MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem

Transkript

1 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU udeme se zabývat výpočtem magnetického pole vytvořeného danou konfiguací elektických poudů (podobně jako učení elektického pole vytvořeného daným ozložením elektických nábojů). V elektickém poli Coulombův zákon 1 dq 1 dq de = = 4πε πε (Rovnice představuje zákon převáceného čtvece - d E závisí na převácené hodnotě 2.) Pozn: Ve jmenovateli je 3, neboť vekto je vyjádřen vztahem. =

2 V magnetickém poli iotův-savatův-laplaceův zákon dl dl Vodičem pochází poud ozdělen na délkové elementání části d l. Poudovým elementem značíme Id l. V bodě P je indukce magnetického pole vytvořeného tímto elementem µ d = I dl 3 4 π o velikosti µ dl = I sinα, 2 4π d kde hodnota µ je pemeabilita vakua magnetická konstanta; µ = 4 π.1 T.m.A = 1, 26.1 T.m.A

3 Magnetické pole vytvořené celým vodičem (pincip supepozice) µ I dl = d= 3 4π ( c) ( c) Smě magnetické indukce je daný vektoovým součinem I d l. Je kolmý na ovinu učenou vektoy dl a. Oientaci učujeme pavidlem pavé uky: palec pavé uky ve směu poudového elementu a zahnuté psty ukazují smě magnetických indukčních ča.

4 a) Magnetické pole dlouhého přímého vodiče Indukční čáy vektou magnetické indukce mají tva soustředných kužnic kolem vodiče (viz obázek) ez odvození: v kolmé vzdálenosti R od nekonečně dlouhého přímého vodiče potékaným poudem I má magnetická indukce velikost µ I =. R dl l

5 Silové působení dvou ovnoběžných vodičů Vodičem a potéká poud I a a vytváří kolem vodiče magnetické pole. Indukce a tohoto pole má ve vzdálenost d velikost: a = µ I d Je-li do tohoto pole vložen jiný vodič, působí na něj pole vodiče a silou. Magnetická síla působící na délku L vodiče b se vypočítá podle vztahu Fba = IbL a. Vzhledem k tomu, že L, je velikost síly a µ I F I L I L I L a. d ba = b asin9 = b a = b 1 a

6 Síla, kteou na sebe působí dva ovnoběžné dlouhé vodiče, je přímo úměná součinu poudů jimi pocházejících a nepřímo úměná vzdálenosti vodičů. F ba = µ I I d a b Síla je a) přitažlivá, je-li smě poudů ve vodičích souhlasný, b) odpudivá, je-li smě poudů ve vodičích nesouhlasný. Vztah je použit při definici ampéu (základní jednotka v soustavě SI). µ 7 Po L = 1 m, d = 1m, Ia = Ib = 1A, je velikost síly F ba = = 21 N 1 ampé je poud, kteý při stálém půtoku dvěma ovnoběžnými přímými velmi dlouhými vodiči zanedbatelného kuhového půřezu, umístěnými ve vzdálenosti 1 m od sebe ve vakuu, vyvolává mezi vodiči sílu N na 1 met délky. L

7 b) Magnetické pole ve středu S kuhového oblouku Vyjádříme nejpve příspěvek magnetické indukce vytvořený poudovým elementem a integací získáme výslednou magnetickou indukci vytvořenou všemi elementy celého vodiče. dl V bodě S vytváří každý poudový element I dl magnetické pole, jehož indukce má velikost d I dsin9 l d 2 2 µ µ I l = = 4π R 4π R, kde dl Rdϕ =.

8 Velikost celkové indukce ve středu oblouku obdžíme integací: ϕ µ IRdϕ µ I d 2 ( c) 4π ( c) R 4πR = = = dϕ = µ Iϕ 4π R Po kuhovou uzavřenou smyčku je ϕ = 2 a magnetická indukce ve středu smyčky má velikost π µ I 2 π = 4π R µ I 2R =.

