Aplikace matematiky. Vladimír Panc Teorie tlakových nádob předpjatých pružnými prstenci. Terms of use:

Transkript

1 Aplikace matematiky Vladimír Panc Teorie tlakových nádob předpjatých pružnými prstenci Aplikace matematiky, Vol. 9 (1964), No. 1, Persistent URL: Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1964 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 SVAZEK 9 (1964) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSL01 TEORIE TLAKOVÝCH NÁDOB PŘEDPJATÝCH PRUŽNÝMI PRSTENCI VLADIMÍR PANC (Došlo dne 6. března 1963.) Základní rovnice okrajového problému v teorii válcových skořepin s kružnicovou střednicí průřezu. Statické řešení tenkostěnných tlakových nádob a potrubí předpjatých pružnými taženými nákružky nasazenými za tepla. Napjatost nádob vyztužených příčnými pružnými prstenci předpjatými vnitřními táhly. POUŽITÁ OZNAČENÍ Mxyz levotočivá pravoúhlá souřadná soustava v libovolném bodě M střednicové plochy skořepiny osa Mx ve směru osy Ox konstrukce, osy My a Mz ve směru tečny a vnitřní normály ke střednici průřezu, r poloměr křivosti střednice průřezu, č, = xjr, cp bezrozměrné souřadnice bodu M, w(í, (p), v(, cp), w(, (p) složky vektoru posunutí bodu M ve směru os Mx, My a Mz, n x (, cp), njj;, (p) měrné normálné síly v bodě M ve směru os Mx a My, n X(p (š, cp) = n^jfé, cp) měrná smyková síla v bodě M, m x (^, (p), q x (, (p), mjjí, cp), q (p (, cp) měrný ohybový moment a posouvající síla v bodě M působící v příčném a podélném řezu, m X(p (, cp) měrný kroutící moment, h tloušťka skořepiny, k = h /1r E modul pružnosti materiálu skořepiny, v Poissonovo číslo, V Laplaceův operátor - V = d \dl + d /dcp. 1. ÚVOD Základní soustavu tří parciálních diferenciálních rovnic přesné teorie válcových skořepin s kružnicovou střednicí průřezu podal ve své monografii [1] FLUGGE. Při numerickém řešení vedou ovšem relace přesné teorie pro svou přílišnou složitost ke značně zdlouhavým výpočtům jednoduchých či dvojných Fourierových řad, takže konečné pracně získané numerické výsledky představují pouze jistou aproximaci 1

3 problému. Pro řešení tenkostěnných nádob s rotačně souměrným zatížením, kdy platí w = w( ), je pak v práci [1] odvozena zjednodušená přibližná rovnice, která nabývá při okrajové úloze homogenního tvaru (1.1) kw (4) + (1. - v )w = 0. Pro řešení okrajového problému při obecném okrajovém zatížení skořepiny byla různými autory odvozena celá řada zjednodušených přibližných základních rovnic, z nichž nejznámější (1.) kv 8 w + (1 - v )^ = 0 \X 4 podal poprvé DONNELL []. Tato rovnice byla již mnohokráte užita při řešení různých stabilitních i okrajových problémů. Donnell později navrhl doplnění rovnice (1.) ve tvaru s * d 6 w 3 4 w 1 - v d 4 w rt (1.3) V 8 w = 0. dep 6 dep 4 k d^4 Obdobné zpřesňující doplnění navrhl rovněž MORLEY [3] (1.4) V 4 (V + l) w + 1 ~^- V " ^ = 0. k di 4 Základní rovnici zcela stejného tvaru jako (L), definující však funkci <P(, (p), přičemž V 4 # = w, C = Erh. d <P/d ( Airyho funkce napětí), odvodil v tzv. technické ohybové teorii skořepin VLASOV [4]. Úpravu Donneliovy rovnice pro řešení ortotropních skořepin podal DABROWSKI [5]. Vůbec nejjednodušší přibližnou základní rovnici okrajového problému pro zatížení podélných okrajů skořepiny navrhl SCHORER [6] /- rx. d * W d * W (1.5) k + = 0, v ; GV dt 4 který zanedbal ohybové momenty m x (/;, (p) i momenty kroutící a užil několika dalších zjednodušení. Rovnice (1.5) může být s dostatečnou přesností užito pouze pro řešení dlouhých skořepin. Se zanedbáním stejných veličin byla podána v práci [7] základní rovnice, která představuje zpřesnění rovnice (1.5) a ve stabilitní úloze vede k výsledkům velmi dobře odpovídajícím provedeným zkouškám. Velmi jednoduchá základní rovnice, jíž lze užít k přibližnému řešení vodorovných, šikmých i svislých nádob a potrubí, zatížených rotačně souměrně i rotačně antisymetricky, je podána v práci [8]. Pro okrajovou úlohu má tato rovnice tvar d 4 (1.6) (kv 4 w + w) = 0. d 4 Přesnost výsledků, k nimž vede tato rovnice, se neliší příliš od přesnosti dosažené užitím Donneliovy rovnice (1.).

4 . ZÁKLADNÍ ROVNÍCE OKRAJOVÉHO PROBLÉMU Položíme-H pro měrné kroutící momenty přibližně m X(p = m^, nabudou výminky rovnováhy nezatíženého prvku skořepiny podle obr. 1 tvaru (.1 C»x + Mhy d dep o v dep d r V #V dč, fe + ^Ч + ҙ^. rv^ ^c> ' V Obr. 1. Zatížení prvku válcové skořepiny. /' Do rovnic (.1) byly za měrné posouvající síly q X9 q (p dosazeny vztahy plynoucí z momentových výminek rovnováhy (. (.3) 1 ґд + fdm x dm x 4* = - -zŕ + Яч r \ dc d(p ) r V dep dč, Měrné sily jsou podle [4] spjaty se složkami u 9 v, w vektoru posunutí relacemi v nichž je (.4) D Vдii fõv + v r Jź \дcp w )] D ~дv дu W + V r J)ę ' 3 L n xę = (1 0 - V Dґдu õv\ K fd \v r V^ ^xç.= - (1 V) Eh Eh 3 D =, K = 1 - v 1(1 - v ) d w dep K fd w s d w r \дę í дç K d w r ôţ дcp

5 Dosazením vztahů (.3) do podmínek (.1) dostaneme soustavu rovnic d u 1 v d u 1 + v d v dw.5) +, + +. _ + -v- v = 0, d dep d^dep d i3 v 1 - v a v 1 + v d u Ow. íd 3 w + + _ + k f - + = 0, OV O\f d dq> dep \dep 3 d d(pj ґ- _ ч u u i V u u L -r V u u uw ( kde symbol k označuje veličinu v + w - kv 4 w = 0, 0><_ dep (.6) k = Dr 1г Z prvých dvou rovnic (.5) odvodíme eliminací д 3 w д 3 w, l + v, / d 5 w д 5 w (.7) V* = v Ь - - r^-- + г^ * гh. + s<_ 3 aí Ov i - v važ O> 4 <э<_ 3 dep _ 4 d 3 w - v(l + v) d 3 w v v = i dep 3 l - v d dep d5 Г- w +_ /«, ч <^5w, / t A ^ 1 1 _ + (3 ~ у) h (1 v) dč 4 O> d^dep 3 dep 5 a dosazením do poslední rovnice (.5) vyplývá základní rovnice okrajového problému ( 8) W + ^Z íi_± ^ K + v) _ a^w_ + l - v d^ dep 1 - v Oť dep* O 6 w l - v d 4 w + + = o. dep 6 k d? Rovnice (.8) tedy vyjadřuje spolu s relacemi (.7) přesně výminky rovnováhy (A) při platnosti vztahů (.3) a představuje zpřesnění Donnellovy rovnice (1.) i rovnic (1.3) a (1.4). Vadou rovnice (.8) jsou však značné matematické komplikace při jejím užití. Vlasov ([4]) dokázal na podkladě teoretických zkoumání i četných modelových zkoušek, že u tenkých skořepin (tj. pro rjh ^ 30) je momentový člen podstatný pouze ve složkové výmince rovnováhy prvku střednicové plochy ve směru jeho normály, zatím co v rovnicích, vyjadřujících výminky rovnováhy ve střednicové ploše, může být vliv ohybové napjatosti bez hrubých chyb zanedbán. Zanedbáme-li tedy ve druhé výmince rovnováhy (A) a (.5) momentový člen, nabudou rovnice (.7) zjednodušeného tvaru /~ ^ _-,_. d 3 iv d 3 w. d 3 w v(l + v) d 3 w (.9) V 4 u - v, V 4 v - + '- dt 3 dt> dep dep v d dep

