6 Pohyb částic v magnetickém poli

Transkript

1 Pohb částic v magnetickém poli V této části si ukážeme, jak homogenní magnetické pole ovlivňuje pohb částic. Soustavu souřadnic volíme vžd tak, ab vektor magnetickéindukce Bsměřovalposměruos (obr.).. Lorentova síla Na letící částici magnetickým polem působí Lorentova síla, která je dána vtahem(křížek načí vektorový součin) obr. : Magn. pole F= q( B), () qjenábojčástice, jevektorjejírchlostia Bjevektormagnetickéindukce(vjadřuje směr pole i velikost). Výsledkem vektorového součinu je vektor, který je kolmý na oba dva vstupující vektor a tvoří s nimi pravotočivou soustavu souřadnic. Velikost výsledku je dána délkami vstupujících vektorů a úhlem, který svírají. Pro velikost Lorentov síl rovnosti() pak platí F = q vbsin α, (3) αjeúhelmeivektor a B.Velikostvektorunemůžebýtáporná,ataknáboje q použijeme jeho absolutní hodnotu.. Neutrální částice Nejprve se podíváme na případ, kd vlétne do magnetického pole neutrální částice. Pro q=0,jepravástranarovnice(3)nulováatedisílapůsobícínačásticije nulová. V takovém případě magnetické pole částici nijak neovlivňuje, částice letí tak, jak b letěla, kdb tam žádné magnetické pole neblo(rovnoměrně přímočaře, pokud na částici nepůsobí ještě nějaká jiná síla)..3 Nabitá částice: pohb rovnoběžný s magnetickým polem Pohbuje-li se naším magnetickým polem nabitá částice rovnoběžněsosou,úhel,kterýsvírávektorrchlosti svektorem magnetickéindukce B,jebuďrovennule(naobrákueleně) nebo π(fialově).proobaúhljesinusnulový,atakvelikostsíl působícínačástici((3) F =qvbsin α)jeneávislenanáboji či velikosti rchlosti rovna nule. Pohb nabité částice, která letí rovnoběžně s magnetickým polem, není polem vůbec ovlivňován. π obr.: B 0 3

2 . Nabitá částice: pohb kolmý na magnetické pole Nnísepodívámenapřípad,kdsenabitáčásticepohbujevrovině (její - ová složka rchlosti je nulová). Na obráku 7 letí kladně nabitá částice ve směru os (doprava). Pomocí pravé ruk nebo ciferníku určíme směrvektoru,kterýjevýsledkemvektorovéhosoučinu B F (vektor, Bavýslednýjsoupravotočivé).Výsledeksměřujeknámpodélos.Povnásobeníkladnýmnábojem F + q, vektor mění poue svoji délku. Lorentova síla na kladný náboj F + danávtahem() F + = q( B)směřujevesměru os. Magnetické pole bude kladně nabitou částici obráku obr.7:sílananabitou 7 táhnout šikmoknámpodélos. částicis B Poletí-li stejnou cestou elektron, vektorový součin v B se nemění, ovšem vnásobení áporným nábojem působí, želorentovasíla F působícínaelektronbudesměřovatprotiose. Kladný náboj Situace na a odpovídá případu, který jsme právě roebrali. Kladně nabitá částice letí po směru os. Lorentova síla směřující k nám působí akřivení trajektorie částice.částicesedostanedopoloh,kdenanílorentovasílabudepůsobittak, jak ukauje obráek. Přesvěčte se pomocí pravé ruk. Síla trajektorii i de akřivuje 7 a) b) F 3 7 F 3 obr. : Kladně nabitá částice letící kolmo na směr homogenního magnetického pole apůsobí,žeachvilkusečásticebudenacháetvpoloe3,kdepoletívesměru os.těmitoúvahamibchomdospěliaždopolohosmanídotépočáteční. Zkustesi,žeLorentovasílamánaavevšechpoloháchsprávnýsměr.

