FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Přednáška 2 pro kombinované studium Jiří Brožovský Kancelář: LP C 303/1 Telefon: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW:

2 Prut geometrický popis s - řídící čára (střednice, a a 1 s 2 b b b h u přímého prutu také osa prutu) b, h šířka a výška průřezu prutu 1, 2 působiště sil 2

3 Pohybové možnosti prutu Až do konce semestru budeme pokládat prut za dokonale tuhé těleso. ux uz ux ϕ ϕ uz posun prutu (u) pootočení prutu (ϕ) v rovině 3 možnosti ( stupně volnosti ): u x, u z, ϕ y v prostoru 6 možností: u x, u y, u z, ϕ x, ϕ y, ϕ z 3

4 Vnější vazby Vazba proti posunu v daném směru: 4

5 Vnější vazby: alternativní znázornění pro 3D Vazba proti posunu v daném směru (posuvné a pevné klouby): 5

6 Vnější vazby: alternativní znázornění pro 2D Vazba proti posunu v daném směru (posuvné a pevné klouby): 6

7 Vnější vazby pootočení Vazba proti pootočení v daném směru: 7

8 Vnější vazby vetknutí ve 2D Je zabráněno všem posunům a pootočením daného bodu prutu v rovině: 8

9 Zajištění nehybnosti prutu Kinematicky určitá konstrukce: v rovině: jsou odebrány právě 3 stupně volnosti v prostoru: je odebráno právě 6 stupňů volnosti Kinematicky přeurčitá konstrukce: v rovině: jsou odebrány více než 3 (6) stupně volnosti 9

10 Kinematicky určité konstrukce 10

11 Prut bez zajištěné nehybnosti Kinematicky neurčitá konstrukce: v rovině: jsou odebrány méně než 3 stupně volnosti v prostoru: je odebráno méně než 6 stupňů volnosti Výjimkový případ: je odebrán potřebný počet stupňů volnosti, ale vazby jsou nevhodně upořádány 11

12 Prut bez zajištěné nehybnosti 1. N = 3... OK 2. N = 3...!!!! 1. nehybný prut (kinematicky určitý) 2. výjimkový případ 12

13 Idealizované zatížení bodová síla 2. bodový moment 3. liniové silové zatížení 4. liniové momentové zatížení 4. 13

14 Výslednice idealizovaného zatížení F = a.q F = (a.p)/2 q p a/2 a/2 (2/3)a a/3 14

15 Podmínky rovnováhy uvolněného prutu v rovině R2 a R1 R3 b N R =3staticky určitý (kinematicky určitý) n i=1 F i,x =0 m j=1 F j,z =0 g k=1 M k,a=0 N R >3 staticky neučitý (kinematicky přeurčitý) N R <3staticky přeurčitý (kinematicky neurčitý!) 15

16 Stanovení reakcí nosníku (1) R2 a R1 R3 b vždy ověříme, zda je nosník opravdu staticky určitý z podmínek rovnováhy ( n i=1 F i,x =0, m j=1 F j,z =0, g k=1 M k,a=0) vyjádříme neznámé reakce. 16

17 Stanovení reakcí nosníku (2) R2 a R1 R3 b máme k dispozici vždy tři (3) podmínky rovnováhy, můžeme použít i 2 momentové a 1 silovou, je-li to vhodné. momentové podmínky píšeme pro působiště reakcí (reakce v tomto místě z rovnice vypadnou) 17

18 Stanovení reakcí nosníku (3) Jen svislé zatížení, prostý nosník. R a,x = 0, Ra,x = a 0 Ra,z b Rb,z m j=1 M j,a =0 R b,z, g k=1 M k,b=0 R a,z Kontrola: m i=1 F i,z =0 18

19 Stanovení reakcí nosníku (4) Obecné zatížení, prostý nosník. n i=1 F i,x =0 R a,x m j=1 M j,a =0 R b,z, Ra,x a b g k=1 M k,b=0 R a,z Ra,z Rb,z Kontrola: m i=1 F i,z =0 19

20 Stanovení reakcí nosníku (5) Jen svislé zatížení, konzola. Ma a Ra,x = 0 Ra,z b R a,x =0 m i=1 F i,z =0 R a,z g k=1 M k,b=0 R a,z 20

21 Stanovení reakcí nosníku (6) Obecné zatížení, konzola. Ma a Ra,x Ra,z b n i=1 F i,x =0 R a,x m i=1 F i,z =0 R a,z g k=1 M k,b=0 R a,z 21

22 Příklad stanovení reakcí nosníku Ra,x = 0 a Ra,z b Rb,z Mi,a =0: R b,z =0 R b,z = =4kNm Mk,b =0: 11 R a,z =0 R a,z = = 2kNm 22

23 Příklad stanovení reakcí nosníku a b Kontrola: F i,z =0: R a,z +(10 12)+R b,z = =0 kontrola vyšla! 23

24 Téma přednášky: Výpočet vnitřních sil nosníku Vnitřní síly nosníku Rovinný nosník Šikmý rovinný nosník Prostorový nosník 24

25 Prostorový nosník (3D) Vz N... normálová síla y z x My Mz Mx Vy N Vy, Vz... posouvající síly Mx... krouticí moment My, Mz... ohybové momenty Celkem 3 síly a 3 momenty. 25

26 Rovinný nosník (2D, rovina XZ) Vz N... normálová síla V (Vz)... posouvající z x My N síla M (My)... ohybový moment Celkem 2 síly a 1 moment. Stejně tak je možné počítat rovinný nosník pro rovinu XY (N, Vy, Mz). 26