6 a dosazením relací (.9) do poslední výminky (.5) dostaneme základní rovnici v Donnellově tvaru (1.). Je jasné, že vzhledem k užitému zjednodušení klesá přesnost této rovnice se stoupající rychlostí změny zatížení ve směru souřadnice q>. Je známo, že v okrajové úloze pro příčné okraje = const skořepiny se nejvíce uplatňují členy obsahující nejvyšší derivaci podle proměnné %. Ponecháme-li vzhledem k této skutečnosti v rovnici (.8) z výrazů, které jsou v rovnici (1.) zanedbány, pouze člen s největším vlivem, dostaneme (iio) v 8 w + Lz*L±A _!íl + 1 -t? _ o. 1-v.d?dq> k 3t Analogicky též relace (.7) resp. (.9) nabudou nyní tvaru,~> ii\ V74 s * w ^3w, 1 + v d 5 w (.11) V 4 u = v + k, d? d dq> 1-v d 3 dq> ' _ 4 d 3 w - v(l + v) d 3 w, d 5 w V^v 1 '- k. dq> v d dq> 1-v d? dq> Přitom rovnice (.10) zřejmě vyplývá ze vztahů (.1) a (.3), dosadíme-li za momentový člen do druhé výminky (.1) přibližně (.1),,! (_* + a K =»-^ - d* w r \dq> d J r dč, dq> Rovnice (.10) je tedy při okrajové úloze opět zpřesněním Domicilovy rovnice (1.), přičemž její užití nepřináší žádných podstatných matematických komplikací. Vzhledem k tomu, že při odvození všech podaných základních rovnic (1.), (.8) i (.10) byly uvažovány též kroutící momenty, je ovšem třeba na okrajích č, = const a q> = const skořepiny počítat s náhradními měrnými posouvajícími silami q x, q^ (.13) q ^ i í ^ + 8 ^ ),, «!(:*_+ -^r \ dš dq> ) r \dq>? d Při řešení okrajové úlohy pro podélné okraje q> = const dlouhé skořepiny se můžeme v prvém přiblížení omezit pouze na nejvyšší derivaci podle proměnné q>. Položíme-li ještě v = 0, dostaneme z rovnic (1.), (.8) i (.10) rovnici Schorerovu (1.5). Obdobným zjednodušením vyplývá pak z těchto rovnic pro zatížení v příčných okrajích č, = const skořepiny s uzavřenou střednicí průřezu rovnice tvaru (1.6). Pro potrubí a nádoby s rotačně souměrným okrajovým z rovnic (1.), (.8) i (.10) dosazením w = w( ) (.14) kw (8) + (1 - v )w (4) = 0. Tato rovnice představuje zobecnění rovnice (1.1). zatížením dostaneme

7 3. ROTAČNĚ SOUMĚRNÁ ÚLOHA (3.1) Označíme-li symbolem K součinitel útlumu 1- v ' 4k je obecným řešením rovnice (.14) funkce Ъr (1 - v ) V ' h (3.) w = A! sh KČ, sin KČ, + A sh KČ, COS KČ, + A 3 ch KČ, sin /cc; + + A 4 ch K COS K + A 5 + A 6 + A 7 + A 8 3, kde Aj až A 8 jsou integrační konstanty. Protože nyní platí v = 0, dostaneme dosazením funkce (3.) do poslední rovnice (.5) (3.3) iľ = VVV + 1 (A 5 + A 6 + A 7 + A 8 c 3 ). Z prvé podmínky (.5) zřejmě plyne (3.4) A 6 = AT = A S =0, takže rovnici (.14) lze psáti ve tvaru (3.5) w< 4) + 4K 4 W = 4K*A 5 Pro posunutí u pak platí podle vztahů (3.3) a (3.4) 1 - v (3.6) H = V wd<ř+ A 5 t + A 9 /c [(A + A 3 ) Sh KČ SІП řcç - (A! - A 4 ) sh /cc; COS fctf + (A! + A 4 ) ch K sin KČ + (A - A 3 ) ch K cos /cc;] A 5 Č + A 9, v kde A 9 je další integrační konstanta. Dosazením výrazů (3.) a (3.3) do vzorců (.) a (.3) odvodíme při platnosti (3.4) pro měrné síly a momenty (3.7) 1 - v D л n A. Eh /, \ & Í л \ t A 5, П ę = -0 - V )-(W - A 5 ) vr т (w - A 5 ), л x «, ^ 0, K m x = /c ch (A 4 sh кç sin кţ - A 3 sh /cc; cos /cć; + Д K Ż sin кc; - A л ch юí; cos /ce;), K ą x = /c 3 - [(A + /4 3 ) sh кţ sin /cć; - (^i - A л) s h ^ cos /cc; + r 3 + (A! + A 4 ) ch кç sin řcć; + (A - ^) c h * cos K Q, "V = vw x, qç, = 0, m x ť/> = 0

8 3A Nádoba s volnou dilatací průřezů předpjatá taženými nákružky Je známo, že u tlakové nádoby s poměrně tlustou jednoduchou stěnou lze vzhledem k zákonu rozdělení napětí po tloušťce využít pevnosti materiálu jen málo. Proto se v technické praxi často provádějí tlakové nádoby jako předpjaté vrstevnaté konstrukce sestávající ze dvou nebo více plášťů navzájem na sebe nalisovaných nebo za tepla nasazených. Podobného efektu lze u tenkostěnných tlakových nádob dosáhnout též za tepla nasazenými pružnými nákružky v nepříliš velkých vzdálenostech. Označme R poloměr křivosti střednice nákružku v jeho nenapjatém stavu, R poloměr křivosti nutný k volnému nasazení nákružku za normální teploty a AR rozdíl obou těchto poloměrů AR = R R. Jestliže je a součinitel tepelné roztaživosti materiálu nákružku, je ovšem nutno nákružek před nasazením ohřát minimálně o teplotu ř C (3.8) min f =. Roc Budiž dále E p a F p modul pružnosti v tahu a průřezová plocha nákružku. Vykáže-li skořepina v průřezu nasazení nákružku průhyb w d, působí pružný nákružek na nádobu radiálním tlakem p (3.9) V =E <^{AR- Wj ). R l Vyšetřeme nyní jedno střední pole nádoby s velmi mnoha stejnými nákružky při volné dilataci průřezů. Délku pole, tj. vzdálenost nákružku, označme /. Jde tedy o úlohu souměrnou ke střednímu průřezu č, = 0 vyšetřovaného pole, a proto bude (3A0) A = A 3 = A 9 = 0. Podmínka volné dilatace konstrukce je vyjádřena identitou n x = 0, a tedy podle prvého vzorce (3.7) je též (3.11) A 5 = 0. Zbývající neznámé konstanty A x a A 4 je pak třeba stanovit z okrajových podmínek v průřezu působení nákružku (3A) w' = 0, q x = p pro c =. r Označíme-li symbolem jí argument (3.13) P = ^ r