9 AMPÉRŮV ZÁKON V elektickém poli Gaussův zákon: Q E d S = c. ε ( S ) Volíme vhodnou uzavřenou Gaussovu plochu obklopující náboje. V magnetickém poli Ampéův zákon (zákon celkového poudu): dl = µ Ic. ( c) Volíme vhodnou uzavřenou Ampéovu křivku obepínající vodiče s poudem. Integál na levé staně cikulace vektou podél uzavřené křivky (c). Poud I c na pavé staně ovnice je celkový poud (součet všech poudů) potékající plochou, kteou ohaničuje Ampéova křivka (c).

10 Oientace Ampéovy křivky volíme smě poti chodu hodinových učiček. Pomocí pavidla pavé uky pak učíme, kteý smě poudu, pocházející plochou obepnutou Ampéovou křivkou, považujeme za kladný a kteý za záponý. Na obázku vpavo: dl α ( c) cosα d l = µ ( I I ) 1 2 Poud I 3 nepotíná plochu, jejíž hanicí je zvolená křivka nezapočítává se

11 Celkový poud obepnutý křivkou je I c = I 1 I 2, poud I 3 přispívá k celkové magnetické indukci, ale není obepnut Ampéovou křivkou, tj. příspěvek k cikulaci je nulový. (Podobně u náboje ležícího vně Gaussovy plochy, kteý také neovlivňuje tok vektou intenzity uzavřenou plochou.) Ampéův zákon celkového poudu: Cikulace vektou magnetické indukce podél libovolné uzavřené křivky (c) je ovna µ násobku poudu, kteý potéká plochou (S) ohaničenou touto křivkou. Poznámka: Ampéův zákon (stejně jako Gaussův) je výhodné používat při řešení úloh se symetií ovinnou, válcovou nebo kulovou.

12 UŽITÍ AMPÉROVA ZÁKONA a) Magnetické pole vně dlouhého přímého vodiče dl Ampéův zákon: I µ I () c Poovnáním: = Indukční čáy tva soustředných kužnic, magnet. pole má válcovou symetii Ampéova křivka je soustředná kužnice. Vektoy d l, poto platí dl = dlcos = dl = ( c) ( c) 1 ( c) dl =µ I c µ I = Stejně jako z.-s.-l. zákona

13 b) Magnetické pole uvnitř dlouhého přímého vodiče Vektoy dl R I dl, takže o dl = dlcos = dl =. ( c) ( c) Ve vodiči je hustota elektického poudu J = konst. po dosazení: R Magnet. pole má válcovou symetii Ampéova křivka je soustředná kužnice o poloměu < R. Ampéův zákon: = µ I R 2 2 () c dl =µ I I c je poud uvnitř Ampéovy křivky 2 2 π Ic = I = I, 2 2 π R R µ I = 2. R c

14 Půběh indukce: µ I R R Magnetická indukce vodiče o poloměu R, kteým potéká elektický poud o konstantní hustotě poudu nabývá následujících hodnot uvnitř vodiče: po = (ve středu) je = ; po < R vzůstá lineáně se vzdáleností od osy vodiče; na povchu vodiče: po = R je vně vodiče: po = max; > R klesá nepřímo úměně se vzdáleností od osy.

15 HRW 3.47 Na obázku je řez dlouhým přímým koaxiálním kabelem. Každým z vodičů potéká co do velikosti stejný, ale co do směu opačný poud I, homogenně ozložený v jejich půřezu. Odvoďte výazy po závislost () v intevalech: a) < c, b) c < < b, c) b < < a, d) > a. Ampéovou křivkou bude ve všech případech kužnice ležící v ovině kolmé na kabel se středem na ose kabelu. Pak po všechny případy platí, že o dl = dlcos = dl =. (2) ( c) Potože výsledné magnetické pole bude válcově symetické, použijeme k řešení Ampéův zákon celkového poudu dl =µ Ic. (1) ( c) c

16 a) < c Plochou, kteou obepíná Ampéova křivka, pochází poud I 1, kteý je jen částí celkového poudu I pocházejícího kabelem. Poněvadž je poudová hustota J v celém půřezu konstantní, bude platit 2 I1 I J = 2 2 π = πc I1 = I ( = I c 2 c ) (3) Po dosazení ovnic (2) a (3) do ovnice (1) dostaneme odkud je po magnetickou indukci 2 = µ I, c 2 µ I c =. 2 Magnetická indukce uvnitř jáda koaxiálního kabelu vzůstá lineáně se vzdáleností od osy kabelu.

