NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

Transkript

1 NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou reakcí úměrnou svislému posunu spodního okraje nosníku. Takto spojitě podepřený nosník nazýváme nosníkem na pružném podloží. Jeho řešení se uplatňuje u konstrukcí s kontaktem se zeminou (např. základové konstrukce). V souvislosti s řešením napětí v kolejnici zavedl Winkler v r předpoklad, že normálné napětí, tj. reakce zeminy v základové spáře, je úměrné zatížení pásu v příslušném jeho průřezu.

2 ZÁKLADNÍ VZTAHY Vyšetřovaný nosník spočívá po celé délce i šířce na pružném podkladu. Vlivem vnějšího zatížení se nosník deformuje a je zatlačován do podkladu. přitom působí mezi nosníkem a podložím síla, jejíž poměrnou velikost označíme p[n/m] a je v každém průřezu úměrné zatlačení. q(x) q(x) dx q(x) dx y p(x) dx b Zatížení působící na nosník Nosník na pružném podkladu

3 T q(x) dx +d p k y k je součinitel stlačitelnosti [N/m ] k b c b je šířka nosníku [m] c je modul stlačitelnosti pružného podkladu [N/m ] p(x) dx dx T+dT ůžeme napsat podmínku rovnováhy vnějších a vnitřních sil a s použitím Schwedlerovy věty a diferenciální rovnice ohybové čáry obdržíme diferenciální rovnici ohybové čáry Síly působící na element nosníku d dx EI - y EI d dx dy dx T dt dx q Z teorie pružnosti diferenciální rovnice průhybu nosníku konstantní ohybové tuhosti pro I - konst. x

4 d y EI dx x * p x kde p * x je obecné zatížení působící na nosník. V našem případě působí na nosník shora zatížení q x a zespodu zatížení x p : p * x qx px qx k yx kde EI je ohybová tuhost EI d y dx x ky x qx Rovnice průhybu nosníku na winklerovském podloží má potom tvar d dx y k EI y qx EI, což je nehomogenní obyčejná rovnice.řádu. Řešení se skládá z obecného řešení homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu nehomogenní rovnice.

5 Partikulární řešení y x y Je-li q x takové, že platí d q dx x. pak y x qx 1 k Obecný integrál homogenní rovnice d y k y dx EI Zavedeme proměnnou x r, kde EI r je charakteristická veličina mající rozměr délky a novou k x proměnnou (poměrná pořadnice). r Obecný integrál hledáme ve tvaru y x s A e n x kde A n n - libovolné konstanty n s n - kořeny charakteristické rovnice

6 Charakteristická rovnice má tvar s r resp. s a jejíž kořeny s ia, s 1 ia, 1, 1 jsou komplexně sdružené. Řešení homogenní diferenciální rovnice lze potom zapsat ve tvaru y x e C C sin e C cos sin cos 1 C kde C 1 až C jsou integrační konstanty, a lze jej přepsat na tvar, y x A1 cosh cos A cosh sin A sinh cos A sinh sin kde A 1 až A jsou integrační konstanty.

7 Z výrazu pro ohybový moment nosníku d y d y EI dx r d po úpravě dostaneme EI r d B1 cosh cos B cosh sin B sinh cos B sinh sin Obdobně pro posouvající sílu d y T d dx d r d EI d r d y Stálé zatížení Účinek libovolného zatížení podle zákona superpozice lze určit tak, že se stanoví vliv každého břemene zvlášť a jednotlivé účinky se sečtou. Proto postačí znát řešení nekonečně dlouhého nosníku zatíženého jedním břemenem nebo jedním momentem.

8 ZATÍŽENÍ JEDNÍ BŘEENE x P x e y e x x r P P P T T Průhyb nosníku na pružném podloží pod osamělým 1 Graf funkce Pro bod střednice nosníku, který je nekonečně vzdálen od místa zatížení, platí: dy dy dy a) x : y resp. dx rd d dy dy dy P b) x : resp. T dx rd d

9 Z podmínky a) dostaneme dy Ce cos Ce cos C C e cos d e C, C libovolné; e proto musí C1 C b) dále pro x r tedy pro dy C e cos C e sin C e sin C e cos d C Dosazením do rovnice pro průhyb yx e C1 cos C sin e C cos C sin C C C y Ce cos sin

10 Z podmínky pro posouvající sílu d y T EI r d y Ce cos sin dy C e cos sin e sin cos Ce d d y C e sin e cos d sin e sin e cos e cos e sin C e cos d y C d pro x r tedy pro d y C P T EI EI r d r C P r 8EI kde r EI k

11 Potom pro průhyb nosníku na pružném podkladu zatíženém jedním břemenem platí: P r y x e cos sin 8EI Pro první derivaci podle x platí dy dy P r e cos sin e cos sin dx rd r 8EI P r P r e sin 8EI EI Pro ohybový moment dostaneme d y d y EI EI dx r d P r P r e e sin P r e sin e cos e cos sin cos sin