9 vedou okrajové podmínky (3.1) podle vzorců (3.), (3.7) a (3.9) při platnosti (3.10) a (3.11) k soustavě rovnic (3.14) A t (ch j8 sin j8 + sh j8 cos J8) - A 4 (ch js sin /? - sh /i cos )8) = 0, A t [sh p sin J8 + H(ch j8 sin /8 - sh j8 cos j8)] + + A 4 [ch j8 cos /? + H(ch /] sin )S + sh /8 cos )8)] = /IR, kde symbol H označuje poměrnou tuhost (3.15) // = 4 ^ = ^ -. E P F p r3 Zaveďme symboly D#,i, A t a A pro výrazy E p F p rk (3.16) D H,i = sh /8 + sin /8 + H(ch /? - cos /8), X x = (ch j8 sin j8 - sh j8 cos /8), A = (ch j8 sin /8 + sh j8 cos j8). ^Vi ^Vi Potom jsou řešením rovnic (3.14) veličiny (3.17) A 1 =A 1 AR, A 4 = /l AR. Funkce (3.) a (3.6) složek posunutí nabývají tedy podle vzorců (3.4), (3.10), (3.11) a (3.17) tvaru (3.18) w = AR(X X sh K sin KČ, + A ch K COS K<!;), a = AK[(A t + A ) ch fcí sin JC{ - (A, - A ) sh řeč COS K ] K; a pro nenulové měrné síly platí podle vzorců (3.7) (3.19) n = - w, m x = - /c AR (A t ch * cos KJ - A sh KC; sin K ), r r 4K 4 K Eh q x = r u = u, m = vm x. v r vr Zavedeme-li dále symboly A 3, A 4 a A 5 pro výrazy (3.0) A 3 = (sh /8 + sin fí), A 4 = (sh /3 - sin /8), IVi ^H,i A 5 = (ch /? - cos /8), -Ví

10 platí pro průřez = 0 (3.1) vv = л AR = A 4, u = 0, EhAR r^ = - Я "" 5 Г a pro prûřez f = l/r w = _ Л- AR к: = - X x, q x = 0 1 r * r[3(l - v )] ł X (3.) w = л 3 AR, u = Я 5 - AR, и^ = - л 3, к: r K, Fh AR _, EhAR m, = A 4 AR K; = ^4 -, q x = q x = X 5 r r[3(l - v )] 1 KT Při vyšetřované napjatosti se tedy jedno pole nádoby prodlouží podle druhého vzorce (3.) o délku A / (3.3) Al = A 5 -AR. Druhá podmínka (3.1) vede pak k relaci, jíž lze užít jako početní kontroly (3.4) HA 5 = 1 - X z. 3. Potrubí se zamezenou dilatací při předpínání Vyšetřeme nyní vliv zamezené dilatace průřezů konstrukce během chladnutí za tepla nasazených nákružků, případně v průběhu jejich nalisování. Praktický význam tohoto případu je ovšem ve srovnání s úlohou 3.1 malý. Uvažujeme-li jedno ze středních polí dlouhé konstrukce, budou opět platit z důvodu souměrnosti úlohy ke střednímu průřezu č, = 0 vyšetřovaného pole rovnice (3.10). Pro určení zbývajících neznámých integračních konstant A u A 4 a A 5 užijeme nyní okrajových podmínek (3.5) u = 0, w' = 0, q x = - p, pro č, = -. r Zavedeme-li symboly (3.13) a (3.15), vedou tyto podmínky podle relací (3.), (3.6), (3.7) a (3.9) k soustavě rovnic 6 (3.6) A,(ch P sin /i - sh p cos p) + A 4 (ch p sin p + sh p cos )8) + A 5 -"- = 0, v A t(ch p sin p + sh p cos j8) - A 4 (ch p sin /i - sh p cos j8) = 0, Aj[sh p sin j8 + H(ch j8 sin j8 - sh j8 cos j8)] + + A 4 [ch /8 cos p + H(ch psmp + shp cos )] + A 5 = AR. K

11 Užijeme-li symbolů Du,> x^ xi a ** P ro výrazy ;3.7) D Ht == sh ß + sin ß + // (ch ß - cos /5),? l) (ch /? sin ß - sh /i cos ß), Я 7 = D H, (ch ß sin j8 + sh ß cos ß), A 8 = (ch /f - cos /0, jsou řešením soustavy (3.6) veličiny (3.8) A, - h AR, A 4 = A 7 AR, A 5 = - A 8 v AR. Pro funkce (3.) a (3.6) tedy nyní platí (3.9) vv = AR(h sh K sin /c + A 7 ch /cč cos KČ - A 8 v ), w = AR [(A 6 + X n ) ch /c sin /c - (A 6 - A 7 ) sh /c cos /c - A 8 fc ] ze a dosazením do vzorců (3.7) odvodíme pro nenulové měrné síly (3.30), VE/tAR /? v = /to = const EhAR (Я 6 sh кł, sin к;<ř + Я 7 ch кţ cos /c ), m x = /c AR (Я 6 ch /cć; cos кţ Я 7 sh zce; sin /c^), r q x = /c 3 AR [(Я 6 + Я 7 ) ch кč, sin /cč (Я 6 Я 7 ) sh zc^ cos /c ], Zavedeme-li ještě symboly Á 9, / 10 a A n pro výrazy (3.31) 1 sh /i + sin ß - - (ch /i - cos /i) platí pro průřez = 0 Я 10 = (sh /i + sin ß), Я n = (sh /i - sin ß), D H, ^H, (3.3) и, = d«(я 7 - Я 8 v ), и = 0, п, = - Я 7 r m* = - Á 6 ARK Eh AR = - X r[3(l - v )]* ^ = 0 10

12 a pro průřez, = ljr (3.33) w = X 9 AR, u = 0, n v = - 1!0 ^ - ^, r ^, K - Fh AK m, = ÁÍ t AR K = Ái,, r r[3(l - v )]*., _,. ^, EhBAR q x = 5, = 4A 8 AR /te 3.-- = X 8!. r Kr Z poslední podmínky (3.5) vyplývá opět kontrolní relace (3.34) pm 8 = 1 - Á OBECNÁ OKRAJOVÁ ÚLOHA Není-1 i okrajové zatížení nebo přetvoření nádoby rotačně souměrné, zvolíme funkce složek vektoru posunutí bodu střednicové plochy ve tvaru nekonečných goniometrických řad 00 (4.1) u(, cp) = u 0 ( ) + Z u n (0 cos ncp, n= i oo v(í, cp) = v 0 ( ) + Z!> ( ) sin ncp, n= 1 00 w(, 9) = w 0 (š) + X w n (0 cos n<p. n=i Funkce (4+) vyjadřují ovšem při v 0 ( ) = O přetvoření soutiěrné k rovině cp = 0. U převážné většiny úloh tato rovina souměrnosti existuje. Zcela obecné přetvoření lze pak složit z přetvoření (4.1) a z přetvoření, které je vzhledem k rovině cp = O antisymetrické. Funkcím (4.1) pak superponujeme funkce OO 00 oo U = YJ "n S m n( P > V ~ Z Vn COS n( P J ;i = 1 n = 1 n = 1 W ~ X! VV«S m W( P * Dosazením do vzorců (.3) odvodíme pro měrné membránové síly D D (4.) n x = (u 0 ~ vvv 0 ) + Z K + v ( /?t; /i ~ w níl cos n<p, r r n = i D D 'V = - ( V "Ó - ^o) + - Z ( Wl? *i ~ W» + VU 'n) COS n^, r r»= i D D "*</> = (1 -V) v 0 + (1 - V) Z ( V n ~ mi n) Sin UCp r r «= i 11

