Pružnost a plasticita II CD03

Transkript

1 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: fce.vutbr.cz

2 Obsah předmětu. přednáška spolehlivost konstrukcí výpočtové model základní veličin pružnosti základní vztah pružnosti nelineární pružnost. přednáška těleso (základní veličin a vztah) prut (základní veličin a vztah) 3. přednáška Rovinný problém - stěn (základní veličin a vztah) desk (základní veličin a vztah) skořepin 4. přednáška metod řešení přesné, přibližné variační metod Ritzova metoda, Metoda konečných prvků

3 Těleso ) ( ) ( ) ( E C Rekapitulace veličin vektor napětí vektor deformace vektor přemístění Rekapitulace vztahů diferenciální podmínk rovnováh (3) fzikální vztah (6) nebo geometrické vztah (6) T z z z,,,,, T z z z,,,,, C D u - T T w v u u,, X z z z / / / / / / / / /

4 Prut Prut s vlivem smku Rekapitulace veličin vnitřní síl N, V, M deformace N, V, M přemístění u, w, j Rekapitulace vztahů statické podmínk N n V q M V m fzikální podmínk N EA N V GA V M EI M geometrické podmínk u N j M V w j

5 Prut Prut bez vlivu smku Rekapitulace veličin vnitřní síl N, V, M deformace N, M přemístění u, w Rekapitulace vztahů statické podmínk N n V q M V m fzikální podmínk N EA N M EI M geometrické podmínk u N M w

6 Rovinný problém Rekapitulace veličin vektor napětí vektor deformace vektor přemístění Rekapitulace vztahů diferenciální podmínk rovnováh () fzikální vztah (3) nebo geometrické vztah (3) T,, T,, C D u - T T u u u, X E C deformace rovinná ) ( E C napjatost rovinná u v u v X Y

7 Desk rekapitulace veličin / vztahů - Mindlinova tlustá deska (s vlivem smku) měrné vnitřní síl deformace průřezu přemístění w,j, j podmínk statické podmínk geometrické podmínk fzikální v m m v m m p v v m, m, m, v, v,,,, m m m m m v v m j j v j j dw d dw d v j j m m m v v D D m m m ( ) D Gh. Gh. v v m m

8 Desk rekapitulace veličin / vztahů - Kirchhofova tenká deska (bez vlivu smku) měrné vnitřní síl m, m, m, v, v deformace průřezu m, m, m přemístění w podmínk statické podmínk geometrické podmínk fzikální v m m v m m p v v m m m w w w m m m D D m m m ( ) D m m

9 Metod řešení z hlediska kvalit dosaženého výsledku ) přesné metod přímé řešení diferenciálních rovnic, většinou pro jednoduché konstrukce např. řešení ohbu prutu přímou integrací ) přibližné metod náhrada hledané funkce nějakou aproimací, se kterou se lépe pracuje. Např.: řešení pomocí nekonečných trigonometrických řad (použije se konečný počet členů) diferenční metoda, metoda sítí (funkce je definována v diskrétních bodech, derivace funkce jsou vjádřen pomocí hodnot v okolních bodech a vzdáleností těchto bodů) f ( i) f ( i) h f ( i) Ritzova metoda metoda konečných prvků

10 Metod řešení vcházejí: přímo z diferenciálních rovnic sestavených pomocí základních vztahů (statické, fzikální, geometrické rovnice, popř. podmínk kompatibilit), např.: řešení pomocí nekonečných řad metoda sítí z energetických principů (vjádření potenciální energie, popř. virtuální práce), např.: Ritzova metoda metoda konečných prvků

11 Metod řešení podle primárních neznámých a vužitých rovnic silová metoda primární neznámé jsou silové veličin vnitřní síl nebo napětí vužijí se podmínk kompatibilit, fzikální a statické podmínk např.: stěnová rovnice deformační metoda primární neznámé jsou přemístění vužijí se geometrické, fzikální a statické rovnice např.: desková rovnice, ohbová čára prutu

12 Metod řešení příklad silové metod odvození stěnové rovnice výchozí rovnice: podmínka kompatibilit (), fzikální rovnice (3), statické rovnice () neznámé: deformace (3), napětí (3) podmínka kompatibilit se vjádří v napětích pomocí fzikálních podmínek 3 rovnice pro 3 napětí výsledná stěnová rovnice (pro X=Y=) kde je tzv. Airho funkce napětí, ze které lze přímo odderivovat složk vektoru napětí F F F ), ( F X Y C F F F

