ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

Transkript

1 Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH ZATÍŽENÍ 2. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD PROSTÉHO ROVINNÉHO OHYBU ROVINNÝ OHYB NOSNÍKŮ S PRŮŘEZEM O DVOU OSÁCH SYMETRIE PROSTOROVÝ ČISTĚ PLASTICKÝ OHYB VÝPOČTY NOSNÍKŮ DLE DOVOLENÝCH ZATÍŽENÍ 3. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD KRUCENÍ PRUTŮ KRUHOVÉHO PRŮŘEZU Ing. Josef Sedlák doc. Ing. Radim Halama, Ph.D. 2012

2 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH Na příkladu staticky neurčité úlohy, která se skládá ze soustavy třech prutů (Obr. 1), si ukážeme rozdíl ve výpočtu konstrukce. Jednou využijeme klasický výpočet dle dovolených namáhání, který vychází z učiva Pružnosti a pevnosti 1. Pak použijeme druhý způsob podle dovolených zatížení, který se také nazývá výpočet podle únosnosti a jenž využívá plastických vlastností materiálu. Obr. 1 Staticky neurčitá prutová soustava ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ Pro zjednodušení uvažujeme, že pruty mají stejný průřez a jsou z materiálu s mezí kluzu bez zpevnění (v praxi např. což je mez kluzu s 0,2% plastické deformace). S uvážením součinitele bezpečnosti, dostaneme dovolené namáhání ve tvaru (1.1) Platnost tohoto řešení je pouze do meze kluzu, což je základní předpoklad pružnosti. Při výpočtu tedy předpokládáme pouze pružné deformace v prutech. Síly v prutech vypočteme pomocí podmínek rovnováhy sil. 1

3 Obr. 2 Zavedení reakčních sil URČENÍ PODMÍNEK ROVNOVÁHY SIL: 1) Rovnováha sil ve směru osy X (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) 2) Rovnováha sil ve směru osy Y (1.6) (1.7) (1.8) Zezískaných rovnic je patrné, že máme dvě nezávislé rovnice rovnováhy, ale jsou zde tři neznámé. Jedná se tedy o jedenkrát staticky neurčitou úlohu. Musíme tedy získat další rovnici pro určení třetí neznámé STANOVENÍ DEFORMAČNÍ PODMÍNKY Pokud si nakreslíme soustavu prutů v již zdeformovaném tvaru (Obr. 3), můžeme nalézt závislost mezi prodloužením dvou prutů, např. a. 2

4 Obr. 3 Grafické zobrazení deformační podmínky. Odvozením závislosti a dostaneme potřebnou třetí rovnici, nebo-li deformační podmínku, ve tvaru S využitím Hookeova zákona pro prostý tah (1.9), (1.10) kdy po dosazení podílu vnitřní normálové síly a plochy průřezu za napětí a podílu prodloužení prutu a počáteční délky za poměrné podélné prodloužení získáme vztah pro prodloužení, tedy (1.11) Následným dosazením za do deformační podmínky získáme (1.12) Po úpravě dostáváme třetí rovnici potřebnou k určení všech reakčních sil 3

5 . (1.13) SYNTÉZA ÚLOHY Nyní můžeme dosadit získanou rovnici (1.13) do druhé rovnice rovnováhy (1.8) a po úpravě vyjádříme reakční sílu v druhém prutu. (1.14) Získanou rovnici pro reakční sílu v druhém prutu (1.13) a dostaneme rovnici pro reakční sílu prvního prutu. dosadíme zpět do třetí rovnice (1.15) Připomeňme, že dle (1.5) tato rovnice platí i pro reakční sílu třetího prutu. Největší síla vznikne v druhém prutu musí být splněna pevnostní podmínka. Pokud počítáme podle dovolených namáhání, (1.16) ( ) Po úpravě dostaváme rovnici pro maximální působící sílu (1.17) ( ) (1.18) takže po dosazení ze vztahu (1.1) pro maximální působící sílu plyne ( ) (1.19) 4

