5 STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE HRW 28, 29(29, 30) 31 5 Stacionární magnetické pole HRW 28, 29(29, 30) 5.1 Magneticképole,jehozdrojeaúčinkyHRW28(29) 5.1.1 Permanentní magnet Vedle výhradně přitažlivé interakce gravitační se v makrosvětě setkáme s interakcí elektrickou (často zvanou elektrostatickou), která je přitažlivá i odpudivá, a magnetickou, která je podobně jako elektrická jak přitažlivá, tak odpudivá. Tuto vlastnost vykazují permanentní magnety(látka permanentně magnetické), např. přírodní minerál magnetovec, tvrdá ocel, umělé magnety slitiny kovůfe,ni,co,gd,mn,event.sdalšímipříměsemi,aleichemickyodlišnélátky,např.ferity. Jiné látky(měkké železo) vykazují podobné vlastnosti, ale jen v přítomnosti permanentních magnetů. Dosud jmenované látky jsou feromagnetické. Na ostatní látky má magnetické pole mnohem slabší vliv. Obecně jsou ze silnějšího magnetického pole vytlačovány(diamagnetikum), někdy je ale diamagnetismus překryt vlastnostmi paramagnetickými a látka je do silnějšího magnetického pole vtahována. Toto je velmi hrubá charakteristika. Teorie pevných látek vedle toho rozeznává(a zdůvodňuje) antiferomagnetismus, ferimagnetismus atd. Podrobnější pozorování ukáže, že všechna tělesa s těmito vlastnostmi se chovají jako analogie nikoli elektrických nábojů, ale dipólů: nejjednodušší strukturou jako by byla destička se severním pólem(s;n)najednéstraněajižnímpólem(j;s)nastranědruhé.stejnépólyseodpuzují,opačné přitahují, na elektricky náboj v klidu magnet nepůsobí. Tyčový magnet se chová rovněž jako složený z takových destiček a nejde proto získat magnetické póly jeho rozlomením. Podstatně později se zjistilo, že jako permanentní magnety se chovají i mnohé elementární částice kladný proton, neutrální neutron(složený z nabitých kvarků) i záporný elektron. 5.1.2 Proudová smyčka Zatímcomagnetybylyznámyodpradávna(ito,žeZeměsetakéchovájakovelkýmagnet,např. kompasy staré Číny nebo pojednání W. Gilberta z r. 1600), magnetické účinky elektrického proudu objevilažvr.1820dánskýfyzikhanschristianørsted(1777-1851)aampèrezáhynato(1822) popsal interakci dvou vodičů protékaných elektrickým proudem jako interakci magnetickou. Připomeňme, že homogenně zmagnetovaná kruhová destička budí stejné pole jako smyčka tvořená jejím obvodem a protékaná vhodně velkým elektrickým proudem. 5.1.3 Silové účinky magnetického pole. Magnetická indukce a intenzita Vedle toho, že na sebe silově působí(v libovolných kombinacích) permanentní magnety i proudové smyčky, působí magnetické pole na pohybující se elektrický náboj, a to zásadně silou kolmou na jeho rychlost, tedy kolmou na okamžitý směr pohybu(1889 O. Heaviside, poté H. A. Lorentz, možná už ij.c.maxwell1865). Vduchupolníhopřístupuzavedememagnetickápole H, Bkpopisuinterakce.Bohužel,zhistorických důvodů(podle analogie předpokládající magnetické monopóly k bodovým elektrickým nábojům) je terminologie obrácená, než bychom zvolili dnes, takže nazýváme magnetickou indukci Bamagnetickou intenzitu H = B/µ 0 vevakuu,kde µ 0 jemagnetická konstanta neboli permeabilita vakua: µ 0 =4π 10 7 N m A 2 1,2566 10 6 H/m (127) (Připomeňme,že ε 0 µ 0 c 2 0 =1.)Sílapůsobícínabodovýnáboj qpohybujícíserychlostí vjepak F= q E+q v B (128) (viz rov.(6)), první člen se nazývá Coulombova síla, druhý Lorentzova síla. Odtud také plyne jednotkamagnetickéindukce1tesla,t,kde1t=n/(c m/s)=n/(m A).Dříve(vsoustavěCGS) seužívalajednotka1gauss,1g=10 4 T. Sílapůsobícínanábojjevždykolmákesměrujehopohybuanekonátedypráci neměníenergii náboje, jen zakřivuje jeho dráhu. Sílu působící na permanentní magnet a na vodič protékaný proudem v poli odvodíme později.