13 a pro měrné ohybové i kroutící momenty platí K K (4.3) m x = - w 0 - ~ «- vn w ) cos n<p, r z r z n=i K K m^ = - v w X (vw;' - n w ) cos nq>, r r «=i If 00 m^ = (1 - v)-- ^ w< sin 119. r «=i Dosazením výrazů (4.3) do vzorců (.) vyplývá pro měrné posouvající síly K K (4.4) q x = - - wj - Z «- n w;) cos n<p, r á r n=i TS CO q<p = 1 Z "K' ~ " w n) SÍI1 H( P > r «= 1 zatím co pro náhradní měrnou posouvající sílu q x na okraji, = const platí podle vzorců (.13) K K (4.5) q x = - w 0 - X [<' ~ ( - v) n w;] cos n<p. r r ó n =i 4.1 Řešení okrajové úlohy užitím Donnellovy rovnice Dosadíme-li příslušné derivace třetí funkce (4.1) do Donnellovy rovnice (1.), dostaneme základní rovnici pro funkci w 0 (^) (4.6) w 0 8) + 4K 4 W ( 0 4) = O a nekonečně mnoho rovnic pro funkce w n ( ) (4.7) w (8) - 4n w (6) + 6n 4 w (4) - 4n 6 < + n*w + 4/c 4 w (4) = O, v nichž je součinitel K definován vzorcem (3A). Rovnice (4.6) se zřejmě vztahuje k rotačně souměrné úloze, jejíž řešení bylo podáno v odst. 3. Obecná řešení homogenních rovnic (4.7) jsou lineárními kombinacemi jejich partikulárních integrálů, které mají tvar exp n n Č>. Dosadíme-li příslušné derivace této funkce do rovnice (4.7), dostaneme rovnici charakteristickou (4.8) tó-" ) 4 + 4,cV 4 = 0, jejímiž osmi kořeny jsou komplexní čísla (4-9) /Vl,,3,4 = ± a n,\ ± b na \, ^,5,6,7,8 = ± í-n. ± b n,l X > 1

14 kde a ni, b tu a t a b n znáči reálná čísla (4+0) a na = *{[(4,1 4 + /c 4 )- + n f + re}, Kx = {[( 4^4 + K*Y - n f + *}, *«. = {[(4n 4 + K 4 )* + n f - *}, Ki = Í[( 4 " 4 + * 4 )* - n ]* - ic}. Podle vzorců (4.9) vyhovují tedy rovnicím (4.7) funkce (4.11) w n = C fl shfl B>1 čsin& Bfl (; + C B> sh a n% & cos b ^ + + C (3 ch a #1 í sin b B>1 C + C, 4 ch a Bfl č cos b Btl + C Bj5 sh a n> Š sin b n + + C B)6 sh a n> š cos b B> + C nj ch a n^ sin b B> <i, + C Bj8 ch tf, Š cos b n č, kde C j až C 8 značí integrační konstanty. Dosaďme nyní funkce (4A) do rovnic (.9), které odpovídají Donnellově rovnici. Tím dostaneme (4.1) w^-vutf, C = 0 a nekonečně mnoho rovnic tvaru (4.13) u B 4) - tí u; ; + n*u n = vw; + rc w B, W 0««_L 4 _ M M3, - V(l + v) n v" + /iт = n w n 1 - V Prvá rovnice (4.1) vyjadřuje spolu s rovnicí (4.6) rotačně souměrnou úlohu. Druhá rovnice (4A) se zřejmě vztahuje k prostému kroucení konstrukce. Obecná řešení homogenních rovnic příslušných k rovnicím (4.13) jsou ovšem nulová, takže je třeba stanovit pouze jejich řešení partikulární. Dále se pro zjednodušení záznamu budeme zabývat pouze n-tým členem řad (4A), přičemž u integračních konstant i argumentů funkcí vynecháme index n. Obdobně jako v předchozích úlohách se omezíme na jedno střední pole velmi dlouhé nádoby s mnoha stejnými prstenci ve stejných vzdálenostech l. Potom funkce (4.11) musí být souměrná ke střednímu průřezu č, = 0 vyšetřovaného pole, a proto bude platit (4.14) C = C 3 = C 6 = C 7 =0. Změníme-li označení integračních konstant, můžeme proto psát funkci (4.11) ve tvaru (4.15) w n = C 14 sh a^ sin b^ + C 4 ch a^ cos b x t; + C K sh a c sin b + + C ch a c cos b = Y. (CI,Í sh a sin b,-c + C, ; ch a cos b ). /= i 13

15 Dosaďme nyní do pravých stran rovnic (4.13) příslušné derivace funkce (4.15), přičemž pro zjednodušení záznamu vyjádřeme hodnotu koeficientu v druhé rovnici číslem (4.16) - v(l + v) = 3 ^ 1 V které odpovídá v = 0,3. Dosazením vyplývá (4A7) u (4) ~ n u" n + n 4 u n - = t {Q A[v(3fl? - b]) + n ] - C, í.o / [v(3b - a ) - n ]\ sh a cos bř - ř= 1 - V {Cija^xpb - ÍÍ?) - n ] + C,,b (.[v(3o - b ) + n ]} ch O, sin b, v, (4) - /i v; + /* 4 v = = X {Ci,f"[n - > 3 (a - b )] + C J. 4,6m/,b f } sh a sin b,č + /= i + Z {- i= 1 C I,Í 4,6taibi + C i n[n -,3(O - b )]} ch a cos b^. Pro stanovení partikulárních řešení rovnic (4A7) odvoďme pomocné vzorce. Partikulárním řešením rovnice (4.18) F (4) (0 - t? F"(č) + n 4 F(Q = P t sh a sin bč + P ch ac cos bč + + P 3 sh a4 cos b + P 4 ch O sin b, kde P r až P 4 značí jisté konstanty, je funkce (4.19) F(č) = A sh OC sin b + B ch a<j; cos bc + C sh a COS b + D ch ač sin b. Hodnoty koeficientů A, B, Ca L> určíme dosazením příslušných derivací funkce (4A9) do rovnice (4J8) a porovnáním součinitelů u stejných členů. Označíme-li symbolem L determinant (4.0) L = 4O b - (a ~ b ~ ti ), ~4ab(a - b - n ) platí pro koeficienty funkce (4.19) 4ab(a - b - t? ), 4O b - (a - b - n ) = [4a b + (a - b - r/ ) ], (4.1) A = - P l [4O b - (a - b - t. ) ] + P - 4ab(a - b - n ), B = - P l 4ab(O - b - w ) - P [4O b - (a - b -,. ) ], L L C = [4a fo - (a ~ b - n ) ] - P - 4 4«ft(«- '' -» ) - Lv L^ D = P 3 4ab(a - b - n ) - P - 4 [4a h - (a - 6 -,, ) ]. 14

16 Hledaná řešení rovnic (4.13) nabudou tedy podle vztahů (4.17) a pomocných vzorců tvaru (4.) u n = Z [(" i, A,. + e (í^,/) sh ag cos b f + (^,,-Cj j + fi lfi C.ř) ch ««í sin b ~], i= 1 ^ = Z [( e 3,řC, j - s 4tř C i/ ) sh </. sin b,.c + (fi 4f/ C,,. + 3,,C, f ) ch a cos b&~\, i=l kde pro koeficienty e ljf až ^,i P latí podle vzorců (4.1) (4.3) s Ui = *- {[v(3tf - b ) + n ] [4a 6 - (O - b - z/ ) ] - L f -4a [v(3/> - a ) - a ] (a - /> - n )}, 8,1 = 7 {[v(3/^ - a ) - a ] [4a /> - (a - 6? - a ) ] + + 4n [v(3a - b\) + a ] (a - /> - a )}, = ~ {[,3(a - /> ) - a ] [4a /> - (a - />? - a ) ] ,4a Z> (a - b] - n )}, fi, ; = ^ ^ i {,3[4a 6 - (a - /> - a ) ] + Li + [,3(a -/>?)- n ] (a -/>?-n )}. Determinant L! (L ) stanovíme ovsem podle vzorce (4.0) dosazením a Í9 b l (a, b ). Řešení úlohy tedy obsahuje v obecném případě podle vzorce (4.11) pro každé n osm neznámých integračních konstant, jimž odpovídá osm počátečních parametrů, tj. hodnoty funkcí u n9 v n9 w n9 w n, n x n9 n X(pn9 m xn a q xn v průřezu č, = 0. V řešeném problému je vzhledem k jeho souměrnosti k průřezu = 0 počet integračních konstant redukován na čtyři. Přihlédneme-li totiž k vzorcům (4.) a (4.4). splňují zřejmě funkce (4A5) a (4.) podmínky souměrnosti úlohy (4.4) u = 0, w' n - 0, n X(Ptn = 0, q xn = q xn = 0 pro c = 0. K určení zbývajících neznámých konstant užijeme pak podmínek (4.5) u n = 0, w n = 0, n X(pn = t n, q x%n = p n pro c = --. r Prvá podmínka vyjadřuje přitom nutnost nulového pootočení a zamezené deplanace ztuženého průřezu nádoby, druhá nulové pootočení normály střednicové plochy v tomto průřezu. Obě tyto podmínky platí pro střední pole velmi dlouhé nádoby. Třetí podmínka (4.5) vyjadřuje pak rovnost měrné smykové síly vnějšímu smykové- 15