6 1.2. ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH ZATÍŽENÍ Pokud nyní zavedeme pojem součinitele bezpečnosti jinak, nikoliv jako v předchozím řešení poměr napětí na mezi kluzu k dovolenému napětí, ale tentokrát jako poměr zatížení a dovoleného zatížení, kde zatížení určuje únosnost celé konstrukce, při němž je v celé konstrukci dosaženo meze kluzu. Pak součinitel bezpečnosti je (1.20) Nabude-li síla hodnoty dle rovnice (1.18) pak, jak plyne z rovnice (1.16), je napětí v druhém prutu rovno mezi kluzu. Při dalším růstu síly se napětí v druhém prutu nemůže dále zvětšovat (ideálně plastický materiál). Působící síla v prutu zůstává stálá a pro reační sílu v druhém prutu proto platí. Prutová soustava se tak stane staticky určitou. A Obr. 4 Uvolnění soustavy v případě dosažení meze kluzu v druhém prutu. Na kloub A působí síly podle Obr. 4, takže podmínka rovnováhy ve směru osy Y bude (1.21) (1.22) ( ) (1.23) Podmínka rovnováhy pro směr X zůstává stejná. A tedy po dosazení (1.5) do (1.23) dostáváme jedinou rovnici 5

7 Pokud dosáhne napětí v prutech 1 a 3 meze kluzu, je zátěžná síla a pak platí (1.24) (1.25) Při hodnotě síly je dosaženo meze kluzu ve všech prutech soustavy. Jedná se o tuhoplastický materiálový model, kdy se materiál nezpevňuje, proto deformace v celé soustavě může neomezeně narůstat. Z (1.25) dostaneme rovnici pro maximální zátěžnou sílu takže podle rovnice (1.20) určíme ( ) (1.26) ( ) (1.27) Z porovnání výrazů (1.19) a (1.27) vyplývá, že pro tutéž hodnotu bezpečnosti, ale v obou případech různě zavedenou, je. Uvedený postup v provedeném příkladu můžeme zobecnit: 1) Únosnost konstrukce lze chápat jako hodnotu vnějších účinků, při nichž je dosaženo jistého mezního stavu. Vnějšími účinky jsou obvykle síly, avšak mohou to být i další veličiny, jako například měrné tlaky, otáčky, aj. 2) Mezním stavem konstrukce u nezpevňujícího se materiálu je obvykle napjatost. Deformace v celé soustavě může neomezeně narůstat. Pokud se jedná o materiál se zpevněním, zavádí se hodnota únosnosti úmluvou, například dosažení meze kluzu v celé konstrukci, nebo stanovením dovoleného přetvoření. Označením mezní hodnoty vnějších účinků jako, jejich pracovní hodnoty jako, dostáváme rovnici pro součinitele bezpečnosti: (1.28) 6

8 2. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD PROSTÉHO ROVINNÉHO OHYBU Nejprve se omezíme na případy ohybu, vnichž stopa ohybového momentu je shodná s osou symetrie průřezu. Dále předpokládáme, že materiál má shodný pracovní diagram jak v tahu, tak i tlaku. Je-li ohybový moment velký tak, že v obou krajních oblastech prutu je překročena mez kluzu, potom můžeme průběh přetvoření a napětí znázornit podle Obr. 5b) a c). Vyplývá totiž již z pokusů provedených Bachem, že i v oblasti pružně plastického ohybu zůstává v platnosti hypotéza o rovinném rozdělení deformací. Plastická oblast Pružná oblast Plastická oblast a) b) c) Obr. 5 Rozdělení přetvoření a napětí při ohybu a) elastická oblast, b) elasto-plastická oblast, c) plastický kloub. Obr. 6 Obr. 7 7

9 Označením poloměru křivosti střednice přetvoření, platí v Obr. 6, zde stejně jako v oblasti pružného (2.1) Získáme, které pak dosadíme do rovnice Hookeova zákona prostého tahu a získáme ( ) (2.2) Obecnou platnost mají ovšem rovnice (odvození vychází z Obr. 7) ( ) (2.3) ( ) ( ) Analogie rovnice pro průhybovou čáru je (2.4) kde ( ) značí průhyb nosníku v řezu o úsečce x. ( ) (2.5) Označíme-li souřadnici hranice pružné oblasti, pak podle (2.1) platí (2.6) Úpravou dostaneme (2.7) Čili (2.8) takže vzhledem ke vztahu (2.5) též platí ( ) (2.9) což je obecná diferenciální rovnice průhybové čáry nosníků v pružně plastickém stavu. 8

10 2.1. ROVINNÝ OHYB NOSNÍKŮ S PRŮŘEZEM O DVOU OSÁCH SYMETRIE Obr. 8 Příklad rovinného ohybu nosníku s obdélníkovým průřezem a vykreslení průběhu ohybového momentu. Jestliže má nosník průřez viz. Obr. 8 a materiál má pracovní diagram, který lze aproximovat rovnicí, tak platí S využitím rovnice (2.4) dostaneme ( ) (2.10) ( ) (2.11) S ohledem na (2.1) také ( ) (2.12) Maximální napětí v krajním vláknu označíme jako, pak z rovnice (2.10) plyne ( ) (2.13) Ze vztahu (2.1) je však (2.14) Takže podosazení dostaneme 9