5 STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE HRW 28, 29(29, 30) 32 5.1.4 PohybnábojevmagnetickémpoliHRW28-6,7(29.5,6) Uvasžujme pro jednoduchost volný kladný náboj q > 0(abychom nemuseli u velikostí ostatních veličinpsátabsolutníhodnoty)vhomogennímmagnetickémpoli B. Letí-linábojpodél siločáry B,nepůsobínanějodmagnetickéhopoležádnásíla,nábojtedy poletí stálou rychlostí dále po siločáře. Letí-livšakkolmoksiločáře,působínanějstálesílaovelikosti q vbkolmokesměrupohybu. Nedodávátedyenergii(velikost vrychlosti Vvnosičenábojeseprotonemění)anábojsebudepohybovat po kružnici o poloměru r takovém, aby dostředivá síla byla právě realizována Lorentzovou sílou: mv 2 r = qvb atedy (129) r = mv qb T = 2πr v =2πm qb ω = 2π T = qb m poloměr kružnice (130) doba oběhu (131) úhlová frekvence (132) (tzv. cyklotronová frekvence). Při obecném směru se náboj pohybuje v magnetickém poli po šroubovici kolem siločáry. Při dostatečném zhuštění siločar se náboj pohybuje po menších kružnicích a dá se dokázat, že má menší stoupání natolik, že od dostatečně velkého zesílení pole se bude po šroubovici odrážet(princip magnetických nádob či magnetických pastí). 5.1.5 Ampérova síla HRW 28-8(29.7) Protože elektrický proud I souvisí s pohybem náboje vztahy I = J ds= ρ v ds, (133) S je zřejmé, že na elektrický proud I(přesněji: na přímý vodič délky L protékaný proudem o hodnotě I) bude v magnetickém poli působit síla S F= I L B, (134) kdevektor Lmávelikost Lasměrpodélvodičevesměrutokuproudu.Vdiferenciálnímtvaru pro infinitezimální úsek d r vodiče má tato Ampérova síla tvar 5.1.6 Proudová smyčka HRW 28-9, 10(29.8, 9) d F= Id r B (Ampérovasíla). (135) (Obr.28(29)-21a28(29)-22.)Vhomogennímmagnetickémpoli Bvesměruosyxležíobdélníková smyčkaodélce avesměruosyyašířce bvroviněxzpodúhlem θkroviněyz,protékanáproudemi, otáčivákolemosysymetriešířek(směry).smyčkamáplochu S= ab.najejí i-toustranupůsobí síla F i kolmáktétostraněaležícívroviněyz(tedykolmok B).Je-lismyčkapevná,paksesíly našířky bnavzájemvyruší,alesílypůsobícínadélky amajíobecněrůznáumístěníx,aproto vytvářejí silovou dvojici působící na smyčku momentem síly M= IabBsinθ=ISBsinθ (136) hledícímstočitsmyčkudopolohysθ=0(tj.dorovinyyzkolmékpoli B). Je-li navzájem rovnoběžných smyček N, bude výsledná síla N H-krát větší, tedy M N =(NIS)Bsinθ (137)
5 STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE HRW 28, 29(29, 30) 33 kdy veličiny v závorce jsou konstanty dané konstrukcí cívky. Na tomto principu pracovaly analogové galvanoměry měřící(neznámý) proud I cívkou(než je vytlačily digitální měřidla) a jsou i podstatou elektromotorů(kdejepotřebazajistitnapř.setrvačnostípřeběhnutí mrtvé polohysθ=0a současně změnit orientaci proudu I cívkou). Z tohoto hlediska se cívka chová jako obdélníkový permanentní magnet mající magnetický dipólový moment µ rovný µ = N IS magnetický dipólový moment (138) sjednotkou[µ]=1a m 2 arov.(137)můžemevektorovězapsattvarem M N = µ B (139) podobně jako moment síly, kterým působilo elektrické pole na elektrický dipól. Analogicky odvodíme potenciální energii magnetického dipólu ve vnějším magnetickém poli jako E p = µ B (140) odkud je zřejmý i jiný zápis jednotky magnetického dipólového momentu [µ]=1a m 2 =1J/T (141) Odsud asi tušíte, proč jsme jako elementární magnet volili raději magnet destičkový než tyčový. 5.2 Magnetické pole elektrického proudu HRW 29(30) 5.2.1 Biotův-Savartův zákon HRW 29-2(30.1) Vzorecpromagneticképoleelekrickéhoproudu navrhneme analogickyjakovzorecproelektrické pole elektrického náboje, jen s pár potížemi: 1. půjdeovektorovýproudovýelementd I= Id r,nikolioskalárníelementnábojedq ; 2. zatímco elementární náboj je fyzikálně přijatelný, je elementární proudový element lehce obskurní(odkud teče a kam?). Ale nějak to zvládneme(vždycky ho nakonec zintegrujeme podél uzavřené smyčky); 3. mělobysetojmenovat magnetickáintenzita,zatímcozhistorickýchdůvodůsetonazývá magnetickouindukcí,aprotototakéobsahujeparametrµ 0,kterýbypatřilkdefinicidosavadní intenzity H. Jako přijatelný se pro magnetické pole ve vakuu jeví tvar analogický Coulombovu zákonu rov.