17 mu zatížení a čtvrtá rovnost náhradní měrné posouvající síly vnějšímu radiálnímu zatížení, přičemž se předpokládá, že okrajová zatížení smykové t i radiální p v průřezu = //r jsou dána ve tvaru Fourierových řad QO (4.6) t(cp) = Y K s m n<p, P(<P) = Po + Z Pn cos n( P п= 1 Označíme-li nyní a ř a /?,- hodnoty argumentů oo (4.7) «,= "i-', /? ; = ^ pro i =1,, r r vedou podmínky (4.5) podle vzorců (4.), (4.5), (4.15) a (4.) pro každé n (n = 1,,..., co) k soustavě rovnic (4.8) Z [ C I,Í(,Í cn a i sm PÍ ~" e i,i sn a i cos /?.) + i=i + C,i( l,i Cn a i Sm /?i +,i Sn a i C0S Pii] ~ O, YJ [ C I.ií^i cn a ř s m /?i + bi sn a i cos />i) i=l C,i(bi ch (Xi sin /?,- a,- sh a ř cos j? ř )] = O, Z { C l,i[( fl i e 3,i - PiO Cn a i s * n Pi + (^3,i + «i e 4,i) S " «j COS &] - i=l r ~ C,[(^i 3.i + ^4,.) ch a i SÍn & - (^ i 3,í ~ & 164,1) Sh a i C0S &]} = (1 + V) t n, El Z { c i,i[^i(^^? ~~ a?) cn a i sm & ~ bi(3a - b ) sh a ř cos /? ř ] + 1 = 1 + C,[bi(3O - b ) ch a ř sin jí, + O ř (3b - a ) sh a, cos &]} = (1 - v ) ~ Pn, Eb Při daném okrajovém zatížení (4.6) stanovíme tedy řešením soustavy (4.8) všechny neznámé integrační konstanty. Podle odvozených vzorců můžeme pak v každém bodě střednicové plochy konstrukce určit její přetvoření i napjatost s libovolnou přesností. 4. Řešení okrajové úlohy užitím zpřesněné rovnice (A0) Dosadíme-li příslušné derivace třetí funkce (4A) do zpřesněné rovnice (.10), dostaneme opět pro rotačně souměrnou úlohu základní rovnici (4.6) a pro obecný okrajový problém nekonečně mnoho rovnic tvaru (4.9) w[ S) - 4n w ( 6) n + 6ri 4 w,, 4) - 4n 6 w' n ' + n 8 w n + (4/c 4 -,3ti ) w< 4) = O. Pro zjednodušení záznamu byla zde opět dosazena za koeficient druhého členu rovnice (.10) hodnota (4.16). 16

18 K relaci (4.9) přísluší rovnice charakteristická (4.30) (ni - n f + (4K 4 -,3n ) A = 0. Tvar kořenů této rovnice zřejmě závisí na znaménku jejího druhého členu. Této skutečnosti není ovšem v Donnellově rovnici dbáno. Pro dosti malá w, kdy platí w N /,3 < /c, má osm kořenů rovnice (4.30) tvar daný vzorci (4.9), platí-li nyní (4.31) a na = - {[(I6w 4 -,3w + 4/c 4 ) 1 + 4w p + (4/c 4 -,3w ) 1 }, - v b na = -1 {[(16w 4 -,3w + 4/c 4 )* - 4/7 ] 1 + (4/c 4 -,3w )*}, v a n = - l T {[(16w 4 -,3w + 4/c 4 ) 1 + 4w p - (4/c 4 -,3w )*}, x / b a - l T {[(I6w 4 -,3w + 4/c 4 ) 1-4/7 ] 1 - (4/c 4 -,3w )*}. Z y! Z Řešení rovnice (4.9) je pak dáno funkcí (4.11), do jejíchž argumentuje třeba dosadit čísla (4.31). Zanedbáme-li ve vzorcích (4.31) hodnotu,3w, dostaneme ovšem opět parametry (4.10). Existuje-li celé číslo w takové, že platí w x /,3 = /c, je při tomto w řešením rovnice (4.9) funkce (4.3) w n = (C na + C, Č + C.,^ + C na e) sh + + (C.,5 + C W>6 Š + C n, 7^ + C ^3) ch W{. Konečně pro w splňující podmínku w v /,3 > /c má osm kořenů rovnice (4.30) tvar ( 4-33 ) /*,!. = ± ««,!, l',.,3,4 = ± Vl > Mn.5,6,7.8 = ± 0, ± ^,,* kde a t, b na, a n> a b značí reálná čísla (4.34) a na = {[(,3w - 4/c 4 )* + 4/i ]* + (,3w - 4/c 4 ) 1 }. b?i>i - *{[(,3w - 4* 4 )* + 4»T - (,3w - 4/c 4 )*}, *.. - [ 4 " ~ (,3«- 4/c 4 ) 1 ] 1, b /Jí = (,3w - 4/c 4 )*. Řešením rovnice (4.9) je proto v tomto případě funkce (4.35) w n = C na sh a tl š + C t ch O /ia C + C /J>3 sh b /J(1 c + C na ch b, >1 + + C t5 sh a, Č sin b /J> c + C /If6 sh <7 /J< t cos b /J<^ + C t7 ch </ i c; sin b na i + + Qgch a tu l cos b /J> č. 17

19 4..1 Případ n^,3 < /c Pro okrajový problém souměrný ke střednímu průřezu = 0 je tedy v daném případě řešením základní rovnice (4.9) funkce (4+5) s hodnotami parametrů a nh b nj podle vzorců (4.31). Dosaďme nyní funkce (4+) do rovnic (+ 1). Tím dostaneme opět rovnice (4.1), kdežto na místě rovnic (4+3) nyní bude s užitím hodnoty (4.16) platit (4.36) n u'l + n 4 u = í v - n k V W + ÏЃW, v; ' - /rv;; + n v n = n w n,3/7w," + nk.,(*> 1 - Vyjádříme-li výrazy na pravých stranách těchto rovnic příslušnými derivacemi funkce tvaru (4+5), dostaneme (4.37) м< 4 >-«X'+nЧ = I CiЛ v _ fc L )( 3a _ 0 ) + n 1 V c.i«i v _ k L±_ V )( 3 o _ a ) _ n 1 V > sh a Ç cos b ř ç + c Л ь t -ľ.\cг,fi, v _ fc L_Ľ_) (Зbf - af) - n 1 - v, V _ n k l±l) ( Зa _ ^) + n 1 V г< 4 > - «Ч' + n\, = > ÍC UІ ïn -,3(a - b ) + C 7 [- + C 1Л. a ibj,3 4k + ><- Q^Oд-,3 + ch a^ sin b^, (6a o -a v 1 - v (*? ~~ bђ sh ӣfe sin bj. + 4k 1 - v (a - bľ) + k,3(a - bf) - -"- (6a Ь - a 4 - b*] 1 V ch ŰJГ; cos b. Řešením těchto rovnic jsou opět funkce tvaru (4.) ovšem s jinými koeficienty, které určíme užitím pomocných vzorců (4.1) (4.38)? >] \ (3a\ _ fo ) + ^ [4a /, - (a - b - n ) ] - -4a V - П k - t i ) ( 3o _ aђ _ 1 V (a - a - n )), 18