11 Výraz pro ohybový moment lze též upravit na tvar ( ) (2.15) ( ) (2.16) Pro obdélníkový průřez bude ( ) a dostáváme (2.17) Po následné integraci získáme ( ) (2.18) Pro ohyb nosníku s průřezem o dvou osách souměrnosti, jehož materiál se nezpevňuje, a součastně je napětí v krajním vlákně je přetvoření pružné a platí kde ( ). Pro maximální ohybový moment při pružném přetváření plyne (2.19) (2.20) 10

12 Plastická oblast I Pružná oblast II Plastická oblast I Obr. 9 Rozdělení ohybových napětí v průřezu se dvěma osami symetrie částečně zplastizovaný průřez. Pokud je ohybový moment oblasti II platí, bude rozdělení napětí podle Obr. 9 a v pružné Pro plastickou oblast I platí (2.21) Dosadíme-li do rovnice (2.4) plyne (2.22) Po integraci (2.23) (2.24) Kde: je statický moment části I vzhledem k ose z, je moment setrvačnosti části II také vzhledem k ose z. S ohledem na vztah (2.1) je (2.25) 11

13 následně tedy plyne Čistě plastický stav ohybu nastane, jestliže část II vymizí. [ ] (2.26) (2.27) kde označuje statický moment poloviny průřezu vzhledem k ose z. A po dosazení statického momentu pro obdélník dostaneme rovnici (2.28) Tuto rovnici ovšem dostaneme také z výrazu (2.18) pokud dosadíme za PROSTOROVÝ ČISTĚ PLASTICKÝ OHYB Ukažme si nyní případ čistě plastického ohybu, jestliže stopa ohybového momentu nesouhlasí s osou symetrie průřezu. Neutrální osa musí půlit velikost průřezu (vychází ze vztahu ). V každé z obou polovin působí napětí, a tedy vnitřní síla poloviny průřezu je (2.29) která působí zřejmě v jejím těžišti T. Přenášený ohybový moment je pak (2.30) kde je vzdálenost těžišť T obou polovin průřezu. Oběma těžišti T prochází stopa ohybového momentu, jinak by nebyla splněna podmínka rovnováhy. Tato úvaha určuje vzájemnou polohu stopy ohybového momentu a neutrální osy. Jestliže jsou navzájem stopa a osa kolmé, jedná se o ohyb rovinný. V ostatních případech se jedná o ohyb prostorový. Pro určitou polohu neutrální osy není tolik složité přímé vyhledání příslušné stopy a velikosti ohybového momentu. 12

14 Obr. 10 Prostorový ohyb obdélníkového průřezu. Obrácená úloha je složitější, přičemž obecné řešení vede i u jednoduchých průřezů ke složitým výrazům. Například pro obdélník viz Obr. 10. Viz (Pešina, 1955) ( ) (2.31) ( ) ( ) [ ( ) ] (2.32) ( ) ( ) [ ( ) ] (2.33) 2.3. VÝPOČTY NOSNÍKŮ DLE DOVOLENÝCH ZATÍŽENÍ Pokud v průřezu nosníku s uvážením ideálně plastického materiálu působí takový ohybový moment, že napětí v celém průřezu dosáhne meze kluzu a platí-li pro ohybový moment vztah (2.30) říkáme, že se v tomto průřezu vytvořil plastický kloub. 13

15 Obr. 11 Vyčerpání průřezu - vznik plastického kloubu. Je-li nosník staticky určitý a vytvoří-li se v některém jeho průřezu plastický kloub, tak při sebemenším vzrůstu vnějších účinků dojde k neomezenému růstu průhybu v plastickém kloubu a nosník se zhroutí. Například u nosníku (Obr. 8) obdélníkového průřezu, nakresleného na Obr. 11, se plastický kloub vytvoří při hodnotě působící síly, která určuje únostnost nosníku. (2.34) Situaci u staticky neurčitých nosníků osvětlíme na jednoduchém příkladu (Skrzypek, 1993). Nosník na třech podporách, znázorněný na Obr. 12, je zatěžován rostoucí silou Nepřesáhne-li maximální napětí mez kluzu, určí se průběh momentů některou ze známých metod. Příslušný průběh ohybového momentu je na Obr. 12 a). Maximální ohybový moment v průřezu D se při vzrůstající síle zvětšuje až do okamžiku, kdy dosáhne mezní hodnoty, při níž se v průřezu D vytvoří plastický kloub. Roste-li dále síla, ohybový moment v průřezu D dále již růst nemůže a zůstává konstantní. K neomezenému růstu průhybu v průřezu D a ke zhroucení konstrukce však nedojde. Ubude pouze jeden stupeň statické neurčitosti a uvažovaný nosník se tak stane staticky určitým. Vznikne tedy nosník s kloubem na třech podporách. 14