13 Metod řešení příklad deformační metod odvození ohbu prutu bez vlivu smku výchozí rovnice: statické rovnice () V q M V fzikální rovnice() M EI M geometrické podmínk () neznámé: vnitřní síl (V,M) deformace průřezu (M) přemístění (w,f) výsledná rovnice ohbové čár j M w j ( EIw ) q

14 Metod řešení Kirchhofova tenká deska (bez vlivu smku) deformační metoda měrné vnitřní síl deformace průřezu přemístění podmínk statické podmínk geometrické podmínk fzikální v m m v m m p v v m, m, m, v, v,, m w m m m m m Dosazení podmínek geometrických. do fzikálních, fzikálních. do statických a druhé a třetí statické do první -> desková rovnice w w w p 4 4 D w w w m m m D D m m m ( ) D m m

15 Energetické princip Energetické princip princip virtuálních prací princip minima potenciální energie

16 Energetické princip Princip virtuálních prací Virtuální deformace libovolný mšlený deformační stav tělesa (popsaný přemístěními a deformacemi), který splňuje kinematické okrajové podmínk (předepsaná přemístění v podporách) a geometrické podmínk (vztah mezi přemístěními a deformacemi) Virtuální síl libovolný mšlený silový stav tělesa (popsaný vnějšími a vnitřními silami), který splňuje statické podmínk rovnováh Virtuální práce: Práce skutečných sil na virtuálních deformacích W T T u F N Práce virtuálních sil na skutečných deformacích W T T F u N Skutečné a virtuální veličin jsou na sobě nezávislé - POSUNY NEVZNIKY DÍKY SIÁM!!!! d d

17 Energetické princip Princip virtuálních prací Virtuální práce vnějších a vnitřních sil je nulová W agrangeův princip virtuálních přemístění W T T u F N d Použití: např. odvození deformační variant metod konečných prvků Castigliánův princip virtuálních sil T T F u N W d Použití: např.: Metoda jednotkových sil pro výpočet přemístění

18 Energetické princip Princip virtuálních sil Aplikace: Metoda jednotkových sil pro výpočet přemístění Virtuální práce W Vjádřená pro prut W D F T T F u N N N d Dosadí se za deformace z fzikálních podmínek D F N N d EA V GA V d V d V d Za virtuální sílu F se uvažuje jednotkový impulz (síla nebo moment) v místě a směru hledaného přemístění (posun nebo pootočení). D představuje hledané přemístění. D NN EA d VV GA d MM EI d M M M M d EI d

19 Energetické princip Přetvárná práce vnějších sil práce, kterou koná závaží na protažení táhla e Doplňková práce vnějších sil práce, která je konána při přesouvání závaží na plošinu * e Obecně n F Du u i i n u DF t F i i t F( u) du u( F) df * e Ft ut Silové a deformační veličin jsou na sobě lineárně pružný materiál e * e F u t t závislé -> postupně narůstají ->odtud /

20 Energetické princip Deformační energie energie, která se akumuluje v konstrukci při její deformaci vlivem zatěžování konstrukce je schopna ji vdat zpět při odtěžování odpovídá přetvárné práci vnějších sil (Pro pružné těleso) obecně pro těleso pro prut i e i i T V N N d dv V V d po dosazení fzikálních podmínek M M d i EA Nd GA d V EI M d

21 Energetické princip Mechanický sstém mechanický sstém = konstrukce + zatížení Potenciální energie sstému změna celkové energie mechanického sstému vlivem zatěžování potenciální energie vnitřních sil energie akumulovaná v konstrukci (kladná) i e potenciální energie vnějších sil ztráta poloh břemene (záporná) e F u ( * e celková potenciální energie i e e e ) * * ( e e ) e

22 Energetické princip Princip minima potenciální energie Ze všech možných deformačních stavů pružného tělesa, které neporušují jeho spojitost a respektují veškeré kinematické okrajové podmínk nastane právě ten, při němž je potenciální energie sstému minimální. min

23 Variační metod Variační metod matematické postup k hledání funkce udělující etrém danému funkcionálu F funkcionál integrál z operátoru nad funkcemi a jejich derivacemi ( n) F (,,... ) d f () l variace funkce infinitesimální změna celého průběhu funkce přípustná funkce funkce splňující okrajové podmínk variační metoda převádí úlohu o nalezení funkce udělující minimum funkcionálu F F etrém na tvar F