27 Normálová síla (osová úloha) R F1 F2 F3x N N= F i,x Normálová síla v průřezu x se určí jako výslednice všech osových sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). 27

28 Normálová síla znaménka Síla je kladná tahová, působí-li od sledovaného průřezu. Síla je záporná tlaková, působí-li k sledovanému průřezu. x F F F +F

29 Normálová síla síla v průřezu Působí-li zatížení právě ve sledovaném průřezu, pak v něm stanovujeme dvě hodnoty - před (N) a za (N+F) silou. N x F N+F 29

30 Normálová síla příklad Ra,x =

31 Normálová síla zatížení (1) Rax = n L a n L x n Nv = n L L n (x L) b N(x)= R(a)+n x= n L+n x=n(x L) 31

32 Normálová síla zatížení (1a) a x n Nv = n L L n x b Rax = n L n L N(x)=R(a)+n x=0+n x=nx 32

33 Normálová síla zatížení (2) 1) c Nc x L n n L d Nd 1. Rovnoměrné zatížení: n = konst, R x = n x, N(x)=N c n x 2) c tecna Nc 3) n x x L n d d Nd n d o 2 2. Trojúhelníkové zatížení: n x = n d x L, R x = 1 2 x n x, N(x)=N c n d x 2 2 b 3. Lichoběžníkové zatížení: c Nc x L d Nd 2 o součet rovnoměrného a trojúhelníkového: N(x)=N c n d x 2 2 b n x 33

34 Diferenciální podmínky rovnováhy pro N N n dx N + dx x dx Fx =0: N+(N+ dn)+n dx=0 dn dx = n 34

35 Posouvající síla F1 p1 F2 V + R x Posouvající síla v průřezu x se určí jako výslednice všech příčných sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). V x = F i,z 35

36 Ohybový moment R F1 P3 p3 F2 M x d1 d3 d dr + Ohybový moment v průřezu x se určí jako součet momentů všech příčných sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). M x = F i,z d i 36

37 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M V M dq= q dx m M + dm x dx V + dv Fz = 0: V+(V+ dv)+q dx=0 dv dx = q Mi.x = 0: M+(M+ dm) V dx+q dx dx 2 + m dx=0 dm dx = V m 37

38 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M Schwedlerovy vztahy: Pro m=0dostaneme: dv dx = q, V(x)= q(x)dx+c 1 dm dx = V, M(x)= V(x)dx+C 2 d 2 M dx 2 = q 38

39 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M Extrémy V a M: Extrém V je v průřezu, kde q=0: dv dx = q=0 V(x)= q(x)dx+c 1 Extrém M je v průřezu, kde V =0nebo V = m nebo V mění znaménko: dm dx = V =0 M(x)= C 1, C 2 určíme z okrajových podmínek: V(x)dx+C 2, m=0 M =0 M =0, V = 0 39

40 Extrém M V M 40

41 Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M důsledek integrace o o o o o o q V M derivac n n+1 n+2 41

42 Konvence při vykreslování M a V kladné posouvající síly se vynášejí nahoru, záporné dolů momenty se vykreslují na stranu tažených vláken (zde podtržená) 42

43 Příklad výpočtu M a V (1) a L/2 Raz = F + Va = F F L/2 b Rbz =F Vb = F Reakce: R az = F( ) R bz = F( ) Posouvající síla: V a =+F V b = F V(L/2) L =+F V(L/2) P = F Moment: M = Raz L/2 = F L/2 M(L/2)=R az L 2 = F 2 43

44 Příklad výpočtu M a V (2) q a L L/2 Q L/4 Raz + Va M(L/2) b Rbz Vb Reakce: R az = q L 2 ( ) R bz = q L 2 ( ) Posouvající síla: V a =+ q L 2 V b = q L 2 Moment: M(L/2)=V a L 2 L 2 q L 4 = = q L2 4 L2 8 q=1 8 q L2 44

45 Příklad výpočtu M a V (3) Q = q L/2 q Reakce: a L b R az = Q=qL( ) M a = Q L 1 2 = q L2 2 Posouvající síla: Ma Raz Va = q L M V a =+R az = q L Moment: M(x)= q(l x) (L x) 2 = q(l x)2 2 M(a)= q(l 0) L 0 2 = 1 8 q L2 M(b)= q(l L) L L 2 =0 45

46 Pomůcka: Poloha maximálního momentu (1) qc c x d V(c) 1 o V(c) q c x n =0 x n L Tedy x n stanovíme po úpravě: x n = V(c) q c 2 o M(x) = Mmax 46

47 Pomůcka: Poloha maximálního momentu (2) qd c V(c) x 2 o d Kvadratická rovnice: V(c) 1 2 x n(q d ) x n L =0 q d 2 L x2 n V(c)=0 x n Tedy x n stanovíme: L o 3 M(x) = Mmax x n = 2L V(c) q d 47

48 Pomůcka: Poloha maximálního momentu (3) qd c qc x d V(c) q c x n 1 2 x n(q d q c ) x n L =0 V(c) 2 o Kvadratická rovnice: (q d q c ) 2 L x 2 n+q c x n V(c)=0 x n L o 3 M(x) = Mmax Tedy x n stanovíme (viz 8. třída ZŠ): x n = q c+ q 2 c+4 q d q c 2L V(c) 2 q d q c 2L 48