20 *,i = ^З.І L v + 4b? v - v - n k + v (Зb? - O?) -,? п fc V )(3я?- b?) + /? î V k Җa - b?) + (6O?b? - a 4 - b 4 ) -,? 4 1 v x [4O?b? - (O? - b? -,? ) ] lafbj na { b-, L + 4k ' (я? - 1 V bђ,3- (a?- b?) 1 - v [4O?b? - (a - b? -,? ) ] + >?-ь?-«)j. k,3(a? - b?) 4 (6я?b? - O 4 - b 4 ) -,? 1 v (a - b? - w )l, Л [4fl?fo? - (c7? - ò? - «) ] + («? - /.? - «)1 i Při okrajových podmínkách (4.5) stanovíme proto neznámé integrační konstanty řešením soustavy rovnic tvaru (4.8), dosadíme-li za koeficienty této soustavy hodnoty udané vzorci (4.31) a (4.38). 4.. Případ n^/,3 - /c S vynecháním lichých funkcí i indexů /? u integračních konstant a s jejich přečíslováním nabude řešení (4.3) tvaru (4.39) w n - (dí + C É 3 ) sh wf + (C 3 + C 4 č ) ch n{ Dosazením příslušných derivací této funkce do rovnic (4.36) dostaneme (4.40) u (4) - n u" n + n 4 u n - A x sh n + /? A C sh ne +,?A 3 c ch,? + + n 3 A^3 ch /?c, v; 4) - /? v;; + n 4 v n _ nb x ţ sh и + /i 3 ß í 3 sh /? + B 3 ch иč + + /? BІ4.C 4^ ch nç kde symboly A, až A 4 a B, až B 4 označují tyto lineární kombinace integračních konstant funkce (4.39) (4.41) Aj = (3n Cj + 6C + /? 3 C 3 + 6/?C 4 ) (v - n k n (C\ +,,C 3 ), ^ = (9C + wc 4 ) [v - /? k ) + 3C +,?C 4, 19

21 Aз - («C! + 18C + 6/1С4Ҷ v - n k L±_ľj 4- n(nc x + C 4 ), A 4 = C [ 1 + v - // /c l 1 - V B! = /7 k (n Cx + 36C + 8//С 4 ) -,3(/î C t + 6С, + 4/iC 4 ) + n C x 1 V B = C ln k 1,3), I - v B 3 - n k - ~ (4«C, + 4C + n 3 C 3 + l/ic 4 ) -,3/i(//C 1 + /z C 3 + l v + C 4 ) + // 3 C 3, P 4 = n k - (1C + nc 4 ) -,3(6C + nc 4 ) + nc 4. I v Řešení rovnic (4.40) nalezneme ve tvaru (4.4) u n = - ( A 1 + 3A - A 3-6A 4 ) e sh /i + - (A - 3A 4 ) ti 4 sh ni; + 16/r 48 + (-4A+ A 3 + 9A 4 )í 3 ch//^ + -A 4 <fch//í, 48/7 80 Vn = J_ ( B X + 9B - 4B 4 ) e sh /i{ + B 5 sh w{ + 48/ (- B, - 6B + B3+ 3B 4 ) í ch n{ + -- (-3B + B 4 ) č 4 ch n{. I6/ 48 Funkce (4.39) a (4.4) opět zřejmě splňují podmínky (4.4) souměrnosti úlohy k průřezu č, = 0. Neznámé integrační konstanty C, až C 4 stanovíme pak užitím okrajových podmínek (4.5) Případ n x /,3 > K Pro problém souměrný ke střednímu průřezu = 0 píšeme funkci (4.35) ve tvaru (4.43) w n = Q ch a, + C ch b^ + C 3 sh a sin /? + C 4 ch a cos l?. 0

22 Dosazením příslušných derivací této funkce do pravých stran rovnic (4.36) vyplývá (4.44) и^ - п < + п 4 и = С 1 а 1 v n k 1 + v^ 1 - v a\ + n sh a j ţ + C b x v - n k i + v b\ + n sh Ь г ţ + + \C,b 7 C 4 a ï\ - ^C,a, + C 4 ř> ( v _ n k L±Л ( Зű Ь } + ^ л l - V v - a /c "\ (3/3 - a ) - n 1 - vj / v -n fcl^w-a )-n v _ fc L+J ) ( Зö _ fe) ^ 1 V sh a cos b ^ + ch a г ţ sin b, t>< 4) - n ^' + «*-, = C x n ( ka\ -,3a + n ) ch c.ií V C n [ kb\ -,3» + n ) ch o^ + + ic+n n -,3(a - b\) (óa^. - a 4 - & 4 ) I + 1 v '] + CA f?a b 4 лnu ",3-4/c i - b 1 - v (a ) i sh a r^ sin b^ + 4k + J - C 3 иa b,3 - -^- (a - b ) + 1 v >] + C 4 n "n -,3(a -6 ) Řešením rovnic (4.44) jsou funkce k 1 - v (6a b -a\- b\) ch a č, cos b Ç. (4.45) H,,= C, v n k - - i a\ + n I sh aa^ + (a - «) x + C n k X ~~Лb\ + n lsha^ + (a - п ) LV + (-e 1> C 3 +e > C 4 )sha ^cosb ^ + (e > C 3 +є 1>^4)ch a ţ sin Ь, <

23 V n = Cl (a\ - n ) C ka\ ~~,3a\ + n ) ch a^ + \\ - v n ( (b\ - n Y VI /cб? - ;3/> + «ch fc.c, + + (^3.Q - 4,Q) Sh O-^ SÍ11 b + 0>4,^3 + ^3> Q) ch «^ COS b. Přitom koeficienty e t až s 4, obsažené v těchto vzorcích, určíme dosazením hodnot a a b podle vzorců (4.34) do vzorců (4.38). Hodnoty integračních konstant C x až C 4 vyplývají pak opět ze soustavy rovnic, k níž vedou okrajové podmínky (4.5). 5. TLAKOVÁ NÁDOBA S PRUŽNÝMI NAKRUŽKY PREDPJATYMI VNITŘNÍMI TÁHLY Vyšetřeme nyní napjatost a přetvoření válcové nádoby vyztužené pružnými prstenci, které jsou předpjaty vnitřními táhly podle obr.. Označíme-li w d (cp), v d (cp) složky výsledného posunutí bodů střednicové plochy skořepiny v průřezu ř = ljr nasazení nákružku, w s ((p), v s (cp) složky přetvoření pružného prstence vyvozené jeho předpětím a w p (cp), v p (<p) složky přetvoření prstence odpovídající jeho zatížení pružným odporem skořepiny proti přetvoření, vyplývá z podmínky společné deformace prstence i skořepiny podle principu superposice (5.1) w d = \v, + w, v, + v n Funkce w d ((p) a v d (cp) byly stanoveny v předchozích odstavcích jako jisté lineární kombi- M + dm Obr.. Předpětí prstence vnitřními táhly. Obr. 3. Zatížení prvku prstence.