24 Variační metod Případ ohbu prutu funkcionál potenciální energie f ( w, w ) podmínka etrému min hledaná funkce funkce průhbu i e Fw i EI e M d EI ( w ) EI ( w ) d d Fw w() přípustná funkce funkce splňující okrajové podmínk. Např.: w() w l

25 Ritzova metoda aproimace přemístění f()... bázová funkce definovaná na celé oblasti konstrukce, splňuje okrajové a i podmínk... neznámé koeficient: mají pouze matematický význam definují váhu dané bázové funkce Bázové funkce - volí se omezený počet funkcí. - variační princip z nich vbere nejlepší možné řešení z hlediska minima potenciální energie n w( ) a i f( ) i - pokud je mezi zvolenými bázovými funkcemi správné PŘESNÉ řešení, je variačním principem vbráno

26 Ritzova metoda podmínka minima vjádřená min vjádření variace parciální derivace podle všech proměnných parametrů vede na soustavu rovnic a i jejíž řešením jsou neznámé koeficient a i. T se zpětně dosadí do původní aproimace a získáme rovnici přemístění. n w( ) a i f( ) i

27 Metoda konečných prvků Aproimace přemístění Rozdělení konstrukce na prvk a uzl Bázové funkce N i patřící k jednomu uzlovému parametru jsou nenulové pouze na okolních prvcích k danému uzlu Uzlové parametr D mají konkrétní fzikální význam hodnota daného přemístění v uzlu - představují primární neznámé, pomocí kterých se vše ostatní vjadřuje Vjádření přemístění po oblasti prvku u( ) [ N]{ D}

28 Metoda konečných prvků Vjádření deformací z geometrických podmínek u N D B D Vjádření napětí z fzikálních podmínek D D B D Vjádření potenciální energie i e V kde K... matice tuhosti T T T T dv D B D BdV D K D T D F T T D K D D F i e D... vektor uzlových parametrů F... vektor uzlových sil V

29 Metoda konečných prvků Vjádření minima potenciální energie podle variačního principu K D F lze provést - pro každý prvek - pro celou konstrukci soustava se stává řešitelnou po zavedení okrajových podmínek řešením jsou uzlová přemístění D, pomocí kterých se zpětně vjádří - přemístění u - deformace - napětí (resp. vnitřní síl) na jednotlivých prvcích

30 Metoda konečných prvků K D F okrajové podmínk homogenní, nehomogenní dosazení příslušného přemístění do uzlového parametru pružné vazb přidání tuhosti pružin do matice tuhosti konstrukce na pozici odpovídající dané síle a posunu zatížení prvkové (spojitá zatížení po oblasti prvku) přetransformuje se do uzlů -> vektor zatížení prvku -> vektor zatížení konstrukce uzlové (osamělá břemena přímo v uzlech) dosazují se přímo do vektoru zatížení konstrukce

31 Metoda konečných prvků Fáze výpočtu analýza prvku sestavení matic tuhostí prvků (dle geometrie, průřezových a materiálových charakteristik) sestavení vektorů zatížení prvků (dle zatížení po oblasti prvku) analýza konstrukce sestavení vektoru uzlových parametrů konstrukce sestavení matice tuhosti konstrukce (z matic tuhostí jednotlivých prvků) sestavení vektoru zatížení konstrukce (z vektorů zatížení prvků a z břemen působících v uzlech) zavedení okrajových podmínek řešení soustav rovnic -> vektor uzlových parametrů konstrukce, reakce dokončení analýz prvku sestavení vektoru uzlových parametrů prvku (z vektoru uzlových parametrů konstrukce) výpočet deformací (z geometrických vztahů) výpočet napětí (z fzikálních vztahů)

32 Metoda konečných prvků definice úloh tp prvku dimenze úloh tvar prvku, uzl na prvku uzlové parametr, kloub na prutech geometrie modelu definice uzlů (souřadnice) a prvků (dle uzlů) definice oblastí + automatické generování uzlů a prutů průřezové charakteristik + přiřazení k prvkům číselně, z katalogu materiálové charakteristik + přiřazení k prvkům číselně, z katalogu podepření předepsaná přemístění uzlů, pružné vazb zatížení + kombinace zatěžovacích stavů uzlová, prvková

33 Metoda konečných prvků Prvk a jejich stupně volnosti (uzlové parametr)

34 Metoda konečných prvků Prvk a jejich stupně volnosti (uzlové parametr)