è exp xèècos x + sin xèë Cvi en 102: Najd te obecn e en rovnice y 00 + y 0 + y =èx + x 2 è exp x! h,c1 cosè p 3=2èx + c 2 sinè p 3=2èx æ expè,x=2è + exp x i èx 2, x +1è 3 Cvi en 103: Najd te obecn e en rovnice y 00 +2y 0 + y = x 2 e,x cos x! yèxè = x4 x c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 + 2, 4x + c 5 Cvi en 104: e te rovnice: y 00, 6y 0 +9y =25e x sin x; y 00 + y =4x cos x; y 000, 4y 0 = xe 2x + sin x + x 2! ë yèxè =èc 1 + c 2 xèe 3x + è4 cos x + 3 sin xèe x ; yèxè =c 1 cos x + c 2 sin x + x 2 sin x + + x cos x ; yèxè =c 1 + c 2 e 2x + c 3 e,2x + ècos xè=5, x 3 =12, x=8+e 2x è2x 2, 3xè=32 :ë

3 12 Cvi en 105: e en n kter ch typ rovnic lze p ev st na e en rovnic s konstantn mi koeæcienty. Tak nap. Eulerova rovnice x n y ènè + a 1 x n,1 y èn,1è + æææ+ a n,1 xy 0 + a n y =0; kde a 1 ;a 2 ;::: ;a n 2 R, p ejde po substituci x =e t ; resp. t = log x na rovnici s konstantn mi koeæcienty. Prove te experiment s rovnic x 2 y 00 +3xy 0 + y =0: Popsan m zp sobem snadno naleznete jej obecn e en y = c 1 + c 2 log x x c 1 ;c 2 2 R : Cvi en 106: e te rovnici x 2 y 00 +3xy 0 +5y =0: ë yèxè =, c 1 cosè2 log xè +c 2 sinè2 log xè æ =x, c 1 ;c 2 2 R ë Nechali jsme stranou rovnice typu y 0 = f èxègèyè, tj. se separovan mi prom nn mi. Jimi se budete zab vat p ev n na cvi en. Cvi en 107: asto naleznete ve sb rk ch formulaci lohy tvaru: e te rovnici è1 + y 2 èdx = x dy! S touto konvenc se setk me i d le. ë yèxè = tg logècxè; cé0: ë Cvi en 108: e te rovnici è1 + exp xèyy 0 = exp x! ë yèxè =æèlogèc + exp xè 2 è 1=2.ë Cvi en 109: e te rovnici è1 + y 2 èdx +è1+x 2 èdy =0! ë implicitn popis e en x + y = cè1, xyè, c 2 R. ë Cvi en 110: Najd te e en rovnice y 0 sin x,y log x = 0, kter vyhovuje po te n podm nce yè=2è = e! Existuje e en vyhovuj c po te n podm nce yè=2è = 1? ë yèxè = expètgèx=2èè, x 2 è,; è; ano, yèxè = 1. ë Cvi en 111: e te rovnici x p 1+y 2 + yy 0p 1+x 2 =0! p ë 1+y 2 + p 1+x 2 = c, cé2ë Cvi en 112: Nalezn te e en rovnice èx 2, 1èy 0 +2xy 2 =0; kter vyhovuje podm nce yè0è = 1! ëyèxè = è1 + logè1, x 2 èè,1 ë