24 nace integračních konstant, tvořící koeficienty příslušných Fourierových řad. Zbývá proto stanovit funkce w s (cp), v s ((p), w p (cp) a v p (cp). Označme R poloměr křivosti střednice nákrůžku, E p, F p a J p modul pružnosti v tahu, průřezovou plochu a moment setrvačnosti průřezu nákružku. Budeme-li označovat tečkami derivace podle proměnné </>, platí při malých deformacích prstence pro jeho přetvoření (5.) v w = NR MR, v + w =. F F F J ^P 1 P Kladný smysl normálně síly N (tah) a ohybového momentu M je naznačen na obr. 3. EJ P J P 5.1 Přetvoření prstence vlivem předpětí Vyšetřeme přetvoření prstence vyvozené podle obr. silami S, které jsou ekvivalentní soustavě sil S (5.3) S = S v /3. Danému zatížení prstence odpovídají jeho vnitřní síly (5.4) N = - S[cos cp + ( x /3) sin cp], T = [(^3) cos (p - sin (/>], Z ^J J -- \/ 5 M = M 0. ^^[(\/3) sin cp + cos q> - 1]. Jedinou staticky neurčitou veličinou je tedy ohybový moment M 0 v průřezu <B = 0. Tento moment je třeba určit z příslušné přetvářné výminky. Eliminací funkce v dostaneme z rovnic (5.) (5.5) w + w = Dosazením podle vzorců (5.4) vyplývá MR E p Jp NR E p F p (5.6) w;>». = - -f- M 0 - ff íl - (l + Jj^l^smcp + cosa. >! ( / v 3) p J p ( V R f,/ ) Řešením rovnice (5.6) je funkce (5.7) w s = - M < - [ 1 H / j \cp sin </> - ( v /3) <D cos </>!> + A sin </> + fícos </>, 4(.y3)v-l V R!V v J i 3

25 kde A a B jsou integrační konstanty. Dosazením této funkce a prvého výrazu (5.4) do prvé rovnice (5.) a integrací dostaneme (5.8) v s = R,, SR 3 <B M 0 ę E J p 4(VЗ)E p J p / i _ P j [ qy (p + i (p ( c o s s n v /3) cp sin </> (>/3) cos cp] V SR _ [sin <p - (v 3) cos (p] A cos <p + B sin <p + C, (^/3) F-Fp kde Cje další integrační konstanta. Stanovme ještě derivaci funkce (5.7) on 3 / j \ (5.9) w s * = I 1 + _- ^- 1 [sin <p + (p cos <p - (^3) cos cp + (^3) <B sin cp] + 4(^/3) EpJp \ R FpJ + A cos (p B sin </). Funkce (5.7) a (5.8) obsahují tedy čtyři neznámé konstanty M 0? A, B a C, které je třeba určit z okrajových podmínek (5.10) w* = 0, v. = 0 pro cp 0 a <p = TT. Z těchto podmínek vyplývá podle vzorců (5.8) a (5.9) soustava rovnic (5.11) l'l + J ] W P J P R F, SRÌ U + 4 P І P R E, SK 3 " 4F,J P 7IR i# SR 3 3E p J p M 0 AE p J p jejímž řešením dostaneme 1 + зjз 1 + ъjъ SR E P F P Ј R F p J\3j L A + _iß + G = 0, IA-^_=0. - A + C = 0, 71-1 SR F_F, + (5.1) A=J*Ĺ( 1+ J*Л, в = ^ ( l + ± 4F.JЛ К F_/ 4F П J + 71 V R F p j \ N /3 9 C = SR3 EpJ p ' M 0 = SR {Ъ yjъ - тc). Г тт /3 x 4

26 Dosazením těchto veličin do vzorců (5.7) a (5.8) vyplývá hledané přetvoření prstence vyvozené jeho uvažovaným předpětím (5.13) ЗSR 3 + SR3 i -Ł + sin (p + ne p J p 4E p J p R F H (3 yjъ + 4тc) cos (p + ę sin <p <p cos <B SR 3,, ч SR3 Л J p vs = (к - 3<p) тie n J n 4E n J n V R F <p sin <p - </> COS ф 1 SR ^3 j (V3)E p E p Vyjádřeme funkce (5A3) Fourierovými řadami (5-14) (3 yj3 + K) sin </) cos - [sin <p (v 3) cos <B]. w s = J 0 + ^] ^п c o s П( P j ü я = X! e л s ш П( P и = 3,6,... и = 3,6,... které splňují okrajové podmínky (5.10). Užitím známých vzorců pro Fourierův rozvoj dostaneme (5.15) 3SR 3 KE P J P R F, зsr 3 * 1 ( j \ 1 + г n j sm nę тге р 7 р =з 6,... и(и - I) \ Я Г I z J n l cos nę, R F p/ /п = зб,...(tг - 1) 5. Přetvoření prstence vyvozené jeho spojitým zatížením Stanovme přetvoření prstence vyvozené spojitým Fourierových řad OO 00 (5.16) p = p 0 + p n cos nq>, l = X t sinrc<p, ft = 1 M = 1 zatížením daným ve tvaru přičemž předpokládejme, že smykové zatížení í působí na prstenec v jeho střednici. Z výminek rovnováhy prvku prstence plyne podle obr. 3 soustava rovnic (5.17) T + N - pr = 0, /V' - T + tr = 0, M - TR = 0. Eliminací funkce T((p) posouvající síly dostaneme (5.18) N" + N = R(p - ť), A_T" + M' == R (p' + ř). Z rovnic (5.) odvodíme (5.19) г N" + N = -^P (ť" + v* - w" - w), R M" + M' = FnJ -* (v :: + v" + w : " + w"). 5

27 Podle relací (5.18) a (5.19) tedy platí (5.0) v + v w w = v :: + v" + VV :: ' + W* 7(p-f) EPFP R 4 (p + t). EpJp Dosadíme-li do rovnic (5.0) funkce (5.16) a funkce (5.1) dostaneme soustavu rovnic vv = d 0 + ] d n cos nę, v = ]Г e я sin ncp n = 1 n = 1 (5.) d 0 = - R E P F p 0, (" - 0(Л - "O R E P E P (P - "t ) n (n - 1) (ПÍ/ - e ) = - (np - / ), E P J P jejímž řešením vyplývá R 4 (5.3) d = R 4 1 f E p J p (n - 1) R F, Pn J 1 + "4 n 1 t R и F Є n R E^J^iOi -!)! 1 +. R F и p я # F Funkce (5.1) tedy nabudou tvaru (5.4) R K 4 " 1 E Po - r _- P F P ' E p J pп^i(n ~ 1) 1 + -Í-^P.- -fl + y" " V"1 COS "^' R F,/ nv R F ;) 7 j -?i І 1 E p J p =x n(n -l) i + 4" " 1 v n - - (i + 4*- R Ғ / "V R F r/ 4 ) t n \ sin /K/). 5.3 Přetvářné podmínky konstrukce Ze vzorců (5.15) je zřejmo, že vyšetřovaný problém je superposicí rotačně souměrné úlohy vyjádřené prvým členem funkce w s a úlohy souměrné k rovině q> = 0, definované příslušnými nekonečnými řadami. Podle odst. 3 a 4 obsahuje řešení v případě konstrukce souměrné ke střednímu průřezu č, = 0 pro rotačně souměrné přetvoření tři integrační konstanty a pro každé n čtyři integrační konstanty. Předpokládejme, že 6