(13); (to µ 0 byvlastněpatřilojinam,atok Hdovztahu H= B/µ 0 vevakuu) db= µ 0 Id r R 0 4π R 2 (Biotův-Savartůvzákon) (142) sobvyklým R= r rajednotkovýmvektorem R 0 ;HRWužívá snamístonašeho r. 5.2.2 Magnetické pole přímého vodiče NRW 29-2 Napravíme potíž 2 z minulého odstavce tím, že spočteme magnetické pole nekonečného přímého vodičevosex(proudpřicházíznekonečnaadonekonečnasetakyvrací,cožtakynenízrovna ideální, ale pořád lepší než odnikud nikam). Pole zřejmě bude záviset jen na vzdálenosti r od osy xastačíhourčitnaosez;budemítsměryavelikost B( r) = = db = µ 0 4π µ 0 2π z I = µ 0I 2π z B(r) = µ 0I 2πr 0 Id r R R 3 dx µ 0I (x 2 +1) 3/2= 2π z = µ 0 4π I [ x (x 2 +1) 1/2 dx (x 2 +z 2 ) 3/2 (143) ] 0 (144) (mg. pole přímého vodiče na ose z) (145) (mg. pole přímého vodiče ve vzdálenosti r) (146)
5 STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE HRW 28, 29(29, 30) 34 Směr indukčních čar plyne z vektorového součinu a lze ho tedy popsat pravidlem pravé ruky: Položíme-li palec pravé ruky ve směru toku proudu, ukazují zahnuté prsty směr magnetických indukčních čar. 5.2.3 Síla mezi rovnoběžnými vodiči protékanými proudem HRW 29-3(30.2) Zeznáméhomagnetickéhopole Bjednohovodiče(rov.(146))azeznámésíly(rov.(134))působící nadruhývodičveznámémmagnetickémpoli Burčímeisměr,ivelikostsílypůsobícínarovnoběžné vodiče protékané proudem: Dvarovnoběžnévodičevevzdálenosti dprotékanéproudy I 1 a I 2 sepři stejné orientaci proudů přitahují, při opačné se odpuzují. Velikost síly na délku L je rovna F= µ 0I 1 I 2 L 2πd (147) 5.2.4 Polezávitu,cívky,toroiduHRW29-3,5,6(30.4,5) Pole uprostřed závitu cívky spočítáme snadno: B = Γ B = µ 0I 2R µ 0 I 4π dγ µ 2π 0I dϕ R 2= 4π 0 R (148) (pole ve středu kruhové smyčky) (149) Má-li solenoid(dlouhá, hustě vinutá cívka s délkou L podstatně větší než poloměr R) N závitů protékaných proudem I, bude pole uvnitř homogenní. Šlo by ho ovšem rozněž spočíst integrací (princip superpozice), ale mnohem jednodušeji dostaneme záhy z Ampérova zákona vztah B= µ 0 I n (polevsolenoidu) (150) kde n = N/L je počet závitů na jednotku délky. Solenoid umožňuje jednoduše vytvořit ccelkem homogenní magnetické pole. Stočenímsolenoidudokružnice(prstenec, pneumatika )dostanemetoroid,důležitýnapř. při návrhu urychlovačů částic(např. TOKAMAK = rus. toroidaľnaja magnitnaja katuška). Opět z Ampérova zákona dostaneme celkem snadno, že pole uvnitř toroidu o celkovém počtu závitů N (mírně) klesá se vzdáleností r od středu podle vzorce B= µ 0I N 2π r avněideálníhotoroidujemagneticképolenulové: B=0. 5.3 Ampérův zákon(ve vakuu) HRW 29-4(30.3) (pole v solenoidu) (151) Podobně jako je Coulombův zákon(určení pole známého náboje) ekvivalentní Gaussovu zákonu (určení náboje ze známého pole), je i Biotův-Savartův zákon ekvivalentní Ampérovu zákonu: B r=µ 0 I Σ (152) Γ kde I Σ jeúhrnnýproudprotékajícísmyčkouγ.orientaciurčíampérovopravidlopravéruky:
6 KVAZISTACIONÁRNÍ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 35 Ukazují-liprstysevřenépravérukyvesměrusiločar BpodélAmpérovykřivky,pakpalec ukazuje kladný směr elektrického proudu. 5.4 Ampérův zákon v látkovém prostředí Podobně jako v elektrickém poli, i v magnetickém poli chceme oddělit zdroje magnetického pole námi řízené od spontánních či indukovaných zdrojů přítomných v látkovém prostředí. Rozbor je zde mnohem složitější a méně názorný než u(prostých) elektrických nábojů a dipólů. 5.5 Intenzita magnetického pole 6 Kvazistacionární elektromagnetické pole Kvazistacionárnípoleje předposledním zobecněním:popisujeelektromagnetickéděje,alestále se všechny změny pole odehrávají synchronně se změnami jeho zdrojů tedy formálně, jako by se světlo(coby změna v elmg. poli) šířilo nekonečně rychle. 6.1 Zákon elektromagnetické indukce 6.2 Vlastní a vzájemná indukčnost vodičů 6.3 Energie magnetického pole