3 Kladně nabitá částice(jejíž složka rchlosti do směru magnetické indukce je nulová) se v homogenním magnetickém poli pohbuje po kružnici, která leží v rovině kolménaosu.budeme-lisedívatposměru B(naobrákualežímepodrovinou a díváme se nahoru), částice bude rotovat proti směru hodinových ručiček, obr. b. Záporný náboj Na obráku 7 jsme si ukáali, jaký směr má Lorentova síla působící na áporně nabitoučásticiletícíposměruos situaceodpovídápoloenaobráku9a.síla stočítrajektoriiačásticesedostanedopolohna9a.ivtomtomístěječástice a) b) F F 3 obr. 9: Záporně nabitá částice letící kolmo na směr homogenního magnetického pole pod vlivem Lorentov síl a trajektorie se opět stočí... Částice proletí všemi osmi polohami na 9a, až se dostane do té první. Její trajektorií bude kružnice. Na rodíl od kladně nabité částice rotuje v opačném směru. Záporně nabitá částice(jejíž složka rchlosti do směru magnetické indukce je nulová) se v homogenním magnetickém poli pohbuje po kružnici, která leží v roviněkolménaosu.díváme-liseposměru B(naobráku9aležímenaádech pod rovinou ), částice rotuje po směru hodinových ručiček, obr. 9b. Shrnutí Představte si, že jste iont a letíte si vodorovně, rovnoměrně přímočaře. Najednou se dostanete do homogenního magnetického pole, které směřuje dola nahoru. Pole působí, že se váš let mění. Sice poletíte stále stejně rchle, ale budete kroužit po kružnici pořád dokola. Jste-li kladní, budete se otáčet a pravou rukou, jste-li áporní, pak a levou.

4 . Poloměr kruhové trajektorie Nejprve si uvedeme příklad mechanik. V ruce držíte prováek a jeden konec a na jeho druhém konci je naváaná plechovka. Plechovku rotočítetak,žesepohbujepokružnici,obr.0.jedinásíla,která na plechovku působí je síla prováku. Tato síla musí být rovna F d dostředivé síle rovnoměrného pohbu po kružnici. Vrátíme se pět do magnetického pole, kde provákové síle odpovídá Lorentova síla stále směřuje do středu kružnice, po které částice obíhá. Vorec pro výpočet dostředivé síl je v případě plechovk i malinkaté částice stejný. Její velikost je obr. 0: Plechovka dána F d = mv R, () kde mjehmotnostčástice(plechovk), vjevelikostjejírchlostiarjepoloměr kružnice, po které částice obíhá(délka prováku). Dostředivá síla v magnetickém poli na náboji nijak neávisí. Velikost Lorentov síl je F = q vb sinα. Předpokládáme-li, že se částice pohbuje v rovině kolmé na osu (uvnitř ní libovolným směrem), pak úhel mei vektor a Bjevžd90.Vtakovémpřípadějesin α=atedplatí F= q vb. () Velikosti dostředivé a Lorentov síl musí být stejně velké, v opačném případě b se částice nepohbovala po kružnici. Vtah() a() dáme do rovnosti a vjádříme sipoloměr R mv mv = q vb = R= R q B, () tn. čím těžší částice, tím větší poloměr kružnice; magnetické pole snadněji mění trajektorii lehké částice než těžké. Čím rchlejší, tím také větší poloměr. S lehkými a pomalými částicemi magnetické pole víc atočí. A také: Roste-li náboj(v absolutní hodnotě, více kladný nebo více áporný), poloměr kružnice klesá, magnetické pole velké náboje více ovlivňuje. A nakonec čímjepolesilnější(rostevelikost B),tímjepoloměrmenší.Hodněnabitéčástice vsilnémpolisevícatáčínežméněnabitéveslabémpoli.