28 průřezy konstrukce mohou \o\né dilatovat. Potom při dlouhé nádobě s mnoha nákružky užijeme k určení integračních konstant okrajových podmínek (5-5) n (Kx = 0, w 0id = 0, w 0J - w 0tS + w 0tP, (5.6) u n4 = 0, w ntd = 0, w lud = w. v + w tp, v, d = v >s + v np, kde index 0 označuje rotačně souměrnou složku přetvoření a index d průřez č, = Ijlr nasazení nákrůžku. Podle vzorců (4.) a (4.5) platí při splnění podmínek (5.6) D (5.7) n xip, d = 0 - v)«^ XX d sin n( P> r n=\ K K 5*,d = * w 0 ' íd X <',d cos /?</> Tyto měrné sily působí ovšem zleva i zprava na vyšetřovaný nákružek, a proto jejich dvojnásobné hodnoty vyjadřují pružný odpor skořepiny proti přetvoření (5.1). Ze srovnání se vzorci (5A6) pak vyplývá (5.8) K Po = + w o r Pn a užitím vzorců (5.4) stanovíme (5.9) y 0,p KR w 3 KR 4 1 H к ъ E p J p r 3 (n - l) KR 4 1 E p J p r 3 n{n - l) R F, K 7 w " f, ч Ð. '.= -(I - v) -v, ud r l - V kn Љ- n R F p i + А n- R Ғ / kn R Z F kde je symbolem H označena poměrná tuhost (3A5). Při platnosti prvé podmínky (5.5) je podle vzorců (3.), (3.4), (3.10) a (3.11) řešením rovnice (A4) resp, (4.6) funkce (5.30) y 0 = Ai sh кç sin кč + A 4 ch кţ cos кţ. Dosazením této funkce a příslušných členů podle vzorců (5A5) a (5.9) do posledních dvou podmínek (5.5) dostaneme soustavu rovnic (5.31) Aj^ch p sin p + sh p cos P) - A 4 {ch jí sin p - sh jí cos /?) - 0, Ai[sh fi sin j8 + H(ch p sin /i - sh /i cos />)] + + A 4 [ch /? cos ß + tf(ch 0 sin ß + shß cos /?)] 3SR яe p Ғ p 7

29 kde argument /i označuje hodnotu (3.13). Soustavy (5.31) a (3A4) se liší pouze pravou stranou, z čehož vyplývá, že zůstanou v platnosti všechny vzorce (3.16) až (3.4), nahradíme-li v nich rozdíl AR veličinou 3SR/KE P F P.Stejná analogie platí i při zamezené dilataci, a proto v tomto případě užijeme vzorců odst. 3.. Konstanty C h obsažené ve funkcích (4A5) a (4.), resp. v příslušných funkcích odvozených v odst. 4., stanovíme pro každé n užitím okrajových podmínek (5.6), přičemž ze tvaru funkcí (5A5) vyplývá, že tyto konstanty mají nenulovou hodnotu jen pro n 3,6,9,... = 3m (m = 1,, 3,...). Dosazením podle vzorců (5.15) a (5.9) nabudou pak poslední dvě podmínky (5.6) tvaru (5-3) =fitv -.)". -(l + ^) <., + + L~-( í + ^- A ', = ^( í+ J-, 6km V ' R F n )~ 3 m, d KKRV ' R F p 3E p J p r 3 KR 4 (9m - l) v 3řM - íl + - ^ m \ w'^d V/ 81J P A, 3Sr 3 í 9J P + l + P m4 \ v f = i + P. m< 6km V K F P / 7TKK V ^^p Levé strany těchto rovnic a prvých dvou rovnic (5.6) jsou pro každé m podle vzorců odst. 4 jistými lineárními, navzájem nezávislými kombinacemi čtyř neznámých integračních konstant. Řešením této soustavy lze tedy vypočíst všechny integrační konstanty. Podle příslušných vzorců odst. 4 pak stanovíme odpovídající napjatost i přetvoření vyšetřované konstrukce. Literatura [1] W. Flügge: Statik und Dynamik der Schalen, Springer-Verlag, Berlin [] L. H. Donnell: Stability of Thin-Walled Tubes under Torsion, NACA Techn. Rep. 479, [3] L. S. D. Morley: An Improvement on Donnelľs Approximation for Thin-Walled Circular Cylinder, Quart. Ј. Mech. and Appl. Math., [4] B. 3. Bлacoв: Oбщaя тeopия oбoлoчeк, Mocквa [5] R. Dąbrowski: Die Berechnung der allseitig starr gestülzten Kreiszylinderschalen, Der Bauingenieur 37, 196. [6] H. Schorer: Line Load Action on Thin Cylindrical Shells, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., [7l V. Panc: Stаbilitа tenkostěnnýсh trub а nádob se ztuženým plаštěm pri rovnomérném vnějším rаdiálním přetlаku, Aplikасe mаtemаtiky, sv. 1, [8] V. Panc: Die stаtisсhe Untersuсhung von dünnwаndigen Rohrleitungen und Zylinderbeh ltern, Aсtа Teсh. Aс. Sс. Hung., Tom. XXXV-XXXVÍ,

30 Резюме ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ РЕЗЕРВУАРОВ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ УПРУГИМИ КОЛЬЦАМИ ВЛАДИМИР ПАНЦ (У1аоЧгшг Рапс) Настоящая статья содержит сводку общеизвестных основных уравнений, примененных разными авторами к решению краевых задач в теории круговых цилиндрических оболочек, и уточненное уравнение (.8), обоснованное на соо 1 ношениях (.1) и (.3). Для решения краевой задачи при расчетах цилиндрических резервуаров предлагается упрощенное основное уравнение (.10), которое представляет собой особенное дополнение уравнения Донела (1.). Оба эти уравнения сравниваются посредством их применения к решению общей краевой задачи. Как особенную осесимметричную задачу рассматривает автор напряженное и деформированное состояние тонкостенных резервуаров и трубопроводов, предварительно напряженных упругими кольцами, надетыми при их нагревании. Равно как и слоистые предварительно напряженные сосуды имеют эти конструкции в современном строительном деле большое значение, так как у них возможно достигнуть лучшего использования материала. Практическим применением соотношений, приведенных для общей краевой задачи, является предложенный автором метод решения напряженного состояния цилиндрических резервуаров с упругими кольцевыми ребрами, предварительно напряженными согласно рисунку. л18аттеп1*а$8ип ТНЕОК1Е ОЕК ^^КСН Е1А8Т18СНЕ К1ЖЗЕ VОКСЕ8РАNNТЕN ОШСКВЕНАЕТЕК У1Л01МШ РАМС О/е уогие^епбе АЫтпё1ип Ъпщ1 ете ОЬешсЫ с!ег Ьекапп(е$1еп Огипа 1е1- спищ*еп, 6\е Vоп уегзсыедепеп УегГаззегп /иг Ьд$ип% УОП Капо!\уег1ргоЫетеп т о!ег ТЬеоп'е с!ег Кге18уПпс1ег8спа1еп ЬетЛг! ууигёеп, ипа ете аиг о!еп Ве1епип&еп (.1) ипс! (.3) е&гипс1е1е ^епаиеге <31еюпип (.8). 7иг Ебзип& сзез Капё\уег1- ргоыетз Ье1 с1ег Вегесппит* аег гунпёпзсьеп ВеЬакег уу.га аапп уот УегГа88ег ете уегет[аст:е Сгипс1 1е1спиш* (.10) етргоыеп, сие ете Уегуо11$[апсП иш* ёег ОоппеНзсЬеп 01еюпип (1.) уог81е111. ВеИе онезе СПеюЬип^еп у/епдеп пи Векга& с1игсн Ео8Ип с!ез а11 ететеп КапахуегфгоЫетз а!ег Ыег е81ешсп АиГ^аЬе уег^нспеп. 9

31 Als eine spezielle drehsymmetrische Aufgabe untersucht der Verfasser Spannungsund Verformungszustand von dünnwandigen Druckbehältern und Rohrleitungen, die durch eiastische vor dem Aufpflanzen erwärmte Zugringe vorgespannt werden. Ähnlich wie Druckbehälter mit mehrschichtigem vorgespanntem Mantel sind auch diese Konstruktionen, mit Rücksicht auf die Möglichkeit der besseren Ausnützung des Materials, für die technische Praxis von beträchtlicher Bedeutung. Eine praktische Anwendung der für das allgemeine Randwertproblem entwickelten Formeln ist dann an Hand vom entworfenen Verfahren der Untersuchung des Spannungszustandes von Ringrippenbehältern, deren elastische Ringe durch innere Zugbände nach Abb. vorgespannt werden, vorgeführt. Adresa autora: Ing. Vladimir Panc CSc, Belocerkevskä 197, Praha 10.