Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Transkript

1 Přednáška 03 Diferenciální rovnice ohybu prutu Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy 10 MPa 0 MPa 10 MPa Isolinie napětí = napětí se stejnými hodnotami Vrub na nosníku v této oblasti B N hypotéza neplatí 0 kn/m' 5 m h=0,5 m t=0,1 m σ,ma = 1/ /6 0,1 0,3 =41,67MPa E=10 GPa, deformace 300 zvětšeny

3 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy 5 MPa 10 MPa 0 MPa 5 MPa Tato nosná stěna nesplňuje B N hypotézu: Ztráta rovinnosti průřezů Ztráta kolmosti průřezů Neutrální osa není spojnicí těžišť průřezů Nelze tedy modelovat jako nosník 0 kn/m' Průběh napětí na řezu Pro analýzu napjatostního stavu je nutné použít teorii D či 3D napjatosti (napjatost stěn, napjatost 3D těles) 1 m h=0,5 m t=0,1 m E=10 GPa, deformace 000 zvětšeny 3

4 Důsledky kolmosti průřezu na střednici ohyb M y u s () z w s () tan = dw s d = dw d () Pro malé rotace, 1, lze aproimovat tan, = dw d = d d = d w d Geometrická rovnice pro B N model, geometricky lineární model 4

5 Rovnice rovnováhy pro segment prutu V z () M y (+ ) Vnější síly (zatížení) N() N(+ ) f (+ /) m y () f M y () z (+ /) V z (+ ) : : V z V z f z / =0 [ V z V z dv z d V z d!d f df z z d ] =0 =0 0 =0 0 dv z = f d z 1. Schwedlerova věta M y M y V z V z m y =0 dm y =V d z m y. Schwedlerova věta 5

6 Rovnice rovnováhy pro segment prutu dn = f d dv z = f d z dm y =V d z m y d M y = f d z 6

7 Tontiho diagram pro ohýbaný prut Přemístění w Diferenciální rovnice 4. řádu d ( d EI d w ) y d =f z Vnější síly f z = d w d Geometrické rovnice Diferenciální rovnice ohybové čáry w ' '= M y Statické rovnice d M y d =f z Přetvoření Materiálové rovnice M y = Vnitřní síly M y, z 7

8 Diferenciální rovnice ohybové čáry druhého řádu Obyčejná lineární diferenciální rovnice. řádu Staticky určité konstrukce, dvě okrajové kinematické podmínky Předepsané natočení y = w' Předepsaný průhyb w Staticky neurčité konstrukce, až další okrajové kinematické podmínky w ' '= M y Umožňuje řešit i staticky neurčité prutové konstrukce pomocí přetvárných podmínek Postup řešení: převedeme na staticky určitou konstrukci a za zrušené vazby zavedeme příslušné reakce Moment M y obsahuje až další neznámé Neznámé z momentu získáme z dodatečných okrajových (přetvárných) podmínek 8

9 Okrajové podmínky pro ohýbaný prut V koncovém průřezu prutu lze předepsat až kinematické okrajové podmínky w (0)=0 [ vždy M y (0)=0] w (0)=0 w '(0)=0 Volný konec prutu [vždy V z (0)=0 M y (0)=0 ] Symetrická konstrukce Symetrické zatížení Osa symetrie w '( 0)=0 [vždy V z (0)=0 ] 9

10 Příklad vypočtěte průhyb na konci konzoly V z f z =10 kn/m' 3 m = knm 30 kn První dvojnásobná integrace pro funkci momentu dv z () = f d z, V z = 10+C 1 30 dm y () d =V z (), M y = C 45 w ' '= M y = Konstanty C 1 a C lze určit přímo z reakcí + M y 45 knm Druhá dvojnásobná integrace pro průhyb w '= C 3, w '(0)=0 C 3 =0 w= ,5 +C 4, w(0)=0 C 4 =0 Průhyb konce konzoly w(3)=10,15mm 10

11 Grafický vztah mezi momentem a křivostí prutu κ= M y R= M y Oskulační kružnice, střed křivosti, poloměr křivosti Nulová křivost Evoluta = spojnice středů křivostí 11