17 b) c < < b Ampéova křivka bude v tomto případě obepínat celá poud I, tzn., že bude platit µ I = µ I =. Magnetická indukce bude mezi vodiči kabelu klesat hypebolicky s ostoucí vzdáleností od osy kabelu. c) b < < a Ampéova křivka bude nyní obepínat jednak celý poud I tekoucí jedním směem a část poudu I, kteý potéká vnějším vodičem, ale opačným směem (označíme I 2 ). Poudová hustota je v obou kabelech konstantní, takže je J I 2 = = π ( 2 2) ( 2 2 b π a b ) I b I = I a b

18 Dosazením do Ampéova zákona dostaneme 2 ( ) 1 I I I b I a π = µ = µ = µ a b a b Po hledanou indukci je 2 2 µ I a =. 2 2 a b Magnetická indukce uvnitř vnějšího kabelu s ostoucí vzdáleností klesá a po a = je nulová. d) > a Vně koaxiálního kabelu je celkový poud obepnutý Ampéovou křivkou oven součtu obou poudů, tj. I = I I =, poto i magnetická indukce vně kabelu je nulová =. c

19 c) Magnetické pole solenoidu Solenoid je dlouhá, hustě vinutá cívka, jejíž délka l je >> než její N půmě d. Počet závitů na jednotku délky je n =. l Indukční čáy řídce vinutého solenoidu. Poblíž osy se pole jednotlivých závitů skládají v magnetické pole ve směu osy. Husté ovnoběžné indukční čáy značí pole silné a homogenní. Vně solenoidu jsou indukční čáy vzdálené magnetické pole je velmi slabé. Oientace pole uvnitř solenoidu pavidlo pavé uky. Po jednoduchost ideální solenoid (nekonečně dlouhý, hustě vinutý, ovnoměné ozdělení poudu na povchu solenoidu, uvnitř solenoidu homogenní, vně ovno = )

20 Cikulace vektou podél Ampéovy křivky: ( c) a b c d Ampéova křivka obdélník abcd. Ampéův zákon dl = µ I b c d a dl = dl + dl + dl + dl = h = h ( c) c Celkový poud : Ic N = nhi = hi, l Po dosazení do A. z. h = µ hi N l = µ NI l Indukce mg. pole na ose solenoidu platí po ideální solenoid.

21 d) Magnetické pole tooidu Tooid (zjednodušeně) solenoid stočený do tvau pstence. Cikulace vektou podél Ampéovy křivky: Celkový poud: I c Indukční čáy jsou soustředné kužnice (zeleně) uvnitř tooidu. Ampéova křivka je kužnice o poloměu (čeveně). Ampéův zákon dl = µ I dl = dl = ( c) NI = NI, po dosazení do A. z. : µ 2 π =. Vztah platí po mg. indukci uvnitř tooidu. Mimo ideální tooid je =. ( c) c

22 CÍVKA JAKO MAGNETICKÝ DIPÓL Magnetický dipól kátká cívka (kteou potéká elektický poud) ve vnějším magnetickém poli. Působí na ni silový moment M = µ, kde µ je magnetický dipólový moment cívky (velikost je N I S, N počet závitů, I poud po každý závit, S plošný obsah každého závitu) Po nedostatek symetie není možné řešit pomocí A. z. Použijeme.-S. zákon a úlohu zjednodušíme: cívku nahadíme jediným kuhovým závitem se středem v počátku souřadnic a s osou shodnou s osou z. Magnet. indukci vypočítáme na ose závitu, tj. na ose z. Magnetická indukce na ose cívky µ µ µ NIS ( z) = a velikost ( µ 3 ) z ( ) = z 3 z