12 Podobně pro posouvající sílu d 1 d P T e dx r d P T e cos cos sin e sin cos Pro průběh vnitřních sil, průhybu a pootočení platí pro x : y y x yx x x x yx T x T x symetrie a antimetrie

13 ZATÍŽENÍ OENTE x r Průhyb nosníku na pružném podkladu pod osamělým momentem Opět platí C 1 C a dále pro x : y,.

14 Potom yx e C cos C sin yx e sin a pro y C C oment vyjádříme opět pomocí druhé derivace průhybu d y d d EI d x EI EI sin e C C r d rd rd r rd e sin e cos EI C r EI e sin e cos e cos e sin C e cos r Pro okrajovou podmínku x Z toho EI r C x resp. je C r EI A rovnice průhybu nosníku má tvar y x e sin. Protože platí r EI y x e sin kr. EI kr lze napsat r

15 dy dx kr e cos sin e Z toho potom: ohybový moment cos posouvající síla T e cos sin r Pro průběh vnitřních sil, průhybu a pootočení platí pro y y x yx x x x yx T x Tx x :

16 NOSNÍK JEDNOSTRANNĚ NEOEZENÝ Vychází se opět z obecného integrálu ZATÍŽENÍ SILOU NA KONCI NOSNÍKU P y x / x Konec nosníku zatížený silou x dv Pro y dx Z podmínek x se dostane, T P Pr P Tedy C C EJ kr Potom P y e cos kr dy P e (cos sin) dx kr T Pr e Pe sin (cos sin)

17 ZATÍŽENÍ OENTE NA KONCI NOSNÍKU Z podmínek x se dostane, T r Tedy C C EJ kr Potom x / x Konec nosníku zatížený momentem y x y kr dy dx kr T e r e e (cos sin) cos (cos sin) e sin

18 PROBLÉY ŘEŠENÍ NOSNÍKU NA WINKLEROVSKÉ PODLOŽÍ 1. Winklerovské podloží se deformuje přímo pod zatížením, kdežto skutečné Winkler skutečnost Deformace podloží pod zatížením podloží vykáže i deformaci mimo oblast zatížení.. Nosník rovnoměrně zatížený po celé délce se zaboří do podloží, aniž se deformuje.

19 . Zanedbává se vliv smykových napětí na styčné spáře. Winkler Přetvoření nosníku pod zatížením skutečnost ZÁVĚR: 1. Poměrně dobré výsledky poskytuje winklerovské podloží pro koncentrovaná zatížení ( osamělá břemena ).. Nepřesnost výsledku je tím větší, čím výrazněji se deformace skutečného podloží šíří i mimo oblast zatížení. Dobré výsledky jsou pro podloží nekohezní ( písek, štěrk ).. Některé nedostatky odstraní idealizace podloží pružnou polorovinou nebo pružným poloprostorem.

20 Příklad - Nosník konečné délky na pružném podkladu Určete průběhy vnitřních sil na nosníku uloženém na pružném podloží, zatíženém symetricky dvěma osamělými silami P P

21 První krok nekonečně dlouhý nosník Zatížíme nekonečný nosník každou silou zvlášť, počátek souřadnic nekonečného nosníku je transformován do bodu působiště síly P. V bodech, kde jsou konce skutečného nosníku spočítáme, N a T T 1 P 1 T T P T

22 Druhý krok polonekonečný nosník Řešíme polonekonečný nosník zatížený jednou zleva a podruhé zprava vypočtenými posouvajícími silami s opačným znaménkem T=-T 1 -T T=-T -T

23 Řešíme polonekonečný nosník zatížený jednou zleva a podruhé zprava vypočtenými ohybovými momenty s opačným znaménkem =- 1 - =- - Třetí krok superpozice (1. +. krok). Sečtením průběhů z 1. a. kroku dostaneme výsledné průběhy vnitřních sil na nosníku konečné délky podle zadání.

24 1. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku nekonečné délky od zatížení osamělou silou. Průběh vynesen jen do konce skutečného konečného nosníku.

25 1. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od symetrického zatížení osamělými silami.

26 . krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení silou na levém konci nosníku. Síla je stejně veliká, ale s opačným znaménkem, jako posouvající síla od zatížení na nekonečném nosníku v místě konce nosníku.

27 . krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení momentem na levém konci nosníku. oment je stejně veliký, ale s opačným znaménkem, jako ohybový moment od zatížení na nekonečném nosníku v místě konce nosníku.

28 . krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení silami na koncích nosníku. Síly jsou stejně veliké, ale s opačnými znaménky, jako posouvající síly od zatížení na nekonečném nosníku v místech konců nosníku.

29 . krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení momenty na koncích nosníku. omenty jsou stejně veliké, ale s opačnými znaménky, jako ohybové momenty od zatížení na nekonečném nosníku v místech konců nosníku.

30 . krok Výsledné průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky zatíženém symetricky osamělou silou

31