12 Příklad spojitě zatížený oboustanně vetknutý nosník C C 1 f z =10 kn/m' = knm 3 m Řešení pomocí staticky určitého nosníku V z = 10+C 1 M y = 5 +C 1 +C w ' '= M y =5 C 1 C Odstranění levého vetknutí a zavedení w(0)=w '(0)=0 0=11,5+1,5 C C 1 =15,C = 7,5 Výsledné funkce V z = M y =5 15 7,5 w= 1 EI [ ] Dvojnásobná integrace w '= C 1 C +C 3, w ' (0)=0 C 3 =0 w '(3)=0 0=45 4,5 C 1 3C w= C C +C 4, w(0)=0 C 4 =0 w(3)=0 0=33,75 4,5 C 1 4,5 C w= 5 1 4,5 3 +3,75 Odečtení rovnic w '( 3) w(3) 0=11,5+1,5C C 1 =15,C = 7,5 Průhyb středu nosníku w(1,5)=0,1mm 1

13 Příklady odvoďte vzorce pro průhyby a koncové síly =kost. F F 1 8 FL F 1 8 FL L w(l)= 1 3 FL3 L/ L/ w(l /)= 1 48 FL3 F L/ L/ w(l /)= 1 19 FL3 F f z f z 1 1 f z L 1 1 f z L f z L w(l)= 1 8 f z L 4 L w(l /)= f z L 4 f z L L w(l /)= f z L 4 f z L 13

14 Clebschova metoda integrace podmínky spojitosti Vhodná pouze pro nosníky, kde = konstantní Pro libovolný počet intervalů zredukuje celkový počet integračních konstant na dvě. To je zajištěno spojitostí natočení a průhybů na rozhraní intervalů. Zásady integrace 1) Systém souřadnic volit jednotně pro celý nosník ) Po částech spojité zatížení je nutné vhodně odečítat. Chybějící spojité zatížení na dalším intervalu nahradit protizatížením užitím principu superpozice. Celkové zatížení pak odpovídá zatížení zadanému 3) Moment vyjádřit jako součet momentu z předchozího intervalu a dalšího členu 4) Osamělý moment nutno integrovat ve tvaru ( a) 5) Výrazy tvaru ( a) n integrovat v uzavřeném tvaru tak, aby na rozhraní intervalů byly rovny nule t ( a) n d= t n d d ( a )dt = t n dt= t n+ 1 +C=( a)n+1 +C n+1 n+1 14

15 Příklad určete funkci w pomocí Clebschovy metody f z =1 kn/m' I. II. knm f z =1 kn/m' knm 5 kn =konst. m m 5 kn I. interval M y = w ' '= w '= 3 6 +C 1 w= 4 4 +C 1 +C Spojitost natočení zachována w '(0)= 70, w (0)= w '()=, w()= 80 3 II. interval Spojitost průhybu zachována M y = +( ) 5( ) w ' '= ( ) +5 ( )+ w '= 3 6 ( )3 6 w= 4 4 ( )4 4 w '(4)=0 C 1 = 70 3 w(4)=0 C = ( ) +5 ( )3 6 +( )+C 1 +( ) +C 1 +C 15

16 16

17 Otázky 1. Co je izolinie napětí? Při jakých typech výpočtů se používá?. Popište závislost mezi křivostí, natočením a průhybem prutu. 3. Odvoďte 1. a. Schwedlerovu větu na infinitezimálním úseku prutu. Eistuje nosník s nulovým momentem a nenulovou posouvající silou? 4. Lze diferenciální rovnicí druhého řádu řešit staticky neurčité konstrukce? 5. Jakého řádu je funkce průhybu při rovnoměrném spojitém zatížení? 6. Lze ze znalosti fukce průhybu určit spojité zatížení nosníku? 7. Bude funkce natočení průřezu spojitá při osamělém momentu? 8. Bude v kloubu konstrukce zachována spojitost natočení zprava a zleva? Bude spojitost zachována v průhybech? 9. Co jsou podmínky spojitosti na nosníku a za jakých podmínek se používají? Jaký je počet podmínek ve vztahu k počtu intervalů? 10. Nakreslete konzolu, která má konstantní křivost. Jak vypadá funkce momentu? Nakreslete střed křivosti nosníku a určete poloměr křivosti. Vytvořeno 0/011 v OpenOffice 3., Gnuplot 4., Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer 17