16 Obr. 12 Mezní stav staticky neurčitého nosníku (Pešina, 1966) Mezního stavu konstrukce se dosáhne, tehdy až se vytvoří ještě další plastický kloub, a to v podpoře B. Průběh momentů je pak podle Obr. 12 b), odkud plyne jednoduchá podmínka pro mezní sílu (2.35) kde z podobnosti trojúhelníků určíme, takže zde (2.36) Průběh momentů při mezním stavu lze zakreslit, aniž předem zjišťujeme průběh momentů staticky neurčitého nosníku. Dostaneme tedy i hodnotu mezní síly. U staticky určitého nosníku je dosaženo mezního stavu při vzniku jednoho plastického kloubu. U probíraného nosníku jednou staticky neurčitého bylo k tomu třeba dvou plastických kloubů. Tuto úvahu však nelze zevšeobecnit, jako například v (Skrzypek, 1993). U n-krát staticky neurčitého nosníku je dosaženo mezního stavu až při vzniku plastických kloubů. Přesvědčí nás o tom úvaha o nosníku, který je znázorněn na Obr. 13 a). 15

17 Ačkoliv je dvakrát staticky neurčitý, je mezního stavu dosaženo stejně jako u nosníku na Obr. 12, a to při vzniku dvou plastických kloubů v řezech D a B. Obr. 13 a) Dvakrát staticky neurčitý nosník b) Třikrát staticky neurčitý nosník U nosníku na Obr. 13b), který je staticky neurčitý třikrát, postačí dokonce jediný plastický kloub (v podpoře A), aby bylo dosaženo mezního stavu. Máme-li jednotlivá rozpětí nosníku zatížena různě, rozhoduje o únosnosti celého nosníku to rozpětí, k jehož zhroucení by došlo nejdříve. 16

18 3. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD KRUCENÍ PRUTŮ KRUHOVÉHO PRŮŘEZU Obr. 14 Kroucení prutu kruhového průřezu Při pokusech provedených Umanským vyplývá, že u zkracovaných prutů kruhového průřezu nedojde k deplanaci příčných řezů, i když napětí přesáhne mez kluzu. Vyjdeme z podobnosti (3.1) Následně vyjádříme zkos a tím získáme obecně známý vztah (3.2) Kde značí zkos, poměrný úhel zkroucení a poloměr (viz Obr. 14). Smyková napětí a zkosy jsou vázány vztahem ( ) (3.3) Ten je dán pracovním diagramem pro čistý smyk, nebo jednoduše vyplyne ze závislosti neboť v případě čistého smyku je ( ) (3.4) (3.5) 17

19 (3.6) Obr. 15 Krut prutu kruhového průřezu Z rovnováhy vnějších a vnitřních silových účinků plyne Pro vyjádření potřebujeme rovnice ( ) ( ) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) Dosazením do rovnice krouticího momentu získáme ( ) (3.11) kde označuje zkos na vnějším poloměru. Jestliže lze funkci (3.3) aproximovat parabolou dostaváme ( ) ( ) (3.12) 18

20 Dosadíme-li do vztahu (3.11) a pomocí integrrace bude ( ) [ ] (3.13) Z rovnice (3.2) však plyne. (3.14) a z rovnice (3.12) zřejmě Pro tuhoplastický model by bylo protože. ( ) (3.15) Dosazením předchozích dvou vztahů do rovnice (3.13) dostaneme po úpravě (3.16) Pro je vztah (3.12) lineární a vyplyne výraz (3.17) Pro ideálně plastický materiál je a rovnice pro mezní hodnotu kroutícího momentu (3.18) 19

21 4. LITERATURA HÖSCHL, C., Pružnost a pevnost ve strojnictví. Praha: SNTL. Lenert, J., Pružnost a pevnost II. Ostrava: VŠB-TUO. Pešina, E., Základy matematické teorie plasticity. Praha: VÚTT. Pešina, E., Základy užité teorie plasticity. Praha: SNTL. Skrzypek, J. J., PLASTICITY and CREEP, Theory, Examples and Problems. Florida: CRC Press. 20