5 . Cklotronová frekvence Zbývá nám určit úhlovou rchlost kroužících částic v magnetickém poli. Ještě jednou se vrátíme do mechanik k rovnoměrnému pohbu po kružnici. Pro délku oblouku (uběhnutou dráhu na obráku ) platí s s=ϕr, (7) ϕ R obr. : Oblouk kde ϕměřímevradiánech!úheljedenradiánjevelkýtak,že délka oblouku je stejně dlouhá jako poloměr kružnice, obr.. Dráhu snahradíme s=vtaúhel ϕ=ωt(toužjsmepoužili vkapitole.).vtah(7)přejdevetvar vt=ωtr = v=ωr. () Odvodili jsme vtah mei velikostí rchlosti a úhlovou rchlostí při rovnoměrném pohbu po kružnici. Do vtahu() pro poloměr dosadíme a velikost rchlosti v (). Vjádříme úhlovou rchlost(poloměr se krátí) R= m(ωr) qb = ω= qb m. (9) Vtah(9) je latým hřebem celé části o magnetickém poli. Větší náboje se pohbují světší ωatudížsvššífrekvencí ajednusekundustihnouvíceotáček.silnější magnetické pole také všuje úhlovou rchlost(i frekvenci). A čím těžší částice, tím menší úhlová rchlost(tím jí déle trvá oběhnout jedno kolo). rad R s = R rad = 7 obr. : Definice radiánu Ze vtahu(9) také plne, že úhlová rchlost(ted ani frekvence a perioda) neávisí na rchlosti částice. Pošleme-li jeden rchlý a jeden pomalý elektron do homogenního magnetického pole kolmo na směr siločar, oba se ačnou pohbovat po kružnicích. Velikost rchlosti každého nich se nemění, rchlý bude obíhat po velké kružnici a pomalý po malé. Jejich úhlové rchlosti i frekvence budou stejné, a tak oba stihnou stejný počet oběhů a jednu sekundu. Částicishmotností manábojem q,kterásepohbujevmagnetickém poli o velikosti B, je vtahem(9) jednonačně dána její cklotronová frekvence. Cklotronováfrekvenceelektronu: ω c = e B m e Cklotronováfrekvenceiontu: ω ci = qb m i (m e načíhmotnostelektronu) (m i načíhmotnostiontu).7 Nabitá částice: pohb libovolným směrem Doposud jsme řešili speciální pohb částic(rovnoběžný nebo kolmý na vektor magnetické indukce). V této části si vsvětlíme, jak se bude chovat nabitá částice, která vletí do homogenního magnetického pole libovolného směru. 7

6 Mějmemagneticképolejakovpředchoíchpřípadech B =(0,0, B),obr.. Vektor rchlosti částice v momentě vlétnutí do magnetického pole má obecný tvar v = (v, v, v ). Z předchoího už víme: Pohbuje-li se nabitá částice v rovině kolmé na směr magnetického pole (nenulové v nebo v ), pole působí otáčivý pohb kolmo na. A také, že pohb rovnoběžný s osou (nenulová v ) není a) b) c) d) obr. 3: Pohb nabitých částic v magnetickém poli; na šroubovice se díváme mírně shora magnetickým polem ovlivněn. Spojením krouživého pohbu s rovnoměrným posunem dostaneme pohb po šroubovici, obr. 3. Představte si, že jdete stále stejně rchle po pravotočivých schodech 7 nahoru do hradní věže.osuvěžemátepopravé ruce a okénka po levé. Přidržujete se pravou rukou ábradlí. Vášpohbjestejnýjakopohb kladně nabité částice v homogenní magnetickém poli(jdete po levotočivé šroubovici vhledemosevěže,obr.3a).vašepravárukapředstavujelorentovusílu,je vodorovně a směřuje stále k ose věže. Poběžíte-li po stejných schodech dolů, budete se sice ábradlí přidržovat levou rukou, váš náboj se ale nemění. Představujete stále kladně nabitou částici, která letí po levotočivé šroubovici vhledem k ose věže, obr. 3c.. Prostředí tvořené magnetickým polem Magnetické pole vtváří aniotropní prostředí vhledem k pohbu nabitých částic. Trajektorie pohbu obecně áleží na směru, jakým částice do pole vletí. Prostředí je navíc válcově smetrické. Neáleží, da částice s daným nábojem a danourchlostívletídopolepodélos,podél nebojakkolišikmovrovině. Pokaždé je její trajektorií kružnice o stejném poloměru ležící v rovině. Všechn směr v rovině kolmé na výnačnou osu jsou navájem ekvivalentní. 7 Přidobýváníhradusenapravotočivýchschodechpravorukémuobráncismečemshorabrání lépe než se dola útočí pravorukému útočníkovi. Ten musí útočit a roh. Návschodišťašroubovicjsouopačné.