4 13 Cvi en 113: e te rovnici y 00 =2y 3 s po te n podm nkou yè0è = 1, y 0 è0è = 1! ë e en : yèxè =è1, xè,1 ; je nutno v as vyu t po te n ch podm nek. ë ada rovnic lze p ev st na tvar, ve kter m ji snadno roz e me jako rovnice, kter jsme ji e ili. S n kter mi se sezn m me: Rovnice s homogenn pravou stranou, tj. rovnice, na jej prav stran je homogenn funkce prom nn ch x; y stupn 0. V tom p pad je f ètx; tyè =t 0 f èx; yè =f èx; yè a po d len x m prav strana rovnice tvar gèy=xè. p Cvi en 114: e te rovnici xy 0 = x 2, y 2 + y! N vod: pravou p ech z me k rovnici v y=x ap evedeme ji tak na tvar r y 2 y 0 = 1, + y x x ; provedeme substituci u = y=x. Pak y 0 = xu 0 + u a rovnice po dosazen p ejde na tvar xu 0 = p 1, u 2. ë y = x sin logècxè, expè,=2è cx expè=2è; je t eba ov it, zda nen x =0èjako funkce yè e en m ènen è a zda funkce y = æx nejsou e en mi èjsouè. ë Cvi en 115: e te rovnici y 0 = x=y + y=x! ë y 2 = x 2 èc + log x 2 èë Cvi en 116: e te rovnice èaè y 0 = 2xy 3x 2, y 2 ; èbè 2xy0 èx 2 + y 2 è=yèy 2 +2x 2 è! ë èaè y 3 = cèy 2, x 2 è, èbè y 2 = cx expèx 2 =y 2 èë Cvi en 117: Najd te e en rovnice ès po te n podm nkouè ë yèxè =,x ë y 0 = y2, 2xy, x 2 ; yè1è =,1 : y 2 +2xy, x2 Rovnice typu y 0 = f èax + by + cè, a; b; c 2 R, ab 6= 0 Cvi en 118: e te rovnici y 0 = èx + y, 2è,1! N vod: pou ijeme substituci u = ax + by + c, p i n u 0 = a + by 0 ; pravou dostaneme rovnici se separovan mi prom nn mi. V e en m p pad u = x + y, 2 je u 0 = 1+y 0. ë implicitn : y, c = log jx + y, 1j. Z vylou en ho p padu u +1 = 0 dostaneme y = 1, x a zjist me, zda nen e en m èjeè; obecn e en lze eventu ln zapsat ve tvaru c exp y = x + y, 1, c 2 R. U v me konvenci o c k ch! ë Cvi en 119: e te rovnici y 0 =3x, 2y +5s po te n podm nkou yè1è = 0! ë y =è1=4èèc expè,2xè +6x +7èë Cvi en 120: e te rovnici y 0 =èx +2yè,1! ë x +2y + 2 = 3 exp y ë Rovnice typu y 0 a1 x + b 1 y + c 1 = f, a k ;b k ;c k 2 R, k =1; 2 a a 1 b 2, a 2 b 1 6=0 a 2 x + b 2 y + c 2 Nen -li spln na posledn podm nka, pak u = a 2 x + b 2 y p evede lohu na p edch zej c p pad.

5 14 Cvi en 121: e te rovnici xy 0 +2yy 0, 3y 0 +3x +3y, 6=0! N vod: uprav me rovnici na tvar,3x y 0, 3y +6 = ; x +2y, 3 6= 0: x +2y, 3 V obecn j rovin : p i spln n podm nky o nenulovosti determinantu e me soustavu rovnic a 1 k + b 1 l + c 1 =0; a 2 k + b 2 l + c 2 =0; a pak provedeme substituci x = t + k, yèxè = uètè +l. podle t, je y 0 = _u, tak e po dosazen dosp jeme k rovnici _u = f a1 t + b 1 u : a 2 t + b 2 u Zna me-li _u derivaci u V e en loze je f identita è ast p pad ve koln ch loh ch è. ë e en m soustavy line rn ch rovnic dostaneme _u =,3t, 3u t +2u,3, 3u=t = 1+2u=t : Po snadn n maze lze dosp t k e en ve tvaru p p 2y 2 +3x 2 +4xy, 10x, 8y +9=c x exp 2 arctg 2 + y, 2 x, 1 s c é 0. Proto e pravou do typov ho tvaru jsme vnesli do lohy dal omezen, chyb n m je t e en tvaru x = xèyèë Cvi en 122: e te rovnici èx + y, 2è dx =èy, x, 4è dy! ëx 2 +2xy, y 2, 4x +8y = cë Cvi en 123: e te rovnici èx + y +1èdx =è2x +2y, 1è dy! ë x +2y + 3 log jx + y, 2j = c ë Cvi en 124: e te rovnice èaè y 0 = 2x, y +1 x, 2y +1 ; èbè y0 = 2x + y, 1 4x +2y +5 : ë èaè x 2, xy + y 2 + x, y = c; èbè y 2 = x 2 èc + log x 2 èë

Podobné dokumenty

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte